- 1 - Linjära ekvationssystem. B Ax = b. n obekanta & n ekvationer. B Ortogonalitet. B Linjärt oberoende Ax = 0 L x = 0 spänner upp vektorrum.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "- 1 - Linjära ekvationssystem. B Ax = b. n obekanta & n ekvationer. B Ortogonalitet. B Linjärt oberoende Ax = 0 L x = 0 spänner upp vektorrum."

Ellen Ek
för 6 år sedan
Visningar:

1 CC SS S CC CC M VV Ljära ekvatossystem x b obekata & ekvatoer x! "# x #$ %$'& x &( *+ "$, x,-/.0 # x $ %## x #( "$#'& x &( *+ "$#, x,-/.0# $, x ( "$,# x #( %$,3& x &$ *45$,3, x,6-/.7, B x b 8 9;:< >;7<?@ där CC -matrs och b C '# & D, #E$#'#F#&GD#, &E$&'#F&&GD&, $,3E$,3#F,3&4D,H, b C -vektor.0. #.0&.0, B rtogoaltet I 9 J < K;K x T y 0, samt Q T Q I B Ljärt oberoede x 0 L x 0 B Bas B Rag B Värderum B ollrum späer upp vektorrum rag( dm(m M ( M ( { b R m bx, x R } ( { x R x 0 } 3 4 >P Q7R ;% W!X RK; Exempel : 3C C 3-matrs x b ka lösas S b lgger det pla som späs upp av s kolumer ( uderrum tll R 3 Detta rum kallas värderummet tll, M M ( Lösgara tll x 0 utgör ollrummet tll, ( b kol + kol kol M M ( späs upp av t.ex. TT TUM T M ( meda b 0 VM V -3 M (

2 eeee eeee fff fff?? %$& '( Ekvvaleta utsagor Kolumera utgö r bas fö r R Kolumera ä r ljä rt oberoede ä r ckesgulä r Vad gö r ma? * ollstä ll varje kolum uder huvuddagoale * gö r samtdgt samma operatoer på hö gerledet * Lö s det tragulä ra systemet med bakåtsubsttuto ä r verterbar x 0 x0 det( 0 Överfö r matrse på tragulä r form geom att elmera obekata ur ekvatoera $, " -. & $ " / 0 " '(Ö -.9 ( - P Ekla att lö sa Övertragulä r Udertragulä r 3 CD : ; < 8 ; ; 4 4E;F; 7 4HGI:J4K; 78 GI:L8M4 Lö s Ux c dä r U ö vertragulä r alla dagoalelemet Q 0 fö rutsä tts x c /u x (c -R u j x j /u -, -,, SUTV W XUY[Z]\ _^ ^ 9 0 +a` b ` ($, cd/ / $ g ` P h/,$ ågot dagoalelemet blr 0 ff byt rader ett dagoalelemet vä ldgt ltet, aturlgt eller pga. avrudgsfel f bra om el. te vä xer m < f vä lj det stö rsta el. kol. Vktgt att pvot-elemete 0 V vll ha så stort pvot-el. som mö jlgt (beloppet Byt rader matrse (och hö gerledet fö r att orda detta. (Pvotera Geom detta blr alla multplkatorer m k a k /a kk tll beloppet < - -

3 m # $ % &# &# tt lå ta två rader byta plats ka utfö ras med matrsmultplkato frå vä ster P * P*! "!" Ekel - byter två rader E ekel permutatos matrs ä r symmetrsk P P T P - E produkt av permutatosmatrser ä r e permutatosmatrs P P P P Multplkato med P frå hö ger permuterar E ehetsmatrs med omkastade rader kolumer 3 4 ' (# # +*,*-*,*,* ]^`_a b% &V c ä r matrse ä r Dagoaldomat 8 9./ /. / / :<; > symmetrsk och postvt deft?@cbdfefgch#h DFB,I J D KLJMF PQPC REFBDFI RDFB STVUMBUSCPMFWCBPCDFR XBGCYZ DFH#[\@CB PC[ [J DFEFMFUI GCSDFB Gausselmato med partell pvoterg (på ckesgulä r matrs P LU Lö s x b d Px Pb d LUx Pb d Ly Pb d Ux y 5 6 egfhkj ^ fhxw o!p!! rqrk rqrk sut l!m b m vvv v sut!m! x b LUx b Ly b Ux y U o! " l t y m vvv v l t x b LUx b Ly b Ux y L b

4 B Q G Q U U ; < < Samma - olka b LU-uppdelge å teravä ds LU-faktorserge 3 /3 mult. & addtoer Framå t/bakå t substtutoe fö r att berä ka x å tgå r - addtoer och multplkatoer (+ e dvso! #"%$'&(%*,+.-,/.&,0 /*, 3 $'4, : & - totalt c:a > E vektororm ä r ett må tt på lä gde hos e vektor @@ 0, fö r @@@@ 0 omm @@@@ @@@@?@ x+y F x + y 9 0 H IJLK IJM < < < R S P p /p x ( x p -orm -orm -orm x x x ( x / x max x > Fö r e gve vektororm deferas? absoluta felet T x x - x? @@@@ x x@ VWM< < VXM< < < > Hä rleds frå vektorome sup x x E så da matrsorm satsferar? 0, fö r alla? 0 omm 0? B B B? +B F + B 3 P -orm -orm F-orm max a max a ( a / F -orme : rote ur stö rsta egevä rdet tll T stö rsta sgulä ra vä rdet j j j j j j 4-4 -

5 > 0 om 0 fö r varje skalä r +B + B B B x x fö r varje vektor x (p-ormer!!#" $ Det exakta systemet x b, har de exakta lö sge x $ E stö rg b ger e stö rg x (x +% x b +% b $ Relatva stö rge lö sge blr % x x - % b b 5 6 ' ( ( *+!, (! cod( cod( & cod(i ehetsmatrse cod(p P permutatosmatrs cod( cod( skalä r cod(d - max d m d D dagoalmatrs $ cod( -/. - - $ det( 0 0 det( I, 3 cod( I, 0 sgulä r - sgulä r godtycklgt ltet fö r <, cod(i " 8! (!, 9 ":" <; 8! (! \ b x \ b x »orm( as.68»cod( as.684 \ b x \ b x »orm( as.000»cod( as 4.000e+04 Lte ä drg b ger lte ä drg x 9 Lte ä drg b ger stor ä drg x

6 Ädrge 0-4 hö gerledet fö rstorades tll e ä drg av storleksordge ä r ä ra sgulä r - stort kodtostal avsett umersk metod så kommer v te frå detta! Äve e vä l-kodtoerad matrs ka fö rstö ras av e då lg algortm! " Lte resdual garaterar te korrekt lö sg " Korrekt lö sg ka ha stor resdual #%$ &(' (*(+&*' ((&* &(' (*(+&*' ((*,*-/.0 3 #546$87*' *(9((:*;<* ^ 3 3 >? P <Q R K &$ 9(' ((& 9(' (( D &$ & & K $ & D $ E&((( &(*( D 9$ 9,*0.@BC3 D &(E D 9(4 F 0.G@H 3 D &*4I$J&,*0.@BC3 K &*EL#5M D 9*4$J&*' ((*(:(E( S/TVU W XZY/YZX X[Y[YZY \[](^`_ab Sdc W S/T[e f ](^g_lab S/c[ehUj[k Y X[XZlZW Y T \[](^`_ab m c W o S/T[eU X k T X TZp qsr th u Q vwtx xy < <z{ y vcv t }uxq ~ ~ y v " Symmetr t.ex. T " Pos.deft x T x > 0, alla x 0 ka Cholesky-faktorseras LL T " Bad t.ex. " Gleshet t.ex. (se Matlabs sparse x x 0 x 0 x 0 0 x 0 " Krä ver te pvoterg fö r um. stablltet " Bara halva matrse behö vs " 3 /6 operatoer (hä lfte mot LU

7 Mycket lkt valg LU lagrar bara el 0 kortare loopar jmf med Gaussel. pvoterg ka ö ka badbredde (max dubbelt PDE ger upphov tll glesa system som ofta lö ses bä st med teratva metoder Pvoterg behö vs ofta te fö r trdagoala, fö r dessa ä r ofta atge dagoaldomata eller pos.def Faktorserge ( -badbredde

Relevanta dokument

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex.

Linjär Algebra. Linjära ekvationssystem. Ax = b. Viktiga begrepp. Linjära ekvationssystem. Kolumnerna i A. Exempel. R (A) spänns upp av t.ex. Ljära ekvatossystem Ljär Algebra obekata & ekvatoer a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b a x + a x + a 3 x 3 + + a x = b Ljära ekvatossystem där A -matrs och b -vektor Vktga