iv) Skicka via m-filerna (med ditt namn och uppgift i filnamn) till din klasslärare genast efter redovisning

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "iv) Skicka via m-filerna (med ditt namn och uppgift i filnamn) till din klasslärare genast efter redovisning"

Transkript

1 1 INLÄMNINGSUPPGIFT 1 (MATLAB) Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006/HF1008 Skolår: 2014/15 Due date: Data elektro: 14 okt 2014 tid:8:15-10:00 Medicinsk teknik 13 okt tid 10:15-12:00 armin@sth.kth.se Individuellt arbete. Använd MATLAB för att lösa dina uppgifter. I nedanstående uppgifter a, b, c och d är de sista fyra siffrorna i ditt personnummer. Har du t ex pn så är a=2, b=3, c=4 och d=8 som du substituerar i dina uppgifter och därefter löser dem. 5 labbövningar är schemalagda i första delen ( dvs LinAlg-delen). Första 3 labbövningar är lärarledda lektioner i Matlab. De sista två labbövningarna (av 5 i del 1) är avsedda för redovisning av inlupp1. REDOVISNING. i) Under kursens gång gör du nedanstående uppgifter 1-13, skriver kommentarer till dina lösningar, sparar varje uppgift som separat m-fil (script) och redovisar under sista två (av totalt fem) labbövningar i Lin Alg delen. ii) Hinner du inte redovisa dina (korrekta) lösningar i tid måste du göra även uppgift 14. När du gjort färdigt uppgifterna 2-14 bokar du via en tid för redovisning hos din klasslärare ( för LinAlg delen). iii) Du redovisar (med hjälp av din laptop) dina uppgifter genom att förklara dina lösningar och visa att dina Matlab-koder fungerar. Du behöver inte lämna in någon pappersversion av lösningen. iv) Skicka via m-filerna (med ditt namn och uppgift i filnamn) till din klasslärare genast efter redovisning Uppgift 1. ( Denna uppgift ska du göra innan första labbövningen) A) Ladda ner MATLAB från webbsidan KTH Program Distribution: B) Starta Matlab och läs Help> Exemples >Getting Started C) Allmänt: Observera även att kommandot help följt av funktionsnamn ger hjälptext. T.ex help sqrt ger hjälpinformation om funktionen sqrt (kvadratroten ur). Uppgift 2. Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. Gör följande: 1. Öppna File, new, script. 2. Skriv och exekvera kommandona genom att klicka på run. 1

2 2 Tips. Exekvera ofta, efter några kommandon, så att du tidigt upptäcker eventuella fel. 3. Skriv förklaringar efter tecken %. Spara script som Uppgift2 ) 4. Slutligen, när allt fungerar, klicka på knappen PUBLISH, Publish för att få ett snyggt html- arbetsblad med kommandon och svar. ( Du kan välja mellan html, doc och pdf-fil i " Edit publishing options " som fins i i menyn under Publish..) Publish finns också som kommando (funktionsanrop). A) ENKLA BERÄKNINGAR % Anmärkning: Två procenttecken i början av raden definierar ett nytt avsnitt ("section" ) % Detta är användbart om man vill presentera (" publicera ") arbetet % eller om man vill exekvera endast ett avsnitt. % Förklaring: = Clear Command Window, rensar kommandofönstret % Förklaring: raderar alla variabler format compact % tätare utskrift, om man vill p=5 % p tilldelas värdet 5 q=3 r1=p+q a=1, b=2 % ( använd a och b från personnummer) m1=sin(a)+cos( b^3) m2=log(3) % ln3 m3=log10(11) % lg(11) m4 = sqrt(a+b +23.8) m5=abs(3*a-57) s=' Jag studerar ' % s tilldelas text ' Jag studerar ' t= ' på KTH ' v= [s,t] B) VEKTORER (LISTOR) OCH MATRISER (TABELLER) L=[ ] % definierar en vektor (en numerisk lista) L(3) L(3) + 2*L(5) A=[ ; ; ] A(2,3) A(3,1) v=5:0.5:8 % Förklaring: v=a:h:b skapar vektorn a, a+h, a+2h, a+3h,.b w=7:0.5:10 z=sin(w) % Anmärkning: sin(w) tillämpas elementvis % Notera att z blir en vektor om w är det. f=v.*w % Förklaring Operator.* står för elementvis multiplikation : Varje element i x multipliceras med motsvarande element i y. För plus och minus behövs ej operator för elementvis addition och subtraktion. g=v.*v k=v.^2 m=w.^3 n=2*v+3*w p=cos(v) C) NÅGRA ENKLA PLOT-exempel x=0:0.1:4*pi ; % Om vi avslutar ett kommando med semikolon då exekveras kommandot % men resultat visas inte på skärmen. y=sin(x); figure(1) % plottar grafen i fönstret figure(1) plot(x, y) title('sin(x)') xlabel('x i radianer'); 2

3 3 ylabel('funktionens värde'); figure(2) % plottar grafen i fönstret figure(2) t=0:0.1:6.28; z=cos(t); plot(t, z ) grid on % rutnät title('cos(x)') Flera grafer i samma koordinatsystem figure(3) % För att plotta flera grafer i samma koordinatsystem ( samma fönster) % använder vi kommandot "hold on" x=-2:0.1:2; y=2*x; z=sin(x); plot(x,y) hold on plot(x,z) hold off Ett exempel på en parametrizerad kurva t=0:0.01:2*pi; x=4*cos(t); y=3*sin(t); figure(4) plot(x,y) grid on axis equal %Förklara. title('ellipsen med halvaxlarna 4 och 3') Ett exempel på "stem plot" x = 0:0.1:4; y = sin(x.^2).*exp(-x); figure(5) stem(x,y) xlabel('tid') ylabel('signal') Spara script som Uppgift2 (Matlab automatiskt lägger till m som "efternamn"). Dvs, Uppgift2.m blir namnet istället för Uppgift2 där efternamnet anger att filtypen är en Matlabfil, ett s.k. script. Uppgift 3. Öppna en ny m-fil (File, new, script ) A) Ange ett eget exempel med for end slinga (loop). B) Ange ett eget exempel med if end satsen. C Ange ett eget exempel med kommandot while. C) Ange ett eget exempel med kommandot rand. D) Ange ett eget exempel med kommandot randi. E) Ange ett eget exempel med kommandot rem 3

4 4 22 k + 10 F) Använd for...end slinga för att beräkna summan. 2 k= 3 k + 1 Tips. Läs Matlab-hjälp om ovanstående kommandon. Spara som Uppgift4 Uppgift 4. Öppna en ny m fil (File, new, script ) och skapa lista med N=50+a slumpvalda heltal som ligger mellan 100+a och 159+b med hjälp av följande kommandon: % (Clear Command Window) a=1 % du ska ange a-värdet från ditt personnummer b=2 % du ska ange b-värdet från ditt personnummer N=50+a R=randi([100+a, 159+b],1,N) % N slumpvalda heltal mellan 100+a och 159+b. A) Beräkna summan av alla tal R(i) som uppfyller 120 < R ( i) 140. B) Beräkna summan av alla tal i R som är delbara med 12. C) Hur många sådana tal (delbara med 12) finns i R? Tips. Kommandot rem(x, 12) ger resten då heltal x delas med 12. D) Exekvera och förklara följande plot -kommandot : hist( R,5) Anmärkning: Om vi skriver frekv=hist(r,5) så ritas inget histogram; i stället får vi en vektor "frekv" med frekvenser (för de 5 delintervall av intervallet [Rmin, Rmax] ) Spara script som Uppgift5 Uppgift 5. Symboliska beräkningar. Med Matlab kan vi utföra symboliska beräkningar inom bl. a. algebra och analys, lösa linjära ekvationssystem, lösa vissa ickelinjära system samt lösa några typer av differentialekvationssystem. Viktig: För att kunna utföra symboliska beräkningar måste vi först deklarera alla ingående symboliska variabler, (t ex variabler x1 x2 x3...) med kommandot syms x1 x2 x3... A) Testa följande exempel: Exempel 6A format compact % tätare utskrift syms x y z % vi deklarerar att x, y och z är symboliska variabler f= (x+y+z)*x % f blir också en symbolisk variabel eftersom den definieras % med hjälp av x, y och z f=expand(f) % utvecklar dvs " expanderar" f f1=subs(f,x,10) % substituerar x=10 i f f2=subs(f,[x,y,z],[10,3,-1]) % substituerar x=10, y=3 och z=-1 i f syms x g=(x^2+x)/x g1=simplify(g) h=sin(x) h1=diff(h,x) % definierar g som funktion av x % förenklar g % deriverar h 4

5 5 h2=int(h,x) % beräknar h3=int(h,x,0,pi) % beräknar figure(1) ezplot(h,[-10,10]) % ezplot (Easy to use function plotter) ritar grafen % till symboliska funktionen h i intervallet [-10,10] figure(2) F=x^2+y^2 ezsurf(f, [-1,1],[-2,2]) % Grafen till ytan F=x^2+y^2 där -1<=x<=1 och - 2<=y<=2 title('f=x^2+y^2') xlabel('x-axeln') ylabel('y-axeln ') zlabel('f värden') B) Låt f ( x) = x sin x. Beräkna f ' ( x), f ( x) dx och för 4 x 4. π 0 f ( x) dx samt plotta grafen till f (x) Uppgift 6. Ekvationer. Linjära och några (enklare) icke linjära ekvationer kan man lösa med kommandot solve. Alla ingående variabler måste deklareras som symboliska (t ex syms x y a b) Testa följande exempel format compact % tätare utskrift syms x p q r ekv1=p*x+q==r sol1=solve(ekv1,x) % löser ekv1 och ger namn sol1 till lösningen %Eler, Matlab2010: ekv1= p*x+q=r sol1=solve(ekv1,x) syms x ekv2=x^2+x+1==0 sol2=solve(ekv2,x) % en andragradsekvation har 2 lösningar syms x ekv2=x^3+1==0 sol3=solve(ekv2,x) % en tredjegradsekvation har 3 lösningar % Vi har fått tre lösningar som ligger i listan (vektor) sol3. % Lösningarna kan vi plocka på följande sätt: x1=sol3(1), x2=sol3(2), x3 = sol3(3) % Med hjälp av double kan vi få det numeriska värdet av ett tal, t. ex x2n=double(x2) %ger nummeriska värdet av x2 5

6 6 Uppgift 7. Ekvationssystem. Kommandot solve kan användas för att lösa linjära och några ( enklare) icke linjära ekvationssystem. Syntax: [y1,...,yn] = solve(ekvationer, variabler) A) Gör följande exempel: format compact % tätare utskrift syms x y z ekv1=x+y+2*z==3 ekv2= 2*x+y+z==4 ekv3=2*x+y+3*z==4 % ett linjärt ekv. system med exakt en lösning [X,Y,Z]=solve(ekv1,ekv2,ekv3,x,y,z)% löser systemet S=[X,Y,Z] % lösningen syms x y ekv1=x+2*y==5 ekv2= x+2*y==3 %Det är uppenbart att systemet saknar lösning [X,Y]=solve(ekv1,ekv2,x,y) S=[X,Y] lösningen syms x y ekv1=x+2*y==5 ekv2= x+2*y==5 % ett linjärt ekv. system med oändligt många lösningar [X,Y]=solve(ekv1,ekv2,x,y) S=[X,Y] % % Ett icke linjärt ekv system med två lösningar syms x y ekv1=x^2+y==5 ekv2= x^2-y==3 % ett ICKE linjärt ekv. system [X,Y]=solve(ekv1,ekv2,x,y)% löser systemet S=[X,Y] % två lösningar: Varje par (X(k), Y(k) med samma index är en lösning B) Lös följande linjära ekvationssystem x + y + z = 6 x + y = 2 i) x + 2 y + 2z = 9 ii) 2x + 2 y = 4 iii) x + y + 2z = 7 3x + 3y = 6 x + y + z = 3 x + 2 y + 2z = 5 2x + 3y + 3z = 2 C) Bestäm skärningen mellan planen x + y + z = 3 och x + 2 y + 2z = 4 D) Bestäm skärningen mellan planen x + y + z = 3 och linjen ( x, y, z) = (2,4,6) + t(1,1,1 ). Tips. Beskriv linjen med tre skalära ekvationer. lös därefter system med 4 ekvationer (planets ekvation plus tre linjens ekvationer). Uppgift 8. I nedanstående el-krets gäller: V1 =24 volt, V2= 12 volt, R1 =10 ohm, R2=15 ohm och R3= 20 ohm. A) Bestäm tre oberoende ekvationer för strömmarna i1, i2 och i3. Tips: Använd Kirchhoffs lagar. B) (Matlab) Lös systemet i A, dvs bestäm strömmarna i1, i2 och i3. 6

7 7 i1 R1 V1 A R2 i2 B i3 R3 V2 Uppgift 9. och. Öppna File, new, script ( dvs en ny m-fil) och definiera ( skapa) ovanstående matriser A och B. i) Beräkna A(3,2) +B(1,4), A+B, AB, BA, A T (transponat till A), A 3 +B 4, det(a), det(a+b) och (A+B) -1 om A+B är inverterbar. ii) Bestäm X ur matrisekvationen AX = C BX, ( välj själv en C matris) Tips. Bestäm först (papper och penna) ett uttryck för X och därefter beräkna X med Matlab. Tips: I Matlab skrivs matrisinvers inv(a) och transponat A'. Uppgift 10. Låt A=(1,2,2), B=(a+2,4,3), C=(a+3,7,3), D=(a+2,4,4) vara fyra punkter i R 3. a) Bestäm vektorerna u = AB, v = AC och w = AD D b) Beräkna vinkeln mellan u och v w ( i både radianer och grader) c) Beräkna arean av triangeln ABC v C d) Beräkna volymen av pyramiden ABCD Tips. A u B Skalärprodukten mellan u och v beräknas med dot(u,v), vektorprodukten mellan u och v beräknas med cross(u,v), längden av en vektor w beräknas med norm(w). Uppgift 11. Definition 1. (Linjär avbildning) 7

8 8 En funktion T från R n (n-dimensionella vektorer) till R m (m-dimensionella vektorer) säges vara en linjär avbildning ( linjär funktion eller linjär transformation) om följande två villkor är uppfyllda Villkor 1. T( u + v) = T( u) + T( v) Villkor 2. T(ku ) = kt( u) för varje skalär k och alla. T ex. rotationen kring origo, spegling i en linje, spegling i ett plan i R 3,projektionen av en vektor på en linje, projektionen av en vektor på ett plan i R 3 är linjära avbildningar. En linjär avbildning från R n till R m kan definieras med hjälp av en m n matris A genom: r r y = Ax. Exempel: Låt A= r r r r 2 2. Då är y = Ax dvs y = 2 2 x en linjär avbildning som avbildar tvådimensionella vektorer x r på tredimensionella vektorer y r. Exempelsvis vektorn 1 x r = avbildas på 2 1 y r = = Anmärkning: Eftersom en punkt P tillhörande ortvektor OP har samma koordinater, istället att säga vektorn (x 1, x 2,...x n ) kan vi säga punkten (x 1, x 2,...x n ). cos v sin v r r Din uppgift. Låt A =. Avbildningen y = Ax beskriver rotationen vinkeln v sin v cos v 3π kring origo. Låt v =. 4 A) Bestäm bilderna av punkterna P=(1, 1), Q= (3, a+6), R=(5,3), (beteckna bilderna med K, L och M). B) Rita trianglarna PQR och KLM i samma koordinatsystem. Uppgift 12. Definition (Egenvektor och egenvärde) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Om det finns en nollskild vektor v r och en skalär λ så att r r Av = λ v (**) då kallas matrisens egenvektor och talet λ kallas matrisens egenvärde. v Anmärkning 1. En egenvektor v r parallell med sin bild A r (enligt (**) ) Anmärkning 2. Nollvektorn 0 r godkänns alltså INTE som egenvektor till en kvadratisk matris A. Däremot talet 0 kan vara ett egenvärde till A. Detta ät fallet om för någon vektor v r gäller r r r Av = 0 v dvs 0 r A v = 8

9 9 Anmärkning 3. (Matlab) Egenvärden till en kvadratisk matris A kan vi bestämma med hjälp av kommandot d=eig(a). Element i (vektorn) d är matrisens egenvärde. Egenvektorer kan man få med hjälp av [V,D] = eig(a) Kolonner i matrisen i V är matrisens (normerade) egenvektorer, elementen på diagonalen i D är matrisens egenvärden.. Din uppgift. Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till i) A =. ii ) B = iii)vad är den geometriska tolkningen av de linjer som egenvektorerna bildar i uppgift (i)? Uppgift 13. Utskriftsformat. Läs hjälpavsnitt i Matlab om fprintf och därefter förklara följande utskriftsformat: Några exempel med fprintf R = A=R^2*pi fprintf('arean är lika med %20.2f \n',a) % ovanstående kommandot blandar text och tal i utskriften. %Skriver ut A med 2 decimaler och totalt 20 platser % \n betyder att utskrift forsätter i en ny rad fprintf('arean är lika med %14.8E \n',a) fprintf('om radien R är lika med %8.3f så är cirkelns area lika med %8.3f \n',r,a) fprintf(' Radien R= %10.3E. Arean= %10.3E \n',r,a) Komplexa tal och fprintf z = i; fprintf( 'z= %s \n', num2str(z) ) % omvandlar z till textvariabel (string) Uppgift 14. Extra uppgift. ( Endast för de som inte redovisar i tid uppgifter 1-13) Kommandot randi([imin, imax],m,n) genererar en matris av typ tal som ligger mellan imin och imax. A) Skapa en matris med följande kommandon a=1, b=2 % använd dina parametrar a och b A=randi([100+a, 200+b],23,44) B) Bestäm summan av alla tal A(j,k) som uppfyller 130 < A(j,k) < 180. C) Hur många sådana tal finns? m n med slumpvis valda 9

iv) Skicka via m-filerna (med ditt namn och uppgift i filnamn) till din klasslärare genast efter redovisning

iv) Skicka via  m-filerna (med ditt namn och uppgift i filnamn) till din klasslärare genast efter redovisning INLÄMNINGSUPPGIFT 1 (MATLAB) Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006 Skolår: 2017/18 Du redovisar dina lösningar under sista två (av totalt fem) labbövningar i Lin Alg delen. Preliminärt: 3 okt 2017

Läs mer

analys Linjär algebra och i) Under de uppgifter iv) Efter Uppgift gå direkt till sidan eller att hitta help följt av Uppgift 2. Skriv Sida 1 av 11

analys Linjär algebra och i) Under de uppgifter iv) Efter Uppgift gå direkt till sidan eller att hitta help följt av Uppgift 2. Skriv Sida 1 av 11 Inlämningsuppgift 1, HF1006.. (MATLAB) INLÄMNINGSUPPGIFT 1 (MATLAB) Linjär algebra och analys Del1: Linjär algebra Kurskod: HF1006 Skolår: 2018/19 Redovisas under en av de tre schemalaggs gda redovisningstillfällen

Läs mer

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar.

Uppgift 1. (SUBPLOT) (Läs gärna help, subplot innan du börjar med uppgiften.) 1 A) Testa och förklara hur nedanstående kommandon fungerar. INLÄMNINGSUPPGIFT 2 Linjär algebra och analys Kurskod: HF1006, HF1008 Skolår: 2016/17 armin@kth.se www.sth.kth.se/armin Redovisas under sista två (av totalt fem) labbövningar i Analys-delen. Preliminärt:

Läs mer

ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT"

ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT PLOT MATLAB, D-plot ATT RITA GRAFER MED KOMMANDOT "PLOT" Syntax: Vi börjar med det enklaste plot-kommandot i matlab,,där x är en vektor x- värden och y en vektor med LIKA MÅNGA motsvarande y-värden. Anta att

Läs mer

de uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6

de uppgifter i) Under m-filerna iv) Efter samlade i en mapp. Uppgift clear clc Sida 1 av 6 Inlämningsuppgift 2, HF1006.. (MATLAB) INLÄMNINGSUPPGIFT 2 (MATLAB) Kurs: Linjär algebra och analys Del2, analys Kurskod: HF1006 Skolår: 2018/19 Redovisas under en av de tre schemalaggs gda redovisningstillfällen

Läs mer

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln

Uppgift 1 - programmet, Uppg6.m, visade jag på föreläsning 1. Luftmotståndet på ett objekt som färdas genom luft ges av formeln Matlab-föreläsning (4), 10 september, 015 Innehåll m-filer (script) - fortsättning från föreläsning 1 In- och utmatning Sekvenser, vektorer och matriser Upprepning med for-slingor (inledning) Matlab-script

Läs mer

At=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor

At=A' % ' transponerar en matris, dvs. kastar om rader och kolonner U' % Radvektorn U ger en kolonnvektor % Föreläsning 1 26/1 % Kommentarer efter %-tecken clear % Vi nollställer allting 1/2+1/3 % Matlab räknar numeriskt. Observera punkten som decimaltecken. sym(1/2+1/3) % Nu blev det symboliskt pi % Vissa

Läs mer

Introduktion till MATLAB

Introduktion till MATLAB 29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna

Läs mer

TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D

TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D TSBB14 Laboration: Intro till Matlab 1D Utvecklad av Maria Magnusson med mycket hjälp av Lasse Alfredssons material i kursen Introduktionskurs i Matlab, TSKS08 Avdelningen för Datorseende, Institutionen

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Laboration: Grunderna i MATLAB

Laboration: Grunderna i MATLAB Laboration: Grunderna i MATLAB 25 augusti 2005 Grunderna i MATLAB Vad är MATLAB? MATLAB är ett interaktivt program för vetenskapliga beräkningar. Som användare ger du enkla kommandon och MATLAB levererar

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26

Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Föreläsning 2 Index. Vektorer och Elementvisa operationer. Summor och Medelvärden. Grafik i två eller tre dimensioner. Ytor. 20 januari 2016 Sida 1 / 26 Matriselement och Index För att manipulera

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab

Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom PM:et. Gå sedan igenom exemplen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Matlab, Föreläsning 1 Ove Edlund LTU 2014-11-07 Ove Edlund (LTU) M0043M, M1 2014-11-07 1 / 14 Några elementära funktioner i Matlab Exempel exp Beräknar e

Läs mer

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1

Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab

Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab Matlabövning 1 Funktioner och grafer i Matlab I den här övningen ska vi titta på hur man konstruerar funktioner i Matlab och hur man kan rita funktionsgrafer. Läs först igenom hela PM:et. Gå sedan igenom

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 2 november 2015 Sida 1 / 23 TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 2 november 2015 Sida 1 / 23 Föreläsning 2 Index. Kolon-notation. Vektoroperationer. Summor och medelvärden.

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 1. Linjär Algebra och Avbildningar Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion I denna övning skall

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

En introduktion till MatLab

En introduktion till MatLab Chalmers tekniska högskola En introduktion till MatLab Gustafsson Gabriel gabgus@student.chalmers.se Johansson Việt Simon simoj@student.chalmers.se Författare: Norell Pontus npontus@student.chalmers.se

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Laboration 1: Linjär algebra

Laboration 1: Linjär algebra MALMÖ HÖGSKOLA Centrum för teknikstudier MA119A VT 2010, Yuanji Cheng Viktigt information om labb Vid laborationen gäller följande: 1. Labben görs i grupp av två studenter, och redovisningsuppgifterna

Läs mer

Geometriska transformationer

Geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 5 TMV6/MMGD - 7/8 Matematiska vetenskaper Inledning Geometriska transformationer Vi skall se på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation, spegling och projektion.

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT Vi inleder den tredje veckan med att gå igenom begreppen determinant och invers matris som vi inte hann med i vecka, se veckoblad för övningar etc på dessa avsnitt. Därefter

Läs mer

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32)

Dagens program. Programmeringsteknik och Matlab. Administrativt. Viktiga datum. Kort introduktion till matlab. Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E32) Programmeringsteknik och Matlab Övning Dagens program Övningsgrupp 2 (Sal Q22/E2) Johannes Hjorth hjorth@nada.kth.se Rum 458 på plan 5 i D-huset 08-790 69 02 Kurshemsida: http://www.nada.kth.se/kurser/kth/2d2

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Laboration: Grunderna i Matlab

Laboration: Grunderna i Matlab Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar

Läs mer

Funktioner och grafritning i Matlab

Funktioner och grafritning i Matlab CTH/GU LABORATION 3 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Funktioner och grafritning i Matlab Först skall vi se lite på (elementära) matematiska funktioner i Matlab, som sinus och cosinus.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Matematik med Matlab för I Inledning. 1 Programmering i MATLAB

Matematik med Matlab för I Inledning. 1 Programmering i MATLAB Matematiska Vetenskaper 21 april 2010 Matematik med Matlab för I 2010. Programmering i Matlab. 2- och 3-dimensionell grafik. LAB 2: Några geometriska uppgifter och plottning av figurer. Inledning 1 Programmering

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN 9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

Introduktion till Matlab

Introduktion till Matlab Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan

Läs mer

MATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc.

MATLAB the Matrix Laboratory. Introduktion till MATLAB. Martin Nilsson. Enkel användning: Variabler i MATLAB. utvecklat av MathWorks, Inc. Introduktion till MATLAB Martin Nilsson Avdelningen för teknisk databehandling Institutionen för informationsteknologi Uppsala universitet MATLAB the Matrix Laboratory utvecklat av MathWorks, Inc. Matematisk

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd. Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4). TETAME 08-Okt-, HF006 och HF008 Moment: TE (Linjär algebra), hp, skriftlig tentamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF008, Linjär algebra och anals HF006 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 8-, Plats:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Linjär Algebra, Villkor och Logik 1 Linjär Algebra Programsystemet Matlab utvecklades ursprungligen för att underlätta beräkningar från linjär

Läs mer

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan

Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan MAI/Linköpings universitet Fredrik Berntsson Tentamen TANA17 Matematiska beräkningar Provkod: DAT1 Godkänd: 8p av totalt 20p Tid: 14:e januari klockan 8.00-12.00 Redovisning Lös först uppgifterna i Matlab.

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

Kort om programmering i Matlab

Kort om programmering i Matlab CTH/GU 25/26 Matematiska vetenskaper Kort om programmering i Matlab Inledning Redan första tillfället gjorde ni ett litet program. Ni skrev ett script eller en skriptfil som beräknade summan 5 i 2 = 2

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer.

Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Lab 1, Funktioner, funktionsfiler och grafer. Starta gärna en dagbok genom att ge kommandot diary lab1. Skriv in alla beräkningar som efterfrågas i uppgifterna i dagboken. Glöm inte diary off om det skrivna

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab

TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab TANA17 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 1. Vektorer och Matriser 1 Inledning I denna övning skall du träna på att använda Matlab för enklare beräkningar och grafik. För att lösa uppgifterna

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt.

När man vill definiera en matris i MATLAB kan man skriva på flera olika sätt. "!$#"%'&)(*,&.-0/ 177 Syftet med denna övning är att ge en introduktion till hur man arbetar med programsystemet MATLAB så att du kan använda det i andra kurser. Det blir således inga matematiska djupdykningar,

Läs mer

Beräkningsverktyg HT07

Beräkningsverktyg HT07 Beräkningsverktyg HT07 Föreläsning 1, Kapitel 1 6 1.Introduktion till MATLAB 2.Tal och matematiska funktioner 3.Datatyper och variabler 4.Vektorer och matriser 5.Grafik och plottar 6.Programmering Introduktion

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering

Läs mer

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x

Mathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer