R S T. k a fp n a f s a f a f LAPLACETRANSFORMEN. (Enkelsidig) laplacetransform, forts. z. Antag. xt dt. Följaktligen existerar.

Transkript

1 Atg Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 1 LAPLACETRANSFORMEN Låt ~x t xt e t, där R, såd tt z ~x t dt< ågot 0 > 0 R S T xt z < 0 0 xt dt Fölktlge exsterr F F l l ~ q xt q xt (el. grudde.) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 2 Låt (Ekelsdg) lplcetrsorm, orts. z k p s t + t F ~x t F xt e xt e dt X + s + Xs X s X s L x t x t e dt kp 0 Kovergesområde: Re s > : Ekelsdg lplcetrsorm k p / > z0 k p ( OBS! Om F xt 0 0) st 0

2 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 3 Dubbelsdg lplcetrsorm Låt x(t) t och låt F xt e t ör ågot reellt tervllet 0 1 : X s L xt xt e dt k k p Kovergesomr. ör X (s): z p kp Re s 0 1 ( OBS! Om F xt -xel lgger 0 1 kovergesområdet ör X(s )! ) st s Dubbelsdg lplcetrsorm Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 4 vers lplcetrsorm De vers lplcetrsorme är desmmör de dubbelsdg som ör de ekelsdg trsorme: xt + z L kxsp Xse 1 1 2π st ds tegrtosväg kov.området + de kurs erhåller v ot (otst) trsormer och ders verser rå ormelsmlge! Läs mer om lplcetrsorme Kptel 2.4! 0 1 -

3 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 5 Kretsberäkgr, lär RLMC-ät (pssv kretselemet, lplcetrsormerbr källor) METODK, beräk godtycklg ätspäg / -ström: 1) L{ } e(t) 0 (t) E(s) 0 (s) l 0 0q Om ätörädrgr sker vd t t 0 ( här ts t 0 0 ) Betrkt ll källor som kopplde vd t t 0 L xt t ut t Xse st (t) (s) Ädr 2) v(t) V(s) beteckgr 0 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 6 3) Kretsberäkgr, metodk (orts) Ersätt pssv ätelemet med opertorschem: (t) R v(t) vt R t Vs R s (s) R V(s) (t) L v(t) vt L d t dt Vs sls L 0 (s) sl V(s) L (0-) L (0-) motsvrr e mpulsormd späg med styrk L (0-) tdsplet ( L 1 K K δ t ): kp L (0-) t

4 3) orts. (t) v(t) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 7 Kretsberäkgr, metodk (orts) C t C dv t dt 1 Vs + sc s v 0 s v(0-)/s motsvrr e stegormd späg med höde v(0-) tdsplet ( L 1 K s K u t ): (s) v(0-) 1 sc V(s) v(0-) s o t t 4) Lkströmsteor 5) verstrsormer Sökt storhets lplcetrsorm ( Y(s) ) Sökt storhets tdsuttryck ( y(t) L 1 { Y(s) } ) Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 8 SYSTEMANALYS Kuslt LT-system x(t) h(t) y(t) Systembeskrvg (se kp & 4.3): Om systemet e är eergrtt kremetellt lärt system 0 y( t) + 1 d y( t) dt b 0 x( t) + m 1 b d x( t) dt Atg x(t<0) 0 (Kuslt system ger då y(t<0) 0 L k väds) Lplcetrsormer ( L ) u deretlekvtoe ov!

5 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 9 Systemlys, Systemukto bs 0 Ys Xs + Y s z s y() t y () t + y ( t) zs De tvug svägge z m 0 De r svägge ( går edst om systemet hr begyelseeerg ) Systemuktoe: ( s) ( s) Y H ( s) L h t X ll tltllståd 0 { ()} Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 10 Systemukto, orts Dvs. ör eergr kusl LT-system gäller L k p L kp Y s y t x h t X s H s För cke-kusl LT-system gäller Y s X s H s (Evetuell begyelseeerg k då te hters)

6 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 11 Pol-Nollställedgrm Hs m 0 bs K 0 s m 1 1 c s s p h K : : p : Nvåkostte b m Nollställe tll H(s) tälrpolyomets ollställe Poler tll H(s) ämrpolyomets ollställe Exempel: Hs Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 12 Pol-Nollställedgrm, orts K s + 4s + 4s s + 4s + 8s + 16s Nollställe: ss+ 1+ s+ 1 s s+ 2 s 2-2 (2) Poler: p1 p2 2 p3 2 p4 2

7 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 13 Poler, ollställe och tdssgl Poler ger, tllsmms med ders respektve postoer, vlk typer v termer (sglkompoeter) som går sgle. Ekelpol (reell): ( s α, Re{s}> α ) Ekl komplexko. polpr: ( s α ± 0, Re{s} > α ) RST R S T L 1 1 s + α ω UVW L e s + α + ω α t U V u t s W α t 2 ω 0 0 e t u t Nollställe verkr rämst på de reltv styrk v de olk termer. Exempel: Xs Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 14 Överlgrde pol-ollställedgrm s s s + 1 ss+ 2 d 2t xt 1+ e ut Hs 3s s Ys Xs Hs 2 s + 1 ss+ 2 3s s K2 2 K3 2 K OBS!

8 Fö 6, 7 & 8 - Lplcetrsormlys 15 Polplcerg, kovergesområde & KAUSALTET g poler k s kovergesområdet ör H(s) Det s tre typer v smmhägde kovergesområde: At-kuslt system Allmät cke-kuslt system Kuslt system h(t 0)0 h(t<0, t 0) 0 h(t<0)0 Re{s}< 1 0 < Re{s}< 1 Re{s}>