Styr- och kontrolldiagram (8.3-8.5) När vi nu skall konstruera kontrolldiagram eller styrdiagram är det viktigt att vi har en process som är under kontroll! Iden med styrdiagram är att med jämna tidsmellanrum ta ut ett antal enheter ur produktionen och mäta kvalitetsmåttet på dessa. Denna information vägs sedan samman på lämpligt sätt och prickas in i ett diagram. Med hjälp av det kan det avgöras om och när en förändring skett i processen.
57,5 Xbar Chart of stable 55,0 UCL=5,2 Mean 52,5 50,0 X=50,4 47,5 45,0 LCL=44,08 2 8 3 42 48 54 Ett styrdiagram består av en centrumlinje, en övre- och en undre kontrollgräns (UCL och LCL). Dessa väljs ofta till 3 standardavvikelser från centrumlinjen.
Låt X,X 2,,X n vara n observationer från processen mätta vid en och samma tidpunkt. Antag observationerna är normalfördelade med väntevärde μ och varians σ 2. Om vi vill testa H 0 : μ = μ 0 mot alternativet H A : μ μ 0 på signifikansnivån α skall vi förkasta H 0 till förmån för H A om eller om x < μ z / 0 α / 2σ x > μ + z / 0 α / 2σ n n
Vi fortsätter med andra ord att tro, med signifikansnivå α, att processen är under kontroll om μ 0 α / 2 / 0 + α / 2σ z σ n x μ z / n Om vi väljer z α/2 = 3 finner vi att α = 0.0027 och vi kan skapa ett kontrolldiagram för att kontrollera om börvärdet μ 0 hålls! Vi väljer LCL till centrumlinjen till UCL till μ0 3σ / μ 0 μ 0 + 3σ / n n
Man kan visa att om processen är under kontroll så tar det i genomsnitt /α = 370 stickprov mellan falska "larm". Detta tal kallas ARL=Average Run Length (se kap 8.8). Detta är en teoretisk härledning av ett kontrolldiagram som visar att det kan likställas med hypotesprövning. Tyvärr känner vi mycket sällan μ 0 och σ 2 utan dessa måste skattas på något sätt.
Exempel: Vi har studerat en process när den är under kontroll och tagit på varandra följande stickprov om vardera 0 observationer. Resultatet återfinns i nedanstående tabell : Batch 2 3 4 5 7 8 9 0 medel stdav 43.93 44. 48.47.5 54.2 45.43 39.8 52.7 5.28 50.39 49.5 5.99 2 53.59 4.98 53.3 52.92 50.88 47.58 4.8 43. 5.7 50.32 49.75 3.4 3 48.59 4.3 54.49 47.84 52.2 48.78 5.47 42. 57. 48.08 49.72 4.32 4 42.9 54.90 4.00 5.77 52.8 55.9 42.7 47.08 5.97 5.29 5.0.99 5 47.5 55. 53. 54. 55. 45.59 38.04 54.7 47.9 5.44 50. 5. 48.0 54.43 4.74 52.89 47.44 3.8 52.57 59. 54.93 48.3 52.35.25.. 3 50. 44.0 44.4.8 48.57 48.3 54. 42.8 55.9 50.2 49.88 5. 37 4.44 43.4 45.7 49.02 47.49 52.8 44.82 57.90 49. 49.8 48.0 4.7 38 45.5 5.22 57.59 57.75 47.97 49.3 55.45 52.7 55.3 53.9 52.2 4.22 39.7 47. 52.9 47.44 45.8 39.49 5.5 49.9 47.4 49.57 47. 5.0 52.4 58.9 50.25 48.08 54.08 53.05 48.27 48.09 4.5 50.72 50. 4.54 49.70 4.8
Vi finner följande resultat. Medelvärde Standardavvikelse UCL = 54.27 UCL = 8.03 Centrumlinjen = 49.70 Centrumlinjen = 4.8 LCL = 45.4 LCL =.33 I minitab kan vi enkelt erhålla samma resultat Stat Control Charts Xbar-S (Stat Control Charts Xbar-R för variationsbredd)
Xbar-S Chart of Batch-data 55,0 UC L=54,27 Mean 52,5 50,0 47,5 X=49,70 45,0 LC L=45,4 4 8 2 28 32 3 8 UCL=8,037 StDev 4 S=4,83 2 LC L=,329 4 8 2 28 32 3
Xbar-R Chart of Batch-data 55,0 UC L=54,27 Mean 52,5 50,0 47,5 X=49,70 45,0 LC L=45,4 4 8 2 28 32 3 25 UC L=2,33 Range 5 0 R=4,82 5 LC L=3,3 4 8 2 28 32 3
Exempel på kontrolldiagram när processen inte är under kontroll En process med n=0 och m= där två punkter hamnar utanför kontrollgränserna Xbar-S Chart of unstable Mean 55 50 UCL=5, X=50,23 45 LC L=44,2 2 8 3 42 48 54 8 UCL=8,735 StDev 4 2 S=4,8 0 LC L=0 2 8 3 42 48 54
Exempel på kontrolldiagram när processen inte är under kontroll En process med n=0 och m= där processen uppvisar en trend Xbar-S Chart of trend Mean 5 55 50 45 2 8 3 42 48 54 UCL=,78 X=55,7 LC L=49,4 8 UCL=8,880 StDev 4 2 S=4,25 0 LC L=0 2 8 3 42 48 54
Exempel på kontrolldiagram när processen inte är under kontroll En process med n=0 och m= där processen gör en hastig nivåskifte Xbar-S Chart of shift UC L=58,33 Mean 55 50 X=5,7 45 LC L=45,0 2 8 3 42 48 54 0,0 UC L=9,8 StDev 7,5 5,0 2,5 S=4,3 0,0 LC L=0 2 8 3 42 48 54
Exempel på kontrolldiagram när processen inte är under kontroll En process med n=0 och m= där processen har en ökande standardavvikelse. Xbar-S Chart of incstdev UC L=3,99 Mean 50 X=50,28 LC L=3,58 2 8 3 42 48 54 UC L=,0 StDev 5 0 5 S=9, 0 LC L=0 2 8 3 42 48 54
Testmöjligheter i MINITAB (8-3.4). One point more than 3 sigmas from center line 2. Nine points in a row on same side of center line 3. Six points in a row, all increasing or all decreasing 4. Fourteen points in a row, alternating up and down 5. Two out of three points more than 2 sigmas from center line (same side). Four out of five points more than sigma from center line (same side) 7. Fifteen points in a row within sigma of center line (either side) 8. Eight points in a row more than sigma from center line (either side)
CUSUM-diagram (ej i boken) När man använder I-MR diagram (vid individuella mätningar) kan det vara svårt att se ett litet skift i processens nivå. I-MR Chart of trend 70 UCL=70,5 Individual Value 50 X=5,07 80 00 Observation 80 0 LC L=4,50 UCL=7,90 Moving Range 5 0 5 MR=5,48 0 LC L= 0 80 00 Observation 80 0
CUSUM-diagram (ej i boken) CUSUM-diagrammet är mycket känslig för små skift och larmar tidigt. För samma data får vi följande resultat: CUSUM Chart of trend UCL=9,43 Cumulative Sum 0 0-0 0 - LCL=-9,43 - - 80 00 80 0
EWMA-diagram (ej i boken) EWMA-diagrammet består av z t =γ x t +( - γ )z t- som plottas mot t (x t kan vara ett enskilt värde eller t.ex. ett medelvärde). Vi har i exemplet nedan använt γ =0.2 EWMA Chart of shift 57,5 UCL=57,57 55,0 EWMA 52,5 50,0 X=52,55 47,5 LCL=47,53 45,0 80 00 80 0
Styr- eller Kontrolldiagram för attribut (8.7) p-diagram med samma stickprovsstorlek Detta diagram använder man då man vill kontrollera proportionen felaktiga i en tillverkningsprocess. Om proportionen är okänd måste den uppskattas från data. Det är då viktigt att datamaterialet kommer från ett avsnitt som är under kontroll. Tag m stycken stickprov om n observationer. Tumregel är m=25-50 och n så stort att det är stor sannolikhet att defekta hittas.
p-diagram med samma stickprovsstorlek I nedanstående exempel har vi valt m=50 och n=5. P Chart of p-antal 0,35 UCL=0,3579 0, Proportion 0,25 0, 0,5 P=0,7 0,0 0,05 LCL=0,053 5 0 5 25 35 45 50
p-diagram med samma stickprovsstorlek Exempel på en process med m=50, n=5 och med ett skift. P Chart of p-antal trend 0,25 0, P Chart for Result UCL=0,280 Proportion 0,5 0,0 0,05 Proportion 0.4 0.3 0.2 0. 3.0SL=0.2759 P=0.449 P=0,043 0,00 0.0-3.0SL=0.0393 LCL=0 5 0 0 5 0 25 Number 35 50 45 50
p-diagram med varierande stickprovsstorlek På liknande sätt som vid variabler kan kontrolldiagram skapas som anpassar sig efter hur stort n är i varje stickprov. 0,4 P Chart of p-antalolikan UCL=0,35 0,3 Proportion 0,2 P=0,23 0, LCL=0,0570 0,0 5 0 5 25 35 45 50 Tests performed with unequal sample sizes
c-diagram Vid tillverkning av en produkt, t ex glasrutor, kan det uppstå ett antal felaktigheter. Om detta antal kan anses vara Poissonfördelat kan vi konstruera ett s k c-diagram för detta antal. 2 0 C Chart of c-antal UCL=, Count 8 4 C=4,7 2 0 LCL=0 5 0 5 25 35 45 50
Andra diagramtyper Np-diagram: Istället för p-diagram studerar vi antalet defekta bland N. u-diagram: I stället för c-diagram studerar man medelantalet felaktigheter istället för antalet felaktigheter. Detta förutsätter att vi har studerat N> produkter vid varje tillfälle.