Dynamisk representation med digitala verktyg

Transkript

1 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 3: Dynamisk representation med digitala verktyg Dynamisk representation med digitala verktyg Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet; Håkan Sollervall och Ulrika Ryan, Malmö högskola, Ulrica Dahlberg & Ola Helenius, NCM Hur användandet av digitala verktyg kan skapa förutsättningar för en interaktiv matematikundervisning som bygger på elevernas egna matematiska konstruktioner har beskrivits i de tidigare delarna. Denna text kommer särskilt att lyfta fram hur digitala verktyg kan stödja matematisk representation, samt hur sådana verktyg kan användas i undervisningen. Syftet med denna moduldel att lyfta fram de möjligheter till dynamisk representation som stöds av digitala verktyg som exempelvis Geogebra, Desmos och Cabri géomètre för att bara nämna några få. Exemplen i denna text baseras på Geogebra, som i dagens läge (2016) har en dominerande ställning bland denna typ av verktyg i gymnasieskolans matematikundervisning. Verktygens betydelse för utveckling och lärande Människan har alltid använt olika slag av redskap eller verktyg i vilka hon har byggt in sitt kunnande. Verktygen kan ta oss bortom de gränser som våra biologiska förutsättningar sätter, och medverka till att vårt sätt att leva förändras. Till exempel har utvecklingen av verktyg för transport och informationsöverföring förändrat våra levnadsvanor radikalt. Verktyg kan användas på olika sätt beroende på användarens kompetens och intressen. Datorn kan till exempel användas för att skriva och spara texter, utföra beräkningar, söka information eller översätta mellan matematiska representationer. När vi använder olika verktyg påverkas vårt tänkande, men verktygen präglas i lika stor omfattning av vårt tänkande. Även själva matematiken kan ses som ett verktyg som kan användas för att förstå, beskriva och påverka vår omvärld. Då det gäller matematikundervisning kan digitala verktyg fylla olika funktioner. De kan dels användas instrumentellt, till exempel som skriv- eller räkneinstrument för textframställning eller beräkningar, vilket motsvarar användandet i vardags- och yrkeslivet, men de kan också fungera som verktyg för lärande och undervisning. Ett exempel på detta är elever som laborerar med digitala konstruktioner av olika geometriska objekt för att utveckla sin begreppsförmåga kring dessa. En fördel med digitala verktyg är att de kan utformas så att de stödjer dynamisk representation av de matematiska objekt som ingår i de digitala konstruktionerna. Eftersom representationer är en viktig del i både traditionell matematikundervisning och matematikundervisning med stöd av digitala verktyg, beskrivs i nästa stycke vad representationer innebär för matematiska objekt. 1 (12)

2 Matematiska representationer och mänskliga uttrycksformer Matematiska objekt är till sin natur abstrakta. När vi ska kommunicera med andra om matematiska idéer, exempelvis när vi beskriver matematiska beräkningar eller resonerar om lösningsstrategier, måste vi uttrycka dem på något sätt. De ljud, bilder, gester eller symboler som vi då använder brukar kallas för representationer av objektet i fråga. Å ena sidan är det en presentation, en återgivning eller framställning av en idé som någon vill förmedla. Ordledet re- beskriver att det också kan vara en åter-presentation, en alternativ presentation av något som redan presenterats. Matematiska objekt har den egenskapen att de kan representeras på många olika sätt. Många matematiska representationer är också i sig matematiska konstruktioner, som decimalsystemet för att representera tal. Genom att agera med tal i denna representation kan vi utföra beräkningar mycket enklare än om vi representerar talen verbalt eller med romerska siffror. Ett exempel på ett begrepps relation till en representation är objektet arean av en rektangel som är representerat med bild i figur 1. Representationen är naturligtvis inte fullständig. Det finns inget sätt att representera alla aspekter av ett begrepp, utan en representation kan lyfta fram någon av dem. Detta enkla exempel kan hanteras utan digitala verktyg, däremot är det bekvämt att kunna visa bilden via en tavla för att därigenom underlätta kommunikation och resonemang om objektet. A h b Figur 1: Arean av en rektangel representerat med bild. Bilden, inklusive dess beteckningar, kan användas för att representera detta objekt men den uttrycker inte på egen hand vad vi avser när vi säger arean av en rektangel och pekar på bilden. Menar vi ytans storlek, relationen mellan area, bas och höjd, eller menar vi något annat? Om vi vill begränsa oss till att uttrycka hur rektangelns area kan beräknas, kan vi säga arean är lika med basen gånger höjden samtidigt som vi hänvisar till bilden och säger arean, basen, höjden när vi pekar på A, b respektive h. Vi kan förtydliga ytterligare genom att skriva den symboliska formeln A = b h på tavlan. Då matematik kommuniceras väljs vad som ska uttryckas med stöd av en viss representation. Det matematiska uttrycket kan ses som en kombination av representation och kommunikation (Hegedus & Moreno-Armella, 2009). Matematiska uttryck uppstår först när matematiska tankar och idéer kommuniceras med stöd av representationer. Kommunikationen sker ofta verbalt eller skriftligt, ibland i kombination med fysiska gester, bildspel och filmer. 2 (12)

3 Representationer kan exempelvis kategoriseras som bildliga (grafiska), numeriska, symboliska och språkliga. Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad dessa skall användas till och på vilken förförståelse eleverna har. För att få djupare förståelse av matematiska begrepp behöver vi tolka och använda olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem (Duval, 2006; Kirsh, 2010). Det talade och skriftliga språket utgör här en mycket viktig funktion. Normalt använder vi språk för att stegvis bygga upp begripliga representationer från konkreta och vardagsnära kontexter till mer abstrakta. Att kunna översätta mellan olika representationer är viktigt. I matematiksammanhang är det inte ovanligt att gå från en matematisk formel, till exempel Kapital = insättning förändringsfaktor tid eller f (x) = x Denna formel anger hur många tusen kronor Evelina har efter x år när hon sätter in tvåtusen kronor på banken (vid tidpunkten x = 0) till en fast ränta på 1,5 %. Detta samband illustreras med en graf i figur 2. Figur 2: En funktion representerad i symbolisk och grafisk form. En dynamisk variant av denna grafiska representation (där det går att ändra insatt kapital och räntesats) finns på Den grafiska (och dynamiska) representationen och dess koppling till Evelinas sparande kan stimulera till frågor. Hur mycket pengar har Evelina efter 10 år? Hur länge dröjer det innan hon har tre tusen kronor på banken? Hur påverkar ränta och insättning kapitalets utveckling? Det vi gjorde när vi tog fram grafen, genom att använda det digitala verktyget, var att omvandla mellan representationer av olika slag. Den algebraiska representationen kompletterades med en grafisk representation. Den algebraiska representationen innehåller information om hur x och y samvarierar, men i symbolisk form. Den grafiska representationen är en slags avbild av sambandet mellan x och y. Den algebraiska representationen ger information 3 (12)

4 som man kan få utan beräkningar, nämligen att det handlar om en exponentiell tillväxt. Detta signaleras av att x förekommer i exponenten. Sådan information är inte lika lätt att se i grafen. Olika representationer lyfter alltså fram skilda aspekter av matematiska objekt. De två representationerna är av fundamentalt olika slag, en är algebraisk och en grafisk. Att arbeta med matematik innebär ofta att arbeta inom en och samma typ av representation. För att beräkna kan uttrycket ersättas med , sedan med och och slutligen med svaret 52. Denna behandling kan redovisas som = = = = 52. Ibland redovisas inte alla mellanled, men beräkningen går ut på att behandla talen för att få ett svar. Det finns alltså två sätt att översätta mellan representationer. Dels kan man behandla representationer av ett visst slag (vilket vi gjorde i beräkningen ovan) och dels kan man omvandla mellan olika slags representationer (vilket vi gjorde när vi kompletterade en symbolisk representation till en grafisk representation i figur 2). Att omvandla mellan representationer kräver en aktiv handling från elevens sida och anses kognitivt mer ansträngande än att behandla representationer av samma slag (Duval, 2006; Kirsch, 2010). Nedan illustreras begreppen behandling och omvandling med två olika exempel (figur 3). A x omvandling x(x + 5) behandling x 2 + 5x x + 5 behandling omvandling 12 Figur 3. Behandling och omvandling av representationer för objekten area och tolv. I detta sammanhang kan digitala verktyg spela en viktig roll, för att hjälpa till med själva omvandlingen så att eleverna kan koncentrera sig på att tolka, jämföra och kombinera tolkningar som stöds av olika representationer. Att få erfarenhet av att hantera olika representationer och lära sig att utföra omvandlingar på egen hand är en viktig del av att utveckla matematiska förmågor. De matematiska principer som kopplar samman olika former av representationer, både i konkreta specialfall och generellt, bygger ofta på några av de mest centrala idéerna i matematik. Exemplet ovan med tillväxt av kapital gällde en speciell funktion, men varje funktion kan representeras grafiskt på motsvarande sätt. På ett ännu mer generellt plan finns för varje ekvation i x och y en mängd punkter i xy-planet som grafiskt representerar lösningarna till denna ekvation. Bara för att det är möjligt att både behandla och omvandla representationer med digitala verktyg, betyder det inte att eleverna kontinuerligt behöver utnyttja dessa möjligheter. En central 4 (12)

5 aspekt av matematisk begreppsförmåga är just att kunna gå mellan olika representationer av de objekt som man arbetar med, samt att självständigt kunna välja lämplig representation för något givet ändamål. Dynamiska representationer Liksom många andra digitala verktyg erbjuder Geogebra ett effektivt och dynamiskt sätt att undersöka cirklars egenskaper och koordinerat hantera flera samtidiga representationer. I figur 4 visas cirkeln med medelpunkten (a, b) och radien r. Denna figur kan tolkas som att cirkeln samtidigt representeras på åtminstone tre olika sätt: med en ikonisk figur i ett diagram, med en taltrippel (a, b, r), med en symbolisk ekvation (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Figur 4: En cirkel representerad på olika sätt. Till höger i figur 4 erbjuds dynamisk förändring av den ritade cirkeln samtidigt som de numeriska värdena och formeln uppdateras. (En interaktiv version av denna Geogebra-applet finns på så att du kan prova själv.) Just dessa dynamiska erbjudanden som visas här, brukar lyftas fram som en viktig fördel med digitala verktyg. Ett matematiskt objekt kan variera i läge och storlek men samtidigt som objektet bevarar andra egenskaper. Förhoppningen är att det blir en bestående och starkare intern representation än vid en liknande statisk beskrivning. Digitala verktyg kan alltså stödja både omvandling mellan representationer och samtidig representation av matematiska objekt. Genom att använda datorprogram där elever kan dynamiskt manipulera geometriska figurer och algebraiska formler direkt på skärmen, ges 5 (12)

6 förutsättningar att bedriva en undervisning där eleverna engageras att göra egna konstruktioner, undersökningar, hypotesformuleringar och hypotesprövningar. Det är skillnad mellan statiska och dynamiska representationer. De statiska är i stort sett digitala avbildningar av olika slags fysiska representationer. Dessa avbildningar är låsta och tillåter inte att eleverna påverkar dem i någon nämnvärd grad. Dynamiska representationer däremot medger att eleverna kan påverka och laborera med dem, vilket i sin tur möjliggör matematiska undersökningar och upptäckter särskilt eftersom de digitala representationerna kan programmeras så att de beter sig matematiskt korrekt. Applikationer som stödjer dynamisk representation finns att tillgå både som appar till datorplattor, som applikationer till datorer eller online via nätet. Målinriktat lärande med digitala verktyg Att orkestrera matematikundervisning med digitala verktyg inkluderar att tänka igenom vilka konsekvenser användandet av ett visst verktyg har för elevernas lärande och sedan välja ut verktyg som eleverna ska arbeta med för att uppnå specifika lärandemål. Verktygen har viktiga roller för att stödja lärandet men de bär naturligtvis inte själva upp hela undervisningen. Det är lärarens beslut och ansvar hur verktygen används. Verktyg kan utformas för att underlätta utförandet av uppgifter men också för att lyfta fram vissa aspekter av matematiska objekt. Eftersom syftet med matematikundervisning är elevernas lärande är det självfallet så även då digitala verktyg används. Det innebär till exempel att då verktygen används för att underlätta någon aspekt i utförandet av en uppgift görs det för att ge eleverna möjlighet att fokusera på den eller de aspekter av uppgiften som sammanfaller med lärandemålet. Avsikten är inte att eleverna ska lösa uppgifter så snabbt som möjligt. I detta avseende kan matematikundervisningen jämföras med ett maratonlopp, där målet är att springa det så snabbt som möjligt. Om målet hade varit att transportera sig 4,2 mil på snabbast möjliga sätt hade maratonlöparen kunnat använda bil eller buss, men de verktygen får inte användas eftersom de inte hjälper löparen att uppnå det faktiska målet. Genom användning av verktyg kan eleverna ta sig an fler och mer intressanta uppgifter där verktygen hjälper till med beräkningar och stödjer undersökningar som är svåra eller omöjliga att utföra på egen hand. Verktygen behöver inte ständigt vara närvarande utan kan med fördel anpassas till de aktuella matematikuppgifterna, exempelvis genom att utmana eleverna att utföra multiplikation av flersiffriga tal utan att använda miniräknare. Läraren kan och bör påverka dels vilka verktyg som används i undervisningen, dels när och hur dessa verktyg ska användas för att uppnå specifika lärandemål. Digitala verktyg som instrument för lärande och undervisning Relationen mellan uppgifters utmaningar och hjälpmedlets stöd är dock inte den enda frågan att fundera på när undervisningen planeras och genomförs. En kanske ännu mer fundamental fråga handlar om relationen mellan den tekniska svårigheten att lära sig själva verktyget och den nytta verktyget sedan gör för eleven. När nya digitala verktyg introduceras i matematikundervisningen tar ofta den tekniska hanteringen tid från den matematiska 6 (12)

7 verksamheten. Därför är det viktigt för lärare att ha strategier för att introducera och successivt utveckla användandet av digitala verktyg i matematikundervisningen. Ju mer kraftfullt och komplext ett verktyg är desto svårare är det i allmänhet att lära sig att behärska verktyget. De länkar till Geogebratube som anges i texten ovan illustrerar förberedda applets, där Geogebras möjligheter har begränsats för att bara lämna kvar ett fåtal som har bedömts som lämpliga för det konkreta exempel som skall illustreras. Dessa applets kan också öppnas direkt i en webbläsare, så hanteringen av själva tekniken är förhållandevis enkel. Att eleverna börjar med att aktivt manipulera förberedda applets gör att det snabbt går att komma åt fördelarna med ett digitalt verktyg. Men om verktyget i längden skall göra nytta bör eleverna så småningom utmanas att konstruera egna applets och anpassa dessa till att lösa specifika problem. Denna typ av kreativt konstruerande arbete där eleverna tar egna initiativ, överväger olika strategier och gör egna matematiska konstruktioner leder nämligen till bättre lärandeeffekter än om de endast implementerar andras strategier och manipulerar förberedda konstruktioner (jämför ICAP-teorin som nämndes i Del 2; Chi, 2009). När ett verktyg används för att uppnå ett specifikt syfte eller helt enkelt göra något används det som ett instrument för att uppnå detta syfte (Verillon & Rabardel, 1995; Guin & Trouche, 1999). Verktyget pensel kan användas som instrument för att måla. Det är vårt syfte med målandet eller vad vi vill åstadkomma som avgör huruvida det är komplicerat eller inte att behärska ett verktyg. Då penseln används som instrument för att måla en vägg vit tar det relativt kort tid att lära sig använda verktyget i detta syfte, men om avsikten är att använda penseln för att måla som Leonardo DaVinci, ja då kanske en hel livstid krävs för att behärska penseln som instrument för måleri. Det är alltså syftet med användandet som avgör huruvida det är komplicerat att använda verktyget som instrument eller ej, men också i vilken utsträckning det fungerar som ett instrument för lärande. Det är fullt möjligt att tänka sig att elever på en matematiklektion, använder ett och samma verktyg för helt olika syften. Det finns alltså inte i verktyget självt inbyggt ett matematiklärande, utan undervisningen måste ge eleverna stöd att använda verktyget så att det fungerar som ett instrument för ett målinriktat lärande. Del 2 handlade om enkla digitala verktyg medan Del 3 fortsatt med mer komplexa verktyg, särskilt Geogebra, där användningen bör utvecklas i flera steg med gradvis ökad komplexitet i den tekniska hanteringen. Eleverna kan börja med att aktivt manipulera förberedda applets och därefter gå över till egna konstruktioner. Genom regelbunden interaktion med det digitala verktyget skapar eleverna med tiden ett alltmer flexibelt instrument som de själva kan anpassa för att uppnå specifika matematiska syften. Instrumentet utvecklas medan eleven använder det. Eleverna lär sig när instrumentet kan användas och hur det kan användas för att genomföra olika uppgifter. I en senare del av modulen kommer vi att återkomma till vad elever kan åstadkomma om de har tillgång till hela verktyget Geogebra. I de kommande avsnitten behandlas två exempel, där förberedda applets används för att göra matematiska undersökningar av bestämda integraler respektive andragradsfunktioner. 7 (12)

8 Exempel 1: Bestämd integral av en funktion Att förstå vad en bestämd integral av en funktion betyder och hur den kan relateras till arean av området mellan en funktionens graf och x-axeln är inte självklart. Här kan en dynamisk grafisk representation fungera som stöd för att introducera och tolka integralbegreppet. Figur 5 visar en Geogebra-applet, där integralen av f(x) från A till B är beräknad, samtidigt som motsvarande område visas i ett koordinatsystem. Definitionen av f(x) är möjlig att påverka via glidarna för a, b och c och på samma sätt är det möjligt att flytta A och B och se hur det påverkar integralberäkningen. Figur 5: Bild till övningen Bestämd integral av en funktion. Att rita nya figurer på papper med penna och linjal och undersöka var och en av dessa figurer är tidsödande. Det finns risk att själva ritmomentet stjäl uppmärksamhet från det problem som är uppgiftens kärna. Här kan dynamisk representation komma till användning. På adressen finns en Geogebra-applet där f(x) kan varieras och punkterna A och B flyttas samtidigt som beräkningar, grafiskt utseende och texten uppdateras. Prova gärna! Lägg märke till hur enkelt det är att göra nya försök och hur de olika representationerna samverkar till att stödja utveckling av en allsidig förståelse av integralbegreppet. Om eleverna får prova en stund så har de troligtvis hittat samband och kommit med frågor som annars inte skulle uppstå. 8 (12)

9 Exempel 2: Koefficienter i en andragradsfunktion Andragradsfunktioner behandlas formellt i matematik 2. Här kan det vara intressant att arbeta med parallella symboliska framställningar, både y = a(x b) 2 + c och = ax 2 + bx + c För detta ändamål finns en förberedd applet på adressen I figur 6 visas ett exempel på en skärmbild, där eleven har testat att förändra grafernas utseende genom att använda glidarna som påverkar konstanternas värden. I bilderna visas hur extrempunktens läge ändras när konstanternas värden förändras, genom att så kallade spår av punkter genereras i appleten. Här kan användaren välja mellan Spår på eller Spår av. Spåren rensas genom att zooma in eller ut i appleten. Figur 6: Grafer till två olika andragradsfunktioner. Här kan eleverna upptäcka att grafen till vänster i figur 6 beter sig mer kontrollerat än grafen till höger. I grafen till vänster finns det också goda förutsättningar för eleverna att analysera samband mellan konstanternas värden och grafens utseende. Att parallellt arbeta med två olika framställningar kan stimulera olika slags jämförelser av grafer, exempelvis: inom varje representation för sig, genom att studera enbart hur den ena grafen förändras utan att ta hänsyn till den andra, mellan de båda representationerna, genom att analysera likheter och skillnader i de båda grafernas förändringar. 9 (12)

10 Exempel 3: Räta linjer i ett koordinatsystem Ett annat digitalt verktyg som är webbaserat är Desmos som bland annat tillhandahåller en slags grafräknare. Till skillnad från vanliga grafritare har Desmos andra funktioner som kan vara av värde, bland annat att man kan lägga in bilder och konstruera tabeller. Program har för avsikt att vara användarvänligt och lärare kan konstruera egna lektioner via teacher.desmos.com. Där finns också färdiga övningar som eleverna direkt kan använda. Några av de färdiga övningarna är individuella men det finns också övningar där eleverna automatiskt paras ihop för att träna begrepp och kommunikation. Figur 6: Två elever arbetar tillsammans med grafer. Ett exempel är en övning som kallas Polygraph som är en parövning där eleverna först automatiskt paras ihop två och två. En fördel med den här övningen är att det finns möjlighet att lägga in bilder i eller ovanpå koordinatsystemen vilket gör att användningsområdena också blir fler. När den ena eleven valt ett av 16 olika koordinatsystem med t.ex. räta linjer är det den andra elevens uppgift att med hjälp av ja- och nej-frågor lista ut vilken av de 16 räta linjerna som första eleven valt. En vinst för läraren är att kommunikationen mellan eleverna synliggörs och även var eleverna stöter på svårigheter. Det innebär att läraren får ett bra underlag för vilka begrepp undervisningen framöver behöver fördjupas kring och vilka elever som behöver stöttning kring specifika begrepp. Dan Meyer (Meyer, 2015) har i sin forskning visat att det gynnar elevers lärande att inleda ett arbete kring ett begrepp i matematik genom att låta eleverna genomföra en omgång av en sådan här aktivitet och beskriva t.ex. en rät linje för en klasskamrat. Efter genomförande av aktiviteten har eleverna upptäckt behovet av nya begrepp och undervisningen kan då gå djupare in på dessa begrepp. Digitaliseringen ger ett pedagogiskt mervärde till undervisningen (12)

11 Mer om applets och dynamisk representation I de nyss beskrivna exemplen använder eleverna det digitala verktyget Geogebra för att undersöka centrala begrepp i gymnasiets matematikundervisning. Eleverna använder inte hela Geogebra utan det specifika verktyg de använder är en förberedd applet konstruerad med syftet att eleverna ska lära känna ett specifikt begrepp. Läraren har alltså konstruerat appleten med avsikt att eleverna ska använda den som ett instrument för att förstå begreppen. När eleverna interagerar med appleten skapar de individuella tankekonstruktioner som bygger på några av dess erbjudanden. Eleverna lär sig matematik och de lär sig samtidigt om verktyget. Elevens tänkande kring både den specifika appleten och verktyget Geogebra utvecklas när eleven använder det och eleven blir förberedd att använda verktyget som instrument för att uppnå nya lärandemål. Många digitala verktyg hjälper eleverna att komma i kontakt med mer avancerad matematik än de kan klara med papper och penna. Samtidigt kräver de flesta verktyg en viss ansträngning att lära sig. Medan det didaktiska syftet och utmaningen med att lära matematik ska vara ansträngande så kan läraren ha som ambition att minimera den tekniska ansträngningen, det vill säga att tekniskt kunna hantera själva verktyget. Läraren kan påverka hur elevers digitala kompetens utvecklas genom att välja vilka verktyg som ska användas i en viss undervisningssituation och planera för hur de ska användas. Detta är en stor utmaning för alla lärare, eftersom de digitala verktygen erbjuder nya möjligheter till matematiklärande som inte var möjliga att realisera bara för några år sedan. Ett sådant exempel är dynamiska samtidiga representationer. Tidigare kunde endast en representation hanteras i taget, exempelvis när man utifrån en given formel konstruerade en värdetabell och sedan använde värdetabellen för att skissa en graf. Digitala verktyg erbjuder möjligheten att parallellt arbeta med flera representationer och studera hur de påverkar varandra. Sammanfattning Läraren kan påverka vad som sker i klassrummet genom att välja vilka verktyg som eleverna ska använda sig av i sitt lärande. Att välja verktyg kräver kännedom om vilka lämpliga verktyg som finns, hur olika verktyg fungerar och vad de kan användas till. Det finns digitala verktyg som erbjuder dynamisk och samtidig representation på ett sätt som inte är möjligt med enbart penna och papper. Dessa digitala verktyg tillåter elever att själva undersöka kopplingar mellan olika representationer och på så sätt få insikt i sätt att omvandla mellan olika representationsformer, vilket är särskilt viktigt i matematisk kommunikation, matematiska resonemang och framför allt vid problemlösning (12)

12 Referenser Chi, M.T.H. (2009). Active constructive interactive: A conceptual framework for differentiating learning activities. Topics in Cognitive Science, 1(1), Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, Guin, D. & Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3(3), Hegedus, S., & Moreno-Armella, L. (2009). Intersecting representation and communication infrastructures. ZDM: The International Journal on Mathematics Education Transforming Mathematics Education through the Use of Dynamic Mathematics Technologies, 41(4), Kirsh, D. (2010). Thinking with external representations. AI & Society, 25, Meyer, D. (2015). Functionary: Learning to communicate mathematically in online environments. The graduate school of education, Stanford University. Verillon, P. & Rabardel P. (1995). Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrument activity. European Journal of Psychology in Education, 9(3), (12)