Matematisk kreativitet

Transkript

1 Fakulteten för teknik- och naturvetenskap (Matematik) Jörgen Eriksson Matematisk kreativitet Mathematical Creativity Examensarbete 15 hp Lärarprogrammet Datum: Handledare: Sorina Barza Karlstads universitet Karlstad Tfn Fax

2 Abstract The purpose with this study was to examinate how to measure mathematical creativity in different ways and compare the mathematical creativity between different ages and sex. 142 students between 11 and 16 years old took two tests, test A and test B. The results from test A showed that the students were not so good in overcoming fixation. In this test the boys showed better results than the girls. Test B measured divergent thinking and the students who were years old showed better results than the others in this test. This study indicates that it is important that there is variation in the mathematical education and that it is good for the students to investigate different ways of thinking. In test A there seemed to be a group of students who did not dare to change strategis when it was necessary. They rather used an earlier, much practiced strategi though it was not the most effective one. In both tests the students who were years old showed less mathematical creativity than the other student in this test. Keywords: creativity, fixation, divergent thinking and open-ended problems. Sammanfattning Syftet med denna studie var att undersöka hur man kan mäta matematisk kreativitet på olika sätt och att jämföra den matematiska kreativiteten mellan olika åldrar och mellan könen. 142 elever från åk 6, åk 8 och åk 1 i gymnasiet gjorde två test, test A och test B. Resultaten från test A visade att eleverna i stor omfattning saknar den kreativitet som behövs för att inte fortsätta att använda samma strategi när den inte är optimal längre. I detta test visade pojkarna bättre resultat än flickorna. När det i test B gällde att komma på många rätta lösningar var det deltagarna från åk 8 som visade större kreativitet än de övriga deltagarna i detta test. Studien antyder att det är viktigt att eleverna får en varierad matematikundervisning där de provar olika sätt att tänka. I test A verkar det finnas en grupp deltagare som inte vågar bryta en etablerad strategi utan de återgår hellre till att använda en intränad strategi även om den inte är den bästa. Deltagarna från åk 6 visade minst matematisk kreativitet i de båda testen i jämförelse med de andra två årskurserna. Nyckelord: kreativitet, fixering, divergent tänkande, öppna uppgifter.

3 Innehållsförteckning Inledning...1 Syfte... 1 Bakgrund... 2 Kreativitet... 2 Matematisk kreativitet... 3 Att övervinna fixering... 3 Set... 4 De kritiska uppgifterna... 4 Vattenhinkstestet... 5 Delningstestet... 7 Divergent tänkande... 8 Flöde... 9 Flexibilitet... 9 Originalitet... 9 Exempel på öppna uppgifter... 9 Frågeställning Metod Urval Datainsamlingsmetoder Procedur Test A, Vattenhinkstestet Test B, 2 cm Databearbetning Resultat Hur fördelar sig studiens deltagare mellan könen och mellan olika åldrar? Test A Hur har deltagarna svarat på de sex uppgifterna i test A? Gruppindelning efter deltagarnas svar på de kritiska uppgifterna Fördelning mellan könen och mellan olika åldrar i de fyra grupperna Hur de fyra grupperna har svarat på de sex uppgifterna Hur fördelar sig deltagarnas svar på uppgift 5 och 6 utifrån antal rätt på uppgift 1-4?... 18

4 Test B Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter flöde Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter flexibilitet Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter originalitet Jämförelse mellan test A och B Diskussion Summering Matematisk kreativitet Fixering i test A Kön Ålder Återgång till intränade metoder Divergent tänkande i test B Jämförelse mellan test A och B Hållbarhet Konsekvenser Källförteckning Litteratur... 28

5 Inledning Per kastade fem pilar på en femringad tavla. Han fick 15 poäng. Var satt hans pilar? När jag såg den här uppgiften kändes det riktigt bra. Den måste vara både rolig och nyttig för eleverna att arbeta med. Istället för att eleverna arbetar med många uppgifter som t.ex: Anna kastade pil och fick en 5:a, två 4:or, en 2:a och en bom. Hur många poäng fick Anna? I första uppgiften finns många olika lösningar och det kan t. o. m. finnas förklaringar till t.ex. varför Per bara fick en 1:a i tredje kastet. Kom det en vindpust, blev han distraherad av en fågel som flög förbi, var det en mygga som bet honom precis när han skulle kasta eller var pilen lite trasig? Alla dessa funderingar kring uppgiften känns också viktiga eftersom de levandegör och konkretiserar innehållet. Var satt pilarna om han bara träffade udda siffror eller jämna siffror? Oj, han kan inte få 15 om han bara träffar jämna siffror. Varför? Går det att hitta en regel? Alla pilar som sitter på undre halvan av tavlan ger dubbelt så många poäng. Var satt hans pilar om han fick 25 poäng? En pil kanske var så trasig att den inte gick att använda. Hur många poäng fick han när han kastade med fyra pilar? Hur var det resultatet i jämförelse med det första när han hade fem pilar? Var det bättre, sämre eller lika bra? Vad blir medelpoängen? När han kastade på den större tavlan med gradering från 1-10 fick han 49 poäng. Var satt hans pilar? Om de 2 röda pilarna ger dubbelt så mycket som siffran på tavlan visar och de 3 gula tredubbelt, var satt pilarna då när han kastade på den tiogradiga tavlan och fick 49 poäng? Beroende på elevernas förkunskaper går det att utöka uppgiften och variera svårighetsgraden. Eleverna kan också tillverka egna uppgifter som de ger till sina klasskamrater eller till någon där hemma. Detta arbetssätt där eleverna utför handlingar som innebär skapande är kreativt arbete (Nationalencyklopedin, 2005) och skapande arbete och lek är väsentliga delar i det aktiva lärandet (Skolverket, 1994, s. 5). Det behövs också sätt att bedöma och uppmuntra elevers skapande och kreativa arbete. Syfte När jag läste resultaten från Imai s (2000) studie fick jag idén att göra en studie som mäter matematisk kreativitet. Hans studie behandlade olika sätt att mäta matematisk kreativitet och litteraturen han hänvisade till verkade intressant. Jag valde att ta med fler åldersgrupper i min studie för att kunna jämföra resultaten mellan olika åldrar och dessutom gör jag en jämförelse mellan könen. Därför är syftet med detta arbete att försöka mäta och analysera elevernas 1

6 matematiska kreativitet och att jämföra den matematiska kreativiteten mellan olika åldrar och mellan könen. Bakgrund Kreativitet Variation och kreativitet är nyckelord för att öka intresset för matematik skriver Matematikdelegationen i sitt betänkande Detta står i kontrast till den växande trenden av tyst räkning som är skadlig i svensk skola (Utbildningsdepartementet, 2004). Enligt forskning i Finland behöver skolan arbeta med två områden för att utveckla barnhjärnan på bästa sätt: kunskapsinlärning och kreativ förmåga (Bergström, 2010). Vad är kreativitet och hur kan man mäta den bland elever? Kreativ är den som har förmågan att komma med nya idéer och förverkliga dem. Att utföra handlingar som innebär skapande är att vara kreativ (Nationalencyklopedin, 2005). En beskrivning av hur man behandlar kreativa uppgifter är den i fyra steg av Poincaré (1952) och Hadamard (1954). I det första steget, förberedelsen, gör man sig bekant med uppgiften. Nästa steg är inkubationsdelen där man låter hjärnan arbeta med uppgiften och i steg tre, illumination, har man nått en insikt om hur uppgiften kan lösas. Det avslutande steget innehåller verifikation, där man får bekräftelse på att lösningen är korrekt (Haylock, 1997). Ofta krävs oväntade eller ovanliga vägar från inkubationen till illuminationen och det är de som inte klarar detta som har tankarna fixerade vid otillräckliga metoder. En viktig och kanske den mest betydande komponenten i kreativitet enligt Kiesswetter, är flexibilitet (Pehkonen, 1997). Att vara flexibel när man löser uppgifter är en typ av inlärt beteende. Elever som har blivit exponerade för en variation av uppgifter har en bättre förmåga till smidigare övergångar till nya uppgifter än de som blivit drillade med liknande uppgifter (Cunningham, 1966). Det finns ingen enhetlig definition på vad kreativitet är. Nästan varje forskare lägger fram sin egen version. Matti Bergström beskriver kreativitet som ett framförande där individen producerar något nytt och oväntat (Pehkonen, 1997). Cropley beskriver ett speciellt tänkande inom kreativt arbete som kallas divergent tänkande och definierar detta som kapaciteten att få nya idéer, speciellt originella, uppmärksammade och ovanliga idéer. (Haylock, 1997). Mer om detta under rubriken Divergent tänkande, sidan 8. 2

7 Matematisk kreativitet Med denna bakgrund är det lätt att förstå att det heller inte finns någon tydlig och enhetlig definition på matematisk kreativitet. I ERIC s databas i mars 1985 fanns 4732 artiklar som refererade till kreativa ämnesområden men bara en handfull av dessa tog upp matematik (Haylock, 1987). I en jämförelse mellan 16 författare som behandlar kreativitet inom matematik och vad de anser karakteriserar en kreativ person var de mest överens om att existerande kunskap ligger till grund för nya idéer (Sternberg, 1988, s. 433). Några författare menar att kreativitet bara innehas av speciella individer som t. ex. W. A. Mozart eller A. Einstein medan andra menar att den är tillgänglig för alla (Sternberg, 1988). Det som i fortsättningen är skrivet i detta arbete utgår från att kreativitet är något som alla har och som går att utveckla hos varje individ. I flera undersökningar visar det sig att det går att förbättra elevers matematiska kreativitet genom ett anpassat träningsprogram (Haylock, 1987). En definition som ofta nämns (Imai, 2000; Kandemir, 2007; Lee, 2003; Kwon, 2006; Pehkonen, 1997) är den av Haylock (1987) där han beskriver två komponenter inom matematisk kreativitet. En, där det gäller att komma över ett tänkande som är fixerat kring ett speciellt sätt att lösa uppgifter och en som visar variation i lösningarna kring en öppen uppgift. När dessa bearbetas i fortsättningen av detta arbete kommer de att benämnas att övervinna fixering och att arbeta med divergent tänkande. Att övervinna fixering Fixering när man ska lösa uppgifter inom matematiken är motsatsen till flexibilitet, huvudingrediensen i kreativt tänkande (Haylock, 1987). Bland det viktigaste när man ska lösa matematikuppgifter är att övervinna fixering. Det innebär förmågan att kunna bryta sig loss från invanda mönster, strategier, algoritmer och mentala set, se sidan 4. En person som vet allt den behöver veta för att lösa en uppgift klarar den ändå inte. Kanske för att den personen inte kan tänka i nya banor eller är inställd på att resonera på samma sätt som tidigare. Många matematiklärare har säkert upplevt att elever envist håller fast vid icke ändamålsenliga metoder och algoritmer när de ska lösa uppgifter och de använder inte sin kreativitet. Haylock (1997) nämner två slags fixering, självbegränsande fixering och algoritmisk fixering. I den första använder den som ska lösa uppgiften ett otillräckligt antal element eller strategier som är kopplade till uppgiften för att lösa den. Det gäller för problemlösaren att bli medveten om att det finns fler möjligheter än de som från början dyker upp i huvudet. Algoritmisk fixering är när eleven konsekvent använder sig av samma algoritm även när den är oändamålsenlig och allt annat än optimal. Det kan vara algoritmer som eleven kan sedan tidigare men det kan också vara de 3

8 som eleven utvecklar under sitt arbete med uppgifter (Haylock, 1997). Denna algoritmiska fixering kommer att beskrivas mer detaljerat under rubrikerna Set och Vattenhinkstestet. Elevens kunskapsnivå begränsar möjligheterna att övervinna fixering men är inte avgörande. Lågpresterande elever har inte tillräckligt med kunskap för att tänka kreativt men bland de högpresterande finns en signifikant andel elever som visar mycket liten förmåga att tänka flexibelt (Haylock, 1997). Set Uppgifter som kan lösas på samma sätt sägs tillhöra ett set. Dessa uppgifter får snabbt deltagaren att utföra en ny handling och tillgodogöra sig en ny metod som fungerar i hela setet. Efter att ha arbetat med uppgifter i ett set är det viktigt att tänka flexibelt och klara de kommande uppgifter som liknar de i setet men som kräver andra strategier eller metoder. De sistnämnda uppgifterna brukar kallas de kritiska uppgifterna (se nedan). Ett set kan ögonblickligen omdisponera en organism till att använda en ny typ av medveten handling. I A. S. Luchins fundamental verk beskrivs denna inställning som Einstellung, d. v. s. vanan att fortsätta att försöka använda samma beteende, procedur eller metod (Luchins, 1942). English beskriver Einstellung som en relativt stel och enkel attityd vid omdisponeringar (Cunningham, 1966). Färdighetsträning och så kallad drillning som många elever får erfara i skolan kan bidra till att de utvecklar ett fixerat beteende och får svårt att bryta ett set (Luchins, 1942). Med utgångspunkt från detta genomförde Kellmer-Pringle (1965) en studie som jämförde resultaten mellan åringar i en modern, progressiv skola och i en traditionell skola med hjälp av Luchins Vattenhinkstest. På det hela taget kunde inte hypotesen att undervisningssätten kunde inverka på elevernas fixering visas. Ingen markant skillnad kunde ses mellan de två skolorna eller mellan könen vad det gäller förmågan att övervinna fixering. Den enda tydliga indikationen som denna studie kunde visa var att de lågpresterande eleverna i den progressiva skolan visade mindre fixering än de i den traditionella. De kritiska uppgifterna Efter att ha utfört ett set får deltagarna uppgifter som kan lösas på samma sätt som i setet men de nya, kritiska, uppgifterna har även enklare och mera direkta lösningar. Genom att studera svaren bland de kritiska uppgifterna går det att utläsa vilka deltagare som övervunnit fixering och vilka som visar fixering. De som visar fixering fortsätter att använda samma strategi, 4

9 metod, lösning eller algoritm bland de kritiska uppgifterna fast de inte är optimala (Luchins, 1942). Ett exempel på ett sådant test är Vattenhinkstestet. Vattenhinkstestet I Luchins (1942) stora verk Mechanization in problem solving görs många undersökningar utifrån Vattenhinkstestet. Detta test utvecklades av Zener och Duncker i Berlin och innehöll då fem uppgifter i ett set och de två följande uppgifterna var de kritiska uppgifterna. Av teoretiska och praktiska skäl lade Luckins till uppgifterna 1, 9, 10 och 11, där uppgift 10 och 11 också är kritiska uppgifter, se tabell 1. Tabell 1. Uppgifter i Vattenhinkstestet utförda av A. S. Luchins Uppgift Gemensam genomgång Dessa uppgifter har samma lösning som uppgift 2; B-A-2C. Givna enheter i hinkarna A B C Mät ut följande enhet Svar A-3B B-A-2C B-A-2C B-A-2C B-A-2C B-A-2C A-C A+C Kritiska uppgifter Gemensam A-C genomgång 10 Kritiska uppgifter A+C A-C Svaret B-A- 2C B-A-2C B-A-2C B-A-2C B-A-2C Undersökningen började med att provledaren gick igenom uppgift 1. Deltagarna ombads hitta den bästa lösningen på uppgiften och den skrevs sedan upp på tavlan, se bild A B C Bild 1. Mät ut 20 enheter. Bild 2. Mät ut 100 enheter. Bild 3. Svarsalternativet B-A-2C. Sedan skrevs uppgift två upp på tavlan. Efter 2,5 minuter tillfrågades deltagarna om sina lösningar. Svaret presenterades i både ord och bild, se bild 2; man fyller i 127-enhetshinken och från den häller man i 21-enhetshinken en gång och 3-enhetshinken två gånger. I 127-5

10 enhetshinken finns nu 100 enheter kvar. Efter detta fortsatte undersökningen med att uppgifterna skrevs upp på tavlan i tur och ordning och personerna fick 2,5 minuter på sig att lösa var och en av dem. Lösningen till uppgift 2-6 kan beskrivas som fyll den mittersta hinken full och häll sedan från den i hinken till vänster en gång och hinken till höger två gånger. Detta kan skrivas som B-A-2C om vi bestämmer att hinkarna från vänster till höger heter A, B och C, se bild 3. Denna lösning kan även användas i de kritiska uppgifterna 7 och 8 men dessa kan lösas på ett enklare sätt. Uppgift 7 med lösningen A-C och uppgift 8 med A+C. När deltagarna som fortsatte använda svaret B-A-2C i uppgifterna 7, 8, 10 och 11 efter undersökningen fick reda på de enklare lösningarna sa många spontant att de hade gjort bort sig. I en av Luchins undersökningar deltog st åringar. I den ordinarie gruppen gjorde alla deltagare alla uppgifter medan de 898 deltagare som ingick i en kontrollgrupp bara gjorde uppgift 1, och I den ordinarie gruppen hade 23% övervunnit fixeringen medan 72% visade fixering i de kritiska uppgifterna 7 och 8. I de två sista kritiska uppgifterna tillhörde 70% de som visade fixering och 26% hade övervunnit fixeringen. I kontrollgruppen svarade 1% av deltagarna B-A-2C på de första två kritiska uppgifterna och 0% av dem på de sista två. När det gällde att räkna flexibelt var resultatet 86% på uppgift 7 och 8 och 92% på uppgift 10 och 11. Bara 8 deltagare i kontrollgruppen svarade B-A-2C i uppgift 7 och 8. Det står klart att det är viktigt att i matematikundervisningen använda varierade uppgifter och att vara vaksam på om eleverna visar fixering eller inte. När åringar fick tio istället för fem uppgifter i ett set ökade deras fixering till 100% på de första två kritiska uppgifterna och till 99% på de sista två. För att minska fixeringseffekten gjordes först undersökningen som vanligt och sedan följde en diskussion och förklaringar till de två sätten att lösa de kritiska uppgifterna. När sedan samma undersökning gjordes igen var fixeringen 0%. Om deltagarna fick vänta c:a en månad mellan den första och den andra undersökningen ökade fixeringen till 10%. Om man i den andra undersökningen lade in tidbegränsningar eller ökade antalet uppgifter i setet, ökade fixeringen igen (Luchins, 1942). Haylock (1984) gjorde en modifiering av Luchins (1942) Vattenhinkstest så att setet innehåller fyra uppgifter och de följs av två kritiska uppgifter, se tabell 2 på sidan 7. Innan deltagarna skulle lösa de sex uppgifterna presenterade provledaren ett exempel som gicks igenom. Haylock (1984) ville undersöka den algoritmiska fixeringen och studera elevernas förmåga att övervinna fixering och visa kreativitet. Samma test har sedan används flera gånger av t. ex. Imai (2000) och Kandemir (2007). De kritiska uppgifterna kan ha lösningen B-A-2C, samma lösning som till uppgifterna i setet, men de har enklare lösningar. Uppgift 5 har lösningen A-C och 6

11 uppgift 6 den triviala lösningen C. I Haylock s (1984) undersökning var det så stor andel som 55,6% av deltagarna, åringar, som använde samma svar, B-A-2C, till alla de sex uppgifterna. Om man även räknade med dem som visade en mindre grad av algoritmisk fixering blev det så många som 70,8% som fortsatte att använda en felaktig lösning i uppgifterna 5 och 6. De som lyckades övervinna fixeringen var 10,8%. Av dessa var 22,2% flickor och 77,8% pojkar. Tabell 2. Uppgifter i en undersökning av D. Haylock, Uppgift Övningsexempel Gemensam genomgång Uppgifter i ett set Kritiska uppgifter Givna enheter i hinkarna Mät ut Rätt svar A B C B-A+C B-A-2C B-A-2C B-A-2C B-A-2C A-C C Svaret B-A- 2C B-A-2C B-A-2C Förvånande var att 9,6% av deltagarna lyckades med uppgift 5 men återgick sedan till svaret från setet i uppgift 6. Detta är ett typiskt beteende bland elever på matematiklektioner. De verkar nöjda med att behärska en algoritm och sedan använda den för att finna lösningar. Att aktivt söka alternativ, att ta risker och att hitta nya strategier verkar stå i konflikt med elevens erfarenheter av vad de brukar göra för att lyckas under lektionerna (Haylock, 1984). Delningstestet En annan undersökning som studerar algoritmisk fixering är Delningstestet. Till skillnad från den numeriska förmågan som undersöks i Vattenhinkstestet riktar Delningstestet mer in sig på den spatiala förmågan. Deltagarna ska utgå från en rektangel och dela den med så få raka streck som möjligt för att få en given mängd lika stora delar. I ett exempel får deltagarna se att man dela rektangeln med ett lodrätt streck för att få 2 lika stora delar. Sedan ska deltagarna dela rektangeln i 3, 5, 7, och 9 delar. Det går att få 9 delar genom att använda samma strategi som i de övriga uppgifterna och dra 8 streck, se bild 4(a) men det finns en enklare lösning där man bara behöver använda 4 streck, se bild 4(b). Bild 4(a). 9 lika stora delar. Bild 4(b). 9 lika stora delar med bara 4 streck. 7

12 I Haylocks (1984) undersökning med åringar var det 95,5% av deltagarna som svarade med Figur 4(a) när de skulle göra 9 st. lika stora delar. Bara 2 st. pojkar av 245 deltagare lyckades lösa den uppgiften med Figur 4(b). Divergent tänkande Det som hittills beskrivits när det gäller att mäta matematisk kreativitet är förmågan att överfinna algoritmisk fixering. Det andra sättet som ofta nämns i samband med matematisk kreativitet är förmågan till divergent tänkande (Imai, 2000; Kandemir, 2007; Lee, 2003; Kwon, 2006; Pehkonen, 1997; Haylock, 1987). Detta tänkande är motsatsen till konvergent tänkande och innebär en förmåga att i problemlösningar välja vägar som avviker från de konventionella (Nationalencyklopedin, 2005). Vill man mäta förmågan att tänka kreativt och divergent kan man använda öppna uppgifter (Lee, 2003). Dessa uppgifter har en nära koppling till kreativitet (Pehkonen, 1997). Det gäller att bryta det invanda mönstret där kunskapen levereras från läraren till eleven i en slag konventionell lärarorienterad undervisning och där det till de flesta uppgifter bara finns ett rätt svar. Om ett av målen med matematikundervisningen är att förverkliga varje individs potential inom matematisk kreativitet borde den fokusera på att utveckla det kreativa tänkandet hos varje elev. Det gäller att undvika traditionella undervisningsmetoder där eleverna memorerar existerande matematiska regler och sedan med stor skicklighet finner det enda exklusiva svaret. Det är vanligt att matematikuppgifter i grundskolan bara har en lösning, enligt Pehkonen så kallade stängda uppgifter. Eftersom dessa inte uppmuntrar eleven att tänka flexibelt bör ett nytt upplägg presenteras som får dem att reagera positivt på och delta aktivt i lärandeprocessen (Kwon, 2006). I provsituationer behöver vi komma bort från de nakna uppgifterna som endast har rätt eller fel svar och även använda öppna uppgifter som har många svar som är rätt (Emanuelsson, 1998). Vi kan, genom att studera elevers svar på öppna uppgifter få viktiga verktyg som kan mäta deras matematiska kreativitet (Lee, 2003; Silver, 1997; Imai, 2000). För att få en likartad bedömning finns det dock en risk att eleverna blir hårt styrda genom dessa öppnare uppgifter (Emanuelsson, 1998). Öppna uppgifter Metoden att i undervisningen använda öppna uppgifter som har många rätta svar utvecklades av Shimada i Japan under 70-talet och kallas open-approach -metoden (Pehkonen, 1997). Ungefär 8

13 samtidigt, i slutet på 70-talet, var det populärt i England att göra undersökningar med öppna uppgifter. Under 80-talet spred sig idéerna om att använda liknade uppgifter i matematikundervisningen över hela världen. Flera studier: Kwon, (1999), Min, (1999), Byun, (2001) och Moon (2002) behandlar släktskapet mellan matematisk kreativitet och öppna uppgifter och de hänvisar till betydelsen av öppna uppgifter för att undersöka förmågan att lösa kreativa uppgifter (Lee, 2003). För att kunna identifiera dessa uppgifter tycker Nodha (1995) att de borde ges två förutsättningar (Kwon, 2006). För det första borde de passa varje elevs förutsättningar och matematiska kunnande. För det andra borde de kunna generera nya uppgifter och tillåta olika lösningar som passar på fler kunskapsnivåer och där lösningarna kan innehålla olika matematiska uttryck (Kwon, 2006). Divergent tänkande som är en avgörande del i matematisk kreativitet kan delas in i områdena flöde, flexibilitet och originalitet enligt Evans, Zosa, Balka, Kim, Song (Lee,2003) (Kwon, 2006). Genom att använda öppna uppgifter kan man mäta förmågan inom varje av dessa tre områden. Längre ner på sidan och på nästa sida finns exempel på öppna uppgifter. Flöde Deltagarna uppmanas att producera så många lösningar eller påståenden de kan under en given tidsperiod. Flexibilitet Deltagaren visar olika metoder och idéer för att lösa uppgiften. Uppgiftens svarsalternativ delas in i kategorier och deltagarna får poäng efter i hur många kategorier de har minst ett svar. Originalitet Hur ovanliga och originella är svaren som deltagaren givit? Deltagarna uppmanas att komma på svar som de tror att ingen annan kommit på. Alla svar rangordnas efter hur ofta de förekommer och de svar som är minst förekommande för högre poäng. Deltagarens svar summeras (Imai, 2000; Kwon, 2006; Lee, 2003; Haylock, 1984; Haylock, 1987; Haylock, 1997; Kandemir, 2007). Exempel på öppna uppgifter 1. Följande uppgift har A. J. Bishop gjort: Om du vet att (p+q)(r+s)=36, vilka olika värden kan p,q,r och s ha (Haylock, 1987)? 2. Skriv ner påståenden som beskriver vad 16 och 36 har gemensamt (Haylock,1987). 9

14 3. Gör med hjälp av talen {3,21,2,10} och tecknen för addition, subtraktion, multiplikation och division kombinationer som är lika med 17 (Haylock, 1987). 4. Skriv påståenden som du kan utläsa ur figuren, se bild 5. (Imai, 2000) 5. Gör figurer som har arean 2 cm 2 genom att dra raka streck mellan några av punkterna i en kvadrat. Bild 6 visar en figur som har arean 1 cm 2 (Haylock, 1984). A B F C E D Bild 5. Bild 6. 1 cm 2. Frågeställning När Matematikdelegationen skriver att kreativitet är viktigt för att öka matematikintresset (Utbildningsdepartementet, 2004) bör denna kreativitet kunna mätas. Utifrån exempel som beskrivs i Bakgrund har jag genomfört två tester som mäter matematisk kreativitet på olika sätt. Testerna visar också hur den matematiska kreativiteten varierar mellan könen och mellan olika åldrar. Hur kan matematisk kreativitet mätas? Hur varierar den matematiska kreativiteten mellan könen och mellan olika åldrar? 10

15 Metod Urval Deltagarna i denna studie kommer från grundskolan och gymnasieskolan, totalt 6 klasser och 142 elever. I grundskolan gick deltagarna i åk 6 (11-12-åringar) och åk 8 (13-14-åringar) och deltagarna från gymnasiet gick i åk 1 (15-16-åringar) på Samhällsprogrammet. Från varje årskurs tilltog 2 klasser och det var 48 elever från åk 6, 46 elever från åk 8, och 48 elever från gymnasiet. Förutom att ta hänsyn till att de var ungefär lika många deltagare från varje årskurs togs även hänsyn till att få en jämn fördelning mellan flickor och pojkar. Antalet flickor i studien är 75 st. och antalet pojkar är 67 st. Från åk 6 deltog 28 flickor och 20 pojkar, från åk 8 deltog 21 flickor och 25 pojkar och från åk 1 i gymnasiet deltog 26 flickor och 22 pojkar. Datainsamlingsmetoder För att mäta matematisk kreativitet genomfördes två test som kallas test A och test B. Alla deltagare gjorde båda testen. Det första testet, test A, mäter förmågan att övervinna algoritmisk fixering och det andra testet, test B, mäter förmågan till divergent tänkande. I test B mäts deltagarnas divergenta tänkande inom områdena: flöde, flexibilitet och originalitet. I båda testen jämförs den matematiska kreativiteten mellan könen och mellan olika åldersgrupper. I test A ska alla svara på 6 uppgifter i det s. k. Vattenhinkstestet som det användes av Haylock (1984), Imai (2001) och Kandemir (2007), se bilaga 1. Test B, 2 cm 2, innehåller en öppen uppgift där det gäller att komma på många olika figurer som har arean 2 cm 2 genom att dra raka streck mellan några av de nio punkterna i en kvadrat, se exempel 5 på sidan 10 och bilaga 2. Procedur Tid och plats för testen bestämdes med respektive lärare. Det var inte alltid den lärare som hade matematik med klassen som tillfrågades och testen genomfördes inte alltid på en matematiklektion. Testen genomfördes i helklass. Deltagarna informerades om att resultaten från årskurs 6, årskurs 8 och årskurs 1 i gymnasiet skulle jämföras. Test A, Vattenhinkstestet Deltagarna informerades om att testet ska göras individuellt. Ett övningsexempel till test A gicks igenom på tavlan. Tre olika stora hinkar ritades på tavlan. Under den första hinken skrevs det Hink A och 10 enheter, under den andra skrevs det Hink B och 63 enheter och under den tredje hinken skrevs det Hink C och 2 enheter, se bild 7. Deltagarna informerades om att det finns tre 11

16 hinkar, A, B och C och det gäller att hitta det bästa sättet att få en given mängd genom att använda de tre hinkarna och det finns bara ett rätt svar. Mät ut 55 enheter. Under tystnad ombads deltagarna att fundera på uppgiften och under tiden delades mapparna ut. De innehöll ett gult papper med test A, Vattenhinkstestet, se bilaga 1, och ett vitt papper med test B, 2 cm 2. De fick inte ta något ur mappen förrän de blev tillsagda. Under genomgången av övningsexemplet till test A fick deltagarna ställa frågor och komma med förslag på hur man kan lösa uppgiften. Det bästa svaret är =55 eller om man skriver det med hinkarnas namn, B A+C. Provledaren visade med gester hur man häller i och ur hinkarna för att få rätt antal enheter. Innan de fick börja med de sex uppgifterna fick de instruktionerna, man behöver inte använda alla hinkar, en hink får användas flera gånger och det går bra att skriva svaren med siffror istället för bokstäver. Hink A Hink B Hink C 10 enheter 63 enheter 2 enheter Bild 7. Tre olika stora hinkar som heter A, B och C och hur många enheter det är i varje hink. Sedan fick de ta fram det gula pappret ur mappen och de fick 9 minuter på sig att göra de sex uppgifterna. Exemplet ovan stod överst på det gula pappret, se bilaga 1. Under provtiden fick deltagarna ingen hjälp. De som tänkte högt, störde eller pratade med varandra uppmanades direkt att vara tysta. Deltagarna fick reda på när det var en minut kvar. När tiden var ute lade de sitt papper i mappen. Test B, 2 cm 2 Test B inleddes med att de nio punkterna ritades på tavlan och deltagarna informerades om att det är 1 cm mellan två vågräta prickar och 1 cm mellan två lodräta prickar, se bild 8a. 1 cm 1 cm Bild 8a. Nio punkter i en kvadrat. Bild 8b. 1 cm 2. Bild 8c. Ej tillåten figur. 12

17 Deltagarna fick se ett exempel på en figur som har arean 1 cm 2, se bild 8b. Deltagarna uppmanades att genom att binda ihop punkter med några raka streck göra så många figurer som möjligt med arean 2 cm 2, alltså dubbelt så stora som figuren med arean 1 cm 2. På tavlan visades ett exempel på en figur som inte är tillåten, se bild 8c. Innan deltagarna fick ta fram de vita pappret informerades de om att det gäller att vara finurlig och påhittig och att man får dra diagonala raka streck mellan punkter. Det är tillåtet att utgå från en figur och sedan vända den för att få en ny figur. Deltagarna fick 9 minuter på sig att göra sina figurer. Efter c:a 2 minuter gick provledaren runt till alla deltagarna och pekade på en figur som de hade gjort rätt. De fick veta när det var en minut kvar. När provtiden var slut fick alla en liten stund på sig att fylla i uppgifter om kön och årskurs som fanns på baksidan av de vita pappret. Sedan lades pappret i mappen. Mapparna samlades in. Databearbetning För att i test A kunna mäta vilka som övervunnit fixering och vilka som inte gjort det delades deltagarna in i fyra grupper, Grupp 1, Grupp 2, Grupp 3 och Grupp 4. Det viktiga i test A är både att deltagarna har många rätt på de första fyra uppgifterna för att de ska anses ha anammat ett set och att de antingen angett den enklaste lösningen på både uppgift fem och sex (de tillhör Grupp 1) eller att de angett svaret B-A-2C på dessa två uppgifter (de tillhör Grupp 2). Deltagare som angett den enklaste lösningen på en av uppgifterna 5 och 6 tillhör Grupp 3 och de som inte uppfyller något av kriterierna för de första tre grupperna tillhör Grupp 4. Till respektive grupp redovisas en fördelning mellan könen och mellan olika åldrar. I test B mättes deltagarnas kreativitet genom att granska flöde, flexibilitet och originalitet. Flödet mättes genom att räkna antalet rätt figurer som en deltagare gjort. För att mäta flexibiliteten delades figurerna in i kategorier. De figurer som har samma form men som kan vridas och spegelvändas åt olika håll ingår i samma kategori (se bild 10, sidan 19). Sammanlagt blev det 18 kategorier. Flexibiliteten mättes genom att se i hur många kategorier deltagarna hade minst en figur. När figurerna hade rangordnats efter hur ofta de förekom i test B gjordes en indelning där de vanligast förekommande figurerna fick låga poäng och de som var mer sällsynta fick höga poäng, se tabell 5 sidan 19. På detta sätt mättes deltagarnas originalitet d. v. s. vem hade mer eller mindre av ovanliga figurer. I den avslutande delen redovisas en jämförelse mellan de fyra grupperna i test A och deras resultat i test B. Vad finns det för likheter och skillnader mellan de fyra grupperna när det gäller kreativ förmåga, i detta fall genom mätningen av kapaciteten inom flöde, flexibilitet och 13

18 originalitet? I test A, test B och i jämförelsen mellan dem ses på fördelningen mellan könen och mellan olika åldrar. 14

19 Resultat Att mäta matematisk kreativitet Den matematiska kreativiteten kan mätas genom att undersöka den algoritmiska fixeringen. I test A undersöks denna fixering. För att se vilka deltagare som övervunnit fixering jämförs resultaten i de fyra första uppgifterna, set -uppgifterna, med de i uppgift 5 och 6, de kritiska uppgifterna. De fyra första uppgifterna har samma svar, B-A-2C och tillhör ett set. I ett set används samma strategi, mönster, tankesätt och/eller algoritm för att få rätt svar. För att ha anammat ett set har deltagaren klarat tre eller fyra av set -uppgifterna. Uppgift fem och sex är de kritiska uppgifterna där svaret från de fyra första fungerar men det finns ett rätt svar som är enklare och har en mer direkt lösning. Test B visar hur man kan mäta matematisk kreativitet genom att studera olika slags divergent tänkande. Där mäts flöde, flexibilitet och originalitet. Sedan avslutas resultatdelen med en jämförelse mellan de båda testen. Genom hela resultatdelen granskas hur den matematiska kreativiteten varierar sig mellan könen och mellan olika åldrar. Hur fördelar sig studiens deltagare mellan könen och mellan olika åldrar? Deltagare ( alla ): 142 st. 100% Kön: Flickor 75 st. 52,8% Pojkar 67 st. 47,2% Årskurs: Gym. Åk 1 48 st. 33,8% Flickor 26 st. 18,3% Pojkar 22 st. 15,5% Åk 8 46 st. 32,4% Flickor 21 st. 14,8% Pojkar 25 st. 17,6% Åk 6 48 st. 33,8% Flickor 28 st. 19,7% Pojkar 20 st. 14,1% 15

20 Test A Hur har deltagarna svarat på de sex uppgifterna i test A? Tabell 3 visar att 24,7% har svarat rätt på uppgift 5 och 10,6% på uppgift 6 medan över 50% har angett svaret B-A-2C på dessa uppgifter. Då är det betydligt fler som svarat rätt i uppgifterna 1-4. De som inte avger något svar blir fler och fler för varje uppgift. Tabell 3: Svarsfrekvens i antal och procent till de sex uppgifterna i test A. Uppgift: Svarsal- ternativ: ,1% 20 14,1% 4 2,8% ,6% 17 12,0% 12 8,5% ,9% 24 16,9% 13 9,2% ,4% 11 7,8% 24 16,9% 1= rätt svar, 2 = svaret B-A-2C, 3 = fel svar och 0 = inget svar 35 24,7% 76 53,5% 6 4,2% 25 17,6% 15 10,6% 83 58,5% 15 10,6% 29 20,4% I en jämförelse mellan åldrarna när det gäller att ha rätt svar i både uppgift 5 och 6 har åk 8 och åk 1 i gymnasiet bättre reslutat än åk 6, se tabell 4. Åk 6 har istället angett svaret B-A-2C i högre utsträckning än de andra årskurserna. Ingen från åk 6 har svarat rätt på uppgift 6. Bland de som svarat rätt på den sjätte uppgiften är 80% pojkar. n=142 Tabell 4. Fördelning mellan könen och mellan olika åldrar i de två svarsalternativen, B-A-2C och rätt svar i uppgift 5 och 6. Uppgift 5 Uppgift 6 Kön: Åk 1, gym: Åk 8: Åk 6: Svaret B-A-2C Fl: 37 48,7% Po: 39 51,3% Fl: 17 48,6% Po: 18 51,4% Fl: 43 51,8% Po: 40 48,2% Fl: 3 20,0% Po: 12 80,0% Fl: 31 Fl: 6 Fl: 15 Fl: 2 7,1% 13 17,1% 28 18,1% 8 13,3% 25 Po: 12 37,1% Po: 7 33,7% Po:13 53,3% Po: 6 32,9% 15,8% 20,0% 15,7% 40,0% Fl: 8 Fl. 7 Fl: 11 Fl: 1 10,5% 14 20,0% 24 13,3% 7 6,7% 23 Po: 15 40,0% Po: 7 28,9% Po: 13 46,7% Po: 6 30,3% 19,7% 20,0% 15,7% 40,0% Fl: 16 Fl: 4 Fl: 17 Fl: 0 21,1% 8 11,4% 31 20,5% 0 0% 28 22,9% 37,3% 0% 36,8% Po: 12 15,8% Rätt svar Po: 4 11,4% Svaret B-A-2C Po: 14 16,9% Rätt svar n=76 n=35 n=83 n=15 Po: 0 0% 16

21 Gruppindelning efter deltagarnas svar på de kritiska uppgifterna Med utgångspunkt i hur deltagarna svarat på uppgift fem och sex görs en gruppindelning. För att se vilka som är kreativa i sitt räknande och har övervunnit fixering kommer de som har rätt på både uppgift 5 och 6 att tillhöra Grupp 1. De som har svarat B-A-2C i både uppgift 5 och 6 tillhör Grupp 2. De har visat fixering och har inte brutit det mönster som finns i svarsalternativen från de fyra första uppgifterna. I Grupp 3 ingår de som har ett rätt svar på antingen uppgift 5 eller 6 och Grupp 4 består av de som inte uppfyller något av kriterierna ovan. Uppgift: 5 6 Antal Grupp 1: st. 7% Deltagarna har rätt svar på uppgift 5 och 6. Grupp 2: st. 46% Deltagarna har svaret B-A-2C på uppgifterna 5 och 6. Grupp 3: Grupp 4: 1 0,2 el st. 21% Deltagarna har rätt svar på en av uppgifterna 5 och st. 26% Deltagare som inte uppfyller kraven för de andra grupperna. Fördelning mellan könen och mellan olika åldrar i de fyra grupperna I Grupp 1 finns en flicka och nio pojkar, se bilaga 3. Flickan går i åk 8 och fem av pojkarna gör också det. De övriga pojkarna i Grupp 1 går åk 1 i gymnasiet. Det finns inga deltagare från åk 6 i denna grupp. Könsfördelningen i Grupp 2 är ganska jämn och det är flest deltagare från åk 6 i denna grupp, se bilaga 3. Grupp 3 innehåller 60% flickor och i gruppen finns flest deltagare från åk 1 i gymnasiet. I Grupp 4 är det 68% flickor och här ar det flest deltagare från åk 6, se bilaga 3. Hur de fyra grupperna har svarat på de sex uppgifterna Nästan alla i Grupp 1 och 2 har alla rätt på de fyra första uppgifterna och bara deltagarna i Grupp 3 och 4 har inget svar på en eller flera uppgifter, se bilaga 4. Det är många fler i Grupp 3 som svarat rätt på uppgift fem men inte på uppgift sex än de som har gjort tvärtom. I Grupp 4 är det också många som svarar rätt på set -uppgifterna men inte på de sista två uppgifterna, se bilaga 4. 17

22 Hur fördelar sig deltagarnas svar på uppgift 5 och 6 utifrån antal rätt på uppgift 1-4? 23 st. deltagare i Grupp 3 och 15 st. ur Grupp 4 har klarat minst tre av de fyra första uppgifterna och anses tillhör setet. I Grupp 3 svarar många av dessa rätt på femte uppgiften men de klarar inte den sjätte. De finns också några som gör tvärtom genom att inte klara den femte uppgiften men svara rätt på den sjätte, se diagram 1. De 10 deltagarna i Grupp 4 som har svarat fel eller inte har svarat alls på de första fyra uppgifterna har också gjort det på de kritiska uppgifterna. Antal svar Grupp 3 Grupp = rätt svar, = svaret B-A-2C, = fel svar, = inget svar Diagram 1. Hur deltagarna i Grupp 3 och 4 svarat på uppgifterna fem och sex utifrån hur många rätt de hade på de fyra första uppgifterna. Antal rätt på uppgift 1-4 Den vänstra stapeln av de två som står ovanför en siffra visar hur deltagarna svarat på uppgift fem och den högra visar hur deltagarna svarat på uppgift sex. Test B Testet mäter kreativiteten hos deltagarna genom att undersöka flöde, flexibilitet och originalitet. Denna studie innehåller en öppen uppgift där deltagarna ska göra figurer som har arean 2 cm 2 genom att dra ett valfritt antal raka linjer mellan några av de nio punkterna i en kvadrat, se Bild (88,7%) 1 (0,7%) Bild 9. Exempel på figurer med arean 2cm 2. Till höger om varje figur står hur många deltagare som gjort den och den motsvarande procentuella andelen. 18

23 Flödet mäts genom att se antalet rätta figurer som deltagaren har gjort. Genomsnittet var 13,2 figurer. När en figur kan roteras eller spegelvändas för att bilda en ny figur tillhör de båda samma kategori. Figurerna i bild 10 tillhör samma kategori. För att visa flexibilitet ska deltagarna göra figurer som tillhör så många kategorier som möjligt. Deltagarna i test B har tillsammans figurer i 18 kategorier. 4 (2,8%) 4 (2,8%) 1 (0,7%) 1 (0,7%) Bild st. figurer som tillhör samma kategori. Under varje figur står hur många deltagare som gjort den och den motsvarande procentuella andelen. Figurerna i bild 9 på sidan 18 visar först den figur som var mest frekvent och sedan en av de som var minst frekventa. Efter en sammanställning över hur ofta förekommande figurerna var gjordes ett poängsystem där de vanligt förekommande fick lite poäng och de som förekom mer sällsynt fick mer poäng, se tabell 5. På detta sätt mättes deltagarnas originalitet. I bilaga 2 visas alla rätta figurer som deltagarna gjorde i ordning efter hur frekventa de var. Tabell 5. Poängsättning efter hur vanligt förekommande de olika figurerna var procentuellt sett. Poäng: < 5% 4 5% - 10% 3 10% - 20% 2 20% - 40% 1 > 40% 0 Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter flöde Pojkarnas medelvärde var högre än flickornas och när det gäller medelvärdet för de olika årskurserna var åk 8 bäst och åk 6 sämst. Pojkarna i åk 8 hade högst medelvärde i jämförelse med de i åk 6 och åk 1 på gymnasiet, se tabell 6. 19

24 Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter flexibilitet Medelpoängen är 4,95 för alla deltagarna. Bland de olika åldrarna var åk 8 bäst med 5,50, jämfört med åk 1 i gymnasiet som hade 5,31 och åk 6 som hade 4,06. Flickorna hade bättre medelpoäng än pojkarna, se tabell 6. Hur fördelades sig resultatet mellan könen och mellan olika åldrar när man mäter originalitet Medelpoängen för alla är 12,7. I en jämförelse mellan de olika stadierna hade åk 8 bäst resultat med 17,7 och åk 6 sämst resultat 7,9. I årskurs 6 har flickorna bättre resultat än pojkarna och i åk 8 och åk 1 i gymnasiet var det tvärtom, se tabell 6. Tabell 6. Svaren inom områdena flöde, flexibilitet och originalitet i test B fördelade mellan årskurser och kön. Kön: Åk 1, gym: Flöde Flexibilitet Originalitet Fl: 12,8 Po: 13,7 Fl: 4,99 Po: 4,91 Fl: 12,5 Po: 13,0 Fl: 13,6 Fl: 5,50 Fl: 12,6 13,9 5,31 12,9 Po: 14,1 Po: 5,09 Po: 13,2 Åk 8: Åk 6: 16,4 9,6 Fl: 15,7 Fl: 5,57 Fl: 17,1 5,50 17,7 Po: 17,0 Po: 5,44 Po: 18,1 Fl: 9,9 Fl: 4,07 Fl: 9,0 4,06 7,9 Po: 9,1 Po: 4,05 Po: 6,4 Medelvärde: 13,2 st. Medelpoäng: 4,95 Medelpoäng: 12,7 Jämförelse mellan test A och B Vad får de fyra grupperna från test A för resultat i test B? Är det någon grupp som visar mer kreativitet än någon annan? Grupp 1 är de som övervunnit fixering och Grupp 2 är de som inte gjort det. Grupp 3 har svarat rätt på antingen uppgift 5 eller 6 i test A och de som är kvar bildar Grupp 4. Diagram 2 visar att när det gäller flöde har Grupp 1, som innehåller betydligt fler pojkar, bäst resultat av de fyra grupperna med 16,9 st., Grupp 2 har 14,4 st. och Grupp 4, som innehåller fler flickor än pojkar, har 10,1 st. Grupp 3, som innehåller många flickor från åk 8 och åk 1 i 20

25 gymnasiet, har bäst resultat i flexibilitet och Grupp 2, med en överrepresentation från åk 6, har näst bäst resultat. I originalitet visar grupp 1 bäst reslutat med 15,4 p. Grupp 4 har sämst resultat i alla de tre kreativa områdena och grupp 2 har näst bäst resultat i dessa. Flöde Flexibilitet Originalitet Antal figurer Antal poäng Antal poäng 17 5, , , , , ,2 8 Grupp: Grupp: Grupp: Medelvärde: 13,2 st. Medelpoäng: 4,95 Medelpoäng: 12,7 Diagram 2. De fyra grupperna från test A och deras resultat i test B. 21

26 Diskussion Summering Matematisk kreativitet För att mäta matematisk kreativitet går det att undersöka den algoritmiska fixeringen med t. ex. Vattenhinkstestet eller Delningstestet. Det som slår mig är att så stor del av deltagarna visar fixering i denna studie och i flera internationella studier. Att visa elever ett mönster, en strategi eller en algoritm för att sedan låta dem öva på bara detta kanske inte alls är bra för deras matematiska utveckling. Ett annat sätt att mäta matematisk kreativitet är att undersöka det divergenta tänkandet. Här gäller det att vara flexibel och komma på lösningar som avviker från de konventionella. I flera internationella studier mäts det divergenta tänkandet genom att studera flöde, flexibilitet och originalitet. Då används ofta öppna uppgifter. Men var finns dessa öppna uppgifter i den svenska matematikundervisningen? Fixering i test A I test A är det bara 7,0% av deltagarna som svarat rätt på både uppgift 5 och 6. Detta kan jämföras med 10,8% i Haylock s (1984) test med åringar. Med tanke på att dessa uppgifter egentligen är relativt lätta att lösa i jämförelse med de fyra första är det anmärkningsvärt att inte fler klarar det. När Luchins (1942) med 9-14-åringar gjorde liknande test visade resultatet att 22,9% löste de kritiska uppgifterna. Han hade också en kontrollgrupp som bara räknade en uppgift i setet innan de gjorde de kritiska uppgifterna och de hade ett betydligt bättre resultat, nämligen 85,9%. Detta torde betyda att en ansenlig mängd av eleverna som räknar liknade uppgifter fastnar i att använda samma strategi även när svårighetsgraden ändras. När uppgifterna blir lättare håller eleverna kvar vid invanda mönster. Är de vana vid att uppgifter har samma lösningsmetod, att uppgifterna ska vara ungefär lika svåra att lösa och/eller att svårighetsgraden ökar? Imai (2000) och Kandemir (2007) har också gjort Vattenhinkstestet. Imai s deltagare var 11 till 12 år och från Japan. Han strök 12,1% av deltagarna eftersom det inte gick att se om de visade fixering eller ej. För att kunna jämföra med denna studie, Haylock (1984) och senare även Kandemir (2007) läggs dessa elever till och då är det 34,4% av deltagarna som övervinner fixeringen. I en jämförelse av alla de ovanstående testen framgår det att deltagarna i denna studie visar störst fixering. Deltagarna i Kandemir s (2007) test var studenter och framtida matematiklärare i åk 1 och 2 på lågstadiet. Resultaten visar att bara 30% av deltagarna övervinner fixeringen. Detta är en 22

27 anmärkningsvärt liten procent med tanke på att dessa studenter själva ska arbeta med att uppmuntra och utveckla kreativiteten hos elever, ha varierande arbetssätt med kvalitativa räkneaktiviteter och ha flexibla idéer kring lärande i matematik. Hur ser universitetsstudierna ut? Undervisas de på samma sätt som beskrivs ovan där eleverna memorerar regler, metoder, algoritmer och har svårt att bryta invanda mönster? Eller är det proven som inte är avsedda för att mäta den kreativa sidan? I grupp 1 och 2 har nästan alla tre eller fyra rätt på uppgifterna i setet. Det betyder att utifrån hur många rätt deltagarna har i set -uppgifterna går det inte att se vilka som kommer att visa eller inte visa fixering i de kritiska uppgifterna. Antalet deltagare som inte svarar alls ökar för varje uppgift och det är Grupp 4 som står för ökningen. De 10 deltagare som inte svarat på någon av de fyra första uppgifterna svarar inte heller på de två sista. Kön Av de 142 deltagarna i denna studie var det bara en flicka (0,7%) som klarade både uppgift 5 och 6. Motsvarande reslutat bland pojkarna var 9 st. (6,3%). Haylock (1984) fick ett liknande resultat där flickorna hade 2,4% och pojkarna hade 8,4%. Enligt Cunningham (1966) visar några studier att pojkarna har bättre resultat men i andra studier är det ingen skillnad. När Haylock (1984) genomförde Delningstestet med 245 st. 11 och 12-åringar var det bara 2 pojkar som hade rätt på sista uppgiften, se sidan 10. Varför har flickorna svårare att övervinna fixering i denna studie? De verkar mindre benägna att prova något nytt och kanske känner de sig trygga med de metoder de behärskar. A. S. Luchins skrev att flickorna visar mer foglighet och har lättare att underordna sig än pojkarna (Cunningham, 1966). Även om det är fler pojkar som övervann fixeringen så är det också lite fler pojkar som visar fixering, 52% mot 48%. Förmodligen är pojkarna mer benägna att svara även när de är osäkra och de kanske vågar chansa mer än flickorna. Det verkar som om flickorna lättare återgår till den metod som fungerade innan uppgift 5 och 6 fast de hittat en alternativ lösningsmetod. I Grupp 4 är flickorna klart överrepresenterade och det är flickorna i åk 6 som bidrar mest till detta. I denna grupp finns de som i hög grad svarar fel eller inte alls och de som har rätt på set -uppgifterna men inte på någon av uppgifterna 5 och 6. Ålder Enligt Nationalencyklopedin (2005) varierar kreativiteten i olika åldrar. Den är som sämst vid c:a 12-årsåldern och den är som bäst några år innan. Generellt sätt är unga människor mer kreativa 23

28 än äldre. Hos många avtar kreativiteten redan i tidig medelålder medan andra behåller den långt upp i åldrarna. Flickan och 5 av de 9 pojkarna som lyckades övervinna fixeringen gick i 8:an och de resterande 4 pojkarna gick i åk 1 i gymnasiet. Ingen deltagare från åk 6 lyckades övervinna fixeringen. Varför? Det verkar inte bero på klasstorleken. Dessa elever verkar vara mer vana att gå i upptrampade spår än de äldre deltagarna. Kanske skulle åk 6-deltagarna ha fått ett bättre resultat om de fått rita pilar som beskrev hur vattnet skulle hällas mellan hinkarna (se bild 1,2 och 3 på sidan 5). Samma årskurs har flest deltagare i Grupp 2 (39%), de som räknar fixerat och i Grupp 4 (41%) den grupp med många som inte lämnar något svar på uppgifterna. Det verkar som om många elever i åk 6 antingen räknar fixerat eller inte svarar alls eftersom det i Grupp 3 är bara 27% deltagare från åk 6. Återgång till intränade metoder Det är fler flickor (60% mot 40%) i grupp 3, de som har ett rätt svar på antingen uppgift 5 eller 6, speciellt många flickor är det i åk 1 i gymnasiet. 25 deltagare i denna grupp har rätt på uppgift 5 men på uppgift 6 svarar sedan 15 st. med det speciella svaret, 8 svarar fel och 2 svarar inte alls. Ändå är det den sjätte uppgiften som är enklast och har det mest direkta svaret. I Haylock s (1984) test var det 9,6% av deltagarna som gjorde så jämfört med 17,6% i detta test. I Grupp 4 är det 43,2% som svarar rätt på uppgift 4 men ingen av dem svarar rätt på de kritiska uppgifterna. En förvånansvärt stor andel deltagare klarar inte övergången från set -uppgifterna till de kritiska uppgifterna. De verkar inte våga tro på att de ska använda nya metoder och lösningar. Haylock (1984) skriver att det är ett vanligt beteende bland elever på matematiklektioner. De verkar vara nöjda med att behärska en ny algoritm och sedan använd den för att hitta lösningar. Att söka efter alternativ, bättre metoder och att ta risker står förmodligen i konflikt med de beteende eleverna använt tidigare för att lyckas. I grupp 4 är det 15 st. som tillhör setet men som inte har rätt på varken uppgift 5 eller 6. De flesta svarar inte alls på dessa två uppgifter. Det kan vara så att några deltagare i Grupp 4 väljer att inte svara alls när de ser att det finns en lösning som inte liknar den de använt i de fyra första uppgifterna. Fyra deltagare i Grupp 3 har svarat med det alternativa svaret i uppgift fem och har sedan svarat rätt på uppgift sex. De har vågat bryta mönstret och visar att de övervunnit fixering. 24