729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Caroline Allmér, caral
|
|
- Elin Mattsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Caroline Allmér, caral
2 Innehåll Innehåll Inledning Hur det fungerar Crisp-set och fuzzy set Lingvistiska variabler Medlemsfunktioner Operationer Modifierare Fuzzy Logic kontrollsystem Preprocessing Fuzzification Rule Base Inference Engine Defuzzification Centre of gravity (COG) : Mean of Maxima (MOM): Leftmost Maxima (LM) och Rightmost Maxima (RM) Postprocessing Diskussion Referenser... 13
3 1. Inledning Detta arbete handlar om Fuzzy Logic. Arbetet går igenom grunderna hur Fuzzy Logic fungerar och även hur ett Fuzzy Logic kontrollsystem är uppbyggt. Arbetet bygger helt på artiklar och böcker som är skrivna inom ämnet, inget nytt tillförs alltså i detta arbete. Främst är det artiklarna skrivna av Jantzen (1998 och 2006) som används, men även andra artiklar har nyttjats (se referenslistan). 3
4 2. Hur det fungerar Fuzzy logic, på svenska kan man säga oskarp logik, är en alternativ logik som påbörjades under 1960-talet av L.A Zadeh. Anledningen till att fuzzy logic utvecklades var att första ordningens predikatlogik (FOPL) bara kan hantera två värden, oftast sant (som brukar tilldelas värdet 1) och falskt (som brukar tilldelas värdet 0). Denna metod har fungerat bra för de flesta predikat, men när predikat behandlar saker som inte endast kan uttryckas genom sant eller falskt, som tillexempel om man vill beskriva någons längd, så räcker FOPL inte riktigt till. Då människor delar in längder i fler delar än lång och kort, kan det uppfattas som begränsande att säga att människor är antingen korta eller långa, mellanvärden är därför nödvändiga för att skapa nyanser. Detta är ett problem som fuzzy logic behandlar, det inför en grad av medlemskap istället för endast sant eller falskt, så kallade fuzzy sets. Fuzzy logic är ett sätt att dra slutsatser ur oprecis och vag information och det arbetar efter en regelbas istället för efter matematiska formler. 2.1 Crisp-set och fuzzy set I fuzzy logic skiljer man mellan så kallade crips-sets och fuzzy-sets. Ett crips-set är ett set som endast kan vara sant eller falskt, ett statiskt predikat, som används inom till exempel FOPL. Ett fuzzy set är däremot är inte fast, utan det får istället ett medlemskap i en kategori som benämner hur mycket medlem objektet är i den kategorin. För att fortsätta med längdexemplet; säg att om en person är 180 centimeter så definieras den som lång. I ett crips-set skulle det betyda att så fort någon var 180 centimeter så är personen lång, medan en person som är 179,3 centimeter lång faller utanför kategorin och värdet blir falsk trots den marginella skillnaden. Ett fuzzy set, däremot skulle ge dessa längder grader av medlemskap i kategorierna lång och, till exempel medellång. En person som är 179,3 cm lång skulle då få ett tämligen högt medlemskap i kategorin lång, och lågt medlemskap i kategorin medellång vilket är en bättre beskrivning på hur människor tolkar längder än vad crisp-set:en är. Figur 1 illustrerar detta. Figur 1. En illustration av set:en "lång", ett i crisp-format och ett i fuzzy-format. Källa: Jantzen,
5 2.2 Lingvistiska variabler Skillnaden mellan fuzzy logic och övriga logiker är det att fuzzy logic tar ord som värden, så kallade lingvistiska variabler, och inte tal. De lingvistiska variablerna innehåller olika lingvistiska värden, så kallade term sets, och dessa värden är ett fuzzy set. Som exempel kan man ta en lingvistisk variabel l som heter längd. Den har ett term-set, M, som innehåller de olika fuzzy seten kort, medellång, lång. De olika fuzzy seten är definierade i Universumet, till exempel i intervallet centimeter. Man kan skriva detta som: ( ) * + För att ett fuzzy logic system ska kunna fungera måste man först definiera det så kallade Universumet. Universumet innehåller alla objekt som kan förekomma i olika fuzzy sets. 2.3 Medlemsfunktioner För att kunna avgöra om ett objekt är medlem i ett set så måste objekt x vara medlem i setet X. Att ett objekt x tillhör setet X skrivs såhär: och det måste vara sant för att man ska kunna bestämma medlemskapen, vilket görs enligt följande medlemskapsfunktion:, - U är universumet som x finns i och är graden av medlemskap som x får och det ligger mellan värdena 0 och 1. Ett fuzzy set kan alltså skrivas såhär: *( )+ X är ett fuzzy set, x är ett objekt i setet och är graden av medlemskap som x har i setet. För att tilldela objekt grader av medlemskap så måste det definieras mellan vilka värden graderna av medlemskapet ligger, vanligtvis är detta mellan 0 och 1, där 0 betyder att objektet x inte alls är medlem i setet och 1 betyder att det definitivt är det. Allt däremellan anger till vilken grad x är medlem i setet. Om ett fuzzy set endast innehåller ett värde kallas det för fuzzy singleton. Det har en medlemsfunktion som endast är sant (medlemskapet = 1) vid ett specifikt värde och falskt för alla andra värden. 5
6 Det finns flera olika medlemskapsfunktioner som man kan använda sig av inom fuzzy logic. De vanligaste är trapezodial- och triangelfunktionerna samt Gaussianfunktionen. Dessa kan man använda för att rita upp ett fuzzy set och räkna ut vilken medlemsgrad olika medlemmarna i setet har. Medlemsfunktionerna utvecklas ofta av personer som har expertkunskap inom det område som funktionen ska fungera, då värdena på seten måste definieras, till exempel att kort är man om man är mellan 70 och 130 centimeter. En trapezoidal funktion kan man rita upp genom att använda följande funktion: ( ) { } x i funktionen är värdet för ett objekt i det fuzzy set som används. är de fyra hållpunkterna för funktionen, där a är den nedre gränsen för funktionen (det första objektet som är medlem i set:et, om man till exempel har ett fuzzy set kort som är definierat mellan centimeter så är 70 den nedre gränsen), b är det första värde som har det högsta medlemsvärdet, c är det värde som får den sista högsta medlemsfunktionen och d är den sista medlemmen i set:et. En vanlig medlemsfunktion är triangular, och den ekvationen ser likadan ut som den för trapezoidal-funktionen förutom att b=c (det finns bara en topp). En annan medlemsfunktion som används frekvent inom Fuzzy Logic är Gaussian-funktionen som genererar en jämn och slät kurva, där den högsta punkten kan vara 1. Ekvationen för den är: ( ) [. / ] 6
7 Där x står för medlemsfunktionen, x 0 står för funktionens topp relativt mot universumet, och är standard deviationen. Ett objekt kan vara medlem i flera set, vanligtvis eftersträvas att varje objekt ska vara med i två set, att de ska överlappa varandra med undantag för ändarna. Detta för att luckor mellan två sets ska undvikas. Skulle det bli en lucka mellan seten så ökar risken för att värdena inte plockas upp av systemet och det skickar tillbaka inkorrekt och oprecis information som resten av systemet jobbar vidare med. Genom att med säkerhet veta att alla värden är representerade så har systemet de bästa förutsättningarna att utföra sitt arbete. 2.4 Operationer Det finns flera olika operationer som kan användas på fuzzy sets och de vanligaste är union och intersection. Om vi har två fuzzy sets, X och Y så skrivs dessa operationer som följer: ( ) ( ) betyder att man unifierar alla medlemmar som finns i X och Y, om X till exempel innehåller {a,b,c,d} och Y innehåller {c,d,e,f} så unifieras dessa och blir {a,b,c,d,e,f}. Sedan går operationen igenom alla element i unifieringen och återger det element som har högst medlemsvärde. betyder att de enda elementen som är kvar är de element som finns i både set X och i set Y, vilket om man utgår ifrån exemplet ovan blir {c,d}. När operatorn har tagit reda på vilka objekt som är medlemmar i både set X och set Y så går den igenom dessa medlemmar och återger det element som har det minsta medlemsvärdet. 2.5 Modifierare I fuzzy logic kan man också använda sig av så kallade modifierare. Modifierare är ord som ändrar innebörden av ett fuzzy set vilket gör att man kan använda sig av modifierare istället för att lägga till ett helt nytt fuzzy set, vilket utan modifierare lätt kan bli väldigt många. Exempel på olika modifierare som finns är extremt, väldigt, ganska och lite. Om man sätter dessa modifierare framför ett fuzzy set, till exempel så kanske man skriver väldigt kort, och då uppdateras medlemskapen i fuzzy setet kort och representerar istället den lingvistiska termen väldigt kort. 7
8 Det finns fasta operatorer för att räkna om fuzzy sets när de blir modifierade. För modifieraren extremt så blir medlemsvärdena i fuzzy setsen tre gånger så stora, det vill säga om kort är ett fuzzy set med medlemsvärdena {1; 0,7;0,4;0,1} så blir medlemsvärdena för extremt kort {1;0,343, 0,064, 0,001)} * ( ) ( ) ( ) + På samma sätt fungerar de andra modifierarna. För modifierare som ökar medlemskapsvärdet i ett fuzzy set så kvadreras medlemsvärdet med ett lämpligt tal och för att beskriva minskande medlemskap så tas kvadratroten ur medlemskapsvärdet. I följande ekvationer står k för ett heltal, x är ett objekt med medlemsvärdet ( ) och X är universumet. * ( ) ( ) ( ) + { ( ) ( ) ( ) } 3. Fuzzy Logic kontrollsystem Figur 2 visar ett schema för ett fuzzy logic kontrollsystem. Ett Fuzzy kontrollsystem används bland annat i tekniska apparater, som till exempel luftkonditionering, tåg operationssystem och kärnkraftskontroller. Skillnaden mellan ett Fuzzy kontrollsystem och ett vanligt kontrollsystem är att ett Fuzzy kontrollsystem är mer lik männskligt tänkande och resonerande än ett vanligt matematiskt system. Det kan fånga upp det ungefärliga, det inexakta som ofta existerar i den riktiga världen, men som ett matematiskt kontrollsystem inte tar hänsyn till. Figur 2. Ett Fuzzy Logic kontrollsystems uppbyggnad. Bilden är från Jantzen (2006). 8
9 3.1 Preprocessing Den information som skickas in till systemet är ofta ett crisp-värde som maskinen själv har fått fram, genom att till exempel mäta en längd eller ta en temperatur. Detta värde är inte alltid helt korrekt och vissa korrigeringar görs så att systemet kan hantera det så korrekt som möjligt. Till exempel kan preprocessing stadiet runda av inputvärdet så att det passar in i universumet. Om universumet är definierat som U = (1,2,3,4) och inputvärdet är 3,5 så avrundas det till 4 för att passa in på den närmaste nivån. Preprocessingen kan även försöka reducera bort olika störningar genom filtrering så att värdet blir så korrekt som möjligt. Preprocessing handlar om att normalisera input-data så att den kan användas av systemet. 3.2 Fuzzification Under det här stadiet så gör systemet om input-värdet, som ofta är ett crisp-värde till ett fuzzy-värde genom att göra om inputvärdet till grader av medlemskap. Detta görs genom att titta igenom den eller de olika medlemskapsfunktionerna som finns och matcha inputvärdet gentemot dem. Det kan generellt skrivas såhär: ( ) ( ) där ( ) = 1 är medlemsvärdet för objekt x i ett fuzzy set (M i det här fallet) och den nya inputen, x:s medlemsvärde i detta setet minskar ju längre ifrån x det är. På detta sätt kan man avgöra hur mycket medlem en ny input är i ett set. När detta är avgjort så skickas informationen vidare till inference engine. 3.3 Rule Base Regelbasen innehåller systemets alla regler, oftast skrivna enligt OM X SÅ Y, där X och Y är fuzzy sets. Dessa regler sparas vanligtvis i matriser vilket är ett mer kompakt sätt att representera reglerna, för en ovan användare kan det dock vara svårare att förstå jämfört med om de är utskrivna. Alla regler i regelbasen använder samma konnektiv, ofta and eller or men de blandar aldrig. 3.4 Inference Engine Inferencen är en väldigt viktigt del i ett Fuzzy Logic system. Den är direkt kopplad till regelbasen och matchar inputen som den har fått från fuzzification-steget med reglerna som 9
10 finns i regelbasen för att generera en output som representerar den ändring som ska ske. Man kan säga att inference engine besår utav tre steg; aggregering (som kan översättas till sammanklumpning), aktivering och ackumulering (ansamling). Det första steget är aggregation som är en operator som räknar ut graden av uppfyllande eller firing strength,, för villkoret för en regel, r. Regeln kommer att generera ett fuzzy medlemsvärde för detta villkor och om en regel består av två villkor, till exempel om X och Y så Q så genereras medlemsvärdet för båda villkoren. Aggregation-outputen går sedan vidare till steg två i inference engine, nämligen aktivering Aktiveringen av en regel är slutledningen av regeln, konsekvensen, vilket blir reducerat av firing strength, alltså värdena som kommer från aggregation. Som aktiverings operator används oftast min eller max, beroende på reglernas utformning. Om reglerna består av flera premisser, till exempel om A och om B så så används min operatorn, men om reglerna är om A eller om B så så används max operatorn. Min operatorn klipper av konsekvensens fuzzy set så att det representerar en output som gäller för det minsta medlemsvärdet för försatsen. Detta för att det inte är troligare att konsekvensen gäller än vad det är troligt att försatsen uppfylls. Max operatorn däremot klipper av konsekvenssetet så att det representerar en output som gäller för det högsta medlemsvärdet. Detta för att om en av försatsen villkor uppfylls så gäller även konsekvensen. För exempelregeln som skrevs ovan i aggregation stycket, så betyder detta att fuzzy setet ståtlig klipps av så att det gäller för dessa specifika inputs. Det sista steget i inference engine är ackumelering som samlar ihop alla aktiverade slutsatser, och detta görs genom max operatorn (unifiering). Det leder till en graf som består av alla slutsatser från reglerna som aktiverats. Denna graf skickas sedan vidare till defuzzificationprocessen. 3.5 Defuzzification För att en ändring ska göras så måste outputen vara ett fixerat, bestämt värde. Till exempel går det inte att beordra en maskin att öka trycket lite, det vill säga outputen från ett fuzzysystem måste vara ett fixt värde. För att få ett fixt värde så måste man defuzzifisiera det värdet som skickades från inference engine. Det finns flera olika metoder för att göra detta och några av de vanligaste är: 10
11 3.5.1 Centre of gravity (COG) : Denna metod är vanlig att använda för defuzzification, dock är uträkningskomplexiteten ganska hög. Den räknar ut arean under grafen från det fuzzy set som inference engine skickade vidare. Ekvationer ser ut såhär: Där ( ) ( ) är en flytpunkt i ett diskret universum och ( ) är den punktens medlemskapsvärde i medlemskapsfunktionen. Alltså tas summan av alla element multiplicerade med sina medlemskapsfunktioner, ( ) och divideras med summan av alla medlemskapsfunktioner. Då får man ut grafens mittpunktsvärde, vilket är outputen man skickar vidare till postprocessingen Mean of Maxima (MOM): Den här metoden tar de högsta värdena för det fuzzy set som är outputen och skickar tillbaka det värdet som har högsta medlemskapen. Om det finns flera värden i setet som har väldigt hög medlemskap så räknar den istället ut medelvärdet för dessa värden, därav namnet på funktionen. * ( ) ( ( ))+ Täljaren är summan av alla de objekten som har högst värde och m står för det totala antalet objekt som är med i ekvationen Leftmost Maxima (LM) och Rightmost Maxima (RM) Ytterligare defuzzification metoder är Leftmost Maxima och Rightmost Maxima, vilka innebär att det värde som är längst till vänster respektive åt höger som har högst medlemsvärde väljs. Dessa är användbara i till exempel robot-system, där en robot måste välja att gå antingen åt höger eller åt vänster för att inte undvika hinder, och då vill man inte att den ska välja ett medelvärde (då kommer roboten förmodligen gå in i hindret i alla fall) utan den ska svänga tydligt åt höger eller vänster. Nedan visas formlernas funktioner. Leftmost Maxima: { ( ) ( ( ))} Rightmost Maxima: { ( ) ( ( ))} är medlemsfunktionen och x är en flytpunkt i universumet. 11
12 3.6 Postprocessing Postprocessing är det sista steget i ett Fuzzy kontoll system. Trots att defuzzification-steget har skickat ut ett crisp-värde så är det inte säkert att det går att använda direkt. Ofta kan crispvärdet man behöva göras om då det utgår ifrån de mått som universumet är satt till (ofta mellan 0 och 1) och det kan behövas göras om till SI-enheter så att systemet kan göra korrekta ändringar. 4. Diskussion Fuzzy Logic är ett bra sätt att uttrycka saker som inte enbart kan vara sant eller falskt. Det ger även en möjlighet för systemet att reglera sig och göra ändringar innan problem blir allvarliga. Säg att ett avkylningssystem i till exempel en kärnkraftsanläggning använder sig av fuzzy logic. Om den då märker att vattnets temperatur har ett medlemsvärde som är närmare varmt än kallt och det ska vara kallt så kan den åtgärda det. Ett vanligt sant/falskt system skulle inte göra några ändringar förrän vattentemperaturen har gått över gränsen och verkligen är varmt. System som använder Fuzzy Logic kan i och med att de använder lingvistiska variabler och på så vis är mer lika det sätt som människor tänker vara mer användarvänliga för människor som inte jobbar med eller håller på mycket med datorer. Till exempel kan Fuzzy Logic användas i luftkonditionerare, då kan man ställa in att man vill ha det svalt i sitt rum och behöver inte fundera på vilken exakt temperatur det är utan systemet ser hela tiden till att det är en behaglig temperatur i rummet. Kritik mot fuzzy logic är bland annat att den är oprecis och att det inte behövs, att man kan uttrycka samma saker med första ordningens perdikatlogik eller probabilistisk logik, vilket gör fuzzy logic överflödigt. Personligen tycker jag att fuzzy logic är en tänkvärd logik, att man kan uttrycka saker som är mitt emellan sant och falsk är bra. Även om det kan vara sant att man kan göra program som kan lösa samma sorts uppgifter som fuzzy logic system så kan fuzzy logic vara bra att använda då det är enklare att implementera. 12
13 5. Referenser Artiklar Dote, Y. Introduction To Fuzzy Logic Besökt 5/9 kl Hellermann, M. Fuzzy Logic Introduction Besökt 5/9 kl Jantzen, J. Tutorial on Fuzzy Logic. Besökt 5/9 kl Jantzen, J. Design Of Fuzzy Controllers Besökt den 9/9 kl Yong-Hua Song and Allan T. Johns: Applications of fuzzy logic in power systems Part 1 General introduction to fuzzy logic. Power Engineering Journal, 11 (5). Oct 1997 pp /9 Yong-Hua Song and Allan T. Johns: Applications of fuzzy logic in power systems Part 3 Besökt 7/9 kl Zadeh, LA. Fuzzy Logic Besökt 6/9 kl Böcker Russell, S & Norvig, P. Artificial Intelligence, A Morden Approach, pp Passino, K.M & Yurkovich, S. Fuzzy Control Addison-Wesely Longman Inc. edu%2fviewdoc%2fdownload%3fdoi%3d %26rep%3drep1%26type%3dpdf&rct=j&q=leftm ost%20maxima%20fuzzy%20logic%20example&ei=actxtqdmayvu4qt82myrcq&usg=afqjcngvcmgv UcdUc8lG9HCRIDYBEM5f5w&sig2=geRWv2A57t9DQSGctTJ1Nw 13
Fuzzy control systems
Institutionen för datavetenskap Artificiell intelligens II, 729g11 Projekt HT-12 LINKÖPING UNIVERSITET Fuzzy control systems Användning av fuzzy logic I tvättmaskiner Karolin Nissa 9/17/2012 Abstract Den
Läs merWilliam Hernebrink
Fuzzy Logic @student.liu.se 1 Sammanfattning Följande arbete är ett individuellt kursmoment som omfattar 3hp i kursen Artificiell Intelligens II (729G11) vid Linköpings universitet. I denna litteraturstudie
Läs merFuzzy Logic Linköpings Universitet
Fuzzy Logic Linköpings Universitet 2 Innehållsförteckning 1. Inledning... 4 2. Bakgrund... 4 3. Fuzzy Logic... 5 3.1. Fuzzy Sets... 6 4. Operatorer... 7 4.1. Union och snitt... 7 4.2. IF, THEN, AND och
Läs merFuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten
Fuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten Av: 1 Innehåll Inledning... 3 Vad är Fuzzy Logic?... 4 Fuzzy sets... 4 Medlemsskapsfunktion... 5 Operatorer... 7 Union... 7 Snitt... 8 Komplement... 8 Exempel med de
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Johan Brage 9/16/2012
LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Johan Brage 9/16/2012 Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 2. Fuzzy Logic... 2 3. Crisp Sets... 3 4. Fuzzy Sets... 4 4.1 Operatorer... 5 4.2 IF-THEN... 7 4.3 Hedges...
Läs merFuzzy Logic och dess implementering i ett företagsspel
Fuzzy Logic och dess implementering i ett företagsspel Phian632 Philip Anzén Linköpings Universitet Artificiell Intelligens II, 729g11 2012-09-16 Innehåll 1. Inledning...3 2. Översikt av Fuzzy Logic...4
Läs merFuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping
Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett
Läs merFuzzy logic och fuzzy kontrollsystem
Fuzzy logic och fuzzy kontrollsystem - med neurala nätverk Sofie Nyström - sofny263 Artificiell Intelligens II 729G11 2012-09-16 Sammanfattning Detta arbete är gjort som ett fördjupningsarbete i kursen
Läs merFUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087
FUZZY LOGIC 900223-1554 Innehållsförteckning INLEDNING...2 HUR DET FUNGERAR...3 Crisp Sets och Fuzzy Sets...3 Operatorer...5 IF THEN regler...7 FUZZY INFERENCE...7 Fuzzification...8 Regelsättning...8
Läs merInnehållsförtekning Sida. Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9
Fuzzy Logic Innehållsförtekning Sida Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9 2 Inledning Med detta fördjupningsarbete vill
Läs mer729G11 Artificiell Intelligens Marcus Johansson Marjo581. Fuzzy logic. Marcus Johansson Marjo581
Fuzzy logic 880328-2535 Innehåll Fuzzy logic... 1 1. Inledning... 4 2. Jämförelse mellan fuzzy logic och tvåvärdeslogik.... 4 3. Fuzzy sets.... 4 4. Linvistiska variabler... 5 5. Operatorer... 5 6. If-
Läs merArtificiell Intelligens II, 729g11 Linköpings universitet Fuzzy logic
Fuzzy logic Sammanfattning Inom klassiska logiska system är ett påstående antingen sant eller falskt. Fuzzy logic använder sig istället av grader av medlemskap som är värden mellan 0(inte alls sant) och
Läs merFördjupningsarbete HT 2012 FUZZY LOGIC
FUZZY LOGIC 1 Innehåll Bakgrund & Introduktion till fuzzy logic... 3 Syfte... 3 Fuzzy sets... 4 Hedges... 5 Fuzzy set logic... 6 IF-THEN relger... 7 Fuzzy Inference... 7 Användandet utav fuzzy logic i
Läs mer2017% Fuzzy%Logic% %%%%%% LISA%NILSSON% %LISNI222%
2017% Fuzzy%Logic% %%%%%% LISA%NILSSON% %LISNI222% Innehållsförteckning0 1.#Inledning# 3% 1.1% Syfte( 3% 1.#Fuzzy#Logic# 4% 1.1(Bakgrund( 4% 2.#Fuzzy#Set# 5% 2.1(Fuzzy(set(vs(crisp(set( 5% 2.2(Medlemskap(
Läs merFuzzy logic. Julia Birgersson, julbi
Fuzzy logic, Innehållsförteckning Inledning 3 Vad är Fuzzy Logic, varför finns det? 3 Fuzzy sets och crisp sets 4 Medlemsfunktioner 4 Operationer 7 Lingvistiska termer och lingvistiska variabler 9 Artificiell
Läs merMolly Lundberg 729G43 Kognitionsvetenskap mollu341 Artificiell Intelligens Linköpings Universitet. Fuzzy Logic. Vad är det och hur fungerar det?
Fuzzy Logic Vad är det och hur fungerar det? Molly Lundberg Sammanfattning Den här rapporten har ämnat att skapa förståelse i vad Fuzzy Logic är för något, hur det fungerar och hur det används. Traditionell
Läs merFUZZY LOGIC. - Var går gränsen? Lovisa Rönmark lovro
FUZZY LOGIC - Var går gränsen? Sammanfattning Det här fördjupningsarbetet är gjort I kursen Artificiell Intelligens 2 på Linköpings Universitet. Syftet med arbetet är att ta upp och förklara ämnet Fuzzy
Läs merNär det oskarpa ger skärpa
En litteraturstudie om oskarp logik av för kursen Artificiell intelligens 729G43 Innehållsförteckning Inledning... 2 Syfte... 2 Upplägg och litteratur... 2 Varför använda oskarp logik?... 2 Oskarp mängdteori...
Läs merBeräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692
Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...
Läs merFuzzy Logic. Ellinor Ihs Håkansson, ellih
Fuzzy Logic, 2016-01-09 Innehållsförteckning Introduktion... 3 Vad är Fuzzy Logic?... 3 Fuzzy eller crisp?... 4 Fuzzy set... 5 Medlemskapsfunktioner... 6 Operationer... 8 Fuzzy expert systems och Fuzzy
Läs merFussy sets och Fuzzy logik Luddigt eller självklart? Kognitionsvetenskap, 729G11 Sandra Svanberg, sansv418 19/09/2011 Linköpings universitet
Luddigt eller självklart? Kognitionsvetenskap, 729G11 Sandra Svanberg, sansv418 19/09/2011 Linköpings universitet 2 2 3 Innehållsförteckning 1 Figur och tabellförteckning... 4 Sammanfattning... 6 2 Inledning...
Läs merFuzzy Logic (Kompletterad)
729G11 - ARTIFICELL INTELLIGENS 2 Fuzzy Logic (Kompletterad) Jonatan Andersson jonan259 2012-09-19 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Inledning... 3 2. Fuzzy logic och tvåvärdeslogik... 4 2.1 Fuzzy sets... 4 2.1
Läs merOskarp logik - en flervärdeslogik för framtiden? Karl Bruno Linköpings universitet 2006-10-15
- en flervärdeslogik för framtiden? Karl Bruno Linköpings universitet 2006-10-15 Sammanfattning Oskarp logik är en utvidgning av den klassiska logiken. Den baseras på oskarpa mängder, mängder till vilka
Läs merProbabilistisk logik 2
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 2 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Översikt Probabilistiska modeller Probabilistisk inferens 1: Betingad sannolikhet Probabilistisk
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merBygga intelligenta system med luddig logik. Josefin Carlbring (josca824) Linköpings universitet 729G43 Artificiell Intelligens
Bygga intelligenta system med luddig logik () Linköpings universitet 729G43 Artificiell Intelligens 2016-01-24 Sammanfattning Denna rapport täcker in hur man bygger intelligenta system med hjälp av luddig
Läs merLaboration Fuzzy Logic
BILAGA B Laboration Fuzzy Logic Lär dig simulera ett program! ABB INDUSTRIGYMNASIUM Fuzzy Logic Wikingsons Wåghalsiga Wargar Projekt ABB VT 2006 Västerås Innehåll 1 Introduktion... 3 2 Uppgiften... 3 2.1
Läs mer1 Suddig logik och gitter
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk
Läs merEtt Oskarpt Beslut. Om Oskarp Logik i Speldesign. Mikael Hedenström
Ett Oskarpt Beslut Om Oskarp Logik i Speldesign Mikael Hedenström Examensarbete i speldesign, 15 högskolepoäng Speldesign och grafik/speldesign och programmering, vt 2013 Handledare: Kim Solin, Tommi Lipponen
Läs merLokala mål i matematik
Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal
Läs merI kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Läs merJavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm
JavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm Under förra uppgiften så kollade vi på hur användaren kan ge oss information via promt(), vi använde den informationen både för att skriva ut den och för att
Läs mer1.2 Polynomfunktionens tecken s.16-29
Detta avsnitt handlar om olikheter. < mindre än > större än mindre än eller lika med (< eller =) större än eller lika med (> eller =) Vilka tal finns mellan 2 och 5? Alla tal som är större än 2. Och samtidigt
Läs merSammanfattningar Matematikboken X
Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för
Läs merHögskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning
Läs merKonsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da
Konsultarbete, Hitta maximal volym fo r en la da Uppgift 2. Maximal låda. I de fyra hörnen på en rektangulär pappskiva klipper man bort lika stora kvadrater. Flikarna viks sedan upp så att vi får en öppen
Läs merHögskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. XYZ Matematisk problemlösning
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merFinns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?
När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},
Läs merTDDC77 Objektorienterad Programmering
TDDC77 Objektorienterad Programmering Föreläsning 11 Sahand Sadjadee IDA, Linköpings Universitet Hösttermin 2018 Outline Uppräkningar (enum) Klasshierarki Generics Kollektioner Iterable Uppräkningar(enum)
Läs merLogik och kontrollstrukturer
Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merStudieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning
Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:
Läs merHögskoleprovet Kvantitativ del
Högskoleprovet Kvantitativ del Här följer anvisningar till de kvantitativa delproven XYZ, KVA, NOG och DTK. Provhäftet innehåller 40 uppgifter och den totala provtiden är 55 minuter. Ägna inte för lång
Läs merAnna: Bertil: Cecilia:
Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)
Läs merLogik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter.
TAIU07 Föreläsning 3 Logik och Jämförelser. Styrsatser: Villkorssatsen if och repetitonssatsen for. Scriptfiler. Kommentarer. Tillämpningar: Ett enkelt filter. 27 januari 2016 Sida 1 / 21 Logiska variabler
Läs merLokala betygskriterier Matematik åk 8
Lokala betygskriterier Matematik åk 8 Mer om tal För Godkänt ska du: Kunna dividera och multiplicera med 10, 100 och 1000. Kunna räkna ut kilopriset för en vara. Kunna multiplicera och dividera med positiva
Läs merVarför är logik viktig för datavetare?
Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.
Läs mer1. Lära sig beräkna kon densintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera centrala gränsvärdessatsen
Datorövning 2 Statistikens Grunder 2 Syfte 1. Lära sig beräkna kon densintervall och täckningsgrad 2. Lära sig rita en exponentialfördelning 3. Lära sig illustrera centrala gränsvärdessatsen Exempel Beräkna
Läs merMatematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator
Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html
Läs merResonemang under osäkerhet. Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic
Resonemang under osäkerhet Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic Varför resonera med sannolikheter? Om agenten vet tillräckligt om världen, kan den med logik få fram planer som garanterat
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2
Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=
Läs merSvar och arbeta vidare med Benjamin 2008
Svar och arbeta vidare med Det finns många intressanta idéer i årets Känguru och problemen kan säkert ge idéer för undervisning under många lektioner. Här ger vi några förslag att arbeta vidare med. Problemen
Läs merLokal studieplan Matematik 3 8 = 24. Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass
Lokal studieplan Matematik 3 8 = 24 Centrum för tvåspråkighet Förberedelseklass 1 Mål att sträva mot Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven S11 utvecklar intresse för matematik
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merProbabilistisk logik 1
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merKort om mätosäkerhet
Kort om mätosäkerhet Henrik Åkerstedt 14 oktober 2014 Introduktion När man gör en mätning, oavsett hur noggrann man är, så får man inte exakt rätt värde. Alla mätningar har en viss osäkerhet. Detta kan
Läs merHögstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag
Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart
Läs merFÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS
729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt
Läs meri LabVIEW. Några programmeringstekniska grundbegrepp
Institutionen för elektroteknik Några programmeringstekniska grundbegrepp 1999-02-16 Inledning Inom datorprogrammering förekommer ett antal grundbegrepp som är i stort sett likadana oberoende om vi talar
Läs merStatistisk mönsterigenkänning
Statistisk mönsterigenkänning Jonas Sandström Artificiell intelligens II Linköpings universitet HT 2011 Innehållsförteckning 1. Innehållsförteckning sid 2 2. Inledning sid 3 3. Statistisk mönsterigenkänning
Läs merFråga 5 (1 poäng) För att definiera ett sökproblem krävs...
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merGraärgning och kromatiska formler
Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela
Läs merVad behövs för att skapa en tillståndsrymd?
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merBlock 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder
Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar
Läs mer1 Föreläsning Implikationer, om och endast om
1 Föreläsning 1 Temat för dagen, och för dessa anteckningar, är att introducera lite matematisk terminologi och notation, vissa grundkoncept som kommer att vara genomgående i kursen. I grundskolan presenteras
Läs merKan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.
Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Läs merLaboration: Grunderna i MATLAB
Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.
Läs merdär x < ξ < 0. Eftersom ξ < 0 är högerledet alltid mindre än Lektion 4, Envariabelanalys den 30 september 1999 r(1 + 0) r 1 = r.
Lektion 4, Envariabelanals den 30 september 1999 där 0 < ξ 0 är högerledet alltid större än 2.6.2 Åskådliggör medelvärdessatsen genom att finna en punkt i det öppna intervallet (1, 2) där
Läs merNpMa2b vt Kravgränser
Kravgränser Provet består av ett muntligt delprov (Del A) och tre skriftliga delprov (Del B, Del C och Del D). Tillsammans kan de ge 67 poäng varav 26 E-, 24 C- och 17 A-poäng. Observera att kravgränserna
Läs merFuzzy%Logic% Linköpings&Universitet&
729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII Carno535 FuzzyLogic LinköpingsUniversitet Fördjupningsarbete Caroline Norén 91131-172 Carno535 729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII Carno535 729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII
Läs merExtramaterial till Matematik Y
LIBER PROGRAMMERING OCH DIGITAL KOMPETENS Extramaterial till Matematik Y NIVÅ TVÅ Taluppfattning och tals användning ELEV Det finns många olika programmeringsspråk. I den här uppgiften ska du få bekanta
Läs mermatematik Lektion Kapitel Uppgift Lösningg T.ex. print(9-2 * 2) a) b) c) d)
1 Print 2.6 Prioriteringsregler 1 Beräkna a) 9 2 2 b) 10 + 5 6 c) 5 6 10 d) 16 + 4 5 6 2.6 Prioriteringsregler 7 Stina köper 3 chokladbollar för 10 kr styck och 1 kopp te för 14 kr. a) Skriv ett uttryck
Läs merLinjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
Läs merANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till
Läs merAtt beräkna t i l l v ä x t takter i Excel
Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merBlandade uppgifter om tal
Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.
Läs merModul 1 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation
Läs merLabb i Datorsystemteknik och programvaruteknik Programmering av kalkylator i Visual Basic
Labb i Datorsystemteknik och programvaruteknik Programmering av kalkylator i Visual Basic Inledning Starta Microsoft Visual Studio 2005. Välj create Project Välj VB + Vindows Application och välj ett nytt
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merKvantitativ strategi Univariat analys 2. Wieland Wermke
+ Kvantitativ strategi Univariat analys 2 Wieland Wermke + Sammanfattande mått: centralmått n Beroende på skalnivån finns det olika mått, som betecknar variablernas fördelning n Typvärde eller modalvärde
Läs merObjective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0
DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs mer34% 34% 13.5% 68% 13.5% 2.35% 95% 2.35% 0.15% 99.7% 0.15% -3 SD -2 SD -1 SD M +1 SD +2 SD +3 SD
6.4 Att dra slutsatser på basis av statistisk analys en kort inledning - Man har ett stickprov, men man vill med hjälp av det få veta något om hela populationen => för att kunna dra slutsatser som gäller
Läs merVardagssituationer och algebraiska formler
Modul: Algebra Del 7: Kommunikation i algebraklassrummet Vardagssituationer och algebraiska formler Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Jörgen Fors, Linnéuniversitetet En viktig del av algebran
Läs mer