Rapport. Den linjära algebrans användningar. 1. Bakgrund. PUG-projekt Göran Bergqvist, MAI

Transkript

1 Rapport Den linjära algebrans användningar PUG-projekt 2012 Göran Bergqvist, MAI 1. Bakgrund De flesta civilingenjörsstudenter och studenter på matematik- och fysikprogrammen läser under första terminen eller första året kurser i envariabelanalys och linjär algebra. I analysen studeras derivator och integraler som redan introducerats på gymnasiet och vars tillämpningar av studenterna upplevs som tydliga. I linjär algebra introduceras många nya begrepp, t ex matriser, determinanter, vektorrum, baser, linjärt oberoende, dimension, skalärprodukter, euklidiska rum, linjära avbildningar, värderum, egenvärden, egenvektorer och diagonalisering. Flera av dessa beskriver generella algebraiska strukturer och uppfattas av många studenter som väldigt abtrakta och innebär nya tankesätt. En berättigad fråga från studenterna är vad kursen kan användas till, många har haft svårt att se detta. Syftet med detta projekt har varit att till varje avsnitt i kursen eller till varje föreläsning göra i ordning material som visar hur linjär algebra dyker upp i mängder av tillämpningar. Tillämpningarna är en blandning av sådant de redan kan från gymnasiet, sådant de läser samtidigt i andra ämnen och glimtar av vad de kommer möta i senare kurser. Projektet har genomförts hösten 2012 i kursen i linjär algebra för Y1, Yi1, MED1, Mat1 och FyN1. I denna rapport ges en beskrivning av materialet och hur det presenterats. Utvärdering har gjorts genom frågor i kursutvärdering och vid diskussion vid årskursråd. Vi kommenterar också vilka slutsatser vi kan dra och hur arbetet fortsätter kommande år.

2 2. Beskrivning av kursen Projektet har genomförts i kursen TATA24 Linjär algebra för programmen Fysik och Nanoteknik (FyN1), Matematik (Mat1), Medicinsk teknik (MED1), Teknisk fysik och elektroteknik (Y1) och Teknisk fysik och elektroteknik - internationell (Yi1). Kursen omfattar 8 högskolepoäng och läses under period 1 och 2 på höstterminen i årskurs 1. Undervisningen består av 20 föreläsningar (för ca 200 studenter) och 22 lektioner (i 30-grupper), jämnt utspridda över terminen. För närvarande har vi också ett mentorspass i veckan (i 15-grupp) där en äldre student finns på plats för att hjälpa till. Efter period 1 ges en frivillig kontrollskrivning (som kan ge bonus på tentamen) och efter period 2 en skriftlig tentamen på hela kursen. Kursen ges också för C2, D2 och IT2 men dessa har inte tagit del av projektet förutom att de haft tillgång till materialet på kurshemsidan. Kursens mål, innehåll och förkunskaper enligt studiehandboken: Mål Att ge en sammanhållen begreppsram för geometrisk och algebraisk teknik med tillämpningar inom Analys, Mekanik, Numerisk analys, Matematisk statistik, Reglerteknik, Linjär optimering m fl. ämnen. Efter kursen skall deltagaren behärska den linjära algebra, som används i andra kurser inom programmet. Den som har deltagit i kursen skall också kunna läsa och förstå den linjära algebra, som ofta förekommer i tekniska artiklar. För att klara detta är det nödvändigt att kunna lösa linjära ekvationssystem och känna till lösningsstrukturen kunna arbeta med skalärprodukt och vektorprodukt för geometriska vektorer kunna räkna med matriser och determinanter kunna redogöra för begreppet vektorrum och räkna med vektorer och koordinater kunna redogöra för begreppet linjär avbildning och bestämma matrisen för en sådan samt beräkna nollrum och värderum kunna projicera ortogonalt på underrum och använda minstakvadrat-metoden kunna använda basbyte för att lösa problem kunna formulera spektralsatsen och använda den för att lösa system av differential- eller differensekvationer Kursinnehåll: Linjära ekvationssystem. Geometriska vektorer, räta linjer och plan. Matriser. Vektorrum. Euklidiska rum. Determinanter. Linjära avbildningar. Egenvärden och egenvektorer. Symmetriska avbildningar. Kvadratiska former. System av differentialekvationer och differensekvationer. Förkunskaper: Gymnasiets matematik E eller motsvarande

3 3. Genomförande av projektet För att visa hur linjär algebra används i andra kurser och inom olika tekniska och naturvetenskapliga tillämpningar har 17 presentationer ställts i ordning. De har kort tagits upp på föreläsningar, oftast minuter, ofta i slutet på en föreläsning men ibland före eller efter rasten. Samtliga presentationer har lagts upp som pdf-filer på kurshemsidan ( grupperade under olika rubriker. När kursen gavs denna gång lades presentationerna ut på kurssidan efter hand. I framtiden kommer allt material att vara tillgängligt för studenterna från kursstart. Notera också att studenterna informerades om att de inte skulle examineras på innehållet i dessa presentationer. Här följer en lista av presentationerna grupperade under rubriker som det ser ut på kurshemsidan med för denna rapport extra förklarande kommentarer i kursiv stil. Linjära ekvationssystem 1. En koppling till geometri: Linjära ekvationssystem med tre obekanta tolkade som skärningar mellan plan. Linjära ekvationer i tre variabler ses geometriskt som plan. Beroende på hur många planen är och hur de ligger i förhållande till varandra får man ingen, en eller oändligt många skärningspunkter. Denna presentation gjordes i samband med föreläsning om linjära ekvationssystem och innan plan studerats. Ett syfte var också att introducera plan på ett intuitivt sätt. 2. Exempel på tillämpning och modellering: Linjära ekvationssystem för enkla likströmskretsar. Linjära ekvationssystem för strömmar och spänningar i likströmskretsar studeras. Gymnasiekunskaper om kretsar används (t ex Ohms lag). Entydighet av lösning diskuteras, motiverad av att en verklig situation beskrivits. Vidare diskuteras vad som händer med lösningen om man tar med för få eller för många ekvationer. 3. Vad vet man då det inte är linjärt? Olinjära ekvationssystem med exempel från flervariabelanalys. Man vet hur man löser linjära ekvationssystem och man vet vilken typ av lösningsmängd man kan få. Om systemet är olinjärt finns inga generella metoder och inget allmänt om lösningsmängden kan sägas. Vi studerar ett olinjärt optimeringsexempel från den kommande kursen i flervariabelanalys. 4. I verkliga tillämpningar kan man ha mycket stora ekvationssystem: Ett stort linjärt ekvationssystem (ranking av internetsidor). Googles metod för att ranka webb-sidor leder till ett linjärt ekvationssystem i många miljarder variabler. Vi beskriver hur systemet ser ut men får återkomma till det i slutet av kursen när egenvärden och egenvektorer studerats för att bättre förstå den bakomliggande modellen.

4 Vektorer 5. Fysik i 3D och skalärprodukt: Vektorer i fysik (1): Arbete och skalärprodukt. I samband med föreläsning om skalärprodukt i tredimensionella rummet visar vi hur den kan tillämpas i fysik. Här används gymnasiekunskaper i fysik. 6. Fysik i 3D och vektorprodukt: Vektorer i fysik (2): Arbete och skalärprodukt. Vektorprodukt: kraft på laddad partikel i magnetfält, rörelsemängdsmoment. Vi visar hur gymnasiekunskaper (som använder högerhandsregel/skruvregel) om kraften på en laddad partikel i ett magnetfält elegantare kan uttryckas med vektorprodukt. Fler fysikexempel som de kanske inte mött tidigare nämns. Linjer 7. Parameterform av kurvor som generalisering av linjer: Linjer och kurvor i 2D och 3D. En dubbelhelix och DNA. De har lärt sig om linjer på parameterform. Vi visar hur mer allmänna parameteruttryck ger krökta kurvor och påpekar att de kommer studera sådana snart i envariabelanalysen. Matriser 8. De används i väldigt många kurser: Exempel på användning av matriser i olika kurser. En snabböversikt om matrisanvändning i 19 andra kurser, en sida från varje kurs, på varje sida syns matriser, t ex från föreläsningsmaterial (tillstånd för att lägga ut sidor med föreläsningsmaterial inhämtades från kursansvariga): Flervariabelanalys, Statistisk teori grundkurs, Reglerteknik, Felrättande koder, Mekanik, Digital bildbehandling, Optimeringslära grundkurs, Kaos och ickelinjära fenomen, Geometri med tillämpningar, Kvantmekanik, Medicinsk bildanalys, Fordonsdynamik med reglering, Ordinära differentialekvationer och dynamiska system, Relativitetsteori, Datorgrafik, Elementarpartikelfysik, Ekonomisk analys: besluts- och finansiell metodik, Elektromagnetisk fältteori, Numerisk linjär algebra. 9. Kan man beräkna matrisprodukt på smarta sätt (forskningsproblem i matematik): Effektiv matrismultiplikation? Med utgångspunkt från multiplikation av komplexa tal och vanlig matrismultiplikation som de redan kan, beskrivs ett forskningsproblem i matematik som går att förstå. Det ger också en introduktion till komplexitet hos algoritmer. Vektorrum 10. Matematisk struktur för vanliga polynom: Andragradspolynom och vektorrum. Läs gärna igenom före föreläsningen om vektorrum. Vektorrum uppfattas som kursens mest abstrakta moment. Polynom är de vana vid och för att förstå vektorrum bättre kan man se på vissa egenskaper hos vanliga polynom. Studenterna uppmanas att läsa igenom denna presentation innan föreläsningen om vektorrum.

5 Skalärprodukter 11. Fysik är inte bara reell och 3D: Olika skalärprodukter i fysik (komplexa i kvantfysik, indefinita i relativitetsteori). I kursen studeras allmänna reella skalärprodukter. Vi visar på exempel från fysik när denna definition måste generaliseras, till komplexa tal i kvantfysik och till icke-positiva skalärprodukter i relativitetsteori. 12. ON-baser på rum av funktioner dyker upp i senare kurser: Fourierserier. Vi ser hur vanliga integraler används till skalärprodukter. Kända formler för sin och cos från gymnasium och grundkurs används för att ge en introduktion till fourierserier som är mycket viktiga i senare kurser och tillämpningar. Determinanter 13. Ekvationssystem kan lösas med enbart determinantberäkningar: Ekvationssystem och determinanter. Tillämpningar av determinanter som kan dyka upp i tillämpade kurser och som vi normalt inte hinner ta upp i kursen visas. Linjära avbildningar 14. Kan användas för korrigering av fel vid signalöverföring: Felrättande koder (och linjära avbildningar). Vi ser hur linjära avbildningar och deras matriser används vid kodning (koder med ettor och nollor). Syftet är att vänja sig vid hur avbildningsmatriser tolkas genom att ge en verklig tillämpning. De som studerar digitalteknik (Y, Yi) eller diskret matematik (Mat) denna termin kan se kopplingar till de kurserna. 15. Affina avbildningar är användbara och nästan linjära: Affina avbildningar, itererade funktionssystem och fraktala bilder. IFS (länk 1, länk 2) hos Wolfram Demonstrations Project. Vi visar hur matriser kan användas för att skapa fraktaler. Maple-kod finns liksom länkar till Wolfram där studenterna själva kan bygga fraktaler. För att skapa något vackert! Egenvärden och egenvektorer 16. Ranking av internetsidor är egentligen ett egenvärdesproblem: Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser. Med hjälp av kunskaper om egenvärden och egenvektorer kan studenterna nu förstå hur Google byggt upp sin modell för rangordning av alla webb-sidor. 17. Singulärvärden kan förstås från egenvärden och används i många tillämpningar: Singulärvärden och tillämpningar. SVD och bildkompression, länk till Wolfram Demonstrations Project. Singulärvärden för en matris kan förstås från spektralsatsen som nu studerats. Vi diskuterar lågrangsapproximation och datakompression och ger ett exempel där en välkänd LiTH-bild komprimeras (länk till Wolfram så studenterna kan få prova approximationer av bilden själva). På grund av många tillämpningar är singulärvärden så viktiga att de kan behöva ingå i en grundkurs i framtiden.

6 4. Utvärdering Utvärdering har gjorts genom att några extra frågor ställdes i kursutvärderingen. Även vid årskursrådet diskuterades och kommenterades projektet. I kursutvärderingen ställdes fem extra frågor för att få en uppfattning om studenternas syn på projektet. Som vanligt var svarsfrekvensen låg, under 40% av registrerade studenter fyllde i kursutvärderingen. Trots detta kan resultatet ge viss ledning. Frågorna och svarssnitten var följande: 1. Anser du att [ projektet ] ökat förståelsen för linjära algebrans användning inom andra områden (1 = håller inte alls med, 3 = håller delvis med, 5 = håller helt med)? Snitt Anser du att [ ] ökat förståelsen för kursens roll inom utbildningen / utbildningsprogrammet (1 = håller inte alls med, 3 = håller delvis med, 5 = håller helt med)? Snitt Anser du att [ ] ökat motivationen för att studera linjära algebra (1 = håller inte alls med, 3 = håller delvis med, 5 = håller helt med)? Snitt På vilken nivå anser du att materialet varit (1 = för lätt, 3 = lagom, 5 = för svårt)? Snitt Hur mycket tid anser du att presentationerna tagit upp på föreläsningarna (1 = för lite, 3 = lagom, 5 = för mycket)? Snitt 3.0 Notera att svarssnitten på de tre första frågorna är 0.3 högre (4.1, 3.8 resp. 3.9) om MED1 exkluderas, detta trots att studenterna i medicinsk teknik endast utgör % av de svarande. Detta kommenteras mer nedan. Vid årskursråden, som ska representera alla program, konstaterades att presentationerna var populära. Vissa ansåg att de kunde vara mindre detaljerade. På standardpunkten där kursens relevans i utbildningen bedöms gavs kort och gott omdömet hög vilket kan jämföras med det något vagare omdömet kursen anses relevant som gavs hösten Självklart har studenterna inte kunnat jämföra hur kursen är med presentationerna med hur den var tidigare, men totalt sett tyder studenternas utvärderingar på att projektets huvudmål uppfyllts, en stor majoritet tycks inse att kursen har stor betydelse för tillämpningar och i fortsatta kurser. En mycket vanlig fråga till mig som lärare har genom åren varit vad ska man ha det här till?. Nu fick jag inte den frågan en enda gång under kursen. Min egen värdering som professionell lärare med många års erfarenhet av undervisning är att materialet haft en klart positiv inverkan på studenternas förståelse för ämnets betydelse.

7 Som nämndes ovan har studenter i medicinsk teknik inte lika positiv inställning som övriga, men detta gäller även för kursen som helhet. Kursen är ursprungligen framtagen för Y och Yi (och D), medan Mat och FyN anslutit utan större problem sedan antalet studenter på dessa program ansågs för litet för att ha en egen kurs. MED anslöt senare när programmet startades och det är tydligt att de inte har samma inställning till kursen som de övriga. Till skillnad från övriga har de också haft en tentamen i en annan kurs strax innan kontrollskrivningen i linjär algebra vilket påverkat första delen av kursen negativt. På tentamina har de dock de senaste åren gjort bra resultat. Vi följer aktivt upp hur kursen fungerar för MED-studenterna. 5. Slutsatser Kursen undervisas på traditionellt sätt med föreläsningar och lektioner (där studenterna förväntas arbeta själva med problemlösning), det kan anses konservativt men fungerar bra och uppfyller de grundläggande matematikkursers dubbla syfte, dels lära sig den matematik som behövs i utbildningen, dels att stegvis utveckla förmågan att lösa större och större allmänna problem och kunna reflektera över metoder och lösningsstruktur. Vi ser därför inte behov av radikala förändringar av kursen utan projektet kan ses som ett förstärkande komplement. Erfarenheterna från projektet har varit goda med positiv respons från studenterna, och vi kommer fortsätta med upplägget kommande år. Innehållet i presentationerna kommer kontinuerligt att ses över, några kan modifieras och nya kan tillkomma. De kommer fortfarande att tas upp på föreläsningarna, vissa kanske mindre detaljerat och med mer betoning på idéer. Inga ändringar i kursplanen är aktuella och materialet ska inte heller i fortsättningen examineras. Det är viktigt att det inte tynger kursen och upplevs som ett extra moment utan det ska utgöra en stimulans som samtidigt klargör kursens roll i utbildningen. Vi kommer också eventuellt lägga upp länkar till ett par sidor från universitet i andra länder där projekt med liknande ambition genomförts (t ex linearnew.htm). Aktuellt är också att som komplement till våra föreläsningar lägga ut länkar till video-inspelade föreläsningar från liknande kurser, t ex från ITN (ett tidigare PUGprojekt: Owe Kågesten och George Baravdish, Web-casting i linjär algebra) och MIT ( Materialet kan användas på samtliga program som läser kurser i linjär algebra. Tillämpningarna bör då delvis anpassas till de olika programmen men det mesta kan användas i nuvarande form.