Föreläsningsanteckningar

Transkript

1 Flervariabelanalys, HP 3 Föreläsningsanteckningar Pouya Ashraf I detta dokument är föreläsningsanteckningar till kursen flervariabelanalys, som gavs av Thomas Örnskog på Uppsala Universitet 3. amtliga figurer är ritade med vektorgrafik direkt i L A TEX, så om något inte syns tydligt nog är det bara att zooma in utan att det blir grynigt (fantastiskt, eller hur?). Med Kursboken menas Calculus 7e eller 8e utgåvan. Mycket nöje och lycka till! 7 oktober 7

2 Uppskattar du att all info för kursen finns i detta dokument, så att du (kanske) slipper köpa kurslitteraturen? Känner du att du vill öka min livskvalitet litegrann som tack för arbetet jag lagt ner? wisha valfri summa (typ -3kr) till

3 Innehåll Föreläsning Introduktion Koordinatgeometri i flera variabler Föreläsning 3 Topologiska begrepp Andragradsytor Föreläsning 3 6 Andragradsytor (forts.) Kvadratiska former Cylindriska och sfäriska koordinater Föreläsning 4: Vektorvärda funktioner 8 Föreläsning 5 Båglängd av en kurva Funktioner av flera variabler Föreläsning 6 4 Gränsvärden och kontinuitet Funktioner från R n till R Föreläsning 7: Hopningspunkter, elföljder och Cauchy-följder 7 Föreläsning 8: Likformig kontinuitet Föreläsning 9 Partiella derivator ifferentierbarhet Föreläsning 5 ifferentierbarhet (forts.) Högre ordningens derivator Föreläsning : Kedjeregeln 8 Föreläsning : Gradient och riktningsderivata 3 Föreläsning 3: Inversa- och Implicita funktionssatsen 33 Föreläsning 4 37 Taylorapproximationer Extremvärden Föreläsning 5 4 Extremvärden (forts.) I

4 Extremvärden för funktioner på kompakta områden Föreläsning 6: Lagrangemultiplikatorer 43 Föreläsning 7 46 erivering av integraler Repetition Föreläsning 8: ubbelintegraler 49 Föreläsning 9 5 ubbelintegraler (forts.) Variabelsubstitution för Riemann-integralen Föreläsning : Generaliserade dubbelintegraler 56 Föreläsning 6 Trippelintegraler Variabelbyte i trippelintegraler Föreläsning : Tillämpningar av dubbel- och trippelintegraler 64 Föreläsning 3 67 Vektorfält Konservativa vektorfält Föreläsning 4: Kurvintegraler av vektorfält 7 Föreläsning 5: Greens Formel 74 Föreläsning 6: Ytintegraler 77 Föreläsning 7: Flödesintegraler 8 Föreläsning 8: ivergens och rotation 83 Föreläsning 9: Gauss sats (divergenssatsen) 86 Föreläsning 3: tokes sats 9 Föreläsning 3: Kontinuitets- och värmeledningsekvationen 9 Föreläsning 3: Maxwells ekvationer och vågekvationen 95 Föreläsning 33: Potetialteori 98 Föreläsning 34: ystem av ordinära differentialekvationer Föreläsning 35 4 II

5 ystem av orinära differentialekvationer (forts.) Exakta OE och variation av parametrar Föreläsning 36: Funktionsföljder och likformig konvergens 7 Föreläsning 37 Funktionsföljder och likformig konvergens (forts.) Funktionsserier Föreläsning 38: Funktionsserier 4 Repetition 7 III

6 Föreläsning Introduktion I kursen envariabelanalys studerades funktioner av en variabel. essa typer av funktioner är lätta att askådliggöra eftersom vi kan rita grafen till dem. et finns många fysikaliska problem som kan beskrivas med hjälp av funktioner av en variabel, men för att beskriva fenomen i vår tredimensionella värld behöver vi i allmönhet funktioner av fler än en variabel. Exempel ensiteten hos ett tredimensionellt föremål ges av en funktion ρ(x, y, z) där x, y och z är de tre rumsvariablerna. Hur ska man gå tillväga för att bestämma föremålets massa, masscentrum eller tröghetsmoment? Om vi öppnar ytterdörren till en föreläsningssal kommer temperaturen i en punkt (x, y, z) i rummet att förändras över tiden. Temperaturen är därmed en funktion av fyra variabler T (x, y, z, t). Hur ska man gå tillväga för att bestämma var temperatuern är maximal/minimal eller i vilken riktning som temperatuern förändras snabbast? I varje punkt på jordytan blåser det längs en viss vektor (vars längd och riktning förändras över tiden). Vinden kan beskrivas med ett vektorfält, dvs. en funktion som till varje punkt (x, y) på jordytan ordnar en vektor v(x, y). Hur ska man gå tillväga för att bestämma hur stort arbete som krävs för att flytta ett förmål längs en kurva på jordytan? om synes finns det gott om fenomen som är naturliga att beskriva med funktioner av fler än en variabel, och under kursen kommer vi att ta fram ett antal matematiska metoder för denna typ av funktioner. Relevanta kapitel i kursboken: essa tas upp på duggan: -: Vektorer och vektorvärda funktioner, kurvor, topologi : Funktioner av flera variabler, partiella derivator, kedjeregeln, gradient 3: Extremvärden, optimering edan följer: 4: Integraler, där integrationsintervallet är en yta eller volym 5: Integraler, där integrationsintervallet är en kurva 6: Vektoranalys med fysikaliska tillämpningar ärefter följer moment som inte ingår i båda kurserna: 7 + kompendium: Mer om endimensionella OE + introduktion till system ov OE (F, ej KandMa).

7 Kompendium: Funktionsföljder och Funktionsserier (KandMa, ie F). e två sistnämnda momenten kommer inte att behandlas på tentamen, detsamma gäller materialet från kompendiet i grundläggande topologi. Koordinatgeometri i flera variabler Vi såg i exemplena att vi kommer studera funktoner av flera variabler. Om vi låter antalet variabler vara n, så kommer definitionsmängden till våra funktioner att vara (en del av) mängden av alla n-tuplar x = (x, x..., x n ), av alla reella tal x, x..., x n. enna mängd betecknas R n. Exempel. R (skrivs normalt bara R) motsvarar tallinjen, R ett plan, R 3 det tredimensionella rummet, medan R n, för n > 3, är svårare att askådliggöra sig geometriskt. I R och R 3 använder vi ofta beteckningarna (x, y) respektive (x, y, z) i stället för (x, x ) respektive (x, x, x 3 ). Elementen i mängden R n är vektorer, och precis som för vektorer kan vi definiera vektoraddition, multiplikation med skalär och skalärprodukt. efinition. x + y = (x,..., x n ) + (y,..., y n ) = (x + y, x + y,..., x n + y n ) λ x = λ(x..., x n ) = (λx, λx,..., λx n ) x y = (x,..., x n ) (y,..., y n ) = x y + x y... x n y n Ibland kan det vara praktiskt att tolka elementen i R n som matriser. Om vi använder konventionen att x = (x,..., x n ) är en kolonnmatris så kan vi skriva x y = x T y, där elementen i högerledet ska tolkas som matriser. efinition. Längden av en vektor x i R n ges av x = x x = x + x x n efinition 3. Avståndet mellan två punkter x, y R n ges av x y = (x y ) + (x y ) (x n y n ) efinition 4. Vinkeln mellan två vektorer x, y R n definieras som den vinkel θ [, π], som uppfyller cos(θ) = x y x y

8 ats (Cauchy-chwarz olikhet). För x, y R n, så gäller x y x y med likhet precis då x och y är parallella (dvs. då x = t y, t R). Bevis. Vi antar att x (trivial lösning). kalärprodukten av en vektor med sig själv kan aldrig vara negativ. Låt t R som vi snart ska specificera. å gäller: (t x + y) (t x, y) = t x + t x y + y x y Kvadratkomplettering och ansättning t = x x ( t + ger: ) x y ( x y) + y = y ( x y) x x x x y x y Likhet inträffar precis då t x + y =, dvs. då x och y är parallella. et är relativt enkelt att visa att även trialgelolikheten x + y x + y gäller för x, y R n (utveckla x + y och använd Cauchy-chwarz olikhet). Man kan mäta avstånd i R n på andra sätt än den Euklidiska normen x ovan. Två andra definitioner som bibehåller vissa grundläggande egenskaper ( -olikheten, x med likhet för x =, samt λ x = λ x ) är normerna x = max{ x, x,..., x n } respektive x p = ( x p + x p x n p ), p [, ). Man kan visa att normerna är ekvivalenta med den Euklidiska, dvs. A x p x B x p Föreläsning Topologiska begrepp För att kunna definiera gränsvärden, och i förlängningen kontinuitet och derivata, hos funktioner av flera variabler behöver vi generalisera begreppen öppna/slutna intervall och ändpunkter/inre punkter hos intervall till R n. Vi börjar med att definiera en omgivning till en punkt. efinition 5. En omgivning till en punkt a består av alla punkter som ligger inom ett visst avstånd från a. För ett tal δ >, så är mängden N( a, δ) = { x : x a < δ} en (δ )omgivning till a. I R blir en δ omgivning till a ett intervall på tallinjen, I R blir det en cirkel kring a med radie δ, och i R 3 blir det en sfär med radie δ. efinition 6. Låt M vara en mängd i R n. En punkt a R n är:. inre punkt till M om det finns en omgivning A till a som helt ligger i M (A M). 3

9 . yttre punkt till M om det finns en omgivning B till a som helt ligger utanför M (B M = ). 3. randpunkt till M om a varken är inre eller yttre punkt, dvs om alla omgivningar till a innehåller både punkter som tillhör M och punkter som inte tillhör M. Mängden av alla inre punkter kallas det inre av M och betecknas M. Mängden av alla randpunkter kallas randen till M och betecknas M. En randpunkt kan tillhöra mängden, men behöver inte göra det. efinition 7. Låt M vara en mängd in R n. M är öppen om M = M och sluten om M c är en öppen mängd. Alternativt kan M sägas vara öppen om M M = och sluten om M M i analogi med definitionen av öppna och slutna intervall på R. Exempel. Mängden {(x, y) R : x a + y < } består av en elliptisk skiva. Randen b består av ellipsen med ekvation x a + y =. För varje punkt i mängden finns en omgivning som är helt innehållen i mängden, och består således bara av inre punkter. Mängden b är således öppen. Exempel 3. Mängden {(x, y, z) R 3 : x +y +z = } består av enhetssfären i R 3. Alla omgivningar till punkter på sfären innehåller både punkter på sfären och i dess komplement, så alla punkter på sfären är randpunkter till mängden. ärmed gäller att M M och mängden är sluten. efinition 8. Låt M vara en mängd i R n. et slutna höljet av M ges av M = M M. Från ovanstående definitioner gäller M sluten M M en mängd M är sluten omm. den uppfyller M = M. M = M M, så Man kan också visa att M alltid är en sluten mängd. Komplementet till M är de yttre punkterna till M och de utgör per definition en öppen mängd. efinition 9. En mängd M i R n kallas begränsad om M N(, r), r >. Punkterna i en begränsad mängd ligger på ändligt avstånd från origo. En mängd som är både sluten och begränsad kallas för kompakt. Enhetssfären är ett exempel på en kompakt mängd. Vi återkommer till de topologiska begreppen när vi har infört gränsvärden i 4

10 R n om några kapitel. Vi avslutar med ett resultat om unioner och snitt av öppna mängder. ats. Antag att Ω i R n är öppna för alla i I (indexmängd). å är i I Ω i öppen. En oändlig union av öppna mängder är öppen, men ett oändligt snitt av öppna mängder behöver inte vara öppen (bevis i kompendiet). Exempel 4. Låt Ω n = {(x, y) R : x + y = + n }, för något n Z+. Unionen av Ω n uppfyller n Z + Ω n = Ω eftersom mängderna blir allt mindre. nittet av Ω n uppfyller n Z + Ω n = {(x, y) R : x + y } som är en sluten mängd. Resten av detta kapitel kommer ägnas åt att studera vilka ytor i R 3 som olika linjära och kvadratiska ekvationer i x, y, och z ger upphov till. En linjär ekvation i x, y, och z kan skrivas ax+by +cz = d, a, b, c, d R och är, som bekant, ekvationen för ett plan. Planet z = kallas xy planet, planet y = kallas xz planet, och planet x = kallas yz planet. Om någon av variablerna x, y, eller z saknas kommer den motsvarande ytan att vara parallell med den frånvarande variabeln. Exempel 5. Ekvationen (x + ) + (y ) = motsvaras i R av en cirkel med centrum i (, ) och radie. I R 3 motsvaras ekvationen av en cylinder som är parallell med z axeln. kärningspunkten mellan två tvådimensionella ytor i R 3 utgör i allmänhet en endimensionell kurva i R 3 (vi återkommer till kurvor i kapitel i kursboken). Exempel 6. Vilka punkter (x, y, z) löser ekvationssystemet { x + y = 4 z = Ekvationen x + y = 4 motsvarar en cylinder, och ekvationen z = ett plan. snittet av dessa mängder är en cirkel. 5

11 Andragradsytor En allmän andragradsekvation i variablerna x, y, och z kan skrivas Ax + By + Cz + xy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = I undantagsfall kan detta uttryck faktoriseras till produkten (A x+b y+c z+ )(A x+ B y + C z + ) = varvid lösningarna ges av skärningslinjen mellan två plan. I alla andra fall får vi en så kallad kvadratisk yta som kommer att vara krökt. det finns sex olika typer av kvadratiska ytor och vi inleder nästa kapitel med att studera dessa (ett exempel är enhetssfären som vi redan har tagit upp). Föreläsning 3 Andragradsytor (forts.) En irreducibel andragradsekvation i variablerna x, y, och z motsvarar någon av följande sex typer av krökta ytor:. fär. Ekvationen för en sfär med centrum i punkten (x, y, z ) och radie r är (x x ) + (y y ) + (z z ) = r. Jämför med cirkelns ekvation och avståndsformeln i R 3.. Cylinder. Ekvationen för en cylinder parallell med z axeln ges av (x x ) +(y y ) = r. Analogt är (x x ) + (z z ) = r en cylinder som är parallell med y axeln osv. Ovanstående cylindrar är cirkulära eftersom tvärsnittet är en cirkel. Men en cylinder kan också vara elliptisk, parabolisk eller hyperbolisk om tvärsnittet är en ellips, parabel eller hyperbel. exempelvis är cylindern y = x / parabolisk och parallell med z axeln. 3. Kon. Punkterna (x, y, z) på en kon parallell med z axeln uppfyller att z koordinaten är proportionell mot radien r = x + y, dvs. z = c x + y eller med andra ord z = c (x + y ). Konstanten c ger ett mått på hur snäv konen är. Ovanstående kon är cirkulär, men precis som cylindrar kan koner även vara elliptiska. Motsvarande ekvation för en elliptisk kon är x /a + y /b z /c =. Om minustecknet placeras framför någon av de andra variablerna får vi en kon parallell med motsvarande axel. 4. Ellipsoid. Ekvationen för en ellipsoid med centrum i origo är x /a +y /b +z /c =. Alla tvärsnitt av en ellipsoid är ellipser. 5. Paraboloid. En elliptisk paraboloid parallell med z axeln har ekvationen z = x /a + y /b och en hyperbolisk paraboloid parallell med z axeln har ekvationen z = x /a y /b. 6. Hyperboloid. En hyperboloid x /a + y /b z /c = ± är antingen en- eller tvåmantlad och har ett elliptiskt tvärsnitt i ett koordinatplan och ett hyperboliskt tvärsnitt i ett annat koordinatplan. 6

12 Kvadratiska former Ett kvadratiskt uttryck i x, y, och z kan alltid kvadratkompletteras så att det inte innehåller några förstagradstermer. Vi ska nu studera det kvarvarande uttrycket mer i detalj. Ax + By + Cz + xy + Exz + F yz = ( x y z ) A E x B F y E F C z Uttrycket i högerledet kallas den kvadratiska formen för matrisen A. Vi inför följande begrepp: efinition. A är positivt definit om x T A x >, x R 3 \ {}, positivt semidefinit om x T A x, x R 3 \ {} och indefinit om x T A x antar både positiva och negativa värden. Förutom att kvadratiska former kan relateras till olika ytor i rummet, så kommer de också vara viktiga vid kassificering av extremvärden av funktioner av flera variabler. För att avgöra om en matris är positivt definit kan vi kvadratkomplettera motsvarande kvadratiska form. Exempel 7. Visa att matrisen 3 är positivt definit. Kvadratkomplettering av 3 6 motsvarande kvadratiska form ger: x + y + 6z + xy + 4xz + 6yz =(x + y + z) y 4z 4yz + y + 6z + 6yz =(x + y + z) + y + z + yz =(x + y + z) + (y + z) + z en kvadratiska formen är positiv för alla nollskilda val av (x, y, z), så matrisen är positivt definit. I linjär algebra visas att en matris är positivt definit om alla dess egenvärden (dvs. tal λ som uppfyller A x = λ x för något x) är positiva. Man kan även relatera detta till tecknet på vissa determinanter (ats 8, Kap.7 i kursboken). Cylindriska och sfäriska koordinater Vi såg att kvadratiska ekvationer i R 3 kan ge upphov till cylindrar och sfärer. Om ett problem i R 3 har en sådan geometri är det, som vi ska se, ofta praktiskt att byta koordinatsystem från de vanliga kartesiska koordinaterna till cylindriska eller sfäriska koordinater. 7

13 Cylindriska koordinater fås genom att x och y koordinaterna byts mot polära koordinater, medan z koordinaten är oförändrad. Relationen mellan (x, y, z) och [r, θ, z] blir: x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z Cylindriska koordinater lämpas väl till problem som har axiell symmetri. Notera att r är avståndet från punkten P till z axeln, och inte till origo. Vid radiell symmetri är sfäriska koordinater att föredra. Variabeln ρ motsvarar avståndet till origo (ρ ), variabeln θ är vinkeln mot den positiva x axeln ( θ π), och variabeln ϕ är vinkeln mot positiva z axeln ( ϕ ). Relationen mellan kartesiska och sfäriska koordinater ges av: x = ρ sin(ϕ) cos(θ), y = ρ sin(ϕ) sin(θ), z = ρ cos(ϕ) I kartesiska koordinater motsvarar ekvationerna x = a, y = b, z = c plan i rummet. I cylindriska koordinater motsvarar r = a ett cylindriskt skal med radie a som är parallellt med z axeln och θ = b motsvarar ett halvt plan som är ortogonalt med xy planet. I sfäriska koordinater motsvarar ρ = a ett sfäriskt skal med radie a, ϕ = b motsvarar en cirkulär kon kring z axeln och θ = c har samma tolkning som för cylindriska koordinater. Liknande koordinatbyten kan göras även för R n, n > 3, men är förstås svårare att visualisera sig. Låt exempelvis (x, y, z, w) R 4 och låt [ρ, ϕ, θ ] vara de sfäriska koordinaterna för tre dimensioner. å gäller w = ρ cos(ϕ), ρ = ρ sin(ϕ), och relationen mellan kartesiska och sfäriska (fyrdimensionella) koordinater blir: x = ρ sin(ϕ) sin(ϕ ) cos(θ ), y = ρ sin(ϕ) sin(ϕ ) sin(θ ), z = ρ sin(ϕ) sin ϕ, w = ρ cos(ϕ) Föreläsning 4: Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion av en variabel med värden i R n, dvs en funktion på formen t x(t) = (x (t), x (t),..., x n (t)) kallas för en n-dimensionell kurva i R n. För n = talar man om en plan kurva, och för n = 3 om en rymdkurva. Variabeln t kallas parameter, och dess definitionsmängd är vanligen ett intervall på den reella axeln. Parametern ger upphov till en riktning i vilken kurvan genomlöps. om nästa exempel visar kan en och samma kurva uttryckas med flera olika parameterframställningar (val av funktion och definitionsmängd). Exempel 8. Ellipsen x a + y b = i planet har parameterframställningen x = a cos(θ), 8

14 y = b sin(θ) för θ [, π) eftersom det då gäller att: x a + y b = a cos(θ) + b sin(θ) a b = cos (θ) + sin θ = Om a = b = r får vi en cirkel. På samma sätt inses att cirkeln (x ) + y = har 4 parameterframsällningen x = ( + cos(θ), y = sin(θ) för θ [, π) Exempel 9. Avgör vilken kurva som har parameterframsällningen x = + t, y = t + t, t R. Vi eliminerar parametern t. ivision av ekvationerna för x och y ger: x y = + t t + t = t x = ( y ) = x x + + y x x = x + y = x x x + y = ( x ) + y = 4 etta är samma kurva som i exemplet innan. Observera dock att origo inte kommer med om vi använder den andra parametriseringen. Positiva värden på t ger övre halvan av kurvan och negativa värden på t ger undre halvan av kurvan. e plana kurvorna ovan kunde beskrivas med en ekvation i x och y. För att beskriva en rymdkurva i parameterfri form krävs ett ekvationssystem med två ekvationer i x, y, och z (varje ekvation motsvarar en yta i rummet). Exempel. Parametrisera skärningskurvan mellan ytorna z + x y =, och x + y = Kurvan z + x y = är undre halvan av enhetssfären x + y + z = (den del som ligger under xy planet). Ekvationen x + y = motsvarar ett plan. Vi sätter x = t (y = t fungerar lika bra) och får: y = x = t, z = x y = t ( t) = t ( t + t ) = t t Rotuttrycket är definierat då t( t), vilket inträffar då både t och ( t) är positiva (de kan inte båda vara negativa), dvs. då t [, ]. En parameterframställning är alltså x(t) = (t, t, t( t)), t [, ] 9

15 Om parametern t får beteckna tiden, så kan r(t) = (x(t), y(t), z(t)) tolkas som läget hos en partikel vid tiden t. Om funktionerna x(t), y(t), z(t) alla är deriverbara så kan vi definiera vektorn r (t) = d r(t + h) r(t) r(t) = lim = (x (t), y (t)z (t)). Vi kallar dt h h r (t) tangentvektorn till kurvan i punkten r(t). Om r(t) tolkas som partikelns läge så kan r (t) tolkas som partikelns hastighet och r (t) som dess fart vid tiden t. Vidare kan r (t) = (x (t), y (t)z (t)) tolkas som partikelns acceleration vid tiden t. Precis som för vektorer kan vi definiera skalär- och vektorprodukt för vektorvärda funktioner. Följande sats, som är en enkel följd av räknereglerna för derivatan av skalärvärda funktioner av en variabel, ger en produktregel för skalär- och vektorprodukter. ats 3. Låt u(t) och v(t) vara två vektorvärda funktioner i en variabel och låt λ(t) vara en skalärvärd funktion. å gäller:. d dt ( u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t). d dt ( u(t) + v(t)) = u (t) + v (t) 3. d dt ( u(t) v(t)) = u (t) v(t) + u(t) v (t) 4. d dt ( u(λ(t))) = λ (t) u (λ(t)) Observera att fjärde formeln visar att tangentvektorns riktning är oberoende av val av parameterframställning. Exempel. Låt r(t) vara läget på en partikel vid tiden t. Visa att om kraften på partikeln är parallell med r(t), så är r (t) r(t) konstant. Enligt Newtons andra lag så gäller sambandet F (t) = m r (t) mellan en kropps acceleration r (t) och kraften F (t) som verkar på kroppen. I detta fall gäller därmed r (t) = m F (t) = k m r(t) för någon konstant k. Vi undersöker derivatan av r (t) r(t): d dt ( r (t) r(t)) = r (t) r(t) + r (t) r (t) = k r(t) r(t) = }{{} m }{{} = = erivatan av r (t) r(t) är alltså noll, vilket implicerar att funktionen r(t) r(t) måste vara konstant. ituationen i exemplet gäller för planeterna i solsystemet om vi väljer att låta solen ligga i origo. Betrakta nu ett kort tidsintervall h. Arean av den skuggade triangeln i figuren är, enligt den geometriska tolkningen av vektorprodukten, lika med

16 ( r (t)h) r(t) = h r (t) r(t) Vi visade i exemplet att vektorn r (t) r(t) är konstant. Arean som översveps av en planet i solsystemet per tidsenhet är därför r (t)h r(t) h lim h h ( r (t)h) r(t) = r (t) r(t) = konstant etta är Keplers andra lag för planetbanorna i solsystemet. en härleddes empiriskt från planetobservationer i början av 6-talet. Vektorn r (t) r(t) är en konstant vektor som hela tiden är vinkelrät mot r(t). etta innbeär att r(t) måste ligga i ett och samma plan. etta är också en följd av keplers andra lag som säger att planetbanorna är elliptiska. Att elliptiska banor uppfyller villkoret i exemplet ovan ges av: r(t) = (a cos(kt), b sin(kt)), r (t) = ( ak cos(kt), bk sin(kt)) = k r(t) r (t) = ( ak sin(kt), bk cos(kt)) Föreläsning 5 Båglängd av en kurva Låt nu r(t), t [a, b], vara en två- eller tredimensionell kurva, vars komponenter är deriverbara funktioner. Vi ska bestämma längden av kurvan. Precis som när vi bestämde båglängden av en funktionsgraf, så delar vi in parameterintervallet i n stycken delintervall: a = t = < t < t <... < t n = b. På varje delintervall [t i, t i ] kan kurvan approximeras av r(t i ) r(t i ), så kurvans längd är minst: s n = n r(t i ) r(t i ) = i= n r(t i ) r(t i ) t i t i s n är en Riemannsumma som under vissa villkor på kurvan konvergerar mot integralen ˆb d dt r(t) dt. Låt nu r(t) = (x(t), y(t), z(t)) å gäller a d dt r(t) = (x (t), y (t), z (t)) = x (t) + y (t) + z (t), i=

17 å båglängden av av kurva ges av s = ˆb a x (t) + y (t) + z (t) dt Exempel. Bestäm längden av kurvan r(t) = ( cos(t), sin(t), 3 t3/ ), t [, π]. Kurvan är en spiral kring z axeln som sträcks ut allt mer. ess längd ges av: s = ˆπ ( sin(t)) + ( cos(t)) + (t / ) dt = ˆπ 4 + tdt = [ (4 + t)3/ 3 ] π = 3 ((4 + π)3/ 8) Längden av en kurva mellan två punkter är oberoende av val av parametrisering. Ibland kan det vara praktiskt att välja båglängden som parameter för kurvan, dvs. r(s). För att byta parameter från den ursprungliga parametern t till båglängden s utnyttjar vi formeln t för båglängden s(t) = r (t) dτ, ur vilken vi kan lösa ut t som funkion av s och sätta t r(t(s)). En fördel med att ha båglängden som parameter är att: ds dt = r (t) dt ds = r (t(s)) d ds r(t(s)) = r (t) d r (t) dt r (t(s)) vilket innebär att tangentvektorn alltid är en enhetsvektor. Funktioner av flera variabler Låt vara en mängd i R n. En funktion av n variabler tilldelar till varje element (x, x,..., x n ) en punkt f(x, x,..., x n ) R. Fallet n = har vi studerat i kursen envariabelanalys. För n = kan funktioner beskrivas geometriskt med grafer. För n = och n = 3, som vi främst kommer behandla i denna kurs, finns ingen lika bra geometrisk beskrivning av funktioner. Betrakta fallet n =, så att f är en funktion av de båda variablerna x och y. efinitionsmängden ligger i xy planet och grafen till f är den tredimensionella punktmängden {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y }. Grafen till f bildar en yta i rummet uppspänd rakt ovanför definitionsmängden. Om funktionen har en symmetri av något slag blir det enklare att rita grafen till denna. Ett exempel är radiell symmetri:

18 Exempel 3. kissa grafen till funktionen f(x, y) = ln(x + y ), < x + y 4. I xy planet ges avståndet r till origo av r = x + y, så funktionen kan skrivas f(x, y) = ln(x + y ) = ln(r ) = ln(r), r (, ]. å vi får grafen till f genom att rotera grafen till z = ln(r) kring z axeln. z 4 z = ln(r) r et kan vara svårt att rita tredimensionella ytor på ett bra sätt. Ett alternativ kan då vara att rita de så kallade nivåkurvorna f(x, y) = c i xy planet för olika värden på konstanten c. en resulterande figuren liknar en topografisk karta (höjdkurvor) över funktionen. Jämför även väderkartornas isotermer och isobarer. Exempel 4. kissa nivåkurvorna till funktionen f(x, y) = ln(x +y ) för c = {,,, }. en radiella symmetrin gör att nivåkurvorna måste vara koncentriska cirklar. Nivåkurvan för c = blir enhetscirkeln. c = ger = ln(x + y ) x + y = e y cirkel med radie e.65 x c = och c = ger slutligen x + y = e respektive x + y = e Om avståndet mellan c värdena är konstant, som i detta exempel, så betyder glesa nivåkurvor att funktionen förändras sakta och täta nivåkurvor att funktionen förändras snabbt, i analogi med höjdkurvor på en karta. Om inget annat anges är definitionsmängden till en funktion f av n variabler det största mängd i R n för vilken f(x, x,..., x n ) är väldefinierat för alla (x, x,..., x n ). Exempel 5. Bestäm definitionsmängden till funktionen f(x, y) = ln x + y x y. 3

19 f är definierad då x + y >. Beroende på x y om x y > eller om x y < får vi två olika fall: y x + y x y > : x y > x + y > x < y < x x + y x y < : x y < x + y < x < y < x x Olikheten i första fallet är rimlig när x > och olikheten i andra fallet är rimlig när x <. Betrakta nu fallet n = 3. Grafen består då av en fyrdimensionell punktmängd som vi inte kan visualisera. Vi får i allmänhet nöja oss med att hitta eventuella symmetrier och skissa funktionens nivåytor f(x, y, z) = c. Exempel 6. Nivåytorna till funktionen f(x, y, z) = x + y + 3z är koncentriska ellipsoider med centrum i origo. Föreläsning 6 Gränsvärden och kontinuitet Vi ska nu definiera gränsvärden för vektorvärda funktioner och funktioner av flera variabler. Alla dessa funktioner kan generellt skrivas som en funktion från R n till R p för några positiva heltal n och p. Till varje punkt x = (x, x,..., x n ) R n ordnar funktionen f ett element f( x) R p. f:s komponenter kan skrivas f( x) = (f (x, x,..., x n ), f (x, x..., x n ),..., f p (x, x..., x n )). Om n =, p > får vi en vektorvärd funktion av en variabel (kurva, yta). Om n >, p = får vi en funktion av flera variabler. För att kunna ta fram en differential- och integralkalkyl för funktioner från R n till R p behöver vi en definition av gränsvärde. efinition. Låt f vara en funktion från R n till R p med definitionsmängd och antag att a är en inre punkt eller randpunkt till. Vi säger då att f har gränsvärdet b R p 4

20 om det till varje tal ε > finns ett tal δ > så att } x a < δ f( x) x b < ε etta skrivs lim x a = b eller f( (x) b då x a. Man kan fråga sig hur gränsvärdena lim f( x) och lim f j ( x) är relaterade. Låt därför x a x a y = (y, y,..., y p ) R p och notera at y kan skrivas y = y e + y e +... y p e p för e = (,,..., ), e (,,,..., ),..., e p = (,...,, ) Triangelolikheten ger y = y e y p e p y e y p e p = y y p. amtidigt gäller förstås y = y + y yp yj = y j för alla j {,..., p}. ammanfattningsvis får vi, om vi byter ut y mot f( x) b, f j ( x b j f( x) b f ( x) b f p ( x) b p. etta innbär att lim x a f( x) = b precis då lim x a f j ( x) = b j för alla j {,..., p}. Gränsvärden för vektorvärda funktioner kan reduceras till gränsvärden av de reellvärda komponenterna. etta var anledningen till att vi kunde definiera derivatan av en parametriserad kurva genom att derivera kurvans komponenter. Under återstoden av detta kapitel kommer vi därför att arbeta med funktioner från R n till R. Funktioner från R n till R Gränsvärden av funktioner av flera variabler uppfyller samma räkneregler som för funktioner av en variabel. Om lim f( x) = L och lim g( x) = M, så gäller: x a x a lim(f( x) + g( x)) = L + M, lim x a f( x)g( x) = LM, lim x a f( a) x a g( x) = L M, M För funktioner av en variabel skilde vi på vänster- och högergränsvärden beroende på från vilket håll som vi närmade oss den punkt i vilken vi ville veta gränsvärdet. Om vänster- och högergränsvärdena sammanföll, så var de lika med gränsvärdet i punkten. För funktioner av flera variabler kan vi närma oss en viss punkt längs oändligt många kurvor. Vi kan rimligen inte bestämma gränsvärdet längs var och en av dessa kurvor och kan inte bestämma gränsvärden med denna metod. Vi inleder med ett par exempel: För att visa att ett gränsvärde lim x a f( x) inte existerar räcker det att hitta två olika, väl valda kurvos som går mot a och för vilka f( x) närmar sig olika värden. 5

21 Exempel 7. Visa att gränsvärdet lim (x,y) (,) xy inte existerar. x + y Vi provar med de båda räta linjerna (x, y) = (t, ) respektive (x, y) = (t, t). en första ger: Gränsvärdena är olika, så gränsvärdet Vi tar ett ännu knepigare exempel. t t t lim = och den andra ger lim t t + t t + t = lim (x,y) (,) xy kan inte existera. x + y Exempel 8. Visa att gränsvärdet lim (x,y) (,) x 4 y 3 inte existerar. (x 4 + y ) Vi provar med alla räta linjer (x, y) = (t, kt) respektive (x, y) = (, t). essa ger: t 4 (kt) 3 lim t (t 4 + (kt) ) = lim t k t 6 (t 4 + k t ) = lim t k t (t + k ) =, k För (x, y) = (, t) och (x, y) = (t, ) är funktionerna identiskt lika med noll. Gränsvärdet är noll längs alla räta linjer. Längs parabeln (x, y) = (t, t ) får vi dock gränsvärdet: å gränsvärdet existerar ej. t 4 (t ) lim t (t 4 + (t ) ) = lim t 8 t (t 4 ) = Att visa att ett gränsvärde existerar är ofta ganska svårt. Ibland kan vi dock reducera problemet till ett endimensionellt gränsvärde. Exempel 9. Visa att Vi kan skriva lim (x,y) (,) ln( + xy) = för x >, y >. xy + x 3 y3 ln( + xy) ln( + xy) = xy + x 3 y3 xy( + (xy) ) ln( + t) = t( + t ) (ansätt t = xy) Vi ser att x och y endast förekommer i kombinationen xy och sätter detta till en ny variabel. När (x, y) (, ) så gäller t, och ln( + xy) lim (x,y) (,) xy + x 3 y 3 = lim ln( + t) t t(t + t ) = lim ln( + t) t t + t = Med hjälp av gränsvärdesdefinitionen för funktioner från R n till R kan vi nu definiera kontinuitet. (Fallet R n R p behandlas komponentvis). 6

22 efinition. Låt f vara en funktion från R n till R med definitionsmängd. Vi säger att f är kontinuerlig i punkten a om lim = f( a). f är en kontinuerlig funktion om x a f är kontinuerlig i varje punkt a Från räknereglerna för gränsvärden inses att summan, produkten, och sammansättningen osv. av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig. För kontinuerliga funktioner från R n till R finns en motsvarighet till satsen om mellanliggande värden. Motsvarigheten till intervall i R n är följande. efinition 3. En mängd R n är en bågvis sammanhängande mängd om det för varje par a, b av punkter i finns en kontinuerlig funktion x från [α, β] till R n som uppfyller x(α) = a, x(β) = b och x( t) t [α, β]. ats 4. Om R n är en bågvis sammanhängande mängd och f : R p är kontinuerlig så är f() en bågvis sammanhängande mängd. Föreläsning 7: Hopningspunkter, elföljder och Cauchyföljder Målet med detta och nästa kapitel är att ta fram ett nytt, och starkare, kontinuitetsbegrepp: likformig kontinuitet. Lite vagt kan man säga att en funktion är likformigt kontinuerlig på ett intervall om funktionen är kontinuerlig och förändras ungefär lika snabbt i alla punkter. På vägen kommer vi att behöva definiera och undersöka ett antal nya begrepp som är av intresse i sig. Vi kommer att börja med att studera talföljder i R n. efinition 4. Låt { a} n= vara en talföljd i R n och b en punkt i R n. Vi säger att b är en hopningspunkt till talföljden { a} om det till varje omgivning N till b finns oändligt många index sådan att a n N. Vi säger att talföljden { a n } n= konvergerar mot b om det till varje omgivning N till b finns ett tal N så att a n N för alla n N (dvs. att gränsvärdet av en konvergent talföljd är en hopningspunkt). Men även divergenta talföljder kan ha hopningspunkter. Exempel. Talföljden { a n } n= där a n = sin( nπ ) antar värdena,,,-,,,,-. Talföljden oscillerar och är därför inte konverget. en har dock tre hopningspunkter: -, och. För varje omginvning N av -, för varje omgivning N av, och varje omgivning 7

23 N av, så gäller a n N för n {3, 7,...} }{{} oändligt många index a n N för n {,, 4...} }{{} a n N för n {, 5, 9...} }{{} oändligt många index oändligt många index Alla hopningspunkter har egenskapen i exemplet oven att genom att välja ut bara en del av indexen kan vi få en ny talföljd (en delföljd av den ursprungliga följden) som konvergerar mot hopningspunkten. Vi visar detta. ats 5. Punkten b är en hopningspunkt till talföljden { a n } n= omm. det finns en delföljd av { a n } n= som konvergerar mot b. Bevis. Antag först att b är en hopningspunkt till talföljden och låt N j = N( b, j ) vara omgivningar till b för j {,, 3,...}. Varje sådan omgivning innehåller oändligt många a n. Välj först n, så att a n N. Välj därefter n, så att n > n och a n N och sedan n 3 så att n 3 > n och a n3 N 3 osv. Vi får en delföljd { a nk } k= där a n k N k. Låt ni N vara en godtycklig omgivning till b. å finns det ett K så att N k N för alla k > K och följdaktligen gäller a nk N K N för alla k > K. elföljden { a nk } k= konvergerar mod b. Omvändningen är relativt enkel och hoppas över. Innan vi fortsätter studera hopningspunkter behöver vi en viktig definition. Betrakta en mångd reella tal som är uppåt begränsad. Ett av axiomen för de reella talen säger att det finns en minsta övre begränsning, kallad supremum, till. Observera skillnaden mellan max a a och sup a a. et öppna intervallet (, ) har inget maximum, eftersom det inte finns något största tal i mängden. äremot är talet det minsta tal som är större än alla andra tal i mängden (, ). Vi ska nu visa Bolzano-Weierstrass tats som visa sig vara mycket användbar. asten säger när vi kan vänta oss att hitta hopningspunkter. ats 6. Bolzano-Weierstrass sats. Varje begränsad talföljd i R n har minst en hopningspunkt. Vi visar satsen i R (se kompendiet för generaliseringen till R n ). Ett exempel på en obegränsad talföljd som saknar hopningspunkter är {a n } n= med a n = n. Bevis. Vi antar att tölföljden {a n } n= antar oändligt många olika värden (i annat fall får vi situationen i exemplet a n = sin( nπ ), och är färdiga direkt). Talföljden är begränsad, så a n [β, γ] för några β, γ R. Vi delar intervallet [β, γ] i två lika stora delar. Minst ett av intervallen innehåller oändligt många värden i talföljden. Vi kallar detta intervall [b, c ]. ela intervallet [b, c ] i två lika stora delar och kalla ett delintervall som innehåller 8

24 oändligt många värden i talföljden [b, c ]. Vi får en följd av intervall {[b n, c n ]} n= med följande egenskaper:. c n b n = β γ n. [b n, c n ] [b n, c n ]... [b, c ] [β, γ] 3. [b n, c n ] innehåller oändligt många värden i talföljden. Mängden Q = {b n : n N} är begränsad och har ett supremum t. Vi vill visa att t är en hopningspunkt till talföljden och tar en godtycklig omgivning (t ε, t + ε) till t. Vi vill visa att (t ε, t + ε) innehåller oändligt många element i talföljden {a n } n=. Eftersom t är ett supremum till Q så gäller t ε < b n t för något tillräckligt stort n och per konstruktion t ε < b n b m t för alla m n. Om vi nu väljer m så stort att γ β m < ε så ser vi att t ε < b m c m < t + ε. Eftersom intervallet [b m, c m ] innehåller oändligt många värden i talföljden så följer nu satsen. En begränsad talföljd har alltså minst en hopningspunkt. Om den har fler än en hopningspunkt kan den inte vara konvergent, så en konvergent, begränsad talföljd har precis en hopningspunkt. Vi ska nu införa ett nytt konvergensbegrepp för talföljder och visa att det är ekvivalent med det vanliga konvergensbegreppet (men kräver inte att vi vet gränsvärdet). efinition 5. Låt { a n } n= vara en talföljd i R n. Talföljden sägs vara en Cauchyföljd om det för varje ε > finns ett tal N så att a n a m < ε för alla n, m > N. ats 7. En Cauchyföljd i R n är konvergent (omvändningen visas i kompendiet). Bevis. Antag att { a n } n= är en Cauchyföljd. å finns (för ε = ) ett N så att a n a m < för alla n, m N. etta implicerar: a n a a N + a N < + a N (å { a n } n=n är en begränsad talföljd) Enligt Balzano-Weierstrass sats finns minst en hopningspunkt t och enligt tidigare sats en delföljd { a Nk } k= som konvergerar mot t. Fixera ε >. Enligt förutsättningarna finns ett N så att a nk t < ε. För alla n N får vi då: a n t = a n a nk + a nk t a n a n + a nk t ε + ε = ε lim n a n = t 9

25 Föreläsning 8: Likformig kontinuitet I förra kapitlet studerade vi hopningspunkter och kom bland annat fram till att en begränsad talföljd har minst en hopningspunkt. Vi kommer att ha användning av denna sats när vi i detta kapitel studerar likformig kontinuitet. En funktion f : R n R p är kontinuerlig i ett område R n om den är kontinuerlig i varje punkt a. En funktion f : R n R p är kontinuerlig i a om lim x a f( x) = f( a) eller, med ε δ formalism: ε >, δ >, x : x a < δ f( x) f( a) < ε. När vi använda gränsvärdesdefinitionen under kursen i envariabelanalys, såg vi att talet δ berodde på ε. Ju mindre vi valde ε, desto mindre var vi tvungna att välja δ och vice versa. Men ofta beror talet δ också på vilken punkt a vi befinner oss i. I en punkt a där funktionen förändras snabbt måste vi, för ett givet ε, välje δ mycket mindre än i en punkt där funktionen förändras långsamt. Exempel. Låt = [, ) och betrakta de kontinuerliga funktionerna f(x) = x och g(x) = x. Beror valet av δ på vilken punkt vi befinner oss i? Låt ε > och a [, ) vara godtyckliga. Vi ska undersöka vilket δ > vi ska välja för att vara sökra på att f(x) f(a) < ε. f(x) f(a) = x a = ( x a)( x + a) = x a x a x + a x + a x a et följer att om vi väljer δ = ε så implicerar x a < δ att f(x) f(a) < δ = ε som önskat. Vi kan alltså välja δ oberoende av a. Anledningen är att funktionskurvan planar ut och förändras allt långsammare. Låt återigen ε > och a [, ) vara godtyckliga och undersök vilket δ > vi ska välja för att g(x) g(a) < ε. g(x) g(a) = x a = (x + a)(x a) = x + a x a Termen x a kan begränsas genom att välja δ litet, men hur litet vi än väljer δ, så kan ändå g(x) g(a) bli godtyckligt stort om a [, ) är tillräckligt stort. Valet av δ beror således på a. Om a är litet kan vi välja δ mycket större än om a är stort. etta beror på att funktionskurvan får allt brantare lutning. Om vi kan välja δ oberoende av a, så säger vi att funktionen är likformigt kontinuerlig på. Mer formellt har vi följande definition: efinition 6. Låt R n och f : R p. Vi säger att f är likformigt kontinuerlig på om det för varje ε > finns ett δ >, så att det för alla x, y gäller att: x y < δ f(x) f(y) < ε.

26 Man kan fråga sig om det finns några generella villkor som avgör om en kontinuerlig funktion på ett område också är likformigt kontinuerlig. I exemplet ovan var området begränsat och då var den funktion vars lutning var begränsad likformigt kontinuerlig. Betrakta nu en kontinuerlig funktion på ett begränsat område. Om området är öppet kan funktionen mycket väl vara obegränsad. Ett exempel ges av f(x) = på intervallet x (, ). et är relativt lätt att visa att denna funktion är kontinuerlig men inte likformigt kontinuerlig på det givna intervallet. Om området däremot är slutet, dvs kompakt, så kan man visa att värdemängden till en kontinuerlig funktion är kompakt (ats 3. i kompendiet) med hjälp av Bolzano-Weierstrass sats. et visar sig att kontinuitet då medför likformig kontinuitet. ats 8. Låt K vara en kompakt mängd i R n och låt f : K R p vara kontinuerlig. å är f likformigt kontinuerlig på K. Bevis. Vi visar detta med ett motsägelsebevis och antar därför att K är kompakt och att f är kontinuerlig men samtidigt inte likformigt kontinuerlig på K. et sistnämnda betyder att det finns ett ε > sådant att hur litet vi än väljer δ >, så kan vi hitta tal x, y K så att x y < δ men f( x) f( y) ε. I synnerhet kan vi hitta två punktföljder { x n } n= och { y n } n= som uppfyller x n y n < n och f( x n f( y n )) ε. Talföljden { x n } n= är begränsad ( x n K) och har, enligt Bolzano-Weierstrass sats, en hopningspunkt t. ärmed har { x n } n= en delföld { x nk } k= som konvergerar mot t K. För motsvarande delföljd { y nk } k= nu { y n} n= gäller: y nk t y nk x nk + x nk t + x nk t n k Båda termerna i högerledet blir godtyckligt små för tillräckligt stora värden på k. ärmed konvergerar även { y nk } k= mot t. Eftersom f är kontinuerlig så gäller det även att f( x nk ) f( t) och att f( y nk f( t)). Från detta kan vi komma fram till en motsägelse, ty vi har < ε f( x nk ) f( y nk ) f( t) f( t) = och en talföljd som jämt är större än ett positivt tal kan inte konvergera mot noll. När vi diskuterade integraler under kursen envariabelanalys, så nämnde vi att kontinuerliga funktioner på slutna, begränsade intervall är integrerbara. etta beror på att de är likformigt kontinuerliga. En funktion f är integrabel på ett intervall [a, b] om det för varje ε > finns en partition P av [a, b] så att U(f, P ) L(f, P ) < ε, där n n U(f, P ) = M i (x i x i ) L(f, P ) = m i (x i x i ) M i = i= i= sup {f(x)} m i = inf x [x i,xi ] x [x i,xi ] {f(x)}

27 En kontinuerlig funktion på ett kompakt intervall är likformigt kontinuerlig, så det finns ett δ så att för alla x, y [a, b], så gäller f(x) f(y) <. Om vi väljer partitionen P b a så att max{ x i } < δ, så vet vi med säkerhet att M i m i < och detta implicerar b a U(f, P ) L(f, P ) = n i= (M i m i )(x i x i ) < ε b a Vilket i sin tur implicerar att funktionen f är integrabel. n x i x i = ε i= } {{ } b a Föreläsning 9 Partiella derivator Ett enkelt sätt att studera en funktion f(x, x,..., x n ) av flera variabler är att undersöka hur varje variabel för sig påverkar funktionen. Vi fixerar därmed alla variabler utom en och betraktar funktionerna: f(x, a, a 3,..., a n ), f(a, x, a 3,..., a n ), f(a,..., a n, x n ) Geometriskt innebär detta att vi studerar funktionens beteende längs räta linjer som är parallella med koordinataxlarna. e n funktionerna ovan är vanliga funktioner av en variabel och vi kan definiera deras derivator på vanligt sätt. Låt nedan e j vara den j :te standardbasvektorn. efinition 7. Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden (f) till en funktion f : R n R. Om gränsvärdet f( a + h e j ) f( a) lim h h = lim h f(a,..., a j, a j + h, a j+,..., a n ) f(a,..., a n ) h existerar så säger vi att f är partiellt deriverbar med avseende på variabeln x j i punkten a. Gränsvärdet betecknas f j( a) eller f x j ( a) och kallas den partiella derivatan med avseende på x j i punkten a. Om alla partiella derivator f j( a), j {,..., n}, existerar så sägs f vara partiellt deriverbar i a. e partiella derivatorna kan användas för att definiera funktioner f j vars funktionsvärde i en punkt x ges av den partiella derivatan f j( x). Vid partiell derivering betraktas alla variabler, utom den man deriverar med avseende på, som konstanter. Partiell derivering är därmed egentligtn derivering av en funktion av en variabel, så samma deriveringsregler gäller som för funktioner av en variabel.

28 Exempel. Bestäm f (x, y) och f (x, y) för f(x, y) = x x + y. För att bestämma f (x, y) betraktar vi y som en konstant och får: f (x, y) = (x + y) x (x + y) = y (x + y) För att bestämma f (x, y) betraktar vi x som en konstant och får, med omskrivningen f(x, y) = x(x + y) : f (x, y) = x( )(x + y) () = x (x + y) Från ovanstående exempel ser vi att funktionen f(x, y) är en lösning till den partiella differentialekvationen x f x + y f =, ty x f y x + y f ( ) ( y = x y + y x ) = (x + y) (x + y) Man kan faktiskt visa att alla funktioner på formen f(x, y) = g( y ) löser den givna x partiella differentialekvationen. Kedjeregeln ger nämligen f x f y ( y ) ( y ) = g = y ( y ) x x x x g x ( y ) ( y = g = x y x) ( y ) x g x x f x + y f ( y = x y ) ( y ) g + y ( y ) x x x g x Notera vidare att om en partiellt deriverbar funktion f(x, y) uppfyller f (x, y) =, R, så är f oberoende av x, dvs. f(x, y) = φ(y) för någon funktion φ. (x, y) I kursen envariabelanalys visade vi att en deriverbar funktion är kontinuerlig. En partiellt deriverbar funktion av flera variabler bahöver dock inte vara kontinuerlig, vilket nästa exempel visar xy Exempel 3. Funktionen f är definierad som f(x, y) = för (x, y) (, ) x + y och som f(, ) =. Funktionen är partiellt deriverbar utanför origo med också i origo eftersom det är identiskt lika med noll på koordinataxlarna. Alltså gäller f (, ) = f (, ) =. Funktionen är dock inte kontinuerlig eftersom när vi närmar oss origo längs linjen y = x så får vi gränsvärdet som är skilt från funktionsvärdet i origo. t t lim f(t, t) = lim t t t + t = Partiell deriverbarhet är därför ingen lämplig flerdimensionell motsvarighet till deriverbarhet i en variabel och vi hittar nedan en bättre motsvarighet. 3

29 ifferentierbarhet Om en funktion av en variabel är deriverbar i en punkt a och där har derivatan f (a), så innebär det att f(a + h) f(a) lim h h φ(h) {( }} ){ f(a + h) f(a) = f (a) lim f (a) h h Funktionen φ(h) är definierad för alla h sådana att f(a + h) (f), och uppfyller φ(h) =. f är alltså deriverbar i punkten a om det finns en konstant A och en lim h funktion φ(h) sådan att f(a + h) f(a) = Ah + φ(h)h, där lim h φ(h) = Om vi kallar a+h för x, så får vi h = x a och f(x) = f(a)+f (a)(x a)+φ(x a)(x a), så termen φ(x a)(x a) blir felet vid linjär approximation av funktionen f. Vi utvidgar denna definition till flera variabler. efinition 8. Låt a vara en inre punkt i definitionsmängden till en funktion f av n variabler. Vi säger att f är differentierbar i punkten a om det finns konstanter A,..., A n och en funktion φ( h) sådan att f( a + h) f( a) = A h + A h A n h n + φ( h) h där lim h φ( h) = Precis som konstanten framför h i det endimensionella fallet var derivatan f (a), så är konstanterna A,..., A n i det flerdimensionella fallet de partiella derivatorna av f. För att visa detta kan vi sätta h = t e j och får då f( a + t e j ) f( a) t = A jt t + φ(t e j ) t e j t A j, då t Men enligt definitionen av partiell derivata är ovanstående gränsvärde lika med f j( a). Alltså gäller: ats 9. En differentierbar funktion är partiellt deriverbar och A j = f j( a), j {,..., n} ats. En differentierbar funktion är kontinuerlig. Bevis. lim f( a + h) = f( a) + lim (A h A n h n + φ( h) h ) = f( a) h h 4

30 Föreläsning ifferentierbarhet (forts.) I förra kapitlet sade vi att en funktion f(x, y)var differentierbar i en punkt (a, b) om det fanns konstanter A = f (a, b), A = f (a, b) och en funktion φ sådan att f(a + h, b + k) f(a, b) = f }{{}}{{} (a, b)h + f }{{} (a, b)k + h + k }{{} φ(h, k) }{{} f( a+ h) f( a) A h A h h φ( h) där lim (h,k) (,) φ(h, k) =. Låt nu x = a + h, y = b + k, så vi får följande uppskattning av f(x, y): f(x, y) = f(a, b) + f (a, b)(x a) + f (a, b)(y b) + h + k φ(h, k) Tangentens motsvarighet i två dimensioner blir tangentplanet z = f(a, b) + f (a, b)(x a) + f (a, b)(y b) Exempel 4. Bestäm tangentplanet till paraboloiden z = x + y i punkten (,, 3). Funktionen f(x, y) = x + y är differentierbar (motivering nedan) och har partiella derivator f (x, y) = x samt f (x, y) = 4y, vilket ger f (, ) = och f (, ) = 4. Tangentplanet har således ekvationen z = 3 + (x ) + 4(y ) x + 4y z = 3 Normalvektorn till ett plan med ekvation ax + by + cz = d är ju (a, b, c), så från tangentplanets ekvation f (a, b)x + f (a, b)y z = d inses att funktionsytan z = f(x, y) i punkten (a, b, f(a, b)) har normalvektorn n = (f (a, b), f (a, b), ). Tangentplanet kan användas för att göra linjär approximation av en funktionsyta. Vi återkommer till detta senare när vi tar upp Taylorapproximationer av funktioner av flera variabler. En differentierbar funktion var partiellt deriverbar och kontinuerlig. Följande sats ger tillräckliga villkor för att en funktion ska vara differentierbar. ats. Låt f vara en funktion man n variabler med öppen definitonsmängd. Om f är partiellt deriverbar och de partiella derivatorna f,..., f n är kontinuerliga, så är f differentierbar på. 5

31 Bevis. Vi visar satsen för funktioner av två variabler och vill uppskatta f(a + h, b + k) f(a, b) = f(a + h, b + k) f(a, b + k) + f(a, b + k) f(a, b) }{{}}{{} α(t)=f(a+t,b+k) β(t)=f(a,b+t) Medelvärdessatsen för funktioner av en variabel ger: α(h) α() = (h )α (θ h) = hf (a + θ h, b + k) β(k) β() = kf (a, b + θ k) för några θ, θ (, ). Eftersom f och f är kontinuerliga, så finns det funktioner φ (h, k) och φ (h, k) som uppfyller f (a + θ h, b + k) = f (a, b) + φ (h, k) f (a, b + θ k) = f (a, b) + φ (h, k) där φ (h, k) och φ (h, k) då (h, k) (, ) Alltså får vi f(a + h, b + k) f(a, b) = hf (a, b) + kf (a, b) + hφ (h, k) + kφ (h, k) }{{} = h +k φ(h,k) Högre ordningens derivator Om de partiella derivatorna av en funktion f av n variabler i sin tur är partiellt deriverbara, så kan vi definiera andra ordningens partiella derivator ( ) f = f j i för i, j {,..., n} osv. x j x i Exempel 5. Bestäm andra ordningens partiella derivator av funktionen f(x, y) = xy + ln(xy ) f x = y + xy y f y = x + xy xy = x + y f xx = x f yx = f xy = f yy = y Vi kan även beräkna tredje ordningens partiella derivator, exempelvis f xxx = x 3 och f xyx = osv. I exemplet ovan var de blandade partiella derivatorna f xy och f yx lika. etta är ingen tillfällighet som följande sats visar 6