Spegeln i Snövit och de sju dvärgarna kunde ge den elaka drottningen

Transkript

1 Bengt Ulin Spegling i plan geometri En vanlig spegel presenterar en avbild av oss när vi tittar i den. Vissa geometriska konstruktioner kan kallas speglingar, när ett objekt avbildas på ett annat i relation till ett plan, en linje eller en punkt. Vi får här stifta bekantskap med speglingar i plan geometri. Vi får också exempel på utmanande problem. Spegeln i Snövit och de sju dvärgarna kunde ge den elaka drottningen besked om vem som var vackrast. Även i en del deckare av Agatha Christie utnyttjas en spegel i mörka syften. En mördare, som vill lägga ut villospår genom att uppträda maskerad, tränar en gammal kvinnas gester men tänker inte på att spegelbildens vänstra sida speglar aktörens högra, ett misstag som bidrar till att förövaren kan avslöjas. Den schackspelande automaten, konstruerad 1770 av kammarrådet W von Kempelen vid Maria Theresas hov i Wien, är ett exempel på hur verkligheten kan överträffa fiktionen: bakom ett slags kateder med schackbräde satt en turk av plåt. Han besegrade starka schackspelare och lärda män frågade sig: kan en maskin tänka? Efter turnéer i Europa fortsatte automaten sitt segertåg i Amerika långt in på 1800-talet. Ett par pojkar som spionerat gav lokalpressen ett avslöjande 1827 men man avfärdade artikeln som ett reklamtrick. Det var dock sant att en skicklig dvärg hade suttit gömd i katedern med hjälp av en raffinerad spegelkonstruktion [1]. I geometrin är spegling en alltigenom hederlig metod, ibland speciellt användbar vid konstruktioner då cirklar är inblandade. Spegeln kan vara en rät linje eller en cirkel. När en punkt P speglas i en linje a till en bildpunkt P är den speglande linjen a mittpunktsnormal till sträckan PP. Mekaniskt kan man genomföra denna avbildning av P genom att vika ett papper längs a och sticka ett hål genom P. Nålen alstrar då punkten P. Låt oss till en början se på en uppgift, där lösningen ska genomföras med de klassiska hjälpmedlen passare och ograderad linjal: Problem 1 Två cirklar ligger på var sin sida om en linje a. Inpassa mellan dessa cirklar en rät sträcka, vinkelrät mot a, så att sträckan delas mitt itu av linjen a. Det gäller alltså att bestämma den normal till a, längs vilken avstånden till cirklarna från a blir lika stora längs normalen. Cirklarna, som vi kallar c och C i fig 1, antas vara så belägna att en lösning existerar. Vi speglar c i linjen a och erhåller en spegelbild Figur 1 51

2 c som skär cirkeln C i två punkter. Dessa punkter är spegelbilder P och Q i linjen a av två punkter P och Q på c. Sträckorna PP och QQ tillhör var sin av två normaler som utgör problemets lösning, se figur 1. Om c skulle tangera C får vi endast en normal som lösning. Spegellinjer i ortonormerat koordinatsystem Om vi speglar en punkt P(a; b) i y-axeln i ett ortonormerat koordinatsystem*) får vi en bildpunkt P (-a; b). En linje y = a speglas då på sig själv, men dess två hälfter byter plats. Detsamma gäller för grafen till en funktion f(x) definierad exempelvis för alla reella x om f(-x) = f(x). Enkla exempel på sådana jämna funktioner är f(x) = x 2, f(x) = cos x och f(x) = x. Speglar vi en punkt Q(a; b) först i y-axeln och därpå i x-axeln erhåller vi bildpunkten Q (-a;-b). Dessa två speglingar i rad innebär en vridning 180 kring origo som är fixpunkt. Problem 2 a och b är två givna linjer i planet. P är en punkt på avståndet x från linjen a. P speglas först i denna linje, därefter i linjen b. a) Vad kan sägas om bildpunktens läge om linjerna är parallella med ett inbördes avstånd d? b) Vad kan sägas om dess läge om linjerna bildar en vinkel v? Svaren är vackra: Spegelpunkten ligger oberoende av x på avståndet 2d från P respektive vrids en vinkel 2v kring linjernas skärningspunkt. Medan problem 2 kan vara en bra övningsuppgift i grundskolan i samband med negativa tal kan följande uppgift vara en förberedelse för studiet av inversa funktioner på gymnasiet. Problem 3 Triangelskivan ABC med hörnen A(5;0), B(0;3) och C(3;5) avbildas i xy-planet genom spegling i linjen y = x. a) Rita triangelns spegelbild A B C och ange dess hörn. b) Har triangeln några fixpunkter vid avbildningen? Vid spegling i linjen y = x blir alla punkter på denna linje fixpunkter. En punkt (a; b) avbildas på punkten (b;a), x-axeln avbildas på y-axeln och vice versa. Vid studiet av inversa funktioner uppkommer frågan vilken funktion som är invers till funktionen y = e x. Vi kan definitionsmässigt ange den som x = ln y, varvid y är oberoende variabel. Eftersom vi brukar välja x som oberoende variabel går vi över till framställningen y = ln x. I koordinatsystemet innebär detta att punkterna (a; b) på kurvan x = ln y, som är identisk med kurvan för y = e x, övergår i punkter (b; a) på kurvan y = ln x. Hur går då denna? Enligt problem 3 är denna kurva spegelbilden till exponentialkurvan y = e x i linjen y Figur 2 = x, se figur 2. *) Ortonormering innebär rätvinkliga koordinataxlar med samma skalenhet. 52

3 Ur en instruktiv bok av Hyltén-Cavallius och Sandgren [3] hämtar jag följande vackra trio av övningsuppgifter, kanske något för elever som gillar utmaningar: Problem 4 a) Om höjdernas skärningspunkt H i en triangel speglas i triangelsidorna, så ligger spegelbilderna på triangelns omskrivna cirkel. Visa att detta gäller endast för punkten H. b) Nödvändiga och tillräckliga villkoret för att spegelbilderna av en punkt P i sidorna av en triangel ska ligga i rät linje (Wallace-linjen) är att P ligger på triangelns omskrivna cirkel. c) Wallace-linjen går genom höjdernas skärningspunkt H (figur 3). Figur 3 I uppgift 4a) spelar motivet återspegling en vacker roll. Problem 4c) bevisas i boken. Spegling i cirkel inversion i planet Vi utgår från en given cirkel c med centrum O och radie r. En punkt P på avståndet d från O erhåller en bildpunkt P som definieras av att den ligger på linjen OP och befinner sig på det avstånd d från O för vilket d d = r 2. Om r = 1, så antar d det inverterade värdet 1/d. Denna avbildning, som omfattar hela planet, kallas spegling i den givna cirkeln. Ur definitionen följer att 1. punkter utanför cirkeln c avbildas på punkter inne i cirkeln, 2. punkter på cirkelranden blir fixpunkter, 3. punkter inne i cirkeln avbildas på punkter utanför denna, 4. varje linje genom O avbildas på sig själv. Hur ställer det sig då med linjer som inte går genom O? Med hjälp av definitionen, rätvinkliga trianglar och likformighet kommer man tämligen enkelt till svaret 5. en linje som inte går genom O avbildas på en cirkel genom O. När en punkt rör sig ut mot oändligheten på linjen rör sig bildpunkten mot O. För att även erhålla O som bildpunkt bör man komplettera linjen med dess oändligt avlägsna punkt, en punkt som i förstone kan te sig flummig men som i projektiv geo metri kompletterar den öppna euklidiska linjen och gör den därvid uppkomna projektiva linjen sluten. I projektiv geometri har varje linje en oändligt avlägsen punkt och denna hanteras på samma sätt som vanliga punkter. I figur 4 är ett regelbundet pentagram speglat i en cirkel som är inskriven i pentagrammet. Figur 4 53

4 Nästa problem får illustrera vilken roll oändligt avlägsna punkter kan spela vid inversion: Problem 5 Vilken kurva erhåller man om hyperbeln x 2 y 2 = a 2 inversions cirkeln x 2 + y 2 = a 2? avbildas genom spegling i Hyperbeln har asymptoter y = x och y = -x som avbildas på sig själva vid inversionen. Eftersom hyperbeln tangeras av asymptoterna i deras oändligt avlägsna punkter kommer bildkurvan att gå genom origo. Där skär den sig själv under räta vinklar. Vidare måste bildkurvan gå genom punkterna (a; 0) och (-a; 0), ty dessa ligger på inversionscirkeln. För att erhålla bildkurvans ekvation går vi över till polära koordinater (r; v) genom transformationen x = r cos v, y = r sin v. Hyperbelns ekvation blir då r 2 (cos 2 v sin 2 v) = a 2 eller Figur 5 r 2 cos 2v = a 2 (1) Inversionen genomförs nu genom utbyte av r mot a 2 /r. Ur ekvationen (1) uppkommer då bildkurvans ekvation, som är r 2 = a 2 cos 2v (2) Denna kurva (figur 5) är känd sedan länge och kallas lemniskata. När en punkt P med start från punkten (a; 0) genomlöper lemniskatan motsols i den övre delen av höger ögla, därefter medsols längs den vänstra öglan och till sist motsols genom den undre delen av höger ögla, genomlöper dess motsvarande punkt P med start från (a; 0) den övre högra delen av hyperbeln, passerar igenom dess oändligt avlägsna punkt som hyperbeln har gemensam med asymptoten y = x, återkommer längs hyperbelns undre vänstra del, som den genomlöper för att efter passage av den andra asymptotens oändligt avlägsna punkt återkomma uppåt åt vänster längs hyperbelns undre högra del till startpunkten (a; 0). Vi får här en vacker belysning av att hyperbeln är en sluten kurva i projektiv geometri. Inversion av cirklar Som bekant införde grekerna passaren som redskap för avståndsmätning och uppritande av cirklar samt linjalen (ograderad!) för dragning av linjer. Det är därför naturligt att ställa frågan: hur avbildas cirklar vid inversion i planet? Svaret är att: 6. cirklar genom O avbildas på linjer som ej går genom O (jämför med (4)), 7. cirklar som ej går genom O avbildas på cirklar som ej går genom O. 54

5 För beviset av dessa resultat utnyttjas kordasatsen, likställighet och likformighet. Se [2], [3] eller [5]. Där bevisas även de förnämliga egenskaperna att 8. vinklar och tangering bevaras vid inversion. Det innebär att om två kurvor skär varandra i en punkt P och där har tangenter t resp u, så bildar tangenterna t och u till bildkurvorna samma vinkel i deras skärningspunkt P som t och u bildar i P. Avslutning Fig 6 nedan visar konturen till ett verktyg som de forna grekerna använde, en skomakarkniv (arbelos). Konturen bildas av tre halvcirkelbågar som parvis tangerar varandra i respektive diametrars ändpunkter. På Nämnaren på nätet kan du finna aktiviteter som anknyter till denna artikel och som bland annat handlar om Pappus kniv. Spegling tillhör avbildningsgeometrin. W Kilborn ägnar ett avsnitt åt denna form av geometri i sitt verk om ämnesteori i matematik [4]. Den introducerades i svensk skola i slutet av 60-talet, men det var inte många lärare som såg poängerna och resultatet blev att avbildnings-geometrin insomnade i stillhet. Det är bara att beklaga men låt oss hoppas på en renässans! Figur 6 litteratur [1] C M Carroll, The Great Chess Automaton, Dover [2] H S M Coxeter, Introduction to Geometry, J Wiley & Sons [3] C Hyltén-Cavallius / L Sandgren, Plan geometri, Hermods, Malmö [4] W Kilborn, Didaktisk ämnesteori i matematik, del 3, Almqvist & Wiksell/ Hermods [5] C Stanley Ogilvy, Excursions in Geometry, Dover [6] B Ulin, Problemlösning i symbios med matematikhistoria, Ekelunds förlag