Topologioptimering av kölskydd för segelbåtar

Transkript

1 Kandidatuppsats i Maskinteknik LIU-IEI-TEK-G 14/00568-SE Topologioptimering av kölskydd för segelbåtar Topology Optimization of Keel Protection for Sailboats Rikard Fredrikson Viktor Hellberg Hållfasthetslära Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Linköpings universitet, SE-58183, Linköping, Sweden 2 juni 2014

2 Sammanfattning I detta arbete har utformningen av ett kölskydd av metall för segelbåtar tagits fram. Kölskyddet som framtagits monteras längst ner på kölen. Syftet är att minska krafterna som verkar på båten vid en grundstötning genom att ta upp en del av rörelseenergin genom plastisk deformation. Vid utformningen av kölskyddets struktur har en metod för topologioptimering använts där målet varit att få så hög töjningsenergi (IED) i strukturen som möjligt. En heuristisk lösningsmetod där ineffektiva element tas bort ur strukturen har använts. Lämpliga material har undersökts och utvärderats utifrån mekaniska egenskaper samt motståndskraft mot korrosion i havsmiljö. Arbetet har resulterat i ett designförslag på en struktur av aluminium 5086 som enligt beräkningar kan absorbera 5 kj energi. Detta motsvarar, för en båt som väger fyra ton, en minskning av energin som överförs till kölen på ca 10 %. i

3 Förord Den här kandidatrapporten är en del av kursen TMMT06 och ingår i civilingenjörsutbildningen i maskinteknik vid Tekniska högskolan vid Linköpings universitet. Vi vill tacka de personer som hjälpt oss med genomförandet av projektet. Stort tack till våra handledare Carl-Johan Thore och Daniel Leidermark vid Linköpings universitet, som stöttat oss genom arbetet. Vi vill också tacka våra medarbetare i projektet Felicia Grune, Stina Sundberg, Beatrice Lundgren och Janki Patel. Rikard Fredrikson och Viktor Hellberg Linköping, juni 2014 ii

4 INNEHÅLL Innehåll 1 Inledning Bakgrund Syfte Frågeställningar Avgränsningar Målgrupp Arbetsgång 5 3 Översikt Rapportens upplägg Programvara Comsol Multiphysics Matlab Ces Edupack Creo Elements/Pro Teori Topologioptimering Inre energidensitet Optimering av inre energidensitet Materialegenskaper Deformation & brott Korrosion Materialmodell Metod Optimering Beräkning av absorberad energi Efterbearbetning Materialval Resultat Material Beräkningsfall Optimerad struktur Beräkningsfall Beräkningsfall Beräkningsfall Absorberad energi Efterbearbetning Diskussion & framtida studier Metoden iii

5 INNEHÅLL 7.2 Materialstudierna Matlab Resultaten Marknadsperspektiv Slutsats 26 Referenser 28 Bilaga A Programkod 30 A.1 topopt.m A.2 stationar.m Bilaga B Ritning 38 Bilaga C X-matris för struktur 1 39 Bilaga D Genomförande 40 D.1 Tidsåtgång D.2 Litteraturstudier D.3 Material D.4 Programkod D.5 Optimering iv

6 FIGURER Figurer 1 Kollision mellan en båt och ett grund Arbetsgången under projektet Skillnaden mellan ett sprött och ett duktilt material Korrosion för en godtycklig metall Den förenklade materialmodellen Programmets uppbyggnad Jämförelse i CES för olika material Dragprovskurva för aluminium De två olika fallen som analyserats Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall Fördelning av IED i struktur Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall Fördelningen av IED i struktur Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall Resultatet från optimeringen och CAD-modellen CAD-modell av den optimerade strukturen Tabeller 1 Mekaniska egenskaper för aluminium Resultatet för struktur Resultatet för struktur Resultatet för struktur Absorberad energi för strukturerna v

7 1 Inledning I denna kandidatrapport redovisas delar av ett projekt med syfte att ta fram ett designförslag på ett kölskydd för segelbåtar. Projektet har genomförts av sex studenter vid Linköpings universitet och har delats in i tre olika delar som redovisas i var sin rapport. Dels har det studerats vilka krafter som en segelbåt utsätts för vid grundstötning, dels hur ett effektivt kölskydd skulle kunna utformas med hjälp av topologioptimering samt möjligheten att tillverka produkten med så kallad additiv tillverkning eller 3D-utskrift. Den här rapporten kommer huvudsakligen att behandla topologioptimeringsdelen samt en övergripande studie av lämpliga material att tillverka skyddet av. För information om krafter som påverkar båten och hur rörelseekvationer tagits fram, se [1]. För en mer ingående undersökning av lämpliga material och tillverkningsmetoder, se [2]. Vissa värden som används vid beräkningar är direkt hämtade ur dessa arbeten och kommer därmed inte härledas i denna rapport. 1.1 Bakgrund När en segelbåt går på grund utsätts kölen och skrovet för påfrestningar som riskerar att allvarligt skada båten. Om grundstötningen sker längst ner på kölen (figur 1) ger det upphov till stora moment och krafter vilket ofta leder till allvarliga skador på båtens skrov vid kölinfästningen. Detta är ett sedan länge känt problem som varje år förstör seglingssäsongen för många båtägare och kostar försäkringsbolag stora summor. Trots de allvarliga konsekvenser en grundstötning kan få har inte mycket utveckling skett för att minska skadorna. Båttillverkare har framförallt fokuserat på att förstärka skrovet runt kölinfästningen för att båten ska tåla större krafter, men det finns andra idéer på hur skadorna kan minskas. Företaget Svenska Koster har utvecklat ett skydd av gummi som limmas fast på kölens framkant. Tanken med deras skydd är att energin från en grundstötning ska absorberas dels genom gummits stora förmåga till elastisk deformation, dels genom viskösa effekter från när vatten som finns i håligheter i skyddet trängs ut. Fördelen med det här konceptet är att även äldre båtar kan skyddas och enligt företagets hemsida [3] har ett flertal båtar utrustade med skyddet klarat sig mer eller mindre utan skador trots kraftiga grundstötningar. Detta bekräftas även av en oberoende användare av skyddet vars båt klarat en kraftig grundstötning utan större skador [4]. Att ett kölskydd markant kan reducera kraften båten utsätts för har även visats i en tidigare studie [5] där olika materials förmåga att absorbera rörelseenergi undersökts. 1

8 1.1 Bakgrund Figur 1: Kollision mellan en båt och ett grund. I den här rapporten kommer fokus inte ligga på materialegenskaper utan istället är tanken att en struktur av metall kan utformas för att effektivt absorbera energi genom stora plastiska deformationer. När ett elastiskt-plastiskt material deformeras vid en kollision absorberas en stor del av rörelseenergin och omvandlas till värme genom inre friktion i materialet. Målet är att ta fram ett koncept på ett kölskydd med en deformationszon som monteras längst ner på kölen och som om deformationen i skyddet efter en grundstötning är stor enkelt ska kunna ersättas med ett nytt. Inom området för energiabsorption vid kollisioner finns mycket forskning och många studier gjorda eftersom det länge varit mycket viktigt för till exempel krocksäkerhet inom fordonsindustrin. I [6, 7, 8, 9] studeras utformning av tredimensionella solida strukturer, [10] redovisar en förenklad tvådimensionell modell och [11] undersöker deformation i fackverksstrukturer. Allt detta är kunskaper som skulle kunna användas vid utformningen av ett effektivt kölskydd. För att utforma strukturen på ett så effektivt sätt som möjligt används en metod för topologioptimering med målet att maximera energiupptagningen. Topologioptimering har tidigare framförallt använts till statiska elastiska problem [12, 13] men i takt med att datorer blir allt kraftfullare kan nu även dynamiska krockproblem lösas. I det här arbetet kommer dock ett kvasistatiskt kollisionsförlopp studeras. 2

9 1.2 Syfte För de FEM-analyser som krävs under optimeringsprocessen samt för att beräkna hur mycket energi de framtagna strukturerna absorberar kommer programmet Comsol Multiphysics användas. Vid dimensioneringen av kölskyddet har en segelbåt av typen Hallberg-Rassy 53 använts. Det har antagits att båten vid grundstötningen håller hastigheten 9,8 knop. Genom att ställa upp rörelseekvationer för båten kan man visa att kollisionskraften uppgår till 18 MN [1]. Denna kraft kommer användas vid optimeringsprocessen som redovisas i den här rapporten. 1.2 Syfte Syftet med detta arbete är att studera hur ett kölskydd till segelbåtar skulle kunna utformas för att absorbera energin från en grundstötning på ett så effektivt sätt som möjligt. För att utforma kölskyddet kommer topologioptimering användas med syfte att maximera strukturens energiabsorberande förmåga. Tanken är att kölskyddet ska bestå av en struktur av metall som tar upp energin från krocken genom stora plastiska deformationer. Olika material kommer studeras för att avgöra vilka som är lämpliga vid tillverkning av skyddet. Materialen utvärderas främst utifrån sin förmåga att absorbera energi genom stora deformationer samt motståndskraften mot korrosion eftersom den marina miljön en segelbåt vistas i kan vara väldigt påfrestande. Eftersom design med hjälp av topologioptimering kan antas resultera i en struktur som kan vara svår att tillverka med konventionella metoder kommer det även vägas in att det valda materialet ska kunna användas vid så kallad additiv tillverkning, här 3D-utskrift i metall. 1.3 Frågeställningar De huvudsakliga frågeställningarna i denna rapport är: Kan en struktur med syfte att minska kollisionskraften designas med hjälp av topologioptimering? Hur mycket energi kan strukturen absorbera vid en kollision? Vilka material är lämpliga att använda till kölskyddet? Målet med arbetet är att ta fram ett designförslag till ett kölskydd med hjälp av topologioptimering som markant minskar krafterna på kölen vid en grundstötning. Simuleringar används för att få en uppfattning av hur mycket energi skyddet absorberar. 3

10 1.4 Avgränsningar 1.4 Avgränsningar I denna studie har en rad förenklingar och antaganden gjorts. Teorin bakom krockdynamik är mycket avancerad och en modell som tar hänsyn till alla parametrar som påverkar strukturens uppförande vid en kollision kan snabbt bli stor och beräkningskrävande. En simulering av en strukturs uppförande vid en kollision med en FEM-lösare kan ta dagar att utföra [9, 10]. I detta arbete har enbart ett tvådimensionellt fall studerats och ett plant spänningstillstånd i z-led har antagits. Enligt [1] kan kraften som angriper kölen ansättas som en punktkraft. För att undvika en extrem spänningskoncentration i FEM-modellen just där kraften angriper approximerades kraften med en utbredd last på en liten del av strukturen. Vid en verklig grundstötning är det dock mer troligt att man får en utbredd last som verkar på en större del av strukturen. Vid analyser i FEM-lösaren har ingen hänsyn tagits till att brott kan uppstå i strukturen eftersom modellen blir för komplicerad och gruppen inte har tidigare erfarenhet gällande FEM och brottgränser. Materialets plastiska materialhårdnande har approximerats med en linjär funktion. Vid beräkningarna har teori för små deformationer använts. De huvudsakliga avgränsningar som gjorts är: Endast 2D-fall studeras. En linjär materialmodell används. Ett kvasi-statiskt förlopp studeras. Teori för små deformationer används vid beräkningar. Endast metaller undersöks. Tanken är att kölskyddet ska tillverkas genom 3D-utskrift. Med denna tillverkningsmetod får man ett anisotropt material. Det innebär att materialet får olika egenskaper i olika riktningar. I detta arbete bortses från det och det antas att materialet uppföra sig likadant oavsett belastningsriktning. Eftersom det redan från början har bestämts att skyddet ska vara gjort av metall kommer inga andra typer av material undersökas. 1.5 Målgrupp För att ta del av denna kandidatrapport krävs förståelse inom grundläggande mekanik, hållfasthetslära, programmering och FEM. Rapporten riktar sig mer specifikt till personer som läser tredje året på civilingenjörsprogrammet i maskinteknik. Denna rapport är skriven på ett enkelt sätt där metoder och modeller är hämtade från befintligt arbete inom området. För djupare förståelse gällande metoderna i denna rapport rekommenderas de referenser som finns angivna. 4

11 2 Arbetsgång Projektet inleddes med en studie av tidigare forskning inom området topologioptimering för krocksäkerhet och energiabsorbering. Den metod som valdes [10] för optimeringen anpassades till problemet med kölskyddet. Vissa förenklingar gjordes för att kunna genomföra projektet med tillgängliga resurser. För att analysera strukturen under optimeringsprocessen behövdes en FEM-lösare. I början av projektet fanns planer på att skriva ett eget FEM-program i Matlab, men vi insåg snart att tiden inte räckte till och att ett bättre resultat skulle erhållas om en kommersiell FEM-lösare användes. Detta framför allt eftersom det då finns inbyggda materialmodeller som tar hänsyn till plastiskt materialhårdnande. Programmet Comsol Multiphysics valdes på grund av möjligheten att samköras med Matlab, som användes till optimeringen och designuppdateringen. Endast ett tvådimensionellt fall har studerats i detta arbete. Planen var att modellen längre fram i projektet skulle utökas till tre dimensioner, men det beslutades att begränsa arbetet till två dimensioner. Detta beslut togs dels eftersom redan det tvådimensionella fallet visade sig bli beräkningstungt, dels eftersom tiden inte räckte till. Parallellt med arbetet med optimeringsproblemet studerades lämpliga materialegenskaper. En aluminiumlegering av typen 5086 valdes ut och värden för detta material användes vid simuleringarna. I figur 2 ses en schematisk bild av arbetsgången, både den planerade och vad som verkligen gjordes. 5

12 Figur 2: Arbetsgången under projektet. Röda pilar visar det som planerades men inte genomfördes. 3 Översikt Här redovisas kortfattat hur rapporten är upplagd samt vilka programvaror som har använts. De matlabscript som tagits fram kan ses i bilaga A. Hur mycket tid som har lagts på varje delmoment kan ses i bilaga D 3.1 Rapportens upplägg Rapporten är uppdelad i följande delar: Teori - Här avhandlas den bakomliggande teorin som använts vid optimeringen samt materialvalet. Metod - Här avhandlas de metoder som använts i arbetet. Resultat - Här redovisas de resultat som tagits fram. Diskussion och framtida studier - Här diskuteras resultaten som har tagits fram samt vilka förbättringar som kan göras vid fortsatta studier. Slutsats - Här sammanfattas arbetet med svar på frågeställningarna. 6

13 3.2 Programvara 3.2 Programvara I arbetet har följande programvaror använts Comsol Multiphysics Comsol Multiphysics är ett finita element-program som kan användas för att göra simuleringar av modeller. Analyser kan göras på till exempel inre energi, spänning och deformation på en geometri som skapas i Comsol Multiphysics eller importeras från ett CAD-program. Programmet är utgivet av Comsol Inc Matlab Matlab är ett datorprogram/programspråk som används för matematiska och tekniska beräkningar. Programmet är utgivet av Mathworks Inc Ces Edupack Ces Edupack är ett datorprogram för att studera material och dess egenskaper. Detta kan göras genom att jämföra material med avseende på till exempel brottgräns, densitet och pris. Programmet är utgivet av Granta Design Creo Elements/Pro 5.0 Creo Elements är ett CAD-program för att skapa 2D- och 3D-modeller. Programmet är utgivet av Parametric Technology Corporation (PTC) 4 Teori I detta kapitel redovisas den teori som ligger till grund för optimeringen samt de materialegenskaper som utvärderats. 4.1 Topologioptimering Topologioptimering går ut på att ta fram en optimal fördelning av material inom ett givet designområde. Vad som är en optimal utformning beror på vilken målfunktion man använder. Det kan till exempel vara att ta fram en så lätt eller så styv konstruktion som möjligt utifrån givna randvillkor. 7

14 4.2 Inre energidensitet I de flesta studier som gjorts inom topologioptimering har linjär-elastiska problem studerats. En standardformulering [12] av ett diskret topologioptimeringsproblem för ett linjär-elastiskt fall med begränsad mängd material kan skrivas (på simultan formulering) som min ρ,u då f(ρ) K(ρ)u = F ρ T V = M ρ min ρ e ρ max, e = 1,..., n el där f är en målfunktion som ska minimeras, F är en vektor med de yttre nodkrafterna, u är en vektor med nodernas förskjutning, K(ρ) är styvhetsmatrisen och n el är antal element i FE-nätet. Designvariabeln ρ är relativ densitet för varje element (kan i ett tvådimensionellt fall tolkas som tjocklek), V är volymen av ett element och M är totala massan av det tillgängliga materialet. 4.2 Inre energidensitet När ett elastiskt material deformeras av en yttre kraft lagras arbetet som kraften utför i form av töjningsenergi. Detta arbete avges helt och hållet när materialet avlastas. Om kraften är så stor att materialet får en plastisk kvarvarande deformation går det inte längre att återvinna allt arbete som kraften utfört. En del av energin går då förlorad i form av värme från inre friktion i materialet. Det är denna absorberade energi i kölskyddets struktur man vill få så stor som möjligt för att på så sätt minska kraften från grundstötningen maximalt. För att beräkna energin i strukturen betraktas ett litet element i form av ett rätblock [14]. Om man antar att elementet är orienterat i x-y-z-systemet och utsätts för huvudspänningarna σ x, σ y, σ z kan man teckna den inre energidensiteten (IED) för ett element enligt: dw = σ x dɛ x + σ y dɛ y + σ z dɛ z För att få den totala IEDn som absorberas i strukturen under krockförloppet integreras dw över hela volymen Ω. Den totala IEDn i strukturen efter en kollision förutsatt att ingen elastisk avlastning sker kan nu tecknas som: IED = Ω ( ɛ 0 σ : dɛ)dv (1) Här är σ Cauchy-spänning och ɛ töjningstensorn. 8

15 4.3 Optimering av inre energidensitet 4.3 Optimering av inre energidensitet Den optimeringsmetod som använts i detta arbete är inspirerad av [10]. Den går ut på att studera IEDn i varje finit element i strukturen. Med denna metod kan man ta hänsyn till plastiskt materialhårdnande utan att modellen blir för beräkningstung. Problemet kan formuleras som n el max IED e (u(ρ)) (2) e=1 då ρ e {0, 1}, e = 1,..., n el där förskjutningen u(ρ) löser jämviktsproblemet f int (u) = f ext, IED e är IEDn i element e, designvariabeln ρ antar antingen värdet ett eller noll, vilket motsvarar att elementen tas bort eller behålls i strukturen. Alla kvarvarande element har samma tjocklek hela tiden. 4.4 Materialegenskaper Materialet som kölskyddet tillverkas av måste uppfylla ett flertal krav. Det måste framförallt vara lämpligt ur energiabsorberingssynpunkt men även vara motståndskraftigt mot korrosion. För att kölskyddet ska ha så liten påverkan på båtens seglingsegenskaper som möjligt är det också önskvärt med ett så lätt material som möjligt för att inte nämnvärt påverka båtens tyngdpunkt. En av utgångspunkterna i projektet är att kölskyddet ska kunna tillverkas genom 3D-utskrift, därför måste materialet som väljs också vara möjligt att använda vid denna tillverkningsmetod [2]. Slutligen har även pris vägts in vid valet av material Deformation & brott För att materialet ska kunna absorbera så mycket energi som möjligt måste det kunna deformeras utan att brott uppstår. Ett mått på hur bra ett material är ur denna synvinkel är dess duktilitet. Motsatsen till ett duktilt material är ett sprött material. Spröda material kan ha väldigt hög brottgräns men när spänningen når upp till detta värde går materialet tvärt av. Exempel på spröda material är glas och de flesta keramer; till duktila material räknas de flesta metaller [15]. Således ska ett lämpligt material ha både hög sträck- och brottgräns och vara så duktilt som möjligt. Energiabsorberingsförmågan kan illustreras med arean under grafen i ett spänningstöjningsdiagram, i figur 3 ses att ett duktilt material alltså är mycket bättre på att ta upp energi. 9

16 4.4 Materialegenskaper Figur 3: Skillnaden mellan ett sprött och ett duktilt material Korrosion Materialet som kölskyddet tillverkas av ska klara av en hård miljö. En båt ligger i vattnet flera månader i sträck och därför är det viktigt att välja ett material som inte kommer brytas ner och förlora sina egenskaper. Vid utvärderingen av olika material har det antagits att båten kommer ligga i havsvatten. I havsvatten är kloridhalten högre än i sötvatten och detta gör havsvatten mer korrosivt [16]. Korrosion är en elektrokemisk reaktion där metallen oxideras och syre i den omgivande vätskan reduceras. För att korrosion ska uppstå krävs en anodyta och en katodyta samt en elektrolyt som leder jonerna, i detta fall vattnet. Det är på anodytan som metallen bryts ner genom oxidationen, för en godtycklig metall M M n+ + ne. Vid katoden sker reduktion av syre O 2 + 2H 2 O + 4e 4OH. Vid allmän korrosion finns katod- och anodytor jämt fördelade och korrosionsangrepp sker över hela ytan. I figur 4 ses den elektrokemiska reaktionen vid korrosion för en godtycklig metall. 10

17 4.4 Materialegenskaper Figur 4: Korrosion för en godtycklig metall Materialmodell Vid en kollision blir kraften så stor att strukturen kommer att deformeras plastiskt. För att ta hänsyn till detta krävs en modell som beskriver materialets hårdnande vid deformation. I detta arbete har en mycket förenklad modell använts där materialhårdnandet approximerats med en linjär funktion, se figur 5. För att ta fram den plastiska modulen Z [7] som beskriver förhållandet mellan spänning och töjning efter att sträckgränsen uppnåtts användes ett spänningstöjningsdiagram från ett dragprov av valt material (figur 8). Tio punkter sattes ut på kurvan mellan sträck- och brottgränsen, och en regressionsanalys gjordes med minsta kvadratmetoden för att anpassa en rät linje till punkterna. Detta gav en plastisk modul Z=610 MPa. Figur 5: Den förenklade materialmodellen. 11

18 5 Metod I detta kapitel förklaras vilka metoder som använts till de olika delarna i projektet. 5.1 Optimering Den metod som användes för optimeringen i detta arbete bygger på att undersöka hur energin som absorberas under krocken är fördelad i strukturen. Målet med optimeringen är att få en så hög total IED i strukturen som möjligt. Genom att plocka bort element i områden med låg energitäthet gör man strukturen svagare i dessa områden, vilket leder till att spänning och förskjutning ökar vilket i sin tur leder till att IEDn ökar. Denna metod har tidigare undersökts [6, 10] och har visat sig vara lämplig för att få en uppfattning om hur strukturen ska utformas utan att beräkningarna blir för krävande. Figur 6: Visar hur programmet är uppbyggt och hur uppdateringsprocessen genomförs. 12

19 5.2 Beräkning av absorberad energi FEM-beräkningar för att få ut IEDn i strukturens element har gjorts i Comsol Multiphysics. Resultaten analyserades genom att målfunktionsvärdet beräknades med Matlab. Även designuppdateringen gjordes med Matlab. Processen pågår så länge summan av IEDn i alla kvarvarande element är högre än i föregående iteration. Ett flödesschema över optimeringsmetoden kan ses i figur 6. I detta arbete har en heuristisk lösningsmetod av optimeringsproblemet (ekvation 2) använts. Denna metod kommer inte hitta den optimala lösningen till problemet men resulterar i en godtagbar design. Anledningen till att de inom topologioptimering vanliga metoderna till exempel MMA eller SLP [12] inte användes var att en enkel metod önskades. Detta eftersom tidigare kunskap om topologioptimering saknades i kandidatgruppen. Efter varje iteration analyseras IEDn i alla element med Comsol Multiphysics. Värdet i varje element jämförs med det maximala värdet för något element i strukturen. Om IEDn i ett element är lägre än en viss procentsats av det maximala värdet tas elementet bort ur FE-nätet och en ny struktur erhålls. Denna procentsats väljs av användaren och det blir en avvägning, väljs en för stor procentandel kan en för stor del av elementen tas bort i varje iteration. Samtidigt får den inte vara för liten för att en uppdatering av designen ska ske. Ju längre processen går och IEDn blir jämnare fördelad i strukturen måste procentsatsen ökas för att element fortfarande ska raderas. 5.2 Beräkning av absorberad energi När en optimerad struktur tagits fram beräknades hur mycket energi den kan absorbera. Den maximala kollisionskraften som beräknats av den andra projektgruppen [1] på 18 MN visade sig resultera i en orimligt stor deformation vilket leder till att värdet för IED i strukturen inte blir realistiskt. Detta beror på att en linjär materialmodell använts utan begränsningar för maximal deformation eller brottgräns. För att beräkna ett mer realistiskt värde analyserades strukturen med en kraft som ger en maximal deformation som inte överstiger strukturens längd av 30 cm. Denna gräns sattes eftersom när strukturen deformerats den sträckan kan ingen ytterligare energi tas upp utan resten av kraften går in i kölen. Den begränsade kraft som användes beräknades med Comsol Multiphysics till 4 MN. 13

20 5.3 Efterbearbetning Vid beräkningen av absorberad energi antogs kollisionskraften öka linjärt från noll till 4 MN under ett tidsintervall. Detta gör att den absorberade energin (ekvation 1) varierar med tiden. Denna tidsvariation approximerades med en summa där tidsintervallet delades upp i tio steg enligt ekvation 3. E är energin som absorberats under kollisionen och IED(F t ) är strukturens totala IED som funktion av kraften i varje tidssteg. 1 E = IED(F t ) 0, 1 t = 0.1, 0.2,..., 1 (3) t=0,1 5.3 Efterbearbetning När en optimerad struktur tagits fram gjordes en CAD-modell av skyddet som kan användas för tillverkning genom 3D-utskrift. CAD-modellen togs fram genom att studera strukturen och sedan försöka återskapa den i Creo. 3D-modellen som gjordes har samma grunddrag som den optimerade strukturen men eftersom elementen i optimeringen var stora gjordes formen på CAD-strukturen lite mjukare. 5.4 Materialval Vid valet av material användes materialdatabasen CES. Endast metaller har utvärderats eftersom det var en avgränsning i projektet. I CES kan olika materialegenskaper vägas mot varandra och plottas i en graf. Materialens förmåga att ta upp energi vid en kollision har varit det primära kriteriet. Vid första urvalet vägdes brottgäns och töjning vid brott in. Utifrån dessa kriterier kunde urvalet begränsas till olika stål och aluminiumlegeringar. När även beständighet mot saltvatten vägdes in begränsades lämpliga material till rostfria stål samt några typer av aluminiumlegeringar. Det kan konstateras att om bara energiabsorberingsförmåga och korrosionsmotstånd vägs in vore ett rostfritt stål det bästa alternativet. När även pris och hållfasthet i förhållande till densitet vägdes in föll valet ändå på en aluminiumlegering. I figur 7 ses att de bästa aluminiumlegeringarna har jämförbara mekaniska egenskaper med de sämsta rostfria stålen. För att kölens tyngdpunkt inte ska påverkas önskades så låg vikt som möjligt. Ur detta hänseende är aluminium ett bättre alternativ än stål eftersom densiteten är ungefär en tredjedel jämfört med de flesta konstruktionsstål [15]. När de mekaniska egenskaperna nästan når upp till samma nivå som för stål ansågs aluminium vara ett bättre val. 14

21 5.4 Materialval Figur 7: Jämförelse i CES. Grönt visar rostfria stål. Rött visar aluminiumlegeringar Även ur korrosionsynpunkt är aluminium ett bra val. På ytan bildas ett tunt och tätt skikt av aluminiumoxid som ger ett naturligt skydd mot fortsatt korrosion. I samråd med gruppen som studerade tillverkningsmetoder och lasersintring valdes en aluminiumlegering av typen 5086 [2]. Denna legering valdes på grund av dess goda mekaniska egenskaper och för att det är en av de vanligaste legeringarna för marin användning [17, 18]. I tabell 1 visas de mekaniska egenskaperna för det valda materialet som användes vid beräkningarna. Figur 8 visar dragprovkurvan som användes för materialmodellen. Tabell 1: De mekaniska egenskaperna för aluminium 5086 som användes vid beräkningarna [19]. Mekaniska egenskaper Värde Pris 16,2 SEK/kg Densitet 2,64e3 kg/m 3 Elasticitetsmodul 70 GP a Poissons konstant 0,33 Sträckgräns 179 M P a Brottgräns 276 M P a Töjning vid brott 20 % 15

22 Figur 8: Dragprovskurva för aluminium 5086 [20]. 6 Resultat Här redovisas resultaten från de olika delarna i projektet och hur den slutgiltiga strukturen ser ut. 6.1 Material Det material som valdes att användas till kölskyddet är aluminium De materialegenskaper som använts vid beräkningarna ses i tabell 1 och figur Beräkningsfall I alla uträkningar har kvadratiska fyrnodiga element med storleken 1 x 1 cm använts. Designdomänen bestod av en rektangel med storlek 30 x 20 cm. Dimensionerna beräknades enligt [1]. Två fall med olika infästning har studerats och kommer redovisas i denna rapport. Fall 1 där hela vänsterkanten är fixerad och fall 2 där bara de två översta och två understa elementen är fixerade. Dessa två fall valdes för att undersöka skillnaden vid två olika sätt att montera kölskyddet. Fall 1 motsvarar en typ av snabbfäste där kölskyddet förs in i ett spår [1]. Fall 2 svarar mot att skyddet skruvas fast med någon typ av fästöron i ovan- och underkant. I båda fallen har kraften applicerats som en utbredd last på de två elementen i mitten av högerkanten. En principskiss av de båda beräkningsfallen kan ses i figur 9. Vid optimeringen har kollisionskraften 18 MN använts. För alla FEMberäkningarna har små deformationer antagits, det vill säga töjningen antas vara en linjär funktion av förskjutningen. 16

23 6.3 Optimerad struktur Under optimeringsprocessen har en förenkling av formeln för IED (ekvation 1) använts. Ingen integrering över tiden har gjorts utan värdet för IED har enbart beräknats statiskt med den maximala kraften som uppnås under krockförloppet. Detta gör att storleken av den absorberade energin inte blir korrekt men fördelningen av IED i strukturen antas inte påverkas. Denna förenkling gjordes för att minska beräkningstiden under optimeringsprocessen. (a) Beräkningsfall 1. (b) Beräkningsfall 2. Figur 9: De två olika fallen som analyserats. Observera att antalet element inte överensstämmer med den struktur som användes vid beräkningarna Sent i projektet gjordes en tredje beräkning med samma infästning som beräkningsfall 1 men med en elementstorlek på 0,5 x 0,5 cm, alltså 2400 element. För att programmet skulle fungera användes nu endast en linjärelastisk materialmodell där ingen hänsyn till materialhårdnande togs. Denna beräkning gjordes framförallt för att verifiera att det är den plastiska materialmodellen som är begränsande i optimeringsprogrammet och som gett problem när mindre element använts. Eftersom en förenklad materialmodell användes gjordes ingen beräkning av absorberad energi med den mindre kraften 4 MN. 6.3 Optimerad struktur Beräkningsfall 1 Struktur 1 ses i figur 10. Vid start bestod strukturen av 600 element. Den optimerade strukturen erhölls efter 26 iterationer och består av 214 element. I tabell 2 visas antal element och summan av IED för var femte iteration samt vilka procentsatser som använts för att utvärdera vilka element som ska tas bort under processen. Bilaga C innehåller X-matrisen som anger vilka element som den optimerade struktur 1 består av. I figur 11 ses en analys från Comsol Multiphysics av fördelningen av IED i strukturen. 17

24 6.3 Optimerad struktur Tabell 2: Resultatet för struktur 1. Iteration Borttaget Element IED [J/m 3 ] Start 600 7,22E ,1% av maxvärdet 584 7,22E ,5% av maxvärdet 504 7,41E % av maxvärdet 270 1,92E % av maxvärdet 268 1,91E % av maxvärdet 238 2,02E % av maxvärdet 214 2,53E+10 (a) Efter 10 iterationer (b) Efter 20 iterationer (c) Efter 26 iterationer Figur 10: Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall 1. 18

25 6.3 Optimerad struktur Figur 11: Fördelning av IED i struktur Beräkningsfall 2 Struktur 2 ses i figur 12. Vid start bestod strukturen av 600 element. Den optimerade strukturen erhölls efter 35 iterationer och består av 166 element. I tabell 3 visas antal element och summan av IED för var femte iteration samt vilka procentsatser som använts för att utvärdera vilka element som ska tas bort under processen. I figur 13 ses en analys från Comsol Multiphysics av fördelningen av IED i strukturen. Tabell 3: Resultatet för struktur 2. Iteration Borttaget Element IED [J/m 3 ] Start 600 8,84E ,1% av maxvärdet 574 8,83E ,5% av maxvärdet 434 9,18E % av maxvärdet 394 9,42E % av maxvärdet 274 1,53E % av maxvärdet 212 1,82E % av maxvärdet 208 1,86E % av maxvärdet 166 2,63E+10 19

26 6.3 Optimerad struktur (a) Efter 10 iterationer (b) Efter 20 iterationer (c) Efter 35 iterationer Figur 12: Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall 2. Figur 13: Fördelningen av IED i struktur 2. 20

27 6.3 Optimerad struktur Beräkningsfall 3 Struktur 3 ses i figur 14. Vid start bestod strukturen av 2400 element. Den optimerade strukturen erhölls efter 65 iterationer och består av 450 element. I tabell 4 visas antalet element och summan av IED för iteration nummer 5, 25, 45 och 65 samt vilka procentsatser som använts för att utvärdera vilka element som ska tas bort under processen. Strukturen som togs fram i denna beräkning (se figur 14) överensstämmer utseendemässigt relativt väl med den tidigare framtagna strukturen med färre element. Eftersom en förenklad materialmodell använts i detta fall är värdet på IEDn av mindre intresse. Tabell 4: Resultatet för struktur 3. Iteration Borttaget Element IED [J/m 3 ] Start ,84E ,1% av maxvärdet ,62E ,25% av maxvärdet ,14E ,5% av maxvärdet 776 4,83E % av maxvärdet 450 8,17E+10 (a) Efter 5 iterationer (b) Efter 25 iterationer (c) Efter 45 iterationer (d) Efter 65 iterationer Figur 14: Visar hur en struktur växer fram för beräkningsfall 3. 21

28 6.4 Absorberad energi 6.4 Absorberad energi Den totala absorberade energin beräknades med kraften 4 MN och tidsvariationen approximerad med en summa med tio tidssteg. I tabell 5 redovisas den absorberade energin för strukturerna. Tabell 5: Absorberad energi för strukturerna. Struktur Absorberad energi [J] 1 5,0E ,3E+03 5 kj motsvarar för en Hallberg-Rassy 53 cirka 2 % av den totala rörelseenergin innan kollisionen vid en hastighet på 8 knop, för en lättare båt som väger 4 ton motsvarar det cirka 10 % av rörelseenergin. Båtens rörelseenergi innan kollisionen har beräknats enligt mv2, där m är båtens 2 massa och v dess fart. 6.5 Efterbearbetning Den efterbearbetade strukturen kan ses i figur 16. Den är framtagen med hjälp av struktur 1 som utgångsgeometri. Struktur 1 användes eftersom den överensstämmer med infästningen som valdes till konceptet [1]. Eftersom relativt stora element användes vid framtagning av strukturen krävdes efterbearbetning för att strukturen ska kunna tillverkas. Kanterna har rundats av och vinklarna i strukturen har gjorts mjukare som kan ses i figur 15. Bilaga B innehåller strukturen med några mått utsatta. (a) Resultatet från optimeringen (b) Efterbearbetad modell Figur 15: Resultatet från optimeringen (a) och hur tvärsnittet tolkades i en CADmodell (b) 22

29 Figur 16: CAD-modell av den optimerade strukturen. 7 Diskussion & framtida studier Det här arbetet har resulterat i en struktur med en utformning som möjliggör att en del av rörelseenergin en segelbåt har kan absorberas vid en grundstötning och på så sätt minska krafterna som verkar på båten. 7.1 Metoden Den bakomliggande teorin och metoden att studera fördelningen av IED i strukturen anser vi vara ett lämpligt sätt att ta fram en optimerad utformning av ett kölskydd. De metoder och program som använts i detta arbete är dock mycket förenklade och resultatet bör ses mer som en fingervisning om hur ett kölskydd skulle kunna utformas än en slutgiltig design. Skulle man gå vidare med detta koncept rekommenderar vi att en bättre materialmodell används som bättre tar hänsyn till stora plastiska deformationer och brott. Man bör även minska elementstorleken för att få ett bättre resultat och en form på den optimerade strukturen som kräver mindre efterbearbetning. I detta arbete har den enklaste formen av designuppdatering använts där ineffektiva element helt plockas bort ur strukturen. På så sätt minskar designytan och möjligheten att ändra utformningen ju längre man kommer i optimeringsprocessen. Ett bättre sätt skulle vara att låta elementens tjocklek eller densitet variera i ett intervall och på det sättet kunna återinföra material på en plats om det visar sig effektivt vid ett senare skede av optimeringen. Skulle ett kommersiellt kölskydd 23

30 7.2 Materialstudierna tas fram borde man även undersöka möjligheten att använda en tredimensionell modell där man tar hänsyn till spänning även i z-led. En av bristerna i metoden som använts för designuppdateringen är att en procentsats av den maximala energin i strukturen måste väljas av användaren och ändras under optimeringsprocessen. Det ger ett visst godtycke i resultatet och man riskerar att göra för stora förändringar av designen i varje iteration och på det viset missa lämpliga utformningar. För ett säkrare resultat bör en bättre metod för att utvärdera vilka element som är effektiva tas fram. Eftersom ett så grovt FE-nät användes krävdes att den optimerade strukturen efterbearbetades för att kunna ligga till grund för tillverkning. Hur efterbearbetningen påverkade funktionen av strukturen har inte undersökts. För att den slutgiltiga produkten ska ligga så nära det teoretiska resultatet som möjligt bör man automatisera steget mellan optimeringsresultat och CAD-modell. Denna möjlighet finns i Comsol Multiphysics men kräver ytterligare licenser som vi inte hade tillgång till. För att detta ska fungera krävs också att mindre element används för att få en mjukare form på strukturen. 7.2 Materialstudierna Vad gäller valet av material har relativ liten del av arbetet ägnats åt det. Materialvalet gjordes tidigt i projektet för att få materialparametrar att utgå från vid beräkningarna. Vid djupare studier senare i projektet visade sig andra material vara bättre lämpade [2]. Beroende på vilka egenskaper som värderas högst kan flera olika material motiveras. Att aluminium valdes som det bästa materialet motiverades med den höga styrkan i förhållande till vikten samt de goda korrosionsegenskaperna. Om det här är de viktigaste egenskaperna kan dock diskuteras. Sämre korrosionsegenskaper skulle kunna kompenseras med någon form av ytbeläggning och om den extra vikten skulle har någon påverkan på båten har inte undersökts. Vi anser därför att valet av material måste undersökas mer noggrant. 7.3 Matlab Den Matlabkod (se bilaga A) som används i optimeringsprocessen kan inte anses vara optimal. Koden som används är relativt långsam vilket begränsar antalet element som kan användas i FE-nätet för att beräkningstiden inte ska bli orimligt lång. I detta arbete har en elementstorlek på 1 x 1 cm använts i en ursprunglig designdomän bestående av 600 element. Ett så litet antal element ger en mycket grov design av den optimerade strukturen. För ett bättre resultat hade det varit önskvärt att minska elementstorleken till åtminstone 0,5 x 0,5 cm, en storlek som ofta används vid krocksimuleringar inom bilindustrin [9]. 24

31 7.4 Resultaten Redan med det antal element som använts låg beräkningstiden för att ta fram en struktur på ca. 1,5 timmar. Hade en halverad elementstorlek använts hade beräkningstiden blivit mer än sex timmar, vilket ansågs för långt i detta projekt. Anledningen till att Matlabkoden är så långsam är troligtvis att ett stort antal for-loopar används där FEM-lösaren anropas och ibland beräknas samma värde flera gånger. Det som gör att FEM-beräkningarna tar tid är med stor sannolikhet den plastiska materialmodellen vilket bekräftas av beräkningsfall 3, se kapitel 6 Resultat. När plastiskt materialhårdnande tas med i beräkningen klarar inte Comsol Multiphysics att lösa problemet när antalet element blir för stort. Eftersom vi inte lyckats ta reda på exakt vilka jämviktsekvationer Comsol löser och hur materialförhårdnandet hanteras i programmet har inte detta problem kunnat åtgärdas. Eftersom antalet element som använts är så litet är det troligt att felet egentligen inte ligger i Comsol som borde kunna hantera ett stort antal element, utan beror på hur vi byggt upp Matlabprogrammet och hur data skickas till Comsol. Här finns alltså stor förbättringspotential, men med den lilla bakgrundskunskap inom strukturoptimering vi hade vid projektstarten har målet inte varit att skriva ett så effektivt program som möjligt utan att undersöka den valda metoden och ta fram ett första designförslag. Därför accepterades det ganska grova resultatet som tagits fram. 7.4 Resultaten Hur nära optimum den framtagna strukturen ligger är svårt att säga. Den heuristiska lösningsmetoden som använts ger ingen garanti för att ett globalt maximum uppnåtts eftersom optimeringsprocessen avbryts när målfunktionsvärdet blir sämre än föregående iteration. Det är alltså möjligt att ett bättre värde kan uppnås om man tillåter en tillfällig försämring av målfunktonsvärdet. Däremot ger resultatet från denna studie troligtvis en bra ungefärlig bild av hur en optimal struktur skulle se ut. Detta bekräftas av en tidigare studie [10] där en liknande metod använts, som för ett snarlikt belastningsfall kommit fram till ett resultat som väl överensstämmer med vårt. När det gäller den beräknade absorberade energin är resultaten mycket osäkra. Eftersom teori för små deformationer (linjärt förhållande mellan töjning och förskjutning) och en linjär materialmodell använts vid FEM-beräkningarna blir storleken på töjning och deformation orimligt stora när man låter kraften 18 MN angripa strukturen. För att beräkna ett mer rättvisande värde var vi tvungna att minska kraften till 4 MN för att få en rimlig deformation. Med denna kraft beräknades den absorberade energin till 5 kj. 25

32 7.5 Marknadsperspektiv Ligger det verkliga värdet i denna storleksordning är det en betydande del av båtens totala rörelseenergi, vilket vi anser visar att detta koncept har goda möjligheter att minska skadorna från en grundstötning. Det skulle med andra ord vara intressant att förfina modellen och fortsätta undersöka konceptet i framtida studier. 7.5 Marknadsperspektiv Detta arbete behandlar en relativt ny och okänd produkt. Om designmetoden med topologioptimering ska lyftas fram i marknadsföring med syfte att framställa skyddet som det bästa sättet att undvika skador vid grundstötning är det viktigt att även verifiera att produkten fungerar i verkligheten. Eftersom skyddet kan anses vara en säkerhetsfunktion som kan minska personskador vid en grundstötning måste produkten genomgå ordentliga tester för att bekräfta att skyddet uppfyller de funktioner som utlovas. Vid marknadsföring är det viktigt att öppet redovisa resultat och skyddets begränsningar för att inte invagga personer i en falsk trygghet. Ur miljösynpunkt är det viktigt att material med så liten miljöpåverkan som möjligt används i produkten. Att använda material med ett naturligt korrosionsskydd är ett bra sätt att minska behovet av giftiga rostskyddsfärger som kan påverka havsmiljön. Tillverkas skyddet av aluminium kommer milljöpåverkan under användning vara i stort sett obefintlig. Genom att se till att tillverkning sker så effektivt som möjligt och att produkten återvinns när den är förbrukad kan miljöpåverkan anses vara liten. Skulle denna typ av kölskydd bli vanligt förekommande och tillverkas i stort antal skulle merkostnaden för att skydda båten bli mycket liten. Ur ett ekonomiskt perspektiv skulle kostnaderna för kölskydd antagligen vägas upp av minskade kostnader för reparationer. På lång sikt skulle försäkringsbolagens kostnader kunna minska och försäkringspremien för enskilda båtägare sänkas. 8 Slutsats Att ta fram en struktur som kan förebygga skador på en segelbåt vid en grundstötning är helt klart möjligt. Att använda strukturoptimering för att ta fram en så effektiv design som möjligt är definitivt en intressant metod med stor utvecklingspotential. Men en djupare studie med en mer avancerad modell än vad som använts i detta arbete är nödvändigt för att ta fram ett tillförlitligt resultat. Med den metod som använts och de förenklingar som gjorts i det här projektet går det inte att med säkerhet avgöra hur stor mängd energi som en verklig struktur skulle absorbera. 5 kj absorberad energi som våra beräkningar visar är en betydande del av den totala energin som överförs till båten vid en kollision. 26

33 Med en effektivare optimeringsmetod är det rimligt att anta att en verklig strukturs energiabsorberingsförmåga kan ligga i den storleksordningen, vilket visar att en struktur av typen som tagits fram markant skulle kunna minska kraften som verkar på båten. Vilket material som är bäst lämpat till ett kölskydd beror på vilka egenskaper som värderas högst. Ska ett metalliskt material användas är aluminium eller stål troligtvis det bästa alternativet. I det här fallet valdes aluminium på grund av en bra kombination av mekaniska egenskaper, korrosionsmotstånd och pris. Trots osäkerheten i beräkningarna anser vi att konceptet med ett kölskydd av metall kan vara ett alternativ till det gummiskydd som idag finns på marknaden. 27

34 REFERENSER Referenser [1] Grune F. and Sundberg S. Dimensionering av kölskydd för segelbåtar, Linköping, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, avdelningen för hållfasthetslära, [2] Lundgren B. and Patel J. Additiv tillverkning av kölskydd, Linköping, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, avdelningen för hållfasthetslära, [3] Svenska Koster. Keel-Pro. Koster/Keel-Pro.html, [Online; hämtad ]. [4] Cooke J. Krockkudde under vattnet kan rädda seglingssäsong /krockkudde-under-vattnet-kan-radda-seglingssasong/, [Online; hämtad ]. [5] Andersson J. and Björklund O. Undersökning av ett kölskydd för segelbåtar, Linköping, Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling, avdelningen för hållfasthetslära, [6] Patel N. M., Kang B.S., Renaud J. E., and Tovar A. Crashworthiness design using topology optimization. Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME, 131(6), [7] Patel N.M. Crashworthiness Design Using Topology Optimization. Graduate Program in Aerospace and Mechanical Engineering, Notre Dame, Indiana. University of Notre Dame, [8] Öman M. and Nilsson L. Structural optimization based on internal energy distribution. Engineering Optimization, 45(4): , [9] Redhe M. On vehicle crashworthiness design using structural optimization. Linköping studies in science and technology: Dissertations 863. Linköping Universitet, [10] Forsberg J. and Nilsson L. Topology optimization in crashworthiness design. Structural & Multidisciplinary Optimization, 33(1), [11] Pedersen C.B.W. Topology Optimization for Crashworthiness of Frame Structures. Department of Mechanical Engineering. Solid Mechanics, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark [12] Bendsøe. M. P and Sigmund O. Topology, optimization : theory, methods, and applications. New York : Springer, [13] Christensen P. W., Gladwell G. M. L., and Klarbring A. An introduction to structural optimization. Dordrecht : Springer Netherlands, [14] Lundh H. Grundläggande hållfasthetslära. Stockholm, Instant Book AB,

35 REFERENSER [15] Askeland D., Fulay P., and Wright W. The Science and Engineering of Materials, SI Edition. Stamford, Cengage Learning, [16] Mattsson E. Korrosion. Nationalencyklopedin. korrosion/, u.å. [Online; hämtad ]. [17] KonstruktörsLotsen. Korrosionsegenskaper.html, [Online; hämtad ]. [18] Russell A. S. and Sanders T. H. Aluminum alloys. AccessScience. http: // [Online; hämtad ]. [19] Granta design limite. CES EduPack [20] Atlas of stress-strain curves. Materials Park, OH : ASM International.,

36 A Programkod A.1 topopt.m Matlabkoden för optimeringsprocessen där designdomänen, elementstorlek, kraft samt procentsats för utvärdering av element anges. 1 %Viktor H e l l b e r g 2 %Rikard Fredrikson 3 % %indata 6 hojd =.2; %Meter 7 langd =.3; %Meter 8 k r a f t = ; %Newton 9 s t o r l e k =0.01; 10 hojd=hojd / s t o r l e k ; 11 langd=langd / s t o r l e k ; 12 i t e r a t i o n e r =5; 13 kravgrans =0.001; 14 t j o c k l e k =.1; %l o s n i n g 17 t i c 18 xmatris=ones (1, hojd langd ) ; %beror p mesh 19 summa=zeros (2, i t e r a t i o n e r +2) ; [ IED, model]= s t a t i o n a r ( hojd, langd, s t o r l e k, t j o c k l e k, kraft, xmatris ) ; %f=ied i v a r j e element for p=1: i t e r a t i o n e r %Optimeringsprocessen b o r j a r och kor l i k a manga ganger som a n t a l i t e r a t i o n e r 25 disp ( [ Optimering nummer : num2str( p) av num2str( i t e r a t i o n e r ) ] ) 26 t i c summa(1, p+1)=summa(1, p+1)+sum(ied) ; 29 summa(2, p+1)=summa(2, p+1)+sum( xmatris ) ; xmatris ; 33 summa IEDmax=max( IED) ; 30

37 A.1 topopt.m 36 krav=(kravgrans IEDmax) ; 37 for i =1:length ( xmatris ) %Studerar v i l k a element som ska b o r t i f IED( i )<=krav xmatris ( i ) =0; else 44 xmatris ( i ) =1; 45 end 46 end for i =1: langd : hojd langd %Lager t i l l element som s i t t e r f i x e r a d e 50 i f xmatris ( i )==0 51 xmatris ( i )=xmatris ( i ) +1; 52 end 53 end %Om i n t e f i x i h e l a 56 % f o r i =[1 1+langd ( hojd langd 2 langd +1) ( hojd langd langd +1) ] 57 % i f xmatris ( i )==0 58 % xmatris ( i )=xmatris ( i ) +1; 59 % end 60 % end disp ( Optimering k l a r ) ; 63 toc 64 [ IED, model]= s t a t i o n a r ( hojd, langd, s t o r l e k, t j o c k l e k, kraft, xmatris ) ; end %Optimeringsprocessen t a r s l u t summa(1, i t e r a t i o n e r +2)=summa(1, i t e r a t i o n e r +2)+sum(IED) ; 70 summa(2, i t e r a t i o n e r +2)=summa(2, i t e r a t i o n e r +2)+sum( xmatris ) ; disp ( Ritar geometri ) ; 73 mphgeom( model ) 74 mphsave ( model, t e s t.mph ) ; 75 xmatris 76 summa 31

38 A.2 stationar.m 77 toc A.2 stationar.m Matlabkoden för att samköra optimeringen med FEM-lösaren. För att kunna köras krävs tillgång till Comsol Multiphysics med Livelink för Matlab. 1 function [V, model]= s t a t i o n a r ( hojd, langd, s t o r l e k, t j o c k l e k, kraft, xmatris ) 2 3 import com. comsol. model. 4 import com. comsol. model. u t i l. 5 6 model = ModelUtil. c r e a t e ( Model ) ; 7 8 model. modelpath ( C: \ Users \ Viktor \Documents\COMSOL ) ; 9 10 model. modelnode. c r e a t e ( comp1 ) ; model. geom. c r e a t e ( geom1, 2) ; model.mesh. c r e a t e ( mesh1, geom1 ) ; model. p h y s i c s. c r e a t e ( s o l i d, SolidMechanics, geom1 ) ; model. study. c r e a t e ( std1 ) ; 19 model. study ( std1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( s t a t, S t a t i o n a r y ) ; %Skapar geometrin 25 disp ( Brjar skapa geometrin ) ; 26 t i c bort=find ( not ( xmatris ) ) ; H=s t o r l e k / 2 ; 31 i =0; 32 for t =1: hojd %Bygger geometrin som bestamts 33 L= s t o r l e k / 2 ; 34 for r =1: langd i=i +1; 32

39 A.2 stationar.m 37 L=L+s t o r l e k ; model. geom ( geom1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( [ sq,num2str( i ) ], Square ) ; 40 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). set ( type, s o l i d ) ; 41 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). set ( base, corner ) ; 42 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). set ( pos, { 0 num2str( s t o r l e k ) }) ; 43 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). set ( s i z e, num2str( s t o r l e k ) ) ; 44 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). set ( base, c e n t e r ) ; 45 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). setindex ( pos, num2str(l), 0) ; 46 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e ( [ sq,num2str( i ) ] ). setindex ( pos, num2str(h), 1) ; end 49 H=H+s t o r l e k ; 50 end 51 model. geom ( geom1 ). runpre ( f i n ) ; 52 model. geom ( geom1 ). runall ; 53 model. geom ( geom1 ). run ; %Materialdata f o r aluminium model. m a t e r i a l. c r e a t e ( mat1 ) ; 60 model. m a t e r i a l ( mat1 ). name( Aluminum ) ; 61 model. m a t e r i a l ( mat1 ). set ( family, aluminum ) ; 62 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( r e l p e r m e a b i l i t y, 1 ) ; 63 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( h e a t c a p a c i t y, 900[ J /( kg K) ] ) ; 64 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( t h e r m a l c o n d u c t i v i t y, 160[W/(m K) ] ) ; 65 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( e l e c t r i c c o n d u c t i v i t y, e7 [ S/m] ) ; 66 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( r e l p e r m i t t i v i t y, 1 ) ; 67 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( t h e r m a l e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t, 23e 6[1/K] ) ; 33

40 A.2 stationar.m 68 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( def ). set ( d e n s i t y, 2700[ kg/m^3] ) ; 69 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup. c r e a t e ( Enu, Young s modulus and Poisson s r a t i o ) ; 70 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Enu ). set ( p o i s s o n s r a t i o, 0.33 ) ; 71 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Enu ). set ( youngsmodulus, 70 e9 [ Pa ] ) ; 72 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup. c r e a t e ( Murnaghan, Murnaghan ) ; 73 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Murnaghan ). set ( n, 3.5 e11 [ Pa ] ) ; 74 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Murnaghan ). set ( m, 3.3 e11 [ Pa ] ) ; 75 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Murnaghan ). set ( mulame, 2. 6 e10 [ Pa ] ) ; 76 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Murnaghan ). set ( l, 2.5 e11 [ Pa ] ) ; 77 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Murnaghan ). set ( lamblame, 5. 1 e10 [ Pa ] ) ; 78 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup. c r e a t e ( Lame, [ Lam native2unicode (hex2dec ( 00 e9 ), Cp1252 ) constants ] ) ; 79 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Lame ). set ( mulame, 2. 6 e10 [ Pa ] ) ; 80 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( Lame ). set ( lamblame, 5. 1 e10 [ Pa ] ) ; 81 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup. c r e a t e ( NeoHookean, Neo Hookean ) ; 82 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( NeoHookean ). set ( mu, 2. 6 e10 [ Pa ] ) ; 83 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( NeoHookean ). set ( lambda, 5. 1 e10 [ Pa ] ) ; 84 model. m a t e r i a l ( mat1 ). set ( family, aluminum ) ; %P l a s t i s k a delen 88 model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( lemm1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( p l s t y 1, P l a s t i c i t y, 2) ; 89 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup. c r e a t e ( E l a s t o p l a s t i c M o d e l, E l a s t o p l a s t i c m a t e r i a l model ) ; 90 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( E l a s t o p l a s t i c M o d e l ). set ( sigmags, { 179 e6 }) ; 91 model. m a t e r i a l ( mat1 ). propertygroup ( E l a s t o p l a s t i c M o d e l ). set ( Et, { 610 e6 }) ; 34

41 A.2 stationar.m %Fixd displacment model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e. c r e a t e ( f i x 1, Fixed, 1) ; 98 model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( f i x 1 ). s e l e c t i o n. set ( [ 1 : 2 : ( 2 hojd ) ] ) ; 99 %model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( f i x 1 ). s e l e c t i o n. s e t ( [ 1 3 (2 hojd 3) (2 hojd 1) ] ) ; 100 %f i x a r load model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e. c r e a t e ( bndl1, BoundaryLoad, 1) ; 103 model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( bndl1 ). s e l e c t i o n. set ( [ langd ( hojd +1)+hojd ( langd +1) (hojd 10) langd ( hojd +1)+ hojd ( langd +1) (hojd 11) ] ) ; %k r a f t a n g r e p p 104 model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( bndl1 ). set ( LoadType, 1, TotalForce ) ; 105 model. p h y s i c s ( s o l i d ). f e a t u r e ( bndl1 ). set ( Ftot, { num2str( k r a f t ) 0 0 }) ; %S t o r l e k k r a f t %Tar b o r t elementen 108 i f bort >0 109 for i =1: size ( bort, 2 ) 110 model. geom ( geom1 ). f e a t u r e. remove ( [ sq,num2str( bort ( i ) ) ] ) ; 111 end 112 end 113 model. geom ( geom1 ). runpre ( f i n ) ; 114 model. geom ( geom1 ). runall ; 115 model. geom ( geom1 ). run ; disp ( Geometrin k l a r ) ; 118 toc %Bygger mesh 121 disp ( Brjar l s a med Comsol ) ; 122 t i c model.mesh( mesh1 ). run ; model.mesh( mesh1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( map1, Map ) ; 127 model.mesh( mesh1 ). f e a t u r e ( s i z e ). set ( custom, on ) ; 128 model.mesh( mesh1 ). f e a t u r e ( s i z e ). set ( hmax, num2str( 35

42 A.2 stationar.m s t o r l e k ) ) ; 129 model.mesh( mesh1 ). f e a t u r e ( s i z e ). set ( hmin, num2str( s t o r l e k ) ) ; 130 model.mesh( mesh1 ). run ; 131 model.mesh( mesh1 ). run ; model. p h y s i c s ( s o l i d ). prop ( d ). set ( d, 1, num2str( t j o c k l e k ) ) ; %t j o c k l e k model. s o l. c r e a t e ( s o l 1 ) ; 136 model. s o l ( s o l 1 ). study ( std1 ) ; 137 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( s t 1, StudyStep ) ; 138 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e ( s t 1 ). set ( study, std1 ) ; 139 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e ( s t 1 ). set ( studystep, s t a t ) ; 140 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( v1, V a r i a b l e s ) ; 141 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( s1, S t a t i o n a r y ) ; 142 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e ( s1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( f c 1, FullyCoupled ) ; 143 model. s o l ( s o l 1 ). f e a t u r e ( s1 ). f e a t u r e. remove ( fcdef ) ; 144 model. s o l ( s o l 1 ). attach ( std1 ) ; model. r e s u l t. c r e a t e ( pg1, 2) ; 147 model. r e s u l t ( pg1 ). set ( data, dset1 ) ; 148 model. r e s u l t ( pg1 ). f e a t u r e. c r e a t e ( s u r f 1, Surface ) ; 149 model. r e s u l t ( pg1 ). f e a t u r e ( s u r f 1 ). set ( expr, { s o l i d.ws }) ; 150 model. r e s u l t ( pg1 ). name( S t r a i n energy d e n s i t y ) ; model. s o l ( s o l 1 ). runall ; model. r e s u l t ( pg1 ). run ; 156 model. r e s u l t ( pg1 ). run ; toc 159 disp ( Brjar rkna ut a l l a punkter ) ; 160 t i c 161 %r e s u l t a t p=0; 164 a=0; 165 y=s t o r l e k / 2 ; 166 kord=zeros (2,sum( xmatris ) ) ; 167 for t =1: hojd %beror av mesh 168 x=s t o r l e k / 2 ; %beror av mesh 36

43 A.2 stationar.m 169 for i =1: langd %beror av mesh 170 p=p+1; 171 i f xmatris ( p )==1 172 a=a +1; 173 kord (1, a )=kord (1, a )+x ; 174 kord (2, a )=kord (2, a )+y ; 175 end 176 x=x+s t o r l e k ; %beror av mesh 177 end 178 y=y+s t o r l e k ; %beror av mesh 179 end dispa=mphinterp ( model, s o l i d.ws, coord, [ kord ( 1, 1 :sum( xmatris ) ) ; kord ( 2, 1 :sum( xmatris ) ) ] ) ; %hamtar IED fran Comsol 182 V=zeros (1, hojd langd ) ; %beror av mesh 183 p=0; 184 a=0; 185 for i =1: hojd langd 186 p=p+1; 187 i f xmatris ( p )==1 188 a=a +1; 189 V(1, p )=V(1, p )+dispa ( a ) ; 190 end 191 end disp ( Comsol k l a r ) ; 194 toc end 37

44 B Ritning Ritning med storleksangivelser för det framtagna designförslaget

45 C X-matris för struktur 1 X-matrisen talar om vilka element i den ursprungliga designdomänen som finns kvar i strukturen. Här är den slutliga X-matrisen för den optimerade strukturen i

46 D Genomförande Här redovisas vad som har gått bra respektive vad som gick sämre i arbetet. D.1 Tidsåtgång Arbetet har delats in i sex olika delar, se cirkeldiagram (figur D1). I litteraturstudier ingår studier om hur topologioptimering fungerar samt vilken metod som skulle användas i arbetet. Gruppen Comsol bestod av att undersöka vilket program som skulle användas samt inlärning av det valda programmet. I programkod togs Matlabkoden fram som användes för att lösa uppgiften. I material studerades olika material och data för ett material som användes vid beräkningarna togs fram. I optimering användes koden för att optimera fram en struktur. Gruppen CAD bestod av skapandet av den slutgiltiga designen som användes vid tillverkningen av prototypen, se [2]. Tidsplaneringen som sattes upp vid starten av projektet har följts bra. Detta beror mycket på att vi inte har fastnat på något moment i arbetet. När ett problem har uppkommit har det lösts relativt snabbt och inte skjutits framåt för att se det som ett senare problem. En viktig del är också att de andra grupperna har levererat sin data i tid. D.2 Litteraturstudier Topologioptimeringen i detta arbete ligger på en grundnivå eftersom vi saknar förkunskap inom området. Detta har gjort att det går att göra optimeringen mycket bättre genom att använda sig av en mer avancerad modell, vilket skulle göra att resultatet skulle kunna bli närmre verkligheten. Det resultat som fås fram nu vad gäller designen stämmer på ett ungefär jämfört med liknande arbeten [10]. När det kommer till den absorberade energin finns det en stor osäkerhet. Detta på grund av att den plastiska deformationen har förenklats. 40

47 D.3 Material D.3 Material Materialvalet har inte studerats in i minsta detalj. Detta eftersom materialval är ett område som berör två kandidatgrupper och därför har många olika egenskaper varit tvungna att beaktas. Därför valdes en materielgrupp ganska tidigt och därefter har ett material i just denna materielgrupp använts för beräkningarna. Detta har gjort att materialet som valts fungerar i tillämpningen men kanske inte är det optimala materialet. Vid vidare studier i material så har det i efterhand kommit fram att det kan finnas material som skulle lämpa sig bättre för applikationen. Men det material som valdes är ändå ett bra material och mycket av materialvalet beror på vilka egenskaper man värderar högst. D.4 Programkod Processen med att ta fram en metod för att optimera fram en struktur gick bra. Det finns två saker som gjorde att detta gick bra. Den första är att målfunktionen och bivillkoren som användes är väldigt förenklade men ändå uppfyller de krav vi har på strukturen. Sedan så var det ett bra val att använda sig av Comsol som FEM-lösare eftersom det var relativt enkelt att få fram värdena från Comsol till Matlab. Men som med alla program så finns det nackdelar och det är ett problem vi stötte på ganska långt in i arbetet. Det var att ibland uppkom det felmeddelanden som gjorde att optimeringsprocessen inte kunde köras så länge som önskats. Vad detta beror på hann inte utredas och åtgärdas. En möjlig orsak kan vara att vi helt raderar element ur FE-nätet vilket kan ge problem med singularitet. D.5 Optimering Ett stort problem är att kraften och det designutrymme som har givits [1] inte riktigt går ihop på grund av att deformationen med kraften 18 MN blir mycket större än kölskyddets storlek i FEM-lösaren. Det här medförde att kraften var tvungen att minskas för att beräkna ett rimligt värde på den absorberade energin i den framtagna strukturen. En felkälla är att kraften på 18 MN användes under optimeringen vilket kan ha påverkat utformningen av strukturen. 41

48 D.5 Optimering Figur D1: Tidsåtgång för de olika delarna av projektet. 42