Kapabilitet eller duglighet jämför förmågan hos en process (väntevärdet μ och standardavvikelsen σ) med de krav vi har på den i form av givna

Transkript

1 σ LSL μ USL Kapabilitet eller duglighet jämför förmågan hos en process (väntevärdet μ och standardavvikelsen σ) med de krav vi har på den i form av givna specifikationsgränser (LSL, USL).

2 Det är vanligtvis nödvändigt att få information om kapabiliteten för en process då den är under kontroll. Betrakta en normalfördelad population med väntevärde μ och standardavvikelse σ. σ För en sådan population är sannolikheten att få ett värde större än μ + 3σ eller mindre än μ -3σ cirka Vi säger att de naturliga toleransgränserna är: NUTL= μ + 3σ NLTL= μ -3σ Dvs för en process som är under kontroll bör 99 73% av observationerna Dvs. för en process som är under kontroll bör 99.73% av observationerna hamna innanför de naturliga toleransgränserna.

3 Två saker bör kommenteras: % utanför dessa gränser låter lite men utgör 700 felaktiga per 1 miljon tillverkade.. Om processen inte är normalfördelad kan andelen utanför gränserna skilja sig mycket från 0.7% Om vi har många observationer är histogrammet tillsammans med medelvärdet dlädtoch standardavvikelsen d ikl för observationerna ett utmärkt äktsätt att uppskatta de naturliga toleransgränserna μ ± 3σ.

4 Längder i mm hos 0 stickprov om vardera 5 kamaxlar, från två olika leverantörer (supp1 och supp). Specifikationsgränser: 600 ± mm, dvs LSL = 598, USL = 60 Xbar-S Chart of Supp UC L= ean Sample M _ X= LC L= Sample UC L= mple StDev Sa _ S= LC L= Sample Dataset: Camshaft.mtw (C:\Program\Minitab 15\English\Sample Data)

5 Summary for Supp1 A nderson-darling Normality Test A-Squared 0.84 P-V alue 0.09 Mean StDev 0.6 V ariance 0.38 Skewness Kurtosis N Minimum st Q uartile Median rd Q uartile Maximum % C onfidence Interv al for M ean % C onfidence Interv al for Median Mean 95% Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev Median Histogrammet t och test t av normalitet t stöder inte att kamaxellängderna från leverantör 1 är normalfördelade (p-värde = 0.09). Vi kan inte säkert påstå att 99,73% av längderna kommer att ligga inom 6σ.

6 Man skiljer på två typer av standardavvikelser; overall resp within. Processens within-standardavvikelse kan uppskattas på många sätt: Medelstandardavvikelse Run Chart of Supp1 Pooled standardavvikelse Medel- range Su upp Overall-standardavvikelsen baseras på stickprovs- standardavvikelsen s uträknad med alla observationerna Sample

7 Tyvärr underskattar s (i genomsnitt) den sanna n c n c standardavvikelsen. Detta kan man korrigera för genom att bilda kvoten σˆ = s/c, där c ges i tabellen (alt. utdelad tabell) eller av formeln c 4 ( 4 n n 1) när n >

8 8.6 Processens duglighet g (kapabilitet) Stickprovets standardavvikelsen (overall) blir s = 0.6 (mer exakt ). Efter korrigering blir skattningen ˆ σ = s / c = / = Notera att MINITAB väljer att inte korrigera overall-standardavvikelsen! d l! Vi kan även skatta standardavvikelsen d (within) ihi utifrån styrdiagrammet genom medelvärdet av 0 standardavvikelser vardera baserad på 5 kamaxellängder. S = Efter korrigering blir skattningen ˆ σ = s / c = / 0.94 = Vi kan även skatta standardavvikelsen (within) utifrån styrdiagrammet genom medelvärdet av 0 variationsvidder vardera baserad på 5 kamaxellängder. R = 1.36 Efter korrigering blir skattningen ˆ σ = R / d = 1.36 /.36 =

9 8.6 Processens duglighet g (kapabilitet) Vi kan även skatta σ med den poolade standardavvikelsen. Med variansanalys kan vi bestämma total variation SS T, variation mellan stickprov SS TREATMENTS och den rena (within) variationen SS E. Varje stickprov betraktar vi som en behandling som är slumpmässig (random effect). General Linear Model: Supp1 versus C7 Factor Type Levels Values Stpr random 0 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 1; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 0 Analysis of Variance for Supp1, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Stpr 19 11, ,5536 0,6081 1,84 0,03 Error 80 6,4160 6,4160 0,330 Total 99 37,9696 S = 0, R-Sq = 30,43% R-Sq(adj) = 13,91%

10 8.6 Processens duglighet g (kapabilitet) Variansen skattar vi med MS E = MS E = För att få en väntevärdesriktig skattning av standardavvikelsen måste vi divideras med konstanten c(df) 4(df-1)/(4*df-3) = 4(80-1)/(4*80-3) = dvs. vi får att den poolade skattning av standardavvikelsen blir / =

11 Beroende på hur vi väljer att skatta standardavvikelsen σ kan vi nu uppskatta det naturliga toleransgränserna. Vi kan antingen använda (Rbar) ± 3* = (597.79, ) eller (Sbar) ± 3* = (597.81, 601.8) eller (Pooled) ± 3* = (597.8,, 601.8) ) eller (Overall) ± 3* = (597.69, ). Att jämföra med de i exemplet givna toleransgränserna (specifikationsgränserna) 598 respektive 60. Den uppskattade nedre naturliga toleransgränsen ligger under den nedre toleransgränsen (specifikationsgränsen). Den övre toleransgränsen ligger under den övre toleransgränsen. Dessutom har vi en produktion som ligger lägre i värde än vad som avses. (Här kan man fråga sig om börvärdet μ = 600 eller om μ är närmare 599.5)

12 Processens within-standardavvikelse beräknas här med pooled standardavvikelse. Stat Quality Tools Capability Analysis Normal

13 Ett mått på processens kapabilitet är kvoten Cp USL LSL = 6σ där USL och LSL är specifikationsgränserna. Eftersom σ oftast är okänd ersätts den av en skattning av σ (antingen within eller overall standardavvikelsen). Används overall -skattningen ktti betecknas bt kvoten Pp i MINITAB. Cp och Pp (potentiell kapabilitetskvot) ) är mått på förmågan hos processen att tillverka produkter som uppfyller specifikationerna. Toleransområdets bredd (6σ) bör inte vara bredare än specifikationsviddens bredd (USL-LSL). (1/Cp)*100 anger hur stor procentuell andel av specifikationsvidden som (1/Cp) 100 anger hur stor procentuell andel av specifikationsvidden som används av processen.

14 Cp > 1 innebär att de flesta enheterna uppfyller specifikationsgränserna (om processen är centrerat runt önskat väntevärde µ). Cp 1 innebär att cirka 99.73% av enheterna uppfyller specifikationsgränserna (om processen är centrerat runt önskat väntevärde µ). Cp < 1 innebär att en låg andel av enheterna uppfyller specifikationsgränserna. Tumregel l( (enligt tminitab) Cp > Iexemplet blir p Cp = (60-598)/(6*0.5764) = (within, pooled ) Pp = (60-598)/(6*0.608) = (overall)

15 Cp (Pp) tar inte hänsyn till var processens medelvärde är lokaliserat i förhållande till specifikationsgränserna. Cp mäter endast utbredningen av specifikationerna i förhållande till 6-sigma utbredningen i processen. Om processen har ett medelvärde som avviker från centrum av specifikationen kommer den aktuella kapabiliteten att vara lägre än Cp (den potentiella kapabiliteten). )

16 Ett mått på den aktuella kapabiliteten definieras som Cpk = USL μ μ LSL min, 3σ 3σ = CPU min 3σ, CPL 3σ vilken skattas med USL X X LSL min, 3ˆ σ 3σˆ I exemplet får vi med poolad within-skattning Cpk= min[( )/(3*0.5764), )( ),( )/(3*0.5764)] )( )] = = min[1.4, 0.90] = 0.90

17 För overall -skattningen får vi motsvarande mått Ppk = min[( )/(3*0.6193), ( )/(3*0.6193)] = = min[1.3, 0.83] = 0.83

18 Ett ytterligare mått på den aktuella kapabiliteten som MINITAB ger är där CCpk target ˆ μ = (USL - LSL)/ x USL ˆ μ ˆ μ LSL = min, 3σ 3σ om target anges om USL och LSL är angivet men ej target annars MINITAB anger också kapabilitetsmåttet Cpm som tar hänsyn till hur långt man ligger i förhållande till target när standardavvikelsen beräknas. StDev = ( xi target) /( n 1) Target specificeras under options.

19 Estimate se nästa slide Targetvärde specificeras under Options Under Storage kan vi spara undan alla kapabilitetsmått. Stat Quality Tools Capability Analysis Normal

20 Här kan man välja om skattningarna av standardavvikelserna skall korrigeras eller inte.

21 Under options är target satt till 600.

22 Betraktar vi datamaterialet finner man att en observation var lägre än LSL medan noll stycken var större an USL. Vi observerade 1 på 100 som var mindre än LSL, dvs ppm (parts per million) Vi fann också att 0 ppm var större än USL. Totalt: ppm var utanför toleransgränserna Eftersom vi antar att observationerna är normalfördelade kan vi bestämma sannolikheterna att en observation skall hamna utanför toleransgränserna. P(Obs < LSL) = P((Obs-μ)/σ < (LSL-μ)/σ) = Φ((LSL-μ)/σ) = = Φ( )/ ) )/ ) = Φ(-.6855) = Vi förväntar oss i genomsnitt att finna av en miljon observationer nedanför LSL. Räknar vi med StDev (Overall) = får vi att P(Obs < LSL) = Φ( )/ ( ) ) = Φ(-.4996) ( ) = 0.006

23 Under options kan vi välja att presentera siffror i procent istället för parts per million och att få konfidensintervall i för PCR och PCRk.

24

25 601,5 Run Chart of Supp1 601,0 600,5 Su upp1 600,0 599,5 599,0 598,5 598, Sample Number of runs about median: 13 Number of runs up or down: 13 Expected number of runs: 11,00000 Expected number of runs: 13,00000 Longest run about median: 3 Longest run up or down: 3 Approx P-Value for Clustering: 0,8094 Approx P-Value for Trends: 0,50000 Approx P-Value for Mixtures: 0,17906 A pprox P-Value for Oscillation: 0,50000 Stat Quality Tools Run Chart

26 Låt oss betrakta grafen Run Chart. I rutan under grafen finns test för datamaterialets slumpmässighet Test for randomness Condition Indicates Number of runs about the median More runs observed than expected Fewer runs observed than expected Mixed data from two population Clustering of data Number of runs up or down More runs observed than expected Oscillation data varies up and down rapidly Fewer runs observed Trending of fdata than expected I exemplet kan vi påvisa inga icke-slumpmässiga egenskaper ty alla p- värden är större än α (0.05).

27 Stat Quality Tools Capability Sixpack Normal

28 Benchmark Z s Stat Quality Tools Capability Analysis Normal

29 Stat Quality Tools Capability Analysis Normal

30 Betraktar man within-analysen finner man att x LSL USL - x Z.LSL = =.69 och Z.USL = = 4.5. σˆ σˆ WITHIN WITHIN D v s LSL ligger.69* enheter till vänster om medelvärdet och σˆwithin att USL ligger 4.5* enheter ete till höger om medelvärdet. det. σˆwithin Cpk-värde > 1 om och endast om både Z.LSL och Z.USL är större än 3. P(Obs < LSL) = P(Obs > USL) = P(Obs utanför gränserna) = =

31 Z.Bench =.68 är bestämd så att sannolikheten att vi skall ligga.68*σ WITHIN till vänster om medelvärdet är , (alternativt ti t är sannolikheten att vi skall ligga.68*σ WITHIN till höger om medelvärdet är ) Ju större Z.Bench-värde desto mindre är sannolikheten att vi skall hamna utanför specifikationsgränserna. Motsvarande kan vi bestämma m h a overall -standardavvikelsen.

32 För att sannolikheter, test och konfidensintervall skall vara pålitliga så bör observationerna vara normalfördelade. Om de inte är normalfördelade, känner vi kanske till den korrekta fördelningen. Då kan vi utnyttja detta vid konstruktionen av kapabilitetsanalysen. Skulle vi inte känna till den korrekta fördelningen kan vi försöka att transformera data till att likna normalfördelade data.

33 Stat Quality Tools Individual Distribution Identification

34 Stat Quality Tools Individual Distribution Identification

35 Exempel: Ordermottagning per telefon. (bpcapa.mtw) Antalet inkommande samtal och antalet obesvarade samtal registreras under 0 dagar. Variable Count Mean StDev Variance Minimum Median Maximum Unavailable Calls P Chart of Unavailable UCL= Proportion _ P= LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes Dataset: bpcapa.mtw (C:\Program\Minitab 15\English\Sample Data)

36 Stat Quality Tools Capability Analysis Binomial

37 Binomial Process Capability Analysis of Unavailable P Chart UC L= Rate of Defectives Propor rtion Sample _ P=0.643 LC L= %Defe ective Sample Size 000 Tests performed w ith unequal sample sizes Cumulative %Defective Dist of %Defective 3.5 Summary Stats (using 95.0% confidence) Tar 8 %Defectiv ve Sample 15 0 %Defectiv e:.64 Low er C I:. Upper C I: 3.07 Target: 0.00 PPM Def: 647 Low er C I: 41 Upper C I: Process Z: Low er C I: Upper C I:

38 Procentuell andel defekta med motsvarande konfidensintervall. Parts per million defekta med motsvarande konfidensintervall. Ju större Process Z-värde desto mindre andel defekta! Om andelen defekta är 50% blir Process Z = 0 Om andelen defekta är 5% blir Process Z = Om andelen defekta är 10% blir Process Z = Om andelen defekta är 5% blir Process Z = Om andelen defekta är 1% blir Process Z =.363 Om andelen defekta är 0.001% 001% blir Process Z =4.649 Samband: SQL= Process Z

39 Exempel: Antal defekter - poissonfördelning (bpcapa.mtw) Antalet defekter på 100 elektriska kablar är registrerade. Även varje kabels längd är registrerad. Variable Count Mean StDev Variance Minimum Median Maximum Weak Spots Length U Chart of Weak Spots UCL= Sample Count Per Unit _ U= LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes Dataset: bpcapa.mtw (C:\Program\Minitab 15\English\Sample Data)

40 Stat Quality Tools Capability Analysis Poisson

41 Poisson Capability Analysis of Weak Spots Sample Count Per Un nit U Chart Sample UC L= _ U=0.065 LC L=0 100 DPU Defect Rate Sample Size Tests performed w ith unequal sample sizes Cumulative DPU Dist of DPU Summary Stats (using 95.0% confidence) Tar 16 DPU Mean DPU: Low er C I: Upper CI: Min DPU: Max DPU: Targ DPU: Sample Mean DPU: antal defekter per längdenhet Stat Quality Tools Capability Analysis Poisson

42 8.9 Mätprocessers duglighet Gage Repeatability &Reproducibility används för att utröna hur stor del av processens variation som kommer från operatörer och hur stor del som kommer från mätinstrument. Repeterbarhet - mätutrustningens variation. Den variation man har då samma objekt mäts om och om igen under samma betingelser. Reproducerbarhet - mätsystemets variation. Den variation man har då olika operatörer mäter samma objekt om och om igen under samma betingelser. 4

43 8.9 Mätprocessers duglighet MINITAB-exempel (Gageaiag.mtw.): Tio slumpmässiga objekt valdes från produktionen. Tre operatörer mätte de tio objekten två gånger (i en slumpmässig ordning) Gage Run Chart of Response by Part, Operator Gage name: Date of study: Reported by : Tolerance: Misc: Mean Operator Response Mean Panel variable: Part Operator Stat Quality Tools Gage Study Gage Run Chart 43

44 8.9 Mätprocessers duglighet Y ijk = μ + part i + oper j + (part*oper) ij + ε ijk, i = 1,,,10, j = 1,,3, k=1,. Total variation Part-to-part Mätsystem Repeterbarhet Mätutrustningen Reproducerbarhet Operatörer Operatör Samspel Operatör Part 44

45 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Part Operator Part * Operator Repeatability Total Detta är en vanlig ANOVA analys med alla faktorer satta som random. Vi har ett signifikant samspel vilket tyder på att operatörerna behandlar objekten (parts) olika. Vi kan skatta de varianskomponenter som ingår i modellen, dvs σ = σ + σ + σ + Total part oper part*oper σ repeat Stat Quality Tools Gage Study Gage R&R Study (Crossed) 45

46 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation σ σ σ σ σ Total oper reprod repeat = , = , = = σ oper + σ measurement system = σ σ part part*oper σ part*oper repeat = , = = = σ reprod = =

47 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation % av den totala variation tillskrivs mätsystemet. Resten 89.33% tillskrivs variationen mellan objekt (Part-To-Part) Part). Större delen av mätsystemets variation tillskrivs reproducerbarheten, dvs operatörerna. 47

48 8.9 Mätprocessers duglighet Study Var %Study Var Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation Number of Distinct Categories = 4 Ett annat sätt att beskriva variation med är standardavvikelsen. Nackdelen med den är att standardavvikelser inte är additiva (vilket varianser är) Ett vanligt mått (index) är procentuell gauge: %R&R = σ measurement system / σ Total = /0.039 = 3.66%. Under 10% - OK, över 30% - inte acceptabelt. 48

49 8.9 Mätprocessers duglighet Study Var %Study Var Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Operator*Part Part-To-Part Total Variation Number of Distinct Categories = 4 Number of Distinct Categories = Heltalsdelen av Standardavvikelse för Parts Standardavvikelse för Gage 1.41 = Rekommendation: 5 eller större tyder på ett bra mätsystem =

50 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R (ANOVA) for Response Gage name: Date of study: Reported by : Tolerance: Misc: 100 Components of Variation % Contribution % Study Var 1.00 Response by Part Percent Sample Range Gage R&R Repeat Reprod R Chart by Operator 1 3 Xbar Chart by Operator 1 3 Part-to-Part UCL=0.15 _ R= LCL= Part Response by Operator 1 Operator Operator * Part Interaction Sample Mean _ UCL= X= LCL= Averag ge Operator Part

51 8.9 Mätprocessers duglighet Den översta grafen till vänster illustrerar hur andelen standardavvikelse (contribution) respektive varians (Study var) fördelar sig. De två nedre graferna till vänster är R chart och Xbar chart uppdelade på de tre operatörerna. För Xbar chart är larm bra, för det indikerar på att mätprocessen är bra på att skilja på olika objekt (parts). R chart beskriver hur variationen ser ut inom respektive operatör. Om variationen är olika för olika operatörer tyder på att handhavandet är olika och att mät-utbildning kan behövas. De två övre graferna på höger sida är s.k. individual value plots (finns under Graph). Samspelsplotten i det nedre högra hörnet bör motivera det signifikanta samspelet vi fann i analysen. 51

52 8.9 Mätprocessers duglighet MINITAB-exempel (Gage.mtw): Tre slumpmässiga objekt valdes från produktionen. Tre operatörer mätte de tre objekten tre gånger (i en slumpmässig ordning) Gage Run Chart of Response by Part, Operator Gage name: Date of study: Reported by : Tolerance: Misc: Operator Re esponse 400 Mean Panel variable: Part Operator Stor variation inom operatör (dålig repeterbarhet). 5

53 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R (ANOVA) for Response Gage name: Date of study: Reported by : Tolerance: Misc: 100 Components of Variation % Contribution % Study Var 600 Response by Part Sample Range Percent Sample Mean Gage R&R Repeat Reprod R Chart by Operator 1 3 Xbar Chart by Operator 1 3 Part-to-Part UCL=376.5 _ R=146.3 LCL=0 UCL=555.8 _ X=406. LCL= Avera age Part Response by Operator 1 Operator Operator * Part Interaction Part Operator

54 8.9 Mätprocessers duglighet Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Part Operator Part * Operator Repeatability Total 6 00 I och med att samspelet inte var signifikant får man automatiskt analyser med Two-Way ANOVA Table Without Interaction och utan samspel Source DF SS MS F P Part Operator Repeatability Total

55 8.9 Mätprocessers duglighet %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R R Repeatability Reproducibility Operator Part-To-Part Total Variation Study Var %Study Var Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operator Part-To-Part Total Variation Number of Distinct Categories = 1 55

56 8.9 Mätprocessers duglighet MINITAB-exempel (Gagenest.mtw): Tre operatörer mätte vardera fem objekt två gånger. Notera att objekten var olika från operatör till operatör (de kanske förstörs vid mätning). I och med att alla operatörer inte kan mäta på samma objekt kommer objekten att vara unika för respektive operatör. Man säger att objekten är nested under operatör, dvs vi har en så kallad nested design. Här kan man inte göra en Gage Run Chart. 56

57 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R (Nested) for Response Gage name: Date of study: Reported by : Tolerance: Misc: Percent Components of Variation Response By Part ( Operator ) 18 % Contribution % Study Var Gage R&R Repeat Reprod Part-to-Part Part Operator Billie Nathan Steve 5 Sample Range R Chart by Operator Billie Nathan Steve Xbar Chart by Operator Billie Nathan Steve UCL=4.90 _ R=1.313 LCL=0 UCL= Billie Response by Operator Nathan Operator Steve Sample Mean _ X= LCL=1.678 Stat Quality Tools Gage Study Gage R&R Study (Nested) 57

58 8.9 Mätprocessers duglighet Gage R&R Study - Nested ANOVA Gage R&R (Nested) for Response Source DF SS MS F P Operator Part (Operator) Repeatability Total Gage R&R %Contribution Source VarComp (of VarComp) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-To-Part Total Variation

59 8.9 Mätprocessers duglighet Study Var %Study Var Source StdDev (SD) (6 * SD) (%SV) Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Part-To-Part Total Variation Number of Distinct Categories = 1 59