KVANTFYSIK för F Inlämningsuppgifter I6

Transkript

1 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Mikroteknologi och nanovetenskap Elsebeth Schröder (schroder vid chalmers.se) (rev: ) KVANTFYSIK för F3 29 Inlämningsuppgifter I6 Bedömning: Bedömningen av de inlämnade lösningarna sker summariskt. Uppgifterna kan ge upp till 3 poäng vardera (För betyg 3 krävs 6 poäng, för fyra 9 poäng och för femma 12 poäng, men detta gäller de viktade poängtalen för hela kursen). Vid bedömningen läggs inte bara vikt på ev. rätta svar på direkta frågor utan också på klarhet i presentationen, med fullständiga meningar, med logik i argumenten och med tydliga referenser till kompendiet o/e boken samt tabeller för material som hämtats där. Observera att också en redigt skisserad principlösning kan ge vissa poäng. Denna omgångs inlämningsuppgifter är:.) För att underlätta lösandet av inlämningsuppgifterna bör du först öva Dig genom att t ex lösa de uppgifter som ges i veckoschemat. 1.) Lös uppgift E3, finns på hemsidan på 2.) a) För följande molekylorbitaler (MO) för homonukleära tvåatomiga molekyler ska du ange hurvida MO:n förväntas vara bindande eller antibindande och skissa orbitalen: σ u (bildad från s-elektroner), π u, π g. Motivera ditt svar, det räcker inte att referera till litteratur. b) En homonukleär tvåatomig molekyl har följande MO i grundtillståndet: [OBS: reviderad från första version så att det passar bättre med kompendiets notation!] (σ g 1s) 2 (σ u 1s) 2 (σ g 2s) 2 (σ u 2s) 2 (σ g 2p) 2 (π u 2p) 4 (π g 2p) 2 Vad är molekylens spinn-multiplicitet? c) Hur ändras i fråga b) molekylens dissociationsenergi om molekylen joniseras genom att man tar bort en elektron i π g 2p, eller i σ g 2p? [OBS: reviderad!] d) Vad blir molekylens spinn-multiplicitet om man tar bort en elektron från π g 2p? [OBS: reviderad!] 3.) Molekyl-jonen HeH 2+ kan uppfattas som ett tre-kropps-problem: de två atomkärnorna och elektronen. HeH 2+ har därför liksom (H 2 ) -molekyljonen genom tiderna fungerat som test för olika metoder att hantera tre-kropps-problem numeriskt eller (approximativt) analytiskt. I en artikel från 1993 tar Ben-Itzhak et al. upp just HeH 2+ molekyljonen och frågan om existens av bundna tillstånd. Genom experiment mäts (då för första gången, trots att detta förutsågs redan i 195) det bundna, kortlivade 2pσ-tillstånd. a) Vilken är hamiltonoperatorn för molekyljonen HeH 2+ i Born-Oppenheimer approximationen (den adiabatiska approximationen)? Hamiltonoperatorn kan anges antingen i SI enheter eller i atomära enheter (ange vilka). b) Ange (inom Born-Oppenheimer approximationen) den lägsta energin av elektronen i detta system I. Ben-Itzhak, I. Gertner, O. Heber och B. Rosner, Physical Review Letters 71 (1993) p

2 i två extremfall: Helt separerade atomer (vilken atom ska elektronen läggas i för att få lägsta totala energi i systemet?); och samlad atom (de två kärnorna har gått ihop till en, vad är elektronens energi?). Ledning: denna fråga bör inte involvera några större beräkningar! Figure 1: Ur: I. Ben-Itzhak, I. Gertner, O. Heber och B. Rosner, Physical Review Letters 71 (1993) p Skalorna är i Hartree (Ha) atomic units (1 Ha = 27,2116 ev). c) I artikeln av Ben-Itzhak et al. refereras och visas resultat från 1956 som förutsåg det bindande tillståndet 2pσ, se figur 1. Graferna har räknats fram utifrån hela hamiltonoperatorn, inklusive kärnornas bidrag till systemets energi (fortfarande inom Born-Oppenheimer approximationen). Hur skiljer sig de resultat ni fick i fråga b) från grundtillståndet i figur 1, och varför? Vilka likheter ser ni? (med andra ord, kan ni utifrån resultat i fråga b) förklara grundtillståndets beteende vid stora R, kan ni även förklara de andra tillståndens beteende vid stora R?) 4.) Kvantpunkter är små elektriskt ledande regioner i en halvledare. De innehåller ett varierande antal elektroner (1-1 st), som besätter väldefinierade, diskreta kvanttillstånd. Därför kallas de ofta artificiella atomer. Genom att ansluta dem till ström- och spänningskontakter kan det diskreta energispektret undersökas genom mätning av laddningstransporten. Två kvantpunkter kan kopplas samman till att bilda en artificiell molekyl. Beroende på styrkan hos kopplingen mellan punkterna (som ju stöder kvantmekanisk tunnling av elektroner mellan punkterna) kan de två punkterna bilda joniska eller kovalenta bindningar, som bl.a. skiljer sig åt genom graden av lokalisering av elektrontillstånden. Bindningen leder till bindande och antibindande elektrontillstånd, vars energiskillnad i det kovalenta fallet är proportionell mot tunnlingsgraden. a) Generalisera kompendiets LCAO-räkning för vätemolekyljonen till den hypotetiska molekylen AB på ett sådant sätt att begreppen bindande och antibindande illustreras (detaljer må ersättas av täta hänvisningar till kompendiet eller motsvarande text). Specifikt vill vi att du ska visa att energiskilladen mellan de antibindande och bindande energinivåerna E = E antibind E bind uppfyller ekvationen ( E ) 2 = ( E) 2 + (2T ) 2, (1) där E = E A E B är energiskillnaden mellan elektronnivåerna i de fria atomerna A och B och 2

3 T e (a) (b) δ 1 1 ω 1 T ω e 12 ω 2 (c) Figure 2: Från J. M. Villas-Boas, A. O. Govorov, Sergio E. Ulloa, Phys. Rev. B 69, (24); också tillgängligt fritt på arxiv:cond-mat/43445v1. Artikelns caption till denna figur: Schematic band structure and level configuration of a double QD system. (a) Without a gate voltage, electron tunneling is weak. (b) With applied gate voltage, conductionband levels get into resonance, increasing their coupling, while valence-band levels become even more off-resonance, resulting in effective decoupling of those levels. (c) Levels taken into account by Hamiltonian model and the basis of states used to describe it. A pulsed laser excites one electron from the valence band that can tunnel to the other dot. We assume that the hole cannot tunnel in the time scale we are considering here. T = H AB är (tunnel-)kopplingen mellan atomerna A och B. Överlappsintegralen S kan antas vara försumbar. Det krävs inte beräkning av vågfunktioner motsvarande Ψ g och Ψ u i ekvationerna (18.11) och (18.1) i kompendiet. b) Visa att i det ena fallet (jonisk eller kovalent) de besatta molekylorbitalerna (MO) är lokaliserade på en av atomerna, medan de i det andra fallet är delokaliserade över båda! Genom att använda mikrovågsspektroskopi på de två kvantpunkterna i den artificiella molekyl kan bindningen mellan dem undersökas. Med grindspänningar kan man kontrollera energiskillnade mellan bindande och antibindande artificiella MO-nivåer. Vid svag koppling är elektronerna starkt lokaliserade på de individuella punkterna, motsvarande en jonbindning. Elektrontransporten styrs då av s.k. enelektronuppladdningseffekter. Med hjälp av grindspänningar kan man tona bort uppladdningsenergier och uppnå mer kovalent-liknande bindningar. Det är energetiskt tillåtet för en elektron att tunnla mellan punkter, när ett diskret tillstånd i den vänstra punkten linjeras upp i energi med ett diskret tillstånd i den högra. Pålagda spänningar kan också påverka upplinjeringen. En ström kan flyta, när elektronerna kan tunnla, och samtidigt bevara energin, från den vänstra kontakten, genom de vänstra och högra punkterna och till den högra kontakten. Energi kan också bevaras, när en foton av energin, som stämmer nästan med energiskillnaden mellan tillstånden i de två punkterna, absorberas från mikrovågsfältet med frekvens ω. 3

4 δ 1 (ω) ω 12 (ω) Figure 3: Från Från J. M. Villas-Boas et al., Phys. Rev. B 69, (24); också tillgängligt fritt på arxiv:cond-mat/43445v1. Artikelns caption är: Average occupation of level 2 as a function of laser detuning (δ 1 ) and level separation (ω 12 ) for T e =.1 ω and Ω =.5 ω. Notice that if ω 12 = we have poor population transfer to state 2. The best result is obtained when both, the laser detuning δ 1 and the levels separation ω 12 are nonzero. Inset shows the result for T e = Ω =.5 ω. c) Förklara utifrån figur 2 med egna ord hur tunnling och bindning mellan kvantpunkterna hänger ihop. Beskriv detta i termer av tillstånden, 1, och 2 och tunnelkopplingen T e i figuren. Varför är, enligt figur 3, besättningen av tillstånd 2 gles när ω 12 =? Till ett bra svar på denna deluppgift behövs mer information än vad som ges här och deluppgiften bör anses riktat mest till den som hoppas på högt antal poäng i I6. 5.) Vattens absorptionskoefficient har som funktion av frekvensen för den elektromagnetiska strålningen ett dramatiskt och karakteristiskt uppförande (Fig. 4). Exempelvis faller den tvärbrant över sju dekader i ett smalt frekvensområde mellan 4 och Hz. Sedan reser den sig med mer än åtta storleksordningar vid Hz. Att denna djupa nedgång i absorptionen av ljus ligger just i det synliga området är tankeväckande. Eftersom vatten finns i atmosfären, ger den ett genomskinligt fönster för det synliga solljuset. Man kan i detta sammanhang fundera över grundläggande frågor inom biologisk evolution på denna vattendrypande planet, varför djurögon ser spektret från rött till violett och varför gräset är grönt. a) Vilken typ av molekylära excitationer berörs under resp. över det synliga området (antag att spektret återspeglar molekylära egenskaper hos H 2 O, och att den låga absorptionen i det synliga området markerar att ett slags mekanism inte är aktiv över en viss frekvens och en annan inte under en annan frekvens)? b) Den i naturen vanligaste syreisotopen är 16 O. Om i stället 18 O vore vanligast och om deuterium (D) vore vanligare än H, skulle då det synliga fönstret vara smalare eller bredare? Motivera! 4

5 Abs. koefficient [cm -1 ] Frekvens [Hz] Figure 4: Absorptionskoefficient för flytande (rent) vatten som funktion av frekvens. Data som ingår i figuren är tagna ur ett antal referencer från de senaste 4 åren, samlade på 5