Flerdimensionell analys i bildbehandling

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Flerdimensionell analys i bildbehandling"

Transkript

1 Flerdimensionell analys i bildbehandling Erik Melin 27 november Förord Målet med den här lilla uppsatsen är att ge några exempel på hur idéer från kursen flerdimensionell analys kan användas i bildbehandling på datorer, ett område som i och med digitalkamerans utbredning fått stor betydelse för många människor. Uppsatsen är inte menad som en kurs i hur man konkret programmerar en dator till att behandla digitala bilder, med de numeriska approximationer och den digitala geometri man då måste ha förståelse för. Istället gör vi en matematisk modell för bilder som direkt kan behandlas med analysens verktyg. 2. En matematisk modell för datorbilder En bild på datorskärmen är uppbyggd av bildelement som kan anta olika färger och som kallas pixlar. Det vanliga (troligtvis av tekniska orsaker) är att pixlarna är kvadratiska eller rektangulära. Om skärmen har upplösningen punkter betyder det att en pixel kan adresseras av två koordinater (x, y), där x och y är heltal och 0 x 1023 och 0 y 767. Vi behöver en matematisk modell för datorskärmen. Låt som vanligt Z beteckna heltalen och R beteckna de reella talen. Ett slutet intervall av reella tal betecknas [a, b] då a, b R. Om a och b är heltal låter vi [a, b] Z = [a, b] Z, dvs mängden {a, a + 1,..., b 1, b} förutsatt att a < b. Med dessa beteckningar kan datorskärmen, D, i första stycket skrivas som D = [0, 1023] Z [0, 767] Z, alltså mängden av ordnade par (x, y) där x och y hämtas ur respektive intervall. Vad är då en bild på D? Jo, en bild får vi om vi tillordnar varje pixel en färg. Om C betecknar mängden av möjliga färger, är en bild en funktion f : D C. För att komma vidare behöver vi titta närmare på C, mängden av färger. För en svartvit bild vi C = {svart, vitt}, som i allmänhet kodas om till 1

2 2 2 EN MATEMATISK MODELL FÖR DATORBILDER mängden {0, 1} där 0 motsvarar svart och 1 vitt. Jag vet inte om det idag finns någon som minns grafikstandardena CGA, EGA och VGA, med 4, 16, respektive hela 256 färger, men färgmodellen där är densamma som för svartvita bilder fast med något större palett. Mer intressant blir det för oss med gråskalebilder. Det är ganska vanligt att tillåta 256 ljusintensiteter, där 0 motsvarar svart och 255 är vitt. Alltså kan vi låta C = [0, 255] Z. Nu har vi möjlighet att matematiskt definiera rimliga operationer med bilder. Om f, g : D C är två gråskalebilder, är funktionen (x, y) f(x, y)/2 en mörkare version av f (alla ljusintensiteter har delats med två), medan negativet till f ges av funktionen (x, y) 255 f(x, y). Om vi låter 0 t 1 representera tiden så är avbildningen (x, y, t) (1 t)f(x, y) + tg(x, y) en animation; en mjuk övergång från bilden f vid tiden t = 0 till bilden g då t = 1. Men det finns ett problem med konstruktionerna ovan. Det är ju inte säkert att resultatet av operationen är ett heltal mellan 0 och 255, alltså att resultatet ligger i C. Om det resultatet inte är ett heltal kan man naturligtvis avrunda. Om resultatet är för stort eller för litet är det kanske rimligt att begränsa det genom en min/max operation, t.ex. max(0, min(f(x, y), 255))). För att slippa den här typen av komplikationer, ska vi låta C = R. Det visar sig också praktiskt att skala om värdemängden så att 0 motsvarar svart och 1 motsvarar vitt. Värden över 1 kan då tolkas som punkter som är ljusare än vad som kan återges, medan negativa värden är fysikaliskt något svårtolkade. För att vi ska kunna behandla bilderna med verktyg från analysen, måste vi också göra något med definitionsområdet. Istället för att betrakta heltalsområdet D = [0, 1023] Z [0, 767] Z ska vi utöka definitionsområdet till det reella området R = [0, 1023] [0, 767] R 2. Notera att D R. Nu uppstår följande problem: Om vi har en funktion definierad på D, hur ska vi utöka den till det större området R? Naturligtvis ska den utökade funktionen överensstämma med orginalfunktionen i heltalspunkterna. Men mellan heltalspunkterna finns uppenbarligen väldigt många val. Kanske finns det någon funktion med särskilt bra egenskaper? Vi ska inte närmare gå in på vilka egenskaper som är önskvärda, men vi formulerar en sats nedan, som visar att vi i alla fall kan anta att den utökade funktionen är kontinuerligt deriverbar. Sats 2.1. Givet en funktion q : Z 2 R finns en kontinuerligt deriverbar funktion Q: R 2 R, så att Q(x, y) = q(x, y) för alla heltal x och y.

3 2.1 Färgbilder 3 Vi ger inget av bevis av satsen, men den som genomför övning 2.1 nedan får ett bevis genom att explicit konstruera en sådan funktion Q. För att göra situationen ännu enklare för oss, ska vi anta att funktionen f är definierad på hela R 2 och inte bara på rektangeln (skärmen) R. Men vi kräver att f(x, y) = 0 om vi kommer tillräckligt långt bort från skärmen. Med andra ord, att f(x, y) = 0 utanför någon sluten begränsad mängd. Man säger då att f har kompakt stöd. Definition 2.2. En gråskalebild är en kontinuerligt deriverbar funktion f : R 2 R med kompakt stöd. Övning 2.1. a) Låt a och b vara två reella tal. Konstruera en deriverbar funktion f ab : R R, så att f ab (0) = a, f ab (1) = b, och f ab (0) = f ab (1) = 0. Ledning: Det finns ett polynom i grad 3 med de angivna egenskaperna. b) Låt F : R 3 R definieras genom F (a, b, x) = f ab (x). Om f ab är polynomet från ledningen till a), är F ett polynom i variablerna a, b, och x, och därför en deriverbar funktion. Sätt g(x, y) = g abcd (x, y) = F (F (a, b, x), F (c, d, x), y) Visa att g(0, 0) = a, g(1, 0) = b, g(0, 1) = c och g(1, 1) = d. Visa vidare, genom att använda kedjeregeln, att g g x (0, y) = x (1, y) = 0 och att g g y (x, 0) = y (x, 1) = 0. c) Antag att q : Z 2 R är en godtycklig funktion. Definiera en funktion Q: R 2 R på följande sätt. Låt Q(x, y) = g abcd (x x, y y ), där funktionen g abcd beror på x och y genom sambanden a = q( x, y ), b = q( x +1, y ), c = q( x, y +1) och d = q( x +1, y +1). (Beteckningen x betyder att x avrundas till närmaste mindre heltal, sålunda är 2.5 = 2, 3 = 3 och 2.5 = 3.) Visa att Q(x, y) är kontinuerligt deriverbar och att för alla heltal x och y gäller Q(x, y) = q(x, y). Funktionen Q är alltså ett exempel på en funktion av den typ som omtalas i Sats 2.1. Med andra ord är satsen nu bevisad Färgbilder En vanlig modell för färgbilder är den så kallade RGB-modellen, där man anger en färg genom intensiteten för rött, grönt och blått. Alltså kan man betrakta en färgbild (i RGB-modellen) som en funktion f : R 2 R 3. I vissa sammanhang kan man behandla en färgbild som tre separata gråskalebilder. I andra fall är det nödvändigt att ta hänsyn till den sammanlagda färginformationen. Det finns också många andra modeller för färg. Ett viktigt exempel är HSL, där bokstäverna står för hue, saturation och luminance, alltså nyans,

4 4 3 DERIVATOR OCH KANTDETEKTERING mättnad och ljusintensitet. Här blir funktionsavbildningarna lite mer komplicerade, eftersom nyanskomponenten avbildas till en cirkel (färgcirkeln) och inte till en tallinje. Färgmodeller är ett intressant område i sig med en hel del matematik involverad, men vi ska inte fördjupa oss mer i ämnet Något om digital geometri Digitala bilder är ändliga, diskreta, objekt, inte oändliga och kontinuerliga som i vår modell. En dator kan dessutom bara hantera ändliga mängder, så för att få effektiva algoritmer för bilder arbetar datorn direkt med den ursprungliga digitala bilden. Istället för att beräkna derivata genom en gränsvärdesprocess där, låt oss säga, h 0, beräknar man en differens då exempelvis h = 1; differentialkalkylen ersätts av en differenskalkyl. Att man slipper gränsvärdesprocesser kan ju tyckas vara en fördel, eftersom gränsvärden kan vara besvärliga att beräkna. Men det finns nackdelar också. Undersöker man bevisen för t.ex. kedjeregeln eller produktregeln ser man att det finns resttermer som försvinner när h 0. Om vi tar h = 1 försvinner inte resttermerna och kalkylen med differenser blir därför mer komplicerad än kalkylen med differentialer. I en digital bild är det inte heller klart vad man ska mena med en kurva eller en rät linje. Hur kan man se på en mängd pixlar att de utgör en rät linje? Finns begreppet kontinuitet för funktioner definierade på en digital bild? Frågar som dessa försöker man besvara inom digital geometri, som är ett område av matematiken. 3. Derivator och kantdetektering Ett standardproblem inom bildanalys är att hitta kanter i en bild för att kunna dela upp bilden i olika komponenter. Vad utmärker då en kant i en gråskalebild? Jo, att ljusstyrkan ändras snabbt i någon riktning. Vi kan använda gradienten för att undersöka kanter. Vi börjar med att undersöka problemet i en dimension,. Låt f : R R vara en deriverbar funktion i en variabel, där värdemängden tolkas som ljusintensitet. När ljusintensiteten ändras snabbt är derivatan stor (till beloppet), och vi säger att bilden har en kant där f (x) M för någon positiv konstant M (se Figur 1). En svårighet är att välja en bra konstant. Ju mindre M är, desto fler (men svagare) kanter hittas. I praktiken måste M, som ofta kallas tröskelvärde, anpassas för varje tillämpning. Låt nu f : R 2 R vara en gråskalebild. Gradienten, f = ( f x, f y ), i punkten (x 0, y 0 ), är en vektor vars längd ger den maximala förändringen av funktionen f och som pekar i den riktning som den maximala förändringen sker.

5 5 Figur 1: En endimensionell funktion och dess derivata. Kant har vi då funktionen ändrar sig snabbt, det vill säga då derivatan är stor till beloppet. På samma sätt som i det endimensionella fallet låter vi en punkt, (x 0, y 0 ) i bilden räknas som en kant om f(x 0, y 0 ) M för någon konstant M. Med andra ord, för en gråskalebild f, kan kantmängden med tröskelvärde M definieras genom Kant M = {(x, y) R 2 ; f(x, y) M}. Man kan visa att Kant M är en sluten och begränsad mängd. Däremot finns det inga garantier att Kant M är en kurva. Tvärtom består Kant M i allmänhet av områden med positiv area (jämför Figur 1 där kantområdena är intervall), och kanske enstaka punkter. Att tolka den information som kommer från gradienten och sätta ihop kanten till sammanhängande, tunna, kurvor är ett problem som man försöker lösa inom bildanalysen. Problemet är svårt. Vi nöjer oss med att ge en illustration. Den vänstra bilden i Figur 2 föreställer Orienteringsklubben Linnés klubbgård i västra Uppsala. Den högra bilden är kantmängden (det svarta), för något visst tröskelvärde. Vissa kanter syns tydligt, medan träden i bakgrunden bara blir meningslöst brus. 4. Integraler och oskärpa Låt f vara en gråskalebild och antag att bildområdet är rektangeln R som ges av 0 x a och 0 y b för några positiva tal a och b. Speciellt kräver vi att f = 0 utanför R. Det medför att R f(x, y)da = R 2 f(x, y)da. Ibland har man behov av att jämna ut en bild, att göra den suddigare. Vi har redan sett exempel på hur brus ställer till problem när man ska hitta kanter i bilden. Den totala ljusintensiteten som sänds ut av bilden, kan man få genom att addera ljusintensiteterna för alla pixlar. I vår kontinuerliga modell motsvarar

6 6 4 INTEGRALER OCH OSKÄRPA Figur 2: En gråskalebild och dess kantmängd. Bilden ska ses principiellt; de (numeriska) metoder som används för att faktiskt beräkna den tas inte upp i den här artikeln. det integration. Den totala ljusintensiteten, I, är alltså I = f(x, y)da. R 2 En mycket utsuddad version av bilden är den man får om man tilldelar alla bildpunkter den genomsnittliga ljusintensiteten, alltså den konstanta bilden g(x, y) = c, för (x, y) R, där c ges av c = 1 Area(R) R 2 f(x, y)da = 1 ab R 2 f(x, y)da. (Ett litet problem med den här definitionen är att g gör ett språng ner till 0 utanför R. Det går naturligtvis att lösa genom att runda till funktionen på kanten.) Den konstanta bilden är naturligtvis alldeles för utsuddad för att vara av någon större praktisk betydelse. En kompromiss är att istället beräkna den genomsnittliga ljusintensiteten i en omgivning av varje punkt, t.ex. i en skiva med radie r. Låt r > 0 och låt D r = {(x, y); x 2 +y 2 r 2 } vara den slutna cirkelskivan med radie r. Om f är en kontinuerlig funktion i planet, så är A r = 1 Area(D r ) D r f(x, y)da = 1 πr 2 det genomsnittliga funktionsvärdet i D r. Notera att lim A r = f(0, 0), r 0 D r f(x, y)da (1) vilket kan bevisas t.ex. med hjälp av medelvärdessatsen för integraler.

7 4.1 Mer avancerad oskärpa 7 Vi ska skriva om integralen (1) med hjälp av funktionen H r (x, y) som definieras genom { 1/πr 2 om x H r (x, y) = 2 + y 2 r 2, d.v.s. om (x, y) D r 0 annars. Det gäller nu att A r = 1 πr 2 f(x, y)da = H r (x, y)f(x, y)da. D r R 2 Med hjälp av integralen ovan kan vi alltså beräkna medelvärdet av f i en skiva med radie r kring punkten (0, 0). För att beräkna medelvärdet kring en annan godtycklig punkt (x 0, y 0 ) behöver vi bara förflytta skivan på vanligt sätt. Definiera g(x 0, y 0 ) = H r (x x 0, y y 0 )f(x, y)da. R 2 (2) Funktionen g i en punkt (x 0, y 0 ) är alltså medelvärdet av f i en skiva med radie r kring denna punkt. Vidare gäller att lim g(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ). r 0 Ju större r man väljer, desto suddigare blir bilden, och låter man r 0 får man tillbaka orginalbilden. Ett problem som vi har sopat under mattan är att bilden är en rektangel. Går skivan, D r, utanför bilden (där f = 0) blir resultatet för mörkt. Detta måste i en verklig implementation hanteras på något sätt (Övning: Hur kan man lösa det?), men vi ignorerar det problemet. Som förberedelse inför nästa avsnitt noterar vi att R 2 H r (x, y) = 1. Om integralen antog något annat värde, skulle vi ändra den genomsnittliga ljusintensiteten i bilden. Det är inte önskvärt Mer avancerad oskärpa Istället för att bara använda medelvärdet, kan det vara en bra idé att använda ett vägt medelvärde, där närliggande punkter får större betydelse än punkter långt borta. Det finns flera möjligheter, men ett alternativ som ofta används är ett så kallat Gaussiskt filter. I en variabel har vi funktionen G σ (x) = e x2 2σ 2 för en parameter σ > 0. Figur 3 föreställer funktionskurvan för σ = 1. Ju större σ desto långsammare går funktionen mot 0 när x ±. e x 2 +y 2 2πσ 2 I två dimensioner låter vi G σ (x, y) = 1 2σ 2 ; funktionsytan är alltså i princip den endimensionella grafen roterad ett varv kring den beroende

8 8 4 INTEGRALER OCH OSKÄRPA 1,0 0,75 0,5 0, x 0, Figur 3: Kurvan y = e x2 /2. Om kurvan roteras runt y-axeln får man en klockliknande yta. axeln. Av den anledningen kallas grafen ibland för en Gaussisk klocka. Skalfaktorn framför motsvarar faktorn 1 i definitionen av H πr 2 r (x, y) i föregående avsnitt. Vi har nämligen, genom att byta till polära koordinater, G σ (x, y)da = 1 x 2 +y 2 R 2 2πσ 2 2σ 2 da = 1 2πσ 2 e R 2 2π 0 dθ 0 e r2 /2σ 2 r dr = 1. Vi applicerar den Gaussiska funktionen på en bild på samma sätt som vi i föregående avsnitt applicerade H r (x, y). Om f är en gråskalebild ges en bild med Gaussisk oskärpa (Gaussian blur) av funktionen g(x 0, y 0 ) = G σ (x x 0, y y 0 )f(x, y)da. R 2 Parametern σ brukar kallas för standardavvikelse, av orsaker som kommer att få sin förklaring i någon kurs om sannolikhetsteori. I Figur 4 illustreras Gaussisk oskärpa och kantmängden för den oskarpa bilden Allmänna filter Operationen vi har utfört i det här och föregående avsnitt kan generaliseras. Om H : R 2 R är en integrerbar funktion och f är en gråskalebild, definierar H ett filter på f genom operationen (H f)(x 0, y 0 ) = H(x 0 x, y 0 y)f(x, y) da (3) R 2 Uttrycket H f är alltså en ny funktion i två variabler. Av orsaker vi inte går in på brukar man, som ovan, integrera med H(x 0 x, y 0 y) istället för

9 4.2 Allmänna filter 9 Figur 4: Gaussisk oskärpa (σ = 3 pixlar), och kantmängden för den oskarpa bilden. Kantmängden för den oskarpa bilden innehåller betydligt mindre brus än kantmängden för orginalbilden. H(x x 0, y y 0 ) som vi gjort tidigare. Är H jämn i x och y (vilket både H r och G σ är) gör det ingen skillnad. Den filtrerade bilden (f H) brukar kallas en faltning av funktionerna f och H (På engelska heter faltning convolution). Faltning är en mycket betydelsefull matematisk operation, och förekommer ofta inom sannolikhetsteori och transformteori.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 25 Repetition Lekt 15 Femte och trettioförsta elementet i en aritmetisk talföljd är 7

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 5 Institutionen för matematik KTH 5 september 2017 Hur mycket behöver man jobba? Vi har ett gemensamt ansvar: Jag visar vad som behöver göras Men det är ni som måste göra det Viktigt faktum:

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

Patologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)

Patologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6 Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian. MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell

Läs mer

20 Gamla tentamensuppgifter

20 Gamla tentamensuppgifter 20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

Histogram över kanter i bilder

Histogram över kanter i bilder Histogram över kanter i bilder Metod Både den svartvita kanstdetekteringen och detekteringen av färgkanter följer samma metod. Först görs en sobelfiltrering i både vertikal och horisontell led. De pixlar

Läs mer

Rumsuppfattning är förmågan att behandla sinnesintryck av former

Rumsuppfattning är förmågan att behandla sinnesintryck av former Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Tredimensionellt tänkande Tredimensionella matematiska representationer är inte särskilt vanliga i skolans matematikkurser, med undantag för kurs 3 5 i gymnasiet. Varför

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

= 0 genom att införa de nya

= 0 genom att införa de nya UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int.

Kursens Kortfrågor med Svar SF1602 Di. Int. Kursens Kortfrågor med Svar SF62 Di. Int. Allmänt om kortfrågor: Kortfrågorna är ett viktigt sätt för er att engagera matematiken. De kommer att dyka upp på kontrollskrivningar. Syftet är att ni ska gå

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns Kapitel K Mer om kontinuitet I detta kapitel bevisar vi Sats 3.1, som säger att en kontinuerlig funktion av typen R 2 R på ett kompakt område antar ett största och ett minsta värde. Vi studerar dessutom

Läs mer

Kan prickarna på datorskärmen bilda en kurva? Digital geometri ger svaret

Kan prickarna på datorskärmen bilda en kurva? Digital geometri ger svaret Preliminär version. Ej för publicering 2002 03 01 Kan prickarna på datorskärmen bilda en kurva? Digital geometri ger svaret Christer O. Kiselman Innehåll: 1. Inledning 2. Att räkna med kartesiska koordinater

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1

Läs mer

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.

Läs mer

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande

Läs mer

1 Att läsa matematik.

1 Att läsa matematik. 1 Att läsa matematik. Precis som vid all annan läsning som betyder något skall matematik läsas aktivt. Detta innebär olika saker för olika personer. För en del kanske det betyder att visualisera de idéer

Läs mer

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner. Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning Maclaurins och Taylors formler Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning av gränsvärden Standardutvecklingar Vid beräkningar där man inte behöver någon

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 31 augusti 2016 Att göra denna vecka Översikt över modul 1 Funktion Definitionsmängd Värdemängd Udda, jämn Begränsad Absolutbelopp, Trigonometri, Polynom Gränsvärde

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13 LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).

Sekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på

Läs mer

Laboration 4: Digitala bilder

Laboration 4: Digitala bilder Objektorienterad programmering, Z : Digitala bilder Syfte I denna laboration skall vi återigen behandla transformering av data, denna gång avseende digitala bilder. Syftet med laborationen är att få förståelse

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner

Läs mer

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1 Dag 1 Avsnitt 6.1 Definition av trappfunktion och integral av en trappfunktion. Räkneregler (de är mer eller mindre uppenbara). Definition av Riemannintegralen

Läs mer

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

På en dataskärm går det inte att rita

På en dataskärm går det inte att rita gunilla borgefors Räta linjer på dataskärmen En illustration av rekursivitet På en dataskärm är alla linjer prickade eftersom bilden byggs upp av små lysande punkter. Artikeln beskriver problematiken med

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.

Läs mer

Bildbehandling, del 1

Bildbehandling, del 1 Bildbehandling, del Andreas Fhager Kapitelhänvisningar till: Image Processing, Analysis and Machine Vision, 3rd ed. by Sonka, Hlavac and Boyle Representation av en bild Så här kan vi plotta en bild tex

Läs mer

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer). Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och

Läs mer

5B1107 Differential- och integralkalkyl II, del 2 för F1, 6 poäng, vt 2002.

5B1107 Differential- och integralkalkyl II, del 2 för F1, 6 poäng, vt 2002. Institutionen för Matematik,KTH Olle Stormark 5B1107 Differential- och integralkalkyl II, del 2 för F1, 6 poäng, vt 2002. Kurslitteratur: Calculus av Robert A. Adams (fourth edition). Kursen omfattar följande

Läs mer

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator

Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Matematik 3c Kap 2 Förändringshastighet och derivator Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017 Tavelpresentation - Flervariabelanalys 1E January 2017 1 Innehåll 1 Partiella derivator 3 2 Differentierbarhet 3 3 Kedjeregeln 4 3.1 Sats 2.3.4............................... 5 3.2 Allmänna kedjeregeln........................

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Meningslöst nonsens. December 14, 2014 December 4, 204 Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga. Hur visar man att sin(x) x tan(x)? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Fråga 2. Hur visar man att a > lim n a n =? Röd: Det är ett

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

Mer om generaliserad integral

Mer om generaliserad integral Föreläsning XI Mer om generaliserad integral Ex 64: Givet h(x) = ( x 2 5x + 2 ) e x/2. (a) Bestäm en p.f. till h(x). (b) Beräkna h(x)dx. (a) Vi har här en integrand som är en produkt av ett polynom av

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5.

Planering Matematik II Period 3 VT Räkna själv! Gör detta före räkneövningen P1. 7, 17, 21, 37 P3. 29, 35, 39 P4. 1, 3, 7 P5. Avsnitt 1, Inledning ( Adams P1,P3,P4, P5) Genomgång och repetition av grundläggande begrepp. Funktion, definitionsmängd, värdemängd. Intervall. Olikheter. Absolutbelopp. Styckvis definierade funktioner.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de

Läs mer

15 februari 2016 Sida 1 / 32

15 februari 2016 Sida 1 / 32 TAIU07 Föreläsning 5 Linjära ekvationssystem. Minsta kvadrat problem. Tillämpning: Cirkelpassning. Geometriska objekt. Translationer. Rotationer. Funktioner som inargument. Tillämpning: Derivata. 15 februari

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf. TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till

Läs mer

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 15 augusti 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt. 1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.

Läs mer

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x 2. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter TM-Matematik Mikael Forsberg 074-42 Pär Hemström 026-648962 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma04a 202 06 04 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002 RÄKNEÖVNING VECKA 2 David Heintz, 3 november 22 Innehåll Uppgift 29.4 2 Uppgift 29. 3 3 Uppgift 29.2 5 4 Uppgift 3. 7 5 Uppgift 3. 9 6 Uppgift 3.2 Uppgift 29.4 Prove that ln( + x) x for x >, and that ln(

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht8 Omfattning och innehåll 2.7 Gradienter och riktningsderivator. 2.8 Implicita funktioner 2.9 Taylorserier och approximationer 3. Extremvärden 3.2 Extremvärden under bivillkor

Läs mer

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som

Läs mer

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen. 2008 10 14 A. Talsystemen. (Adams P.1. Anteckningar från introkursen.) N de naturliga talen Z de hela talen Q de rationella

Läs mer