Dynamisk representation med digitala verktyg

Transkript

1 Modul: Matematikundervisning med IKT Del 3: Dynamisk representation med digitala verktyg Dynamisk representation med digitala verktyg Ulrika Ryan & Håkan Sollervall, Malmö högskola; Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet & Ola Helenius, NCM Hur digitala verktyg kan skapa förutsättningar för en interaktiv matematikundervisning som bygger på elevernas egna matematiska konstruktioner har beskrivits i de tidigare delarna av denna modul. Denna text kommer särskilt att lyfta fram hur digitala verktyg kan stödja matematisk representation, samt hur sådana verktyg kan användas i matematikundervisningen. Människan har alltid använt olika slag av redskap eller verktyg i vilka hon har byggt in sitt kunnande. Verktygen kan ta oss bortom de gränser som våra biologiska förutsättningar sätter och medverka till att vårt sätt att leva förändras. Till exempel har utvecklingen av verktyg för transport och informationsöverföring förändrat våra levnadsvanor radikalt. Verktyg kan användas på olika sätt beroende på användarens kompetens och intressen. Datorn kan till exempel användas för att skriva och spara texter, utföra beräkningar, söka information eller översätta mellan matematiska representationer. När vi använder olika verktyg påverkas vårt tänkande, men verktygen präglas i lika stor omfattning av vårt tänkande. Även själva matematiken kan ses som ett verktyg som kan användas för att förstå, beskriva och påverka vår omvärld. Då det gäller matematikundervisning kan digitala verktyg fylla olika funktioner. De kan dels användas instrumentellt, till exempel som skriv- eller räkneinstrument för textframställning eller beräkningar, vilket motsvarar användandet i vardags- och yrkeslivet, men de kan också fungera som verktyg för lärande och undervisning. Ett exempel på detta är elever som laborerar med digitala konstruktioner av olika geometriska objekt för att utveckla sin begreppsförmåga kring dessa. En fördel med digitala verktyg är att de kan utformas så att de stödjer dynamisk representation av de matematiska objekt som ingår i de digitala konstruktionerna. Eftersom representationer är en viktig del i både traditionell och IKT-stödd matematikundervisning beskrivs i nästa stycke vad representationer innebär för matematiska objekt. Matematiska representationer och mänskliga uttrycksformer Matematiska objekt är till sin natur abstrakta. När vi ska kommunicera med andra om matematiska idéer, exempelvis när vi beskriver tal, matematiska beräkningar eller resonerar om lösningsstrategier, måste vi uttrycka dem på något sätt. De ljud, bilder, gester eller symboler som vi då använder brukar kallas för representationer av objektet i fråga. Å ena sidan är det en presentation, en återgivning eller framställning av en idé som någon vill förmedla. Å andra sidan beskriver ordledet re- att det också kan vara en åter-presentation, en alternativ presentation av något som redan presenterats. Matematiska objekt har den egenskapen att de kan representeras på många olika sätt. Många matematiska representationer är också i sig matematiska konstruktioner, som positionssystemet som bygger på basen 10 som vi vanligtvis 1 (12)

2 använder för att representera tal. Genom att manipulera tal i denna representation kan vi utföra beräkningar mycket enklare än om vi representerar talen verbalt eller med romerska siffror. För att exemplifiera ett begrepps relation till olika representationer använder vi det matematiska objektet tolv, som kan representeras med de 12 korten i figur 1. Korten kan användas för att representera detta antal men de kan även representera annat, exempelvis olika värden om de ska bytas mot andra kort eller andra saker. Figur 1: 12 stycken kort som en representation av det matematiska objektet tolv. Eftersom det är antalet kort som är av intresse i vårt fall kan detta representeras genom att använda siffersymbolerna 12 eller det talade uttrycket tolv. Antalet kan även representeras med laborativt material, till exempel klossar eller tiobasmaterial. Ingen av dessa representationer är fullständig utan var och en av dem lyfter fram olika aspekter av talet 12. Det tidiga arbetet med tal som antal lägger fokus på att eleverna ska göra kopplingar mellan laborativa konstruktioner, skrivna symboler och räkneord. Med andra ord ska de göra översättningar mellan olika representationsformer. tolv 12 Figur 2: Sex olika representationer för det matematiska objektet tolv. 2 (12)

3 Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad dessa skall användas till och också på vilken förförståelse eleverna har. För att nå en fördjupad förståelse av matematiska begrepp behöver vi tolka och använda olika representationer och även göra översättningar mellan dem. Det finns två sätt att översätta mellan representationer, dels genom att behandla representationer av samma slag och dels genom att omvandla mellan olika slags representationer. Att sortera tolv stycken klossar så att det lättare går att se deras antal innebär en behandling, vars resultat kan omvandlas till de skrivna symbolerna 12 (figur 3). behandling omvandling 12 Figur 3: Behandling och omvandling av representationer för det matematiska objektet tolv. Att omvandla mellan olika slags representationer för ett matematiskt objekt kräver en aktiv handling från elevens sida och anses kognitivt mer ansträngande än att behandla representationer av samma slag (Duval, 2006; Kirsh, 2010). Det är av vikt att elever får möta samma matematiska objekt representerat på flera olika sätt och att de får tillfälle att själva representera samma matematiska objekt på olika sätt. Här kan digitala verktyg spela en viktig roll, eftersom de kan hjälpa till med själva översättningen så att eleverna kan koncentrera sig på att tolka, jämföra och kombinera tolkningar som stöds av olika representationer. Då matematik kommuniceras väljs vad som ska uttryckas med stöd av en viss representation. Det matematiska uttrycket kan ses som en kombination av representation och kommunikation (Hegedus & Moreno-Armella, 2009). Matematiska uttryck uppstår först när matematiska tankar och idéer kommuniceras med stöd av representationer. Kommunikationen sker ofta verbalt eller skriftligt, ibland i kombination med fysiska gester, bildspel eller filmer. I läroplanen anges att undervisningen ska syfta till att eleverna utvecklar förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser (Skolverket, 2011). En förutsättning för att eleverna ska kunna göra detta är att de har tillgång till och kan översätta mellan olika matematiska representationer och att de får möjlighet att kommunicera kring dessa översättningar. Målinriktat lärande med digitala verktyg Att orkestrera matematikundervisning med digitala verktyg inkluderar att tänka igenom vilka konsekvenser användandet av ett visst verktyg har för elevernas lärande och sedan välja ut verktyg som eleverna ska arbeta med för att uppnå specifika lärandemål. Verktygen har viktiga roller för att stödja lärandet men verktygen bär naturligtvis inte själva upp hela undervisningen. Helt avgörande är hur de används. Verktyg kan utformas för att underlätta utförandet av uppgifter men också för att lyfta fram vissa aspekter av matematiska objekt. Eftersom syftet med matematikundervisning är elevernas lärande är det självfallet så även då digitala verktyg används. Det innebär till exempel 3 (12)

4 att då verktygen används för att underlätta någon aspekt i utförandet av en uppgift görs det för att ge eleverna möjlighet att fokusera på den eller de aspekter av uppgiften som sammanfaller med lärandemålet. Avsikten är inte att eleverna ska lösa uppgifter så snabbt som möjligt. I detta avseende kan matematikundervisningen jämföras med ett maratonlopp, där målet är att springa det så snabbt som möjligt. Om målet hade varit att transportera sig 4,2 mil på snabbast möjliga sätt hade maratonlöparen kunnat använda bil eller buss, men de verktygen får inte användas eftersom de inte hjälper löparen att uppnå det faktiska målet. Lärarens val av verktyg och matematikuppgifter anpassas till lärandemålen och utformas för att erbjuda eleverna utmaningar och motstånd, vilket krävs för att lärande ska uppstå (Brousseau, 1997). Det kan förstås vara så att eleverna gör andra matematiska upptäckter än dem som läraren har planerat att de ska göra. Detta kan leda till att lektionens lärandemål ändras och att lektionen ändrar inriktning. Elevernas upptäckter har i så fall fått inflytande på lektionens innehåll och lärandemål. Syftet med att använda verktyg i matematikundervisningen, oavsett vilket lärandemål som avses, är inte att underlätta vägen fram till svar på utvalda matematikuppgifter utan att erbjuda eleverna väl genomtänkta utmaningar, så att de lär sig något (specifikt) medan de löser uppgifterna. Genom användning av verktyg kan eleverna ta sig an fler och mer intressanta uppgifter där verktygen hjälper till med beräkningar och stödjer undersökningar som är svåra eller omöjliga att utföra på egen hand. Verktygen behöver inte ständigt vara närvarande utan kan med fördel anpassas till de aktuella matematikuppgifterna, exempelvis genom att utmana eleverna att utföra multiplikation av flersiffriga tal utan att använda miniräknare. Läraren kan och bör påverka dels vilka verktyg som används i undervisningen, dels när och hur dessa verktyg ska användas för att uppnå specifika lärandemål. Digitala verktyg som instrument för lärande och undervisning Relationen mellan uppgifters utmaningar och verktygets möjligheter är dock inte den enda frågan att fundera på när undervisningen planeras och genomförs. En kanske ännu mer fundamental fråga handlar om relationen mellan svårigheten att lära sig själva verktyget och den nytta verktyget sedan gör för elevens lärande. När nya digitala verktyg introduceras i matematikundervisningen kan den tekniska hanteringen ta tid från den matematiska verksamheten. Här gäller det för läraren att värdera nyttan av verktyget i relation till de lärandemål som undervisningen syftar till. I matematikundervisningen måste läraren därför planera hur digitala verktyg ska introduceras och användas. Det eleverna lär sig av att använda verktyget måste vara värt mödan att lära sig använda verktyget. Detta värde av att använda digitala verktyg bör dock bedömas i ett långsiktigt perspektiv, eftersom de stora fördelarna med att använda digitala verktyg kanske visar sig först efter en tids systematisk användning. En vanlig form av digitala verktyg för matematikundervisning är applikationer som stödjer digital representation av matematiska objekt. Det är skillnad mellan statiska och dynamiska representationer. De statiska är i stort sett digitala avbildningar av olika slags fysiska representationer, ofta laborativt material. Dessa avbildningar är låsta och tillåter inte att eleverna påverkar dem i någon nämnvärd grad. Dynamiska representationer däremot medger att 4 (12)

5 eleverna kan påverka och laborera med dem, vilket i sin tur möjliggör matematiska undersökningar och upptäckter särskilt eftersom de digitala representationerna kan programmeras så att de beter sig matematiskt korrekt. Applikationer som stödjer dynamisk representation finns att tillgå både som appar till datorplattor, som applikationer till datorer eller online via nätet. Geogebra är ett exempel på en omfattande dynamisk matematikapplikation som medger att användaren laborerar med olika representationsformer. Geogebra används i matematikundervisning från grundskolans tidigaste år till matematikutbildning på universitetsnivå. I denna del används Geogebra i uppgiften Samma area. Matematikapplikationer är ofta utformade för specifika syften. Det kan handla om att hantera en viss typ av uppgifter eller att lyfta fram egenskaper hos specifika matematiska objekt. När ett verktyg används för att uppnå ett specifikt syfte eller helt enkelt för att göra något används det som ett instrument för att uppnå detta syfte (Verillon & Rabardel, 1995; Guin & Trouche, 1999). En vanlig pensel är ett verktyg som kan användas som instrument för att måla. Det är syftet med målandet eller vad vi vill åstadkomma som avgör huruvida det är komplicerat eller inte att behärska ett verktyg. Då penseln används som instrument för att måla en vägg vit tar det relativt kort tid att lära sig använda verktyget i detta syfte, men om avsikten är att använda penseln för att måla som Leonardo davinci, ja då kanske en hel livstid krävs för att behärska penseln som instrument för måleri. Det är alltså syftet med användandet som avgör huruvida det är komplicerat att använda verktyget som instrument eller ej, men också i vilken utsträckning det fungerar som ett instrument för lärande. Det är fullt möjligt att tänka sig att elever på en matematiklektion, använder ett och samma verktyg för helt olika syften. Det finns alltså inte i verktyget självt inbyggt ett matematiklärande, utan undervisningen måste ge eleverna stöd att använda verktyget så att det fungerar som ett instrument för ett målinriktat lärande. Talundersökning med hjälp av dynamiska representationer I detta avsnitt ges ett exempel på hur en lärare kan orkestrera sin undervisning med utgångspunkt i det matematiska objekt hon vill att eleverna ska undersöka och utveckla förtrogenhet med. Läraren har valt att låta eleverna arbeta med det binära talsystemet som är centralt innehåll för årskurs 4-6. Inledningsvis gör läraren en analys av elevernas förkunskaper. Hon vet att de klarar av att hantera talen i det vanliga decimala talsystemet. De vet att det bygger på basen 10, att det använder de hindu-arabiska siffrorna 0-9 och att dessa siffror har olika platsvärden beroende på var de står i ett flersiffrigt tal. Lärarens mål med lektionen är att eleverna ska upptäcka och förstå hur det binära talsystemet fungerar och vad det innebär att representera ett tal i binär form. Viktiga aspekter som eleverna behöver uppmärksamma är att i det binära talsystemet kan endast siffrorna 0 och 1 användas för att representera tal och att vi i stället för ental, tiotal, hundratal o.s.v har ental, tvåtal, fyratal, åttatal, o.s.v. Det betyder också att det endast kan finnas noll eller ett i varje position. 5 (12)

6 I figur 4 visas en bild med klossar. Då vi anger antalet klossar i basen 10 kan vi använda talade symboler och säga tolv alternativt använder vi skrivna symboler och skriver 12, vilket kan tolkas som ett tiotal och två ental. Figur 4: Antalet klossar på bilden skrivas som 12 i basen 10 och som 1100 i basen 2. Om antalet istället ska anges genom att använda tal i basen 2 blir motsvarande talade symboler ett-ett-noll-noll och motsvarande skrivna symboler blir 1100, alltså ett åttatal och ett fyratal men inga tvåtal eller ental. Jämför med figur 5 nedan. Figur 5: Tolv klossar representerade i basen 10 och 2. Det är dessa aspekter av vårt decimala talsystem och det binära talsystemet som läraren vill att eleverna ska upptäcka. Hon beslutar sig för att den avslutande gemensamma diskussionen ska synliggöra elevernas upptäckter om det binära talsystemet och att de gemensamt ska formulera likheter och skillnader mellan det decimala talsystemet och det binära. Läraren har hittills för sig själv analyserat det matematikinnehåll som eleverna ska få möta och klargjort det specifika målet för lektionen, nämligen att eleverna ska kunna göra jämförelser mellan de olika talsystemen och att de ska kunna beskriva att: Båda talsystemen är positionssystem. Båda talsystemen använder hindu-arabiska siffror. Båda talsystemen använder ental. I det binära talsystemet kan endast noll eller ett finnas i varje position, men i det decimala talsystemet han man lägga upp till och med nio i varje position. 6 (12)

7 I det binära talsystemet finns bara två symboler, men det decimala talsystemet kan man använda tio olika symboler. I det binära talsystemet används tvåtal, fyratal, åttatal o.s.v, alltså multiplar av 2, men i det decimala talsystemet används tiotal, hundratal, tusental o.s.v, alltså multiplar av 10. Nu är det dags att fatta beslut om den didaktiska organisationen, det vill säga att bestämma vilken elevernas uppgift ska vara och vilka verktyg eleverna ska använda sig av. Elevernas uppgift blir att göra en tabell som visar talen 1-15 skrivna både i basen 10 och i basen 2. Som stöd ska eleverna använda en applikation hämtad från webbplatsen National Library of Virtual Manipulatives (NLVM). NVLM är framtagen av Utah State University i samarbete med National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). På webbplatsen finns ett antal applikationer varav somliga möjliggör möte med matematiska objekt representerade på mer än ett sätt. Eftersom applikationerna är dynamiska går det även att undersöka hur olika representationsformer förändras då någon av dessa påverkas. Den applikation som eleverna ska använda kallas för Base Blocks och kan hämtas på nedanstående länk: Applikationen Base Blocks kan användas för att representera tal i olika baser och vilken bas som ska användas styrs med hjälp av de blå pilarna till höger. Applikationen fungerar så att då talbasen 10 används representerar figurerna i det övre mörkgrå fältet ental, tiotal, hundratal och tusental men då talbasen 2 används representerar dessa figurer i stället ental, tvåtal, fyratal och åttatal. Det tal som läggs genom att eleverna klickar på figurerna representeras med symboler till höger i applikationen. Talet ettusentvåhundrafyrtiotvå bas tio skrivs som och talet ett-ett-noll-ett bas två skrivs som I figur 6 syns dessa tal representerade i applikationen. Fig. 6. Talet och talet visat med olika representationer i applikationen Base Blocks. Om fler än ett ental läggs i entalskolumnen (eller tvåtal i tvåtalskolumnen och så vidare) försvinner den symboliska representationen från högerspalten, eftersom talbasen 2 endast kan ha siffrorna 0 eller 1 i varje position. Om exempelvis 3 ental läggs i entalskolumnen, så visas ingen symbol i högerspalten (se figur 7). 7 (12)

8 Figur 7: Om fler än ett ental läggs i entalsspalten försvinner den symboliska representationen i applikationen. I stället måste de tre entalen föras samman till ett tvåtal plus ett ental vilket låter sig göras i denna applikation genom att markera samtliga entalskuber. I figur 8 visas hur 3 ental är på väg att representeras som 1 tvåtal plus 1 ental. Figur 8: Tre ental som är på väg att representeras som ett tvåtal plus ett ental. Då tvåtalsstaven förts över till tvåtalskolumnen dyker den symboliska representationen upp igen eftersom både tvåtals- och entalspositionerna används och talet kan representeras med siffror (figur 9). Figur 9: Då tvåtalsstaven förts över till tvåtalskolumnen syns den symboliska representationen igen. 8 (12)

9 Eftersom det största talet som kan representeras med hjälp av Base Blocks i basen 2 är 1111 det vill säga 15 i basen 10 tänker läraren också be eleverna att fundera över hur talet 16 skrivs i basen 2. Nu är läraren klar med den didaktiska organisationen. Planen för genomförande omfattar att läraren inleder genom att visa Base Blocks på den interaktiva skrivtavlan och att låta eleverna friska upp sitt minne kring olika aspekter av det decimala talsystemet. Därefter ska hon presentera uppgiften och låta eleverna arbeta två och två vid datorerna som lånats in till klassrummet. Avslutningsvis ska den interaktiva skrivtavlan användas vid den gemensamma jämförelsen mellan tal i basen 10 och 2, så att elevernas upptäckter synliggörs och så att de får möjlighet att med egna ord beskriva dessa. I det gemensamma samtalet efteråt får läraren tillfälle att stötta eleverna i arbetet med att byta vardagsord mot matematikens ord och begrepp. Eftersom eleverna själva först formulerat innebörden i de ord och begrepp de använder ges de bättre möjlighet att skapa mening kring de matematikord som läraren därefter erbjuder. Lärarens tankar om orkestreringen av arbetet kring det binära talsystemet följer Brousseaus (1997) teori för didaktiska situationer (se del 2) med introduktion, elevarbete och uppföljning.. Den dynamiska representation som används i uppgiften möjliggör en systematisk talundersökning och ger eleverna tillfälle att vara konstruerande och kreativa samtidigt som de kommunicerar sina upptäckter med sina klasskamrater. De använder olika slags representationsformer, alltså arbetar eleverna med förmågan kommunicera matematik med matematikens uttrycksformer. Om läraren i stället för att låta eleverna använda Base Blocks hade låtit dem arbeta med vanliga klossar som på bilderna i figur 5, hade hon varit tvungen att först förklara för eleverna vad det binära talsystemet innebär och därefter hade eleverna kunnat använda klossarna för att konkretisera det läraren förklarat. Tack vare den dynamiska representationen i Base Blocks kan eleverna själva experimentera med det binära talsystemet och på egen hand göra upptäckter kring detsamma. Dynamiska representationer möjliggör att elever kan experimentera med matematik på ett sätt de annars inte skulle kunna göra, vilket i sin tur innebär att lärarens frågeställningar och uppgifter till eleverna blir annorlunda. Det är således möjligt att utveckla sin matematikundervisning genom att använda dynamiska representationer. 9 (12)

10 Dynamiska representationer i Geogebra Uppgiften Samma area Betrakta uppgiften Samma area som tidigare har diskuterats i Del 2. Det gäller att bestämma var punkten i mitten ska/kan placeras för att areorna av de färgade områdena, definierade enligt figur 10, ska bli lika stora. Uppgiften går ut på att hitta alla möjliga lägen för punkten, så att areorna blir lika stora. Genom att beräkna och jämföra areor kan eleven konstatera att punktens placering i figur 10 inte duger. Punkten behöver alltså flyttas Figur 10: Bild till uppgiften Samma area. Att rita nya figurer på papper med penna och linjal och undersöka var och en av dessa figurer är tidsödande. Det finns risk att själva ritmomentet stjäl uppmärksamhet från det problem som är uppgiftens kärna. Här kan dynamisk representation komma till användning. På adressen finns en Geogebra-applet där punkten kan flyttas samtidigt som figuren och sidolängderna uppdateras. Prova gärna! Lägg märke till hur lätt det är att göra nya försök och hur rutnätet stödjer din undersökning. I figur 11 visas några försök att hitta rätt läge för punkten. Filmen i del A visar hur några elever arbetar med detta problem via Geogebra-appleten Stämmer! Fler? Stämmer inte. Stämmer nästan! Figur 11: Några försök att hitta lösningar till uppgiften Samma area. Om eleverna får prova en stund så har de troligtvis hittat flera lösningar och även hittat placeringar som nästan löser uppgiften. Dessa lösningar och försök kan med fördel organiseras och sammanfattas av läraren, som underlag för en fortsatt helklassdiskussion (jämför texten till del 2). I detta fall har vi valt att inte visa areorna utan bara sidornas längd. Detta val påverkar naturligtvis uppgiftens natur. Eleverna kommer exempelvis att träna på multiplikation och även ledas mot frågor som att arean av olika rektanglar inte ändras på samma sätt av att öka basen med 1 och minska höjden med 1. Samtidigt gör detta val naturligtvis att undersökningen i sig går långsammare. Hade vi istället låtit appleten skriva ut arean hade 10 (12)

11 fler varianter hittats snabbare och det hade blivit enklare att ställa frågor av typen: Kan ni beskriva alla punkter som löser uppgiften? I det nyss beskrivna exemplet använder eleverna det digitala verktyget Geogebra för att lösa uppgiften om areor. Det är inte verktyget som löser uppgiften utan det är eleven som gör det med stöd av det instrument som eleven har skapat och som läraren har planerat att eleven ska skapa. Många digitala verktyg hjälper eleverna att komma i kontakt med mer avancerad och mer meningsfull matematik än de kan klara med papper och penna. Samtidigt kräver de flesta verktyg en viss ansträngning att lära sig. Medan det didaktiska syftet och utmaningen med att lära matematik ska vara ansträngande så kan läraren ha som ambition att minimera den tekniska ansträngningen, det vill säga att tekniskt kunna hantera själva verktyget. Läraren kan påverka hur elevers digitala kompetens utvecklas genom att välja vilka verktyg som ska användas i en viss undervisningssituation och planera för hur de ska användas. Detta är en stor utmaning för alla lärare, eftersom de digitala verktygen erbjuder nya möjligheter till matematiklärande som inte var möjliga att realisera bara för några år sedan. Ett sådant exempel är dynamiska samtidiga representationer. Tidigare kunde endast en representation hanteras i taget, exempelvis när man utifrån en given formel konstruerade en värdetabell och sedan använde värdetabellen för att skissa en graf. Digitala verktyg erbjuder möjligheten att arbeta parallellt med flera representationer och studera hur de påverkar varandra. Dynamiskt påverkbara representationer möjliggör att elever kan experimentera med matematik på ett sätt de annars inte skulle kunna göra vilket i sin tur innebär att lärarens frågeställningar och uppgifter till eleverna blir annorlunda, Detta påverkar och förändrar såväl lärandemål som orkestrering. Det är således möjligt att utveckla sin matematikundervisning genom att använda dynamiska representationer. Sammanfattning Läraren kan påverka vad som sker i klassrummet genom att välja vilka verktyg som eleverna ska använda sig av i sitt lärande. Att välja verktyg kräver kännedom om vilka lämpliga verktyg som finns, hur olika verktyg fungerar och vad de kan användas till. Det finns digitala verktyg som erbjuder dynamiska och samtidiga representationer på ett sätt som inte är möjligt med enbart penna och papper. Dessa digitala verktyg tillåter elever att själva undersöka kopplingar mellan olika representationer och på så sätt få insikt i sätt att omvandla mellan olika representationsformer, vilket är särskilt viktigt i matematisk kommunikation, matematiska resonemang och framför allt vid problemlösning. Snarlika digitala dynamiska representationer kan fungera på något olika sätt vilket i sin tur påverkar vilka upptäckter eleverna ges möjlighet att göra. Även detta behöver läraren ta hänsyn till i sin orkestrering av undervisningen (12)

12 Referenser Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Kluwer Academic Publishers. Chi, M.T.H. (2009). Active constructive interactive: A conceptual framework for differentiating learning activities. Topics in Cognitive Science, Vol. 1, No. 1, Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Vol. 61, Hegedus, S., & Moreno-Armella, L. (2009). Intersecting representation and communication infrastructures. ZDM: The International Journal on Mathematics Education Transforming Mathematics Education through the Use of Dynamic Mathematics Technologies, Vol. 41, No. 4, Kirsh, D. (2010). Thinking with external representations. AI & Society, Vol. 25, Spicer, J. (2000). Virtual Manipulatives: A New Tool for Hands-On Math. ENC Focus. Vol. 7, No. 4, (12)