Anvisningar till del 2 av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 2007)

Transkript

1 Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber & Nicklas Pettersson Anvisningar till del av den obligatoriska inlämningsuppgiften (HT 007) Den obligatoriska inlämningsuppgiften består av två delar enligt informationen som givits i läsansvisningen för kursen. Detta dokument omfattar andra deluppgiften som skall lämnas senast torsdagen 0 december 007 direkt till övningsläraren eller i postfack på plan 7 (mitt emot hissen). Köp och säljsignaler Eftersom man inte kan förutsäga morgondagens pris studerar förvaltarna istället variationen hos börskursens avkastning. Om variationen för en tidsserie skiftar över tid, d.v.s. om det för vissa perioder är stora svängningar medan det för andra perioder är mindre svängningar, säger man att man har volatilitet. Om vi förutsätter att man inte kan välja investeringsobjekt efter storleken på deras avkastning kan vi i alla fall välja sådan sammansättning på vår portfölj att vi inte tar onödigt stor eller onödigt liten risk. En aktie som varierar mycket medför en större risk än en aktie som varierar lite. Vi skall i denna del försöka beräkna indikationer på när variationen för er aktie från del 1 stiger respektiv sjunker. Om variationen för en aktie ökar eller minskar tillräckligt kraftigt utgör det en säljsignal. Antag att vi sätter som riskmarginal plus/minus 5% av s, där s är roten ur den genomsnittliga variationen s. Vi köper när variationen ligger i intervallet s 0:5s och säljer när variationen ligger utanför detta intervall. Uppgiften består i att lokalisera de tidpunkter (uttryckt i de ursprungliga tidsenheterna) när vi skall sälja respektiv köpa. Följande steg krävs för beräkningarna. 1

2 Dela upp tidsserien r t, ränteintensiteten i del 1, i 400 lika stora, på varandra följande delar, d.v.s. var och en bestående av 3 observationer. r 1 {z r r } 3 r0 r 4 {z r 5 r } 6 r1 r 7 {z r 8 r } 9 :::::r 1198 r {z 1199 r 100 } r r399 Beräkna medelvärdena för varje del r t = 1 3 3t+3 X i=3t+1 r i ; t = 0; 1; ; ::::399 t.ex. r 0 = r 1 + r + r3 3 Vi skall sedan använda dessa medelvärden för att få ett mått på hur spridningen varierar. Till att börja med skall vi beräkna ny grupperade medelvärdena för dessa medelvärden. Dela upp medelvärden i grupper av fyra r 0 r 1 {z r r } 3 r 0 + r 4 r 5 {z r 6 r } 7 r 1 + r 8 r 9 r {z 10 r 11:::: } r + Beräkna medelvärdena för varje del r + m = 1 4 4m+3 X i=4mi r i ; m = 0; 1; ; ::::99 t.ex. r + 0 = r 0 + r 1 + r + r 3 = r 0 + r 1 + r + ::: + r 10 + r Ett mått på variationen i varje grupp om fyra för r m + ges nu av s m = 1 4m+3 X 4 1 i=4m r i r + m ; m = 0; 1; ; ::::99: Använd nu som skattning av den genomsnittliga variansen och skatta med s: s = X99 m=0 s m = s 0 + s 1 + ::: + s

3 Gör ett histogram för dessa omskalade varianser: 3s 0 s ; 3s 1 s ; :::; 3s 99 s ; och rita i ett annat diagram upp täthetsfunktionen för 4 1 frihetsgrader. Skulle man kunna tänka sig att fördelningen med (4 1)s 0 ; (4 1)s 1 ; ; :::; (4 1)s 99 ; var oberoende observationer från en fördelningen med 4 1 frihetsgrader, där är den sanna variansen för tidsserien. Plotta serien p s 0 ; p s 1 ; :::p s 99 ; och ange tidspunkter för köp- och säljsignaler. Välj ut en av dessa tidpunkter m. Testa nu om variationen före denna tidpunkt är signi kant skild från variationen efter m : Gör detta först genom att jämföra 3s 0 + 3s 1 + ::::3s m 1 ~ (m (4 1)) med 3s m + 3s m +1 + ::::3s 99 ~ ((100 m )(4 1)) : Vi skall alltså testa om varianserna är lika före och efter m. Eftersom det kan nnas ytterligare köp- eller säljsignaler före och efter m behöver vi kanske välja två intilliggande perioder på var sin sida av m som var för sig verkar stabila, men som inbördes skiljer sig åt. Låt säga att s u, s u+1,...s m 1, verkar var en stabil period samt att s m, s m +1,...s m +k likaså. Testa om variationen för dessa avsnitt är lika genom att jämföra med 3s u + 3s u+1 + ::::3s m 1 ~ ((m u)(4 1)) 3s m + 3s m +1 + ::::3s m +k ~ ((k+1)(4 1)) : För de båda (dubbelsidiga) testen sätt signi kansnivån till 5% (jämför med principen för test av lika varians som ges i Lee et al. samt de nitionen av F-fördelningen som en kvot mellan två fördelade variabler, var och en dividerad med sina frihetsgrader). 3

4 Regression och utjämning 1. Dela in ursprungliga serien fp t i del 1g i trenddelar och skatta en enkel linjär regressionlinje för respektiv del samt rita punktdiagram som innehåller serien samt de skattade linjerna.. Gör ett punktdiagram som innehåller prisserien fp t g och denna enkelt exponentiellt utjämnad. 3. Gör ett punktdiagram som innehåller prisserien fp t g och denna utjämnad med Holt-Winters metod. 4. Gör förslag på köp/sälj-signaler som kan genereras med hjälp av kombinationer av ovanstående metoder. 4

5 över/minskar under en på förhand given riskmarginal så säljer man denna aktie och köper en annan man viktar om sina portföljer. Din uppgift i denna laboration är att ange när det är dags att köpa respektive sälja din aktie. I föregående laboration har du beräknat volatiliteten för din aktie över samtliga 5 år beteckna det erhållna värdet med. Som riskmarginal tar du plus/minus 5 procent av. D v s du köper när volatiliteten ligger i intervallet 0:5 och säljer när den ligger utanför detta intervall. Din uppgift i denna laboration är att för serien fr t g ange de tidpunkter när du skall sälja respektive köpa med hänsyn tagen till den naturliga statistiska variationen. 1. Skapa en ny ränteserie genom att ta medelvärdet av tre på varandra följande värden 3t+3 1 X r t r i t = 0; 1; ; : : :. 3 i=3t+1 Observera att vi har samma beteckning för den nya serien som den gamla. Vad kan vara förklaringen till att vi gör denna transformation?. Dela in den transformerade serien fr t g i grupper av lämplig storlek k (minst 3 och högst 10) och beräkna den nya serien fy t g där y t är variansen för grupp nummer t av storlek k y t = s t;k = 1 k 1 kt+k X i=kt+1 (r i r t;k ) ; t = 0; 1; ; : : :. 3. Gör histogram för serien fy t g samt en graf över -fördelningen med k 1 frihetsgrader. Jämför graferna! 4. Gör punktdiagram för serien fy t g och ange tidpunkter för köp/sälj-signaler. Testa om f före signal är signi kant skild från e efter signal. Hur stort/litet skall s vara för att vi skall ha en statistiskt säkerställd volatilitet utanför det eftersträvade riskintervallet? Analysera med hjälp av trovärdighetsintervall och/eller hypotesprövningstekniker. 5. Den statistiska rapporten skall följa mallen: 6. Inledning som berättar om data allmänt samt det problem som skall lösas. 7. Modell som anger de statistiska variablerna och vilka antaganden som krävs för att modellen skall vara giltig. 8. Analys (a) Inledning beskriv de statistiska mått som skall användas. (b) Utförande statistisk analys, de statistiska måttens värden, gurer, tabeller mm. 5

6 9. Slutsats beskriver vilka slutsatser som kan dras. Ditt material för laborationen består av börskursen för ditt favoritbolag de senaste 5 åren. Använd endast de 100 sista värdena (förenklar beräknandet). Dessa data skall sedan användas på alla laborationer. Glöm därför ej att spara alla relevanta beräkningar så att ytterligare analyser kan utföras på data. Du hittar ditt bolags kurser via någon av universitetets datorer på Välj i tur och ordning: Biblioteket, Informationssökning, Databaser, Tillgängliga inom SU, A ärsdata. Du skall nu ha kommit till adressen Välj i tur och ordning: Logga in direkt, Börskurser, Välj lista, Klicka på Sök (tar lite tid innan bild visas), Klicka på önskat företagsnamn, Hämta kalkyldata som text till Excel (följ anvisningarna). Bakgrund till teknisk analys Teknisk analys används av olika handlare som stöd för att fatta beslut om köp/sälj av olika värdepapper. Denna laboration kommer endast ge en mycket allmän introduktion. Den som vill fördjupa sig i ämnet kan börja med att studera Achelis, Steven B., Technical analyses from A to Z, McGraw-Hill som är en katalog över kända tekniska analysmetoder. För mer avancerade studierna rekommenderas Tsay, Ruey S., Analysis of nancial time series, Wiley (doktorandnivå). De två första delarna av laborationen studerar stationäritet, normalitet och volatilitet i Tsay:s anda och den tredje och sista laborationen studerar enkla sätt att hantera köp/sälj-signaler i enlighet med Achelis. Beteckningar En akties pris, dag t, betecknar vi med P t vi ansätter modellen P t = min akties pris dag t och för denna gäller i allmänhet att man inte kan göra en prognos för följande dag. För denna aktie gäller att den ger en avkastning om R t där R t = P t P t 1 P t 1. Av olika skäl betraktar man inte den dagliga avkastningen R t utan dess logaritm, den ränteintensiteten, vilken de nieras av r t = ln (1 + R t ) och den kan uttryckas i det logaritmerade priset som r t = ln P t P t 1 = ln P t ln P t 1 = p t p t 1. 6

7 Del 1 För denna del behöver du läsa på följande avsnitt i Lee 3 : Kap 3 Frequency distributions and data analyses, Kap 4 Numerical summary measures, Kap 7.3 The normal distribution samt Kap 9.7 Moments and distributions. Friska även upp minnet om hur man löser integraler i Sydsætter. Din tekniska analys börjar med att undersöka om serien fr t g n t=1 uppfyller vissa stabilitetsvillkor avseende 4 olika statistiska mått väntevärde, varians, skevhet och toppighet. Om serien kan beskrivas med hjälp av en normalfördelning så skall följande gälla: 1. Väntevärdet skall vara konstant.. Standardavvikelsen skall vara konstant. 3. Den normerade skevheten ( 1 ) skall vara Den normerade toppigheten ( ) skall vara 3: För de nitioner av ovanstående mått se Formelsamling för Finansiell Statistik. Din uppgift är att först visa att skevheten är 0 samt att toppigheten är 3 för en standardiserad normalfördelning att beräkna integralerna 3 = E(X ) 3 = 4 = E(X ) 4 = 1 p 1 p Z 1 1 Z 1 1 (x ) 3 e (x ) 4 e (x ) (x ) för att sedan kunna bestämma 1 och. För din börskurs skall du sedan göra följande: 1. Justera data för split, emission.. Gör histogram över ränteintensiteten r t, med inlagd normalfördelningskurva, tolka histogrammet? 3. Beräkna medelvärde, varians, normerad skevhet (skewness) och normerad toppighet (kurtosis) för datamaterialet samt skapa punktdiagram för dessa mått: D v s skapa fyra diagram som innehåller punkterna f(; y ) ; (3; y 3 ) ; (4; y 4 ) ; : : :g dx dx 7

8 där y k y k = r k = 1 k = s k = 1 k y k = ^ 3k s 3 k y k = ^ 4k s 4 k = = kx t=1 r t kx (r t r k ) t=1 1 k 1 k P k t=1 (r t r k ) 3 s 3 k P k t=1 (r t r k ) 4 s 4 k Vad ser du? 4. Skriv och lämna delrapport 1 till övningsläraren. Del Senaste inlämningsdag. För denna del behöver du läsa på följande avsnitt i Lee 3 : Kap 8.6 The central limit theorem, Kap 9.4-5, Kap 10 Estimation and statistical quality control samt Kap 11 Hypothesis testing. Eftersom man inte kan förutsäga morgondagens pris studerar förvaltarna istället variationen hos börskursens avkastning. Om variationen ökar över/minskar under en på förhand given riskmarginal så säljer man denna aktie och köper en annan man viktar om sina portföljer. Din uppgift i denna laboration är att ange när det är dags att köpa respektive sälja din aktie. I föregående laboration har du beräknat volatiliteten för din aktie över samtliga 5 år beteckna det erhållna värdet med. Som riskmarginal tar du plus/minus 5 procent av. D v s du köper när volatiliteten ligger i intervallet 0:5 och säljer när den ligger utanför detta intervall. Din uppgift i denna laboration är att för serien fr t g ange de tidpunkter när du skall sälja respektive köpa med hänsyn tagen till den naturliga statistiska variationen. 1. Skapa en ny ränteserie genom att ta medelvärdet av tre på varandra följande värden 3t+3 1 X r t r i t = 0; 1; ; : : :. 3 i=3t+1 Observera att vi har samma beteckning för den nya serien som den gamla. Vad kan vara förklaringen till att vi gör denna transformation? 8

9 . Dela in den transformerade serien fr t g i grupper av lämplig storlek k (minst 3 och högst 10) och beräkna den nya serien fy t g där y t är variansen för grupp nummer t av storlek k y t = s t;k = 1 k 1 kt+k X i=kt+1 (r i r t;k ) ; t = 0; 1; ; : : :. 3. Gör histogram för serien fy t g samt en graf över -fördelningen med k 1 frihetsgrader. Jämför graferna! 4. Gör punktdiagram för serien fy t g och ange tidpunkter för köp/sälj-signaler. Testa om f före signal är signi kant skild från e efter signal. Hur stort/litet skall s vara för att vi skall ha en statistiskt säkerställd volatilitet utanför det eftersträvade riskintervallet? Analysera med hjälp av trovärdighetsintervall och/eller hypotesprövningstekniker. 5. Skriv och lämna delrapport till övningsläraren. Del 3 Senaste inlämningsdag. För denna del behöver du läsa på följande avsnitt i Lee 3 : Kap 13, Kap 14, Kap 18, samt utdelat material. Analysera den ursprungliga serien fp t g med hjälp av Styckvis enkel linjär regression, Enkel exponentiell utjämning och Holt-Winters utjämningsmodell vid trender: 1. Dela in fp t g i trenddelar och skatta en enkel linjär regressionslinje för respektive del samt rita punktdiagram som innehåller serien samt de skattade linjerna.. Gör ett punktdiagram som innehåller prisserien och denna enkelt exponentiellt utjämnad. 3. Gör ett punktdiagram som innehåller prisserien och denna utjämnad med Holt-Winters metod. 4. Ge förslag på köp/sälj-signaler som kan genereras med hjälp av kombinationer av ovanstående metoder. 5. Skriv och lämna delrapport 3 till övningsläraren. Senaste inlämningsdag. 9

10 Minitabkommandon Här anges de minitabkommandon som behövs för att utföra de tre laborationerna. Många av kommandona kan ersättas med olika menyval men det är upp till laboranten att nna dessa. Laboration del 1 Läs in serien P t i kolumn c1. För att skapa serien r t och lägga denna i c3 gör: MTB > let c = loge (c1) MTB > diff c c3 Därefter standardiseras serien med kommandot MTB > let c4=(c3-mean (c3))/stdev (c3) MTB > let c3=c4 erhålls nu genom kom- Histogram, med normalfördelningskurva, för serien r t mandot x s MTB > hist c3; SUBC > bar; SUBC > distribution; SUBC > normal. För att skapa de fyra punktdiagrammen används kommandot MTB > exec "M:\FINSTAT\start.txt" Nu ställs en fråga om antalet önskade iterationer. Svara med antalet observationer. Studera och fundera gärna över hur de tre lerna start.txt, yttre.txt och inre.txt interagerar med varandra samt vad de gör. 10

11 Laboration del (Köp och säljsignaler) Sen laboration del 1 har vi serien r t i kolumnen c3. Den nya ränteserien läggs i kolumn c5 med hjälp av följande kommandon MTB > set c4 DATA > (1:400)3 DATA > end MTB > stats c3; SUBC > by c4; SUBC > mean c5. Gruppera den nya ränteserien i klasser av storlek k säg k = 4 och lägg variansserien i c7 MTB > set c6 DATA > (1:100)4 DATA > end MTB > stats c5; SUBC > by c6; SUBC > variance c7. Ett observerat värde på testvariabeln = let c8=3*c7/mean(c7) (n 1)S erhålls med kommandot Histogrammet skapas med kommandona MTB > hist c8; SUBC > percent; SUBC > NInterval 5. 11

12 -kurvan skapas med kommandona MTB > set c9 DATA > (1:50)1 DATA > end MTB > PDF c9 c10; SUBC > Chisquare 3. MTB > tsplot c10 Ett punktdiagram över serien av standardavvikelser erhålls med kommandona MTB > tsplot c7; SUBC > symbol; SUBC > type 0; SUBC > connect. 1

13 Laboration del (Regression och utjämning) Dela upp din börskurs i delar där en linjär trend kan anses föreligga. För varje sådan del gör MTB > trend c11; SUBC > fits c1. Denna kod förutsätter att c11 innehåller den aktuella delen av börskursen som skall skattas med en linje. Kolumnen c1 kommer att innehålla den skattade linjen. Klipp ihop trenddelarna och rita dem i samma diagram som börskursen. Koden nedan förutsätter att börskursen ligger i c1 och de ihopklippta trendvärdena i c0. MTB > tsplot c1 c0; SUBC > symbol; SUBC > type 0; SUBC > connect; SUBC > overlay. För att göra en enkel exponentiell utjämning används kommandot MTB > ses c1; SUBC > weight 0,; SUBC > initial 6; SUBC > smoothed c1. För att göra en dubbel exponentiell utjämning (enligt Holt) används kommandot MTB > des c1; SUBC > weight 0,1 0,; 13

14 SUBC > initial 6; SUBC > smoothed c. Här har vi valt = 0:1 och = 0:. Talet 6 är startvärdet. Ett tidsseriediagram innehållande den ursprungliga serien P t och de båda utjämnade serierna skapas genom MTB > tsplot c1 c1 c; SUBC > overlay. 14