Fractal Sets: Dynamical, Dimensional and Topological Properties
|
|
|
- Marianne Nilsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 DEGREE PROJECT IN TECHNOLOGY, FIRST CYCLE, 15 CREDITS STOCKHOLM, SWEDEN 2018 Fractal Sets: Dynamical, Dimensional and Topological Properties NANCY WANG KTH ROYAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY SCHOOL OF ENGINEERING SCIENCES
2 EXAMENSARBETE INOM TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP STOCKHOLM, SVERIGE 2018 Fraktalmängder: Dynamiska, Dimensionella och Topologiska Egenskaper NANCY WANG KTH SKOLAN FÖR TEKNIKVETENSKAP
3
4
5
6
7
8
9 N {0, 1, 2,...} R, R + Q Z, Z + ΠC M H dim B dim B B H R R Q
10
11 F : D æ D D G(x) =2x 2 1 G(x) =2x 2 1 G(G(x)) = (2x 2 1) 2 1 G(G(G(x))) = ((2x 2 1) 2 1) 2 1 n F n (x) F 2 (x) F (F (x)) F 3 (x) F (F (F (x))) F n (x) n n x 0 œ R x 1 = F (x 0 ) x 2 = F 2 (x 0 )... x n = F n (x 0 ),... x 0 {x 0,x 1,...,x n,...} x 0 0 F (x) =x +1 {0, 1, 2,...} x 0 F (x 0 )=x 0 x 0 {x 0,x 0,...} x 0 F n (x 0 )=x 0 n x 0 = F (x 0 )=F (F (x 0 )) = = F n (x 0 ) F (x) =x 1 F (x) =x 2 { 1, 1, 1...} F n (x 0 )=x 0 n k n Æ k
12 G(x) = 1 +2 x 1 x +2=x x 2 2x 1=0 (x 1) 2 =2 x =1± Ô 2. F 4 (x) F (x) =2x 2 1 F 4 (x) =x G(x) x 0.41 x 2.41 y = x y = x G(x)
13 x 0 F (x) F : R æ R Y _] F Õ (x 0 ) < 1, x 0. F Õ (x 0 ) > 1, x 0. _[ F Õ (x 0 ) =1, x 0. F : R æ R x 0 F I x œ I F n (x) œ I n F n (x) æ x 0 n æœ x 0 F I x I x = x 0 n>0 F n (x) /œ I x 0 F F : R æ R F Õ (x 0 ) < 1 a F Õ (x 0 ) < a<1 x 0 I a =[x 0, x 0 + ] >0 F Õ (x) <a x œ I a F Õ (x) = lim xæx0 F (x) F (x 0 ) x x 0 <a ( x œ I a x = x 0 ). F (x) F (x 0 ) = F (x) x 0 <a x x 0. 0 <a<1 F (x) x 0 x x œ I a F (x) œ I a a n <a n>1 F 2 F 3... F n (x) x 0 <a n x x 0. n æœ a n æ 0 F n (x) æ x 0 x 0 F F Õ (x 0 ) > 1 b 1 < b < F Õ (x 0 ) x 0 I b =[x 0, x 0 + ] >0 F Õ (x) > b x œ I b F Õ (x) = lim xæx0 F (x) F (x 0 ) x x 0 F (x) x 0 >b x x 0. >b ( x œ I x = x 0 ). b>1 F (x) x 0 n æœ b n æœ n>0 F n (x) /œ I b
14 a n n F Õ (x 0 ) <a<1 F n (x) x 0 n æœ b x 0 x 0 n n F n (x 0 )=x 0 x 0 n {x 0,F(x 0 ),F 2 (x 0 ),...,F n 1 (x 0 ),x 0,F(x 0 ),F 2 (x 0 ),...} 0 G(x) =1 x 2 {0, 1, 0, 1,...} x 0 n F mn (x 0 )=x 0 m n x 0 n F (x 0 ) = x 0 m>0 F n+i (x 0 )=F i (x 0 ) i Ø m {x 0,x 1,...,x n 1 } n F (x) F : R æ R (F n ) Õ (x 0 )=F Õ (x 0 )F Õ (x 1 ),..., F Õ (x n 1 )F Õ (x n 1 ). {x 0,x 1,...,x n 1 } n F : R æ R F k (x) k =
15 0, 1,...,n 1 (F n ) Õ (x 0 )= d dx 0 [F (F n 1 (x 0 ))] = F Õ (F n 1 (x 0 )) d dx 0 F n 1 (x 0 ) = F Õ (F n 1 (x 0 )) F Õ (F n 2 (x 0 )) d dx 0 F n 2 (x 0 ) = F Õ (F n 1 (x 0 )) F Õ (F n 2 (x 0 )) F Õ (F (x 0 )) F Õ (x 0 ) = F Õ (x n 1 ) F Õ (x n 2 ) F Õ (x 1 ) F Õ (x 0 ) 3 8 F F x F 0 I >0 F I 0 ±?? 0 I = 0 I 0?? 0 û
16 F = 0 I >0 F p I [ 0, 0 + ] I p 0? R 0 q 1 q 2 I F (q )= 1 q 2 0?? 0 + p æ 0 q i æ p 0 i = {1, 2}
17 x 0 2x 0 4x 0 f(x) =2x f(x 0 )=2x 0 f 2 (x 0 )=2 2 x 0 f n (x 0 )=2 n x 0 n f(x) n (1 x) f(x) g(x) =2x(1 x) x 0 (1 x 0 ) g(x 0 ) x 0 x 0 (1 x 0 ) g(x 0 ) x 0 x 0 g(x) x =0.1 x =
18 g(x) =2x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 x =0.5 x =0.5 g µ (x) =µx(1 x) µ g µ (x) µ>2 µ<2 µ =1.5 µ =3
19 g(x) =1.5x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 x x g(x) =3x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 x x µ =3 µ =1.5 µ =2
20 µ = µ =3 x 0 =0.1 x 0 = g(x) =3x(1 x) 10 7 µ =3 g µ (x) µ 3 µ =2.5 µ =3.3 g(x) =2.5x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 x x 0.600
21 g(x) =3.3x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 {0.4794, } µ =1.5 µ =2.5 µ =3.3 µ œ{2.5 Æ µ Æ 3.3} µ µ µ>3.3 µ =4 µ =5 g(x) =4x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 [0, 1]
22 g(x) =5x(1 x) x 0 =0.1 x 0 =0.8 x 0 =0.1 Œ x 0 =0.8 µ =4 0 Æ g µ (x) Æ 1 µ =5 Œ µ>3.3 µ µ g µ (x) g µ (x) =µx(1 x) µ µ g µ (x) µ g µ : D æ D D =[0, 1] g µ g Õ µ (x) =µ(1 2x) g Õ µ (x) =0 x = 1 g 2 µ( 1)= µ 2 4 g µ : D æ D 0 Æ µ Æ 4 D µ>4 x =0 g µ (x) µ
23 g µ (x) x =0 µ = 0 Y ] p =0 [ p + = µ 1. µ p + µ µ =1.5 µ =2.5 x =1 x = 1 g µ µ g µ (1) = 0 g µ ( 1 µ 1 )= µ µ Y ] g Õ µ (p ) = µ [ g Õ µ (p + ) = 2 µ. F Õ (x) µ µ =1 µ>3 µ p p + µ p = p + µ µ p p + µ>0 g µ 2 (x) x =0 g µ 2 (x) =µ 2 x(1 x)(1 µx+µx 2 ) x 0 f f n (x) =x n p p + g 2 µ(x) µ = 0 µ 2 x(1 x)(1 µx + µx 2 ) x (x 0)(x µ 1 µ ) = µ[ µ 2 x 2 + µ(µ +1)x (µ +1)].
24 µ[ µ 2 x 2 + µ(µ +1)x (µ +1)]=0. g 2 µ(x) Y p =0 _] p + = µ 1 µ apple q = µ+1 (µ+1)(µ 3) apple 2µ _[ q + = µ+1+ (µ+1)(µ 3). 2µ (µ +1)(µ 3) µ Ø 3 µ Æ 1 (µ +1)(µ 3) = 0 µ = 1 µ =3 0 <µ µ = 1 µ>3 µ =3 µ+1 2µ µ =3 F 2 (x 0 ) F Õ (x 1 )F Õ (x 0 ) {x 0,x 1 } (g µ 2 ) Õ (q )=g µ Õ (q + )g µ Õ (q )=(g µ 2 ) Õ (q + ). Y _] (g 2 µ ) Õ (p ) = µ 2 (g 2 µ ) Õ (p + ) = (2 µ) 2 _[ (g 2 µ ) Õ (q ) = (g 2 µ ) Õ (q + ) = 1 (µ +1)(µ 3). (g µ 2 ) Õ (x) µ µ Ø 3 µ
25 (g µ 2 ) Õ (x) µ µ 1 (µ +1)(µ 3) =1 µ =1± Ô 6 µ =1 Ô 6 µ œ (3, 4) µ =1+ Ô 6 µ>1+ Ô 6 µ p p + q ± µ p = p + =0 µ µ 1+ Ô 6 1+ Ô 6 1+ Ô 6 µ g 2 µ(x) µ =1+2 Ô 2 g µ 3 (x) µ =1+ Ô 6 g µ 4 (x) µ
26 g µ (x) =µx(1 x) µ g µ 0 <µ<3 µ g µ 3 <µæ 4 g µ µ>4 µ =5 Œ µ>4 D =[0, 1] g µ µ>4 g µ (x) =µx(1 x) g µ ( 1)= µ µ>4 g 2 4 µ( 1) x = D D x = 1 2 S 1 = {x œ D g µ (x) > 1} S 1
27 g µ (x) =1 x = 1 2 ± Ò µ S 1 S 1 = A Û µ, 1 Û B. µ µ>4 S 1 Œ g µ : D æ D S 1 D 1 1 = C 0, 1 2 Û µ D C Û D µ, 1. 1 g µ g µ 1 D gµ 2 S 2 = {x œ D gµ(x) 2 > 1} S 2 S 1 S = 1 S =4 S n = {x œ D gµ(x) n > 1} n D n n = {x œ D gµ(x) n œ D n.} g µ Œ n=1 n
![g µ D =[0, 1] 1 1, 2 2 3 3 D 5 C 1 = 0, 1 6 5 6 2 fi 3 3, 1.](/docs-images/95/126514766/images/28-1.jpg "1 1, 2 2 9 9 1 7, 2 8 9 9 5 C 2 = 0, 1 6 5 2 fi 9 9, 3 5 6 fi 96 9, 7 5 6 8 fi")
28 g µ D =[0, 1] 1 1, D 5 C 1 = 0, fi 3 3, , , C 2 = 0, fi 9 9, fi 96 9, fi 96 9, 1. Œ C C n.
29 a k = 1 a < 1. 1 a k=0 0.a 1 a 2 a 3... x a i x = a 3 i i œ{0, 1, 2} = = = 1 C (3 3 ) (3 3 ) + 1 D 1 (3 3 ) = 1 ÿ Œ i=0 (3 3 ) + 2 i 3 3 i=0 3 1 = = (3 3 ) i + 2 C (3 3 ) (3 3 ) + 1 D 1 (3 3 ) = = = Œ ÿ i=3 2 3 i = i=0 1 3 i = 7 9. x œ D =[0, 1] 0.a 1 a 2 a 3... a i... x D D
30 [0, 1], [ 1, 2], [ 2, 1] a x a 1 =0 x œ [0, 1] a 3 1 =1 x œ [ 1, 2 ] 3 3 x œ [ 2, 1] a 3 1 =2 x a 2 x D a i œ{0, 1, 2} 0 Æ a i Æ 2 i =1, 2,... a 1 0= i=2 0 3 i Æ Œ ÿ i=2 a i 3 i Æ Œ ÿ i=2 2 3 i = 1 3. a 2 0 Æ q Œ a i i=3 Æ 1 a 3 i 9 n 1 3 n 1 x =0.a 1 a 2 a 3... a i,i = 1, 2, 3,... Y _] 0, x. a i = 1, x. _[ 2, x. i a i =1 x =0.a 1 a 2 a 3 = a i 3 i a i œ{0, 2}.
31 D =[0, 1] ( Œ, 0) fi (1, +Œ) D C c ( Œ, 0) fi (1, +Œ) fi ( 1, 2) fi ( 1, 2) fi ( 7, 8) fi ( 1, 2 ) fi Cc C N S R Y ] N [ C f : C æ N f f f 1 : N æc f 1 f 1 (1) = 0. a 11 a 12 a 13 a f 1 (2) = 0.a 21 a 22 a 23 a f 1 (3) = 0.a 31 a 32 a 33 a f 1 (4) = 0.a 41 a 42 a 43 a f 1 (n) =0.a n1 a n2 a n3 a n4... a nn...
32 a ij œ{0, 2} b =0.b 1 b 2 b 3 b 4... Y ] 0 a ij =2 b j = [ 2 a ij =0 b 0 2 b j b = f 1 (k) k =1, 2,...,n 1 b = f 1 (n) b n a nn n f = ÿ Œ 2 i 1 3 i=0 3 = i =1. i+1 3 i=0 3 C I œc I L(I) I I L(I) > 0 I œc L(I) Æ L(C) L(I) > 0 L(I) Æ L(C) L(C) > 0
33 >0 x œc y œc y = x x y < x y C x>y a =0.a 1 a 2 a 3 = q Œ a i a 3 i i œ{0, 2} x, y x y = x = y = x i 3 i x i œ{0, 2} y i 3 i y i œ{0, 2} x i y i 3 i x i y i œ{0, 2}. x œc y œc, y = x y i = x i k k œ{1, 2, 3,...} x y = i=k x i y i 3 i = 1 3 k i=0 x i y i 3 i Æ 1 3 k i=0 2 3 = 1 i 3. k 1 k k 1 3 k 1 <
34 S R n F : S æ S S c 0 <c<1 F (x) F (y) Æc x y, x, y œ S F F c F M = 1 c 1 3 2n n 1 3 n 3 n D =[0, 1] n S R n {F 1,...,F m } U S F i m U = F i (U). {F 1,...,F m },F i : R n æ R n
35 C F 1 (x) = 1x F 3 2(x) = 1x + 2 F 3 3 1(C) C 1 F 2 (C) C 1 C = F 1 (C)fiF 2 (C) 2 n C n {F1 1,...,F2 1 n } C n D n F1 1 (x) =3 n x C n D F2 1 (x) n =3n x (3 n 1) C n D n 3 n n 3 n D =[0, 1] D ( Œ, 0) A Û µ, 1 Û B (1, Œ), µ D m 2 Æ m < Œ D 2m m 1, 2 3 2m 1 1 = 5 0, m 1 3 2m 1, 4 2m 1 2 2m 1, 3 2m m 3 2m 1, 2. 2m m 1 2m 1, 1 6.
36 m m m n 1 n (2m 1) n n n = C 0, D C 1 (2m 1) n 2 (2m 1), 3 n (2m 1) n D C (2m 1) n D 1, 1. (2m 1) n = Œ n=1 n. D ( Œ, 0) fi (1, Œ) ( Œ, 0) ( ) (1, Œ). 1 m 1 2m 1 1 m (m 1) 1 m 1 (2m 1) 2 m(m 1) m n 1 1 (m 1) n (2m 1) n m n 1 1 (m 1) n=1 (2m 1) = m m n =1. n 2m 1 n=0 2m 1 D
37 >0 x œ y œ y = x x y < x y x>y a =0.a 1 a 2 a 3 = q Œ a i a (2m 1) i i œ {0, 2, 4,...,2m} x, y x = x i (2m 1) i, x i œ{0, 2,...,2m 2, 2m}. y = x y = y i (2m 1) i, y i œ{0, 2,...,2m 2, 2m}. x i y i (2m 1) i x i y i œ{0, 2,...,2m 2, 2m}. x œ y œ, y = x y i = x i k k œ{1, 2, 3,...} x y = i=k x i y i (2m 1) = 1 i (2m 1) k i=0 x i y i (2m 1) i x i,y i œ{0, 2,...,2m 2, 2m} 1 (2m 1) k i=0 x i y i (2m 1) Æ 1 i (2m 1) k k k i=0 2m (2m 1) = m i (m 1)(2m 1). k 1 m (m 1)(2m 1) k 1 <
38 1 n 2 n D =[0, 1] 1 ( 1, 3) = 0, , = 0, , , , = 5 0, , , , , , , , 1. = Œ i ú ú i i 1 2 i 2 i 4 1 = 2 4 i 2 i 1 =2 4 i = i=0 4 i =
39
40
41 1 3
42 n ( 3 2 )n Œ n æœ
43 [0, 1] [0, 1] [0, 1] ( 1, 2) [ 2, 1] ( 8 9 )2 ( 8 9 )n n n æœ M [0, 1] [0, 1] [0, 1] 1 3
44 ( 1 3 ) ( 1 9 )3 ( )2 n ( )n 2( 20 9 )n +4( 8 9 )n n n æœ
45 S S S k S S k 1 k L p S p p S L S L L P p P P P P M M p S p M M
46 R R n R d R =[a 1,b 1 ] [a 2,b 2 ] [a n,b n ]. a i Æ b i,i = {1, 2,,...,n} R = {(x 1,x 2,...,x n ) œ R n : a i Æ x i Æ b i, i =1, 2,...,n}. b 1 a 1,b 2 a 2,...,b n a n R R =(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )...(b n a n ). n =1 n =2 (a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (a n,b n ). Q b 1 a 1 = b 2 a 2 = = b n a n = l. Q l n π n 1 n N( ) = 1 n = n, n n n V n N( ) =V n n,
47 V n n n = lnn( ) lnv n ln lnn( ) lnv n n = lim æ0 ln 1 lnn( ) 2 = {V 1 n } = lim æ0 ln S R n S S S µ R n dim B (S) = lim sup lnn( ) æ0 ln dim B (S) = lim inf lnn( ) æ0 ln dim B (S) = dim B (S) dim B (S) S lnn( ) dim B (S) = lim æ0 " R + R R n! 1 ln
48 ln2 ln3. N =2 n n =(1/3) n dim B (C) = ln2n ln 1 = ln2n ln3 = nln2 (1/3) n nln3 = ln2 ln3 n ln3 ln2 n 3 n 1 2 n dim B = ln3n ln 1 = ln3n ln2 = nln3 (1/2) n nln2 = ln3 ln2 n ln4 ln3. n 4 n (1/3) n dim B = ln4n ln 1 = ln4n ln3 = nln4 (1/3) n nln3 = ln4 ln3 n ln8 ln3 8 n n 1 3 n dim B = ln8n ln 1 = ln8n ln3 = nln8 (1/3) n nln3 = ln8 ln3 n
49 ln20 ln3 n 20 n (1/3) n dim B = ln20n ln 1 = ln20n ln3 (1/3) n n = nln20 nln3 = ln20 ln ln(m) ln(2m 1). m n n 1 (2m 1) n dim B ( ) = ln(mn ) 1 = ln(mn ) ln ln(2m 1) = (1/(2m 1)) n n n ln(m) n ln(2m 1) = m æœ dim B ( ) æ 1 ln(m) ln(2m 1). V n g µ (x) =µx(1 x) n g µ 2 n
50 g µ Q = fi N Q i Nÿ Q = Q i. Q Q i,i =1, 2,...,N Q Q = fi N Q i Q i Q Q i Q = q N Q i. S R n S m ú (S) = inf Q i. S = fi Œ Q i Q i S
51 S 1 µ S 2 m ú (S 1 ) Æ m ú (S 2 ) S = fi Œ S i m ú (S) Æ q Œ m ú (S i ) S µ R n m ú (S) = inf m ú (O) O S d(s 1,S 2 ) > 0 m ú (S 1 fi S 2 )=m ú (S 1 )+m ú (S 2 ). S S = fi Œ Q i m ú (S) = q Œ Q i S 1 µ S 2 S 1 S 2 m ú (S) m ú (S) < Œ >0 Q ij S i Œ S i Q ij j=1 Q ij Æm ú (S i )+ j=1 2 j t Œ i,j=1 Q i,j t Œ S i = S >0 Œ m ú (S) =m ú ( S i ) Æ = Æ = i,j=1 j=1 Q i,j Q i,j 3m ú (S i )+ 2 j 4 m ú (S i )+. m ú (S) Æ inf m ú (O) Æ m ú (S) m ú (S) = inf m ú (O) Y ] m ú (S) Æ inf m ú (O). [ inf m ú (O) Æ m ú (S)
52 O S S µo m ú (S) Æ m ú (O) Q i S >0 Q i Æm ú (S)+ 2. Q i Q Õ i O = t Œ Q Õ i Q i = Q Õ i + 2 i+1. m ú (O) Æ (1) m ú (Q Õ i) = Q Õ i Æ 3 Q Õ i i+1 Æ ÿ Œ Q i + 2 Æ m ú (S)+. >0 inf m ú (O) Æ m ú (S) d(s 1,S 2 ) > 0 Y ] m ú (S 1 fi S 2 ) Æ m ú (S 1 )+m ú (S 2 ) [ m ú (S 1 )+m ú (S 2 ) Æ m ú (S 1 fi S 2 ). Q i S 1 fi S 2 >0 Q i Æm ú (S 1 fi S 2 )+.
53 d(s 1,S 2 ) > >0 Q i Q i diam Q i = sup{ x y : x, y œ Q i } Œ S 1 = Q i, S 2 = iœe 1 Œ iœe 2 Q i E 1 S 1 E 2 S 2 E 1 fle 2 =? Q i S 1 S 2 m ú (S 1 )+m ú (S 2 ) Æ ÿ Q i + ÿ Q i iœe 1 iœe 2 Æ Q i Æ m ú (S 1 fi S 2 )+. >0 m ú (S 1 )+m ú (S 2 ) Æ m ú (S 1 fi S 2 ) m ú (S 1 fi S 2 )= m ú (S 1 )+m ú (S 2 ) S Y ] m ú (S) Æ q Œ Q i [ q Œ Q i Æm ú (S). S = fi Œ Q i Q i Q Õ i Q i Q Õ i µ Q i, i Q i Æ Q Õ i + 2 i, >0 i S Õ = t Œ Q Õ i S Õ µ S {Q Õ i} d(q Õ i,q Õ j) > 0 i = j {Q Õ i} A Œ B m ú Q Õ i = m ú (Q Õ i)= Q Õ i Ø ( Q i 2 )= ÿ Œ Q i i.
54 S Õ µ S m ú (S) Ø m ú (S Õ ) æ 0 Q i Æm ú (S). R + fi {Œ} R n m (S) S >0 m (S) S S S S m (S) =0 S S m (S) =Œ S S U R n U diam U sup{ x y : x, y œ U} S R n {U i } S S µ fi Œ i U i 0 < diam U i Æ i œ Z + {U i } S S R n, Ø 0 >0 S H (S) m ú (S) = lim æ0 H (S), I J ÿ H (S) inf (diam U i ) : {U i } S i >0 S U i,i =1, 2,... q k(diam U i ) æ 0 H (S) H (S) ÆH (S) >0
55 S 1 µ S 2 H (S 1 ) ÆH (S 2 ) H (fi Œ S i ) Æ q Œ H (S i ) {S i } R d d(s 1,S 2 ) Ø 0 H (S 1 fi S 2 )=H (S 1 )+H (S 2 ) H (S) < Œ > H (S) =0 H (S) > 0 < H (S) =Œ H (S) = lim æ0 H (S) = lim æ0 inf < 0 Æ diam U i Æ I J ÿ (diam U i ) : {U i } S. i (diam U i ) = (diam U i ) (diam U i ) Æ (diam U i ). H (S) Æ H (S). H (S) ÆH (S) >0 H (S) < Œ H (S) Æ H (S) = æ0 0 H (S) =Œ H (S) > 0 <. B W BœW, S œw B\S = S c œw, S i œw,, 2,... t S i œw. B ii) iii) B B (A fi B) c = A c fl B c R n H R n H
56 {S i } S = fi Œ S i Œ H ( S i )= H (S i ). H ( S) = H (S), >0. S diam S = sup{ x y : x, y œ S} x y x, y œ S diam S = diam S, >0 R n B R n iv) Y ] H Œ if <, (S) = [ 0 if <. 0 ÆH (S) ÆŒ S
57 R n S = sup{ Ø 0:H (S) =Œ} = inf{ Ø 0:H (S) =0} = dim H (S) S ln2 ln3 D C1 L = D fl [0, 1] 3 CR 1 = D fl [ 2, 1] 3 1 C 3 1 = C1 L fic1 R iii) d d d H d (C 1 )=H d (C1 L )+H d (C1 R )= H d (C 1 )+ H d (C 1 )=2 H d (C 1 ) d 0 < H d (C 1 ) < Œ d = dim H (C) d = ln2 ln3 ln2 ln3 S µ R n dim H (S) Æ dim B (S) Æ dim B (S). Q fl [0, 1] dim B (A) =1 dim H (A) =0. cl(s) S
58 cl(a) =[0, 1] cl(a) dim B (A) = dim B (cl(a)) = 1. A i H 0 (A i )=1 dim H (A i )=0. fi Œ A i dim H (A) =0 {F 1,...,F m },F i : R n æ R n F i V m F i (V ) µ V {F 1,...,F m },F i : R n æ R n c i œ (0, 1) (1 Æ i Æ m) S S = fi m F i (S) mÿ dim H (S) = dim B (S) =d, d c d i =1. d 0 < H d (S) < Œ d {F 1,...,F m },F i : R n æ R n S R n F i (x) F i (y) Æc i x y, c i œ (0, 1), x, y œ S, mÿ dim H (S) Æ d, d c d i =1. {F 1,...,F m },F i : R n æ R n S R n c i x y Æ F i (x) F i (y), c i œ (0, 1), x, y œ S. U U = fi m F i (U) mÿ d Æ dim H (S), d c d i =1.
59 fl Œ n {S i } D =[0, 1] S n = {x œ D g n µ(x) > 1, µ>4} S 1 g µ (x) =1 S 1 = A Û µ, 1 Û B =(,1 ). µ = 1 2 Ò µ 1 = Ò µ F 1 F 2 D [0, ] [1,1] Y ] F 1 (x) = 1 Ò 1 x 2 4 µ [ F 2 (x) = 1 + Ò 1 x. 2 4 µ x, y œ D x = y Õ F (z i )= F i(x) F i (y) i =1, 2. z i œd x y i inf F i Õ (x) Æ F i(x) F i (y) xœd x y Æ sup Fi Õ (x). xœd Fi Õ (x) = 1 A 1 2µ 4 x B 1 2,, 2, µ 1 µ x y Æ F i(x) F i (y) Æ 1 A 1 2µ 4 1 B 1 2 x y, i =1, 2. µ F 1 F 2 0 < 1 A 1 2µ 4 1 B 1 2 Ô < 1, µ>2+ 5. µ F 1,F 2 1 ( 1 1 2µ 4 µ ) 1 2 < 1 dim H ( ) Æ d d 2( 1 ( 1 1 2µ 4 µ ) 1 2 ) d =1 d dim H ( ) Æ ln2 3 ln µ µ
60 F 1,F 2 s Æ dim H ( ) s 2( 1 2µ )s =1 ln2 lnµ Æ dim H( ). ln2 lnµ Æ dim H( ) Æ ln2 3 ln µ µ dim H ( ) ln2 µ dim lnµ H( ) æ 0 µ æœ. g µ f(x) = xsin( x)
61
62
«=========================== ˆàˆ_ˆ ««««««ˆ ˆ ˆ ˆ 5 Œ. ˆ«
_ _ _ _ _ _ _ Gammalvals (C maor) Efter ianoarr Knut Brodin E för fort à 3 34 Ö á à_ Ü Öá á_ö_ à_áö Ü4 F 3 4 Œ Œ Œ _ Œ _ Œ _ Œ á à _ 5 à Œ { Ö Œ Œ Œ à _ { { Œ _ f 10 Œ Œ Œ Œ Œ _ _ _ áü Ö Ü_ à_ö_ à n_á
`
1 2 3 4 2 5 2 6 7 8 9 : ; < 8 9 ; 7 9 : = < 8 > 8 9 7? 8 @ A 7 B : ; < B = C D E F G H I J K L G M M E I H E N O G J E H I P I K L Q R L H E I S P R H L P H E P T F L D U S L J V W X C D Y I J J I Z I
file:///c:/users/engström/downloads/resultat.html
M 6 0 M F Ö R S Ö K 1 2 0 1 2-0 1-2 1 1 J a n W o c a l e w s k i 9 3 H u d d i n g e A I S 7. 0 9 A F 2 O s c a r J o h a n s s o n 9 2 S p å r v ä g e n s F K 7. 2 1 A F 3 V i c t o r K å r e l i d 8
LOU inom avfallssektorn -är det något fel med konkurrens? Upphandling av behandlingstjänster för hushållsavfall. Jonas Yngner
LOU inom avfallssektorn -är det något fel med konkurrens? Upphandling av behandlingstjänster för hushållsavfall Jonas Yngner [» ª ²² ²¹ ²¼ ² Í «¼»² µ º ßÞ Þ± ëëðïô ïïì èë Í ±½µ ± ³ \²¹» ± ³ ¹ ² íô îïì
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer Anna Lindgren 27+28 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F6: linjärkombinationer 1/21 sum/max/min V.v./var Summa av
i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer
Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F5: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z
ˆ ˆ ========================== & # # # II. ֈш Ö #ˆ» ===========================
Urval från samlade och ianosatta SVENSKA BILDER I MUSIK av Knut Brodin omarbetade av digitarrist för GITARR SOLO _ Halling från Värmland Från ianoarr Knut Brodin Raskt temo & # # # II 2 4 Üà _ f _ nn n
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer
Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer Stas Volkov 2017-09-26 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F6: linjärkombinationer 1/20 sum/max/min V.v./var Summa av två oberoende, Z = X + Y p Z (k)
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005
Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.
Matematiska Institutionen KTH TENTAMEN i Linjär algebra, SF604, den 5 december, 2009. Kursexaminator: Sandra Di Rocco Svaret skall motiveras och lösningen skrivas ordentligt och klart. Inga hjälpmedel
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
I Skuggan av Spotify
DEGREE PROJECT, IN MEDIA TECHNOLOGY, FIRST LEVEL STOCKHOLM, SWEDEN 2015 I Skuggan av Spotify HAR STREAMING AV MUSIK FÖRÄNDRAT SYNEN PÅ ARTISTEN? BEATRICE HALLMARK, DAVID NYLANDER KTH ROYAL INSTITUTE OF
Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Föreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Datorövning 2 med Maple, vt
Flerdimensionell analys, vt 1 2009 Datorövning 2 med Maple, vt 1 2009 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator, transformera
1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) y(t) = sin 2t, t > 0 y(0) = 1
Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3 Telefon: Maximilian Thaller, 3-77 535 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner,
Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT13 Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering Syftet med den här
Påverkan, beslut och konvertering
DEGREE PROJECT, IN COMPUTER SCIENCE, SECOND LEVEL STOCKHOLM, SWEDEN 2015 Påverkan, beslut och konvertering EN UNDERSÖKNING OM KONVERTERINGSOPTIMERING OCH PÅVERKAN PÅ KONSUMENTENS VAL OCH BESLUT I KÖPPROCESSEN
Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2016-03-16 Del A 1. (a) Beräkna lösningen Ù vid Ø = 03 till differentialekvationen
Föreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.
Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis
Stokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den 2 juni 2010 kl. 14.00-19.00
EOREISK FYSIK KH Lösningsanvisningar till tentamen i SI1161 Statistisk fysik, 6 hp, för F3 Onsdagen den juni 1 kl. 14. - 19. Examinator: Olle Edholm, tel. 5537 8168, epost oed(a)kth.se. Komplettering:
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}
II. Partikelkinetik {RK 5,6,7} med kraft att beräkna och förstå Newtons lagar och kraftbegreppet är mycket viktiga för att beskriva och förstå rörelse Kenneth Järrendahl, 1: Tröghetslagen Newtons Lagar
Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =
Serier Serier eller oändliga summor har flyktigt behandlats redan i tidigare kurser. Vi ska nu gå igenom teorin på ett lite mer systematiskt sätt. I många fall spelar det ingen roll om termerna a k är
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3
Abstract Vi betraktar ringen R = Z 2 [x 1,...,x n ]/(x 2 1 x 1,...,x 2 n x n ). Vi visar att det finns en naturlig 1-1-motsvarighet mellan elementen
![Abstract Vi betraktar ringen R = Z 2 [x 1,...,x n ]/(x 2 1 x 1,...,x 2 n x n ). Vi visar att det finns en naturlig 1-1-motsvarighet mellan elementen](/thumbs/101/151864252.jpg "Abstract Vi betraktar ringen R = Z 2 [x 1,...,x n ]/(x 2 1 x 1,...,x 2 n x n ). Vi visar att det finns en naturlig 1-1-motsvarighet mellan elementen")
ËÂ ÄÎËÌ Æ Á Ê Ì Æ Á Å Ì Å ÌÁÃ Å Ì Å ÌÁËÃ ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Z 2 [x 1,...,x n ] Ú ÌÓ Ò Ö Ò ¾¼½ ¹ ÆÓ ½ Å Ì Å ÌÁËÃ ÁÆËÌÁÌÍÌÁÇÆ Æ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ½¼ ½ ËÌÇ ÃÀÇÄÅ Ú Ø ÓÒ
(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller
FÖRKUNSKAPSKRAV FÖR FORTSÄTTNINGSKURSER Fristående kurser och kurser inom kandidatprogram Fastslagna vid lärarkollegiet
Mellanösterns språk och kulturer Institutionen för Orientaliska språk FÖRKUNSKAPSKRAV FÖR FORTSÄTTNINGSKURSER Fristående kurser och kurser inom kandidatprogram Fastslagna vid lärarkollegiet 2014-03-18
Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M0014M. Tentamensdatum Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid Lärare: Thomas Strömberg
Tentamen i: Matematisk fysik Ämneskod M004M Tentamensdatum 200-03-24 Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-4.00 Lärare: Thomas Strömberg Jourhavande lärare: Thomas Strömberg Tel: 0920-49944 Resultatet
TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp
TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 9 mars 05, kl. 8.00-.00 Plats: Fyrislundsgatan 80, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel. 08-473070. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare,
$1)1-.!?$ÄiÂÄ ÜG aý* J_5=1%
:!"#$!!$ %& '$& & &: (7G (%"# I! "!"7':!#"!! *"! :TR--! [$`Q QQ([$ 0, $!, A$!4#!,'$! $!"! D #$!!$8!$ -!"!8!$0! $% H # # < O @ ': < \ -(4 \4(^# 7 Z 9 N #D? U! ':,c*",c ': 9T9 &*Nc9@R'9@W@CE '9 'L 9J!0&:9I^;&*
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA321 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik TMA Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik TMA Tid: den augusti, 7 Hjälpmedel: Typgodkänd miniräknare, egenhändigt skriven formelsamling om två A4 fram och
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
SF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 17 Institutionen för matematik KTH 6 december 2017 Anmälan till tentamen För att skriva tentamen (2018-01-08) behöver ni anmäla er (Mina sidor, deadline 18:e december). Idag Kap 7. Tillämpningar
+, C = e4. y = 3 4 e4 e -2 x +
ösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B och Diff & Trans I för V, 5B Fredagen den augusti 3, kl -9 Hjälmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna å ett sådant sätt att beräkningar
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Tjänsteutlåtande Till Fastighetsnämnden Diarienummer 5948/13
Tjänsteutlåtande Till Fastighetsnämnden 272 Diarienummer 5948 Exploateringsavdelningen Emma Holm Telefon 8 8 Epost: emmaholm@fastighetgoteborgse Yttrande över förslag till detaljplan för förskola vid Kullegatan,
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Semantic and Physical Modeling and Simulation of Multi-Domain Energy Systems: Gas Turbines and Electrical Power Networks
DEGREE PROJECT IN ELECTRICAL ENGINEERING, SECOND CYCLE, 30 CREDITS STOCKHOLM, SWEDEN 2017 Semantic and Physical Modeling and Simulation of Multi-Domain Energy Systems: Gas Turbines and Electrical Power
SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska
FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604 för D, den 5 juni 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF164 för D, den 5 juni 21 kl 9.- 14.. Examinator: Olof Heden. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
VECKANS SMÅVINSTER - POSTKOD, 500 kronor vanns av följande postkoder:
Dragningsresultat den 19 juni Här nedan kan du se om du är en av de lyckliga vinnarna i månadens utlottning av vinsterna i Svenska PostkodLotteriet. När du har vunnit betalar vi automatiskt ut dina vinstpengar
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Tentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Medins Biologi Kemi Miljö
! " # $ % & Medins Biologi Kemi Miljö Medins Biologi Kemi Miljö! "! # $ % " &! % " & ' ( ) *+!, ' -. / -, ' # 1 # 2 3 4 5 * 4 4 6 4 7 8 3 3 4 5 * 6 6 8 5 9 2 : ', ;: < : *=! "! # ; 8 4 7 4 4 / " " >?
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
Inför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)
SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Istitutioe för eergi och tekik Uwe Mezel e-post: uwe.mezel@matstat.de Formelsamlig Grudläggade matematiskt statistik 2080822 Saolikhetslära Klassisk saolikhetsdeitio: P A
Kontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)
Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga
Del av Rossö 2:130 m fl (Norra Rossö) Planprogram
STRÖMSTADS KOMMUN KALLELSE/ÄRENDELISTA Sida 28 (40) Kommunfullmäktige Sammanträdesdatum 2015-06-09 Kf 69 Ks 99 Au 108 KS/2014 0232 Del av Rossö 2:130 m fl (Norra Rossö) Planprogram Kommunstyrelsens förslag
1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller
Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som
SF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
SF1626 Flervariabelanalys
1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade
Agritourism. Angel Munezero Robin Thor Zara Hjelmstedt
Agritourism ARZ Angel Munezero Robin Thor Zara Hjelmstedt å ö ä ä ö ö ä ö fi ö 2 ä å ö ö å ö ö ö å ö ö ä å ä ö ö å ö ä å ö ä å ä å fi å ä ö ä å å ä å ä ö ä ä ö å å ö å ö ä ä ä ö ö å ö ä å ö ä å å ä å ä
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
Tentamentsskrivning: Matematisk statistik TMA Tentamentsskrivning i Matematisk statistik TMA321, 4.5 hp.
Tentamentsskrivning: Matematisk statistik TMA32 Tentamentsskrivning i Matematisk statistik TMA32, 4.5 hp. Tid: Onsdag den 2 jan, 20 kl 4:00-8:00 Examinator och jour: Erik Broman, tel. 772-354, mob. 073
x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Datorövning(ar) i funktionalanalys och harmonisk analys
Datorövning(ar) i funktionalanalys och harmonisk analys Sven Spanne & Anders Holst 5 september 26 1 Normer och approximation Inledning Funktionalanalys är ett abstrakt område, och för att förstå innebörden
Läsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Masterprogram, integrerad produktdesign Master's Programme, Integrated Product Design, 120 credits 120,0 högskolepoäng
Utbildningsplan Masterprogram, integrerad produktdesign Master's Programme, Integrated Product Design, 120 credits 120,0 högskolepoäng Gäller för antagna till utbildningen fr o m HT15. Utbildningens mål
x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
70 Charlottenberg - Karlstad - Kristinehamn - Degerfors - Örebro
70 Charlottenberg - Karlstad - Kristinehamn - Degerfors - Örebro DAGAR M-F M-F M-F M-F M-F M-F M-F M-F m,to,f M-F M-F M-F M-F M-F F M-F M-F M-F M-F Tågnr 8116 7021 8900 8942 8902 8904 624 8906 7000 8910
DOKUMENT OCH MÖTEN. Dokumentform. Vänsterställda dokument. Högerställda dokument. Tabblägen. Förkunskaper
DOKUMENT OCH MÖTEN ² ¹ ±½ ª ò Ü» ³;» ª < < ±½ ª< «µ ¼»ò Ú* ²; ¼» ³;»²ô < ¼» µ ±µ º* ¼»² ²¼ ¼ º* ¼±µ«³»² ±³ Í Íô Í»¼ Í ²¼ ¼ ² ô «¾» ³ ;¼ ³»¼ º*»
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
RunKeeper och motivation
DEGREE PROJECT, IN MEDIA TECHNOLOGY, FIRST LEVEL STOCKHOLM, SWEDEN 2015 RunKeeper och motivation EN UNDERSÖKNING OM HUR TRÄNINGSAPPLIKATIONEN RUNKEEPER PÅVERKAR MOTIVATIONEN TILL FYSISK TRÄNING ELIN LINDAHL
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò