Elevers grundläggande matematikkunskaper i addition och subtraktion årskurs 6-9

Transkript

1 Lärande och samhälle Skolutveckling och ledarskap Examensarbete 15 högskolepoäng Elevers grundläggande matematikkunskaper i addition och subtraktion årskurs 6-9 Pupils' basic math skills in addition and subtraction grades 6-9 Malin Wideheim Speciallärarexamen 90hp. Matematikutveckling Examinator: Birgitta Lansheim Handledare: Therese Vincenti Malmgren

2 2

3 SAMMANFATTNING Inledning Syftet med examensaretet var att studera hur stor andel av eleverna i årskurs sex till nio som behärskar den grundläggande matematiken i addition och subtraktion. Jämförelser mellan könen, årskurserna och inom addition respektive subtraktion görs i undersökningen. Kunskapsbakgrund och teoretiskt perspektiv Enligt Vygotskij så lär sig barn/elever och utvecklas när de får samtala och göra relevanta aktiviteter tillsammans med andra. Det finns många olika anledningar till att elever har räknesvårigheter såsom t.ex. bristfällig undervisning eller stimulans eller inte haft en fullständig skolgång, men det kan även bero på oförmåga att hantera tal och kvantiteter. Eleven som får ge uttryck för sina egna tankar, lyssna på andras tankar och komma på nya lösningsförslag genom samtalen i smågrupper eller helklass kan leda till att eleven finner andra lösningsförslag, som kanske är bättre än sitt eget. Undervisningen bör vara en variation av lärobok, samtal och konkret material. Läraren ansvarar för vilka tankar som är mer eller mindre värdefulla, så att mindre lämpliga strategier byts ut eller förändras. Metod Studien består av en kvantitativ undersökning genomförd med samtliga elever på en 6-9 skola. Undersökningsmaterialet bestod av fyra olika diagnoser som i sin tur bestod av additions- och subtraktionsuppgifter inom talområdet Resultat och Analys Undersökningen visar på att elever inte utvecklar den grundläggande matematiken efter skolår sex. Kunskaper som är viktig för eleverna att behärska för att kunna lösa svårare matematik med flyt. Undersökningen visar på att det är liten skillnad på kunskapen mellan könen. Undersökningen visar på en tydlig stagnation i elevernas kunskap då det är färre och färre elever som kan liknande uppgifter i högre talområde. Många av eleverna får problem med att lösa uppgifter då de måste generallisera den kunskapen de har i de lägre talområdena. Analysen av undersökningen visar att ett stort antal elever inte ser sambandet mellan addition och subtraktion då det är betydligt fler elever som behärskar additionen men inte subtraktionen. 3

4 Diskussion Jag ville ändå göra en jämförelse mellan årskurserna fast att det är olika elever jag jämför, då jag anser att de flesta av eleverna sex till nio har förmågan att lära sig denna del av matematiken om de får undervisning om den. Jag är medveten om att denna typ av test bara undersöker en viss del av kunskaper inom matematiken. Jag anser att validiteten i arbetet är hög då det gäller att se om det finns någon skillnad i elevernas matematikkunskap i talområdet 1-10 och då de måste generalisera. Jag anser att reliabiliteten är hög för att undersöka om eleverna kan specifika små delområden inom matematiken. Jag anser att det är viktigt att elevers grundläggande kunskaper följs upp bättre genom hela grundskolan så det inte finns elever på högstadiet som inte behärskar de mest grundläggande i matematiken. Matematiklärare och speciallärare i matematik måste på ett bättre sätt samt under en längre period undervisa eleverna i om hur de kan tänka för att kunna lösa dessa matematikuppgifter. Nyckelord: addition, diamant, grundläggande matematik, matematikkunskap, speciallärare och subtraktion 4

5 INNEHÅLLSFÖRTECKNING Sammanfattning Inledning Bakgrund Styrdokument Kursplan i matematik Centralt innehåll Syfte Kunskapsbakgrund och teoretiskt perspektiv Teori Sociokulturellt perspektiv Proximala utvecklingszonen Matematikämnet Svenska matematikresultat Matematisk kunskapsutveckling Språket och samspelets roll i matematiken Matematik och specialpedagogik Matematiksvårigheter Matematikundervisning Sammanfattning av matematikämnet Metod Kartläggningsmaterial Diamant Forskningmetodologiska perspektiv Urval av informanter Genomförande Undersökningsmaterialet Datasalen

6 3.5 Studiens tillförlitlighet Datorerna Etiska aspekter Informationskravet Samtyckeskravet Konfidentialitetskravet Nyttjandekravet Bearbetning och analys Resultat Årskursvis Additions- och subtraktions kunskaper Liten skillnad Stor skillnad Konklusion Analys Diskussion Metoddiskussion Besvara syfte och frågeställningar Pedagogiska implikationer Fortsatt forskning Referenslista Böcker Internetsidor Bilagor Bilaga 1, Föräldrar information Bilaga 2, Diagnosernas delområden Bilaga 3, Matematikuppgifterna

7 Bilaga 4, Additions- och subtraktionstriangeln Bilaga 5, Tabeller

8 8

9 1 INLEDNING Jag startade med att sätta mig in i PISA rapporten från 2009, som visar att andelen svenska elever som inte når upp till baskunskaperna i matematik är 22 procent och att det inte finns någon skillnad mellan könen (Skolverket, 2010). Naalsunds undersökning av Norska elever från 2012 visar att elever har bristande kunskaper i aritmetik vilket leder till missuppfattningar. Eleverna använder sig av metoder som gissning och av att prova sig fram. För att kunna tillämpa och utveckla elevers kunskaper och färdigheter i algebra så måste eleverna kunna använda aritmetiken på ett konstruktivt sätt (Naalsund, 2012). 1.1 BAKGRUND Jag blev ännu mer intresserad av elevers matematikkunskaper efter att jag under hösten 2010 gjort en kartläggning av en årskurs åtta elevs grundläggande matematikkunskaper. Mitt intresse för vissa elevers bristfälliga kunskap av den mest grundläggande matematiken har fört mig in på denna undersökning. Jag tror att det är fler elever än vad vi lärare är medvetna om som saknar det mest grundläggande matematiska kunskaperna. Problemet enligt mig är att väldigt få elever i år 6 9 får undervisning om dessa delar av matematiken, då kunskapen tas för givet. När eleverna inte behärskar dessa delar inom matematiken leder det till att eleverna har svårt för att förstå matematiken i matematikundervisningen. När eleverna saknar grunderna i matematiken blir fortsatta studier alldeles för svåra och kraven för betyg svåra att nå. Som blivande speciallärare i matematik tycker jag det är viktigt att lyfta fram detta problem i matematikundervisningen. Elevernas individuella kunskaper blir då ännu mer i fokus vilket bidrar till att fler elever klarar kunskapskraven. Skolverket (2009) framhåller att kunskap handlar om förståelse men en viss typ av kunskap är så grundläggande och frekvent att den måste kunna behärskas med flyt. Elever som förstått de grundläggande strategierna ser direkt hur uppgiften skall lösas. De elever som använder mindre bra strategier t.ex. räknar på fingrarna synliggörs genom att de inte hinner med uppgifterna när läraren tar tiden. Jag delar denna syn på kunskap och kommer att studeraelevers kunskap av grundläggande addition och subtraktion som jag och författaren anser att eleven måste kunna med flyt. 9

10 1.2 STYRDOKUMENT KURSPLAN I MATEMATIK Enligt kursplanen har matematik en flera tusen år gammal historia som kommer från flera olika kulturer. Matematik är ett kreativt, reflekterande och problemlösande ämne. Syftet med matematikundervisningen är att eleverna utvecklar kunskaper i matematik vilken de har nytta av i sin vardag och i andra ämnen. Via undervisningen skall elever få möjlighet att utveckla förtrogenhet med matematiska begrep och metoder samt hur de används (Skolverket, 2012a) CENTRALT INNEHÅLL I det centrala innehållet för årskurs 1-3 under taluppfattning och tals användning står att eleverna skall undervisas om de naturliga talen, hur de används för att ange antal och ordning, delas upp samt vilka egenskaper de har. Undervisas om hur positionssystemet används för att beskriva de naturliga talen. Eleverna skall även undervisas om hur de fyra räknesätten används och sambandet mellan dem samt beräkningar med de naturliga talen vid huvudräkning. I samma avsnitt för årskurserna 4-6 står även där beräkningar med de fyra räknesätten vid huvudräkning. I det centrala innehållet för årskurs 7-9 under taluppfattning och tals andvändning står det att eleverna skall undervisas om reella tals egenskaper samt hur de används i vardagen och matematiska situationer (Skolverket, 2012a). 1.3 SYFTE Syftet är att studera hur stor andel av eleverna i årskurs sex till nio som behärskar den grundläggande matematiken i addition och subtraktion. En matematik som till stora delar redan ska läras ut i årskurs 1-3. Vilken är kunskapsskillnaden mellan årskurserna? Vilken är kunskapsskillnaden mellan pojkar och flickor? Hur ser progressionen ut i de kunskaper eleverna har i de olika talområdena och i så fall vilken? Hur ser skillnaden ut mellan kunskapen i addition respektive subtraktion? 10

11 2 KUNSKAPSBAKGRUND OCH TEORETISKT PERSPEKTIV 2.1 TEORI Lev Vygotskij ( ) har sin bakgrund som litteraturforskare och räknas som den sovietiska grundaren av psykologi och pedagogik (Høines, 2008). Vygotskij menade att den process som pågår i ett barns huvud alltid grundar sig i aktiviteter som har skett tillsammans med andra och med hjälpmedel. Om det inte sker någon yttre aktivitet insamling av råmaterial, så har barnet inget att bearbeta. Han pratade även om två olika typer av verktyg, det ena som vi i vanligt tal kallar för verktyg eller laborativt material och det andra för tecken. Det laborativa materialet använder vi när vi gör matematik och tecknen när vi försöker förstå matematik (Strandberg, 2006) SOCIOKULTURELLT PERSPEKTIV Vygotskij beskriver ett sociokulturellt perspektiv på lärandet, där omgivningen är en förutsättning för elevens utveckling och prestation. Människan påverkas av sin kultur då det inte finns någon medfödd läsfärdighet och språk. Det krävs böcker för att utveckla läsfärdighet och kommunikation för språkutveckling. Han menar att barnets utveckling av språk, tankeförmåga, problemlösande, lärande samt emotioner och vilja sker och förstås i samband med aktiviteter. Det som påverkar deras utvecklig är vad elever gör när de är i skolan och inte vad de har i huvudet (Strandberg, 2006). Vygotskij beskriver hur vi kan påverka och erbjuda elever kunskap men att de är de själva som sätter sina mål. Vygotskij menar att barnets kognitiva utveckling är beroende av språket. Där språket är det tänkande sociala uttrycket (Høines, 2008). Strandberg (2006) beskriver att Vygotskij tycker att samspelet mellan praktik och språket är intressant och menar att vi lär oss tillsammans med andra för att sedan kunna klara det själv. Enligt Strandberg (2006) tyckte Vygotskij att det var intressant att titta på barns olika förmågor men det var att titta på utvecklingen som verkligen intresserade honom. Han väntade aldrig in att barnet skulle mogna och var kritisk till att invänta mognad för viss undervisning, utan menade istället att vi utvecklas när vi möter situationer och människor som erbjuder en något för stor hatt, att lärande kan bidra till utveckling PROXIMALA UTVECKLINGSZONEN Lärandet beskrivs av Vygotskij som två olika utvecklingszoner den aktuella zonen och den proximala zonen, där det sker en övergång från den ena till den andra. Den första zonen, den aktuella zonen, är där barnen befinner sig med redan etablerad kunskap. Den 11

12 andra zonen, den proximala zonen, beskriver det som eleven är på väg mot, det som utmanar och som klaras av med lite hjälp. För att eleven skall kunna hamna i den proximala utvecklingszonen så måste det finnas en koppling till elevens egna mål (Høines, 2008). Den proximala utvecklingszonen är alltså den nivån där skillnaden på vad barnet/eleven kan på egen hand och den proximala nivån som är precis över vad barnet/eleven kan, när barnet/eleven kräver en kamrat, förälder eller lärare till hjälp. Strandberg (2006) beskriver även att Vygotskij menar att den intellektuella utvecklingen tar ett språng när olika kunskaper som vardagliga, spontana och konkreta möts. Där den intellektuella kunskapen möter vetenskapen så kan det ske ett kvalitativt språng. Samspelet mellan praktik och språk blir nyckeln för att förstå nästa nivå, för att kunna gå från en lägre nivå till en högre nivå i sitt lärande. 2.2 MATEMATIKÄMNET Vårt positionssystem är uppbyggt av ett tiobassystem. Det innebär att vi använder oss av siffrorna 0 9 (tio siffror) och med dem kan vi skriva oändligt många tal. Mayafolket använde sig av att dela in i 20-grupper. Babylonierna delar in i 60-grupper, ett system som vi använder vid tid 1 timme som är samma som 60 minuter (Olsson & Forsbäck, 2008). Det finns 200 grundläggande additionskombinationer och lika många i subtraktion. Dessa kombinationer är beroende av varandra och man kan hitta flera olika mönster för att göra inlärningen enklare (Löwing, 2008) SVENSKA MATEMATIKRESULTAT PISA rapporten visar att 22 % av de svenska eleverna inte når upp till de matematikkunskaper som PISA anser vara lägsta kunskap och kompetens gränsen för att klara ett yrkes- och samhällsliv. PISA rapporten visar på att det i Sverige inte finns någon signifikant skillnad mellan könen (Skolverket, 2010). För de elever som gjorde alla sju prov i det nationella provet för årskurs tre 2011 var det något fler pojkar än flickor som klarade alla delproven. Testet visar störst skillnad på resultat där föräldrarnas utbildningsnivå var en variabel. Av de elever vars föräldrar har högst grundskolenivå så var det färre än hälften som klarade alla sju delproven. För de elever vars föräldrar har högskolenivå var det nästan 80 % som klarade kravnivån. Om jag jämför varje delprov för sig, så var det som handlade om skriftliga räknemetoder som var det svåraste. Av de som gjorde provet var det % som uppnådde kravnivån. Förklaringen är att elever möter flera olika räknemetoder i undervisningen utan att förstå dem (Skolverket, 2011b). 12

13 Figur 2.1 Elever årskurs tre som uppnådde respektive inte uppnådde kravnivån på nationellaprovet år (Skolverket, 2011a, s 5) Skolverkets rapport från 2011 om nationella provet i matematik för årskurs nio visar på att det är färre elever som klarar målen, 19,3 % (se Figur 2.2). Figur 2.2 Elever årskurs nio i procent som inte nådde upp till kravnivån för godkänt på de nationella proven. (Skolverket, 2011b, s 5) Det är precis som i årskurs tre något fler pojkar än flickor som klarar kunskapskraven. Om jag tittar på elevernas bakgrund så är det 17, 4 procent av de elever med svensk 13

14 bakgrund som inte når målen. När jag tittar på variabeln föräldrarnas utbildningsnivå så är det 38,7 procent som inte når målen där föräldrarna har högst grundskoleutbildning och 11,8 procent där föräldrarna har eftergymnasial utbildning MATEMATISK KUNSKAPSUTVECKLING Abstraktion är viktig för den matematiska kunskapsutvecklingen. Abstraktion innebär att lära sig att använda olika matematiska modeller som sedan leder till att lära sig mer matematik. När eleven börjar abstrahera så lämnar den konkretiseringen och matematiken blir då generell och funktionell (Skolverket, 2009). I Olsson och Forsbäck (2008) beskriver de den stora räknefällan. De menar att när eleven börjar lära sig matematik är eleverna nöjda med att det står ett stort R nederst på sidan men att detta inte räcker för att utveckla en god matematikkunskap. Eleven kan lösa uppgiften =, men måste först ta fyra föremål och sen tre till och räkna ihop dem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Nästa steg är att de bara räknar de tre sista 5, 6, 7. Oftast använder dessa elever fingrarna och av räkneramsan för att lösa denna typ av uppgifter. Problemet kommer när uppgifterna blir tvåsiffriga tal som =. Då räcker inte längre fingrarna till och strategin blir ohållbar när eleven kommer till tresiffriga tal. Eleven måste redan tidigt genom undervisningen få bättre tankeformer och strategier annars kan problemen bara växa. Talkamrater och multiplikationstabellerna måste automatiseras för att snabbt kunna plocka fram dem ur minnet. Om eleven måste använda sitt arbetsminne för varje del i en räkneuppgift blir det lätt överbelastat och svaret blir fel. Det handlar om att ha automatiserat talkamraterna och utnyttja kunskaper som eleven redan kan för att göra generaliseringar. Bentley och Bentley (2011) menar att vid två års ålder kan ett barn urskilja ett antal genom att bara titta på dem utan att räkna dem. Vi människor kan vanligt vis urskilja fyra objekt och kan träna oss till några till. Därefter lär sig barn att rabbla talraden och så småningom separera talorden från varandra och förknippa dem med objekt. Ett till ett principen där varje talord förknippas med ett objekt och där barnet håller reda på vilka föremål som är räknade är nästa steg i matematikutvecklingen. Barnet börjar förstå att det är en viss ordning på talen och förstår frågan hur många och lämnar svaret ett, två, tre, fyra fyra. De framhäver även att om barn i detta stadium får två mängder med föremål så räknar de först den ena, sen den andra och till sist börjar de från början för att räkna alla tillsammans. Nästa tydliga steg är att barnet räknar upp från delen, och använder här fortfarande konkret material. Så småningom behöver barnet inte längre det konkreta materialet och kan lösa 14

15 enkla additioner genom att räkna upp från delen. Samtidigt som barnet klarar detta börjar det även förstå att t.ex. talet åtta kan delas upp i 2 och 6 samt 3 och 5, men även multiplikativa delar som 2 och 4. De lär sig också att talen har grannar och grannars grannar samt dubblor som och tiokamrater ex Vid inlärning av addition ska man först lära sig att addera med 1, osv. De som behärskar talraden lär sig enkelt detta steg. Nästa steg är att använda den kommutativa lagen osv. Dessa uppgifter är inte svårare än föregående och efter detta steg behärskar eleven 15 av de 36 kombinationerna i lilla additionstrianglen (se Bilaga 4, Additions- och subtraktionstriangeln). Därefter så går man in på grannens granne alltså = 7, vilket man brukar känna igen om man känner igen grannen. Nästa steg är återigen den kommutativa lagen = Efter detta steg återstår 10 kombinationer att lära sig, dubblorna; = 6 och 4 + 4, dubblorna +1; = = 7 och har man och tar ett från den ena och ger till den andra får man = Slutligen är det bara och kvar vilket kan ses som Det räcker inte enbart med detta konstruktiva tänkande utan man måste även färdighetsträna för få upp en snabbhet i sitt tänkande, vilket brukar underlätta om man har något konstruktivt att hänga upp det på. För att sedan lära sig additioner med tiotalsövergångar är det bra om man använder sig av att dela upp talen och utnyttjar tiokompisarna ex 8 + 7, tiokompisarna = 10 och dela upp tal = 7. Kombinerar man dessa två kunskaper får man: = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = Elever bör även lära sig subtraktionstabeller utantill för att kunna räkna med flyt och inte fastna när de kommer till större talområden. Subtraktionen är en invers till additionen = 7 och 7 4 = 3. En vanlig uppfattning av subtraktion är att det endast handlar om att ta bort och minska, vilket ofta leder till baklängesräkning som lätt blir räknefel även på enkla uppgifter. Subtraktion kan uppfattas som tre olika händelser: ta bort, lägga till och jämföra. Att behärska subtraktionsoperationer innebär att man på sikt kan tillämpa dem i decimalform, i bråkform och med negativa tal. Grunderna för detta byggs upp under de första skolåren inom talområdet (Löwing, 2008) SPRÅKET OCH SAMSPELETS ROLL I MATEMATIKEN När elever i vardagen får samtala om och uppmärksammas på matematiska begrepp så kopplar de dessa till sina erfarenheter och utvecklar då en bas för att förstå och lära sig matematik. För att göra begreppsorden till sina egna måste eleven sätta ord på sina upptäckter och få frågor som utmanar deras tankar. Eleven måste använda och testa 15

16 begreppen och inte bara läsa dem eller höra läraren säga dem (Olsson & Forsbäck, 2008). Enligt Ahlberg (2001) så utmanas elevers uppfattningar av ett problem då de samtalar i grupp och deras förståelse kan förändras. Eleverna får ge uttryck för sina egna tankar, lyssna på andras tankar och komma på nya lösningsförslag. Samtalen i smågrupper eller helklass kan leda till att eleverna finner andra lösningsförslag, som kanske är bättre än deras eget MATEMATIK OCH SPECIALPEDAGOGIK Vetenskapsrådet, (2007) menar att specialpedagogiken handlar om två sidor, dels att ge stöd till elever som inte klarar målen på grund av att de inte har förutsättningarna fysiskt, psykiskt eller medicinskt. Den andra sidan tittar på organisationens problem och hur utvecklingen av pedagogiken skall gå till. Specialpedagogik handlar om att ha kunskaper både om generella och specifika sidor inom utveckling och lärande. De generella sidorna är samhällets prioriteringar, som t.ex. en skola för alla. Det specifika handlar om stöd till biologiska och psykologiska orsaker, såsom funktionshinder och koncentrationssvårigheter. Vidare enligt Vetenskapsrådet (2007) är specialpedagogik en form av pedagogik med pedagogiskt arbete och didaktik. Persson (2005) beskriver elever som behöver stöd men får för lite. Enligt Persson handlar det om två karaktärer av elever som får för lite stöd, de som är tysta, blyga och som gör så gott de kan. Den andra elevtypen är utåtagerande elever som får stöd men fel sort. Det beskrivs också att de är eleverna till de starka föräldrarna som får stödet. Enligt Åhs (2007) är det viktigt att det vi gör i livet känns meningsfullt och att vi blir lyssnade på och bemötta på ett värdigt sätt MATEMATIKSVÅRIGHETER Det finns många olika anledningar till att elever har räknesvårigheter såsom t.ex. bristfällig undervisning eller stimulans, men det kan även bero på oförmåga att hantera tal och kvantiteter. Eleverna kan ha en bristfällig taluppfattning, svårt att hämta fram från minnet eller att lära sig talfakta. Det kan även bero på att de har svårt för att genomföra en räkneoperation. Lundberg och Sterner väljer att kalla den här typen av problem för räknesvårigheter (Lundberg & Sterner, 2009). Elever som fortsätter att använda sina fingrar efter andra och tredje klass för att räkna grundläggande uppgifter, utvecklar inte samma förmågor som sina jämnåriga kamrater. 16

17 Elever som enkelt kan använda dessa grundläggande uppgifter t.ex , kan snabbt använda denna information för att lösa ett annat problem som med hjälp av nedbrytning = 13. Förmågan att lagra information i minnet och enkelt hämta den hjälper elever att få kunskaper om abstrakta matematiska principer, t.ex. kommutativa och associativa lagen (Gersten m fl, 2005). Vissa barn kan stanna väldigt länge i uppräkningsfasen och den aritmetiska utvecklingsförseningen kan bero på många olika saker. Ett projekt i Lilla Edet visade att de elever som skrev siffrorna bakvänt också tenderade att stanna längre i uppräkningsfasen. Dessa barn visste oftast heller inte hur siffrorna skulle skrivas, uppifrån och ner eller nerifrån och upp. Problem med att förstå sambandet mellan talets sifferkod och språkkod, kan belasta arbetsminnet så att utvecklingen försenas. I det svenska språket så har vi särskilda uttryck för elva, och tolv. Vi säger även sexton där vi säger entalet sex före tiotalet ton, detta gäller för alla talen mellan För de tal som är större än 20 så säger vi 24 tjugofyra där vi inte byter plats på siffrorna. Elever från Lilla Edet-projektet visade att när elever tränar alltför mycket på tal under 20 så är det många elever som byter plats på siffrorna även över 20, vilket blev att för talet 24 skrev många elever 42. Det fanns även de elever som skrev 207 när läraren bad eleven skriva tjugosju (Bentley & Bentley, 2011). Enligt Lundberg och Sterner (2009) har många barn med räknesvårigheter haft en bristfällig undervisning eller inte haft en fullständig skolgång. De menar att räkning inom grundläggande färdigheter behöver mycket övning för att förstås, annars så kan eleven få en outvecklad taluppfattning som leder till räknesvårigheter. Bentley och Bentley (2001) framhåller att några av våra räknelagar upplevs som naturliga av eleverna som den kommutativa lagen där det inte spelar någon roll i vilken ordning talen adderas eller multipliceras, a + b = b + a och a b = b a. Flera elever i Lilla Edet projektet och i TIMSS 2007 använde sig av samma princip även vid subtraktion. Några läroböcker och lärare använder sig vid subtraktion av principen alltid tar det största först och tar bort det minsta, vilket leder till stora problem när eleverna kommer till tiotalsövergångar som Elever som använde sig av beräkning talsortsvis kunde då göra fel som = 10, 1 9 = +8, som ger = 18. Detta leder till att eleven räknarut att = 18. Istället för = 10, 1 9 = -8, vilket ger 10 8 = 2. Enligt Lundberg och Sterner (2009) måste eleven vara uppmärksam, koncentrerad, uthållig och ha ett gott arbetsminne, om den eleven ska uppnå godtagbara färdigheter 17

18 inom matematiken. Bentley och Bentley (2011) skriver att elever som skriver siffror spegelvänt mer eller mindre räknar upp från början vid addition och inte från delen. De menar att arbetsminnet påverkas för de elever som behöver fundera på hur siffrorna skall skrivas, vilket kan bidra till att fokus läggs på fel sak. De menar att det är viktigt att eleverna automatiserar hur siffrorna skall skrivas. Lundberg och Sterner (2009) menar att enligt forskningen så är dyskalkyli uppfattningen av antal. Personen har svårt för att förstå att en mängd innehåller ett visst antal föremål, att mängden kan kombineras och delas upp. Att en samling kan ha samma antal som en annan eller ett större eller mindre antal. Elever med dyskalkyli har även problem med att förstå att det inte behöver vara konkreta saker utan även kan vara abstrakta saker som år och önskningar. Lundberg och Sterner framhåller även att kärnproblemet för en med dyskalkyli är taluppfattningen och att utveckla en mental tallinje. I Engström finns olika förklaringsmodeller till varför elever misslyckas i matematiken: medicinska/neurologiska defektorienterad, eleven har en hjärnskada eller annan fysisk eller psykisk funktionsnedsättning, psykologiska förklaringar sökes i bristande ansträngning eller koncentrationssvårigheter hos eleven, ångest eller olika kognitiva orsaker, sociologiska miljöfaktorer, social deprivation, det vill säga att eleven kommer från en understimulerad miljö, skolsystemet missgynnar barn med till exempel arbetarklassbakgrund, didaktiska felaktiga undervisningsmetoder, ensidig färdighetsträning, etc. (Engström, 2003, sid 32) Det finns två typer av matematiska misstag som elever gör, strukturella och individuella. De strukturella misstagen var de vanligaste i TIMSS undersökningen Strukturella misstag innebär att det är flera elever som gör samma fel och felet beror oftast på undervisningen eller läroboken. De strukturella misstagen bör rättas till i undervisningen. De individuella misstagen är just individuella och inte flera i klassen som gör. Anledningen till dessa misstag finns oftast i elevens inlärningsbakgrund, missuppfattningar som inte rättats till. Individuella misstag skall hanteras individuellt (Bentley & Bentley, 2011). 18

19 2.2.6 MATEMATIKUNDERVISNING HUR SER DET UT? Elever utvecklar ett matematikkunnande redan från förskolan där målet är att de skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp. Begreppen behövs senare för att kunna lösa olika matematiska problem på olika nivåer, allt från konkreta till mer abstrakta. Ett visst begrepp kan förstås på flera olika sätt. Det första steget kan vara mer konkret i ett begränsat talområde för att sedan formuleras mer abstrakt och generellt beroende på förmåga att abstrahera och behov. Lärarens uppgift är att välja undervisningsmetod och arbetssätt för att möta alla elevers behov. Löwing (2008) skriver att läraren i årskurs fyra tar förgivet att eleverna behärskar den grundläggande additions- och subtraktionsoperationerna. Det är viktigt att redan i förskolan och de tidiga skolåren gör matematiken meningsfull och inspirerande, samt att förebygga att olika svårigheter uppstår. Även om läraren lyckas bra med detta kommer det att finns elever som kommer att behöva olika stödåtgärder (Lundberg & Sterner, 2009). Enligt Olsson och Forsbäck (2008) är det stor skillnad på den matematiken vi möter i vardagen och den abstrakta matematiken. Eleverna kan skriva rätt svar men inte förstå begreppen. Det är viktigt att inte slarva med grunderna, för om dolda svagheter inte åtgärdas kan de ge stora problem längre fram. Enligt Rönnberg m fl (2001) är det tyst räknande i läroboken som styr matematik undervisningen i de flesta västerländska klassrum, där fokus ligger på rätt svar och att det skall lösas många uppgifter av samma sort. De skriver även om traditionell undervisning där eleven arbetat enskilt utan någon kommunikation med andra kamrater. Genom att inte diskutera olika förslag med andra kamrater skapar ett klimat som försvagar elevers möjlighet att försöka och förstå matematik. Detta beskrivs även i skolverkets rapport Mer undervisning i matematik där de menar att den vanligaste undervisningsformen är enskilt räknande i matematikböckerna och läraren går runt och hjälper var och en. Skolverket hävdar att det behövs en mer varierad undervisning som anpassas både efter individen och efter gruppen. Undervisningen bör vara en variation av lärobok, samtal och konkret material (Skolverket, 2012b) UTVECKLINGSMÖJLIGHETER En utveckling och förbättring av matematikundervisningen kan göras på många olika plan. På skolnivå kan det innebära att vissa lärare, arbetslag eller hela skolan behöver kompetensutveckling. På klassrumsnivå kan det innebära att ändra undervisningen från 19

20 tyst räknande i boken till mer lärarledd undervisning, med utforskande aktiviteter, gemensam problemlösning samt matematiska samtal. Det kan även handla om hur läxor ges, förbereds och följs upp samt hur samarbetet är med speciallärare och specialpedagoger. På individnivå kan det handla om kartläggning av elevens starka och svaga sidor för att vidta lämpliga åtgärder tillsammans med speciallärare eller specialpedagog efter diskussion med elev och vårdnadshavare (Lundberg & Sterner, 2009). Bentley och Bentley (2011) har tittat på olika undersökningar om hur klasstorleken påverkar matematikkunskaperna, både i Sverige och USA. Sammanfattningsvis skriver de att elever som undervisas i mindre grupper på ca 15 elever under de första skolåren har bättre matematikkunskaper genomgående genom sin skoltid jämfört med de som har undervisats i större grupper. Det är mycket viktigt att läraren är utbildad och kunnig och att han eller hon undervisar på ett sätt där fördelarna utnyttjas med mindre grupper. Om läraren undervisar på samma sätt som den gör i storgrupp eller om skolan sätter in outbildade matematiklärare så blir resultaten sämre. Goda ämneskunskaper hos läraren visar sig ge en bättre undervisning. Samtidigt är lärarens ämnesdidaktiska kunskaper även mycket viktiga och är enligt författarna linjärt förhållande med elevernas prestation HUR SKA LÄRARE UNDERVISA? Lärare måste vara medvetna om att det inte bara handlar om egen erfarenhet och praktik för att ha en god undervisningskunskap. Det finns även hundraårig forskning kring inlärning och undervisning som beskriver både vad som har fungerat och inte fungerat. En sammanställning av dessa erfarenheter ger en teori och med hjälp av teorin och egen erfarenhet kan läraren skapa sig en god lärarprofil (Löwing, 2008). Lundberg och Sterner (2009) anser att när en elev tydligt kan berätta om ett visst begrepp så är det dags att ta bort det konkreta materialet och börja jobba med nästa fas som är den representativa fasen. Här använder eleven sin erfarenhet och förståelse som den har fått från den konkreta nivån. Eleven kan använda enkla bilder, streck mm för att lösa uppgifter, men utan konkret material. Genom att rita lösningar så utnyttjas tre olika verktyg för lärande: 1. Göra en konkret nivå mer abstrakt men inte så abstrakt att den är oförståelig. 20

21 2. Ritar lösningar på olika problemlösningsstrategier för att generalisera och använda de i olika situationer. 3. Eleven får en nivå att gå tillbaka till när den abstrakta nivån blir för svårt. Eleverna kan efter att ha en förståelse i den konkreta och representativa nivån för begreppet utveckla den abstrakta nivåns förståelse där de löser problem och gör operationer i huvudet. Här är lärarens uppgift att hjälpa eleven att befästa färdigheter samt att visa på samband mellan andra begrepp som eleven har arbetat med. Lundberg och Sterner (2009) beskriver tre olika undervisningsstrategier som ger bra resultat för undervisning i matematik multipla och heuristiska strategier, explicit undervisning och elevens verbalisering. Multipla och heuristiska strategier innebär att ge eleverna flera olika lösningsstrategier. Sen får eleverna genom prövning och diskussion under handledning resonera fram till en lämplig strategi med olika för- och nackdelar. Ett exempel är multiplikationen 9 5 som har samma värde som 5 9. Strategier som och ger också samma resultat, vilket innebär att eleven kan välja hur uppgiften skall lösas. Explicit undervisning innebär att läraren visar en lösningsstrategi på en viss uppgift, genom att tänka högt och förklarar varje litet steg för hur lösningen kan genomföras. Eleverna får sen vara de som förklarar hur uppgiften skall lösas. Eleverna lär sig genom denna modell att känna igen textuppgifter och kan då välja relevant lösningsprocess. Elevens verbalisering innebär att elever ska verbalisera sina tankar genom att tänka högt, skriva och illustrera sina strategier. Detta är bra för att hålla tillbaka elever som annars är impulsiva i sitt arbete och slumpartat använder talen i uppgiften. Bentley och Bentley (2011) menar att många elever lär sig likhetstecknets dynamiska betydelse, vilket innebär att de lär sig att blir 9. De får då svårt med uppgifter som = + 6, eleverna svara då 8 istället för 2. Den statiska betydelsen alltså att likhetstecknet betyder lika mycket löser båda problemen. Om elever lär sig förstå den statiska betydelsen från början så kan de använda sin kunskap i den nya situationen. Det är intressant enligt Löwing att ta reda på elevers olika additionsstrategier vid inlärningsskedet då några strategier inte går att generalisera utan bara fungerar för stunden. Eleverna hamnar då i en återvändsgränd och kommer inte vidare i sin 21

22 matematikinlärning. Läraren ansvarar för vilka tankar som är mer eller mindre värdefulla, så att mindre lämpliga strategier byts ut eller förändras. Elever som lär sig att addition bygger på enkla regler och lär sig dessa regler får lättare att förstå addition t.ex. kommutativa och associala lagen, vilket innebär att man kan addera två eller flera termer i godtycklig ordning. Eleverna får då lättare att förstå beräkningar framförallt vid huvudräkning. Stora delar av första skolåret används till att lära sig lilla additionstabellen, additioner i talområdet 1-9. Elever möter dessa 36 räkneoperationer tusentals gånger under sin skoltid så det är lönsamt att lära sig dessa utantill. Läraren bör hjälpa eleverna genom att först jobba med konkret material för att sedan kunna abstrahera additionens idé. Desto svårare en elev har för matematiken desto viktigare är det att de lär sig dessa utantill för att belasta arbetsminnet så lite som möjligt vid svårare beräkningar. När vi räknar uppgifter som så krävs det att vi utför flera olika operationer i följd och vårt arbetsminne belastas. När en elev inte behärskar de grundläggande additionsoperationerna så blir arbetsminnet överbelastat och eleven räknar oftast fel. Då additionsoperationerna i stället har automatiserats och ligger i långtidsminnet så avlastas arbetsminnet (Löwing, 2008) UNDERVISNING AV ELEVER MED MATEMATIKSVÅRIGHETER Enligt Ahlberg (2001) så har elever som har hamnat i matematiksvårigheter inte i första hand behov av att träna mer på samma sak utan istället få lära sig andra strategier. Enligt Engström (2003) så finns det ingen forskning som visar på att elever med specifika matematiksvårigheter behöver någon specifik undervisningsmetod eller material som skiljer sig från elever med allmänna matematiksvårigheter SAMMANFATTNING AV MATEMATIKÄMNET PISA rapporten från 2009 visar att 22 % av de svenska eleverna inte når upp till de matematikkunskaper som PISA anser vara lägsta kunskap och kompetens gränsen för att klara ett yrkes- och samhällsliv. Två år senare visar resultatet för Nationella provet 2011 för åk tre och nio i matematik stor skillnad på resultat där föräldrarnas utbildningsnivå var en variabel. Det finns många olika anledningar till att elever har räknesvårigheter såsom t.ex. bristfällig undervisning eller stimulans eller inte haft en fullständig skolgång, men det kan även bero på oförmåga att hantera tal och kvantiteter. Elever som fortsätter att använda sina fingrar efter andra och tredje klass för att räkna grundläggande uppgifter, utvecklar inte samma förmågor som sina jämnåriga kamrater. 22

23 Räkning inom grundläggande färdigheter behöver mycket övning för att förstås, annars så kan eleven få en outvecklad taluppfattning som leder till räknesvårigheter. Eleven måste redan tidigt genom undervisningen få bättre tankeformer och strategier annars kan problem uppstå och bara växa. Eleven som får samtala om och uppmärksammas på matematiska begrepp i vardagen får möjlighet att kopplar begreppen till sina erfarenheter och utvecklar då en bas för att förstå och lära sig matematik. Eleven som får ge uttryck för sina egna tankar, lyssna på andras tankar och komma på nya lösningsförslag genom samtalen i smågrupper eller helklass kan leda till att eleven finner andra lösningsförslag, som kanske är bättre än sitt eget. Elever utvecklar ett matematikkunnande redan från förskolan där målet är att de skall lära sig förstå och använda ett antal matematiska begrepp. Begreppen behövs senare för att kunna lösa olika matematiska problem på olika nivåer, allt från konkreta till mer abstrakta. Undervisningen bör vara en variation av lärobok, samtal och konkret material. Läraren ansvarar för vilka tankar som är mer eller mindre värdefulla, så att mindre lämpliga strategier byts ut eller förändras. Elever som lär sig att addition bygger på enkla regler och lär sig dessa regler får lättare att förstå addition. Stora delar av första skolåret används till att lära sig lilla additionstabellen, additioner i talområdet 1-9. Elever möter dessa 36 räkneoperationer tusentals gånger under sin skoltid så det är lönsamt att lära sig dessa utantill. Läraren bör hjälpa eleverna genom att först jobba med konkret material för att sedan kunna abstrahera additionens idé. Desto svårare en elev har för matematiken desto viktigare är det att de lär sig dessa utantill för att belasta arbetsminnet så lite som möjligt vid svårare beräkningar. 23

24 24

25 3 METOD Jag vill kartlägga eleverna på en 6 9 skola för att få en bild av hur kunskaperna kring det mest grundläggande inom matematiken ser ut. Kartläggning sker på en svensk skola i södra Sverige med största delen svenskfödda elever. Min tanke med denna undersökning är att få en inblick i hur jag som speciallärare kan bidra med att hjälpa elever och lärare i matematikundervisningen. Är det så att eleverna står kvar och undervisningen går vidare? I denna undersökning kommer jag inte att titta på hela det kunskap och kompetens området som PISA undersökt utan jag har valt en liten del av den. Det innebär att min undersökning och PISA rapporten inte går att jämföras med varandra. Jag kommer att titta på skillnaden mellan pojkar och flickors kunskaper. Den typ av uppgifter som undersökningen har påminner mest om de uppgifter som i PISA rapporten kallas för reproduktionsuppgifter, uppgifter som oftast löses i ett steg. Eleverna använder sig av standardalgoritmer och ett inarbetat tillvägagångssätt för att lösa uppgifterna (Skolverket, 2009). 3.1 KARTLÄGGNINGSMATERIAL DIAMANT JAG HAR VALT ATT ANVÄNDA MIG AV ETT FÄRDIGT MATERIAL (SE BILAGA 2, DIAGNOSERNAS DELOMRÅDEN AG 1, Additioner och subtraktioner inom talområdet 1 9 1a Talens grannar till höger, alltså uppgifter av typen och och deras kommutativa varianter och b Talens grannar till vänster alltså uppgifter av typen 7 1 och 9 2 och avståndet till grannarna, alltså typen 7 6 och 9 7 2a Dubblorna och dubblorna ± 1, alltså typen 4 + 4, och b Hälften och hälften ± 1, alltså typen 8 4 och 9 4 3a och 3b Tals uppdelning i termer, alltså uppgifter av typerna 4 + = 9 och 8 = 3 +. Likhetstecknets innebörd. (Skolverket, 2009 sid 11) AG 2, Additioner och subtraktioner inom talområdet 10 19, utan tiotalsövergång 25

26 1a Addition av 10 och ett ental, typ och samt motsvarande öppna utsagor 1b Subtraktion av ett tal mellan 11 och 19 och talet 10 eller ett ental, alltså uppgifter av typen och 18 8, samt motsvarande öppna utsagor 2a och 2b Generalisering av uppgifterna i 1a respektive 1b i test AG1 3a och 3b Generalisering av uppgifterna i 2a respektive 2b i test AG1 4a och 4b Generalisering av uppgifterna i 3a respektive 3b i test AG1 AG 3, Additioner och subtraktioner inom talområdet (Skolverket, 2009 sid 15) 1a och 1b Tiokamraterna, alltså de uppgifter vars summa är 10. 2a Addition med 9, alltså typerna och b Subtraktion med 9 och då differensen blir 9, typ 14 9 och a Additioner med 8, alltså typerna och b Subtraktion med 8 och då differensen blir 8, typ 13 8 och a Dubblorna 6 + 6, och samt dubbelt ± 1 såsom och b Hälften och hälften ±1, alltså typerna 14 7, 13 7, (Skolverket, 2009 sid 20) AG 4, Additioner och subtraktioner inom talområdet 20 99, med och utan tiotalsövergångar 1a och 1b Generalisering av uppgifterna i diagnos AG1 från ental till tiotal 2a Additioner av tiotal och ental 2b Subtraktioner med ett ental, sådana att svaret blir ett tiotal 3a och 3b Generalisering av uppgifterna i AG2, utan tiotalsövergångar, till ett större talområde 4a och 4b Generalisering av uppgifterna i AG3, med tiotalsövergångar, till ett större talområde (Skolverket, 2009 sid 24) 26

27 Bilaga 3, Matematikuppgifterna) samt (se Bilaga 2, Diagnosernas delområden)som skolverket tillhandahåller. Materialet heter Diamant och är utformat av Madeleine Löwing och Marie Fredriksson. Diagnoserna är tänkta till att användas för att kartlägga elevers grundläggande matematikkunskaper (Löwing och Fredriksson, 2009). Materialet består av olika delar inom matematiken där jag valt att studera valda delar inom avsnittet aritmetik. Den delen jag valt att studera är den som heter grundläggande aritmetik och består av nio olika diagnoser. Varje diagnos består sen av uppgifter om sex och sex som kartlägger viss kunskap t.ex. tiokompisarna eller multiplikation med tre. Jag har valt att studera de fyra första diagnoserna som kartlägger kunskaperna om addition och subtraktion. Jag kommer bedöma kunskapsområdet utifrån om eleven kan alla sex uppgifter inom delområdet. Jag är intresserad av att studera om eleverna har automatiserat kunskaperna inom de olika områdena så antalet rätt får en avgörande betydelse. 27

28 3.2 FORSKNINGMETODOLOGISKA PERSPEKTIV Undersökningen kommer att genomföras med en kvantitativ metod och en positivistisk syn på empirin. Positivismen innebär att fakta eller befintlig data finns vilken forskaren har till uppgift att samla in och systematisera. Fakta och data från undersökningen bör vara observerbar samt att den går att mäta och registrera (Alveson, 2008). Eleverna kommer att få genomföra ett matematiktest med uppgifter som de skall skriva svaret på via datorn. Uppgifterna kommer att testa elevernas förmåga inom olika delområden. Samtliga elever kommer att göra samma test för att kunna jämföras mellan varandra. Testet kommer att göras klassvis under ordinarie skoltid, för att andra stimuli skall påverka resultatet så lite som möjligt. Testet kommer att göras via datorn. Ett frågeformulär ska vara lagom långt, inte för långt så undersökningspersonen tröttnar men så långt att det täcker alla variabler forskaren vill undersöka. Layouten på frågeformuläret spelar också en stor roll (Eliasson, 2010). Eleverna kommer att få undersökningen skickad till sin skolmail från ett av kommunens undersökningsverktyg. Anledningen till att jag kommer att använda mig av datorer är för att lättare får in resultat från en större mängd elever samt att siffrorna inte kan misstolkas. Nackdelen med att använda datorn för att genomföra testerna är att det blir en ny situation för många elever. Jag tror ändå att fördelarna med att samla in materialet på detta viset är större än nackdelarna. Jag väljer en kvantitativ metod då jag kan få fram ett resultat på hur utbrett de olika matematiska kunskaperna är inom de olika delområdena jag har valt att studera. Denna metod fungerar bäst då jag i analysen är intresserad av att få fram olika siffror kring det insamlade materialet. Jag kan på detta sätt få en stor mängd data att behandla och med hjälp av siffror göra mätningar och analysera. Med denna metod kan jag se likheter och skillnader som är statistiskt säkerställda. Olika metoder är olika verktyg för att besvara olika frågor. Kvalitativa metoder hänför sig till vad för slag och kvantitativa metoder till hur mycket av ett visst slag (Kvale, 1997). I strukturerade enkäter utgår intervjuaren från att olika fenomen är definierade. Frågorna har i förväg formulerats av bestämda fenomen eller begrepp för att få en uppfattning av intervjupersonerna. Undersökningen ger en möjligheter genom svaren att beskriva hur mycket av fenomenet (Lantz, 2007). Jag väljer ett färdigt diagnosmaterial Diamant som skolverket tillhandahåller (Skolverket, 2009) för att jag anser att uppgifterna i diagnoserna är väl utarbetade och 28

29 har hög validitet. Validitet innebär att undersökningen mäter det som är avsikten med undersökningen (Eliasson, 2010). Tiden att själv utarbeta ett liknande material tar för lång tid och hade varit ett arbete i sig, samt att det känns som om jag skulle uppfinna hjulet på nytt. I ett bra frågeformulär har forskaren kunnat vara systematisk och täckt in alla ämnen i en tydlig struktur. Det är viktigt att forskaren förbereder en kvantitativ undersökning väl då han eller hon inte har möjlighet att förändra något i efterhand (Eliasson, 2010). Jag har valt samtliga delområden från delen av materialet som heter grundläggande aritmetik. Skolverket (2009) tar upp tre punkter kring diagnosmaterialet som de arbetat med för att ha en så hög validitet som möjligt. Materialet skall täcka både de viktigaste förkunskaper samt kunskapsmålen. Uppgifterna bör bara testa ett litet delområde i sänder. För att med säkerhet kunna kartlägga eleverna så är uppgifternas antal och konstruktion viktiga. 3.3 URVAL AV INFORMANTER Undersökningen kommer att vara en totalundersökning och genomföras på ca 400 elever som går i årskurserna sex till nio. Totalundersökning är när forskaren vill undersöka samtliga i en mindre grupp (Eliasson, 2010). Elever går på samma skola och undersökningen kommer att genomföras på alla elever som är närvarande på den lektionen som är bestämd och där elev och förälder har gett sitt godkännande för undersökningen. Det kommer inte att finnas möjlighet för eleverna att genomföra undersökningen i efterhand då förutsättningarna kommer vara annorlunda och kan då påverka resultatet. 3.4 GENOMFÖRANDE UNDERSÖKNINGSMATERIALET Alla elever fick ett mail med två länkar till sin mailbox. Eleverna får två olika länkar då undersökningsprogramet inte klarade att få plats med hela undersökningen i en enkät. Undersökningen är uppbyggd efter nio olika diagnoser. I den första diagnosen får eleverna möjlighet att svara på samtliga uppgifter medan i de andra så är uppgifterna indelade i grupper om sex och sex. Var grupp om sex visar på ett specifikt kunskapsområde. Om eleven inte svarar rätt eller väljer att trycka förbi svaret så förflyttas eleven i undersökningsmaterialet automatiskt till första uppgiften i nästkommande kunskapsområde. Förutom matematikuppgifterna i de olika kunskapsområdena skall eleverna svara på om de är en tjej eller kille samt i vilken årskurs de går i. Varje uppgift visas en och en på skärmen. 29

30 3.4.2 DATASALEN Eleverna genomförde undersökningen klassvis i skolans datasal efter ett förutbestämt schema som passade bra med klassens övriga schema. Jag informerade alla klasser om att det var en undersökning till mitt examensarbete, att de var helt anonyma och att deras resultat endast kopplades till kön och årskurs. I datasalen fick eleverna öppna upp sin mail där det fanns två olika länkar som de skulle öppna en i taget och besvara frågorna. Eleverna arbetade med uppgifterna enskilt och när de var färdiga fick de vara kvar i datasalen och surfa runt på nätet för att inte stressa övriga klasskamrater. Undersökningen tog ca minuter att genomföra för de flesta, för några tog det fem minuter och andra 50 minuter. Eleverna fick informationen att om man inte kunde en uppgift inom fem sekunder så skulle man trycka på nästa, för att gå vidare i undersökningen. 3.5 STUDIENS TILLFÖRLITLIGHET DATORERNA För vissa klasser så laggade datorerna vilket innebar att ingenting hände fast eleven tryckt på nästa. Många elever blev då otåliga och tryckte på nästa en gång till vilket ledde till att de då flyttades till nästa kunskapsområde och uppgiften som skulle komma registrerades som fel. 3.6 ETISKA ASPEKTER Viktigt att tala om i inledningen är hur forskaren skall göra för att skydda integriteten på den som svarar. Då undersökaren är intresserad av att ta reda på hur utbrett ett fenomen är, så är forskaren inte intresserad av vad den enskilde svarar (Eliasson, 2010). Kvale (1997) har lite olika frågor som forskaren bör fundera på när han eller hon skall göra en undersökning. Jag tyckte tre olika frågeställningar var intressanta för min undersökning. 1 Hur undersökningen kan påverka så att det blir bättre för intervjupersonerna, gruppen de representerar samt människan i övrigt. 2 Är det viktigt att intervjupersonerna är anonyma? 3 Hur blir konsekvenserna för de som deltar? Sammanfattningsvis på samtliga frågor så tycker jag det är viktigt att eleverna får bli anonyma. Konsekvenserna för de som deltar blir det enskilt ingen skillnad för men som grupp får skolan och kommunen en bild av hur stor omfattning det är av elever i årskurs sex till nio som inte kan den grundläggande matematiken. Det finns då möjlighet att göra förändringar i undervisningen och i specialpedagogiska insatser. 30

31 Jag har följt Vetenskapsrådets fyra krav (Vetenskasrådet, 1090) i utformandet av min undersökning: INFORMATIONSKRAVET Jag har informerat undersökningsdeltagarna om villkoren som gällde för deras deltagande, vilket är att alla kommer att vara helt anonyma. Det som kommer att kopplas till deras undersökningsresultat är deras kön och i vilken årskurs de går i SAMTYCKESKRAVET Jag informerade alla elevers föräldrar innan undersökningen genomfördes (se bilaga 1), då stora delar av eleverna var under 15 år. Ingen av eleverna tvingades att genomföra eller fullfölja undersökningen KONFIDENTIALITETSKRAVET Undersökningen innehåller inget etiskt känsligt material men jag har ändå valt att inte titta på materialet på en personligare nivå än årskurs och kön, vilket innebär att inga personer kan identifieras NYTTJANDEKRAVET Undersökningsmaterialet kommer inte att användas för mer än denna studie och kommer inte att användas för kommersiellt bruk eller icke vetenskapliga studier. 3.7 BEARBETNING OCH ANALYS Arbetet med den insamlade empirin kommer att i största del handla om att lägga in de olika variablerna i SPSS. Testet är uppbyggt som ett nätverk av uppgifter där läraren kan utläsa olika röda trådar. Dessa uppgifter är intressanta att titta vidare på och jag kommer att använda SPSS korstabeller för att titta vidare på detta. Den kvantitativa forskningen bör följa ett systematiskt tillvägagångssätt samt ha ett samspel med det empiriska materialet. Det är också viktigt att forskaren använder sig av noggranna tekniker vid databearbetning (Alveson & Sköldberg, 2008). Fördel med kvantitativ undersökning är att efterarbetet går att förbereda redan innan och går rätt så snabbt. Forskaren kan använda sig av olika databaser för kodning för att lägga in materialet för senare analys, analysen kan påbörjas så fort detta är klart. En stor fördel med att använda sig av en databas är att materialet kan analyseras om och om igen. Metoden passar sig bäst för att göra mätningar för att uppskatta hur utbrett olika förhållanden är inom gruppen (Eliasson, 2010). 31

32 I undersökningen kommer jag att titta på och analysera om det finns någon skillnad på kunskapen addition och subtraktion mellan könen. Jag kommer att välja ut fem olika delmoment av addition och fem subtraktion för att kunna göra jämförelsen mellan könen. För att undersöka om det finns någon skillnad i kunskapen mellan de sexor, sjuor, åttor och nior som gjorde undersökningen kommer jag att göra jämförelsen mellan årskurserna med samma fem additions delmoment och fem subtraktionsmoment som jag använde mig av i jämförelsen mellan könen. I undersökningen kommer jag även jämföra elevernas kunskap mellan två olika delmoment. Jag kommer titta på om det finns någon skillnad i antalet elever som bara behärskar det ena delmomentet av de två jag jämför. 32

33 4 RESULTAT Det var 367 elever som genomförde undersökningen, 183 tjejer och 184 killar. Årskursvis var det flest sexor 38 % av underlaget, minst nior på 17 % och sjuor respektive åttor utgjorde 24 och 22 %. Tabell 4.1 Antalet tjejer respektive killar per årskurs årskurs Totalt tjejer killar Totalt Under rubrikerna årskursvis och kön jämförs två tabeller under respektive rubrik där den ena visar på additions- och den andra på subtraktionskunskaper. Diagnoserna jag valde i addition och subtraktion är några av de diagnoser som jag även jämför mellan varandra, blandat från de fyra olika diagnoserna. Under rubriken additions och subtraktions kunskaper så redovisas de olika delområdena mot varandra i korstabeller, två tabeller där områdena skiljer sig väldigt lite åt och sex tabeller där jag ser stora skillnader i kunskapen mellan två liknande områden. 4.1 ÅRSKURSVIS Här redovisas resultatet för det jag har jämfört årskursvis. Jag valde ut fem olika additions- och fem subtraktionsområden att jämföra mellan de olika årskurserna. Diagrammen i Figur 5.2 och Figur 5.3 beskriver hur stor andel av eleverna i de olika årskurserna som har svarat rätt på samtliga sex uppgifter inom ett visst delområde. 33

34 % Figur 4.1 Andelen elever i varje årskurs som klarade de olika delproven i addition. Diagramet i Figur 5.2 visar på att det är större andel sexor och sjuor som behärskar den grundläggande additionen än åttor och nior. Sexorna har störst andel som klarade alla sex uppgifterna i delområdet på fem av sex område som jag valde att titta på. % Figur 4.2 Andelen elever i var årskurs som klarade de olika delproven i subtraktion. Subtraktionskunskaperna Figur 5.3 är mer jämna mellan de fyra årskurserna än additionskunskaperna. Jämför man årskurs åtta med de övriga årskurserna så är det minst andel av åttorna i samtliga fem moment som klarar subtraktionsområdena. Jämför man sexor, sjuor och niorna med varandra är det liten skillnad mellan andelen elever som klarade delproven. 34

35 Kön % % Figur 4.4 Andelen tjejer respektive killar som klarade delproven i addition. Figur 4.3 Andelen tjejer respektive killar som klarade delproven i subtraktion. Jag har valt att jämföra kunskapen i samma fem additions och fem subtraktions delmoment mellan tjejer och killar som i jämförelsen mellan årskurserna. Diagramen i Figur 5.5 och Figur 5.6 visar på att det är lite skillnad om man jämför de olika delproven som testar addition respektive subtraktion med hur stor del av tjejerna respektive killarna som klarade dem. Man kan se i Figur 5.6 att det är något fler (färre än 20) killar som klarade vart och ett av de två sista subtraktionsuppgifterna än tjejerna (se Bilaga 5, Tabell 7.2 och Tabell 7.30). 4.2 ADDITIONS- OCH SUBTRAKTIONS KUNSKAPER LITEN SKILLNAD När jag jämför ett additionsmoment med ett subtraktionsmoment med varandra, diagnos AG3 4a som testar dubblorna samt dubbelt ± 1, ex och 6 + 7, samt diagnos AG3 4b som testar hälften och hälften ±1, ex Visar resultatet på att det är liten skillnad på 38 elever som endast klarade ett av delområdena. Det är 73 elever som klarade additionen men inte subtraktionen och 35 elever som klarade subtraktionen men inte additionen (se Bilaga 5, Tabell 7.6). Diagnoserna AG3 1a och 1b, testar tiokamraterna, där 1a är additioner, ex och 5 + = 10 och 1b subtraktioner, ex 10 1 och 10 = 8. Resultatet visar på att det även här är liten skillnad, 16 elever som endast klarade ett av delområdena (se Bilaga 5, Tabell 7.7). Liknande visar resultatet på då jag jämför två additioner med varandra, diagnos AG1 1a som testar uppgifter i talområdet 1-9 med talens grannar till höger, ex och med diagnos 35

36 AG2 2a som testar liknande uppgifter med generaliseringar vid talområdet 10-19, ex och Resultatet visar på att det är en liten skillnad på 30 elever som endast klarade ett av delområdena, då det var 83 elever som endast klarade diagnos AG1 1a och 53 elever som endast klarade generaliseringen (se Bilaga 5, Tabell 7.8) STOR SKILLNAD ADDITION OCH SUBTRAKTION INOM SAMMA TALOMRÅDE Jag ser stor skillnad i jämförelse mellan diagnoserna som testar addition och subtraktion med talet 9 inom talområdet 10 19, diagnos AG3 2a och diagnos AG3 2b. Additionerna innehåller uppgifter med nio som en term och subtraktionerna innehåller nio som term eller summa, ex 9 + 3, 14 9 och Resultatet visar på att det är 96 elever jämfört med 37 elever som bara klara en av diagnoserna, vilket ger att det är 59 färre elever som kan subtraktionen jämfört med additionen som har med talen 9 att göra (se Bilaga 5, Tabell 7.9). Jämför jag liknande uppgifter i diagnoserna AG3 3a och 3b som testar additioner och subtraktioner med talet 8 inom talområdet 10 19, ex 8 + 5, 13 8 och Visar även här resultatet på stor skillnad i antalet elever som behärskar de olika delmomenten. Resultatet visar på att det är 93 elever jämfört med 26 st, vilket visar på att det är 67 färre elever som kan subtraktion jämfört med addition med talet 8 (se Bilaga 5, Tabell 7.10) ADDITIONER MELLAN OLIKA TALOMRÅDEN Diagnos AG1 2a testar dubblorna och dubblorna ± 1, ex och och diagnos AG2 3a testar generaliseringar inom högre talområdet 10 19, ex och Resultatet visar på siffrorna 98 elever jämfört med 52 elever som bara behärskar en av diagnoserna, vilket ger att det är 46 färre elever som kan generaliseringen av dubblorna (se Bilaga 5, Tabellen 7.11). Diagnos AG3 3a testar additioner med talet 8 inom talområdet 10 19, ex och diagnos AG4 4a testar generalisering i ett större talområde 20-99, ex Resultatet (se Bilaga 5, Tabell 7.12) visar på att det är 130 elever jämfört med 15 elever som bara kan ett av delområdena, vilket ger att det är 115 färre elever som kan generaliseringen av addition i större talområde. Jämför jag sen på liknande uppgifter som diagnos AG3 2a som testar additioner med talet 9 inom talområdet 10 19, ex med diagnos AG4 4a testar generaliseringar inom talområdet med tiotalsövergångar, ex Resultatet visar även här på att det 36

37 är 115 elever färre som kan generaliseringen av addition i större talområde (se Bilaga 5, Tabell 7.6) SUBTRAKTIONER MELLAN OLIKA TALOMRÅDEN Diagnos AG1 1b testar talets grannar till vänster och avståndet mellan dem, ex 9 1 och 9 8. Diagnos AG2 2b testar generaliseringar av liknande uppgifter inom ett större talområde, ex Jämför jag resultatet mellan dem så visar det på att det är 118 respektive 29 elever som endast klarat det ena delområdet, vilket ger 89 färre elever som kan generaliseringen av subtraktionen av talets grannar och avståndet mellan dem (se Bilaga 5, Tabell 7.13). Diagnos AG2 2b testar talens grannar till vänster och avståndet till grannarna, ex 19 1 och Jämfört med diagnos AG4 3b som testar generalisering till ett större talområde, ex 38 2 och I jämförelse mellan dessa två diagnoser så är det 118 respektive 35 elever som endast kan ett av delområdena vilket ger 83 färre elever som klarar generalliseringen av subtraktions uppgifter med talets grannar (se Bilaga 5, Tabell 7.14). AG3 2b testar subtraktioner med 9 och då differensen blir 9 inom talområdet 10 19, ex 14 9 och AG4 4b testar generaliseringar av uppgifterna till ett större talområde, ex 63 8 och Resultatet visar på att det är 93 respektive 28 elever som bara kan det ena delområdet vilket ger 65 färre elever som kan generaliseringen av subtraktion i större talområde (se Bilaga 5, Tabell 7.15). Jämförs liknande uppgifter men med subtraktioner och differens med 8, ex 13 8 och 14 6 med samma generaliseringsuppgifter som ovan visar det på att det är 57 färre elever som kan generaliseringsuppgifterna (se Bilaga 5, Tabell 7.7). 4.3 KONKLUSION Elevernas kunskaper av den grundläggande matematiken blir inte bättre efter det att eleverna börjar sexan. Resultaten från denna undersökning visar på att den andel av sexorna som behärskar subtraktionskunskaperna är ungefär lika stor som andelen som eleverna som går i nian. Det visar på att elever inte utvecklar sina kunskaper i den grundläggande matematiken efter årskurs sex. Jämförs resultaten i additionskunskaperna så är andelen färre åttor och nio som behärskar den grundläggande matematiken än sexor och sjuor. Även detta resultat visar på att eleverna inte heller utvecklar de grundläggande additionskunskaperna under sina sista år i grundskolan. 37

38 Jämförelse mellan könen visade på att skillnaden i kunskap av den grundläggande matematiken var mycket liten både i addition och i subtraktion. Resultatet visade på liten skillnad i elevernas kunskaper då det gällde att räkna med dubbelt och hälften i samma talområde. Även additioner och subtraktionen som utgick från tiokompisarna klarade eleverna i samma utsträckning. Resultaten visade även på liknande resultat i två olika talområden då det handlade om att räkna med talets grannar till höger, alltså addition med ett eller två. Det var stor skillnad i elevernas kunskap i addition och subtraktion inom samma talområde då de räknade med talet åtta och nio. Det var betydligt fler elever som behärskade additionerna framför subtraktionerna. Jämförs kunskaperna i addition och subtraktion med liknande uppgifter fast i ett annat talområde, visade resultaten på stor skillnad när eleverna måste kunna generalisera sin kunskap för att kunna lösa uppgifterna. 38

39 5 ANALYS Andelen elever som behärskar den grundläggande matematiken i undersökningen är samma under årskurs sex till nio. Det visar på att de som inte lärt sig de matematiska grunderna i aritmetik heller inte lär sig dessa under högstadiet. Jämförelserna mellan årskurserna ha gjorts under samma period och det är då inte samma elever som undersökts utan elever i olika årskurs. Löwing (2008) menar även att redan i årskurs fyra tar lärarna för givet att eleverna behärskar de grundläggande additions- och subtraktionsoperationerna. I denna undersökning var det ingen skillnad mellan pojkars och flickors kunskaper av den grundläggande matematiken i addition och subtraktion. Detta skiljer sig från de elever som gjorde alla sju prov i det nationella provet för årskurs tre 2011 och årskurs nio, där det var något fler pojkar än flickor som klarade alla delproven respektive klarade kunskapskraven. I det centrala innehållet för årskurs 1-3 står att eleverna skall undervisas om hur de fyra räknesätten används och sambandet mellan dem samt beräkningar med de naturliga talen vid huvudräkning. I samma avsnitt för årskurserna 4-6 står även där beräkningar med de fyra räknesätten vid huvudräkning.. För årskurs 7-9 står det att eleverna skall undervisas om reella tals egenskaper samt hur de används i vardagen och matematiska situationer (Skolverket, 2012a). Denna undersökning visar på att det är stor del av eleverna som inte kan sambandet mellan addition och subtraktion och inte använda huvudräkning vid dessa två räknesätt. Undersökningen visar på att en stor mängd elever inte behärskar tals egenskaper och hur de används i matematiska situationer i addition och subtraktion. I kursplanen står att via undervisningen skall elever få möjlighet att utveckla förtrogenhet med matematiska begrep och metoder samt hur de används (Skolverket, 2012a). När man tittar på NP årskurs tre så är det som handlade om skriftliga räknemetoder det svåraste där % uppnådde kravnivån av de som gjorde provet. Förklaringen är att elever möter flera olika räknemetoder i undervisningen utan att förstå dem (Skolverket, 2011a). Det finns 200 grundläggande additionskombinationer och lika många i subtraktion. Dessa kombinationer är beroende av varandra och man kan hitta flera olika mönster för att göra inlärningen enklare. Elever bör även lära sig subtraktions tabeller utantill för att kunna räkna med flyt och inte fastna när de kommer till större talområden. Subtraktionen är en invers till additionen = 7 och 39

40 7 4 = 3. En vanlig uppfattning av subtraktion är att det endast handlar om att ta bort och minska, detta leder ofta till baklängesräkning som lätt blir räknefel även på enkla uppgifter (Löwing, 2008). Enligt Lundberg och Sterner (2009) har många barn med räkne svårigheter haft en bristfällig undervisning eller inte haft en fullständig skolgång. De menar att räkning inom grundläggande färdigheter behöver mycket övning för att förstås, annars så kan eleven få en outvecklad taluppfattning som leder till räknesvårigheter. Denna undersökning visar inte på om det är bristfällig undervisning eller ofullständig skolgång som är orsaken till att eleverna inte behärskar denna delen av matematiken. Då det rör sig om ett stort antal elever som inte automatiserat kunskapen kring addition och subtraktion, förmodar jag att det är bristfällig matematikundervisning som är orsaken. När elever i vardagen får samtala om och uppmärksammas på matematiska begrepp så kopplar de dessa till sina erfarenheter och utvecklar då en bas för att förstå och lära sig matematik. För att göra begreppsorden till sina egna måste eleven sätta ord på sina upptäckter och få frågor som utmanar ens tankar (Olsson & Forsbäck, 2008). Enligt Ahlberg (2001) så konfronteras elevers uppfattningar av ett problem då de samtalar i grupp och deras förståelse kan förändras. Eleverna får ge uttryck för sina egna tankar, lyssna på andras tankar och komma på nya lösningsförslag. Samtalen i smågrupper eller helklass kan leda till att eleverna finner andra lösningsförslag, som kanske är bättre än deras eget. Persson (2005) beskriver elever som behöver stöd men får för lite. Enligt Persson handlar det om två typer av elever, de som är tysta, blyga och som gör så gott de kan. Den andra elevtypen är utåtagerande elever som får stöd men fel sort. Det beskrivs också att de är de eleverna till de starka föräldrarna som får stödet. Undersökningen visar på problem för elever då de måste ha generaliserat sin kunskap för att kunna lösa svårare uppgifter. När eleverna lärt sig de först grundläggande räknestrategierna bör dessa vara av de slaget att de kan utvecklas till ett godtyckligt talområde utan att eleven skall behöva lära om utan skall kunna generaliseras till ett större talområde. Nästa del eleverna lär sig är om de kan generalisera sin kunskap i talområdet utan tiotalsövergång och sen stora additionstabellen med tiotalsövergångar (Löwing, 2008). Olsson och Forsbäck (2008) beskrivs den stora räknefällan, de menar att elever nöjer sig med att matematikuppgiften blir rätt, men att detta inte räcker för att utveckla en god matematikkunskap. Elever som använder fingrarna och räkneramsan för att lösa denna typ av uppgifter får problem när uppgifterna blir tvåsiffriga tal som 40

41 =, då fingrarna inte räcker till och strategin blir efter ett tag ohållbar. Talkamrater måste automatiseras för att snabbt kunna plocka fram dem ur minnet. Om eleven måste använda sitt arbetsminne för varje del i en räkneuppgift blir det lätt överbelastat och svaret blir fel. Det handlar om att ha automatiserat talkamraterna och utnyttja kunskaper som eleven redan kan för att göra generaliseringar. Undersökningen visar på att många av eleverna saknar förmågan att göra generaliseringar, vilket innebär att de inte utnyttjar kunskapen de har om talkamraterna. Skolverket (2009) skriver att abstraktion är viktig för den matematiska kunskapsutvecklingen. När eleven börjar abstrahera så lämnar den konkretiseringen och matematiken blir då generell och funktionell. Lundberg och Sterner (2009) skriver att eleverna kan efter att ha en förståelse i den konkreta och representativa nivån för begreppet utveckla den abstrakta nivåns förståelse där de löser problem och gör operationer i huvudet. Här är lärarens uppgift att hjälpa eleven att befästa färdigheter samt att visa på samband mellan andra begrepp som eleven har arbetat med. Undersökningen visar på att flera av eleverna inte har fått hjälp eller tillräckligt med hjälp för att befästa begrepp samt se samband mellan dem. 41

42 42

43 6 DISKUSSION 6.1 METODDISKUSSION Eleverna fick väldigt många uppgifter att besvara då de fick göra nio diagnoser. Jag valde att bara analysera de fyra första av dem och skulle bara låtit eleverna göra fyra diagnoser. Anledningen till att eleverna fick göra nio diagnoser var att jag då även tänkte undersöka kunskaperna i multiplikation och division. Det uppstod även problem med datorerna då de laggade (stannade upp) och eleverna tryckte flera gånger på nästa vilket gjorde att de hoppade flera steg framåt. Innan undersökningen genomfördes valde jag att eleverna inte skulle kunna backa till föregående uppgift, för att inte kunna rätta till sina fel. Eleverna upptäckte när de gjorde fel då de flyttades framåt till nästa område och jag ville inte att eleverna skulle kunna chansa sig fram till rätt svar. Om eleverna endast hade gjort de fyra diagnoser som jag sen analyserade så hade eleverna kunnat göra alla uppgifter oavsett om de svarade rätt eller fel. Eleverna skulle då även kunnat hoppa fram och tillbaka mellan uppgifterna utan att veta om deras svar var rätt eller fel. Hade eleverna gjord samtliga uppgifter i de fyra diagnoser som jag undersökte så hade jag även kunnat se vilken typ av fel eleverna gjorde. Det underlättade att eleverna gjorde undersökningen via datorn då jag kunde ha ett mer omfattande undersökningsunderlag som jag sen kunde analysera. En annan fördel med att eleverna fick skriva sina svar på datorn var att jag inte behövde tolka de skrivna siffrorna som man annars ofta gör som matematiklärare. I undersökningen tittade jag på om det fanns någon skillnad i kunskap mellan sexor, sjuor, åttor och nior. Då det är olika elever i årskurserna så ska man vara försiktig att jämföra dem med varandra. Elevernas kunskaper från år till år ser inte exakt likadan ut när de går i sexan eller nian. Jag ville ändå göra en jämförelse mellan årskurserna, då jag anser att de flesta av eleverna sex till nio har förmågan att lära sig denna del av matematiken om de får undervisning om den. Det innebär att om lärarna skulle undervisat om de matematiska sambanden under högstadiet så borde detta visat sig i undersökningen med att det var ett större antal elever som behärskade additioner och subtraktioners generaliseringar efter en viss årskurs. Jag är medveten om att denna typ av test bara undersöker en viss del av kunskaper inom matematiken. Anledningen till att jag valde detta test är att jag tycker att det är elevers 43

44 rättighet att få en ordentlig undervisning om grunderna i addition och subtraktion. Med rätt undervisning tror jag även att eleverna skulle få ett betydligt bättre resultat. Tror även att eleverna skulle klara andra delar inom matematiken t ex algebra och problemlösning bättre om denna kunskap var befäst. Eleverna behöver då inte använda sitt arbetsminne till att lösa enklare additioner utan kan koncentrera sig på själva problemet i uppgiften. Jag anser att validiteten i arbetet är hög då det gäller att se om det finns någon skillnad i elevernas matematikkunskap i talområdet 1-10 och då de måste generalisera för att lösa uppgifter i ett större talområde. Undersökningen mäter även om det finns skillnad i kunskap i addition och subtraktion inom samma talområde. Både undersökningen där jag jämförde kunskapen mellan könen och årskursvis anser jag ha hög validitet. Undersökningen visar inte allmänt på vad elever kan i en viss årskurs, utan vad de eleverna som gick på skolan kunde just då. Jag anser inte att man kan titta på antalet eller andelen elever i ett specifikt undersökningsområde och säga att det är så här många som kan eller inte kan denna del av matematiken. Anledningen till att den typen av mätning inte går att göra är att det är för många elever som är noterade som att de inte kunde, då de tryckte fram sig för långt när datorerna laggade. Även flera elever ansåg redan i skrivandets stund att de skrev fel siffror men det var då försent att ändra. Jag anser att reliabiliteten är hög för att undersöka om eleverna kan specifika små delområden inom matematiken och skulle välja samma uppgifter om jag skulle gjort om eller gjort en fortsatt undersökning. Jag är som jag skrivit tidigare fult medveten om att denna undersökning inte mäter allt men det var heller aldrig min mening, utan jag vill se på skillnaderna i de små delområdena i den grundläggande matematiken i addition och subtraktion. 6.2 BESVARA SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR Syftet med undersökningen var att studera hur stor andel av eleverna i årskurs sex till nio som behärskar den grundläggande matematiken i addition och subtraktion. En matematik som till stora delar redan ska läras ut i årskurs 1-3 och lite i 4-6. Undersökningen visar på att det inte är någon större skillnad i elevernas kunskap mellan årskurserna i denna del av matematiken. Troligtvis så utvecklar de inte denna delen av matematiken efter skolår sex och troligtvis redan tidigare då lärare tar denna kunskap förgiven och undervisar då inte om den. En kunskap som är viktig för eleverna att behärska för att kunna lösa svårare matematik med flyt. Elever som inte behärskar 44

45 denna mest grundläggande får svårt att lösa den enklaste ekvation då de inte ser lösningen när de inte automatiserat additions och subtraktionstabellerna. Undersökningen visar på att det är liten skillnad på kunskapen mellan könen, vilket också är min egen erfarenhet som matematiklärare för elever i årskurs 7-9. Då det är flera elever som har registrerats i undersökningen som att de inte behärskat området då datorerna laggade har jag valt att titta på skillnaden mellan de som klarade det ena delmomentet men inte det andra. Antalet feltryckningar på så stort antal elever bör vara samma för två olika delmoment, vilket medför att skillnaden mellan delmomenten blir det samma med eller utan att datorerna laggar. Jag ser ingen tydligt en progression i elevernas kunskap då det är färre och färre elever som kan liknande uppgifter i högre talområde. Många av eleverna får problem med att lösa uppgifter då de måste generalisera den kunskapen de har i de lägre talområdena. Kanske blir det ett problem för vissa för att de har ett behov att lösa uppgifterna genom att räkna på fingrarna, vilket blir ett problem när man kommer till tvåsiffriga tal. Problem uppstår även för elever som inte ser mönster mellan uppgifterna och kan då inte använda den kunskapen de har för att komma till nästa nivå. När jag analyserar undersökningen ser jag att ett stort antal elever inte ser sambandet mellan addition och subtraktion då det är betydligt fler elever som behärskar additionen men inte subtraktionen PEDAGOGISKA IMPLIKATIONER Jag anser att det är viktigt att elevers grundläggande kunskaper följs upp bättre genom hela grundskolan så det inte finns elever på högstadiet som inte behärskar de mest grundläggande i matematiken. För dessa elever måste matematik kännas svårt då de nästan hela tiden undervisas långt ifrån den proximala utvecklingszonen. Min undersökning visar på att allt för många elever i sexan till nian inte behärskar den mest grundläggande matematiken med flyt, en matematik som de flesta eleverna lätt bör kunna lösa med huvudräkning. Matematiklärare och speciallärare i matematik måste på ett bättre sätt samt under en längre period undervisa eleverna i om hur de kan tänka för att kunna lösa dessa matematikuppgifter. Bentley och Bentley (2011) menar att goda ämneskunskaper bland läraren visar sig ge en bättre undervisning. Samtidigt är lärarens ämnesdidaktiska kunskaper även mycket viktiga och är enligt författarna linjärt förhållande med elevernas prestation. 45

46 Elever som fortsätter att använda sina fingrar efter andra och tredje klass för att räkna grundläggande uppgifter, utvecklar inte samma förmågor som sina jämnåriga kamrater. Förmågan att lagra information i minnet och enkelt hämta den hjälper elever att få kunskaper om abstrakta matematiska principer, t.ex. kommutativa och associativa lagen (Gersten m fl, 2005). Elever som fortfarande i sexan nian behöver räkna på fingrarna vid denna typ av uppgifter måste få en chans till att lära sig matematiken som ligger bakom och få en förståelse för den. När eleverna har förstått grunderna måste man sen som lärare även hjälpa de att komma vidare i sin utvecklig med att kunna använda sin kunskap vid generaliseringar men även problemlösning. Matematikundervisningen måste innehålla mer samtal kring olika sätt att tänka så eleverna hela tiden kan köpa upp sig på nya och bättre sätt att tänka, som både går snabbare och tar mindre energi. Denna typ av uppgifter är tråkig och enligt mig totalt meningslös att sitta att jobba med enskilt genom att fylla i stenciler med uppgifter. Matematiken i uppgifterna måste synliggöras genom diskussioner mellan lärare och elev men även elev och elev, för att eleverna skall få en matematiskförståelse. Lundberg & Sterner (2009) skriver att undersökningar visar att en-till-en undervisning under en kortare tid varit effektivt när eleven arbetar med aritmetikens grunder då det krävs koncentration och stödet från en vuxen. Eleven får omedelbar bekräftelse eller korrigering som leder till att använda bra strategier och undvika felaktiga arbetssätt. En kartläggning av elevens starka och svaga sidor för att vidta lämpliga åtgärder tillsammans med speciallärare. 6.3 FORTSATT FORSKNING I nästa steg skulle de fem övriga diagnoserna kunna analyseras på liknande sätt för att se om man ser samma mönster i multiplikation och division. Att låta elever från årskurs ett till fem göra samma diagnoser för att få en uppfattning om när andelen elever inte längre ökar när man jämför årskursvis. Göra om undersökningen om fem år för att se om lgr 11 bidrar till att ökar elevers kunskap i den grundläggande matematiken. 46

47 7 REFERENSLISTA 7.1 BÖCKER Ahlberg, Ann (2001). Lärande och delaktighet. Lund: Studentlitteratur. Bentley, Per-Olof & Bentley, Christine (2011). Det beror på hur man räknar matematikdidaktik för grundlärare. Stockholm: Liber Eliasson, Annika (2006). Kvantitativ metod från början. Lund: Studentlitteratur. Engström, Arne (2003). Specialpedagogiska frågeställningar i matematik. En introduktion. Örebros universitet Gersten, Russell, Jordan, Nancy C. & Flojo, Jonathan R. (2005). Early Identification and Interventions for students with Mathematics Difficulties. Journal of Learning Disabilities, 38:4 Hermerén, Göran (2011) God forskningssed. Vetenskapsrådets rapportserie Høines, Marit Johnsen (2008). Matematik som språk. Liber Kvale, Steinar (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur. Lantz, Annika (2007). Intervjumetodik. Lund: Studentlitteratur. Lundberg, Ingvar & Sterner, Görel (2009): Dyskalkyli finns det? Göteborg: Nationellt centrum för Matematikutbildning. Löwing, Madeleine (2008). Grundläggande aritmetik: matematikdidaktik för lärare. Lund: Studentlitteratur Olsson, Ingrid & Forsbäck, Margareta (2008). Alla kan lära sig matematik. Stockholm: Natur och kultur Persson, Bengt (2005). Elever som får stöd men för lite. Stockholm: Myndigheten för skolutveckling. Rönnberg, Irene och Rönnberg, Lennart (2001): Minoritetselever och matematikutbildning: en litteraturöversikt. Stockholm: Skolverket. Skolverket (2010). Rustad att möta framtiden? PISA 2009 om 15-åringars läsförståelse och kunskaper i matematik och naturvetenskap 47

48 Skolverket (2011a). Nationella prov i årskurs 3 Skolverket (2011b). Resultat från ämnesproven i årskurs 9 vårterminen 2011 Strandberg, Leif (2006). Vygotskij i praktiken. Bland plugghästar och fusklappar. Vetenskapsrådet (2007). Reflektioner kring specialpedagogik sex professorer om forskningsområdet och forsknings fronterna. Vetenskapsrådets rapportserie 5: Åhs, Olle (2007). På spaning efter värdegrunden i en globaliserad värld. Stockholm: Runa Förlag. 7.2 INTERNETSIDOR Löwing, Madelene och Marie Fredriksson (2009). Diamant Diagnoser i matematik. s_matematik_inledning_dec2009.pdf (Hämtad ) Naalsund, Margrethe (2012). Algebra ett meningslöst manipulerande av symboler vhandlingar/algebra-ett-meningslost-manipulerande-av-symboler (Hämtad ) Skolverket (2012a). Läroplaner för grundskolan matematik. Skolverket grundskolan/matematik (Hämtad ) Skolverket (2012b). Mer undervisningstid i matematik. Skolverket (Hämtad ) Vetenskapsrådet (1990). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. Vetenskapsrådet (Hämtad ) 48

49 8 BILAGOR BILAGA 1, FÖRÄLDRAR INFORMATION INFORMATIONSBREV GÄLLANDE ENKÄTUNDERSÖKNING Hej, Mitt namn är Malin Wideheim och arbetar som matematik och NO lärare på X-skolan. För tillfället så studerar jag på Malmö högskola till speciallärare i matematik och skriver just nu mitt examensarbete. Syftet med denna uppsats är att se vilka olika aspekter finns det på elevernas kunnande, samt vilka kunskaper eleverna har kring de grundläggande matematikkunskaperna om de fyra räknesätten i årskurs 6 9? De grundläggande matematiska kunskaper inom området aritmetik som denna undersökning kommer att handla om är: Additioner och subtraktioner inom talområdet 1-99, med och utan tiotalsövergångar Multiplikationstabell och generaliserad multiplikationstabell Divisionstabell och generaliserad divisionstabell Jag garanterar att eleverna kommer att förbli anonyma. Svaren kommer endast att användas i statistisksammanställning och enskilda individer kommer inte att kunna identifieras. Undersökningen kommer att göras digitalt under skoltid via ett mail som eleverna får skickat till sin skolmail. För att kunna genomföra denna undersökning så måste jag informera er som vårdnadshavare. Om ni motsätter er undersökningen måste ni kontakta ert barns mentor och meddela detta innan den 30 mars Undersökningen kommer att påbörjas efter påsklovet. Har ni andra frågor eller funderingar kring undersökningen är ni välkomna att höra av er till: Malin Wideheim 0707-xxxxxx eller malin.wideheim@xxx.se Med vänliga hälsningar Malin Wideheim 49

50 BILAGA 2, DIAGNOSERNAS DELOMRÅDEN AG 1, Additioner och subtraktioner inom talområdet 1 9 1a Talens grannar till höger, alltså uppgifter av typen och och deras kommutativa varianter och b Talens grannar till vänster alltså uppgifter av typen 7 1 och 9 2 och avståndet till grannarna, alltså typen 7 6 och 9 7 2a Dubblorna och dubblorna ± 1, alltså typen 4 + 4, och b Hälften och hälften ± 1, alltså typen 8 4 och 9 4 3a och 3b Tals uppdelning i termer, alltså uppgifter av typerna 4 + = 9 och 8 = 3 +. Likhetstecknets innebörd. (Skolverket, 2009 sid 11) AG 2, Additioner och subtraktioner inom talområdet 10 19, utan tiotalsövergång 1a Addition av 10 och ett ental, typ och samt motsvarande öppna utsagor 1b Subtraktion av ett tal mellan 11 och 19 och talet 10 eller ett ental, alltså uppgifter av typen och 18 8, samt motsvarande öppna utsagor 2a och 2b Generalisering av uppgifterna i 1a respektive 1b i test AG1 3a och 3b Generalisering av uppgifterna i 2a respektive 2b i test AG1 4a och 4b Generalisering av uppgifterna i 3a respektive 3b i test AG1 AG 3, Additioner och subtraktioner inom talområdet (Skolverket, 2009 sid 15) 1a och 1b Tiokamraterna, alltså de uppgifter vars summa är 10. 2a Addition med 9, alltså typerna och b Subtraktion med 9 och då differensen blir 9, typ 14 9 och a Additioner med 8, alltså typerna och b Subtraktion med 8 och då differensen blir 8, typ 13 8 och a Dubblorna 6 + 6, och samt dubbelt ± 1 såsom och

51 4b Hälften och hälften ±1, alltså typerna 14 7, 13 7, (Skolverket, 2009 sid 20) AG 4, Additioner och subtraktioner inom talområdet 20 99, med och utan tiotalsövergångar 1a och 1b Generalisering av uppgifterna i diagnos AG1 från ental till tiotal 2a Additioner av tiotal och ental 2b Subtraktioner med ett ental, sådana att svaret blir ett tiotal 3a och 3b Generalisering av uppgifterna i AG2, utan tiotalsövergångar, till ett större talområde 4a och 4b Generalisering av uppgifterna i AG3, med tiotalsövergångar, till ett större talområde (Skolverket, 2009 sid 24) 51

52 BILAGA 3, MATEMATIKUPPGIFTERNA DIAGNOS AG1 1a = = = = = = 1b 9 1 = 8 2 = 7 2 = 6 1 = 9 8 = 8 6 = 2a = = = = = = 2b 9 4 = 6 3 = 7 4 = 9 5 = 8 4 = 7 3 = 3a 4 + = = = = = = 9 3b 8 = = = = = =

53 Diagnos AG2 1a = = = = 10 + = = 12 1b = = 16 6 = 18 8 = 14 = = 9 2a = = = = = = 2b 19 1 = 18 2= = = = = 3a = = = = = = 3b 19 4 = 16 3 = 17 4 = = = = 4a 14 + = = = = = = 19 4b 18 = = = = = =

54 Diagnos AG3 1a = = 5 + = = = = 10 1b 10 6 = 10 3 = 10 1 = 10 = 8 10 = 5 10 = 7 2a = = = = = = 2b 14 9 = 17 8 = 12 9 = 18 9 = 15 6 = 16 9 = 3a = = = = = = 3b 13 8 = 14 6 = 16 8 = 15 8 = 12 8 = 11 3 = 4a = = = = = = 4b 14 7 = 11 5 = 12 7 = 12 6 = 13 6 = 11 6 = 54

55 Diagnos AG4 1a = = 50 + = = = = 90 1b = = = 60 = = = 30 2a = = 30 + = = = = 49 2b 95 5 = 68 8 = 56 = = 80 3 = 90 9 = 70 3a = = = = = = 3b 38 2 = 57 5 = = = 89 7 = 65 4 = 4a = = = = = = 4b 63 8 = 54 6 = = = 8 = 81 3 = 55

56 BILAGA 4, ADDITIONS- OCH SUBTRAKTIONSTRIANGELN 56