Pedagogiska Fakulteten Åbo Akademi i Vasa. Lars Burman [GEOMETRI] : 5 sp : 40 h

Transkript

1 2007 Pedagogiska Fakulteten Åbo kademi i Vasa Lars urman [GEOMETRI] : 5 sp : 40 h

2 1. Geometriska Transformationer lgebra: funktioner = avbildningar tal tal Geometri: transformationer = avbildningar punkter punkter I skolan behandlas kongruens (avbildningar) och likformighet (savbildningar). Vi betecknar kongruens med och likformighet med ~. Egentligen är likformigheten ett specialfall av kongruensen. Vanligen används koordinatsystem. nteckning: xiom i geometrin 1) Euklides Geometri (330 f.kr.) 23 definitioner, postulat, axiom, satser 2) Icke Euklidisk Geometri Hyperbolisk Geometri (imaginär geometri) olyai Lobatjevskij Elliptisk Geometri Kaos Geometri Geometri i skolan 1) Euklidisk Geometri, eget skolämne xiom, satser, bevis 2) Ny matematik (1960 till 1970 talet) Mängder, avbildningar Hög abstraktionsnivå 3) Nuläge Euklidisk renässans? (deduktion) Laborativ geometri (induktion) Problemlösning Små forskare Läroplanen säger: Åk 1 2 Åk 3 5 Åk 6 9 former, bygga, rita, rymdgeometri, grundbegrepp mängder, skala, vinklar, klassificering, cirklar, laboration beräkningar, samband, begrepp, cirkeln, kroppar, Pythagoras sats, konstruktioner, enhetsbyten Geometri Sida 2

3 Exempel: 1) spegling i en linje 2) translation = parallellförskjutning 3) rotation 4) spegling i en punkt 5) sträckning (förstoring och förminskning) 6) spiralsymmetri LIKFORMIGHETSVILNING ISOMETRI LIKSTÄLLHETSVILNING SPIRLSYMMETRI SPGLING I EN LINJE TRNSLTION ROTTION STRÄKNING SPEGLING I EN PUNKT Egenskaper för likformighetsavbildningar en likformighetsavbildning bevarar sträckors förhållanden och vinklars storlek en isometri bevarar sträckornas längder en likställighetsavbildning transformerar varje sträcka i en parallell sträcka en spiralsymmetri bevarar en fixpunkt och en omloppsriktning (orientering) Påståenden en translation är både en isometri och en likställdhetsavbildning en rotation är både en isometri och en spiralsymmetri en sträckning är både en likställighetsavbildning och en spiralsymmetri en spegling i en punkt är en rotation (180 ) och en sträckning Vidare gäller bl.a. att en spiralsymmetri utgör en sammansättning av rotationer och sträckningar en spegling i en linje kastar om omloppsriktningen transformationer som bevarar omloppsriktningen kallas med ett gemensamt namn likformighetsavbildningar (de är translationer eller spirasymmetrier) Geometri Sida 3

4 Gruppstruktur Mängden av alla translationer bildar en grupp med avseende på kompositionen sammansättning av avbildningar. Motsvarande grupper fås också för mängden av alla Rotationer kring en given punkt direkta isometrier spiralsymmetrier speglingar i en given linje likformighetsavbildningar. sträckningar likställighetsavbildningar direkta likformighetsavbildningar isomerier Praktiska exempel med spegling 1) Experimentell spegling Vik ett papper invid en färgfläck. är du viker kommer det att bildas en symmetriaxel 2) Spegling i ett rutigt papper Rutorna i pappret underlättar ritningen av en exakt spegelbild. Vi kan utnyttja symmetri jämför med hur du ritar en parabel. 3) Jämför spegling i en linje med rotation Man kan inte avgöra om en sträcka speglats i en linje eller om den roterat. et behövs ett knä på sträckan för att avgöra den saken. 10 y x ) ubbel spegling Spegla en vektor två gånger efter varandra i två olika punkter. enna transformation kan också beskrivas som en parallellförskjutning. 5) Spegling i en spegel Vänster blir höger och höger blir vänster, upp förblir upp och ner förblir ner. Egentligen är det fråga om spegling i ett plan. Geometri Sida 4

5 6) iljardbord Tänk dig att bordet speglas så att 2 x 4 bord uppstår. Ett denna spegling kan man rita kulornas väg som räta linjer: 7) Spegling med bokstäver (versaler) Spegla bokstäver och bestäm symmetriaxlar och symmetricentrum. Symmetriaxel: Symmetricentrum: E H I K M T U V X H I N O S Z S N Geometri Sida 5

6 Problemlösning med transformationer Lös följande problem med hjälp av transformationer: 1. Två godtyckligt stora cirklar skär varandra. Låt vara den ena gemensamma punkten. Rita en linje genom så att det längs linjen faller två lika långa kordor till vardera cirkeln. Lösning: nvänd spegling i en punkt. (den streckade cirkeln är speglingen) 2. Givet en triangel och en sträcka a. Inskriv i triangeln en sträcka som är lika lång som och parallell med a. Lösning: nvänd parallellförskjutning. 3. Inskriv en kvadrat i en triangel. (Kvadraten får börja från triangelns bas) Lösning: örja med en liten kvadrat () och sträck den sedan tills den är inskriven i triangeln (EFGH). H G ~ E F Geometri Sida 6

7 4. Givet en cirkel och två linjer som tangerar den (utan att för den skull vara parallella). Konstruera en cirkel som tangerar linjerna och den givna cirkeln. Lösning: ra bisektrisen till O. å fås och. Sammanbind med. Upprita E II. lternativ 1: ra mittpunktsnormalen till E lternativ 2: ra en normal genom E till O. å fås P. En lösning har P som medelpunkt och P som radie. E O 5. P är en fix punkt på cirkeln, Q är en variabel (fritt rörlig) punkt på samma cirkel och R är mittpunkten på sträckan PQ. estäm orten för R. Lösning: (Orten är en punktmängd där varje punkt uppfyller samma givna villkor). Eftersom PR = ½ PQ oberoende av hur Q väljs utgör orten för R den cirkel som är likformig med den givna i skalan ½. Här används sträckning med mittpunkten P. R är i detta fall på den lilla cirkelns periferi. Q Q Q Q Q Q Q Q Q P Q = R Geometri Sida 7

8 6. Triangeln transformeras med hjälp av en spiralsymmetri så att punkten är fix och punkten förskjuts längs linjen genom sträckan. estäm orten för punkten. Lösning: ~ ~ ' och befinner sig längs samma linje oberoende av valet av. Orten för är en linje. ' 7. Givet tre linjer l₁, l₂ och l₃, som skär varandra i en punkt, samt en punkt på en av dessa tre linjer. Rita en triangel som har de givna linjerna som bisektriser till vinklarna. När saknas lösningar? Lösning: Spegla i l₃ resp. l₂ å fås resp. Sammanbind och Skärningspunkterna med l₂ och l₃ är då resp.. Problemet saknar lösningar om två av linjerna är (vinkelräta mot) varandra. linje 3 linje 2 '' linje 1 ' Geometri Sida 8

9 2. Matriser Vid en geometrisk transformation erhåller de givna punkter i planet som berörs av transformationen nya koordinater. Matriser kan användas för att beskriva hur en bestämd transformation påverkar dessa punkter. Exempel: a) Sträckning Sträckning är en enkel transformation. Multiplikation av en vektor med ett tal. T.ex. 2 sträckning i skalan 2 b) Translation ddition av två vektorer. efinition: En (tvådimensionell) m x n matris bastår av m x n tal som är ordnade i m rader och n kolonner. Exempel: ,, 2 x 2 matriser efinition: ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ Varje 2 x 2 matris svarar mot en tvådimensionell geometrisk transformation där origo lämnas invariant. ₁ = ₂ ₁ ₂ linjär transformation Exempel: Vilken vektor erhålls då matrisen opererar på = 4 9 = = ₁ = ₂ ₁ ₂ affin transformation Geometri Sida 9

10 Man definierar produkter av matriser så att de svarar mot sammansättning av transformationer. ₁ = ₂ ₁ = ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₂ efinition: = efinition: 1) Produkten av en skalär (tal) och en matris = 2) Summan av två matriser ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ Exempel: En sträckning i skalan k kan med en matris beskrivas så här: ₂ = ₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂ enna matris beskriver sträckning i skalan k Specialfall: 1 0 kallas enhetsmatris kallas nollmatris 0 0 Geometri Sida 10

11 Uppgifter: 1) Lösning: ) Lösning: ) Lösning: ) Lösning: = Märk: Trots att man utgår från samma matriser (bara omsvängda) i början blir inte resultatet 0. (härav följer att) Ordningen när man multiplicerar matriser är viktig. Geometri Sida 11

12 5) cos sin Lösning: cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sincos 0 0 cossinsincos cossin sincos 0 0 6) ) Vi definierar determinanten. et är det som man får om man beräknar värdet av en matris. Huvuddiagonalen kallas och sidodiagonalen kallas. Om man multiplicerar dessa och beräknar skillnaden av dem får man ett tal som kallas determinant, dvs. i matrisen. eterminanten brukar skrivas med två streck (istället för parenteser) eller med ett det före. 1 Om vi definierar dvs. determinanten av matrisen, får vi. Geometri Sida 12

13 8) estäm den inversa matrisen till a : å b , ,5 : ) estäm ,5 0,5 : Geometri Sida 13

14 3. vbildningar med matriser ffina transformationer a) bevarar skärande linjer som skärande b) bevarar parallella linjer som parallella c) sträckors längd och vinklars storlek behöver inte ens vara definierade efinition: I ett Euklidiskt plan definieras den skalära produkten av vektorerna ₁ ₁ ₁ ₂ ₂som det reella talet ₁ ₂ ₁₂ ₂ efinition: Längden av vektorn är efinition: Vinkeln mellan vektorerna ₁ och ₂ bestäms av cos ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ cos Likformighetsavbildningen 1) sträckors förhållanden bevaras ₁ ₁ 2) Vinklars storlek bevaras samma omloppsriktning ₂ ₂ ombytt omloppsriktning cos cos Geometri Sida 14

15 Härledning: ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ Olikheter bör därför gälla för godtyckligt valda x₁, y₁, x₂, y₂ d.v.s. ₂ 0 För att lösa detta görs en ansats: Sätt cos cos sin sin Geometri Sida 15

16 cos 0 cos d.v.s. cos sin sin Uppfyller ekvationssystemet och leder till att och skiljer sig från varandra med ä. 0 ex. Rotationen β efterföljs av rotationen α: cos sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos Om β = α har man: cos sin cos 2 sin 2 sin cos sin 2 cos 2 Inverterade matrisen: cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos en inversa matrisen fås om α byts till α (omloppsriktningen byts) Geometri Sida 16

17 y 4 efinition 2 För en jämn funktion gäller f(x)=cos(-x) x ex. cos ₂ -4 För en udda funktion gäller 4 y ex. sin f(x)=-sin(-x) x -2-4 ex. Rotation 30 moturs, dvs. α30 ä, y cos 30 sin 30 sin 30 cos (1,2; 1,9) (2, 1) kontroll: x ,, 30 å 2, 1 ä 1,2; 1, ,, -3 Geometri Sida 17

18 2 sin30 minnestrianglar: 1 cos sin cos45 2 minnesvinklar: sin 0 cos y 3 f(x) = sin x f(x) = cos x x Geometri Sida 18

19 exempel 2: Vart flyttas sträckan från 2, 1 och 3, 1 a Vid rotation 45 medurs? b Vid rotation 45 medurs och sedan rotation 60 moturs? a sin45 cos 45 sin 45 cos45 sin45 cos45 sin 45 cos ,,,, b cos 15 sin 15 sin 15 cos ,, ,, etta kan kontrolleras med att fortsätta från a fallet. Geometri Sida 19

20 Exempel: 1 Translation y (1, 2) Spegling i x axeln 0 1 x (1, -2) 3 Spegling i y axeln Spegling i origo Rotation kring origo sin cos sin cos Geometri Sida 20

21 exempel: Undersök den transformation som förmedlas av matrisen. sin cos sin cos Vi skriver: cos sin sin cos sin cos sin cos rotation kring origo Spegling i x axeln ex. rotationen α90 cos sin sin cos linjen förblir på stället En linje vars riktningsvinkel är halva rotationsvinkeln transformeras på sig själv. Vår transformation innebär en spegling i ovannämnda linje. definition: En fixpunkt är en punkt som transformeras på sig själv. Linjen ovan bestod enbart av fixpunkter. exempel: estäm fixpunkten för transformationen och Geometri Sida 21

22 ä 3 2, 3 2 NR FFIN VILNINGR (fortfarande i euklidiskt plan) 1. sträckning i y led transformation av en cirkel till en ellips area transformeras i skalan s vinklar bevaras inte 2. sträckning i x led o.s.v. 0 1 exempel: sträckning i x led, sträckning i y led (s) Geometri Sida 22

23 Transformationen av en cirkel till en ellips med samma area som cirkeln. 3. Skjuvning Om t = 1 y (x, y) (x, y ) ( 2, 0) ( 2, 0) ( 2, 3) (1, 3) (3, 0) (3, 0) (3, 3) (6, 3) x Skjuvning bevarar areorna! -5 ylika affina transformationer kallas ekviaffina. Villkoret för en Transformation med matrisen det 1 skall vara ekviaffin är Vilken linjär avbildning som helst kan åstadkommas som en sammansättning av transformationerna cos sin ä. 1 sin. ; cos 1 0. ; ä Geometri Sida 23

24 Plangeometriska Konstruktioner 1. Konstruktion av en normal till en linje från en given punkt på linjen. E 1 P P P P Linjen 1 och punkten P är givna. Med P som medelpunkt uppritas en halvcirkel med godtycklig radie. Halvbågen skär linjen 1 i punkterna och. Med och som medelpunkter dras två nya cirkelbågar. Radien är i detta fall lika för båda bågarna men något större än för halvcirkeln. e två nya bågarna skär varandra i punkten E. P och e sammanbindes E. Linjen som går genom PE är nu normal till linjen 1. EP står vinkelrätt mot linjen 1 för att är kongruent med (sss). Vinklarna vid P är lika stora sidovinklar. E får inte vara för nära P! 2. Konstruktion av en normal till en linje från en given punkt utanför linjen. P P P P E E Linjen 1 och punkten P är givna. Med P som medelpunkt dras en cirkelbåge med godtycklig radie. irkelbågen ska vara större än avståndet mellan P och Linjen 1. irkelbågen skär linjen 1 i punkterna och. och blir medelpunkter för två nya cirkelbågar med samma radie. essa bågar skär varandra i punkten E. E och P binds samman och utgör normalen. PE är en normal till linjen för att PE är en romb och att i en romb skär diagonalerna varandra vinkelrätt. (essutom halverar diagonalerna varandra) Geometri Sida 24

25 3. Konstruktion av en normal till en given sträcka från dess ena ändpunkt. F E E Sträckan är given. Med som medelpunkt dras en cirkelbåge med godtycklig radie. enna cirkelbåge skär sträckan i punkten. irkelbågens radie () ritas sedan på cirkelbågen två gånger efter varandra med utgångspunkt från då erhålls punkterna och E. och E tas till medelpunkter för två cirkelbågar med samma radie. essa bågar skär varandra i punkten F. F blir då normalen till sträckan. F är normal till för att och är liksidiga F halverar E i romben FE F halverar då också bågen E och vinkeln E. 4. Konstruktion av en given sträckas mittpunktsnormal Sträckans ändpunkter och är givna. e tas till medelpunkter för två cirkelbågar av samma radie. essa bågar skär varandra i och. och binds tillsammans då blir linjen mittpunktsnormal till linjen. iagonalerna i en romb halverar varandra och skär varandra vinkelrätt. Geometri Sida 25

26 5. Konstruktion av en vinkel av samma storlek som en given vinkel v P P Vinkeln v är given. På en rät linje placeras punkten P. Med P som medelpunkt ritas en cirkel med godtycklig radie. Med samma radie ritas en cirkelbåge över den givna vinkeln med medelpunkten i vinkelspetsen. enna cirkelbåge skär den givna vinkelns ben i punkterna och. Motsvarande cirkelbåge skär den räta linjen i. Längden av bågen avsätts från till. Vinkeln P är den sökta vinkeln. Vinklarna är lika stora för att i kongruenta trianglar (sss) är motsvarande vinklar lika. 6. Konstruktion av en given vinkels bisektris v v v S S S en givna vinkeln är v och vinkelspetsen S. S tas som medelpunkt för en cirkelbåge med godtycklig radie. enna cirkelbåge har vinkelbenen i och. och tas till medelpunkter för cirkelbågar med en och samma radie, som skär varandra i punkten. Linjen S blir då den sökta bisektrisen. S är en bisektris för att för att och är kongruenta (sss) vinklarna vid S är motsvarande och lika stora. 7. Konstruktion av en linje som är parallell med en given linje och går genom en given punkt. P P P l l l Geometri Sida 26

27 Linjen l och punkten P är givna. Med P som medelpunkt och med godtycklig radie uppritas en cirkelbåge som skär den givna linjen i. Med som medelpunkt dras sedan en cirkelbåge genom P som skär den givna linjen i. Längden av bågen P sätts från till. Linjen genom P och är den sökta. Linjerna är parallella för att triangeln P är kongruent med triangeln P P= och =P=P P är en parallellogram. 8. Konstruktion av en triangel med tre givna sträckor som sidor. a b c b a b a e givna sträckorna är a, b och c. Med den ena ändpunkten på sträckan c som medelpunkt och sträckan b som radie ritas en cirkelbåge. Sedan ritas en annan cirkelbåge med a som radie och ändpunkten som medelpunkt. e båda cirkelbågarna skär varandra i. är den sökta triangeln. 9. Konstruktion av en liksidig triangel med en sträcka som sida. en givna sträckan är. Med och som medelpunkter ritas två cirkelbågar med som radier. ågarna skär varandra i. är den sökta triangeln. 10. Konstruktion av en rätvinklig triangel med hypotenusan och höjden mot densamma givna. Geometri Sida 27

28 h h h en givna hypotenusan är och höjden h. Sträckan delas mitt itu och mittpunkten blir medelpunkt för en halvbåge ked halva som radie. En linje dras parallellt med på ett avstånd = den givna höjden. enna linje skär halvcirkelbågarna i punkterna och. en sökta triangeln är eller. 11. Konstruktion av en regelbunden åttahörning, inskriven i en given kvadrat O O O är den givna kvadraten. iagonalerna och dras, de skär varandra i O.,, och blir medelpunkter för cirkelbågar genom O. e punkter som uppstår när cirkelbågarna skär kvadratens sidor sammanbinds som i figuren. 12. Konstruktion av en regelbunden sexhörning med en given sida O O O Sträckan är sexhörningens sida. och tas till medelpunkter för cirkelbågar med radien. essa cirkelbågar skär varandra i O. O blir medelpunkt för cirkeln genom och. I denna cirkel ritas kordor av samma längd som med eller som utgångspunkt. Geometri Sida 28

29 13. Konstruktion av en regelbunden femhörning och en regelbunden tiohörning inskrivna i en given cirkel O O O O F F F E E E I den givna cirkeln dras två mot varandra vinkelräta diametrar. Hälften av den ena delas på mitten i punkten. binds samman med den andra diameterns ena ändpunkt. tas som medelpunkt för en cirkelbåge med radien O. enna cirkelbåge skär i. Med som medelpunkt dras en cirkelbåge genom. enna cirkelbåge skär den givna cirkeln i punkterna och E samt sträckan O i punkten F. Sträckan O sägs nu vara delad med gyllene snittet i delarna F och FO. Sträckan E är den inskrivna regelbundna femhörningens sida och den regelbundna tiohörningens sida. Om vi koncentrerar oss på det gyllene snittet i figuren kan vi börja med att lyfta ut triangeln O. Om sträckan O sätts till 1, blir sträckan 1 och O 2. Enligt Pythagoras sats blir hypotenusan i triangeln 5 dvs etta gör att sträckan och F är 5 1 samt att OF är 3 5. förhållandet mellan F och OF räknas ut: (När man vill komma undan ett tal som 3 5 i nämnaren kan man multiplicera nämnaren och täljaren med nämnarens konjugattal, i detta fall 3 5.) förhållandet mellan OF och F räknas ut: Geometri Sida 29

30 et gyllene snittet F ~ 1 x-1 E x 1 ² 1 ² 1 0 1, , s r ² ² 0 ² ² 10 ² r - s s När man har en ekvation med två okända faktorer kan man bara räkna ut förhållandet mellan dem Ekvationen behandlas som en vanlig andragradsekvation. 1, Geometri Sida 30

31 14. Konstruktion av en regelbunden femhörning med en given sida E E är den givna sidan. Till den dras en mittpunktsnormal, på vilken avsätts från mittpunkten till. och binds samman, och denna linje förlängs med halva till. tas till medelpunkt för en cirkelbåge med radien. irkelbågen skär :s mittpunktsnormal i E. tas som medelpunkt för en till cirkelbåge med samma radie. Från E sätts på dessa cirkelbågar sträckan till F och. FEG är den sökta femhörningen Konstruktion av en cirkels medelpunkt. O En cirkels periferi är given, men cirkelns medelpunkt är inte känd. För att ta reda på medelpunkten dras två godtyckliga kordor till cirkeln. Kordornas mittpunktsnormaler konstrueras och de skär varandra i punkten O. Punkten O är den sökta medelpunkten. Geometri Sida 31

32 Konstruktion av sträckor med viss längd 1) 2 Vi konstruerar en kvadrat med sidlängden s, då är det lätt att dra diagonalen och dess längd kommer då att vara 2 enligt Pythagoras sats. 2) 3 Genom att halvera en liksidig triangel (vid höjden) får man typtriangeln som har ena sidan 1, andra 2 och tredje 3 3) 5 Genom att sätta två kvadrater sida vid sida och dra en diagonal genom båda får man en triangel med sidan 1, 2 och 5. 4) 6 Genom att konstruera 2 och 3 i följd En annan parentes är att i en kvadrat med sidan 3 blir diagonalen 6. 5) 7 Genom en konstruktion av en rätvinklig triangel med hypotenusan 4s och katet 3s. 6) 8 En möjlighet är en rätvinklig triangel med kateterna 2s. en andra möjligheten är en rätvinklig triangel med kateterna 3s och 2s. 7) 10 En rätvinklig triangel med kateterna 3s och s. Geometri Sida 32

33 8) 11 Om man ser till rutan nedan är det lätt att använda sig av två kvadrater för att komma till ett udda tal. I detta fall skulle man använda sig av kateten 5 och hypotenusan 6 för att få en katet med längden Om man vill veta 9) ä ä. ö ö 4. ä ä. Hur konstruerar man 44 samt 46? Geometri Sida 33