Finns det mode i skriftliga räknemetoder? Tillämpningar av skriftliga räknemetoder inom subtraktion i årskurs 3.

Transkript

1 Självständigt arbete II, 15 hp Finns det mode i skriftliga räknemetoder? Tillämpningar av skriftliga räknemetoder inom subtraktion i årskurs 3. Författare: Ida Johansson Handledare: Peter Markkanen Examinator: Jeppe Skott Termin: VT 2015 Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad nivå Kurskod: 4GN04E

2 Finns mode i skriftliga räknemetoder? Tillämpningar av skriftliga räknemetoder inom subtraktion i årskurs 3. Are there trends in written calculation methods? Applied written calculation methods within subtraction in 3rd grade, elementary school. Abstrakt Syftet med den här studien är att undersöka elevers tillämpningar av skriftliga räknemetoder inom området subtraktion i årskurs 3 samt att få förståelse för elevers eventuella svårigheter med olika räknemetoder. Studien genomfördes med hjälp av diagnoser i två klasser samt kvalitativa intervjuer med nio elever och deras matematiklärare. Resultatet visar att den mest frekventa räknemetod eleverna använder, är standardalgoritmen. Studiens resultat visar även att fåtal av eleverna kan använda mer lämpade räknemetoder utifrån vilket typ av tal det är. De svårigheter eleverna beskriver med standardalgoritmen är främst när det krävs växling och dubbel växling över nollan. Nyckelord Skriftliga räknemetoder, subtraktion, standardalgoritm, talsortsmetoden, stegvis beräkning, växling. Ida Johansson Antal sidor: 33 i

3 Innehåll 1 Inledning Syfte och frågeställningar 2 2 Teoribakgrund Subtraktion Svårigheter inom subtraktion Styrdokumenten Förkunskaper Skriftliga räknemetoder Standardalgoritm Talsortsmetoden Kompensationsberäkning Stegvis beräkning Omgruppering Kända missuppfattningar 8 3 Metod Val av metod Urval Diagnos Intervju Genomförandet Bearbetning av data Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Etiska övervägande 14 4 Resultat Klass X Vilka skriftliga räknemetoder inom subtraktion använder elever? Hur väljer eleven vilken räknemetod den ska använda? Vilka svårigheter beskriver eleverna att de upplever elever med olika räknemetoder? Klass Y Vilka skriftliga räknemetoder inom subtraktion använder elever? Hur väljer eleven vilken räknemetod den ska använda? Vilka svårigheter beskriver eleverna att de upplever elever med olika räknemetoder? Jämförelse av klass Y och X Resultatsammanfattning 28 5 Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Förslag till vidare forskning 32 ii

4 Referenser 34 Bilagor I Bilaga A I Bilaga B II Bilaga C III Bilaga D IV Bilaga E V Bilaga F VI iii

5 1 Inledning Svenska elever sämre i matte, Svenska elevers kunskaper försämrats, Färre elever klarar matten, Kraftig försämring i PISA och Nytt svenskt bakslag i PISA-studie är exempel på rubriker vi kan läsa på diverse medier. Rubrikerna om elevers sjunkande matematikkunskaper har varit och är tämligen ett hett debattämne i samhället på såväl politisk nivå som skol- och individnivå. PISA, en internationell undersökning för 15-åriga elever om bland annat deras matematikkunskaper visar år 2012 på försämrade resultat för både låg- och högpresterande elever (Skolverket, 2013a). Det är också anmärkningsvärt att Sveriges resultat från PISA 2012 för första gången ligger under genomsnittet i OECD, vilket är en organisation som består av 34 länder (Skolverket, 2013a). TIMSS, även det en internationell studie för elever i årskurs 4 och årskurs 8 visar år 2011 bland annat att åttondeklassares matematikkunskaper fortsätter att försämras.. Den visar också att svenska elever lär sig mindre mellan årskurserna 4 och 8 jämfört med andra länder. Noterbart är också att elevernas intresse för matematik minskar från årskurs 4 till årskurs 8, enligt TIMSS undersökning 2011 (Skolverket, 2012). Resultaten från de nationella proven i matematik 2013, för årskurs 3 visar att det svåraste momentet var skriftliga räknemetoder. Det var 15 % av eleverna som inte klarade delmomentet som handlade om skriftliga räknemetoder (Skolverket, 2013b). Under min verksamhetsförlagda utbildning, VFU, har jag upptäckt att vissa elever har svårt för subtraktion och ofta gör fel när de använder olika räknemetoder inom området. Även flera verksamma lärare och specialpedagoger upplever, likt min egen uppfattning, att många elever tycker subtraktion är svårt. Några lärare anser också att vissa av de räknemetoder de undervisa om snarare kan röra till för somliga elever mer än att ge dem ett verktyg, en metod, att använda. Jag har av de här anledningarna intresserat mig för området subtraktion och vad som gör att elever kan ha svårt med räknemetoder. I kurpslanen för matematik finner inga klara direktiv om vilka räknemetoder som ska undervisas eller hur många räknemetoder eleverna behöver kunna, vilket då är upp till läraren själv (Skolverket, 2011a). Det kan därför vara bra som lärare att känna till olika räknemetoder och vilka svårigheter elever kan uppleva med olika räknemetoder. I min framtida roll som lärare har jag möjligheter att påverka svenska elevers matematikkunskaper och därför vill jag få en större förståelse av elevers val av räknemetod samt elevers eventuella svårigheter med de olika räknemetoderna för att kunna undervisa så bra som möjligt. Jag vill undersöka elevers användning av räknemetoder när det gäller området subtraktion i årskurs 3. 1

6 1.1 Syfte och frågeställningar Syftet med denna studie är att undersöka elevers tillämpningar av skriftliga räknemetoder inom området subtraktion i årskurs 3. Syftet är även att få förståelse för elevers eventuella svårigheter med olika räknemetoder. Utifrån syftet har följande frågeställningar formulerats: Vilka skriftliga räknemetoder inom subtraktion använder elever? Hur väljer eleven vilken räknemetod den ska använda? Vilka svårigheter beskriver eleverna att de upplever med olika räknemetoder? 2

7 2 Teoribakgrund I det här avsnittet förklaras innebörden av begreppet subtraktion samt eventuella svårigheter inom området. Innehållet av subtraktion och skriftliga räknemetoder för årskurs 1-3 redovisas även utifrån styrdokumenten. Vidare beskrivs vilka förkunskaper som behövs för skriftliga räknemetoder i subtraktion. Därefter presenteras olika skriftliga räknemetoder och slutligen behandlas kända missuppfattningar hos elever vid skriftliga räknemetoder i subtraktion utifrån tidigare forskning. 2.1 Subtraktion Malmer (2002) beskriver två olika typer av subtraktion, den dynamiska subtraktionen och den statiska subtraktionen. Den dynamiska subtraktionen innebär en händelse som minskar/ta bort något: Det var fem godisbitar och sedan åt Kalle upp tre godisbitar. Den statiska subtraktionen däremot innebär en jämförelse, det är således inget som tas bort: Jag har tre godisbitar och Kalle har fem godisbitar, hur många fler godisbitar har Kalle? Bentley och Bentley (2011) och Löwing (2008) nämner, utöver de två olika typerna av subtraktion, även komplettering/utjämning som en strategi. Komplettering genom att lägga till kan innebära att lägga till 2 för att komma till 5 i talet 5-3. Inom subtraktion används begreppen term term = differens, en annan terminologi som nästan försvunnit är minuend subtrahend = differens (Johansson, 2011). Differens betyder skillnad och kan därför vara ytterligare ett sätt att förklara subtraktion. Således finns det flera olika strategier kring subtraktion: minskar/ta bort, jämföra, komplettera/utjämna och skillnad Svårigheter inom subtraktion Inom subtraktion kan flera olika strategier användas såsom ta bort, jämföra, komplettera och se skillnad gentemot addition som oftast endast kopplas till att lägga ihop. I addition kan elever använda sig av den kommutativa lagen, vilket innebär att det inte spelar någon roll i vilken ordning talen adderas dvs. a+b=c och b+a=c. I subtraktion däremot har talens ordning stor betydelse (McIntosh, 2008). Det kan av den anledningen vara bra att använda begreppen minuend och subtrahend för att kunna urskilja termerna (Johansson, 2011). Enligt Beishuizen (1993) studie kan nämligen en svårighet inom subtraktionen vara att elever vänder på termerna felaktigt, det vill säga 3-5 räknas som 5-3. En annan svårighet som beskrivs kan vara att elever inte har tillräcklig kunskap om tal som ordinaltal dvs. talet i talraden med ett tal efter och ett tal före (Johansson, 2011). Elever har ofta större förståelse för tal som kardinaltal, vilket innebär att se tal som antal. En orsak som Johansson (2011) nämner är att tal beskrivs oftast som kardinaltal och inte som ordinaltal i läroböckerna. Johansson (2011) har nämligen hittat ett samband mellan de elever som löser många uppgifter i subtraktion även har goda talradsfärdigheter. Motivet till sambandet är att talradsfärdigheter gynnar en mental talrad, vilket gör att elever kan upptäcka egna strategier som Johansson (2011) bland annat kallar hoppmetoden. Metoden utgår alltså från elevers egna strategier till skillnad mot standardalgoritmer och talsortsräkning som är färdiga metoder eleven lär sig och därefter använder. 2.2 Styrdokumenten I kursplanen för matematik berörs inte enbart begreppet subtraktion utan räknas som ett av de fyra räknesätten: De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer (Skolverket, 2011a:63). Det betyder att eleven ska förstå sambandet mellan de olika räknesätten samt i vilka situationer som det lämpar sig bäst att använda de olika räknesätten (Skolverket, 2011b). 3

8 Innehållet kring vilka räknemetoder eleverna ska undervisas utgår från det centrala innehållet i kursplanen för matematik: Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare. Metodernas användning i olika situationer. (Skolverket, 2011a:63). Vilka metoder som ska behandlas eller vad centrala metoder innebär preciseras dock inte. I kunskapskraven för årskurs 3 återfinns en mer noggrann beskrivning om vad eleverna ska kunna, nämligen att med tillfredsställande resultat inom talområdet kunna välja och använda skriftliga räknemetoder i subtraktion (Skolverket, 2011a). I kommentarmaterialet till kursplanen görs en beskrivning av centrala metoder, vilket innebär utvecklingsbara metoder. Vidare beskrivs att utvecklingsbara metoder innebär att metoden är effektiv i den givna situation men å andra sidan också så generell att den kan användas i nya situationer (Skolverket, 2011b). En tolkning som kan göras är att eleverna ska kunna flera olika skriftliga räknemetoder som lämpar sig för den situation de befinner sig i, samt även metoder som kan generaliseras i andra nya situationer. De ska också kunna tillämpa och beräkna tal med hjälp av räknemetoder med ett tillfredställande resultat inom talområdet Förkunskaper God taluppfattning är grunden i matematiken och även i skriftliga räknemetoder behövs kunskaper i taluppfattning (McIntosh, 2008). Med taluppfattning menar vi en persons övergripande förståelse för tal och operationer parat med förmåga, färdigheter och lust att använda denna förståelse på olika sätt som underlag för beslut och för att utveckla användbara och effektiva strategier för att använda tal och operationer (Reys, Reys, Emanuelsson m.fl., 1995:23). För att kunna använda skriftliga räknemetoder i subtraktion krävs förståelse för tals betydelse och storlek dvs. förståelse för positionssystemet (Reys, Reys, Emanuelsson m.fl., 1995). Att förstå siffrors olika värde i ett tal innebär exempelvis att förstå att 3 i talet 312 betyder 3 hundratal, 30 tiotal eller 300 ental (McIntosh, 2008). Positionssystemet är viktigt då många räknemetoder använder sig av att räkna varje talsort för sig. En aspekt handlar om att kunna relationer mellan tal, jämföra tals storlek och närhet till varandra såsom att talet 98 är nästan 100, så kallat ekvivalent uttryck (Reys, Reys, Emanuelsson m.fl., 1995). Den här förståelsen krävs för att kunna göra överslagsberäkningar, se om svaret är rimligt och ompröva räknemetoder. Det är också viktigt att ha förståelse och kunskap om räknemetoders innebörd och funktion för att förstå räkneoperationer i räknemetoden och veta vad de betyder (Reys, Reys, Emanuelsson m.fl., 1995). För att kunna räkna subtraktion av större tal krävs att eleven automatisera lilla subtraktionstabellen, dvs. samtliga subtraktionskombinationer inom talområdet 1-9. Enligt Löwing (2008) är lilla subtraktionstabellen grunden för subtraktion av större tal. Om elever inte behärskar lilla subtraktionstabellen riskerar de att fastna vid enklare beräkningar och får därmed inte flyt i sin räkning. Både Löwing (2008) och McIntosh (2008) betonar att lilla subtraktionstabellen ska vara automatiserad hos eleverna innan de går vidare med flersiffriga tal. Även Bentley och Bentley (2011) menar att det är en viktig förkunskap, men betecknar det som talfakta dvs. att lagra subtraktionstabellen i 4

9 långtidsminnet. Vidare menar Löwing (2008) att om eleverna kan lilla subtraktionstabellen överförs den kunskapen vid större tal. Ett exempel på detta är om eleven ha automatiserat 7-2 kan eleven med den kunskapen även lösa McIntosh (2008) benämner två kända svårigheter för elever att automatisera subtraktionstabellen, dels att komma ihåg dem snabbt, dels att göra snabba och effektiva beräkningar med dem. Det är därför viktigt att ge elever undervisning om olika huvudräkningsstrategier, för att undvika enbart att räkna nedåt med fingrarna som i sin tur kräver mycket arbetskraft och ofta leder till felberäkningar (McIntosh, 2008). Stora subtraktionstabellen behöver också automatiseras och är en viktig förkunskap för huvudräkning och räknemetoder med tiotalsövergång. Stora subtraktionstabellen är subtraktioner som kräver en tiotalsövergång och är exempelvis beräkningar som 13-7 och Genom att automatisera stora subtraktionstabellen skapar eleverna bättre flyt i sina beräkningar (Löwing, 2008). Hon menar att det gäller att hitta bra strategier att använda vid färdighetsträningen, så att tabellerna automatiseras. Även McIntosh (2008) nämner att undervisningen bör fokusera på olika strategier som elever kan använda sig av vid inlärning av subtraktionstabellerna. Innan olika räknemetoder introduceras bör undervisningen fokusera på huvudräkning och olika huvudräkningsstrategier. McIntosh (2008) menar nämligen att traditionellt sett introduceras skriftliga räknemetoder för tidigt för eleverna. Eleverna behöver, som tidigare nämnts, ha god kunskap om tabellerna i subtraktion och även förståelse för positionssystemet för att kunna hantera de olika räknemetoderna i subtraktion (McIntosh, 2008). En annan känd svårighet är att elever inte har tillräckligt god taluppfattning, eftersom vanliga fel elever gör är procedurfel i räknemetoder och då utan att reflektera om svaret är rimligt. Felen hade med god taluppfattning kunna förhindras genom att eleven upptäcker att svaret inte är rimligt (McIntosh, 2008). 2.4 Skriftliga räknemetoder Begreppen skriftlig räknemetod, algoritmer, beräkningsstrategier och skriftlig huvudräkning har blandats enligt Bentley och Bentley (2011) ofta ihop, och betydelsen av dem kan vara förvirrande. De menar att beräkningsstrategier är ett begrepp som innefattar samtliga skriftliga metoder och huvudräkningsmetoder. Vidare anser Bentley och Bentley (2011) att huvudräkning aldrig kan vara skriftlig utan att alla skriftliga metoder är algoritmer. Ett annat ord för algoritmer är skriftliga räknemetoder, vilket är begreppet som används i kursplanen för matematik (Skolverket, 2011a). I den här studien kommer Skolverkets (2011a) begrepp skriftliga räknemetoder att användas. Skriftliga räknemetoder innebär färdiga och bestämda matematiska metoder som alltid följer samma mönster. Räknemetoderna bygger på och kan förklaras med hjälp av olika räknelagar och räkneregler (Löwing, 2008). Skriftliga räknemetoder uppfanns för att det var svårt att göra avancerade beräkningar i huvudet, på grund av att människan har en begränsad kapacitet när det gäller att göra flera procedurer samtidigt (Löwing, 2008). Räknemetoder möjliggör att skriva ner delmoment i beräkningen och därmed frigöra minne (Löwing, 2008). Nedan presenteras ett antal skriftliga räknemetoder Standardalgoritm Standardalgoritm är en av de vanligaste metoderna och kan även benämnas med uppställning i litteraturen (Bentley & Bentley, 2011; Johansson, 2011; Sollervall, 2007). Standardalgoritm innebär att ställa upp talen vertikalt under varandra och därefter 5

10 subtraherar varje talsort för sig, där räkningen börjar från höger med entalen och sedan till vänster för tiotal, hundratal och så vidare (Bentley & Bentley, 2011; Johansson, 2011; Sollervall, 2007). Figur 1 standardalgoritmer. I exempel 1 krävs ingen växling men däremot i exempel 2 och 3 krävs växling. I ex. 2 behöver växling sker när entalen ska subtraheras. Från de 8 tiotalen växlas 1 tiotal till 10 ental, vilket markeras med ett streck över 8:an och med en minnessiffra över entalsraden. Därefter subtraheras entalen, Eftersom att tidigare växlades 1 tiotal av de 8 finns endast 7 tiotal kvar, alltså subtraheras tiotalen 7-3. I ex.3 görs en så kallad dubbel växling. Eftersom det inte finns några tiotal att växla behövs först en växling sker av 1 hundratal till 10 tiotal, vilket skrivs med en minnessiffra över tiotalsraden. Därefter växlas ett av tiotalen till 10 ental, vilket markeras på samma sätt som tidigare. Ett streck dras över 10:an i tiotalsraden för att markera att det endast är 9 tiotal kvar. När det här steget har gjorts kan beräkningen göras som vanligt. Det finns olika varianter av standardalgoritmer. En del varianter använder sig inte alls av några noteringar såsom minnessiffra och överstrykningar. Andra varianter noterar den nya summan direkt när de har växlat och därefter stryker den gamla siffran (Löwing, 2008). Varianterna kan se olika ut i undervisningen från olika länder, vilket lärare bör känna till. Löwing (2008) anser då att elever från andra nationer inte ska lära sig de svenska metoderna. När en ny metod ska läras in istället för den inövade metoden kan det skapa förvirring och förväxling bland metoderna hos dessa elever. Vilken variant som används kan även skilja sig år lokalt i landet (Löwing, 2008). Det är enligt Johansson (2011) många elever som gör växlingsfel när de använder standardalgoritmen, många vänder istället på termerna och subtraherar det största med det minsta oavsett vilken ordning de står i. Standardalgoritmen introduceras ofta först i årskurs 3. Johansson (2011) menar att många fel antingen beror på att metoden introduceras sent eller på själva metoden. Hans motiv är, genom att hänvisa till TIMSS undersökning 2007, då endast 18,5 % av fjärdeklassarna klarade uppgifter med den här räknemetoden Talsortsmetoden Det finns även andra namn för att beskriva talsortsmetoden, bland annat mellanled och skriftlig huvudräkning (Bentley & Bentley, 2011; Johansson, 2011). Mellanled är egentligen ingen metod utan ett begrepp för att beskriva hur man tänker i olika led. Mellanled kan därför ses som ett hjälpmedel vilken kan användas i flera olika metoder (Johansson, 2011). 6

11 Det som kännetecknar talsortsmetoden är att beräkningen delas upp i talsorter, likt standardalgoritmen. Talsorterna subtraheras var för sig och därefter läggs summorna ihop (Bentley & Bentley, 2011; Johansson, 2011). Exempel 1: = (20-10) + (8-3) = 10+5 = 15 Exempel 2: = (60-40) + (2-8) = 20 + (-6) = 14 I exempel 2 där en tiotalsövergång krävs blir en svårighet för elever att använda sig av den här metoden. Eftersom i mellanledet, 2-8, finns det endast 2 att ta av gör att det återstår att subtrahera 6, därför blir resultatet -6, vilket sedan subtraheras från tiotalen. Enligt Bentley och Bentley (2011) är det många elever som inte når den här förståelsen. Det finns därför många olika varianter av den här metoden för att göra metoden enklare när det gäller tiotalsövergång. Gemensamt kännetecknas de olika varianterna av att det ena talet behåller sitt värde och att det andra talet delas upp på ett lämpligt sätt för att lösa beräkningen (Johansson, 2011). Nedan kommer olika exempel på varianter som kan användas vid tiotalsövergång. Exempel på varianter av talsortsmetoden: 62-48; = 22; 22-8 = ; = 12; 12+2 = ; = 20; 20-6 = 14 Talsortsmetoden som slog igenom på 1980-talet, är den vanligaste metoden i läroböckerna för år 1-3 idag. Metoden är enkel att använda när det inte krävs en tiotalsövergång, vid tiotalsövergång är metoden mer komplicerad att använda (Johansson, 2011) Kompensationsberäkning Kompensationsberäkning innebär en förenkling av talet, genom att förändra beräkningen så att den blir lättare att utföra (Bentley & Bentley, 2011). Exempel: = [36-6=30; 30-18=12; 12+6] = 18 Första termen förenklas till närmsta tiotal, efter det utförs beräkningen av talet och i slutskedet så kompenseras talet med förändringen som skedde i början (Bentley & Bentlety, 2011). Enligt Bentley och Bentlety (2011) har kompensationsberäkningar en lösningsfrekvens på 75 % Stegvis beräkning Den stegvisa beräkningen inriktar sig på antalet steg mellan talen (Bentley & Bentley, 2011). I subtraktion kan det både innebära att steg för steg lägga till eller att ta bort: (ta bort steg) = [73 70; 70 20; 20 18] = = 55 7

12 (lägga till steg) = [18 20; 20 70; 70 73] = (ta bort steg) = [53 50; 50 47] = 3+3 = (lägga till steg) = [47 50; 50 53] 3+3 = 6 Den stegvisa beräkningen kan vara klumpig och ineffektiv vid subtraktioner där termerna ligger långt ifrån varandra, vilket ovanstående exempel visar (Bentley & Bentley, 2011) Omgruppering Omgruppering innebär att förenkla beräkningen genom att använda sig av olika fakta och förkunskaper om talen och deras relationer till varandra. Talen omgrupperas på ett sätt som gör det enklare att lösa beräkningen. Omgruppering liknar i hög grad kompensationsberäkning (Bentley & Bentley, 2011). Exempel: 83 48; = = 83; = 2; = 35 Vi vet att = 80 och kan med den kunskapen se relationerna mellan talets grannar det vill säga 81, 82, 83 och 49, 48, vilket gör att vi kan komma fram till att = 35. Eftersom = 80 kan vi räkna ut att = 83, skillnaden mellan 50 och 83 är alltså 33. Därefter vill vi veta skillnaden mellan 50 och 48, = 2. Efter det lägger vi ihop de båda skillnaderna, och 50-2, för att få skillnaden mellan 83 och 48, vilket blir 33+2 = Kända missuppfattningar Enligt Blando, Kelly, Schneider och Sleemans (1989) beror elevers felberäkningar vid räknemetoder på en bristande förståelse för operationen de utför. Vidare menar Blando m.fl. (1989) att många elever lär sig räknemetodens mönster och försöker komma ihåg olika beräkningsregler istället för att förstå vad de gör. Cauleys (1988) studie handlar om att hitta ett samband mellan att lösa standardalgoritmer och logisk förståelse för räknemetodens uppbyggnad. Resultatet visar att de fel elever gör sällan är tillfälliga fel, felen är systematiska och handlar om bristande förståelse för grundläggande regler. Cauleys (1988) studie visar också på att de elever som gör korrekta uträkningar också har större förståelse för den logiska uppbyggnaden och grundläggande subtraktionsregler. Även Löwing (2008) hänvisar till en studie som menar att många elever saknar förkunskaper och förståelse för hur räknemetoder är uppbyggda. Den stora fördelen med att behärska en algoritm, t.ex. för subtraktion är att man aldrig behöver tänka efter vad man egentligen gör (Löwing, 2008:126). Logiken i de olika operationerna i räknemetoder för subtraktion är svårare att hantera än operationer i räknemetoder i addition, vilket ytterligare stärker svårigheten med räknemetoder i subtraktion (McIntosh, 2008). Inom subtraktion finns det betydligt fler räknemetoder att välja mellan än addition. I subtraktion krävs ofta en tiotalsövergång, vilket gör subtraktion till ett mer komplicerat räknesätt (Löwing, 2008). Eftersom det finns flera olika räknemetoder att använda kan 8

13 det vara svårt för eleverna att välja vilken metod de ska använda. Det finns nämligen ingen metod som är bättre än den andra, olika räknemetoder har olika fördelar för olika sorts tal. Hade det funnits en enda räknemetod som varit bäst i alla tal, hade det inte funnits olika räknemetoder (Löwing, 2008). Torbeyns, Verschaffel och Ghesquière (2004) har i en studie undersökts hur elever väljer räknemetod. Studiens resultat visar att högpresterande elever gentemot lågpresterande elever väljer och använder i större utsträckning lämpliga metoder vid olika uträkningar. Lågpresterande elever gör fler fel i själva beräkningen än högpresterande elever, vilket är ett mönster som syns oavsett ålder (Torbeyns, Verschaffel & Ghesquière 2004). Den största svårigheten i subtraktion är tiotalsövergångar, då växling behöver göras. Svårigheten förvärras av att det finns många olika metoder att genomföra växling på och dessutom är många lärare och elever inte medvetna om det (Löwing, 2008). Flera andra forskare, bland annat Fiori och Zaccheri (2005), Johansson (2011) och Löwing och Kilborn (2002) menar att växling är ett vanligt förekommande fel när det gäller räknemetoder. Fiori och Zaccheri (2005) har jämfört två räknemetoder bland åringar och har kommit fram till att elever har svårt vid växlingen. De flesta felen handlar om procedurfel, eftersom många elever växlar när de ska men växlar då på ett felaktigt sätt. Andra elever vänder felaktigt termerna istället för att växla. Studien visar också på att det svåraste är när eleverna behöver växla över en nolla och göra två växlingar. Även Löwing och Kilborn (2002) ger ett exempel från ett rektorsområde i Sverige där 60 % av eleverna i årskurs 7 hade fel på uppgifter när det gällde växling över en nolla. Elever som har svårt för växling har också konstateras enligt både Fiori och Zaccheris (2005) och Cauleys (1988) studier även ha svårt med positionssystemet. McIntosh (2008) talar om fyra huvudsakliga fel som elever gör vid skriftliga subtraktioners räknemetoder. Den första är att eleverna blandar ihop räknemetodens regler med reglerna för räknemetoderna vid addition. När det gäller standardalgoritmer förekommer det att elever ställer upp talen så att positionerna hamnar på fel ställe, alltså brist på förståelse i positionssystemet. Elever vänder på termerna och subtraherar alltid den största med den minsta oavsett läge, vilket också Fiori och Zaccheris (2005) påpekade. Den sista svårigheten McIntosh (2008) beskriver är bristande kunskap i taluppfattning. Elever märker inte när de kommer fram till orimliga svar. Förklaringen till de här fyra felen är enligt McIntosh (2008) att räknemetoder behandlas som en procedur utförd med abstrakta siffror. Vidare skriver han att det är av vikt att börja undervisningen med laborativt material och att utgå från verkligheten för att eleverna ska nå förståelse. 9

14 3 Metod I det här avsnittet redogörs val av metod, urval samt bearbetning av material förklaras och motiveras. Avslutningsvis diskuteras studiens vetenskaplighet och etiska principer. 3.1 Val av metod Lantz (2014) beskriver att en kvalitativ studie syftar till att förklara varför det ser ut på ett visst sätt gentemot en kvantitativ som mer beskriver hur det ser ut. Denna undersökning syftar bland annat till att få förståelse för elevers tankar, alltså ämnar den till att förklara hur elever tänker när de ska lösa en subtraktionsuppgift. Enligt Bryman (2011) är det deltagarens, i det här fallet elevers, uppfattningar och handlingar som är det betydelsefulla i kvalitativ forskning, vilket kan synliggöras genom intervjuer. Johansson och Svedner (2010) menar att med kvalitativa intervjuer fångar man deltagarperspektivet, vilket i den här studien motsvarar elevperspektivet. Undersökningen syftar också till att undersöka elevers tillämpningar av skriftliga räknemetoder och därför har även diagnoser använts som metod. Diagnoser användes för att kunna besvara framförallt den första frågeställningen gällande vilka olika räknemetoder elever använder. Diagnoserna fungerade även som en utgångspunkt för de intervjuer som ägde rum med eleverna. Genom intervjuer med elever kan de två sista frågeställningarna besvaras gällande hur eleverna väljer vilken räknemetod de ska använda samt vilka eventuella svårigheter som elever kan uppleva. Det hade tämligen varit svårt att använda en enkät för att få reda på elevers tankar kring området. Vid en enkät hade svaren inte blivit lika djupgående och det hade inte varit möjligt att utveckla svaren i jämförelse med intervju, vilket ytterligare motiverar metodvalet. Eftersom att en del av syftet är att undersöka elevers tillämpningar av skriftliga räknemetoder har även de matematiklärare som undervisat de valda eleverna intervjuas. Eftersom elevernas tillämpningar av skriftliga räknemetoder beror på den undervisning de erhållit inom området är det väsentligt att intervjua deras matematiklärare för att erhålla en bild av hur de beskriver att undervisningen skett. Elevers användning av räknemetoder beror således på vilka räknemetoder läraren har undervisat om och är därför en viktig aspekt för förståelse i den här studien. 3.2 Urval Urvalet styrs utifrån syftet och frågeställningar med den här studien, vilket är elever i årskurs 3 och deras matematiklärare. Anledningen till att välja elever i årskurs 3 är att de har hunnit gå igenom det mesta av innehållet i kursplanen för år 1-3 och därmed även olika räknemetoder. Enligt Bryman (2011) har i och med det ett målinriktat urval gjorts. Målinriktat urval innebär att urvalet görs med en önskan om att undersöka personer som är relevanta för forskningsfrågan (Bryman, 2011). Den första kontakten togs med matematiklärare för årskurs 3 via mail (bilaga A) där syftet med arbetet presenterades. Det gjordes ett geografiskt urval utifrån olika aspekter såsom tidsmässiga, praktiska skäl och dessutom för intresse för den lokala verksamheten. Totalt kontaktades fem olika matematiklärare på olika skolor i en mellanstor stad i södra Sverige. En informant svarade och ville medverka med sin klass i undersökningen, därefter skickades en påminnelse till de resterande informanterna och då svarade ytterligare en informant. Det blev således två lärare och deras elever som deltog i studien. 10

15 En av de två informanternas elever visade sig vara kända sedan tidigare genom verksamhetsförlagd utbildning. Johansson och Svedner (2001) menar att det kan vara positivt att känna informanterna, då de kan öppna sig mer och ger mer information och våga säga sin uppfattning. Informanterna har också ett förtroende för forskaren. Repstad (2007) menar också att forskaren kan våga ställa mer känsliga frågor om den känner informanten. Det kan däremot vara negativ ur den aspekten att intervjun blir lättsam och ostrukturerad. Vid analys vid resultat kan det vara svårt att skilja vad som sagts på intervjun och vad som forskaren har vetat sedan tidigare (Johansson & Svedner, 2001). För att undvika den här problematiken så förklarades syftet med intervjun för intervjupersonerna. Intervjuerna spelades också in för att kunna tydliggöra vad som sagts vid intervjutillfällena. Totalt medverkade två klasser med 35 stycken elever i diagnosen och 9 stycken elever intervjuades, 5 stycken från den ena klassen och 4 från den andra. Tanken var att intervjua 5 stycken elever från varje klass men av olika skäl såsom sjukdomar, speciella lektionstillfällen och samtycke från vårdnadshavare och elever fanns enbart 4 elever tillgängliga i den ena klassen och därför kunde endast dessa intervjuer göras. De två matematiklärarna för de båda klasserna har också intervjuats. 3.3 Diagnos Eleverna fick göra en diagnos (bilaga B) med olika subtraktionsuppgifter för att kunna besvara min frågeställning gällande vilka räknemetoder elever använder. De olika subtraktionsuppgifter hade fyra olika karaktärer: tal nära varandra, tal som inte kräver någon växling, tal som kräver en växling och tal som kräver dubbel växling över nolla. Konstruktionen av diagnosen gjordes medvetet för att se ifall elever använder lämpliga räknemetoder till de olika talen. Eleverna gjorde diagnosen i helklass och den enda instruktionen som gavs var att de skulle beskriva hur de löste de olika talen, eftersom det intressanta var att få reda på hur de tänker när de löser talen. Efter det rättades diagnoserna och analyserades kort för att kunna välja ut elever att intervjua. Elever som använt olika strategier i sina tillämpningar av räknemetoder i diagnosen valdes till intervju. Under 3.5 Bearbetning av data beskrivs mer ingående om hur valet av elever till intervjuerna gick till. 3.4 Intervju Det finns olika typer av intervjuer såsom strukturerad, ostrukturerad och semistrukturerad intervju (Bryman, 2011). En strukturerad intervju, innebär att frågorna är ofta väldigt specifika och på förhand bestämda. En strukturerad intervju används mestadels i kvantitativa studier, där stor mängd data ska analyseras (Bryman, 2011). Den här typen av intervju passade inte in i den här undersökningen då den säkerligen inte hade gett lika djupgående svar. En ostrukturerad intervju kan liknas som ett vanligt samtal, då intervjuaren introducera ett tema som intervjupersonen sedan får associera fritt och tala om. (Bryman, 2011). En ostrukturerad intervju kräver mycket arbete med att sammanställa det insamlade materialet och den är dessutom svår att jämföra. På grund av tidsaspekten i det här arbetet var den här typen av intervju inte aktuell. En semistrukturerad intervju innebär att forskaren utgår från vissa specifika teman eller öppna frågor som sammanställts i en intervjuguide. Det kan liknas av en blandning av 11

16 strukturerad och ostrukturerad intervju. Frågorna behöver inte ställas i samma ordning som i guiden utan intervjun blir mer flexibel. Genom ett sådant sätt öppnar det upp tills stor möjlighet för informanten att forma sina svar på sitt eget sätt (Bryman, 2011). Syftet är att alla intervjupersoner ska få liknande frågor och därmed kunna kombineras på ett jämförbart sätt (Bryman, 2011). Utifrån tidsaspekten i arbetet samt utifrån syftet, att få mer djupgående och fylligare svar om hur elever tänker när de löser en uppgift, gör att en semistrukturerad intervju lämpar sig bäst för den här undersökningen. Även de intervjuer som gjordes med lärarna hade karaktären av en semistrukturerad intervju. Anledningen till det var att lärarna själva skulle få beskriva hur deras undervisning kring subtraktion och skriftliga räknemetoder har sett ut. Intervjuguiden för eleverna (bilaga C) utformades utifrån frågeställningarna och även diagnosen de genomförde. Frågorna relatera till diagnosen för att det ska bli konkret för eleverna. Intervjuguiden fungerade som en bas att utgå från för att säkerhetsställa att alla informanter skulle få liknande frågor. Formuleringarna av frågorna kunde sedan skilja sig åt beroende på informanternas lösningar av diagnosen. Tanken med att intervjua i relation till diagnosen var att få mer djupgående information om hur informanterna tänkte när de löste de olika uppgifter samt hur de tänkte när de skulle välja vilken metod de skulle använda. I utformningen av intervjuguiden för lärare (bilaga D) användes en teknik som Kvale och Brinkman (2009) kallar tratteknik, vilket innebär att frågorna inledningsvis är väldigt öppna och för att efterhand bli mer slutna. Tanken med frågorna i den här studien är att de första frågorna ska sätta igång ett samtal om hur läraren undervisa i området subtraktion och därefter hur den introducerar olika räknemetoder. Därefter är frågorna lite mer specifika på vilka räknemetoder läraren undervisat i samt vilken ordning. Frågorna i båda intervjuguiderna är utformade på ett väldigt konkret plan för att informanterna lättare ska kunna svara och relatera till frågan och därmed ger mer djupgående svar (Bryman, 2011). Det kan vara vid särskilt vikt när det gäller att intervjua yngre elever, då de blir lättare för dem att svara samt ger mer information till studien Genomförandet Det genomfördes en pilotstudie för elevernas intervju, för att säkerhetsställa och göra en bra intervjuguide eftersom en semistrukturerad intervju ger stort utrymme för intervjupersonerna att tala fritt och tolka frågorna. Pilotstudien genomfördes av en elev i årskurs 3 efter att eleven hade utfört diagnosen, precis som intervjun var tänkt. Bryman (2011) menar att pilotstudien ska genomföras med en jämförbar population, vilket motiverar valet av person. Pilotstudien genomfördes också precis som tanken var, alltså genom att spela in och transkribera intervjun för att säkerhetsställa att metoden fungerade. Genom att skriva ut intervjun och analysera kunde det avgöras om frågorna gav svar på syftet av studien samt om ordningen i frågorna var bra (Bryman, 2011). Det gav också ett träningstillfälle, både att intervjua och att bearbeta datamaterialet. Pilotstudien förlöpte väl och intervjupersonen menade att den förstod frågorna. Med tanke på att eleven var engagerad och gav utförliga svar om hur den tänkte ingår pilotstudien i den här studien. 12

17 Intervjuerna genomfördes på respektive intervjupersons skola i ett enskilt rum för att minimera risken att bli störda och avbrutna, vilket är ett tillvägagångssätt Bryman (2011) förordar. Intervjuerna spelades in och varade mellan minuter beroende på hur utförliga svar informanterna gav. Under intervjuerna fokuserades det mest på att lyssna och ställa relevanta följdfrågor eftersom att intervjuerna spelades in, därför behövdes heller inga noggranna anteckningar föras under tiden. Bryman (2011) menar att då ifall enbart anteckningar används kan intervjuaren missa vissa uttryck och fraser. Det är också svårt att lyssna och vara lyhörd samtidigt som anteckningar förs och därmed kan det vara svårt att ställa relevanta följdfrågor, vilket också motiverar valet av att spela in intervjuerna. Det fördes sådana anteckningar som kunde vara till hjälp vid följdfrågor, eventuella begrepp som behövdes tydliggöras samt om andra frågor i intervjuguiden berördes. Även tonfall och kroppsspråk av intervjupersonen noterades för att kunna ha det i åtanke vid bearbetning av materialet. Då intervjuerna var avslutade noterades små anteckningar om hur det gått och en liten sammanfattning av det intervjupersonen sagt, vilket också Bryman (2011) anser ska göras. Det gjordes i direkt anslutning till intervjun då intervjun var färsk i minnet. 3.5 Bearbetning av data Diagnoserna rättades direkt i efter genomförandet av dem för att sedan göra en kort analys av resultatet. En tabell gjordes där det går att utläsa vilka räknemetoder eleverna använde klassvis, för varje uppgift samt alla uppgifter som helhet (se bilaga F). Genom att göra på det här sättet skapades en bra helhetsbild över resultatet i de båda klasserna. Därefter valdes nio stycken elever ut, fem stycken från den ena klassen och fyra stycken från den andra för att intervjuas. Urvalet gjordes medvetet genom att välja ut elever som enbart använde en enda räknemetod till samtliga uppgifter, elever som hade samtliga rätt, elever som inte presterat så bra, elever som använde olika räknemetoder och elever som använde andra räknemetoder än det frekventa i klassen. Valet gjordes för att kunna finna varierande och intressanta tankar från de eleverna, eftersom de använt olika strategier i sina tillämpningar av metoder i diagnosen. Utifrån tabellen gjordes sedan olika diagram, utifrån de olika karaktärerna av tal, över vilka räknemetoder som eleverna använde sig av för att kunna presentera resultatet på ett överskådligt sätt. Exempelvis presenterades resultatet av uppgift 1 och 6 tillsammans eftersom båda talen hade karaktären av att talen ligger nära varandra. Diagrammen visar även felaktiga svar som gjordes med respektive räknemetod. Intervjuerna för både elever och lärare transkriberades och skrevs ut, vilket förenklar kategorisering och jämförelse mellan intervjupersonerna. Transkribering möjliggör också en större överblick av det insamlade datamaterialet (Kvale & Brinkman, 2009). Intervjuerna skrevs ut i dialogform eftersom det då blir ännu tydligare att utläsa intervjupersonens mening, vilket är ett tillvägagångssätt Denscombe (2009) rekommenderar. Lärarnas intervju sammanfattades endast för att kunna presentera de bådas klassers undervisning i subtraktion och räknemetoder. Färgkoder användes för att urskilja datamaterialet som handlade om de två sista frågeställningarna. Därefter jämfördes elevernas intervjuer i samma klass för att kunna hitta likheter och skillnader i hur de tänkte. Den andra frågeställningen gällande hur elever väljer vilken räknemetod den ska använda hade ett varierande resultat eftersom det berodde på vilken eller vilka räknemetoder eleven hade använt. Av den anledningen presenteras resultat av den frågeställning utifrån varje elev som intervjuades. Resultatet 13

18 beskriver även vilken eller vilka räknemetoder eleven använt samt hur många fel eleven hade för att kunna få bättre förståelse för hur eleven har resonerat. Bearbetningen angående den tredje frågeställningen skedde genom att leta efter indikationer eller koder på liknande beskrivningar av elevers svårigheter med de olika räknemetoderna, därmed gjordes en kategorisering. Enligt Bryman (2011) är det viktigt att få en översikt av resultatet, vilket kan ske genom att kategorisera sitt datamaterial. Därefter skapades olika teman för svårigheterna inom räknemetoderna. Inom standardalgoritmen presenterades svårigheterna genom följande teman: förståelsen, växling, och dubbel växling. Inom talsortsmetoden namngavs de olika teman på svårigheter: räknesätt i mellanledet, tiotalsövergång, positionssystemet, stora subtraktionstabellen och glömmer bort metoden. När det gällde omgruppering upptäcktes endast en typ av svårighet vilken var att vända på termerna. 3.6 Validitet, reliabilitet och generaliserbarhet Validitet, enligt Lantz [...] är ett mått på hur väl man lyckats mäta just det man faktiskt ville mäta i sin studie (2014:42). Intervjuguide har diskuterats med handledaren för att se om frågorna hör ihop med syftet av studien. Reliabilitet handlar om huruvida resultaten är tillförlitliga och också om undersökningen går att upprepa för någon annan och då få samma resultat. I kvalitativ forskning är det svårt att upprepa en undersökning ur den aspekt att det är forskaren som gör en tolkning av datamaterialet, vilket gör det svårt för en annan forskare att komma fram till samma resultat och slutsatser. Forskaren bör därför vara så objektiv som möjligt (Bryman, 2011). Genom att spela in och transkribera intervjuerna är det ett sätt att minska risken för feltolkningar, vilket har gjorts. Vid en semistrukturerad intervju är det svårt att garantera att intervjupersonerna får exakt samma frågor då intervjun ger stort utrymme till att svara öppet. Det kan därför medföra att forskaren ställer följdfrågor och förändra sin uppfattning om ett ämne och lägger till eller ta bort frågor till nästa intervju, vilket försämrar reliabiliteten (Kvale & Brinkman, 2009). För att stärka upp reliabiliteten utgjorde intervjuguiden en ram att hålla sig innanför och därmed minska risken att andra frågor ställdes. I kvalitativ forskning är det oftast en liten grupp av individer som medverkar. Det handlar snarare om djup och inte bredd till skillnad mot kvantitativ forskning. I kvalitativ forskning är det därför svårt att generalisera eller överföra resultatet till en hel population. I kvalitativa studier är det snarare teorin än populationen som resultatet ska generaliseras till (Bryman, 2011). Den här studien har undersökt två olika klasser, vilket gör det svårt att generalisera resultatet. Området i den här studien är också utmärkande på så sätt att elevers tillämpningar och användning av räknemetoder beror på den undervisning de har fått, vilket ytterligare gör att det är svårt att generalisera den här studiens resultat till en hel population av elever. 3.7 Etiska övervägande Vid planeringen av undersökningen utgicks det ifrån Vetenskapsrådets (2011) etiska principer. Enligt Vetenskapsrådet (2011) finns fyra krav som ställs mot forskningen för att skydda individer som medverkar i en undersökning. De fyra kraven är: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitskravet och nyttjandekravet. Nedan beskrivs dessa krav och på vilket sätt undersökningen har förhållit sig till dessa. 14

19 Informationskravet innebär att de medverkande ska få information om undersökningen, vilket syfte den har och vem som ansvarar för den (Vetenskapsrådet, 2011). Deltagarna informerades i den första kontakt som togs med dem via mail, där syftet med undersökning presenterades. Undersökningen presenterades också för deltagarna vid det tillfälle de genomförde diagnosen. Det har också genom respektive lärare skickats ut ett informationsmail (se bilaga E) till elevernas vårdnadshavare Samtyckeskravet innebär att fråga om personen/personerna vill medverka i undersökningen, vilket ska vara frivilligt. Det var upp till lärarna själva att bestämma ifall de och deras klass ville medverka och ställa upp på diagnoser och intervju, vilket också framgick i det första mailet de fick. Det informerades också vid intervjutillfällena att de när som helst kunde avbryta sin medverkan. Ett samtycke skickades även ut till elevernas vårdnadshavare i samband med informationsmailet, där de fick avgöra om deras barn fick medverka i min undersökning. Forskaren ska också säkra att personerna som medverkar är anonyma, vilket menas med konfidentialitskravet. Vidare kan konfidentialskravet innebära att forskaren ska vidta åtgärder så att utomstående inte kan identifiera vilka som medverkat, forskaren ska heller inte sprida eventuell känslig information (Vetenskapsrådet, 2011). Intervjuerna är anonyma och dessa är endast till för den här forskningen och inte tillgänglig för någon annan. De inspelade intervjuerna raderas efter arbetets slut, för att säkerställa anonymiteten. I arbetet går det inte att utläsa vilken stad, vilka skolor eller vilka lärare som medverkar. Det fjärde och sista kravet är nyttjandekravet, som innebär att all datainsamling om de enskilda individerna enbart ska användas till forskningsändamål (Vetenskapsrådet, 2011). Hänsyn till nyttjandekravet tas genom att resultaten från intervjuerna endast kommer användas till den här forskningen, vilket också informerades till intervjupersonerna. 15

20 4 Resultat I det här avsnittet presenteras studiens resultat utifrån varje klass, vilka benämns med klass Y respektive X. Inledningsvis presenteras hur undervisningen i respektive klass skett inom subtraktion och skriftliga räknemetoder för att skapa en bild för resultatet. Den första frågeställningen; Vilka skriftliga räknemetoder inom subtraktion använder elever? kommer att besvaras genom fyra olika diagram. Diagrammen har kategoriserats utifrån vilken typ av karaktär det är på talen. De olika karaktärerna på tal utgår från diagnosens uppgifter, vilka är: tal nära varandra tal där ingen växling sker tal som kräver en växling tal som kräver dubbel växling. Diagrammen visar vilka räknemetoder eleverna har använt vid respektive karaktär av tal samt hur många fel som gjorts med de olika räknemetoderna. Efter det presenteras resultatet av den andra frågeställningen; Hur väljer eleven vilken räknemetod den ska använda? Därefter besvaras den tredje frågeställningen; Vilka svårigheter beskriver eleverna att de upplever elever med olika räknemetoder? Efter det görs en kort analys och jämförelse av båda klassernas resultat. Avsnittet avslutas med en resultatsammanfattning av de båda klasserna, Eleverna har givits namn löpande från nummer ett till nio. 4.1 Klass X Matematikläraren för klass X berättade att subtraktion introduceras först efter addition men ändå tidigt på höstterminen i årskurs 1. Eleverna arbetade då med att se sambandet mellan räknesätten. Eleverna jobbar mycket laborativt genom att hålla för olika saker för att få förståelse att något tas bort. Läraren beskriver också att eleverna tidigt få med sig att subtraktion även betyder skillnad. Vidare arbetade eleverna med spel såsom lilla minus-spelet och stora minus-spelet, tabellerna tränades även på datorn genom olika spel. Eleverna använde tallinjen för att kunna hoppa steg mellan olika tal. De arbetade också med olika strategier såsom tiokompisarna, att se sambandet och kopplingen mellan de olika räknesätten. När det gällde stora minus arbetade de med andra strategier som eleverna kunde använda sig av. Läraren beskriver att undervisningen också ha inriktat sig på räknehändelse för att skapa förståelse för vilka situationer där räknesättet subtraktion kan användas. Jag jobbar också ganska mycket med räknehändelse, antingen att det är jag som säger och de ska skriva uttrycket till eller att de ska komma på egna där så att den kan förstå vilka händelser som är kopplade till just subtraktion. (Matematiklärare för klass X) När det gäller skriftliga räknemetoder har läraren tidigare arbetat med talsortsmetoden och olika mellanled, vilket var populärt när läraren gick sin utbildning. Det var många olika metoder som skulle behandlas och eleverna skulle sedan välja. Läraren beskriver att föräldrar och elever var förvirrade och förstod knappt något samtidigt som läraren själv inte var bekväm att arbeta på det sättet. Utav den anledningen undervisade läraren standardalgoritmen för eleverna i klass X. Vidare berättar läraren att den önskar att 16

21 eleverna räknar uppåt, stegvis beräkning, vid tal som ligger nära varandra. Trots det upplever läraren att elever använder standardalgoritmen och tror det beror på att de känner sig trygga med den metoden samt att det är den metoden de har lärt sig. Standardalgoritmen introduceras med hjälp av pengar, då hundratalen motsvarar hundralappar, tiotalen motsvarar tiokronor och entalen motsvarar enkronor. Läraren visade de olika stegen på tavlan och sedan ha eleverna i grupper arbetat likadant med pengar. Vidare poängterar läraren att den alltid ha sagt att eleverna ska växla och inte låna, eftersom att det är samma tal och att de då kan skapa förståelse för växlingen. Läraren berättar också att den har visat för eleverna då en tiotalsövergång inte sker eller vid lägre tal att de kan använda talsortsmetoden Vilka skriftliga räknemetoder inom subtraktion använder elever? Vissa elever har använt andra räknemetoder än de som tidigare har beskrivits i teoribakgrunden. Dessa har namngets med addition, tallinje, ta bort och ekvationsuttryck. För att tydliggöra vad som menas med var och en räknemetod så kommer exempel från elevernas lösningar att presenteras nedan. Figur 2 addition. Figur 3 tallinje. Figur 4 ta bort. Figur 5 ekvationsuttryck. Det kommer att presenteras fyra olika diagram, över vilka skriftliga räknemetoder eleverna använde sig av. Varje diagram visar vilka räknemetoder eleverna använde sig av vid en sorts karaktär av tal, det vill säga: tal nära varandra, tal där ingen växling sker, tal som kräver en växling och tal som kräver dubbel växling. Diagrammen visar också på hur många fel som gjorts med de olika räknemetoderna. 17