Att förutspå avkastning på en global marknad Prediktionsjämförelser av Capital Asset Pricing Model och Fama-French trefaktorsmodell

Transkript

1 STATISTISKA INSTITUTIONEN Uppsala universitet Examensarbete C Författare: Erik Spånberg och Joakim Andersson Handledare: Rolf Larsson Termin och år: VT 2013 Att förutspå avkastning på en global marknad Prediktionsjämförelser av Capital Asset Pricing Model och Fama-French trefaktorsmodell

2 Sammanfattning Denna studie jämför hur Capital Asset Pricing Model (CAPM) och Fama-French trefaktorsmodell förklarar och förutspår avkastning på en global aktiemarknad. CAPM utgår ifrån att investerarna förväntar sig en riskfri ränta adderat marknadspremien multiplicerat med företagens exponering mot marknaden. Fama-Frenchs är en utvidgning av CAPM modellen, där företagens storlek och book-to-market-värde läggs till som förklarande variabler för avkastning. Genom regressionsmodeller och prediktioner för portföljer indelade i storlek och book-to-market jämförs modellerna. Fama-French tycks vara genomgående bättre på att förklara och förutspå avkastning under perioden 1990m m02 för samtliga portföljer, förutom portföljen för stora företag med medelhögt book-to-market värde. Detta stämmer bra överens med resultaten som pekar på att Fama-Frenchs största vinningar finns att hämta i förklaring av små företags avkastning, där CAPM:s brister är som störst. Resultaten håller dessutom vid heteroskedasticitet- och autkorrelationsrobusta estimeringar. Nyckelord: CAPM, Fama-French, heteroskedasticitet, autokorrelation, Diebold-Mariano, Cap Size, Book-to-market 1

3 Innehållsförteckning Sammanfattning Introduktion Inledning Syfte Disposition Teori Portföljrisk och Portföljteori CAPM Beta FAMA-FRENCH SMB HML Metod Data Heteroskedasticitet Autokorrelation HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) estimator Multikollinaritet Prediktioner och Diebold-Mariano Test Resultat Hela perioden Period Period Period Period Prediktion Slutsats Framtida studier Referenslista

4 Tabellförteckning Tabell 1 Regression för CAPM och FAMA-FRENCH, hela perioden Tabell 2 Korrelationsmatris för variablerna, hela perioden Tabell 3 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, hela perioden Tabell 4 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, hela perioden Tabell 5 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, hela perioden Tabell 6 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 1990m m Tabell 7 Korrelationsmatris för variablerna, 1990m m Tabell 8 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, 1990m m Tabell 9 Heteroskedasticitet och autocorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 1990m m Tabell 10 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 1990m m Tabell 11 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 1996m m Tabell 12 Korrelationsmatris för variablerna, 1996m m Tabell 13 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, 1996m m Tabell 14 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 1996m m Tabell 15 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 1996m m Tabell 16 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 2002m m Tabell 17 Korrelationsmatris för variablerna, 2002m m Tabell 18 Centrerad Variance Inflation Factors för regressorerna i Fama-French, 2002m m Tabell 19 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 2002m m Tabell 20 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 2002m m Tabell 21 Regressioner med CAPM och FAMA-FRENCH, 2008m m Tabell 22 Korrelationsmatris för variablerna, 2008m m

5 Tabell 23 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-French 2008m m Tabell 24 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 2008m m Tabell 25 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 2008m m Tabell 26 Diebold-Mariano-test av CAPM och FAMA-FRENCHs prediktioner Tabell 28 Prediktionsplot, avkastning små företag... Fel! Bokmärket är inte definierat. Tabell 29 Prediktionsplot, avkastning stora företag... Fel! Bokmärket är inte definierat. Tabell 30Jämförelse av Diebold-Mariano-test för B/H Figurförteckning Figur 1 Prediktionsplot för B/H. 1996m m Figur 2 Nasdaq Index of Techonolgy Shares

6 1 Introduktion Vi avser med indrodutionsavsnittet ge läsaren en inblick I ämnen samt därefter precisera det valda underökningsämnet. Det som tas upp här ligger sedan till grund för resten av arbetet. 1.1 Inledning Sedan mitten av 1900-talet har modern portföljteori (MPT) spelat en avgörande roll för aktieinvesterare. Från denna teori har Capital Asset Price Model (CAPM) utarbetats, med vilken man i teorin kan estimera en akties eller en portföljs avkastning. CAPM postulerar att avkastningen är en funktion av marknadsportföljens avkastning och den riskfria räntan. Modellen har dock kritiseras, bland andra av Fama och French (1992), för att vara otillräcklig. Dessa har med bakgrund av det skapat en trefaktorsmodell som kompletterar CAPM genom att ta hänsyn till företagens storlek och värde. Genom regressionsmodeller och prediktionsjämförelser kan dessa två modellers giltighet och användbarhet utvärderas. Med bakgrund av det kan de kompletterade variablernas eventuella betydelse för avkastningen fastställas för och 2000-talets globala aktiemarknad. 1.2 Syfte Denna studie avser att besvara frågan: Är Fama-Frenchs trefaktormodell bättre än CAPM på att förutspå portföljers avkastning på en global aktiemarknad? Studien avser att testa Fama-Frenchs trefaktorsmodell under perioden på globala portföljer. Genom att testa Fama-Frenchs trefaktorsmodell mot den vedertagna CAPM ser vi om företagens storlek och värde kan spela en roll utöver den traditionella riskpremien för avkastning på aktiemarknaden. Genom regressioner kan de olika modellerna utvärderas. Tidsserieregressioner för olika portföljers avkastning, delvis på hela perioden, delvis uppdelat, kan ligga till grund för prediktioner som sedan kan utvärdera de olika modellerna gentemot varandra. Denna kvantitativa undersökning kan ge ytterligare empiriskt underlag för att utveckla och utvärdera portföljteori. Detta kan vara intresse av forskare och utövare inom finansekonomi, men inte minst för vanliga aktieinvesterare. Genom ett empiriskt analyserande av 5

7 portföljteoretiska resonemang kan kunskaper om aktiemarknadens funktionssätt fördjupas, vilket angår beslutsfattare såväl i näringsliv som i politiska församlingar. 1.3 Disposition Uppsatsen börjar med att beskriva den teoretiska bakgrunden för CAPM och Fama-French trefaktorsmodell. Detta följs av ett metodavsnitt som beskriver datamaterialet, går igenom antaganden för OLS-regression och hur eventuella brister i dessa antaganden hanteras. Metodavsnittet avslutas med en förklaring av hur prediktioner och prediktionsjämförelserna kommer att gå till. Detta följs av resultaten, där regressionsmodeller studeras först för hela perioden, sedan periodvis. Detta avsnitt avslutas med prediktionsjämförelser. Slutligen diskuteras resultaten och framtida studier på området. 6

8 2 Teori I teorikapitlet tar vi upp olika teorier kring investeringar och avkastning, de teorier kommer sedan ligga till grund för analysen av våra data. 2.1 Portföljrisk och Portföljteori Att investera i portföljer innebär att dela upp risken. Istället för direkta investeringar på finansiella marknaden kan investeringar i portföljer innebära reducering av risk, exempelvis när ena delen går bra och en annan del av portföljen går sämre. Till exempel om en skandal uppstår för ett företag kan ett konkurrerande företag inom samma bransch vinna på detta. Detta mönster stabiliserar riskerna i portföljen. Att skapa ett sådant mönster kallas för hedging. Ett annat sätt att kontrollera riskerna i en portfölj är med hjälp av diversifiering där investeringarna sprids kraftigt mellan olika tillgångar och därmed sprids riskerna och blir begränsade. (Bodie, Kane, Marcus, 2005, s173) Men även om riskerna är fördelade försvinner dem inte helt, då makroekonomiska faktorer påverkar i stort sett samtliga tillgångar som exempelvis vid ekonomiska kriser då det inte går att bortse från risken. Även en diversifierad portfölj kommer att påverkas. Enbart all ickesystematisk risk kan reduceras ner till en godtycklig låg nivå på detta sätt. (Bodie, Kane, Marcus, 2005, s.224) Enligt portföljteorin finns det två principer vid investering av våra tillgångar. Vi vill maximera avkastningen samt minimera risken, vilket kan vara ett problem då de gärna motverkar varandra eftersom mer riskfyllda aktier generellt avger högre avkastning då investerarna kräver en större vinst för att ta en större risk. (Ruppert, 2011, s.285) 2.2 CAPM Modern akademisk finansiering bygger på uppfattningen att marknaderna i grunden är rationella och den grundläggande modellen för aktiemarknadens rationalitet är Capital Asset Pricing Model (CAPM). Dock argumenteras det att CAPM inte är tillräcklig som en modell för avkastning. CAPM säger att investerare kan förvänta sig en riskfri ränta plus marknadsriskpremie multiplicerat med deras exponering mot marknaden. Marknadsriskpremien är skillnaden mellan den förväntade avkastningen på marknaden och den riskfria räntan. 7

9 En viktig fråga inom finans är hur risken vid investeringar ska påverka avkastningen. The capital asset pricing model är det första ramverket som svarar på ovanstående fråga. CAPM framtogs i början av 60-talet av Sharpe (1964), Treynor (1962), Lintner (1965a, b) and Mossin (1966). Modellen bygger på idén av att avkastningen är en funktion av risken relativt marknaden. (Perold, 2004) Fram till 1960-talet visste vi väldigt lite om risk i form av teoretiskt och empiriskt, trots att det har funnits aktiehandel sedan 1600-talet. Fram till 1960-talet hade försäkringsbolag förlitat sig på diversifiering för att sprida riskerna. Trots en lång historia av riskhantering på den finansiella marknaden kom CAPM i en tid då den teoretiska grunden för beslutsfattande under osäkerhet var relativt ny och empiriska bevis kring risk och avkastning inte var kända. Portföljteori där det förklaras hur investerare kan skapa portföljer för att optimalt minska risken gentemot avkastningen utvecklades först på tidigt 50-tal av Markowitz (1952, 1959) och Roy (1952). De empiriska mätningarna av risk och avkastning tog först fart på 60-talet då datorerna blev ett vanligare instrument att använda vilket gjorde att forskare kunde samla, spara och framställa data på ett nytt sätt. För att bestämma förväntad avkastning, måste risken på investeringarna ses i sammanhang med all annan risk som påverkar. Det är från den här grundtanken som CAPM är utvecklad. Diversifiering handlar om att sprida tillgångarna på många aktier med fristående risker som skulle utesluta varandra om de var tillräckligt många. Markowitz (1952) ansåg då att på grund av breda ekonomiska influenser, var risker mellan tillgångar korrelerade i viss mån. Därav kunde investerare utesluta viss risk genom att skapa en diversifierad portfölj men inte all risk. Markowitz viktiga insikter var att diversifiering inte beror på att riskerna okorrelerade utan helt enkelt på att de inte är perfekt korrelerade. Imagine two assets with the same expected return and the same standard deviation of return. By holding both assets in a portfolio, one obtains an expected return on the portfolio that is the same as either one of them, but a portfolio standard deviation that is lower than any one of them individually. Diversification thus leads to a reduction in risk without any sacrifice in expected return. (Perold, 2004, s.9) Genom CAPM-modellen i total jämvikt ges den förväntade avkastningen genom nedanstående modell: Ekvation (1): 8

10 . ränta. Tillgångens beta-värde. Enligt portföljteorin beter sig investerare som de gör på grund av relationen mellan förväntad avkastning och risk. CAPM-modellen säger att för beräkna den förväntade avkastningen på en aktie behöver investerare veta två saker: riskpremien för den totala marknaden - (förutsatt att aktierna är det enda riskfyllda) och aktiens beta kontra marknaden. Interceptet förväntas vara noll. Trots att CAPM modellen spelar en viktig roll i hur akademiker och andra användare av modellen tänker på risk och relationen mellan risk och avkastning har CAPM aldrig blivit en empirisk succé. Detta har lett till att forskare letat efter andra faktorer som ska förklara avkastningen från aktier. (In, Sangbae, Faff, 2010) Beta Ett företags beta är företagens risk jämfört med risken för hela marknaden. Om företaget har ett betavärde på 3.0 tolkas det som att det företaget är tre gånger mer riskfyllt än marknaden i sig. Då beta är en måttstock på risk förväntas det att ju högre beta-värde desto högre avkastning när det går för marknaden. Låga värden på beta påverkas då relativt lite av upp- och nedgångarna på marknaden. Beta ska även tolkas som skillnaden i avkastning på marknaden samt skillnaden på aktiens avkastning och inte skillnaden i själva indexet och priset på aktien. (Tofallis, 2008) Ett betavärde på 1 anses vara marknadsportföljens vägda genomsnitt av marknaden. En tillgång som har lägre betavärde än 1 (β<1) anses som en defensiv tillgång och har en volatilitet som är lägre än marknadens och en tillgång som har ett betavärde som är högre än 1 (β>1) anses vara en aggressiv tillgång och fluktuerar kraftigare än marknaden. (Tofallis, 2008) 9

11 2.3 FAMA-FRENCH Fama-Frenchs trefaktorsmodell anser att överavkastningen på en bred marknadsportfölj från CAPM-modellen inte ger en fullständig förklaring på den förväntade avkastningen på en portfölj utöver den riskfria räntan. De har varit aggressiva i deras utlåtande om ineffektiviteten av relationen mellan beta variabeln och genomsnittliga avkastningen. I deras avhandling från 1992 säger de when the tests allow for variation in β that is unrelated to size, the relation between β and average return is flat, even when β is the only explanatory variable (Dempsey, 2013) Fama-French föreslår att det är mer än bara beta som förklarar överavkastningen på en portfölj. Portföljen är även känslig för bolagens storlek och värde, alltså differensen mellan avkastning för små och stora företag (SMB, small minus big) och differensen mellan avkastningen genom book-to-market -värdet där bolagets värde av eget kapital divideras med marknadsvärdet (HML, high minus low). Dessa faktorer är tänkta att samla upp information om de grundläggande riskerna kring makroekonomiska faktorer som påverkar investeringar. (Black, 2006) Ekvation (2): Variablerna förklaras nedan: SMB Storleksfaktorn SMB (small minus big) är den genomsnittliga månatliga avkastningen på de tre portföljerna med små företag minus den genomsnittliga avkastningen på de tre portföljerna med stora företag, 10

12 Ekvation (3): Fama och French (1995) argumenterar kring att information gällande små företag riskerar vara mer svårtillgänglig och uppmärksammas inte på samma vis som stora företag av analytiker. Detta gör att det blir svårare att övervaka de mindre företagen och det innebär därför att en portfölj med små företag leder till en högre risk jämfört med att hålla en portfölj som innehåller stora företag. Eftersom variabeln beräknas genom avkastningen för små företag minus avkastningen för stora, så förväntas tecknen vara positiva för de småföretagsportföljerna och negativa för de storföretagsportföljerna HML Värdefaktorn HML (high minus low) är den genomsnittliga månatliga avkastningen på de två portföljerna med högt book-to-market värde (S/H, B/H) minus den genomsnittliga avkastningen på de två portföljerna med lågt book-to-market värde (S/L, B/L). (Fama, French, 2006) Ekvation (4): De två komponenterna i hml är avkastningen från höga samt låga book-to-market portföljerna med ungefär samma vägda genomsnitt på storlek. Därför borde skillnaden mellan de två avkastningarna vara oberoende av storleksfaktorn och istället fokusera på skillnaden mellan företagens book-to-market avkastningen. Tecknen förväntas vara positiva för portföljerna med högt book-to-market värde och negativa för portföljerna med lågt book-to-market värdem eftersom variablen beräknas high minus low. Portföljerna med medelhögt book-tomarket kan variera därimellan. (Fama, French, 1993) 11

13 3. Data All data är hämtad från Frenchs (French, 2013) databibliotek av redan konstruerade portföljer. Portföljerna består av aktier från 23 länder (Australien, Österrike, Belgien, Kanada, Danmark, Finland, Frankrike, Tyskland, Grekland, Hong Kong, Irland, Italien, Japan, Holland, Nya Zeeland, Norge, Portugal, Singapore, Spanien, Schweiz, Sverige, Storbritannien, USA.) De är uppdelade i small och big samt low, medium och high. Portföljerna är skapade på samma sätt som Fama-French skapat sina portföljer, baserat på 2 3 sorterat efter storlek (S;B) och bookto-market (L;M;H) : S/L, S/M, S/H, B/L, B/M, B/H (Fama and French, 1995). Tabell 1 Beskrivning av portföljerna Högt book-to-market Medium book-to-market Lågt book-to-market Stora företag B/H B/M B/L Små företag S/H S/M S/L Data sträcker sig från sjunde månaden 1990 fram till tredje månaden De är därefter uppdelade i fyra mindre perioder där period 01 är från 1990m m06, period m m06, period m m06 samt period m m03. Dessa perioder har haft olika utfall med hänsyn till kriser och konjunkturer. På detta sätt fångar vi upp perioder med större kriser samt stabilare perioder. 12

14 3. Metod För att fastställa vilken av CAPM och Fama-Frenchs trefaktorsmodell som bäst förklarar avkastning på den globala aktiemarknaden kommer regressionsmodeller med OLS att jämföras, genom att studera koefficienternas signifikansnivåer och justerade R 2 värden. Antaganden om att det inte finns någon heteroskedasticitet, autokorrelation eller multikollionaritet kommer att testas och eventuella avvikelser från detta kommer att åtgärdas, för att kvalitetssäkra resultaten. Dessutom kommer det att upprättas jämförelser för modellernas kapacitet att göra prediktioner på det verkliga avkastningsutfallet. 3.2 Heteroskedasticitet För att de estimerade varianserna av OLS ska gälla måste antagandet om homoskedasticitet uppnås. Homoskedasticitet innebär att variansen för modellens feltermer är konstant, oberoende av de enskilda värdena på regressorerna. Detta formaliseras i ekvation (5). Ekvation (5), för alla Förekomsten av heteroskedasticitet, att variansen för feltermerna inte är konstant och oberoende av variablerna, kan innebära att man antingen övervärderar eller undervärderar standardfelen för de estimerade koefficienterna, vilket kan leda till att dess signifikansnivåer kan överskattas eller underskattas. (Greene, (2008) s.16) För att utvärdera om Fama-Frenchs tilläggsvariabler är relevanta måste förekomsten av heteroskedasticitet testas. Detta görs genom Whites test. Detta gör man genom att upprätta en regression med de kvadrerande residualerna som oberoende variabel och regressorerna i originalmodellen som förklarande variabler. Genom att även inkludera kvadrerade regressorer och dess kors-termer förstärks testet ytterligare. Ekvation (6) visar den tänkta regressionen. Ekvation (6) Sedan görs ett hypotestest med en F-teststatistika om huruvida den upprättade modellen kan förklara variation i de kvadrerade residualerna, i enlighet med Ekvation (7). Ekvation (7), för alla där, för något där 13

15 3.3 Autokorrelation Riktigheten i OLS variansestimering kräver att antagandet om att det inte förekommer någon autokorrelation uppfylls. Autokorrelation innebär att det förekommer korrelation och kovarians mellan observationernas residualer. Ekvation (8) visar antagandet om ingen autokorrelation. (Greene, William H (2008) s.16) Ekvation (8), för alla Förekommer det autokorrelation kan de av OLS estimerade standardfelen vara överskattade eller underskattade. Detta innebär att även koefficienternas signifikansnivåer kan över- eller underskattas. För att testa förekomsten av autokorrelation i enlighet med Ekvation (9) kommer Ljung-Box Q-statistiska användas från Ekvation (10). I testen i denna studie används m = 36, vilket innebär att det testar ifall det finns någon autokorrelation tre år tillbaka i tiden. Ekvation (9), för något Ekvation (10) HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent) estimator Ett sätt att ta hänsyn till heteroskedaticitet och autokorrelaion är genom att använda sig av HAC-estimatorn. HAC-estimatorn estimerar varianserna annorlunda från OLS, genom att korrigera för den eventuella heteroskedaticiteten och autokorrelationen. OLS är ett specialfall av HAC, i vilken dessa problem inte förekommer. HAC-estimatorn inkorporerar den ickekonstanta residualvariansen och den eventuella kovariansen mellan observationerna i sin estimering av regressorskoefficenternas standardfel. För att estimatorn ska konvergera läggs det dessutom till vikter som ska garantera att korrelationen mellan observationer minskar ju större deras distans i tid är. HAC-estimatorn kommer att användas för att kvalitetssäkra regressionskoefficienternas signifikansnivåer. (Greene, (2008) s ) 3.4 Multikollinaritet Multikollinaritet innebär att det finns korrelation mellan de förklarande variablerna. Om korrelationen mellan de förklarande variablerna är för hög kan deras enskilda förklaringsvärde förminskas. Modellens signifikansnivå blir inte sämre, däremot blir de enskilda 14

16 regressorskoefficienternas varianser högre. Med bakgrund av detta kommer korrelationen mellan variablerna studeras. Vid multikollinaritet ökar variansen för den estimerade koeffcienten med den såkallade Variance Inflation Factor (VIF). Variansen vid en teoretisk icke-korrelation multipliceras med denna faktor på grund av multikollinariteten. VIF beskrivs i Ekvation (11). (Greene, William H (2008) s.59-61) Ekvation (11), där är i en regression med variabel som beroende variabel och de övriga regressorna som oberoende variabler. VIF värdena för Fama-French trefaktorsmodell kommer att studeras för att utvärdera ett eventuellt problem med multikollinaritet. 3.5 Prediktioner och Diebold-Mariano Test För att avgöra vilken modell som bäst förutspår avkastningen på den globala aktiemarknaden kommer en prediktion för vardera modell att upprättas. 90-talets avkastning (1990m m12) får ligga till grund för prediktionerna av 2000-talets avkastning, där varje ny observation inkluderas i prediktionen för nästa observation. Prediktionen för avkastningen 2000m01 bygger alltså på de estimerade modellerna för 1990m m12, prediktionen för avkastningen 2000m02 bygger på de estimerade modellerna för 1990m m01 och så vidare. Ju senare observationer, desto mer data finns det för att understödja prediktionerna. Diebold-Mariano-testet används sedan för att testa huruvida modellernas prediktioner för 2000-talet (2000m m02) passar den verkliga avkastningen lika bra. Detta görs genom att jämföra prediktionernas precision. Först skapas en tidsserie för varje modells absoluta avvikelser från den verkliga avkastningen, i enlighet med Ekvation (12). Ekvation (12), där är den verkliga avkastningen och är de modellens förutspådda avkastning Sedan upprättas ett hypotestest om huruvida de olika modellernas prediktioners absoluta avvikelser från verkligheten skiljer sig. Detta beskrivs i Ekvation (13). Ekvation (13) 15

17 Detta test utförs med t-statistiska, då de genomsnittliga absoluta skillnaderna enligt Diebold och Mariano konvergerar mot en asymptotisk normalfördelning med medelvärde noll. (Diebold and Mariano, 1995) 16

18 4. Resultat Här presenterar vi de resultat vi kommit fram till samt analyserar resultaten med de teorier vi valt att använda för att kunna svara på frågeställningen. 4.1 Hela perioden Tabell 2 Regression för CAPM och FAMA-FRENCH, hela perioden Portföljer CAPM FAMA-FRENCH a b Adj.R 2 a b s v Adj.R 2 S/L * S/M S/H B/L B/M B/H *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå CAPM Enligt teorin ska interceptet vara noll eftersom avkastningen endast ska bero på risken utöver den riskfria räntan som vi har kastat över i den beroende variabeln. Samtliga är inte signifikant skilda från noll förutom S/L portföljen på 10% signifikansnivå och S/H portföljen på 1% signifikansnivå. För S/H betyder detta att den har en riskfri avkastning på 0,40%. Betavärdet (b) visar som förklarat i teorin risken för portföljen i relation till marknadsrisken. Ytterlighetsportföljerna S/L och B/H visar ett värde över 1 och innebär att de är mer riskfyllda än marknadsportföljen. Förklaringsgraden för portföljerna med de stora företagen är genomgående högre än för de små företagen. Fama- French De tillagda variablerna hml och smb har i samtliga fall en signifikant påverkan på avkastingen. Koefficienten för smb variabeln (s) är större för de små företagen vilket innebär att de små företagen är mer beroende av avkastningsskillnaden mellan små och stora företag. 17

19 Detta är inte så konstigt då portföljerna för de stora företagen troligtvis fångar upp mer av marknaden. De får även de förväntade tecknen framför sig. Hml (v) tycks ha mindre påverkan medium book-to-market företagen och ger även de förväntade tecknen. Den korrigerade förklaringsgraden är genomgående högre för Fama-French än vad den är för CAPM. Speciellt är det större skillnad för de små företagen. CAPMs oförmåga att förklara en del av variationerna av avkastning för mindre företag tycks tillägget av de ytterligare i Fama French rätta till. Tabell 3 Korrelationsmatris för variablerna, hela perioden BETA SMB HML BETA SMB HML ** ** *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå Då Fama-French-modellen har ytterligare två variabler testar vi om det förekommer någon korrelation mellan dessa och som vi kan se är det inte några anmärkesvärt höga korrelationer på variablerna under hela perioden Detta visas i Tabell 3. Tabell 4 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, hela perioden Variabel Centrerat VIF Beta SMB HML Tabell 4 visar Variance Inflation Factors för variablerna i Fama-French modellen. Samtliga är mycket låga vilket innebär att det förekommer mycket låg multikollinaritet. Modellen tycks därmed fungera bra i detta hänseende 18

20 Tabell 5 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, hela perioden Modell S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM Heteroskedasticitet Nej Ja Ja Ja Nej Ja Autokorrelation Nej Nej Ja Ja Ja Ja FAMA- FRENCH Heteroskedasticitet Ja Ja Ja Ja Ja Ja Autokorrelation Nej Ja Ja Ja Ja Ja I Tabell 5 har vi utfört Whites test för att testa för heteroskedasticitet samt Ljung-Box Q för att testa för autokorrelation, med en signifikansnivå på 5%. Vi kan se tydliga tecken på att det är vanligt förekommande med både heteroskedasticitet samt autokorrelation under hela perioden Vi kommer därför att använda oss av HAC-estimation för att korrigera standardavvikelserna. Tabell 6 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, hela perioden Modell Koefficient S.E S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM c OLS Korrigerad b OLS Korrigerad FAMA- FRENCH c OLS Korrigerad b OLS Korrigerad s OLS Korrigerad v OLS Korrigerad De största skillnaderna mellan standardavvikelserna för OLS och de korrigerade standardavvikelserna för HAC-estimatorn tycks vara för portföljerna S/H, B/L och B/H. Detta är i enlighet med förväntningarna, då dessa också visar tydliga tecken på heteroskedasticitet och autokorrelation för båda modellerna. När vi studerade hur signifikansnivån för koefficienterna förändrades med HAC estimatorn är den enda skillnaden att testutfallet för B/M portföljens s-koefficient går från 1% signifikansnivå till 5% signifikansnivå. Sammanfattningsvis så håller modellerna även vid korrigering för heteroskedasticitet och autokorrelation. 19

21 4.2 Period 01 Tabell 7 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 1990m m06 Portföljer CAPM FAMA-FRENCH a b Adj.R 2 a b s v Adj.R 2 S/L S/M S/H B/L B/M B/H ** ** *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå ** Samtliga intercept är inte signifikant skilda från noll för CAPM och betavärdena som förklarar risken är samtliga under marknadsrisken förutom portföljerna B/L och B/H som ligger strax över marknadsrisken. Förklaringsgraden för portföljerna med de större företagen är genomgående högre än för portföljerna med de mindre företagen. För Fama-French ser vi att koefficienterna för smb-variabeln (s) är större för de små företagen vilket är förväntat samt ger de förväntade tecknen. Hml-variabeln (v) tycks ha mindre påverkan på mediumportföljerna samt ger de förväntade tecknen. Fler av intercepten verkar bli signifikant skilda från noll i Fama-Frenchmodellen än i CAPM. Förklaringsgraden är genomgående högre för Fama-French än för CAPM särskilt på de mindre företagen. Tabell 8 Korrelationsmatris för variablerna, 1990m m06 BETA SMB HML BETA SMB ** HML * *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå 20

22 Vid test om det förekommer korrelation mellan variablerna i Fama-French trefaktorsmodell ser vi att under period 1 är det relativt låga korrelationer mellan variablerna, vilket visas i Tabell 8. Tabell 9 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, 1990m m06 Variabel Beta SMB HML Centrerat VIF Tabell 9 visar Variance Inflation factor för Fama-French modellen. De låga värdena tyder på att det förekomer mycket låg multikollinaritet, vilket inte antas vara problematiskt för modellen. Tabell 10 Heteroskedasticitet och autocorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 1990m m06 Modell S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM Heteroskedasticitet Ja Ja Ja Ja Nej Nej Autokorrelation Nej Nej Ja Ja Ja Nej FAMA- Heteroskedasticitet Nej Nej Nej Nej Nej Ja FRENCH Autokorrelation Ja Nej Nej Nej Ja Nej Whites test och Ljung-box Q testet visar, utifrån en signifikansnivå på 5%, om det förekommer någon heteroskedasticitet eller autokorrelation. Det är inte vanligt förekommande men för CAPM fick vi fram att både heteroskedasticitet samt autokorrelation förekommer för portföljerna S/H och B/L. Tabell 11 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 1990m m06 Modell Koefficient S.E S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM c OLS Korrigerad b OLS Korrigerad FAMA- c OLS

23 FRENCH Korrigerad b OLS Korrigerad s OLS Korrigerad v OLS Korrigerad Skillnaderna mellan standardavvikelserna för OLS och de korrigerade standardavvikelserna för HAC-estimatorn tycks vara ganska små för samtliga portföljer under denna period vilket kan kopplas ihop med att heteroskedasticitet och autokorrelation inte är vanligt förekommande som vi ser på tidigare tabell. När vi studerade hur signifikansnivån för koefficienterna förändrades med HAC-estimatorn blev det ingen skillnad med de nya standardavvikelserna. 4.3 Period 02 Tabell 12 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 1996m m06 Portföljer CAPM FAMA-FRENCH S/L ** S/M S/H B/L B/M B/H a b Adj. R 2 a b s v Adj. R ** * *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå * Det enda interceptet som är signifikant skilt från noll för CAPM är för portföljen S/L på 5% signifikansnivå. Betavärdena håller sig under marknadsvärdet 1 på alla portföljer förutom S/L och B/L som då innebär att de besitter en högre risk än marknadsrisken. Även här har de större företagen en högre förklaringsgrad än de små företagen. Koefficienterna för smb-variabeln (s) är större för de små företagen än för de stora och koefficienterna för hml (v) visar även här en mindre påverkan på mediumportföljerna. Förklaringsgraderna för Fama-French är genomgående högre än vad de är på CAPM med

24 särskilt stor skillnad på de små företagen. Noterbart är att portföljen B/H har en betydligt lägre förklaringsgrad under denna period jämfört med vad den har under hela perioden. Tabell 13 Korrelationsmatris för variablerna, 1996m m06 BETA_GL SMB_GL HML_GL BETA_GL SMB_GL HML_GL ** *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå Tabell 13 visar korrelationerna mellan variablerna i Fama-French modellen. Under denna period ser vi den högsta korrelationen mellan två variabler. Beta-variabeln korrelerar -0.5 med värde-variabeln. För att avgöra så att det inte förekommer stor multikollinaritet studeras VIFvärdena för variablerna. Tabell 14 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-french, 1996m m06 Variabel Beta SMB HML Centrerat VIF Tabell 14 visar Variance Inflation Factors för Fama-French modellens regressorer. Dessa är något högre än för de andra perioderna, vilket också är tydligt när man studerar korrelationerna mellan variablerna. Värdena anses ändå väldigt låga och utgör därmed inget större problem för modellen. Tabell 15 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 1996m m06 Modell S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM Heteroskedasticitet Nej Nej Ja Ja Nej Nej Autokorrelation Nej Nej Ja Ja Nej Nej FAMA- FRENCH Heteroskedasticitet Nej Nej Nej Ja Ja Nej Auto Nej Nej Ja Ja Ja Nej 23

25 Våra test, med 5 % signifikansnivå, visar att det förekommer heteroskedasticitet samt autokorrelation för portföljen B/L för båda modellerna samt portföljen S/H för CAPM och B/M för Fama-French. Vi kommer därefter att använda oss av HAC-estimatorn som då kommer att korrigera standardavvikelserna för att åtgärda dessa problem. Tabell 16 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 1996m m06 Modell Koefficient S.E S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM c OLS Korrigerad b OLS FAMA- FRENCH c b s v Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad De största skillnaderna mellan standardavvikelserna för OLS och de korrigerade standardavvikelserna för HAC-estimatorn tycks vara för portföljerna S/H och B/L vilket är i enlighet med våra test i tidigare tabell. Med HAC-estimatorn blev testet av att Fama-French S/M portföljs intercept är skilt noll ändrat från att vara signifikant på 5% till 10%. Dessutom ändrades signifikansnivån för testet att Fama-French B/H portföljs s-koefficient är skild noll från 5 % till 10%. 24

26 4.4 Period 03 Tabell 17 Regression med CAPM och FAMA-FRENCH, 2002m m06 Portföljer CAPM FAMA-FRENCH S/L S/M S/H ** B/L B/M B/H a b Adj. R 2 a b s v Adj. R *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå * Portföljen S/H är den enda som uppvisar en signifikant skillnad från noll på interceptet för CAPM med en signifikansnivå på 5%. När vi ser på risken och portföljernas betavärden ser vi att det endast är två portföljer som ligger under marknadsrisken vilket är S/H och B/L. Resterande portföljer innehar en högre risk än marknadsrisken. Även här ger Fama-French variabler det förväntade tecknen och koefficienterna för smb (s) är större för de små företagen än för de stora företagen. De korrigerade förklaringsgraderna är även här genomgående högre för Fama-French än för CAPM. Särskilda skillnader märks på de små portföljerna. Tabell 18 Korrelationsmatris för variablerna, 2002m m06 BETA_GL SMB_GL HML_GL BETA_GL SMB_GL HML_GL *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå Korrelationen mellan variablerna i period 3 är låga och tyder inte på något starkt samband mellan variablerna. Detta visas i Tabell

27 Tabell 19 Centrerad Variance Inflation Factors för regressorerna i Fama-French, 2002m m06 Variabel Beta SMB HML Centrerat VIF Tabell 19 visar dessutom på mycket låga VIF-värden, vilket innebär att det förekommer mycket låg multikollinaritet. Tabell 20 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 2002m m06 Modell S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM Heteroskedasticitet Nej Ja Nej Nej Nej Nej Autokorrelation Nej Nej Nej Nej Ja Nej FAMA- FRENCH Heteroskedasticitet Nej Nej Nej Nej Nej Nej Autokorrelation Ja Nej Nej Ja Nej Nej Vid utförande av Whites test och Ljung-box Q test, med signifikansnivå på 5 %, under perioden visas det att det inte är vanligt med heteroskedasticitet eller autokorrelation under denna period för någon av portföljerna. 26

28 Tabell 21 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 2002m m06 Modell Koefficient S.E S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM c OLS Korrigerad b OLS FAMA- FRENCH c b s v Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad De största skillnaderna mellan standardavvikelserna för OLS och de korrigerade standardavvikelserna för HAC-estimatorn tycks vara för portföljen S/H och främst för CAPM. Överlag ser vi inte några stora korregeringar vilket är i enlighet med tidigare tabell (tabell 20) där vi ser att det knappt förekommer någon heteroskedasticitet eller autokorrelation. När vi studerade hur signifikansnivån för koefficienterna förändrades med HAC-estimatorn ändrades testet för att v-koefficienten skild från noll för portföljen S/M i Fama-Frenchmodellen till 5% signifikansnivå istället för 1% samt s-koefficienten i B/M portföljen i Fama- French-modellen från 10% signifikansnivå till 5%. 27

29 4.5 Period 04 Tabell 22 Regressioner med CAPM och FAMA-FRENCH, 2008m m02 Portföljer CAPM FAMA-FRENCH S/L S/M S/H B/L B/M B/H a b Adj. R 2 a b s v Adj. R * ** ** *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå Intercepten visar inte någon signifikant skillnad från noll för någon portfölj och betavärdena visar att samtliga portföljer förutom B/L och B/M har en risk som är högre än marknadsrisken då värdena är större än 1. Noterbart är att förklaringsgraden för CAPM-portföljerna är genomgående höga jämfört med tidigare perioder. Som tidigare perioder ger koefficienterna för variabeln smb (s) de förväntade tecknen samt är högre för de små företagen än för de stora företagen. Värdevariabelns koefficienter hml (v) ger samma förväntade resultat som tidigare perioder. Tabell 23 Korrelationsmatris för variablerna, 2008m m02 BETA_GL SMB_GL HML_GL BETA_GL SMB_GL HML_GL *-10% signifikansnivå, **-5% signifikansnivå, -1% signifikansnivå Tabell 23 visar på en relativt hög korrelation mellan beta-variabeln och hml-variabeln på 0,41. För att utesluta stor multikollinaritet studeras även VIF-värdena. 28

30 Tabell 24 Centrerad Variance Inflation Factor för regressorerna i Fama-French 2008m m02 Variabel Beta SMB HML Centrerat VIF Tabell 24 visar på låg multikollinaritet, genom de låga VIF-värdena. Tabell 25 Heteroskedasticitet och autokorrelation för CAPM och FAMA-FRENCH, 2008m m02 Modell S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM Heteroskedasticitet Nej Nej Nej Nej Nej Nej Autokorrelation Ja Nej Ja Ja Nej Nej FAMA- FRENCH Heteroskedasticitet Ja Nej Ja Nej Nej Ja Autokorrelation Ja Nej Nej Nej Nej Ja Whites test och Ljung-Box Q-testet visar att det förekommer en del heteroskedasticitet och autokorrelation under denna period. Mest noterbart är för Fama-Frenchmodellen där portföljerna S/L och B/H båda har autokorrelation och heteroskedasticitet. Tabell 26 Korrigerade standardavvikelser med HAC-estimatorn, 2008m m02 Modell Koefficient S.E S/L S/M S/H B/L B/M B/H CAPM c OLS Korrigerad b OLS Korrigerad FAMA- FRENCH c b s v OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad OLS Korrigerad

31 Trots att det förekommer en del autokorrelation samt heteroskedasticitet är korrigeringarna av standardavvikelserna relativt små för samtliga portföljer. Med HAC-estimatorn är den enda skillnaden att testet för att interceptet i Fama-French modellens S/L portfölj är noll ändrades till 5% signifikansnivå från en 10% signifikansnivå. 4.6 Prediktion För att jämföra CAPM och Fama-French skapas prediktioner i enlighet med beskrivningen i metodavsnittet. Dessa jämförs sedan genom Diebold-Marianos test för prediktionsjämförelser. Tabell 27 Diebold-Mariano-test av CAPM och FAMA-FRENCHs prediktioner Portfölj Koefficient S.E t-värde p-värde S/L S/M S/H B/L B/M B/H Nollhypotesen vid Diebold-Marianotestet är att det inte är någon skillnad mellan de olika modellernas förmåga att göra prediktioner och därmed att koefficienterna ska vara noll, mot den alternativa hypotesen att det skiljer sig. Koefficienterna visar skillnaden mellan CAPM och Fama-French och som syns på p-värdena är alla signifikanta utom B/M portföljen som har ett p-värde på 0,1366 och koefficienten visar att skillnaden endast är 0,096. Så förutom på B/M så finns det en signifikant skillnad mellan CAPM och Fama-French vilket säger att Fama-French är en bättre modell när det kommer till att göra prediktioner. Som exempel så tycks CAPM förutspå en avkastning på 1,3 procentenheter mer fel än vad Fama-French gör för S/L portföljen. Motsvarande siffra är 0,69 procentenheter för B/H portföljen. Skillnaden är övergripande störst för de små företagen. Dessutom tycks skillnaden vara mindre för medium book-to-market-företag. Detta är i linje med de estimerade värdena för koefficienterna på SML- och HML-variablerna. Framför allt 30

32 små företag tycks ha en risk som inte bara kan mätas genom att studera skillnad i avkastning mellan portföljen och marknaden. Det finns dessutom risker som är kopplade till book-tomarket-värdena för företagen. Denna risk gör sig minst gällande för medium book-to-marketföretag. Detta kan vara en förklaring varför just B/M portföljen är den portfölj där CAPM och Fama-Frenchs prediktionsförmåga inte signifikant skiljer sig åt. Även om det visat sig att Fama-French är den bättre modellen när det kommer till prediktion visar plottarna nedanför (Figur 1 och Figur 2) att både CAPM och Fama-French generellt sätt är bra modeller för att förutse framtida avkastningen då de följer den verkliga kurvan väl. Den verkliga avkastningen är markerad i blått, CAMP:s prediktioner i rött och Fama-Frenchs prediktioner i grönt. 31

33 Figur 1 Prediktionsplottar på avkastningen för portföjlerna med små företag Portfölj 20 Prediktionsplot 10 0 S/L S/M S/H SL_GL FCAP_SL FFAMA_SL SM_GL FCAP_SM FFAMA_SM SH_GL FCAP_SH FFAMA_SH

34 Figur 2 Prediktionsplottar på avkastningen för portföljerna med stora företag Portfölj B/L Prediktionsplot BL_GL FCAP_BL FFAMA_BL B/M BM_GL FCAP_BM FFAMA_BM 10 0 B/H BH_GL FCAP_BH FFAMA_BH 33

35 Plottarna visar tydligt att Fama-French anpassar sig bättre till den verkliga avkastningen än vad CAPM gör. Det syns tydligast på de första åren där CAPM i vissa fall är betydligt sämre än vad Fama-French är. För B/M portföljen tycks båda modellernas prediktioner vara väldigt bra. Att modellernas prediktioner inte är signifikant olika bra för just den portföljen beror alltså inte på att Fama-French är sämre för den portföljen, utan snarare för att CAPM är bättre på att förutspå avkastning för B/M än för de andra. Detta stämmer väl överens med de estimerade regressionsmodellernas justerade -värden. De största vinsterna med Fama-French finns att vinna för de små företagen, men det finns även vinster att hämta för B/L och B/H. CAPM:s tycks generellt vara sämre de första åren. Detta kan bero på att de första observationerna har mindre data att tillgå vilket försvårar för just CAPM eller att den perioden är ofördelaktig för CAPM. Speciellt påtagligt blir detta för B/H-portföljen, där CAPM tycks göra ganska bra ifrån sig från 2002, men mycket dåligt ifrån sig innan dess. För att utreda huruvida det beror på perioden eller databrist görs en ny prediktion för lite längre tillbaka i tiden. Figur 3 visar prediktionerna för B/H mellan 1996m m01. Den verkliga avkastningen är återigen markerad i blått, CAPM.s prediktion i rött och Fama-french i grönt. Figuren visar att CAPM är tydligast sämre i slutet av 1990-talet och 2000-talets början. Då prediktionerna inte är sämre innan, där det finns mindre data att tillgå, tyder det på att det just är den perioden som är ofördelaktig för CAPM. Modellen tycks systematiskt undervärdera avkastningen för B/H bolagen under året Detta skulle eventuellt kunna vara på grund av att den så kallade dot-com bubblan som sprack dessa år. 34

36 Figur 3 Prediktionsplot för B/H. 1996m m BH_GL FCAP_BH3 FFAMA_BH3 För att avgöra huruvida CAPM:s sämre prediktioner för B/H bolagen endast beror på den korta perioden i början 2000-talet görs ett nytt Debold-Mariano-test, nu för prediktionerna perioden 2002m m02. Tabell 28 jämför Debold-Mariano-testet för originalperioden och perioden då det tidigare 2000-talet uteslutits. Skillnaden i prediktionernas precision av den verkliga avkastningen minskar med 0,2 procentenheter avkastning. Testet visar dock att Fama-French är signifikant bättre även när den perioden har uteslutits. Tabell 28Jämförelse av Diebold-Mariano-test för B/H Tidsperiod Koefficient S.E t-värde p-värde 2000m m m m Sammanfattningsvis tycks Fama-French vara genomgående bättre på att göra prediktioner för avkastningen på den globala aktiemarknaden, med undantag för B/M företag. 35