LINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Johan Brage 9/16/2012
|
|
- Anders Bergqvist
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Johan Brage 9/16/2012
2
3 Innehållsförteckning 1. Inledning Fuzzy Logic Crisp Sets Fuzzy Sets Operatorer IF-THEN Hedges Fuzzy Control Preprocessing Fuzzification Rule Base Inference Engine Defuzzification Postprocessing Diskussion Litteraturförteckning... 12
4 1. INLEDNING Denna rapport kommer att behandla grunderna vad gäller begreppen Fuzzy Logic och Fuzzy Sets, vad de är, hur de används och hur de skiljer sig från mer traditionell, tvåvärdig, sant-falskt-logik. Vidare kommer den att titta på hur ett Fuzzy Kontrollsystem kan vara uppbyggt. 1
5 2. FUZZY LOGIC Fuzzy Logic (FL) myntades som begrepp i och med Lotfi A. Zadehs artikel Fuzzy Sets från Tidigare hade man bara använt sig av tvåvärdig logik, där en sak antingen kan vara sann, som brukar tilldelas siffran 1, eller falsk, som brukar tilldelas siffran 0, och det inte fanns ett tredje alternativ. I kontrast mot detta söker fuzzy logic att representera just det som tidigare inte gick, nämligen grader av sanningar. Detta behövs för att kunna formalisera människans naturliga språk, eftersom detta är fyllt av definitioner som inte är absoluta. Ett exempel på detta är hur vi som människor definierar längd på oss själva och de runt omkring oss. Vi kan visserligen säga att en människa är lång eller kort baserat på våra ramar om vilka längder som faller inom respektive definition. Men vi är inte låsta vid att en människa antingen är lång eller kort, utan vi kan acceptera att någon är mer lång eller något kort. I den traditionella tvåvärdeslogiken skulle vi bara kunna säga att någon är lång eller kort, det finns ingen grad av längd. Hur man skulle definiera detta i en sådan logik blir alltså ganska olikt människans synsätt på längd. Om gränsen vid att vara lång skulle gå vid 185 cm och allt där under därmed skulle klassas som kort skulle alltså en person som är 184,9 cm klassas som kort medan en person som är 185,1 cm skulle kategoriseras som lång. På grund av vårat synsätt på saker som denna introducerade Zadeh FL (Zadeh, 1965), han ansåg att det inom logiken behövdes något sätt att beskriva grader av sanningar på. Zadeh definierade en logik där ett värde kan ha en viss sanningsmängd i fler än en variabel. Sanningsvärden kan då ligga mellan 0 och 1, vilket ger en möjlighet att bestämma hur stor del ett värde skulle finnas i respektive variabel. En person som är 183 cm lång skulle därför delvis befinna sig i kategorin kort, men samtidigt också ha medlemskap i kategorin lång. För att illustrera detta på ett tydligare sätt använder vi oss av fuzzy sets och crisp sets. 2
6 3. CRISP SETS Som tidigare nämnts hade man tidigare bara använt sig av en tvåvärdig logik. Denna har som sagt uppenbara komplikationer när det kommer till att försöka formalisera ett naturligt språk. Vi fortsätter med exemplet med personers längd för att tydligare visa detta. Ett så kallat crisp set är ett set där samtliga element med full säkerhet, alltså en sannolikhet på 1, ingår. För att koppla det till längdexemplet skulle alltså alla personer som är under 185 cm vara korta, medan alla som är över 185 cm skulle vara långa. Figuren nedan visar detta samband. Figur 1. Crisp set med två variabler På y-axeln i denna graf ser vi graden av sannolikhet och på x-axeln värdet. Det vill säga, alla värden som faller mellan 0 och 185 cm är korta, alla värden över 185 är långa. Skulle vi som ett tillägg till detta lägga in en ny variabel, vi kallar den för enkelhetens skull medellång, skulle vi behöva definiera vilka värden som skulle falla inom denna variabels räckvidd. Vi definierar om våra variabler så att kort ligger mellan 0 och 170, medellång får alla värden mellan 170 och 185, medan lång får behålla sina värden på 185 och uppåt. En figur för detta skulle därför se ut på följande vis. 3
7 Figur 2. Crisp set med tre variabler Y-axel samt x-axel visar fortfarande sannolikhet respektive värde. Vi ser nu att vi har tre olika variabler med väldigt bestämda värden. Vi skulle kunna fortsätta med detta för att lägga in ytterligare variabler om vi vill kunna definiera väldigt lång, extremt lång, väldigt kort och så vidare. Men istället för att göra detta så använder vi oss av FL. 4. FUZZY SETS Om vi stannar kvar vid exemplet med längder, men byter från ett crisp set till ett fuzzy set så kommer vi se skillnaderna mellan de olika typerna av set på ett tydligare sätt. Figur 3. Fuzzy Set 4
8 Vi kan nu tydligt se att ett fuzzy set inte har absoluta gränser, samt att det i de områden som är färgade röd samt ljusblå innebär att värden kan höra till fler variabler. Hur vi använder oss av detta visas mer noggrant i nästa stycke. 4.1 Operatorer För att kunna använda oss av FL behöver vi vissa operatorer för att kunna räkna ut värden på variabler. Standardmodellen för att räkna ut sanningsvärdet på ett fuzzy set är (Norvig & Russell, 2010); T(A B) = min(t(a),t(b)) T(A B) =max(t(a),t(b)) T( A) = 1 T(A) Detta innebär att man får ett sanningsvärde för unionen (A B) som är det minsta värdet på T(A) och T(B). Sanningsvärdet för disjunktionen (A B) är det högsta värdet på T(A) och T(B). Vi ser även att A är 1 T(A), då sanningsvärdet högst kan vara 1. Snittet mellan U och V, alltså A = U V, har medemsfunktionen µ A (x) = min(µ U (x), µ V (x)), vilket vi kan jämställa med operatorn AND, alltså de värden som ingår i båda seten. De feta linjerna i grafen visar snittet. Figur 4. Snitt 5
9 Unionen för U och V ger ett fuzzy set B = U V. Medlemsfunktionen för unionen blir således µ B (x) = max(µ U (x), µ V (x)), vilket innebär att resultatet är det samma som operatorn OR, alla värden som ingår i något av seten. Den feta linjen i grafen visar unionen. Figur 5. Union Komplementet för U och V ger oss medlemsfunktionen µ U (x) = 1 - µ U (x), alltså det inverterade setet, vilket innebär operatorn NOT, det vill säga alla värden som inte ingår i vårat set. Figur 6. Komplement 6
10 4.2 IF-THEN En annan stor del i användandet av FL är IF-THEN-regeln, som även kallas fuzzy implication. Denna regel används för att kunna representera kunskap genom att man ställer upp en premiss och en konsekvens. Premissen i denna regel är en input som när den är uppfylld leder till en output, alltså konsekvensen. Denna ser då ut på följande vis. IF premiss THEN konsekvens I detta kan man sedan byta ut premiss och konsekvens mot värden. Vi kan börja med att som premiss ha x är A och som konsekvens y är B. Detta leder då till att vi får IF x är A then y är B vilket vi i sin tur kan förtydliga ytterligare med hjälp av lingvistiska variabler. Om vi tänker oss en biltur som ett fuzzy system och vi ser ett rödljus kan vi använda oss av regeln för att fatta ett lämpligt beslut, i detta fall IF trafikljuset är rött THEN stanna bilen Detta exempel skulle fungera bra om vi såg att ljuset var rött, eftersom man då måste stanna. På samma sätt kan vi köra om ljuset visar grönt. Men om vi tar exemplet ur det verkliga livet så har inte ett trafikljus bara två värden, rött och grönt, utan det finns ett tredje värde, nämligen gult. Tittar vi på trafiken vid ett trafikljus ser vi att människor inte bara stannar vid rött och kör vid grönt, utan om ljuset är gult och det nyss var grönt så vet de att det snart kommer att bli rött och det är bäst att stanna bilen innan det slagit över. Det är här operatorerna AND och OR kommer in i bilden. Genom att använda oss av dessa operatorer kan vi specificera lite problemet lite noggrannare. Med hjälp av detta kan man sätta upp en regel även för värdet gult i trafikljuset. IF trafikljuset är gult AND trafikljuset var nyss rött THEN kör På samma sätt kan vi sätta in operatorn OR i premissen i de situationer det räcker att den ena av flera premisser är uppfylld. 4.3 Hedges Med hjälp av så kallade hedges, det vill säga lingvistiska variabler som kan liknas vid adjektiv, kan man ändra formen på medlemsfunktioner. För att förtydliga kan vi titta på en hedge som kallas very. Zadeh definierade denna hedge som kvadratroten av medlemsfunktionen (Zadeh, 1972). Den nya medlemsfunktionen ser alltså ut på följande vis; µ verya (x)=(µ A (x)) 2. På samma sätt definierade han en hedge somwhat som kvadratroten av medlemsskapsfunktionen, alltså; µ somewhata (x)= (µ A (x)). Genom att titta på dessa ekvationer kan vi snabbt se att detta inte gäller för värden som innebär inget medlemsskap och fullt medlemsskap, då rot och kvadrat av 1 och 0 7
11 förblir 1 och 0. Man brukar säga att very intensifierar funktionen och somewhat försvagar den. Detta innebär alltså att man får ett lite smalare set av very och ett lite bredare sådant av somewhat. Skillnaderna mellan dessa hedges blir tydligare om ritar upp en graf. Figur 7. Hedges very och somewhat Den blå linjen i grafen representerar vårat set omodifierat, medan den röda linjen visar µ verya och den gröna visar µ somewhata. Genom att använda sig av hedges kan man begränsa eller öppna upp sina sets efter eget tycke. Vi skulle till exempel kunna lägga in en hedge extremt och säga att den representeras av µ extremta (x)=(µ A (x)) 3 för att på så vis få en ännu smalare del av µ, och så vidare. 5. FUZZY CONTROL Nu när vi har grunderna i hur FL fungerar kan vi gå in på hur de kan användas. Ett exempel på detta är så kallade Fuzzy Kontrollsystem. Bilden nedan visar ett sådant system kan vara uppbyggt och vi kommer sedan gå in lite mer på djupet i de olika stegen och vad de har för uppgift. (Jantzen, 1998) 8
12 Figur 8. Fuzzy controller. (Jantzen, 1998) 5.1 Preprocessing Det första steget i systemet är preprocessing, där det oftast kommer in ett crisp inputvärde från något mätinstrument. Dessa värden är inte nödvändigtvis användbara i en fuzzy controller och behöver därför korrigeras innan de kan användas. Detta sker i en preprocessor och kan bland annat innefatta att man rundar av inputvärden som inte finns definierade i dess universum. Exempelvis om U = (-3, -2,..., 2, 3) och systemet får en input på 2,4, så måste detta rundas av till det närmsta lämpliga värdet i dess universum. Den kan även leta efter medelvärden, filtrera värden för att bli av med störningar, och så vidare. Syftet med en preprocessor är alltså att den ska göra datan användbar för systemet. (Jantzen, 1998) 5.2 Fuzzification Detta stadie innebär att systemet gör om de crisp-värden som gått igenom en preprocessor till användbara fuzzy-värden. Dessa crisp-värden konverteras till fuzzy genom att använda de olika medlemsskapsfunktioner som finns definierade i systemet. Värden matchas alltså till de olika lingvistiska variablerna som finns, detta för att controllern ska kunna använda dessa värden då ett beslut ska fattas. (Jantzen, 1998) 5.3 Rule Base Nästa stadie är att köra de fuzzy sets som systemet nu har genom något man kan likna vid en databas av regler. Det är här vi får användning av det vi tidigare gått igenom. Reglerna är 9
13 uppbyggda på samma sätt som förklarades i 4.2, alltså IF-THEN, med logiska konnektiv som AND och OR, samt användandet av hedges. (Jantzen, 1998) 5.4 Inference Engine I detta steg bekräftar systemet den input det har med de regler som finns. Om det finns en regel som säger att IF trafikljuset är rött THEN måste jag stå still och vi vet att våran input är trafikljuset är rött, så kan vi dra slutsatsen att Jag måste stå still. Vidare räknas graden till vilken en regels villkor är uppfyllt ut, ibland kallat regelns firing strength. En regel vi kallar för A skulle få ett fuzzy medlemsvärde µ xa där x är en godtycklig input och värdet µ ya där y är en annan godtycklig input. Aggregering av dessa inputs skulle alltså leda till en kombination av de två, µ xa AND µ ya. Aggregering är likställt med fuzzification om det bara finns en input till en fuzzy controller. Efter att graden med vilken samtliga regler i systemet är uppfyllda räknats ut samlar vi ihop dessa och skapar ett nytt fuzzy set. Detta skickas i sin tur vidare. (Jantzen, 1998) 5.5 Defuzzification Det fuzzy set vi fått av att utföra de tidigare stegen behöver nu konverteras till ett crisp värde som i sin tur kan skickas vidare till processen. Detta steg kallas defuzzification och är raka motsatsten av fuzzification, nämligen att man tar det fuzzy set som finns och gör om det till en crisp signal. Det finns ett flertal olika metoder att använda sig av för att defuzzifiera ett set, där Centre of gravity är en av de mest populära. Denna metod innebär att man räknar ut den punkt där en rak linje skulle dra ett streck mitt i det aggregerade fuzzy setet. (Jantzen, 1998) 5.6 Postprocessing Vi har nu nått den sista av de moduler som bygger upp ett Fuzzy kontrollsystem. På samma sätt som preprocessing som första steg i kedjan finjusterade värden så att man kunde applicera FL på de så kan postprocessen justera värden så att de kan användas som output. Det är inte nödvändigtvis sant att det crisp värde som togs fram av defuzzifiern kan appliceras direkt på 10
14 systemet, utan det kan behöva omvandlas till exempelvis andra enheter som finns i systemets universum. (Jantzen, 1998) 6. DISKUSSION Efter att ha gått igenom de olika stegen i ett fuzzy kontrollsystem så verkar inte logiken speciellt luddig längre. Ett regelverk där man kan använda sig av input som inte bara består av booleska värden tycks onekligen ha en ljus framtid eftersom vi med hjälp av detta kan uttrycka ett mänskligt språk och resonerande på en mer precis nivå. Däremot står klart att FL inte är någon sorts mirakelupptäckt då det dels till stor del ignorerades i västvärlden efter dess introduktion, samt att vi fortfarande har lång väg att gå innan vi kan bygga ett generellt system som efterliknar människan. Dock ska sägas att fuzzy kontrollsystem har stort värde inom vissa uppgifter. Efter att tågtrafiken i Sendai i Japan börjat styras av ett fuzzy system så förbättrades effektiviteten märkbart. Det finns som väntat en stor mängd skeptiker som anser att FL är överflödigt och att man kan utföra samma uppgifter med en tvåvärdig logik och vi kommer nog inte få veta om det hade fungerat lika bra om de som utvecklade Sendai-systemet istället använt sig av en sådan. Det finns även andra exempel på produkter där FL används med stor framgång, exempelvis luftkonditionerings-apparater, där termostaterna är fuzzy, som verkar spara in energi genom att effektivisera systemet. Hur man än vänder och vrider på saken så kommer det nog alltid finnas utrymme för olika sorters logiker, det enda som spelar roll är ändamålet och vem som designar systemet. Liksom all annan utveckling finns det alltid en lösning som är bättre än de andra, och tittar man på exemplen med Sendai och AC-enheter så tyder detta på att det finns saker som FL utför bättre än någonting annat. 11
15 LITTERATURFÖRTECKNING Jantzen, J. (1998). Design of Fuzzy Controllers. Jantzen, J. (1998). Tutorial on Fuzzy Logic. Klingenberg, B. (u.d.). Getting started with Fuzzy Logic. Hämtat från den 16 September 2012 Norvig, P., & Russell, S. (2010). Artificial Intelligence: A Modern Approach. Upper Saddle River, New Jersey, USA: Pearson. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, Zadeh, L. A. (1972). A fuzzy-set-theoretic interpretation of linguistic hedges. Journal of Cybernetics,
Fuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping
Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett
Läs mer729G11 Artificiell Intelligens Marcus Johansson Marjo581. Fuzzy logic. Marcus Johansson Marjo581
Fuzzy logic 880328-2535 Innehåll Fuzzy logic... 1 1. Inledning... 4 2. Jämförelse mellan fuzzy logic och tvåvärdeslogik.... 4 3. Fuzzy sets.... 4 4. Linvistiska variabler... 5 5. Operatorer... 5 6. If-
Läs merFuzzy Logic Linköpings Universitet
Fuzzy Logic Linköpings Universitet 2 Innehållsförteckning 1. Inledning... 4 2. Bakgrund... 4 3. Fuzzy Logic... 5 3.1. Fuzzy Sets... 6 4. Operatorer... 7 4.1. Union och snitt... 7 4.2. IF, THEN, AND och
Läs merFUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087
FUZZY LOGIC 900223-1554 Innehållsförteckning INLEDNING...2 HUR DET FUNGERAR...3 Crisp Sets och Fuzzy Sets...3 Operatorer...5 IF THEN regler...7 FUZZY INFERENCE...7 Fuzzification...8 Regelsättning...8
Läs merFuzzy control systems
Institutionen för datavetenskap Artificiell intelligens II, 729g11 Projekt HT-12 LINKÖPING UNIVERSITET Fuzzy control systems Användning av fuzzy logic I tvättmaskiner Karolin Nissa 9/17/2012 Abstract Den
Läs merWilliam Hernebrink
Fuzzy Logic @student.liu.se 1 Sammanfattning Följande arbete är ett individuellt kursmoment som omfattar 3hp i kursen Artificiell Intelligens II (729G11) vid Linköpings universitet. I denna litteraturstudie
Läs mer729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Caroline Allmér, caral
729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Caroline Allmér, caral281 2011-09-19 Innehåll Innehåll... 2 1. Inledning... 3 2. Hur det fungerar... 4 2.1 Crisp-set och fuzzy set...
Läs merFuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten
Fuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten Av: 1 Innehåll Inledning... 3 Vad är Fuzzy Logic?... 4 Fuzzy sets... 4 Medlemsskapsfunktion... 5 Operatorer... 7 Union... 7 Snitt... 8 Komplement... 8 Exempel med de
Läs merFördjupningsarbete HT 2012 FUZZY LOGIC
FUZZY LOGIC 1 Innehåll Bakgrund & Introduktion till fuzzy logic... 3 Syfte... 3 Fuzzy sets... 4 Hedges... 5 Fuzzy set logic... 6 IF-THEN relger... 7 Fuzzy Inference... 7 Användandet utav fuzzy logic i
Läs merInnehållsförtekning Sida. Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9
Fuzzy Logic Innehållsförtekning Sida Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9 2 Inledning Med detta fördjupningsarbete vill
Läs mer2017% Fuzzy%Logic% %%%%%% LISA%NILSSON% %LISNI222%
2017% Fuzzy%Logic% %%%%%% LISA%NILSSON% %LISNI222% Innehållsförteckning0 1.#Inledning# 3% 1.1% Syfte( 3% 1.#Fuzzy#Logic# 4% 1.1(Bakgrund( 4% 2.#Fuzzy#Set# 5% 2.1(Fuzzy(set(vs(crisp(set( 5% 2.2(Medlemskap(
Läs merFUZZY LOGIC. - Var går gränsen? Lovisa Rönmark lovro
FUZZY LOGIC - Var går gränsen? Sammanfattning Det här fördjupningsarbetet är gjort I kursen Artificiell Intelligens 2 på Linköpings Universitet. Syftet med arbetet är att ta upp och förklara ämnet Fuzzy
Läs merFuzzy logic. Julia Birgersson, julbi
Fuzzy logic, Innehållsförteckning Inledning 3 Vad är Fuzzy Logic, varför finns det? 3 Fuzzy sets och crisp sets 4 Medlemsfunktioner 4 Operationer 7 Lingvistiska termer och lingvistiska variabler 9 Artificiell
Läs merMolly Lundberg 729G43 Kognitionsvetenskap mollu341 Artificiell Intelligens Linköpings Universitet. Fuzzy Logic. Vad är det och hur fungerar det?
Fuzzy Logic Vad är det och hur fungerar det? Molly Lundberg Sammanfattning Den här rapporten har ämnat att skapa förståelse i vad Fuzzy Logic är för något, hur det fungerar och hur det används. Traditionell
Läs merBeräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692
Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...
Läs merArtificiell Intelligens II, 729g11 Linköpings universitet Fuzzy logic
Fuzzy logic Sammanfattning Inom klassiska logiska system är ett påstående antingen sant eller falskt. Fuzzy logic använder sig istället av grader av medlemskap som är värden mellan 0(inte alls sant) och
Läs merFuzzy logic och fuzzy kontrollsystem
Fuzzy logic och fuzzy kontrollsystem - med neurala nätverk Sofie Nyström - sofny263 Artificiell Intelligens II 729G11 2012-09-16 Sammanfattning Detta arbete är gjort som ett fördjupningsarbete i kursen
Läs merFuzzy Logic. Ellinor Ihs Håkansson, ellih
Fuzzy Logic, 2016-01-09 Innehållsförteckning Introduktion... 3 Vad är Fuzzy Logic?... 3 Fuzzy eller crisp?... 4 Fuzzy set... 5 Medlemskapsfunktioner... 6 Operationer... 8 Fuzzy expert systems och Fuzzy
Läs merNär det oskarpa ger skärpa
En litteraturstudie om oskarp logik av för kursen Artificiell intelligens 729G43 Innehållsförteckning Inledning... 2 Syfte... 2 Upplägg och litteratur... 2 Varför använda oskarp logik?... 2 Oskarp mängdteori...
Läs merFussy sets och Fuzzy logik Luddigt eller självklart? Kognitionsvetenskap, 729G11 Sandra Svanberg, sansv418 19/09/2011 Linköpings universitet
Luddigt eller självklart? Kognitionsvetenskap, 729G11 Sandra Svanberg, sansv418 19/09/2011 Linköpings universitet 2 2 3 Innehållsförteckning 1 Figur och tabellförteckning... 4 Sammanfattning... 6 2 Inledning...
Läs merFuzzy Logic och dess implementering i ett företagsspel
Fuzzy Logic och dess implementering i ett företagsspel Phian632 Philip Anzén Linköpings Universitet Artificiell Intelligens II, 729g11 2012-09-16 Innehåll 1. Inledning...3 2. Översikt av Fuzzy Logic...4
Läs mer1 Suddig logik och gitter
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk
Läs merBygga intelligenta system med luddig logik. Josefin Carlbring (josca824) Linköpings universitet 729G43 Artificiell Intelligens
Bygga intelligenta system med luddig logik () Linköpings universitet 729G43 Artificiell Intelligens 2016-01-24 Sammanfattning Denna rapport täcker in hur man bygger intelligenta system med hjälp av luddig
Läs merOskarp logik - en flervärdeslogik för framtiden? Karl Bruno Linköpings universitet 2006-10-15
- en flervärdeslogik för framtiden? Karl Bruno Linköpings universitet 2006-10-15 Sammanfattning Oskarp logik är en utvidgning av den klassiska logiken. Den baseras på oskarpa mängder, mängder till vilka
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merGrundläggande logik och modellteori
Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs merp /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merLogisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 3)
Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom
Läs merLogik. Dr. Johan Hagelbäck.
Logik Dr. Johan Hagelbäck johan.hagelback@lnu.se http://aiguy.org Vad är logik? Logik handlar om korrekta och inkorrekta sätt att resonera Logik är ett sätt att skilja mellan korrekt och inkorrekt tankesätt
Läs merEtt Oskarpt Beslut. Om Oskarp Logik i Speldesign. Mikael Hedenström
Ett Oskarpt Beslut Om Oskarp Logik i Speldesign Mikael Hedenström Examensarbete i speldesign, 15 högskolepoäng Speldesign och grafik/speldesign och programmering, vt 2013 Handledare: Kim Solin, Tommi Lipponen
Läs merANDREAS REJBRAND NV3ANV Matematik Matematiskt språk
ANDREAS REJBRAND NV3ANV 2006-02-14 Matematik http://www.rejbrand.se Matematiskt språk Innehållsförteckning MATEMATISKT SPRÅK... 1 INNEHÅLLSFÖRTECKNING... 2 INLEDNING... 3 MÄNGDER... 4 Att uttrycka en mängd...
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merLaboration Fuzzy Logic
BILAGA B Laboration Fuzzy Logic Lär dig simulera ett program! ABB INDUSTRIGYMNASIUM Fuzzy Logic Wikingsons Wåghalsiga Wargar Projekt ABB VT 2006 Västerås Innehåll 1 Introduktion... 3 2 Uppgiften... 3 2.1
Läs merResonemang under osäkerhet. Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic
Resonemang under osäkerhet Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic Varför resonera med sannolikheter? Om agenten vet tillräckligt om världen, kan den med logik få fram planer som garanterat
Läs merUtsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
Läs merÖvningshäfte 2: Induktion och rekursion
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,
Läs merHur implementera algoritmerna på maskinnivå - datorns byggstenar
Hur implementera algoritmerna på maskinnivå - datorns byggstenar Binära tal Boolesk logik grindar och kretsar A A extern representation intern representation minnet i datorn extern representation 1000001
Läs merFormell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
Läs mer1 Föreläsning Implikationer, om och endast om
1 Föreläsning 1 Temat för dagen, och för dessa anteckningar, är att introducera lite matematisk terminologi och notation, vissa grundkoncept som kommer att vara genomgående i kursen. I grundskolan presenteras
Läs merFuzzy%Logic% Linköpings&Universitet&
729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII Carno535 FuzzyLogic LinköpingsUniversitet Fördjupningsarbete Caroline Norén 91131-172 Carno535 729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII Carno535 729G11 HT212 ArtificiellIntelligensII
Läs merFunktionsstudier med derivata
Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper
Läs merTentamen i. TDDC67 Funktionell programmering och Lisp
1 Linköpings tekniska högskola Institutionen för datavetenskap Anders Haraldsson Tentamen i TDDC67 Funktionell programmering och Lisp och äldre kurser TDDC57 Programmering, Lisp och funktionell programmering
Läs merLabb i Datorsystemteknik och programvaruteknik Programmering av kalkylator i Visual Basic
Labb i Datorsystemteknik och programvaruteknik Programmering av kalkylator i Visual Basic Inledning Starta Microsoft Visual Studio 2005. Välj create Project Välj VB + Vindows Application och välj ett nytt
Läs merPARALLELL OCH SEKVENTIELL DATABEHANDLING. Innehåll
PARALLELL OCH SEKVENTIELL DATABEHANDLING Innehåll Parallellism i VHDL Delta delays och Simuleringstid VHDLs simuleringscykel Aktivering av Processer Parallella och sekventiella uttryck 1 Controller PARALLELLISM
Läs merVisual Basic, en snabbgenomgång
Visual Basic, en snabbgenomgång Variabler och Datatyper En variabel är som en behållare. Olika behållare passar bra till olika saker. I Visual Basic(härefter VB) finns olika typer av behållare för olika
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merFormell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element
Läs merKomponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska
Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från
Läs merViktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:
FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments
Läs merLogik och modaliteter
Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.
Läs merVarför är logik viktig för datavetare?
Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.
Läs merGeometrimattan Uppdrag 2. Geometrimattan Uppdrag 1. Geometrimattan Uppdrag 4. Geometrimattan Uppdrag Aima din Sphero. 1. Aima din Sphero.
Uppdrag 1 2. Starta på blå triangel. 3. Åk till grön triangel. Uppdrag 2 2. Starta på gul cirkel. 3. Åk till röd kvadrat. Uppdrag 3 2. Starta på gul cirkel. 3. Åk till blå rektangel. Uppdrag 4 2. Starta
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs meri LabVIEW. Några programmeringstekniska grundbegrepp
Institutionen för elektroteknik Några programmeringstekniska grundbegrepp 1999-02-16 Inledning Inom datorprogrammering förekommer ett antal grundbegrepp som är i stort sett likadana oberoende om vi talar
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet
Läs merJavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm
JavaScript del 3 If, Operatorer och Confirm Under förra uppgiften så kollade vi på hur användaren kan ge oss information via promt(), vi använde den informationen både för att skriva ut den och för att
Läs merGrundläggande logik och modellteori (5DV102)
Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,
Läs merDatorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella
Läs merFöreläsning 15. Logik med tillämpningar
Föreläsning 15 Logik med tillämpningar 00-05-22 Innehåll Exempel på expertsystem Eliza Min forskning Vad är ett beslutsstöd? Exempel på byggda beslutsstöd The production line för beslutsstöd. Extraktionsfasen
Läs merfebruari en viss typ av text. net för en serie e och skrivträning. Träna läsförståelse aövning Månadens tänka vidare uttryck.
Månadens Sanomaövning Månadens Sanomaövning Februari Träna läsförståelse Träna läsförståelse innehåller berättande texter och sakprosatexter. Till varje text finns läsförståelseövningar. Övningarna tränar
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merLogik och kontrollstrukturer
Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merKap. 7 Logik och boolesk algebra
Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik
Läs merkl Tentaupplägg
Tentaupplägg TIPS 1: Läs igenom ALLA uppgifterna. Välj den du känner är lättast först. Det kan gärna ta 10-20 minuter. Försök skriva saker som kan vara problem i uppgifterna. Är det något du absolut kommer
Läs merSatslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)
Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder
Läs merSkapa modeller i Vikingen
Skapa modeller i Vikingen Generellt En modell är egentligen ett datorprogram som utför saker åt dig. Det börjar med att du har en idé som du vill testa om den är lönsam eller inte. Du behöver skriva ned
Läs merIntroduktion till programmering SMD180. Föreläsning 4: Villkor och rekursion
Introduktion till programmering Föreläsning 4: Villkor och rekursion 1 1 Några inbyggda funktioner (med resultat!) Konverterar mellan de grundläggande typerna: >>> int("32") 32 >>> int(3.999) 3 >>> float(32)
Läs merAVR 5. Styrning av trafikljus. Digitala system 15 p
Namn: Laborationen godkänd: Digitala system 15 p AVR 5 LTH Ingenjörshögskolan vid Campus Helsingborg Styrning av trafikljus. Syftet med laborationen är att styra en trafikkorsning med hjälp av en mikroprocessor.
Läs merMålet för D1 är att studenterna ska kunna följande: Använda några av de vanligaste PROC:arna. Sammanställa och presentera data i tabeller och grafiskt
Datorövning 1 Statistisk teori med tillämpningar Repetition av SAS Syfte Syftet med Datoröving 1 (D1) är att repetera de SAS-kunskaperna från tidigare kurser samt att ge en kort introduktion till de studenter
Läs merDIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA
DIGITALA TAL OCH BOOLESK ALGEBRA Innehåll Talsystem och koder Aritmetik för inära tal Grundläggande logiska operationer Logiska grindar Definitioner i Boolesk algera Räknelagar BINÄRA TALSYSTEMET Binärt
Läs merAndragradsekvationer möter elever under sitt första år på gymnasiet.
Christoph Kirfel Komplettera kvadraten och kuben med bilder Elever som för första gången ställs inför att lösa andragradsekvationer kan få hjälp att förstå kvadratkomplettering med hjälp av väl uttänkta
Läs merDigitalt lärande och programmering i klassrummet
Stockholm 2018-02-14 14 februari 2018 Digitalt lärande och programmering i klassrummet Programmera i Python med micro:bit Introduktion I förra lektionen gick vi igenom grunderna i hur man programmerar
Läs merSats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merKort introduktion till POV-Ray, del 1
Kort introduktion till POV-Ray, del 1 Kjell Y Svensson, 2004-02-02,2007-03-13 Denna serie av artiklar ger en grundläggande introduktion och förhoppningsvis en förståelse för hur man skapar realistiska
Läs merProgrammerbar logik. Kapitel 4
Kapitel 4 Programmerbar logik Programmerbar logik (PLC: Programmable Logic Controller; fi. ohjelmoitava logiikka) är en sorts mikrodatorliknande instrument som är speciellt avsedda för logik- och sekvensstyrningsproblem.
Läs merOOP Objekt-orienterad programmering
OOP F2:1 OOP Objekt-orienterad programmering Föreläsning 2 Deklaration och tilldelning Programsatser Tilldelning Input/Output Selektion Deklaration och tilldelning OOP F2:2 int x; double d; char ch; boolean
Läs merTema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg
Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras
Läs merLösningar Datastrukturer TDA
Lösningar Datastrukturer TDA416 2016 12 21 roblem 1. roblem 2. a) Falskt. Urvalssortering gör alltid samma mängd av jobb. b) Sant. Genom att ha en referens till sista och första elementet, kan man nå både
Läs merSanning och lögnare. Rasmus Blanck VT2017. FT1200, LC1510 och LGFI52
rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Vad är sanning? Vi verkar använda begreppet utan större problem till vardags. Det kanske vore intressant att ha en definition: P är sann om och endast
Läs merA B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla
Läs merDigital- och datorteknik
Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Institutionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Logikgrindar Från data till digitala byggblock: Kursens
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merFöljddiagram för händelsestyrda rörelser
Följddiagram för händelsestyrda rörelser 2 STYROBJEKT UNIKA FASER Två arbetscylindrar ska röra sig i följande ordning. När man ger startkommando ska kolvstången i cylinder gå ut. När den har nått sitt
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merExempeluppgift i Logikstyrning. 1 Inledning. 2 Insignaler och utsignaler
Exempeluppgift i Logikstyrning Inledning Idén med detta papper är att ge en allmän beskrivning av labbutrustningen och tips för hur man kan lösa olika praktiska problem i samband med laborationen. Läs
Läs mer729G04 Programmering och diskret matematik. Python 2: Villkorssatser, sanningsvärden och logiska operatorer
729G04 Programmering och diskret matematik Python 2: Villkorssatser, sanningsvärden och logiska operatorer Föreläsningsöversikt Vad händer när vi kör vår pythonkod? Programmerare Villkorssatser Jämförelser
Läs merFormell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,
Läs merLogik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren
Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2
Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion
Läs merFilosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet
Läs mer