LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 1 LT L. = dim g dim R 1 2

Transkript

1 LÖSNINGA ILL POBLEM I KAPIEL LP. Acceleration är hastihetsändrin per tid: hastihet L dim = dim = = L tid dim = L dimτ = a) dim π dim π dim dim = = ( ) = dim dim L L L L b) dim π dim π dim dim L dim = ( )= ( ) 3 = 3 L L L L c) dim π = dim π dim = dim = = dim L dim L = d) dim π dim π dim dim = = = dim dim L = L = Uttrcket i d) har alltså dimensionen tid och kan vara rätt uttrck för satellitens omloppstid. En helt annan kontroll äller storleksordninen: Om jordens omkrets är unefär 4000 mil och tndaccelerationen sätts till 0 m/s så fås π π = ( ) Omkrets π π 0 s s 5000 s.4 h Det är ett rimlit värde för en satellit vars hastihet är av storleksordninen 0 km/s.

2 LP. ermerna i en ekvation måste ha samma dimension. Vi kontrollerar därför varje term: dim mv = dim m ( dim v) = M ( L ) = ML dim m = dim m dim dim = M L L = ML dim dim dim dim k = k = kraft ( ) länd dim länd = dim( kraft)= dim( massa acceleration)= ML De två första termerna har samma dimension. De motsvarar eentlien kinetisk eneri respektive potentiell eneri. Den tredje termen har en annan dimension och kan ej adderas till de andra. LP.3 Vi bestämmer dimensionen för de storheter som inår i formlerna och sedan undersöker vi varje iven formels dimension. dim dim effekt dim kraft dim hastihet = dim( massa acceleration) dim( hastihet) = ML L = ML P = ( )= ( ) ( ) dim ρ = dim( densitet)= dim( massa per volm)= ML -3 a) dimc ρpa ML ML L M L b) dimc( ρpa)= ML ML L= ML c) dimc ρpa ( ) 3 = d) dimc ρ PA ( ) 3 = ML ML L = -3 ML 3 = L -3 ML L ML Endast uttrcket d) har samma dimension som hastihet.

3 LP.4 Dimensionen för (tnd-)acceleration är dim = dim( hastihetsändrin per tid)= L - a) dim d - -4 L L L 3 - b) dim( d)= L L = L - c) dim( d)= ( L L ) = ( L ) = L Endast uttrcket c) har samma dimension som hastihet. LP.5 Vi ör en Ansats: v = c m h () Dimensionsekvationen blir dim v = dim( massa) dim( acceleration) dim( länd) ( ) - eller L = M L L L = M L () Nu måste dimensionen vara lika på båda sidor. Eponenterna för M, L och måste vara lika. Villkoret för rätt dimension är M: 0 = L: = + : = (3) Lösninen är = 0, =, = Insättnin i ansatsen er då v = c m 0 h (4) eller v = c h Den dimensionslösa konstanten c kan vi inte bestämma med denna metod. Kommentar: Det rätta uttrcket för sluthastiheten är v = h och kan bestämmas med en eneribetraktelse.

4 LP.6 Vi ör en Ansats: f = c l ρ S () där f är stränens frekvens och c en dimensionslös konstant. Motsvarande dimensionsekvationen blir dim( antal per tid)= dim( länd) dim( massa per länd) dim( kraft) () Antal har dimensionen. [ ] [ ( )] ( )= ( ) [ ( )] - dim tid dim länd dim massa per länd dim massa acceleration (3) - - = [ ] [ ] L ML ML + = M L + - (4) (5) Nu måste dimensionen vara lika på båda sidor. Eponenterna för M, L och måste vara lika. Villkoret för rätt dimension är M: 0 = + L: 0 = + : = (6) Lösninen är = /, = /, = Insättnin i ansatsen er då f = c l ρ S eller f = c l S ρ Den dimensionslösa konstanten c kan vi inte bestämma med denna metod. Kommentar: esultatet visar att om stränens länd halveras för dubblas frekvensen. Frekvensen ökar med spännkraften och minskar med länddensiteten.

5 LP.7 Vi ör en Ansats: Vpot = c k () där V pot är den potentiella enerin i fjädern och c en dimensionslös konstant. Dimensionsekvationen blir kraft dim( eneri)= dim( ) dim( länd) länd () Dimensionen för eneri kan bestämmas om man kan en formel för ett annat eneriuttrck, t e kinetisk eneri massa acceleration dim mv dim dim länd = länd [ ] (3) ( ) M L dim m ( dim v) = L L ( ) ML M L ML = M L (4) (5) (6) Nu måste dimensionen vara lika på båda sidor. Eponenterna för M, L och måste vara lika. Villkoret för rätt dimension är M: = L: = : = (7) Lösninen är =, = Insättnin i ansatsen er då V = pot c k (8) Den dimensionslösa konstanten c kan vi inte bestämma med denna metod. Kommentar: Det rätta uttrcket för enerin är V = pot k och kommer att härledas senare.

6 LP.8 Vi ör en v Ansats: η = c E u q () där η är den inre verkninsraden och c en dimensionslös konstant. Verkninsrad är ett förhållande mellan ntti effekt och tillförd effekt. Verkninsrad har därför dimensionen. Dimensionsekvationen blir eneri massa w = dim( ) dim( fart) dim( ) dim( acceleration) massa tid () Dimensionen för eneri kan bestämmas om man kan en formel för ett annat eneriuttrck, t e kinetisk eneri = mv. = massa dim v [ dim v] dim dim acceleration tid w - = [ L ] [ L ] [ M ] [ L ] = ML + + w w [ ] ( ) w (3) (4) (5) Nu måste dimensionen vara lika på båda sidor. Eponenterna för M, L och måste vara lika. Villkoret för rätt dimension är M: 0 = L: 0 = + + w : 0= w (6) Lösninen är = 0, w = 0, = Insättnin i ansatsen er då η = c E u (7) Det år inte att bestämma. Det betder att alla funktioner av för hållandet E är tillåtna. esultatet är alltså att uttrcket för verkninsraden, bestämt med dimensionsanals) kan u skrivas η = E f u Den dimensionslösa konstanten c kan inte bestämmas med den här metoden.