5. Kontrolldiagram. I Chart of T-bolt. Observation UCL=0, , , ,74825 _ X=0, , , ,74750 LCL=0,747479

Transkript

1 5. Kontrolldiagram Om man är delaktig i en produktionsprocess (kanske mitt i), hur kan man då veta att det man gör inte bidrar till en kvalitetsbrist hos slutprodukten? Genom att specificera nödvändiga kvalitetsegenskaper (dimensioner, fysikaliska egenskaper, kemiska egenskaper, ) och tillåtna gränser kan man konkretisera begreppet kvalitet.

2 5. Kontrolldiagram I Chart of T-bolt 0,74875 UCL=0, ,74850 Individual Value 0, ,74800 _ X=0,7482 0, ,74750 LCL=0, Observation

3 5. Kontrolldiagram När en förbättring har implementerats vill man övervaka processen (vissa kvalitetsegenskaper) under en tid så att förbättringarna blir bestående och att symptomen inte återuppstår. I vissa fall vill man ha ständig kontroll på en eller flera kvalitetsegenskaper (se till att processen är under kontroll). Betraktar vi mätningar av kvalitetsegenskaper så uppvisar de variation och man skiljer mellan två olika typer av variation: Urskiljbar variation, skapas av urskiljbara orsaker (assignable causes). Kan visas sig som t.ex. en trend (slitage, temperaturökning) eller ett shift (personalbyte, ny maskininställning, nytt materialparti). Slumpmässig variation, skapas av slumpmässiga orsaker (chance causes). I regel många orsaker som var och en har liten inverkan. En process (kvalitetsegenskap) som endast innehåller slumpmässig variation är stabil och ger bästa möjliga resultat under rådande förhållanden.

4 5. Kontrolldiagram Stabil process En process (kvalitetsegenskap) som endast innehåller slumpmässig variation är stabil och ger bästa möjliga resultat under rådande förhållanden. En sådan process sägs vara under kontroll. Innan den är stabil (under kontroll) är den inte förutsägbar. Styrning (övervakning) Vi vill bibehålla en stabil process. Vi måste därför följa processen genom att mäta kvalitetsegenskaper, så att vi snabbt kan upptäcka nya urskiljbara variationer och sätta in lämpliga åtgärder.

5 5. Kontrolldiagram Kontrolldiagram används för att styra en stabil process där målet är att bibehålla stabiliteten och så snabbt som möjligt upptäcka och åtgärda nya urskiljbara variationer. När man skall konstruera ett kontrolldiagram är det viktigt att man har en process som är under kontroll! Idén med kontrolldiagram är att med jämna tidsmellanrum ta ut ett antal enheter ur produktionen och mäta kvalitetsmåttet på dessa. Denna information vägs sedan samman på lämpligt sätt och prickas in i ett diagram. Med hjälp av diagrammet kan det avgöras om och när en förändring skett i processen.

6 5. Kontrolldiagram Arbetet med styrdiagram brukar delas in i två faser, Fas I bestämning av styrgränser Fas II använda styrdiagrammet i processen I fas I bestämmer man styrgränserna med hjälp av ett representativt stickprov taget över en tidsperiod där processen är stabil. I fas II applicerar man styrdiagrammet i processen som ett övervakningsverktyg.

7 5. Kontrolldiagram 57,5 Xbar Chart of stable UCL=56,2 55,0 Sample Mean 52,5 50,0 47,5 _ X=50,4 45,0 LCL=44, Sample Ett kontrolldiagram består av en centrumlinje samt en övre och en undre kontrollgräns (UCL och LCL). Dessa väljs ofta till 3 standardavvikelser från centrumlinjen.

8 5.. Diagram för individuella mätningar Valet av plus/minus 3 gånger skattade standardavvikelsen bygger helt enkelt på följande egenskap för normalfördelningen: 99.73% av alla observationer hamnar inom μ 3σ, μ + 3σ Sannolikheten att en process som är under kontroll ger ett värde utanför kontrollgränserna (falskt larm) är , dvs i genomsnitt var 370:e tidpunkt. Talet 370 kallas Average Run Length.

9 5.. Diagram för individuella mätningar En vanlig situation är när man endast kan eller man väljer att ta en observation vid varje mättillfälle. I sådana fall används I-diagrammet där I står för Individual. Här förespråkas att man använder så kallad Moving Range (MR) för att uppskatta processens standardavvikelse s. Moving Range är avståndet mellan två på varandra följande observation. Avståndet mellan observation nr i och i är MR i = X i X i. Metoden är mindre känslig jämfört med stickprovsstandardavvikelsen s om urskiljbara orsaker skulle påverka processen under bestämmandet av styrgränserna.

10 Exempeldata nr obs Mri Nr obs Mri 46,3238 * 2 4,6294 3, ,3092 9, ,897 0, ,352 8, ,229, ,4222 0, ,9069 3, ,454 7, ,7735 5, ,458 4, ,2859 2, ,5275 7, ,7656 2, ,0096 9, ,758 7, ,574, ,6959 4, ,648 3, ,983 5,728 55,6073 3, ,7999 2, ,4737 5, ,8247, ,070 4, ,7338 2, ,054 3, ,4949 4, ,5732 2, ,655 9, ,874 4, ,023 2, ,9928, ,49, ,8565 8, ,5764 3, ,3656 0, ,7805 3, ,4747 3, ,855 0,9650 MR i = X i X i

11 5.. Diagram för individuella mätningar Skattningen av s ges av medelvärdet av Moving Range dividerat med Hartleys konstant d 2. mr/.28 Hartleys konstant återfinns i Appendix 2 i boken, för n = 2 har vi d 2 =.28. Övre respektive undre kontrollgränserna (UCL, LCL) bestäms som medelvärdet (alternativt ett eget valt målvärde) plus/minus 3 gånger skattade standardavvikelsen x ± 3mr/.28 (se Box 5. sid 45 i boken). Kom ihåg att processen måste vara under kontroll när gränserna bestäms!!!

12 nr obs Mri Nr obs Mri 46,3238 * 2 4,6294 3, ,3092 9, ,897 0, ,352 8, ,229, ,4222 0, ,9069 3, ,454 7, ,7735 5, ,458 4, ,2859 2, ,5275 7, ,7656 2, ,0096 9, ,758 7, ,574, ,6959 4, ,648 3, ,983 5,728 55,6073 3, ,7999 2, ,4737 5, ,8247, ,070 4, ,7338 2, ,054 3, ,4949 4, ,5732 2, ,655 9, ,874 4, ,023 2, ,9928, ,49, ,8565 8, ,5764 3, ,3656 0, ,7805 3, ,4747 3, ,855 0,9650 Mean of Mri Mean of Mri = 5,90222 σ = MR = d 2.28 = Mean of obs Mean of obs = 49,6342 Calc Column Statistics UCL = X + 3 σ = 49, = 49, = LCL = X 3 σ = 49, = 49, =

13 5.. Diagram för individuella mätningar 70 I Chart of obs UCL=65,33 60 Individual Value _ X=49,63 LCL=33, Observation När man väl har bestämt kontrollgränserna LCL och UCL ska dessa användas för att styra kommande mätningar (fas II). Gränserna ska inte räknas om för varje ny mätning man gör. Stat Control Charts Variabels Charts for Individuals Individuals

14 2 3 Genom att specificerat Mean och Standard deviation under I Chart Option fixerar man kontrollgränserna. Stat Control Charts Variabels Charts for Individuals Individuals

15 5.. Diagram för individuella mätningar Den streckade röda linjen erhålls genom att högerklicka på grafen och välja Add Reference lines Hade vi inte fixerat kontrollgränserna skulle Minitab ha räknat om kontrollgränserna utifrån alla 50 observationerna (som uppenbarligen inte är under kontroll). Risken är att gränserna skulle bli vidare och inget larm skulle ske!

16 5.. Diagram för individuella mätningar I Chart of obs_extrem UCL=7,50 Individual Value _ X=50, LCL=30, Observation Ex. Antag att vi har belägg för att processen inte är under kontroll vid observation 2 och 36. Dessa bör då inte vara med vid konstruktion av kontrollgränserna.

17 Ta inte fysiskt bort observation 2 och 36! Gör istället så här. På så sätt får man korrekta skattningar av väntevärde och standardavvikelse.

18 5.. Diagram för individuella mätningar I Chart of obs_extrem Individual Value UCL=64,55 _ X=49,50 40 LCL=34, Observation Genom att utesluta observation 2 och 36 kommer de resterande observationerna bilda en stabil process. Gränserna blir snävare (tidigare och 7.50).

19 5.. Diagram för individuella mätningar Anta att vi har gjort ett kvalitetsarbete vid 40:e observationen och mätt 20 gånger efter förändringen.

20 5.. Diagram för individuella mätningar

21 5.. Diagram för individuella mätningar Det är inte enbart observationernas genomsnittliga nivå som är intressant utan även om spridningen förändras över tiden. Moving Range Chart of obs 20 UCL=9,28 5 Moving Range 0 5 MR=5,90 0 LCL= Observation Stat Control Charts Variabels Charts for Individuals Moving Ranges

22 5.. Diagram för individuella mätningar Moving Range Chart of obs_extrem Moving Range UCL=8,49 MR=5,66 0 LCL= Observation Kontrollgränserna för MR för serien med två extrema observationer (obs 2 och 36 har uteslutits vid bestämmandet av gränserna).

23 5.. Diagram för individuella mätningar I-MR Chart of obs_extrem 80 Individual Value UCL=64,55 _ X=49,50 40 LCL=34, Observation 30 Moving Range 20 0 UCL=8,49 MR=5,66 0 LCL= Observation Vi kan få båda typerna av diagram i samma graf. Stat Control Charts Variabels Charts for Individuals I-MR

24 5.. Diagram för individuella mätningar I-MR Chart of AR 4 UCL=3,23 Individual Value _ X=0,836 LCL=-,450 Observation 3 UCL=2,809 Moving Range 2 MR=0,860 0 LCL= Observation I detta fall är processen under kontroll men vi får ändå massor av larm. Varför?

25 5.. Diagram för individuella mätningar Eftersom mätningarna är tagna i tiden finns det stor risk för att mätvärdena är beroende. Speciellt om mätningarna görs nära varandra i tiden. Är beroendet positivt underskattas i regel standardavvikelsen och om det är negativt får vi vanligtvis en överskattning. Ett sätt att reducera beroendet är att inte mäta alltför nära i tiden när gränserna skapas. Man kan även modellera med hjälp av tidsserieanalys men kommer inte behandlas i denna kurs.

26 5..2 Test för bevis av variation av särskilt slag I Chart of obs_utökat I Chart of obs_utökat UCL=65, UCL=65, Individual Value 50 _ X=49,63 Individual Value 50 _ X=49, LCL=33,94 LCL=33, Observation Observation Det kan finnas andra mönster som tyder på att processen inte är under kontroll.

27 5..2 Test för bevis av variation av särskilt slag Under Chart Options kan vi utöka antalet test.

28 5..2 Test för bevis av variation av särskilt slag Feltyper:. En obs mer än 3 sigma från centrumlinjen (falskt larm) 2. 9 obs i rad på samma sida om centrumlinjen 3. 6 obs i rad som alla växer eller avtar 4. 4 obs i rad som alternerar upp och ner 5. 2 av 3 på varandra följande obs längre bort än 2 sigma från centrumlinjen (på samma sida) 6. 4 av 5 på varandra följande obs längre bort än sigma från centrumlinjen (på samma sida) 7. 5 obs i rad inom sigma från centrumlinjen (båda sidorna) 8. 8 obs i rad mer än sigma från centrumlinjen (båda sidorna) Det finns en hierarkisk ordning på feltyperna. Den lägsta markeras i grafen.

29 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov I många produktionsprocesser lagras det producerade i batcher. Då är det vanligt att man tar stickprov om n enheter från varje batch för kontroll. Det betyder att vi har n mätvärden vid varje kontrolltidpunkt. Stat Quality Tools Run Chart (Data Bottles.mtw, chap 2)

30 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov I rutan under grafen finns test för datamaterialets slumpmässighet Test for randomness Condition Indicates Number of runs about the median Number of runs up or down More runs observed than expected Fewer runs observed than expected More runs observed than expected Fewer runs observed than expected Mixed data from two population Clustering of data Oscillation - data varies up and down rapidly Trending of data I exemplet kan vi inte påvisa några icke-slumpmässiga egenskaper ty alla p- värden är större än 0.05.

31 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Antag att vi har tagit m stickprov, som innehåller n observationer vardera, under en period när vi har skäl att tro att process är under kontroll. För varje stickprov bildas medelvärdet x i och stickprovsstandard-avvikelsen s i, i =,2,, m. Processen kontrolleras utifrån varje stickprovs medelvärde. Det totala medelvärdet av alla n m observationer är detsamma som medelvärdet av medelvärdena ( x = m i= m x i ). x kallas grand mean, är en skattning av målvärdet μ x och används som centrumlinje i diagrammet. I vissa fall vet man målvärdet och använder det.

32 5..3 medelvärde och R-diagram för stickprov Som vi vet beror standardavvikelsen för ett medelvärde på stickprovstorleken n : σ x = σ/ n. Övre respektive undre kontrollgränserna (UCL, LCL) bestäms som grand mean x (alternativt valt target-värde) plus/minus 3 gånger skattade standardavvikelsen dividerat med n. För att skatta standardavvikelsen s i detta fall beräknas stickprovsvariansen s i 2 för varje stickprov, i =,2,, m. Dessa medelvärdesbildas och dras roten ur. s p = i= m s 2 i m = s2 Brukar benämnas poolad stickprovsstandardavvikelse.

33 5..3 medelvärde och R-diagram för stickprov Ett uppskattat styrdiagram ges följaktligen av UCL = x + 3s p / n Centrumlinjen = x LCL = x 3s p / n Alternativt använder vi ett känt target-värde istället för x. Se sid 55 i boken. Det kan nämnas att det finns alternativa sätt att skatta standardavvikelsen som inte tas upp här.

34 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Xbar Chart of Bottle weights (g); (4 bottles every 5 min) 493 UCL=492, Sample Mean _ X=489, LCL=486, Sample Stat Control Charts Variabels Charts for Subgroups Xbar

35 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Vi kan konstatera att många enskilda mätvärden ligger utanför kontrollgränserna. Det är medelvärdet vi vill kontrollera! Högerklicka på grafen; Add Reference Lines ; Delete

36 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Variationen inom varje stickprov kanske är minst lika viktig att studera som dess genomsnittliga läge.

37 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Vi kan skapa ett styrdiagram där vi plottar stickprovsstandardavvikelserna s, s 2,, alternativt variationsvidderna R, R 2, (R i = x max x min ). Idén är densamma som för medelvärdena, dvs att styra variationsmåtten med medelvariation ( s eller R) plus/minus 3*standardavvikelser för variationsmåttet. Det visar sig att standardavvikelserna för s i och R i kan skattas med hjälp av den poolade stickprovsstandaravvikelsen s p. Om LCL blir negativ sätts den till noll.

38 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov R Chart of Bottle weights (g); (4 bottles every 5 min) S Chart of Bottle weights (g); (4 bottles every 5 min) 0 UCL=9,54 4 UCL=4, Sample Range 6 4 _ R=4,8 Sample StDev 2 _ S=, LCL=0 0 LCL= Sample Sample Till vänster kontrollerar vi variationen med variationsvidden och till höger med stickprovsstandardavvikelsen. Båda ger ungefärligen samma resultat. Stat Control Charts Variabels Charts for Subgroups R Stat Control Charts Variabels Charts for Subgroups S

39 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Xbar-R Chart of Bottle weights (g); (4 bottles every 5 min) UCL=492, ,0 Sample Mean 490,5 489,0 _ X=489, ,5 486, LCL=486,707 Sample 0,0 UCL=9,54 Sample Range 7,5 5,0 2,5 _ R=4,8 0,0 LCL= Sample Vi kan få både medelvärde och variation i samma graf. Stat Control Charts Variabels Charts for Subgroups Xbar-R Stat Control Charts Variabels Charts for Subgroups Xbar-S

40 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov Exempel på ökad variation efter 25 stickprovet.

41 5..3 Medelvärde och R-diagram för stickprov

42 5.2. P-diagram för proportion P charts används man då man vill kontrollera t ex proportionen felaktiga i en tillverkningsprocess. Om proportionen är okänd måste den uppskattas från data. Det är då viktigt att data kommer från ett avsnitt som är under kontroll. Tag m st stickprov om n observationer. Tumregel är m = och n så stort att det är stor sannolikhet att defekta hittas.

43 5.2. P-diagram för proportion Låt x i = antalet felaktiga bland de n som undersöktes vid tillfälle i, i=,2, m. x i är då Binomialfördelad med parametrarna n och p (Bin(n, p)). p i = x i n, E p i = E(x i) n = p, V p i = V(x i) n 2 = p p n p = m m i= p i = nm m x i i= Styrgränser: p ± 3 p( p) n

44 5.2. P-diagram för proportion P Chart of No. Inaccurate 0,75 UCL=0,675 0,50 Proportion 0,25 0,00 _ P=0,03 0,075 0,050 LCL=0, Sample Andelen felaktiga fakturor bland 200 undersökta under 20 veckor. (Dataset: Inaccurate.mtw, chap 5) Stat Control Charts Attributes Charts P

45 5.2. P-diagram för proportion P Chart of No. Inaccurate 0,75 UCL=0,675 0,50 Proportion 0,25 0,00 _ P=0,03 0,075 0,050 LCL=0, Sample Efter 20 veckor ändrades faktureringsrutinerna. Styrgränserna är bestämda under veckorna 20. (Dataset: Inaccurate2.mtw, chap 5)

46 5.2. P-diagram för proportion Vi delar in kontrolldiagrammet i två faser (före och efter). En tydlig förbättring verkar ha skett och båda faserna verkar stabila. P Chart Options : Stages

47 5.2.2 NP-diagram för antal Ett kontrolldiagram för antalet felaktiga (istället för andelen). Stat Control Charts Attributes Charts NP

48 5.2. P-diagram för proportion Olika test av icke-slumpmässighet för P charts.

49 5.2. P-diagram för proportion P Chart of ASU 0,9 UCL=0,9074 0,8 Proportion 0,7 0,6 _ P=0,6728 0,5 0,4 LCL=0,4382 jan-02 mar-02 maj-02 jul-02 sep-02 nov-02 jan-03 mar-03 maj-03 jul-03 sep-03 nov-03 Month Tests performed with unequal sample sizes Andelen intagna strokepatienter som behandlas på Acute Stroke Unit (ASU) vid ett större sjukhus. De olika stickprovsstorlekar bidrar till att styrgränserna blir olika månad för månad. (Dataset: ASU.mtw, chap 5)

50 5.2. P-diagram för proportion (Dataset: ASU.mtw, chap 5)

51 5.2.3 C-diagram för antal Vid tillverkning av en produkt, t ex glasrutor, kan det uppstå ett antal felaktigheter. Om detta antal kan anses vara Poissonfördelat kan vi konstruera ett så kallat C- diagram (Count). Anta att x i är Poissonfördelad med parametern l (Po(l)). E(x i ) = λ, V(x i ) = λ, λ = x = m m x i i= Styrgränser: λ ± 3 λ

52 5.2.3 C-diagram för antal U Chart of Blemish 8 UCL=7,677 7 Sample Count Per Unit _ U=2,725 0 LCL= Sample Dagliga mätningar av antalet skönhetsfläckar på 00 kvadrat-yards linnetyg. Här kontrollerar man antalet skönhetsfläckar per 00 kvadrat-yards. Stat Control Charts Attributes Charts C (Minitab. Dataset: Exh_qc.mtw)

53 5.2.3 C-diagram för antal Minitab ger oss hjälp att avgöra om data är Poisson-fördelat. Stat Control Charts Attributes Charts U Chart Diagnostic

54 5.2.3 U-diagram för antal U Chart of Weak Spots 0,08 Sample Count Per Unit 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,0 UCL=0,06904 _ U=0, ,00 LCL= Sample Tests performed with unequal sample sizes Antalet defekter på 00 elektriska kablar av varierande längder är registrerade. Här kontrollerar man det genomsnittliga antalet defekter per längdenhet. Stat Control Charts Attributes Charts U (Minitab. Dataset: Bpcapa.mtw)

55 5.2.3 U-diagram för antal I MINITAB kan man få assistans vid skapandet av styrdiagram. Assistant Control Charts