Material föreläsning 3. HT2 7,5 p halvfart Janne Carlsson

Transkript

1 Material föreläsning 3 HT2 7,5 p halvfart Janne Carlsson

2 Tisdag 22:e November 10:15 15:00 PPU105 Material Förmiddagens agenda Styvhet och vikt: E-modul och densitet ch 4 Paus Styvhetsbegränsad design ch 5 Eftermiddagens agenda Arbete med gruppuppgiften 2

3 Gruppuppgiften i eftermiddag Vi har tillgång till datorsal L325 & L3116 och Prototyplabbet Era produkter finns i prototyplab 2 grupper per produkt åt gången 13:15 14:00 Grupp i prototyplab 14:00 14:15 Paus 14:15 15:00 Grupp 1 10 i prototyplab 3

4 Styvhet och vikt: densitet och elasticitetsmodul 4

5 Spänning (Stress) 1 N/m 2 = 1 Pascal (Pa) 10 3 Pa = 1 kpa 10 6 Pa = 1 MPa = 1N/mm Pa = 1 GPa 1 N = tyngden av ett äpple 1 Pa = trycket av ett Papper (100g/m 2 ) Normalspänning Kraften verkar normalt mot ytan Positiv F ger dragning (tension) Negativ F ger kompression (compression) Skjuvspänning Kraften verkar parallellt med ytan Skugggade ytan har skjuvspänning Hydrostatiskt tryck Volymsändring utan formändring Figure 4.3

6 Töjning (Strain) (a) Töjning är relativa ändringen och därför dimensionslös Normaltöjning är positiv vid dragning och negativ vid kompression Figure 4.3

7 Spänning Töjningskurvor Början är i stort sett linjär och är elastisk materialet återgår till ursprunglig form vid avlastning Inom det linjärt elastiska området så är spänningen proportionell mot töjningen E: E-modulen G: skjuvmodulen K: bulkmodulen Figure 4.4

8 Poissons tal, tvärkontraktionstalet Kvoten mellan ändringen av tjockleken och ändringen av längden Kopplar ihop E-modul, skjuvmodul och bulkmodul med varann Poissons tal är mellan -1 och 0,5 0,5 ger ett inkompressibelt material, t.ex. Gummi 0 för kork och 0,3 för metaller

9 Spänning Fri töjning Töjning kan orsakas av mer än spänning Om töjningen då förhindras så uppstår spänningar, t.ex. värmespänningar Figure 4.7

10 Anisotropi Egenskaperna hos de flesta materialen glas, keramer, polymerer och metaller beror inte på riktningen de mäts i Vissa material är dock anisotropa dessa materials egenskaper beror på riktningen Trä och fiberkompositer är mycket starkare längs fiberriktningen än tvärs Metaller blir anisotropa vid bearbetning

11 Vad beror densiteten på? Densiteten beror främst på atomvikten Olika atomer är nästan lika stora Väte: atomradie 78 pm vikt 1 kg/kmol Uran: atomradie 154 pm vikt 238 kg/kmol Kol (diamant): atomradie 77 pm vikt 12 kg/kmol Järn: atomradie 124 pm vikt 56 kg/kmol Metaller är tunga därför att deras atomer väger mycket Polymerer består mest av lätta atomer som kol och väte Storleken på atomerna och hur de packas har också en viss betydelse men inte alls lika stor

12 Packning av atomer De flesta materialen är kristallina de har ett regelbundet mönster Atomer uppträder ofta som om de är hårda och sfäriska Lager A representerar tätpackning det går inte att packa atomer tätare än så här

13 Atomstrukturer är tätpackade i tre dimensioner Hexagonal tätpackad (CPH): ABABAB packningssekvens Kubiskt ytcentrerad (FCC): ABCABC packningssekvens Packningstätheten i CPH och FCC structure 74% Figure 4.10

14 Ej tätpackade strukturer Kubiskt rymdcentrerad (BCC) ABABAB packningssekvens Packningstäthet = 68 % Amorf Struktur Packingstäthet 64 % Figure 4.11 Figure 4.12

15 Enhetsceller Röda linjer definierar cellen och kulorna representerar enskilda atomer Skuggade områden representerar tätast packade plan Figure 4.13

16 Packning av Keramer Figure 4.15 (a) Hexagonal enhetscell med 3 W-C atompar i varje cell (b) Kubisk enhetscell med 4 Si-C atompar i varje cell

17 Packning i Glas Amorf kvarts (kiseldioxid, SiO 2, silica) är grunden i många glas Snabbkylning medger att den amorfa strukturen kvarstår Figure 4.16

18 Packning i Polymerer Figure 4.17 Polymerer har en kol-kol ryggrad med varierande sidogrupper Figure 4.18

19 Figure 4.19 Polymerkedjor binds till varann med svaga van der Waals bindningar Det förekommer även starka kovalenta tvärbindningar

20 Polymerstruktur (a) Inget regelbundet mönster amorf struktur (b) Regioner med kristallina mönster (c) Ett fåtal tvärbindningar typiskt för elastomerer (d) Många tvärbindningar typiskt för härdplaster t.ex. epoxi Figure 4.20

21 Bindningsenergi Atomer hålls samman av bindningar som uppför sig som fjädrar Bindningsenergin är ett mått på fjädersstyrkan Bindningsstyvhet Figure 4.21

22 Bindningsstyvheten bestämmer värdet på E-modulen

23 Paus 15 min 23

24 Styvhetsbaserad design

25 Standardlösningar till Elastiska Problem Tre vanliga lastfall: (a) Dragstång med cirkulärt tvärsnitt utsatt för dragning (b) Balk med rektangulärt tvärsnitt utsatt för böjning (c) Axel med cirkulärt tvärsnintt utsatt för vridning Figure 5.1

26 Elastisk dragning eller kompression Samband mellan last, förlängning och styvhet δ = FL 0 /AE K = F δ = AE/L 0 Formen på tvärsnitt saknar betydelse då spänningen är konstant

27 Styvhet för en balk K = F δ = C 1EI/L 3 Figure 5.3 C1 är det enda värde som beror på lastens fördelning

28 Materialindex för Elastisk Design Översätt Sålla Rangordna Dokumentera

29 Minimera vikten: en lätt och styv stång

30 Målfunktion: Uttryck som beskriver vad som ska maximeras eller minimeras Målet är att minimera vikten under givna begränsningar Begränsning: Tvärsnittsarean A måste vara tillräcklig för att ge en styvhet K K = F δ = AE/L 0

31 Målfunktion Begränsning K = F δ = AE/L 0 Eliminera den fria variabeln A: m= KL 02 r/e K och L o är båda givna; den lättaste stången som ger en styvhet K är den som ger det minsta värdet på ρ/e eller det största värdet på E/ρ M t = E/ρ

32 Minimera vikten: En lätt och styv panel Kravspecification Längden L och bredden b är givna Tjockleken h är fri Utsatt för böjning av en central last F Styvhetskravet är att utböjningen under lasten inte får överstiga δ Målet är att göra panelen så lätt som möjligt

33 Målfunktion: Styvhetsbegränsning: K = F δ = C 1EI/L 3 Tröghetsmomentet:

34 Materialindex: Lätt, styv panel Styvhet K, längd L, och bredd b är givna; tjockleken h är fri Löser vi ut h får vi: Målfunktionen M t som ska maximeras för att ge oss en så lätt panel som möjligt blir M t = E 1/3 /ρ

35 Minimera vikten: En lätt och styv balk

36 Målfunktion: Styvhetsbegränsning och yttröghetsmoment: K = F δ = C 1EI/L 3 Löser vi ut A får vi:

37 Minimera Materialkostnaden Materialindex ändras då målet ändras Målfunktionen för att minimera kostnaden för en dragstång: Med A och L givna, blir målet att minimera C m ρ eller maximera 1/ C m ρ

38 Gränser och index på grafer i CES Sållning: lägg in gränser i grafer Begränsningar kan plottas som horizontella eller vertikala linjer i materialegenskapsgrafer Begränsningar i figuren: E > 10 Gpa Relativ kostnad < 3 Alla material i sökregionen klarar båda begränsningarna Figure 5.9

39 Rangordning: Index i grafer Riktlinjer baseras på materialindex Material på linjen är lika bra Material ovanför linjen är bättre Figure 5.10

40 Figure 5.11 Materialindex för val av en lätt styvpanel är E 1/3 /ρ Ett material med M = 3 ger en panel som har en tiondels vikt mot en med M = 0.3

41 Materialval i CES Tre olika val i CES; CES sållar material som inte klarar begränsningarna och rangordnar sedan materialen med hjälp av materialindex Figure 5.12