4. Laplacetransformmetoder

4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Differeialekvaioer gör gre för e aeaik ekrivig av aika e i koierlig i åo fragår av exeple i avi 3.. E iffereialekvaio ekriver hr e vi variael eror av e eller flera ara varialer. Elig reglerekik eriologi kallar vi e eroee variael för igal och e ara oeroee varialera för iigaler. Efero iigalera är oeroee ka vi för e e e flera iigaler oral eraka e iigal i age geo a låa e övriga iigalera ha koaa väre. E e e kocererae paraerar ka å allä ekriva e e oriär iffereialekvaio av fore g 4. är och är iigal rep. igal a g e gocklig aalik fkio. Sorhee v orige på höga igalerivaa kalla ee origal. Noral är efero oae klle ieära a iigale eriverae effek vore oierae vilke är ovalig i prakike. E e e äge vara e proper e; oae är e ickeproper e. O fkioe g är lijär ka iffereialekvaioe 4. kriva på fore a a a a 4. Koefficieera a a a är eparaerar o karakerierar egekapera ho e lijära ee. Dea paraerar är ie eiga; e ka okala e e gocklig fakor olik oll.ex. å a e av paraerara får väre e. Efero 4. är e :e orige iffereialekvaio åe e gälla a a vilke eer a e kalig å a a alli ka göra. O a förerar a ila e kalig o gör a. O a eler icke-propra e ka a vi eaik ehalig av 4. välja e äå ela icke-förekoae iigalerivaor geo a låa ovarae - koefficie vara oll. I prakike gäller ofa a vilke eer a iigalerivaa axiala orig är lägre ä igalerivaa axiala orig. E åa e kalla rik proper. O a väljer kalig å a a ka iffereialekvaioe 4. kriva på aarfore a a a 4.3 Oervera hr koefficieera ere iex är förkippae e erivaora origal. För a erläa e eare eaik ehalig kall vi hålla o ill ea origfölj för koefficieera ro a a iiiv kake klle förera e aa origfölj lägre iex för lägre erivaor. 4

4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer För lijära e gäller perpoiiopricipe. O fkiopare { } { } äve fkiopare { } o få geo e gocklig lijär koiaio och åa är löigar ill ekvaio 4. å gäller elig perpoiiopricipe a a a är e löig. A å är falle ka lä via geo irek iio i ekvaio 4. eller 4.3. Grläggae aeaik rörae oriära iffereialekvaioer gör e öjlig a löa e lijära iffereialekvaioe 4. eller 4.3 o eparaerara är koaa och iigale har e ågorla ekel for. Löige v igale erhålle å o a av e pariklärlöig och e alläa löige ill ovarae hoogea iffereialekvaio o få är högerlee äe. E hooge iffereialekvaio ovarar ålee e e a iigal. E åa e kalla e aoo e. A löa lijära iffereialekvaioer e ea eo lir ock e gaka evärlig procer av l.a. följae oraker: De aeaika aree lir evärlig vi e av högre origal. Meoe erjer iga ekväa gevägar för a ehala aaaa e ppgga av eklare lijära ele. För prakik haerig av e aerae på lijära iffereialekvaioer koer vi i e följae avie a a pp kopleerae aeaika verkg. För e grläggae lijära aal- och earee koer eoer aerae på Laplacerafore a ia e ceral roll. Vi oellerig och erik eräkig är eoer aerae på illåegreppe e vikig gågpk. Tillåoeller ehala ärare i kre Procereglerig. För a oivera aväige av Laplaceraforeoer kall vi för e hjälp av raiioella löigeoer era e e ekrive av e ekel lijär iffereialekvaio. 4 Exepel 4.. Segvare för e kvickilvereroeer. Daike för e kvickilvereroeer ekriv av iffereialekvaioe ϑ T ϑ ϑ är ϑ är kvickilvre eperar och ϑ är ogivige eperar. Aag a eroeer fi oh och a jävikläge råer. Då är ϑ ϑ ϑ är ϑ eeckar e koaa eeperare. Aag a eroeer för ioh är ϑ eperare är lika e ϑ ϑ. Hr ϑ förära kvickilvre eperar i eroeer o fkio av ie? De förefaller rilig a aa a eperare förära expoeiell frå ϑ ϑ ill ϑ ϑ ϑ elig figr 4.. Vi ka ϑ korollera ea aagae a eäa ϑ hr a förärige av ϑ ker geo a löa iffereialekvaioe. Figr 4.. Segvar för kvickilvereroeer. 4

4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Elig vår hpoe klle förärige ha fore ϑ ae c > är villkore > förhirar a ϑ är. Ka iffereialekvaioe ge pphov ill e löig av ea p? Vi korollerar geo a erivera ovaåee rck vilke ger Iäig i iffereialekvaioe ger Tae ϑ ae ae c ϑ ϑ ϑ Efero högra lee är e koa åe ockå vära lee vara lika e aa koa för alla. Dea är ea öjlig o v o Iäig i ger å Ta e ae T ae 5 /T c ϑ ϑ 6 / T ae ϑ ϑ ϑ 7 Yerligare ve vi a ϑ ϑ. Dea ger ϑ ϑ a ϑ ϑ v Vi får å a ϑ förära expoeiell elig 3 4 a ϑ 8 / T ϑ e ϑ 9 är ϑ ϑ ϑ. Oervera a ekvaio 9 ie är e allä oell för eroeer a e löig o gäller för e pecifik förärig av iigale. 3 4. Laplacerafore Exepel 4. var e cke ekel illraio av e av e proleper o effekiv ka löa e hjälp av e.k. Laplacerafore. Avacerae eoer för aal av oeller rcka e hjälp av Laplacerafore exierar ockå. 4.. Defiiio De igaler o ppräer i aika e är fkioer av ie. Beraka e älige gocklig igal f e e egekape a f för < och iegrerar för. F L f för ifkioe f efiiera å av iegralrcke Laplacerafore { } { f } F L e f 4.4 4 3

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore är är e koplex variael var realel är illräcklig or för a iegrale kall kovergera. A ere iegraiogräe age o gräväre i älle för har här ige prakik eele. Ma äger a F är efiiera i Laplaceplae eller -plae ea f är efiiera i iplae. Allä rekoeera a a eeckar ifkioer e å okäver v geea och era Laplaceraforer e ovarae ora okäver v veraler. A area e Laplacerafore F i älle för e ovarae ifkio f ger avevära förekligar vi ehalig av lijära e. Bla aa koer haerige av iffereialekvaioer a ill or el recera ill aiplerigar e algeraika rck. För a Laplacerafore kall ka ja prakik kräv a a ockå ka eräka e ifkio f o ovarar Laplaceraforrcke F. Dea operaio v övergåge frå F ill f kalla iverraforerig. Ma ka via a iverrafore { F } f L ge av rcke σ j - { } f L F e F π j 4.5 σ j är j är e iagiära ehee och σ är e reell al o ör vara å or a F akar iglarieer v är egräa för alla e örre realel ä σ. Lckligvi klarar a ig a ekvaio 4.5 vi prakik räkig e Laplacerafore och e är ockå er älla a har ehov a aväa efiiioe 4.4. I älle jar a forelaligar.ex. Tore Gafo Igejöraeaik forelalig 5:e pplaga 4 är valige förekoae ifkioer och era Laplaceraforer fi aellerae. Laplaceraforera på. 4 6 och 4 7 är häae r ea forelalig 4:e pplaga. Me hjälp av e åa aell ka a raforera åa vägara. Fkioer o ie fi aellerae ka å go o alli erhålla o ågo koiaio av aellerae fkioer. Efero Laplaceraforrcke är algeraika rck eför lika koiaioer och ovarae ppeligar iga örre eräkigäiga prole. 4.. Beräkig av Laplacerafore för ågra ekla fkioer Tro a ifkioer och ovarae Laplaceraforer fi aellerae kall vi illrera aväige av efiiiorcke 4.4 geo a härlea Laplacerafore för ågra ekla e prakik vikiga ifkioer. Oervera a oeroee av hr fkioe f er för å aa f för <. Plfkioe E ieal pl o arar vi karakeriera av e koa apli a och e varakighe plläg T e figr 4.. Me hjälp av Laplacerafore efiiio 4.4 få f a F T T e a a e e a T 4.6 T Figr 4.. Plfkio. 4 4

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Eheiple δ Dirac elafkio Vi ka efiiera e ipl o e pl var varakighe T går o oll och var apli a går o oälighee på e åa ä a plarea at har e älig väre olika oll. För eheiple δ gäller a at rck i ågo läplig ehe. Laplacerafore för e eheipl vi ka erhålla geo Talorerievecklig och gräväreeräkig e a / T i ekvaio 4.6. Vi får T e T T F L { δ } li li 4.7 T T T T Tro a iplfkioe har e ill e verklighefräae efiiio har räkae e ipler prakik ieör på åga oråe åo elekrika ekaika och proceekika oråe. För lijära aika e ka oral alla korvariga i förhållae ill ee aik iigaler ehala o ipler karakerierae ear av plarea oeroee av ple exaka for. Tpika exepel är päig- och röpler i elekrika e ökrafer i ekaika e och ijicerig av påräe i eicika och proceekika illäpigar. Eheege σ E egfkio ka eraka o e pl e oälig varakighe T. Laplacerafore för eheege σ o har a få å frå 4.6 geo e gräväreerakele o ger Eherape ρ T e F L { σ } li 4.8 T E rap är e fkio var väre förära lijär e ie. Eherape ρ är e rap e ligkoefficiee v ρ. Me hjälp av pariell iegraio ka rcke för eherape Laplacerafor eräka elig F e e e L { ρ } e 4.9 E aa ella e ekla ehefkioera Figr 4.3 illrerar eee ho eheiple eheege och eherape. Noera a iple ka eraka o erivaa av ege och a ege är erivaa av rape. Ovä gäller a ege är iegrale av iple och rape är iegrale av ege. Noera äve e re fkioera Laplaceraforer v / rep. /. δ σ ρ Figr 4.3. Eheiple δ eheege σ och eherape ρ. 4 5

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 6

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 7

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Expoeiell avkligae fkio är E expoeiell avkligae fkio efiiera f e. De Laplacerafor a { e } a a a F L e e e e a 4. a a Si- och coifkioer För härleig av Laplaceraforer för i- och coifkioer ehöv perpoiioae 4.3 o ge i äa avi. Däröver ka vi ja 4. geo a låa paraeer a vara iagiär. Vi jar Eler ieie för i o ger e i är j eeckar e iagiära ehee. Tilläpig av ekvaio 4. ger j e j j F L i L e L e 4. j j j j j j j { } { } { } För co gäller elig Eler ieie e co och aalog e härleige av 4. få j e j F L co L e L e 4. j j j j { } { } { } 4..3 Räkeregler för Laplaceraforer Aree e raforer för er koplicerae ifkioer erläa givevi o a käer ill e alläa räkeregler o gäller för Laplaceraforer och ovarae ifkioer. Vi kall här ehala e vikigae räkereglera. Sperpoiioae O F och F är Laplaceraforera för ifkioera f och f å gäller är A och B är gockliga koaer. Bevi: L { A f B f } A F B F L 4.3 { A f B f } e A f B f A e f B e f A F B F 4 8

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Iverrafore ppfller aa egekap v Deriverigae { A F B F } A f B f L 4.4 O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ierivaa f f / av L f F f 4.5 { } är f är ifkioe f : väre är a ärar ig frå egaiva ia. Bevi: Me pariell iegraio erhålle L { f } e f [ e f ] e f F f E cceiv jae av eriverigae ger följae rck för Laplacerafore för :e erivaa f f / av fkioe f : { f } L F f f f f 4.6 Ekvaioera 4.5 och 4.6 ger e vikigae föräige för Laplacerafore eele i iffereialekvaioaahag. Bore frå egelevärea f f ec. å ovara e eriverig av e ifkio av e liplikaio e Laplacevariael i Laplaceplae. Laplacevariael har ålee ora likheer e iffereialoperaor p /. Iegraioae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ifkioe iegral av L f τ τ F 4.7 Bevi: Vi jar eeckige g f τ τ o ger g f. Tilläpig av eriverigae 4.5 på fkioe g ger å F L { f } L { g } L { g } g L { g } L f τ τ är g följer av efiiioe på g. Geo cceiv illäpig av 4.7 få Laplacerafore för e -falig iegral: L f τ τ F 4.8 4 9

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Däpigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för e expoeiell a äpae ifkio e f av Bevi: L a { e f } F a L 4.9 a a a { e f } e e f e f F a Förkjigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för fkioe f L v fkioe f förröj e L ieheer e figr 4.4 av L { f L } e F L 4. Bevi: Me hjälp av variaeliioe τ L a geo a f för < få L { f L } Gräväreaer e τ L L f L e f e e τ τ τ f τ τ e f f L Figr 4.4. Oförröj och förröj ifkio f. L L F För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller a å väre på ie ovara av ora väre på Laplacevariael och vice vera. De.k. gräväreaera ger kokrea rck för ea aa. Begeleväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F är rik proper li f li F 4. Slväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F akar iglarieer v är egräa för alla e icke-egaiv realel L li f li F 4. 4

4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 Övig 4.. Beräka Laplacerafore för ifkioe f 5e 8e 6. Korollera relae e egele- och lväreaera. Övig 4.. Beä e ifkio o har Laplacerafore 36 4e.8. Övig 4.3. Härle Laplacerafore för e förröj ågapl elig figre ea. 4.3 Bekrivig av aika e i Laplaceplae 4.3. Överförigfkioe Beraka e lijära iffereialekvaioe 4.. Aag a iffereialekvaioe aifiera av variaelvärea. O ea illå är av peciell eele ka vi kalla e för e refereillå eller e arepk. Ofa är ea pk e aioärillå äve kalla forfarigheillå eller jävikläge är alla erivaor är oll e åo påpeka i avi 3.3 ehöver ea ie alli vara falle. E illå o aifierar iffereialekvaioe ka relaera ill e refereillå elig är -varialera ager avvikeler frå refereillåe. Iäig av ea varialer i ekvaio 4. ger efer orförkorig av refereillåe och vale a a a a 4.3 Laplaceraforerig av ekvaio 4.3 ger e eakae av a alla egeleväre för -varialera är oll U U U U Y a Y a Y a Y 4.4 f 3 3 5 Figr 4.5. Sågapl.

4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e är Y och U är Laplaceraforera av rep.. E :e erivaa ger ålee vi Laplaceraforerig pphov ill e fakor är egeleillåe är oll. Ekvaio 4.4 ka äve kriva a a a Y U 4.5 eller kopakare Y G U 4.6 är B G 4.7 a a a A är ee överförigfkio. Ila ala äve o överförigoperaor e ea eäig ka vara aige iviae efero åe och G är varialer. Vi er a vi eräkigar i Laplaceplae få ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio. I ekvaio 4.7 eeckar A överförigfkioe äare och B e äljare. Röera ill ekvaioe A o är ee karakeriika ekvaio kalla ee poler ea röera ill ekvaioe B kalla ee ollälle. Beele av poler och ollälle ehala ärare i kapile 5 och 6. Ifall ee iehåller e öi e kapiel 5 å a e ar e i L ia e iigal örjar påverka ee ka i ekvaio 4.4 göra iioe v L är v är e verkliga iigale. Aväig av -varialer a Laplaceraforerig ger L U e V 4.8 är V är Laplacerafore av v. Överförigfkioe frå V ill Y är å L G e. 4 Exepel 4.. Härleig av överförigfkioe för e kvickilvereroeer. Vi kall härlea överförigfkioe för e kvickilvereroeer o elig exepel 4. ka ekriva e iffereialekvaioe ϑ T ϑ ϑ är ϑ är ogivige eperar och ϑ är kvickilvre eperar. Vi örjar e a rcka varialera o avvikeler frå e jävikläge ϑ ϑ och ϑ ϑ v ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ är ϑ och ϑ ager avvikelera orlek. Iäig i ekvaio ger ϑ ϑ T ϑ ϑ ϑ ϑ 3 Efero ϑ ϑ och ϑ / å ϑ är e koa få ϑ T ϑ ϑ 4 är vi för lighe kll iför iargee. 4

4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Laplaceraforerig av ea oell ger T Θ Θ Θ ϑ 5 är Θ och Θ är Laplaceraforera av ϑ rep. ϑ. Efero vi aväer -varialer o ager avvikeler frå egeleillåe är ϑ. Vi får å TΘ Θ Θ 6 eller Θ G Θ 7 är G 8 T är ee överförigfkio. 3 Övig 4.4. E e ekriv av iffereialekvaioe 5 6 är och ager avvikeler frå e jävikläge. Beä ee överförigfkio. 4.3. Några koveioer rörae i- och igaler Såo ova koaerae få vi eräkigar i Laplaceplae ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio iga ara erer ka igå i rcke. Vi Laplaceraforerig erhålle e åa lijär rck ea o igalera egeleväre v era väre vi är oll. Dea villkor ppfll aoaik är a aväer -varialer v varialer o ager avvikeler frå e refereillå o gäller vi ipke. Här ager a a ör aväa e gräväre o gäller för variael är a ärar ig oll frå egaiva ia v väre rax före. Dea har eele ifall fkioe är ikoierlig vi. Efero e är e ofråkolig krav vi eräkigar e överförigfkioer a igalera har ovaäa egekap ae e vara erförå a å är falle äve o e ie klle oäa. Däre ka a o i övig 4.4 eläa ole för a förekla eeckigara. Vi koer ofa a göra å i foräige. O -varialer e ole avä är e ofa för a eoa igalera fikalika akig. I åaa fall är ole a ofa ppage för a eecka verkliga varialer.ex. äväre i procee. De rekoeera a a eeckar ifkioer e å okäver geea och era Laplaceraforer e ovarae ora okäver veraler. I ri på leiga oler är e ock ie ovalig a a larvar e ea och aväer aa ol åe för ifkioe och e Laplacerafor. Dea är öjlig för a e valigvi är klar av aahage vilke fkiop e är fråga o. Till exepel vi eräkigar e överförigfkioer är e klar a igalera Laplaceraforer avä. O rik för iförå föreligger ka a iklera argee eller för a age fkiope. När a.ex. gör e Laplaceraforerig ka ea iikio ehöva o a aväer aa ol för ifkioe och e Laplacerafor. 4 3

4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e De ör äve oervera a åe igalera ifkioer och era Laplaceraforer i allähe har e ehe. Operaioer åe i i- och Laplaceplae ör äre vara ieiorikiga. Speciell ör oervera a förärkige för e e ie är ieiolö o ioch igale har olika eheer. 4.3.3 Blockchea Vi har rea koi i koak e reglerekika lockchea i kapiel. I ea avi ge e förligare ehalig av pika lockcheakopoeer och -kofigraioer a vilka räkeoperaioer e ovarar i Laplaceplae. E lijär aik e e iigale igale och överförigfkioe G ka repreeera grafik e hjälp av e lockchea elig figr 4.6. O a ager G U G Y Figr 4.6. Blockchea för aik e. igalera i lockchea ka a aväa igalera iplaoler åo ill väer i figre eller oler för igalera Laplaceraforer åo ill höger i figre. Oeroee av vilke for o avä gäller aae Y G U 4.9 v överförigfkioe opererar på igalera Laplaceraforer ie på era ifkioer. Ma ka e e lockchea åkålig via hr e aik e gg pp av ire ele. Vikiga elee i åaa lockchea är korkioer o ekriver aio jäförele och förgreig av igaler. Figr 4.7 viar olika ä a eecka e aio figr 4.8 viar olika ä a eecka e jäförele och figr 4.9 viar e förgreig. Såo fragår v v v v v v Figr 4.7. Tre olika ä a eecka aio. r r r r r r Figr 4.8. Tre olika ä a eecka jäförele. ieär e jäförele e rakio. Oervera a e förgreig ea flerfaligar e igal e förärar ie igale i e olika greara. I figrera avä igalera ifkioer för a illrera räkereglera e aa regler gäller för igalera Laplaceraforer. Korkioera ka givevi geeraliera å a fler ä vå igaler eaka. x x x Figr 4.9. Förgreig. 4 4

4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e E ofa förekoae arrageag av ele är eriekopplig eller kakakopplig o illrera i figr 4.. Av ekvaio 4.9 följer v Y G X G G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e aaaa ee io e reckae kore i figr 4.. G x G Figr 4.. Seriekopplig. E aa erkr är parallellkopplig o illrera i figr 4.. Dea iehåller åe e förgreig och e aio. Eleeär algera ger v G G U Y Y Y G U G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e parallellkopplig. De e faeala erkre io reglerekike är egaiv åerkopplig o illrera i figr 4.. När överförigfkioe i frarikige eecka G och överförigfkioe i åerkopplige eecka H få v G Y G E G G H R H Y R G G 4.3 G H o är e la ee överförigfkio. Proke G H kalla ee kreöverförig och ekvaioe G H är e karakeriika ekvaio. G r e G G H Figr 4.. Parallellkopplig. Figr 4.. Åerkopplig. 4 5

4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Övig 4.5. Härle överförigfkioe frå ill i eaåee lockchea. Figr 4.3. Blockchea för aaa e. 4.4 Löig av iffereialekvaioer E ehäig ä a löa lijära oriära iffereialekvaioer är a aväa Laplaceraforeoer. När iffereialekvaioe Laplaceraforera er för er e eakae av iiialillå ka Laplacerafore för e eroee variael v igale ekel löa e re algeraika eoer. O iffereialekvaioe ekriver e aik e har e e iigal o ockå raforera. Tifkioe för e eroee variael ka ea erhålla geo iverraforerig av e Laplacerafor. De pika aregåge illrera i figr 4.4. INITIALPROBLEM i iplae Laplaceraforerig TRANSFORMERAT PROBLEM i Laplaceplae Algeraika operaioer i Laplaceplae LÖSNING i iplae Iver Laplaceraforerig LÖSNING i Laplaceplae Figr 4.4. Aregåg vi löig av iffereialekvaioer via Laplaceraforerig. Taeller över Laplaceraforer och ovarae ifkioer ka ja vi iverraforerige e. 4 6 och 4 7. Ifall aelle ie ppar Laplacerafore ifråga ka a geo parialråkppelig valigvi kriva e o e a av eklare raforer var ifkioer fi i aelle. Elig perpoiioae e avi 4..3 få e öka ifkioe å o a av e eklare Laplaceraforera ifkioer. Efero Laplacerafore av e ifkio iehåller ifkioe egeleväre är Laplacerafore peciell läpa för löig av egeleväreprole iiialväreprole. 4 6

4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer 4.4. Begeleväreprole I följae exepel via hr e lijär ara orige iffereialekvaio e giva egelevillkor löe e hjälp av Laplaceraforeoer. 4 Exepel 4.3. Löig av lijär iffereialekvaio e egelevillkor. Lö iffereialekvaioe 5 6 e egelevillkore. Laplaceraforerig ger e jae av eriverigaera 4.5 och 4.6 Y 5 Y 6Y Iäig av egelevillkore ger efer hfig Y 5 6 3 Dea rck fi ie i kopeie Laplaceraforaell e vi ka eparera äljare erer och efer hfig kriva Y 3 3 3 Dea erer fi o pk 7 och 8 i aelle e a och 3. I elighe e perpoiioae ka vi iverraforera erera var för ig och era relae för a få ifkioe. Relae lir 3 e e 3 3 e e e e 3 3 3 3 3 4 3 6 Koroll geo eriverig och iäig i iffereialekvaioe och egelevillkore viar a löige är korrek. 3 4.4. Tivare för e aik e Tivare för e aik e ka eäa geo iverraforerig är ee överförigfkio och iigale Laplacerafor är käa. Förfarae illrera e följae exepel. 4 Exepel 4.4. Segvare för e föra orige e. E lijär föra orige e e iigale och igale ka ekriva e iffereialekvaioe T K är K är ee aika förärkig och T e ikoa. O å är e löig och vi ka aa a ea illå råer vi. Laplaceraforerig ger å Y G U är K G 3 T 4 7

4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer är ee överförigfkio. Kvickilvereroeer i exepel 4. och 4. är ålee e lijär föra orige e e förärkige. O iigale förära egforig frå ill eg vi v o < ; eg 4 å är ea eg eg gåger å or o e eheeg och har elig avi 4.. eller pk i kopeie Laplaceraforaell Laplacerafore eg U 5 Iäig av G och U i ekvaio ger Keg Keg / T Y 6 T / T Elig pk 9 eller 6 i Laplaceraforaelle är ovarae ifkio / T e K 7 eg Här har liko vi Laplaceraforerig av egförärige äve perpoiioae ja ärare eä e regel o äger a Laplacerafore för e ifkio liplicera e e koa är lika e ifkioe Laplacerafor liplicera e aa koa. De härlea egvare har givevi aa for o egvare för kvickilvereroeer o härlee geo irek löig av iffereialekvaioe i exepel 4.. 3 Övig 4.6. Beä eheegvare v vare är iigale är e egförärig av orleke för ee i övig 4.4. 4.4.3 Parialråkppelig Laplacerafore för e ifkio.ex. e eroee variael i e iffereialekvaio e give iigal och giva egeleväre ka valigvi kriva i fore F a a a 4.33 De o Laplacerafore F varae ifkioe f ka a ofa fia irek i aellverk eller o i exepel 4.3 efer e ekel eparerig av äljare erer i elighe e perpoiiopricipe. O ea ie hjälper ka a göra e parialråkppelig. För e Laplacerafor Y iehållae e öi L å a Y F e ka a för eäa f frå F och ärefer f L elig förkjigae. Vi parialråkppelig av ekvaio 4.33 erök för o äljare graal är ire ä äare graal. I prakike gäller å go o alli a < v a ee är rik proper. Sklle å ie vara falle iviera äljarpoloe e äarpoloe å a L 4 8

4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer e äljarpolo erhålle e lägre graal ä äare. Geo ea förfarae ka Laplacerafore kriva B F F 4.34 A är A är aa äarpolo o i ekvaio 4.33 och B är e polo e lägre graal ä A. I foräige aa ärför <. Elig perpoiioae ka poloe F iverraforera kil för ig och e relerae ifkioe f aera ill ree av löige. Märk a f koer a eå av e eller flera erer ovarae ipler och ierivaor av iigale. Speciell e eare är ovalig i prakike. Fakorierig Näa eg är a fakoriera poloe A elig A p p p 4.35 är p k k är e cke reella och koplexa röera ill e karakeriika ekvaioe A. O röera p är iika alla röer är olika ora och reella ka F kriva o k Ck k pk F F 4.36 är C k k är koaer o ör eäa. Ifall e karakeriika ekvaioe har lipla reella röer reella röer o är lika ora ka F kriva o r Ck Ck k k p k r p r k F F 4.37 är p r pk k r är r cke lika ora röer. I prakike förekoer ock älla lipla röer. Ifall koplexa röer förekoer ppräer ea o koplexkojgerae ropar p σ ± jω är j är e iagiära ehee. Vi fakorierige av A ka e åa ropar aalå ill fakor σ ω. E er C σ C ω σ ω ör å iklera i parialråkppelige av F. Ifall p och och reella p är e koplexkojgera ropar och röera p k k r är lipla a ree av röera är iika och reella få parialråkppelige pr r Ck Ck C σ C k k pr k r pk σ ω 4.38 F F Mlipla koplexa röer ka äve haera e koer ie a ehala i ea kr. ω 4 9

4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Alla erer i parialråkppelige av F är åaa a era iverraforer ekel hia i kopeie Laplaceraforaell på. 4 6 och 4 7. Elig perpoiioae är e öka fkioe f a av e ekila iverraforera. Beäig av koaera C k Koaera C k ka eäa på flera olika ä. Efero parialråkppelige ör gälla för gockliga väre på variael ka a äka ig a iera cke läplig vala olika väre på i parialråkppelige och eäa C k k r e ekvaioer o ppår. E aa era allä eo är a förläga parialråkppelige v liplicera åa lee e A och ärefer förkora or äarrcke. Koaera C k ka å eäa r e ekvaioer o ppår är a kräver a parialråkppelige kall gälla kil för varje poe av. Ifall röera är iika och reella eä C k ekla elig B Ck li pk 4.39 pk A Oervera a fakor p ka förkora or o ovarae fakor i A. k 4 Exepel 4.5. Rapvare för e föra orige e. Vi kall eäa e å kallae rapvare för e föra orige e. Iigale är e rap vilke ieär a e förära lijär e ie elig aae är är e koa. Elig exepel 4.4 har e föra orige e överförigfkioe K G T För e rap e ligkoefficiee gäller i elighe e ekvaio 4.9 a e har Laplacerafore U Uigale ge å av K Y G U 3 T Dea Laplacerafor fi i kopeie Laplaceraforaell e vi kall här illrera hr vi ka fia löige geo parialråkppelig och iverraforerig av rea käa Laplaceraforer. Näare i ekvaio 3 är färig fakoriera; vi har e ekel ro / T och e elro. I elighe e ekvaio 4.37 gör vi å parialråkppelige K C C C T T 3 4 4

4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Förlägig e T ger K C C 5 T C T Dea rck åe gälla kil för varje poe av vilke ger 3 : : : K C C CT C T C 3 C C C 3 K KT KT 6 Iäig i ekvaio 4 och viare iäig i ekvaio 3 ger KT K KT Y 7 T Me hjälp av pkera och 5 i Laplaceraforaelle få å / T / T KT K KTe K T Te 8 Efer a iiialeffekera ö ärar ig igale ålee e rap e ligkoefficiee K. Direk illäpig av pk 7 i Laplaceraforaelle ger givevi aa var. 3 Övig 4.7. Iverraforera följae fkioer e hjälp av parialråkppelig: a 3 F a 4 3 5 F. 6 5 4