Mer om kretsprocesser

Mer om kretsprocesser Energiteknik Anders Bengtsson 18 mars 2010 Sammanfattning Dessa anteckningar är ett komplement till avsnittet om kretsprocesser i häftet Värmetekniska formler med kommentarer. 1

1 Bensinmotorn som exempel Bensinmotorn är en typisk kretsprocess. Vi ska ta den som exempel och se hur vi kan räkna på den på ett förenklat sätt. Låt oss börja med att komma ihåg hur den fungerar. Vi ska studera en cylinder i en fyrtaktsmotor. De fyra takterna är 1. Kompression av luft-bränsleblandningen. Ventilerna stängda. 2. Förbränning och expansion. Ventilerna stängda. 3. Utblås av avgaser. Utblåsventilen öppen. 4. Insugning av ny luft-bränsleblandning. Insugventilen öppen. 1 2 3 4 A -> B B -> C C -> D D -> A Figur 1: De fyra takterna för en bensinmotor. Vi ser här omedelbart en komplikation. I takterna 3 och 4 är systemet öppet i och med att avgaser blåses ut och ny luft-bränsleblandning sugs in. Detta måste man räkna med om man vill ha en noggrann beskrivning av processen. Vi ska dock göra en förenkling som man brukar starta med. Man försummar det faktum att man i takt 3-4 byter gas och ser det som att en och samma gasmängd kyles vid konstant volym. Under takterna 1 och 2 är däremot systemet slutet. Takt 1, kompressionen, tänker man sig sker adiabatiskt, dvs utan något värmeutbyte med omgviningen. Volymen minskar, trycket ökar och temperaturen ökar. Arbete uträttas på gasen vars inre energi ökar (lika mycket som det tillförda arbetet). Takt 2, förbrännings- och expansionsfasen, delar man upp i två delar. Den första (förbränningen) approximerar man med en isokor 2

tryckökning (och därmed temperaturökning). Den andra (expansionen) approximerar man med en adiabatisk expansion. Man tänker sig att den sker så snabb att inget värme hinner avlämnas till omgivningen. De två takterna 3 och 4 innebär alltså att man byter ut avgaserna mot ny luft-bränsleblandning. Systemet är öppet. Men efter dessa två takter är kolven tillbaka i samma läge som efter takt 2 (maximal volym) men nu alltså med avgaserna utbytta mot ny luftbränsleblandning. Nästa cykel med kompression kan nu starta. Takterna 3 och 4 kan approximeras med en isokor (volymen konstant) kylning och trycksänkning. Därmed är man tillbaka till utgångspunkten. Detta kan illustreras i ett pv -diagram. Vi har här fyra tillstånd markerade med A, B, C och D. Mellan dessa har vi fyra delprocesser. Q B -> C p C W C -> D D B W A -> B A Q D -> A V Figur 2: pv -diagram för Ottoprocessen. Låt oss systematiskt gå genom de olika delarna av kretsprocessen. A B Adiabatisk kompression av bränsle-luftblandningen. Motsvarar takt 1. Ett arbete W A B uträttas på gasen. Detta arbete tas från de andra cylindrarna i en verklig motor. B C Förbränning. Den kemiska energin i bränslet frigörs och vi räknar det som en tillförsel av värmet Q B C till systemet. Isokor tryckökning. Temperturen ökar. Motsvarar början takt 2. C D Adiabatisk expansion. Arbetet W C D uträttas. Temperaturen sjunker. Motsvarar resten av takt 2. D A Isokor trycksänkning. Temperaturen sjunker. Approximerar takterna 3 och 4 där systemet egentligen är öppet och avgaserna byts ut mot ny luft/bränsleblandning. Här räknas alltså med samma gas som genomgår kylning och värmet Q D A bortförs. 3

Beräkning av verkningsgrad Verkningsgraden är kvoten mellan det arbete man får ut under en cykel av kretsprocessen och det värme som måste tillföras. Här är det rimligt att räkna med netto-arbetet, dvs uträttat arbete under processen C D minus tillfört arbete under processen A B. Verkningsgraden betecknas med η. Alltså η = W C D + W A B Q B C. (1) Lägg märke till att här är W C D positivt, alltså arbete uträttat av systemet, medan W A B är negativt svarande mot arbete som uträttas på systemet. Därför blir W C D + W A B just nettoarbetet. För att komma vidare behöver vi använda energiprincipen. Under en cykel av en kretsprocess är den totala ändringen av inre energin noll, dvs U = 0. Detta betyder att totalt tillförd energi är lika med totalt bortförd energi, något som vi kan uttrycka som (tänk själv genom att det stämmer!) W C D + W A B = Q B C + Q D A. (2) Även här bör man lägga märke till att Q B C är positivt svarande mot värme som tillförs systemet, medan Q D A är negativt svarande mot värme som bortförs från systemet. Om man sätter in denna ekvation (2) i ekvationen för verkningsgraden (1) så får man η = 1 + Q D A Q B C. (3) Men detta kan vi räkna ut eftersom dessa två processer är isokora, och vi har Q D A = c v m (T A T D ), (4) Q B C = c v m (T C T B ). (5) Nu kan vi alltså skriva verkningsgarden som η = 1 + T A T D T C T B. (6) 4

Här ser det kanske ut som att verkningsgarden är större än 1, men det är den inte. Kom ihåg att T A < T D så att T A T D är negativt medan T C T B är positivt. Kolla i pv -diagrammet! För att komma vidare måste vi använda lite mer kunskaper om adiabatiska processer. Men vi börjar med att definiera en storhet som karakteriserar en cylinder, nämligen volym-kompressionsförhållandet ν som helt enkelt är kvoten mellan volymerna V A och V B ν = V A V B. (7) Om man nu kommer ihåg formeln pv γ = konstant som gäller för adiabatiska processer, så har vi ju vilket också kan skrivas p A V γ A = p BV γ B, (8) p B = V γ A p A V γ = ν γ. (9) B Om man utnyttjar gaslagen så kan man också skriva om detta som ett förhållande mellan temperaturerna På samma sätt kan man få fram T B T A = ν γ 1. (10) T C T D = ν γ 1. (11) Dessa två ekvationer vill vi nu använda för att förenkla uttrycket för verkningsgraden. Det kräver lite blick för matematiska omskrivingar, men såhär kan man göra. Vi vet alltså från (10) och (11) att T B /T A = T C /T D. Detta kan vi använda för att omforma T A T D till (1 T C /T B )T A och T C T B till (T C /T B 1)T B. Vi får då η = 1 + T A T D T C T B = 1 + (1 T C/T B )T A (T C /T B 1)T B (12) = 1 T A T B = 1 ν 1 γ. Tyvärr en lite lång kalkyl, men vi ser att den teoretiska verkningsgraden för Ottoprocessen kan beräknas enbart från kännedom 5

om kompressionsförhållandet ν och gasens värmekapaciteter via γ = c p /c v. Exempel Vi har en bensinmotor med volym-kompressionsförhållandet ν = 10 och γ = 1, 4 (ganska typiska värden). Då kan tryck- och temperaturförhållanden beräknas ur de formler vi tagit fram: p B p A = ν γ = 10 1,4 25, 1, T B T A = ν (γ 1) = 10 0,4 2, 51. Med exempelvis T A = 300K (ca 20 C) får man T B = 750K (ca 480 C). Verkningsgraden blir η = 1 10 0,4 0, 60. 2 Mer om Carnotprocessen och lite till Carnotprocessen är en teoretiskt intressant kretsprocess, men är svår att realisera i verkligheten. Den är enkel, all värme antas tillföras och bortföras vid två olika konstanta temperaturer svarande mot de två isotermerna. Arbete tillförs eller uträttas vid samtliga fyra delprocesser, men eftersom den inre energin inte ändras under en hel cykel, kan det nettoarbete som uträttas under en cykel beräknas utgående från tillfört och bortfört värme. Detaljerna har vi utrett i häftet Värmetekniska formler med kommentarer. För en Carnotmotor kan man göra sig följande enkla model enligt figur 3. Hög temperatur Tv Qv T k Q k Låg tempertur W Utvunnet arbete Figur 3: Carnotmotor. 6

Som vi sett blir verkningsgraden väldigt enkel att räkna ut eftersom vi har sambandet Q k Q v = T k T v. (13) Här har vi valt att räkna alla värmemängder och arbeten som positiva och låta pilarna visa om det är bortfört eller tillfört. Energiprincipen ger på att för denna kretsprocess gäller W = Q v Q k, (14) eftersom ju inre energin inte ändras under en cykel. Verkningsgraden η kan nu enkelt beräknas η = W Q v = Q v Q k Q v = 1 T k T v. (15) Även om Carnotprocessen är väldigt teoretisk och inte kan byggas i praktiken, ger den oss en enkel grundbild av hur en värmemaskin kan tänkas fungera. Väldigt grovt, och generellt, kan man tänka sig en värmemaskin som en maskin som tar in värmeeffekt Q in vid hög temperatur (inte nödvändigtvis konstant), levererar en nettoeffekt mekaniskt arbete Ẇ samt lämnar ifrån sig en värmeeffekt till omgivningen Q ut i form av förluster. Man kan göra sig följande enkla bild. Tillfört värme Qv W Utvunnet arbete Q k Bortrfört värme Figur 4: Generell motor. Här har vi också symboliserat att det faktum att för att få en motor att arbeta i ett cykliskt förlopp måste vi i allmänhet tillföra 7

en del arbete (exempelvis för kompression och utblåsning av avgaser) och att detta arbete i allmänhet tas från processen själv. Den praktiska utformningen av motorer varierar mycket. Grovt delar man in dem i deplacementsmaskiner och dynamiskt arbetande maskiner. Deplacementsmaskiner arbetar cykliskt och portionsvis såsom olika typer av kolvmotorer. Det är denna typ av motor som vi underförstått har tänkt på hitills. Förenklat kan man säga att man utvinner mekaniskt arbete när det aktiva mediet (gasen) expanderar efter en tryckhöjning (och därmed i allmänhet temperaturhöjning). Tryckhöjningen åstadkoms i allmänhet via en förbränningsprocess där den kemiska energin i en bränsle/luftblanding omvandlas till värme med hög temperatur (och därmed högt tryck). Denna process utgör då en del av kretsprocessen. Resten är delprocesser som är nödvändiga för att återställa motorn till tillståndet innan nästa expansionsfas. Under dessa delprocesser bortförs spillvärme, nytt bränsle tillförs och nödvändigt mekaniskt arbete tillförs. I dynamiskt arbetande maskiner strömmar det aktiva mediet kontinuerligt genom maskinen såsom i turbiner. Exempel är jetmotorer där luft/bränseblanding kontinuerligt tillförs och förbränns i en brännkammare och sedan strömmar förbi turbinhjulen och sätter dessa i rörelse. Ett annat exempel är vattenturbiner i vattenkraftverk vilka förstås drivs av flödande vatten. Allt detta är givetvis omfattande tekniker i sig självt och får inte plats i denna grundläggande kurs. Kretsprocesser av detta slag, där nyttan är det utvunna arbetet, kan man kalla arbetsgivande processer. I andra fall är det inte arbete man vill utvinna, det kan vara kyla eller värme. Denna typ av processer kallar man arbetskrävande processer. När nyttan är kyla talar man om kylmaskiner. Då tillför man arbete för att pumpa värme från en lägre temperatur till en högre - alltså motsatt det naturliga värmeflödet. När nyttan är värme talar man om värmepumpar. Även då tillför man arbete för att pumpa värme från en lägre temperatur till en högre - alltså motsatt det naturliga värmeflödet. Förstår man Carnotprocessen så kan man alltså sedan lättare förstå mer realistiska processer. Låt oss avsluta med ytterligare några kommentarer om Carnotprocessen. Teoretiskt kan man visa att ingen värmemaskin som arbetar mellan samma temperaturer kan ha högre verkningsgrad än Carnotverkninggraden. Praktiskt kan man konstatera att det inte går att realisera Car- 8

notprocessen i en kolvmaskin. En möjlighet vore att försöka bygga en Carnotmaskin bestående av en isotermisk turbin (expansion A till B) följt av en adiabatisk turbin (expansion B till C), därefter en isotermisk kompressor (C till D) följt av en adiabatisk kompressor (D till A). Även detta är i praktiken svårt, problemet ligger dels i att upprätthålla isoterma förhållande i turbiner och kompressorer, men även i de irreversibla förluster som alltid uppstår. 3 Något om öppna system och tekniskt arbete När vi diskuterat arbete hitills har vi gjort den förenklingen att vi tänkt oss ett slutet system, ett system där det arbetande mediet (gasen) hela tiden varit kvar inne i systemet, det vill säga inget utbyte av materia med omgivningen har skett. Nu ska vi titta lite närmare på enkla öppna system. I praktiken är många värmemaskiner öppna system, men man kan ofta behandla dem som slutna genom att lägga systemgränsen så att man kan räkna som att den utblåsta förbrända gasen ersätts av den inkommande oförbrända gasen. Det finns också många värmemaskiner som naturligt är slutna såsom kylmaskiner och värmepumper. Men nu ska vi ta en titt på öppna system. Tillfört värme Qv W 1 Utvunnet arbete W t Q k Bortfört värme Inskjutningsarbete W 2 Utskjutningsarbete Figur 5: Modell av enkelt öppet system. Betrakta figur 5. Som vanligt har vi tillfört Q v och bortfört värme Q k. Det nyttiga uträttade nettoarbetet betecknar vi med W t. Här symboliseras det med en roterande axel. Som vi ska se är det i allmänhet 9

inte lika med det arbete vi hitills räknat med. Om det aktiva mediet i maskinen är en gas så måste gasen skjutas in i systemet i någon del av cykeln och skjutas ut i en annan (jämför med förbränningsmotorn!). Detta innebär ett utbyte av arbete med omgivningen. Man skulle kunna tycka att skjuta in gasen i systemet kostar energi, men denna process innebär i praktiska maskiner en volymexpansion, och alltså ett arbete som uträttas av systemet. Antag att inskjutningen sker vid ett konstant tryck p 1. För att skjuta in volymen V 1 åtgår då energimängden W 1 = p 1 V 1. Detta är alltså ett arbete som uträttas av systemet och det ska då räknas positivt. Vid utloppet antar vi att trycket är p 2. För att skjuta ut volymen V 2 åtgår då energimängden W 2 = p 2 V 2. Detta är omvänt ett arbete som uträttas på systemet av omgivningen och det ska då räknas negativt. Vi ska strax se i ett exempel att detta är logiskt och naturligt. Det arbete vi tidigare räknat på med hjälp av formeln W vol = pdv (16) kallar vi nu volymändringsarbetet. Exakt detta arbete kan inte fås ut ur processen i form av nyttig energi, eftersom vi måste räkna in inskjutnings- och utskjutningsarbetena (man måste också räkna med friktionsförluster). Det arbete man faktiskt kan utnyttja kallas det tekniska arbetet och fås som W t = W vol + p 1 V 1 p 2 V 2. (17) Vill man räkna ännu mer nogrannt skulle man dessutom ta hänsyn till rörelseenergin och lägesenergin för gasen när den skjuts in repsektive skjuts ut ur systemet. Vi gör inte det nu, i de flesta praktiska fall är dessa bidrag små. För att illustrera detta ska vi studera en enkel kolvångmaskin. I utgångsläget är kolven längst till vänster i figuren. Vi räknar att volymen är noll. Inloppsventilen öppnar och ånga fylls på vid trycket p 1 och kolven rör sig till läge 1. Systemet har uträttat arbetet W 1 = p 1 V 1. Därefter stängs inloppsventilen och ångan expanderar till volymen V 2 och trycket p 2. Då uträttas volymändringsarbetet W vol = V2 V 1 pdv. (18) Därefter öppnas utloppsventilen och ångan skjuts ut. Kolven rör sig tillbaka till utgångsläget. Arbetet W 2 = p 2 V 2 uträttas på systemet. 10

p 1 p 2 P 1 p 1 p 2 2 V 1 V 2 V Figur 6: Kolvångmaskin. Det är en bra övning att följa de olika arbetena och göra klart för sig vilka områden i pv -diagrammet som svarar mot olika arbeten. Gör man det kommer man fram till att det tekniska arbetet svarar mot arean av det streckade området i pv -diagrammet. Exempel Låt oss räkna på ett enkelt exempel för att få lite känsla för dessa formler. Vi tänker oss en ånglokscylinder med diameter 0,5 m. Inloppsventilen stängs när kolven flyttat sig 0,25 m och maximalt kolvslag är 1 m. Vi räknar med utskjutningstryck p 2 på 1 atm. Vi beräknar först volymerna V 1 och V 2 : ( 0, 5 ) 2 V 1 = π 0, 25 50 liter, 2 ( 0, 5 ) 2 V 2 = π 1, 0 200 liter. 2 Om vi räknar att expansionen 1 2 är isoterm måste vi ha p 1 V 1 = p 2 V 2. Detta ger trycket p 1 = 4 atm. För en isoterm har vi volymändringsarbetet W vol = V2 V 1 pdv = p 1 V 1 ln( V 2 V 1 ). I just detta fall (med isoterm) är inskjutningsarbetet och utskjutningsarbetet lika stora (varför?) så tekniska arbetet blir lika med volymändringsarbetet. Numeriskt får vi 11

p 1 V 1 ln( V 2 V 1 ) = 4 101 kpa 0, 05 m 3 ln( 0, 2 0, 05 ) 28kJ. Uttrycker vi detta i kws får vi 28 kws. Om vi tänker oss att en cykel tar ca 1 sekund får vi effekten 28 kw. Är detta rimligt? Ja, en ganska typisk effekt för ett ånglok är ca 75 hkr (hästkrafter). 1 hkr är ca 736 W. 75 hkr är alltså ca 55 kw. Så två stycken kolvångcylindrar av denna typ stämmer ganska bra. Egentligen har vi nog räknat lite lågt här. Typiska panntryck för ånglokspannor är upp mot 10 kilogram per kvadratcentimeter vilket motsvarar ca 10 atm. Om vi istället räknar på en adiabatisk process (något mer realistiskt) kan vi välja ett högre inloppstryck till säg 6 atm (svarande mot sambandet mella tryck och volym för en adiabatisk process). Volymändringsarbetet för en adiabat blir W vol = V2 V 1 pdv = 1 1 γ (p 2V 2 p 1 V 1 ), där γ är kvoten mellan c p och c v. Nu är det lite komplicerat att räkna på vattenånga, men låt oss förenkla och betrakta vattenångan som en tre-atomig ideal gas. Då blir γ = 9/7 1, 3. Nu kan vi räkna ut det tekniska arbetet W t = 1 1 γ (p 2V 2 p 1 V 1 ) + p 1 V 1 p 2 V 2 = (1 1 ) (p 1 V 1 p 2 V 2 ) 1 γ = Sätter vi in siffror här får vi ( γ ) (p 1 V 1 p 2 V 2 ). γ 1 W t = ( 1, 3 ) (6 101 0, 05 1 101 0, 2)kPa m 3 44kJ. 1, 3 1 Större effekt men kanske något mer realistiskt. 4 Ångkraftprocessen - enkel modell Ångkraft är en industriellt och samhälleligt mycket viktigt process. Alla termiska kraftverk, antingen den primära energikällan är kärnklyving 12

eller förbränning av ett fossilt bränsle (kol, olja, naturgas) eller biobränsle, utnyttjar en ångkraftprocess för att omvandla värme till elektrisk energi. Värme från antingen förbränning eller kärnklyvning används för att förånga vatten vid högt tryck i en ånggenerator. Högtrycksångan leds vidare till en ångturbin som driver en elgenerator. För att man ska få en kretsprocess krävs kondensering av ångan till vatten i en kondensor efter turbinen och därefter en tryckökning av vattnet i en matarvattenpump. Man får en kretsprocess enligt figur 7. Ånggenerator Qv B W P vatten Pump A C ånga Kondensor Turbin ånga + vatten D Q k W T Figur 7: Ångkraftprocessen. Ångkraftprocessen är rätt så komplicerad i verkligheten, men vi kan göra en förenklad beskrivning av den. A B Adiabatisk tryckökning för vatten. Relativt lite pumparbete W P krävs eftersom detta är en vätska som komprimeras. B C Isokor tryckökning i ånggeneratorn. Processen går i tre steg: (i) temperaturhöjning till kokpunkten vid aktuellt tryck, (ii) förångning vid konstant temperatur, (iii) överhettning av ångan, temperaturhöjning. Värmemängden Q V tillförs. C D Adiabatisk expansion i turbinen. Turbinarbetet W T uträttas. D A Isokor kondensation av ångan till vatten. Värmemängden Q K bortförs. Detta värme kan givetvis tas tillvara såsom i exempelvis ett kraftvärmeverk (fjärrvärme). 13

Ska man räkna på dessa delprocesser krävs ytterligare kunskaper än vad vi hinner med i denna kurs. Speciellt ånggenereringen kräver att man studerar termiska egenskaper för vattenånga. Här nöjer vi oss med att konstatera att energiekvationen naturligtvis gäller Q V + W P = Q K + W T. (19) Det tekniska arbetet, det vi kan utvinna är Den termiska verkninggraden blir alltså W t = W T W P. (20) η t = 1 Q K Q V. (21) 14