Reglerteknikens grunder Formelsamling Bengt Lennartson
Introduktion Öppen styrning v r Styrfunktion u Styrdon System y Återkopplad reglering v r e Regulator u Styrdon System y y = processens utsignal u = styrsignal (styrfunktionens utsignal) v = processtörning (laststörning) r = referenssignal (börvärde) e = reglerfel (r y)
2 Linjära modeller för dynamiska system Laplacetransformen F (s) = 0 f(t)e st dt Linjär differentialekvation y (n) (t)a y (n ] (t)... a n y(t) =b 0 u (n) (t)b u (n ) (t)... b n u(t) Överföringsfunktion G(s) = b 0s n b s n... a n s b n s n a s n... a n s a n Viktfunktion (Y (s) =G(s)U(s)) y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ Tabell : Viktiga egenskaper för Laplacetransformen Superposition Derivering L{a y (t)a 2 y 2 (t)} = a Y (s)a 2 Y 2 (s) { dy } L = sy (s) y(0) dt L{y (k) } = s k Y (s) s k y(0) s k 2 y () (0)... y (k ) (0) Integration Begynnelsevärdessatsen Slutvärdessatsen Fördröjningssatsen { t L 0 } y(τ) dτ = s Y (s) lim y(t) = lim sy (s) t 0 s lim y(t) = lim sy (s) t s 0 (Förutsättning: y( ) existerar) L{y(t T )σ(t T )} = e st Y (s) Dämpningssatsen L{e at y(t)} = Y (s a) Faltningsintegralen { } t L 0 y (τ)y 2 (t τ) dτ = Y (s)y 2 (s) 2
Tabell 2: Vanligt förekommande Laplacetransformpar y(t) (y(t) =0 t < 0) Y (s) δ(t) σ(t) = t s s 2 e at s a t m e at (m )! (s a) m e at a s(s a) e at e bt b a (s a)(s b) t a ( a e at ) s 2 (s a) ( at)e at a 2 e at sin ωt e at cos ωt s(s a) 2 ω (s a) 2 ω 2 s a (s a) 2 ω 2 Tidsförlopp vid avvikelse från arbetspunkt För ett dynamiskt (stabilt) system Y (s) =G(s)U(s) gäller enligt slutvärdessatsen, då insignalen är konstant u(t) =u 0,att y(t) y 0 = G(0)u 0 Då insignalen avviker från denna arbetspunkt, d.v.s. då u(t) =u 0 Δu(t), blir ΔY (s) =G(s)ΔU(s) och y(t) =y 0 Δy(t) =G(0)u 0 L {G(s)ΔU(s)} 3
Återkopplat system v G v(s) r F (s) u G(s) y w Reglerfelet e(t) =r(t) y(t) Kretsöverföring L(s) = den öppna överföringsfunktion som erhålls då man går ett varv runt i återkopplingsslingan och multiplicerar med. För ovanstående återkopplade system blir därför L(s) =G(s)F (s) Direktkoppling = överföringsfunktionen från insignal direkt till utsignal utan hänsyn taget till återkopplingen. Överföringsfunktion för återkopplat system direktkoppling kretsöverföring I figuren ovan gäller därför att G ry (s) =G wy (s) = G ru (s) =G wu (s) = L(s) L(s) F (s) L(s) G vy (s) = G v(s) L(s) G vu (s) = G v(s)f (s) L(s) där Y (s) =G ry (s)r(s), Y (s) =G wy (s)w (s) etc, d.v.s. indexen motsvarar insignal följt av utsignal. Kvarstående felet, då referenssignalen är ett steg R(s) =r 0 /s, blir för ovanstående återkopplade system r 0 e s = lim r(t) y(t) =( G ry (0))r 0 = t L(0) Regulatorer P-regulator PI-regulator F (s) =K p ( F (s) =K p ) = K p K i T i s s 4
3 Tillståndsmodeller Linjär tillståndsmodell ẋ(t) =Ax(t)Bu(t) y(t) =Cx(t)Du(t) Överföringsfunktion G(s) =C(sI A) B D Poler det(si A) =0 Olinjär tillståndsmodell ẋ(t) =f(x(t),u(t)) y(t) =g(x(t),u(t)) Linjärisering Arbetspunkt (x 0,u 0,y 0 ) ẋ 0 = f(x 0,u 0 ) (oftast gäller att ẋ 0 =0) y 0 = g(x 0,u 0 ) Linjäriserad modell kring arbetspunkten Δẋ(t) = AΔx(t)BΔu(t) Δy(t) = CΔx(t)DΔu(t) där och Δx(t) =x(t) x 0, Δu(t) =u(t) u 0, Δy(t) =y(t) y 0 A = f x (x0,u 0 ) B = f u (x0,u 0 ) C = g x (x0,u 0 ) D = g u (x0,u 0 ) De partiella derivatorna har följande elementvisa tolkning f x = f. f n [ x ] = x n f x. f n x f x n. f n x n 5
Tillståndstransformation ξ = Tx ξ = Āξ Bu y = Cξ Du Ā = TAT, B = TB, C = CT Från överföringsfunktion till tillståndsmodell G(s) = b s n... b n s b n s n a s n... a n s a n d Styrbar kanonisk form ẋ(t) = a a 2 a n a n 0 0 0 0 0 0 0..... x(t) 0. u(t) 0 0 0 0 y(t) = [b b 2 b n b n ] x(t)du(t) Observerbar kanonisk form ẋ(t) = a 0 0 a 2 0 0..... a n 0 0 x(t) a n 0 0 0 y(t) = [ 0 0 0]x(t)du(t) b b 2. b n b n u(t) G(s) = g... g n d = s p s p n n i= g i s p i d Diagonalform ẋ(t) = p 0 0 0 0 p 2 0 0..... 0 0 p n 0 x(t) 0 0 0 p n g g 2. g n g n u(t) y(t) = [ ]x(t)du(t) 6
Tidssvar för linjär tillståndsmodeller Lösning av tillståndsekvation för godtycklig insignal t x(t) =Φ(t t 0 )x(t 0 ) Φ(t τ)bu(τ) dτ t 0 Övergångsmatrisen Φ(t) =e At = L {(si A) } = I At A2 t 2 2! A k t k...= k! k=0 Några regler för övergångsmatrisen d Φ(t) =AΦ(t) dt Φ(0) = I Φ(t τ) =Φ(τ)Φ(t) Tillståndsuppdatering vid styckvis konstant insignal u(kh τ) =u(kh), 0 τ<h x(kh h) =A d x(kh)b d u(kh) där [ ] ([ ] ) Ad B d A B = exp h 0 I 0 0 7
4 Dynamiska modeller för tekniska system Första ordningens flödesprocesser ic i R u c C u Elektrisk krets med flödeskälla i och intensitetskälla u C du c dt R u c = i R u Tank med fritt utflöde (endast flödeskälla Δq) Tank med uppvärmning Blandningstank (endast intensitetskälla c in ) A Δh dt q 0 2h 0 Δh =Δq cρv dt dt (cρq λ)t = P (cρq λ)t in V dc dt qc = qc in Tabell: Analogier mellan flödesprocesser. Elektrisk krets Tank med fritt utflöde Tank med uppvärmning Blandningstank Intensitet Spänning u Höjd Δh Temperatur T Koncentration c Flöde Ström i Flöde Δq Effekt P Partikelflöde qc Upplagring Kapacitans C Area A cρv Volym V Ledningsförmåga Resistans R q 0 2h 0 cρq λ Flöde q Tidskonstant RC 2V 0 /q 0 V/q då λ=0 V/q 8
Andra ordningens resonanta system i L R u C Translatorisk rörelse Rotationsrörelse Elektrisk krets Fluid m dv dt bv k J dω dt Bω K L di dt Ri C t ρl dq A dt R f q ρg A T 0 t 0 t 0 vdτ = F t ωdτ = T idτ = u 0 qdτ = p Tabell: Analogier mellan resonanta system. Translation Rotation Elektrisk krets Fluid Intensitet Kraft F Vridande Spänning u Tryck p moment T Flöde Hastighet v Vinkel- Ström i Flöde q hastighet ω (flöde)dt Läge y Vinkel θ Laddning q Volym V Tröghet Massa m Tröghetsmoment J Induktans L Induktans ρl A Dämpning Dämpning b Dämpning B Resistans R Strypning R f Elasticitet Fjädring k Styvhet K Kapacitans = C Kapacitans = ρg A T 9
Återkopplad förstärkare Z 2 Z i A u in u g uut U ut (s) U in (s) = Z 2(s) Z (s) U ut (s) = A(s)U g (s) A (s)( Z 2 (s)/z (s)) Bernoullis ekvation v,p h v 2,p 2 h 2 p ρgh ρv2 2 = p 2 ρgh 2 ρv2 2 2 0
5 Tids- och frekvensanalys Stegsvar y(t) y( ) 0.9 0.63 M 2π/ω d 0. t p t 5% t t r T 63% Stigtiden t r (rise time) = tiden det tar för utsignalen y(t) att gå från 0% till 90% av dess slutvärde. Insvängningstiden t 5% = tiden då utsignalen y(t) har svängt in innanför området 0.95y( ) < y(t) <.05y( ). Utsignalen får följaktligen ej hamna utanför detta område efter tiden t 5%. Ekvivalent tidskonstant T 63% = tiden då utsignalen y(t) nått 63% av dess slutvärde Maximal relativ översläng M = t p = tiden då max(y(t)) inträffar max(y(t)) y( ) y( ) Dämpad självsvängningsfrekvens ω d =2π/T p där T p = periodtiden för den dämpade resonanssvängning som uppträder för system som har komplexkonjugerade poler.
6 0 0 8 Amplituddiagram G(jω) M G G(0) ω b ω p ω 3 db G(0) 2 Maxvärde eller resonanstopp M G =max ω G(jω) Resonansfrekvens ω p = den frekvens vid vilken resonanstoppen inträffar. Bandbredd ω b = den frekvens vid vilken amplituden sjunkit ner en faktor / 2 jämfört med lågfrekvensförstärkningen G(j0), d.v.s. G(jω b ) G(j0) = 2 = 3 db Första ordningens system Stegsvar G(s) = K st y(t) =K( e t/t ) y K 0.63K T t Stigtid Insvängningstid Ekvivalent tidskonstant Bandbredd t r =2.20T t 5% =3.00T T 63% = T ω b =/T 2
Andra ordningens system med reella poler G(s) = K ( Ts)( αt s) Im.5 y/k /αt /T Re 0.5 α=0 0. 0.5 0 0 2 4 t 6 Stigtid Insvängningstid Ekvivalent tidskonstant t r (2.2α)T t 5% (3.0.6α)T T 63% (.α)t 3
Andra ordningens system med komplexkonjugerade poler G(s) = Kω 2 n s 2 2ζω n s ω 2 n = K 2ζs/ω n (s/ω n ) 2 Poler Stegsvar s = a ± jω d där { a = ζωn ω d = ω n ζ 2 y(t) =K( e at ζ 2 sin(ω dt ϕ)) där ϕ = arccos(ζ) ω n Im ω d = ω n ζ 2 y/k 2.5 ζ =0. 0.3 0.5 ϕ a = ζω n ζ =cosϕ Re 0.7 0.5 0 0 5 0 ω nt Stigtid t r ( 0.3ζ 2ζ 2 )/ω n Insvängningstid t 5% 3 a ζ 0.9 Max relativ översläng M = e πa/ωd = e πζ/ ζ 2 Bandbredd ω b /ω n = Resonansfrekvens ω p = Resonanstopp M G = 2ζ 2 ( 2ζ 2 ) 2.85.2ζ då 0.4 ζ { ωn 2ζ 2 0 ζ</ 2 0 ζ / 2 2ζ 0 <ζ< ζ 2 2 ζ 2 4
Bodediagram decibel (db) = 20 log 0 G(jω) oktav = frekvenskvot :2 eller 2: dekad = frekvenskvot :0 eller 0: lutning [±m] = ±m 20 db/dekad brytfrekvens ω i = skärningspunkt för asymptoter Typiska värden i decibel G G db G G db 000 60 0.00 60 00 40 0.0 40 0 20 0. 20 5 4 0.2 4 4 2 0.25 2 2 6 0.5 6 2 3 / 2 3.25 /.25 0 Bodediagram för första ordningens process G(s) = s/ω Korrektion av beloppskurvan jämfört med asymptoten ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω Korrektion.0625.25 2.25.0625 Korrektion db 0.2 db.0 db 3 db.0 db 0.2 db Fasvridning ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω G(jω) 4 27 45 63 76 5
G Lågfrekvensasymptot [0] Högfrekvens asymptot G 0 [ ] 0. 90 0.0 80 0. 0 ω/ω Figur: Bodediagram, inklusive låg- och högfrekvensasymptoterna, för överföringsfunktionen G(s) =. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 4 db s/ω och 20. Bodediagram för andra ordningens resonant process G(s) = 2ζs/ω (s/ω ) 2 G 5 2 0.5 0.2 0. ζ = 0.7 0.5 ζ =0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 [ 2] 0 G 90 0.05 0.4 0.3 0.02 0.2 80 0. 0.0 0. 0.2 0.5 2 5 0 ω/ω Figur: Bodediagram inklusive asymptoter för överföringsfunktionen G(s) =. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 2 db och 0 2ζs/ω (s/ω ) 2. 6
G(jω) = (ω/ω ) 2 2ζjω/ω = ( (ω/ω ) 2 ) 2 (2ζω/ω ) 2 r G(jω)= arccos (ω/ω ) 2 r Bodediagram för dödtidsprocess G(jω) = G(s) =e s/ω G(jω)= 80 ω πω ω ω /4 ω /2 ω 2ω 4ω G(jω) 4 29 57 5 229 G G 0 0. 90 0.0 80 270 0.00 0. 0 ω/ω Figur: Bodediagram för överföringsfunktionen G(s) =e s/ω. Belopp heldragen linje, fasvridning streckad linje. En ruta motsvarar 20. Padéapproximation av n:te ordningen G (s) = 2 st d 2sT d e st d G n (s) G 2 (s) = 2 6sT d (st d ) 2 2 6sT d (st d ) 2 G 3 (s) = 20 60sT d 2(sT d ) 2 (st d ) 3 20 60sT d 2(sT d ) 2 (st d ) 3 G 4 (s) = 680 840sT d 80(sT d ) 2 20(sT d ) 3 (st d ) 4 680 840sT d 80(sT d ) 2 20(sT d ) 3 (st d ) 4 7
Enligt följande tabell avviker :a, 2:a, 3:e och 4:e ordningens Padéapproximation från dödtidsprocessen mindre än en grad för fasvridningar ner till 35, 00, 75 respektive 260. e jωt d = ωt d 80 /π 35 00 75 260 G (jωt d ) 34 82 4 32 G 2 (jωt d ) 35 99 63 25 G 3 (jωt d ) 35 00 74 25 G 4 (jωt d ) 35 00 75 259 8
6 Stabilitet och stabilitetsmarginaler Stabilt system då samtliga rötter till karakteristiska ekvationen a 0 s n a s n a 2 s n 2 a 3 s n 3...=0 ligger i vänstra halvplanet. För en överföringsfunktion motsvarar rötterna till karakteristiska ekvationen systemets poler. Routh-Hurwitz stabilitetskriterium Koefficienterna i ovanstående ekvation införs i följande tablå: där s n a 0 a 2 a 4 a 6... s n a a 3 a 5 a 7... s n 2 c 0 c c 2... s n 3 d 0 d d 2....... s 0 c 0 = a a 2 a 3 a 0 a c = a a 4 a 5 a 0 a d 0 = c 0a 3 c a c 0 etc Observera mönstret för de korsvisa produkterna: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tomrum längst till höger i tablån fylls ut med nollor. Koefficienter genereras tills man får n rader i tablåns första kolumn. Stabilitetsvillkor: (förutsatt a 0 > 0) Nödvändigt men ej tillräckligt stabilitetsvillkor: Alla koefficienterna i karaktäristiska ekvationen är strikt positiva. Nödvändigt och tillräckligt stabilitetsvillkor: Alla koefficienterna i tablåns första kolumn (a 0,a,c 0,...) är strikt positiva. 9
Stabilitet för återkopplade system L(s) Kretsöverföringen L(s) = överföringsfunktionen då man går ett varv runt i återkopplingsslingan och multiplicerar med, se ovanstående figur. Karakteristisk ekvation för ett återkopplat system med kretsöverföring L(s) L(s) Då L(s) =B L (s)/a L (s) blir karakteristiska ekvationen Nyquistkriteriet A L (s)b L (s) =0 Nyquist kontur i s-planet samt avbildning av Nyquists kontur i L(s)- planet. Pol i origo för L(s) jω L(s) ω =0 ImL σ ω = ReL ω ω =0 Stabilitetsvillkor: Z = P N =0 ger ett stabilt återkopplat system Z = antalet nollställen i högra halvplanet för L(s) P = antalet poler i högra halvplanet för L(s) N = antalet varv i medurs riktning som L(s)-kurvan omsluter punkten (, 0) 20
Nyquists förenklade kriterium Då kretsöverföringen L(s) inte har några poler i högra halvplanet är det återkopplade systemet stabilt om man går utefter kurvan L(jω) från ω =0till ω = och finner att punkten (, 0) hamnar till vänster om kurvan. Plotten L(jω) från ω =0till ω = kallas för ett förenklat Nyquistdiagram. Fas- och amplitudmarginaler L L ω c 0 o /A m ω π ϕ m 90 o 0. ϕ m 80 o 0.0 0. ω (rad/s) 0 ω c ω π A m Fasmarginal Amplitudmarginal Minimal amplitudmarginal ϕ m = L(jω c ) ( 80 ) > 0 där L(jω c ) = A m = A min = L(jω π ) > där L(jω π)= 80 L(jω π ) < där L(jω π)= 80 Maximal amplitudmarginal A max = A m 2
Maximala känslighetsfunktioner M T =.3 M S =.7 Känslighetsfunktion Komplementär känslighetsfunktion S(s) = L(s) T (s) = S(s) = L(s) L(s) M S =max S(jω) och M T =max T (jω) ω ω innebär att kretsöverföringen inte passerar innanför en cirkel med medelpunkt i (, 0) och radie /M S, medan måttet M T motsvarar resonanstoppen för T (s). min(m S,M T ) 2sin ϕ m 2 M S A m A m ϕ m 2 arcsin 2min(M S,M T ) A m M S M S 22
Relation mellan kretsöverföring och återkopplat system Då kretsöverföringen L(s) = ω 2 n s(s 2ζω n ) där 0 <ζ blir överföringsfunktionen G ry (s) för motsvarande återkopplade system G ry (s) = L(s) L(s) = ω 2 n s 2 2ζω n s ω 2 n Överkorsningsfrekvensen och motsvarande fasmarginal för L(s) blir då ω c = ω n 4ζ 4 2ζ 2 ϕ m =90 arctan ω c 2ζ = arctan 2ζω 4ζ n 4 2ζ 2 vilket resulterar i följande bandbredd ω b, stigtid t r och relativ översväng M för det återkopplade systemet G ry (s) ω b.6 ω c t r.25/ω c M(%) 70 ϕ m För godtyckliga processmodeller gäller inte denna precision, men följande approximationer där endast en värdesiffra ingår är relativt allmängiltiga ω b 2 ω c t r /ω c 23
7 Principer för dimensionering av regulatorer I: Prestanda v G v(s) r F (s) u G(s) y w Känslighetsfunktioner Kretsöverföring Känslighetsfunktion S(s) = L(s) =G(s)F (s) L(s) = G re(s) Relation mellan öppen styrning och återkopplad reglering Y ol (s) =G v (s)v (s) Y cl (s) =S(s)G v (s)v (s) innebär att Y cl (s) =S(s)Y ol (s) Komplementär känslighetsfunktion Störkänslighetsfunktion Styrkänslighetsfunktion T (s) = S(s) = G v (s)s(s) = F (s)s(s) = L(s) L(s) G v(s) L(s) F (s) L(s) = T (s) G(s) Återkopplat system Y (s) =G ry (s)r(s)g vy (s)v (s)g wy (s)w (s) = T (s)r(s)g v (s)s(s)v (s)t (s)w (s) U(s) =G ru (s)r(s)g vu (s)v (s)g wu (s)w (s) = F (s)s(s)r(s) F (s)s(s)g v (s)v (s)f (s)s(s)w (s) 24
Prestandakriterier Antag att regulatorn innehåller integralverkan, d.v.s. att F (s) K i då s = jω 0 s Prestandakriterium för kompensering av stegstörning V (s) =v 0 /s alternativt lågfrekvent störning J v = K i = v 0 0 y(t) dt G(0) G v (0) = lim ω 0 jω G vy(jω) G(0) G v (0) Alternativa generella prestandakriterier vid processtörningar respektive referenssignalvariationer Styrsignalkriterier J vmax =max ω J rmax =max ω Regulatorns högfrekvensbeteende F (s) = K s p m... s p... ω G vy(jω) =max ω ω G v(jω)s(jω) ω G re(jω) =max ω ω S(jω) K s m då s = jω Styrsignalkriterium vid referenssignalsteg R(s) =r 0 /s för m =0 Alternativt generellt styrsignalkriterium J umax =max ω J u = K = u(0) r 0 G wu(jω) =max ω G ru(jω) =max F (jω)s(jω) ω Då maximum inträffar när ω (gäller endast för m =0) gäller att J umax = J u = K. Tumregel för ekonomisk gräns på styrsignalaktiviteten Dimensioneringsstrategi J umax G(0) 5 20 Minimera med avseende på regulatorns inställningsparametrar lämpligt prestationsmått J v, J vmax, J rmax eller ω b med bivillkor på stabilitetsmarginaler och styrsignalaktivitet M S.7, M T.3 alternativt ϕ m 45, A m 2.5 J umax c u G(0) alternativt för m =0 J u c u G(0) där konstanten c u =5 20. 25
Kvarstående fel och den interna modellprincipen Kvarstående fel efter signalen R(s) =B r (s)/a r (s) (A r (s) har rötter på imaginäraxeln) undviks då polynomet A r (s) ingår i kretsöverföringens nämnare, d.v.s. då L(s) = L(s)/A r (s) Kvarstående fel efter processtörningen V (s) =B v (s)/a v (s) (A v (s) har rötter på imaginäraxeln) undviks då polynomet A v (s) ingår i regulatorns nämnare, d.v.s. då F (s) = F (s)/a v (s) Stegsignaler, R(s) =/s alternativt V (s) =/s, kräver därför integralverkan (faktorn /s) i L(s) respektive F (s) för att undvika kvarstående fel. 26
8 Dimensionering av PID-regulatorer Dimensionering baserat på önskad fasmarginal Villkoren L(jω c ) = och L(jω c )= 80 ϕ m där önskad överkorsningsfrekvens ω c och fasmarginal ϕ m antas givna, ger följande krav på regulatorn F (jω c ) = G(jω c ) F (jω c )= 80 ϕ m G(jω c ) PI-regulator Bodediagram för PI-regulatorn ( F PI (s) =K p ) T i s = K i T i s s där K i = K p T i F PI F PI K i s K p /T i 0 o 90 o ω (rad/s) Givet önskad fasmarginal och överkorsningsfrekvens följer att (se också figur på nästa sida) T i = K i = ω c tan( F PI (jω c )) ω c G(jω c ) (ω c T i ) 2 Som en första rekommendation vid val av fasmarginal och överkorsningsfrekvens föreslås ϕ m =50 ω c =0.4ω G50 där ω G50 är den frekvens för vilken processens överföringsfunktion har fasvridningen G(jω G50 )= 50. 27
T iω c 0 3 2 0.5 4 2 20 40 60 F PI(jω c) K i G(jω c) /ω c 0.8 0.6 0.4 0.2 4 2 20 40 60 F PI(jω c) PD-regulator F PD (s) =K p ( T ds T f s )=K sτ d p sτ d /b b> Bodediagram för PD-regulatorn F PD F PD bk p bkp K p /τ d b/τd b/τ d ϕ max ω (rad/s) 0 o 28
Då PD-regulatorns maximala faslyft ϕ max placeras vid önskad överkorsningsfrekvens ω c gäller att b = sinϕ max sin ϕ max τ d = b/ω c b 4 2 0 8 6 4 2 4 2 20 40 60 ϕ max Förstärkningen K p bestäms så att G(jω c ) F PD (jω c ) = G(jω c ) bk p =, vilket innebär att K p = G(jω c ) b PID-regulator ( F PID (s) =K p T i s T ) ds 2ζsτ (sτ) 2 = K i T f s s( sτ/β) Den första formuleringen används normalt vid realisering, medan den andra utnyttjas vid dimensionering. Följande samband råder T f = τ β T i =2ζτ T f T d = τ 2 T i T f K p = K i T i Givet önskad fasmarginal ϕ m, överkorsningsfrekvens ω c, parametern β samt ζ =bestäms τ enligt den första figuren på nästa sida, medan den andra ger K. Eftersom högfrekvensförstärkningen K = F PID ( ) = K i τβ bestäms till sist K i. Som en första rekommendation föreslås ϕ m =50 ω c =0.6ω G50 β =0 29
ω cτ 4 3.5 β =4 5 7 0 5 30 3 2.5 2.5 0.5 0 60 50 40 30 20 0 0 0 20 30 40 50 60 F PID(jω c) K G(jω c) 6 4 2 0 8 6 4 2 β =30 28 26 24 22 20 8 6 4 2 0 8 6 4 0 60 50 40 30 20 0 0 0 20 30 40 50 60 F PID(jω c) 30
Inställningsregler för stabila processer med reella poler Kappatalet κ 80 = G(jω G80) G(0) där G(jω G80 )= 80 Inställningsregler då κ 80 0.. Notera att β = K /(τk i ) för PID-regulatorn. K i G(0) ω G80 τω G80 ζ K G(0) PI 0.33 0.5κ 80 0.8 κ 80 PID 0.3 0.6 κ 80 0.007 κ 2 80 0.40.75κ 80 0.75 4 κ 80 Alternativ bestämning av τ via stegsvar vid PID-reglering τ = T 63% /3 Eventuell dödtid ingår i T 63%. Detta samband gäller oberoende av κ 80, möjligen med en mindre justering nedåt för processer med mycket enkel dynamik (κ 80 < 0.). För en första ordningens process med kort dödtid föreslås i stället τ = T 63% /5. Modifierade inställningsregler för processer med enkel dynamik (litet kappatal) Modifierat kappatal κ 35 = G(jω G35) G(0) där G(jω G35 )= 35 Inställningsregler då κ 80 < 0. eller ej existerar. Iakttag att β = K /(τk i ) för PID-regulatorn. K i G(0) ω G35 τω G35 ζ K G(0) PI 0.25 0.09 κ 35 0.09.2κ 35 PID.35 0.35 κ 35 0.006 κ 2 35 0.44.4κ 35 0.75 min(4 0.5 κ 35, 25) Ziegler-Nichols parameterval K p G(jω G35 ) T i ω G80 T i T d T d T f PI 0.45.7π PID 0.6 π 4 0 3
Experimentell bestämning av regulatorparametrar. PID-regulatorn ställs in som en P-regulator (T i =,T d =0). 2. Förstärkningen K p höjs tills stabilitetsgränsen uppnås. 3. Med hjälp av den erhållna förstärkningen vid självsvängning, K p = K 0, och periodtiden T 0 erhålls G(jω G80 ) = K 0 ω G80 = 2π T 0 4. Processens statiska förstärkning bestäms som G(0) = Δy/Δu, där Δu är insignaländringen från en konstant nivå u 0 till en annan nivå u 0 Δu, och Δy är den resulterande konstanta utsignaländringen efter att eventuella transienter klingat av. Självsvängning med hjälp av relä Återkopplat reglersystem där en reläfunktion med amplituden d åstadkommer en begränsad självsvängning y(t) =a sin(ω G80 t) e(t)= y(t) u(t) G(s) y(t)=a sin(ω G80t) Genom att fourierserieutveckla reläets utsignal (fyrkantvåg), och endast beakta fourierseriens grundkomponent, kan reläet uppfattas som en förstärkning K 0 =4d/(πa), vilket ger G(jω G80 ) = πa 4d 32
Kontinuerlig PID-regulator baserat på operationsförstärkare F PID (s) =K p ( T i s T ) ds = K p K i T f s s K ds T f s U(s) = R R U (s) R ( R U R2 2(s) = /R C sr ) 4C 2 E(s) R s sr 3 C 2 Realisering med hjälp av operationsförstärkare, där proportionalförstärkningen K p = R 2 /R, integralförstärkningen K i =/R C, deriveringsförstärkningen K d = R 4 C 2 och filtertidskonstanten T f = R 3 C 2. PI-del R 2 C R R Teckenskift R D-del R 4 Summator e R 3 C 2 R u 33
9 Principer för dimensionering av regulatorer II: Robusthet Osäkerhetsmodeller Additiv osäkerhet Multiplikativ osäkerhet Δ a G(s) =G 0 (s) G(s) Δ G (s) = G 0(s) G(s) G(s) Robust stabilitet Nyquistdiagram där L(jω) är den nominella kretsöverföringen och L 0 (jω) den verkliga kretsöverföringen Im L - Re L 0 L L(jω) L 0(jω) Ett stabilt återkopplat system garanteras då den multiplikativa osäkerheten Δ G (jω) uppfyller följande villkor relaterat till den nominella komplementära känslighetsfunktionen T (s). T (jω) < Δ G (jω) ω Robust prestanda Δ T (s) = T 0(s) T (s) T (s) Antag enhetsåterföring (u = F (r y)) och multiplicera täljare och nämnare med R(s). Resultatet blir Δ T (s) = Y 0(s) Y (s) Y (s) Robust prestanda innebär att Δ T (s) =S 0 (s)δ G (s) = L 0 (s) Δ G(s) 34
Fundamentala begränsningar för återkopplade system Bodes integralsats då L(s) ej har poler i högra halvplanet och dess belopp avtar med minst /ω 2 då ω ln S(jω) dω =0 0 Övre gräns för överkorsningsfrekvensen ω c för processer med transportfördröjning T d ω c T d Positivt icke-minimumfasnollställe z i kretsöverföringen begränsar, med rimliga krav på M S (exempelvis M S.7), överkorsningsfrekvensen ω c och integralförstärkningen K i approximativt till ω c 0.5z K i 0.5z G(0) En instabil pol p i kretsöverföringen begränsar, med rimliga krav på framförallt M T,överkorsningsfrekvensen ω c approximativt till ω c 2p 35
0 Alternativa designprinciper och regulatorstrukturer Inre återföring Reglerobjekt r K p u z Ḡ(s) s y K d Eftersom vi i denna regulatorstruktur har flera utsignaler (y och z) är inte längre kretsöverföringen ett entydigt begrepp. En uppbrytning av återkopplingsslingan vid utsignalen y ger kretsöverföringen Ḡ(s) K p L y (s) = Ḡ(s)K d s medan en uppbrytning vid styrsignalen u ger Framkoppling L u (s) =(K p K d s)ḡ(s)/s Regulator v F f G v r u ff u u fb F G u y G y Då man bortser från återkopplingen (F u =0), gäller att Framkopplings-styrlagen förutsätter att Y (s) = G y (s)(g u (s)u(s)g v (s)v (s)) = ( G y (s)g u (s) U(s) G ) v(s) G u (s) V (s) U(s) =F f (s)v (s) där F f (s) = G v(s) G u (s) 36
. framkopplingslänken F f (s) går att realisera, d.v.s. att inversen av G u (s) är stabil och att nämnarens gradtal för G u (s) är högre eller lika med täljarens gradtal. Det första kravet innebär att nollställena till G u (s) måste ligga i vänstra halvplanet (stabila nollställen). 2. överföringsfunktionerna, d.v.s. modellen, stämmer med det verkliga systemet. Dödtidskompensering Reglerad process Ḡ(s)e st d Otto-Smith-regulatorn F (s) F (s) = ( e st d ) Ḡ(s) F (s) resulterar med L(s) =Ḡ(s) F (s) i kretsöverföringen L(s) = L(s)e st d L(s)( e st d ) Inversen av ett system Stabil överföringsfunktion, där nollställena med positiv realdel är samlade i polynomet B (s) (därav plustecknet), medan de återstående nollställena representeras av polynomet B (s), d.v.s. Polöverskott för G(s) =B(s)/A(s) Realiserbar approximativ invers där polynomet G(s) = B (s)b (s) A(s) p G = grad A(s) grad B(s) G (s, m, τ) = A(s) B ( s)b (s)a m (s, τ) A m (s, τ) =(τs)( ατs)...( α m τs) och m p G = grad A(s) grad B(s). Eftersom G(jω)G (jω,m,τ) =/ A m (jω,τ), väljs τ (och α) såatt/ A m (jω,τ) gäller upp till en rimlig bandbredd ω b. För en multipelpol (α =) av ordning m är τ = 2 ω /m b 37
Generell processmodell och regulatorstruktur v G v r r f Fr F u u G u G y y F y w Regulator Process Kretsöverföring L(s) =G y (s)g u (s)f u (s)f y (s) Överföringsfunktionerna från den filtrerade referenssignalen r f till y och u G rf y(s) = G y(s)g u (s)f u (s) L(s) G rf u(s) = F u(s) L(s) Referenssignalfiltret väljs som den approximativa inversen till G rf y(s), d.v.s. F r (s) =G r f y(s, m, τ) se avsnittet Approximativ invers på föregående sida. Här är m p Grf y (polöverskottet för G rf y(s)), och τ väljs så att önskad bandbredd från r till y erhålls. Detta innebär att G ry (s) =F r (s)g rf y(s) =G r f y(s, m, τ)g rf y(s) vilket innebär att G ry (s) upp till den eftersökta bandbredden. Enkel referenssignalhantering vid PID-reglering ( U(s) =K p ( T ds T f s )( br(s) Y m(s)) ) T i s (R(s) Y m(s)) Då b =återfås vanlig enhetsåterföring, medan b =0medför att endast den integrerade referenssignalen påverkar styrsignalen. PID-regulator med lågpassfiltrering PID-regulator med ett andra ordningens filter F PIDf (s) = K i s 2ζsτ (sτ) 2 2ζ f sτ/β (sτ/β) 2. Dimensionera först en vanlig PID-regulator F PID (s), se sid. 29. 2. Ersätt F PID (s) med F PIDf (s) där samtliga parametervärden kopieras och där ζ f =0.5. 3. Integralförstärkningen K i justeras sedan något så att kraven på M S och M T fortfarande uppfylls. 38
Dimensionering av regulatorer på tillståndsform Styrbarhet Styrbarheten för en tillståndsmodell (A, B, C, D) kan undersökas genom att bilda styrbarhetsmatrisen S =[B AB A n B ] Tillståndsmodellen är styrbar då rang S = n Då antalet insignaler är ett (n u =) motsvaras detta krav av att det S 0. Observerbarhet Observerbarheten för en tillståndsmodell (A, B, C, D) kan undersökas genom att bilda observerbarhetsmatrisen C CA Tillståndsmodellen är observerbar då O =. CA n rang O = n Då antalet utsignaler är ett (n y =) motsvaras detta krav av att det O 0. Tillståndsåterkoppling. Formulera systemet som ska regleras på tillståndsform. Om möjligt se till att tillståndsvariablerna har en direkt fysikalisk motsvarighet, eftersom man då oftare kan mäta samtliga tillståndsstorheter och därför kan genomföra tillståndsåterkoppling. Alternativt introduceras en observatör, om inte alla tillstånd är mätbara, se nästa avsnitt. 2. Kontrollera systemets styrbarhet, eftersom ett grundläggande krav för att erhålla önskad polplacering är att systemet är styrbart. 3. Bestäm den önskade karakteristiska ekvationen α c (s) =0för det återkopplade systemet. För enklare system väljs förslagsvis väl dämpade komplexkonjugerade polpar. Redan väl placerade poler för systemet kan man också välja att ej flytta på, d.v.s. låta dessa poler ingå i α c (s). Val av poler med hjälp optimering är ett kraftfullt och enkelt alternativ. 4. Identifiera koefficienterna l,...,l n i radvektorn L u så att 5. Bestäm överföringsfunktionen från r till y det(si A BL u )=α c (s) G ry (s) =C(sI A BL u ) BK r och välj K r så att G ry (0) =, d.v.s. så att denna överföringsfunktions lågfrekvensförstärkning blir ett. 39
6. Studera lämpliga överföringsfunktioner för det återkopplade systemet ẋ(t) = (A BL u )x(t)bk r r(t)b v v(t) y(t) = Cx(t) u(t) = L u x(t)k r r(t) i tids- och frekvensplanet för att kontrollera att önskade egenskaper erhålls. Notera också speciellt kretsöverföringen L(s) =L u (si A) B och tillhörande känslighetsfunktioner S(s) och T (s). Tillståndsskattning En observatör ˆx(t) =Aˆx(t)Bu(t)K y (y m (t) C ˆx(t)) erhålls enligt följande steg:. Kontrollera att systemet givet på tillståndsform (A, B, C) är observerbart, eftersom det krävs för att åstadkomma en observatör med godtycklig polplacering. 2. Bestäm den önskade karakteristiska ekvationen α o (s) =0för observatören. För enklare system väljs förslagsvis väl dämpade komplexkonjugerade polpar. I kombination med tillståndsåterkoppling (se nästa avsnitt) bör observatörens dynamik vara något snabbare (längre avstånd från imaginäraxeln) än motsvarande dynamik för tillståndsåterkopplingen. Mätstörningar begränsar dock snabbheten hos observatören. Val av poler med hjälp optimering är ett enkelt alternativ, där hänsyn tas till mätstörningens omfattning i förhållande till processtörningens storlek. 3. Identifiera koefficienterna k,...,k n i kolonnvektorn K y så att det(si A K y C)=α 0 (s) 4. Studera skattningsfelet x(t) =(A K y C) x(t)b v v(t)k y w(t) speciellt den transienta insvängningen i tidsplanet då x(0) 0, samt störningarnas inverkan i frekvensplanet, för att kontrollera att önskade egenskaper erhålls. Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd med hjälp av observatör erhålls enligt följande steg:. Beräkna tillståndsåterkopplingsvektorn L u, och vid autonom observatör även förstärkningen K r. 2. Beräkna observatörens förstärkningsvektor K y. 40
3. Regulatorn ges av tillståndsmodellen ˆx(t) = (A BL u K y C)ˆx(t) K y y m (t)(bk r K rˆx )r(t) u(t) = L uˆx(t)k r r(t) Speciellt noteras regulatorns överföringsfunktion från den mätta utsignalen y m, som är U(s) = F (s)y m (s) = L u (si A BL u K y C) K y Y m (s) 4. Slutna systemets överföringsfunktion från r till y vid autonom observatör (K rˆx =0)blir G ry (s) =C(sI A BL u ) BK r I övrigt utnyttjas F (s) för att bestämma kretsöverföringen L(s) = G(s)F (s), känslighetsfunktionen S(s) =/( L(s)) etc. på samma sätt som vid analys av reglersystem givna på överföringsfunktionsform. 4
2 Tidsdiskreta regulatorer Tidsdiskreta modeller Differensekvation (h = samplingsintervallets längd) y(kh)a y(kh h) a n y(kh nh) = b 0 u(kh)b u(kh h) b n u(kh nh) Z-transformen för en tidsdiskret signal y(kh), k =0,, 2,... Exponentialsignal Tidsförskjutning Överföringsfunktion Tidsdiskret tillståndsmodell Z{y(kh)} = Y (z) = Z{e akh } = y(kh)z k k=0 e ah z = z z e ah Z{y(kh lh)} = z l Y (z) G d (z) = Y (z) U(z) = b 0 b z b n z n a z a n z n x(khh) =A d x(kh)b d u(kh) y(kh) =C d x(kh)d d u(kh) Överföringsfunktion för en tidsdiskret tillståndsmodell G d (z) =C d (zi A d ) B d D d Relation mellan tidskontinuerliga och tidsdiskreta poler z = e sh Avbildning av komplexkonjugerat polpar s = ζω n ± jω n ζ 2 på z-planet för olika värden på ζ och ω n h: Im 0.5 0 3 2 ζ =0.5 0.4 0.7 ω nh= 0.3 0. 0.5 0.5 0 0.5 Re 42
Diskretisering vid styckvis konstant insignal Styckvis konstant insignal Integralprocess Första ordningens process u(t) =u(kh) G(s) = s kh t<kh h G d (z) = hz z G(s) = a s a G d (z) = ( e ah )z e ah z Överföringsfunktioner med reella icke-multipla poler kan alltid partialbråksuppdelas så att de får formen av en summa av första ordningens delsystem G(s) =b 0 n i= b i s a i som var och en diskretiseras enligt ovan. En tidsdiskret motsvarighet till den tidskontinuerliga PID-regulatorn ges av överföringsfunktionen F (s) =K p K i s K ds T f s hz F d (z) =K p K i z K d z e h/t f z En tidskontinuerlig tillståndsmodell (A, B, C, D) motsvaras av en tidsdiskret tillståndsmodell (A d,b d,c,d), där [ ] ([ ] ) Ad B d A B = exp h 0 I m 0 0 Systemidentifiering T f Med parametervektorn och mätvektorn θ T =[a a na b b nb ] ϕ T (kh) =[ y(kh h) y(kh n a h) u(kh h) u(kh n b h)] kan differensekvationen y(kh)a y(kh h) a na y(kh n a h)=b u(kh h) b nb u(kh n b h)ε(kh) formuleras som y(kh) =ϕ T (kh)θ ε(kh) där ε(kh) representerar modellfelet som uppstår då denna modell inte lyckas beskriva det verkliga sambandet mellan insignalen u och utsignalen y på ett perfekt sätt. 43
Minsta kvadratmetoden innebär att kriteriet J(θ) = 2 N ε 2 (kh) minimeras med avseende på θ. Den optimala lösningen ˆθ ges av normalekvationen ( N ) N ϕ(kh)ϕ T (kh) ˆθ = ϕ(kh)y(kh) k= k= Summan till vänster om ˆθ är en kvadratisk matris av dimensionen (n a n b,n a n b ), medan summan till höger är en vektor med (n a n b ) rader. Frekvensanalys Frekvensfunktionen G d (e jωh ) erhålls genom att ersätta z med e jωh i motsvarande överföringsfunktion G d (z). Den tidsdiskreta frekvensfunktionen (n = heltal) är periodisk, eftersom k= G d (e j(ωn 2π h )h )=G d (e jωh e jn2π )=G d (e jωh ) Lågfrekvensasymptoten blir lim ω 0 G d(e jωh )=G d () Stabilitet En tidsdiskret överföringsfunktion är stabil då polerna hamnar innanför denna cirkel, d.v.s. då samtliga poler z i uppfyller villkoret z i <. Tidsdiskret återkopplat system v G vd (z) r F d (z) u G d (z) y m y w Process Regulator Kretsöverföring Y (z) =G d (z)u(z)g vd (z)v (z) U(z) =F d (z)(r(z)w (z) Y (z)) L d (z) =G d (z)f d (z) 44
Känslighets- och komplementär känslighetsfunktion S d (z) = L d (z) T d (z) = L d(z) L d (z) De maximala beloppen för S d (e jωh ) och T d (e jωh ) ger stabilitetsmarginalmåtten M S och M T, där det minsta avståndet mellan kretsöverföringen och punkten (, 0) i Nyquistdiagrammet är /M S. Approximativ försämring av fasmarginalen vid tidsdiskret reglering jämfört med tidskontinuerlig reglering Δˆϕ m = 80 ω s /ω c där ω c är amplitudkurvans överkorsningsfrekvens ( L(jω c ) =) och samplingsfrekvensen ω s = 2π/h. Kompensering av processtörningar Styrsignalens känslighet för mätstörningar Val av samplingsintervall G vyd (z) =G vd (z)s d (z) = G wud (z) =F d (z)s d (z) = Välj samplingsfrekvensen ω s =2π/h så att G vd(z) L d (z) F d(z) L d (z) ω s ω b = 2π ω b h = N N =20 50 där ω b är det återkopplade systemets bandbredd för den komplementära känslighetsfunktionen T d (e jωh ). Polplacering Process Regulator G d (z) = B(z) A(z) = b z b nb z nb a z a na z na F d (z) = D(z) C(z) = d 0 d z d nd z nd c z c nc z nc Kretsöverföringen blir då L d (z)=b(z)d(z)/(a(z)c(z)). Med antagande om enhetsåterföring fås följande överföringsfunktioner för det återkopplade systemet G ryd (z) = L d(z) L d (z) = B(z)D(z) P (z) G vyd (z) = G d(z) L d (z) = B(z)C(z) P (z) där polynomet P (z) uppfyller polynomidentiteten P (z) =A(z)C(z)B(z)D(z) 45
Önskad polplacering, exempelvis som en multipelpol av ordning m i z = p, innebär att P (z) =( pz ) m Polynomidentiteten bestämmer C(z) och D(z), där gradtalen nc = nb nd = na Gradtalet räknat i z för polynomet P (z) får då inte överstiga na nb. Integralverkan fås då C(z) =( z )C (z) vilket ger polynomidentiteten P (z) =A (z)c (z)b(z)d(z) där A (z) =A(z)( z ). Gradtalen blir då nc = nb och nd = na. Aliaseffekten En högfrekvent signal med frekvensen ω>ω s /2=π/h uppfattas efter sampling som en långsammare svängning med frekvensen ω 0 ω s /2. Mera exakt gäller för n =0,, 2,...att { ω nωs nω s ω (n/2)ω s Antialias-filter ω 0 = (n)ω s ω (n/2)ω s ω (n)ω s Aliasfenomenet undviks då ett antialias-filter filtrerar bort frekvenser ω högre än Nyquistfrekvensen ω N = ω s /2. Ett andra ordningens analogt lågpassfilter med överföringsfunktionen G LP (s, ζ, ω f )= ω 2 f s 2 2ζω f s ω 2 f bestäms av dämpningen ζ och brytfrekvensen ω f. Antialias-filter med Butterworth-karakteristik av andra, fjärde och sjätte ordningen med bandbredden ω bf erhålls med följande seriekopplade kombinationer av andra ordningens lågpassfilter G 2 f (s) =G LP (s, 0.7,ω bf ) G 4 f (s) =G LP (s, 0.38,ω bf )G LP (s, 0.92,ω bf ) G 6 f (s) =G LP (s, 0.26,ω bf )G LP (s, 0.7,ω bf )G LP (s, 0.97,ω bf ) För ett n:te ordningens Butterworth-filter (n =2, 4, 6) blir högfrekvensasymptoten G n f (jω) = ( ωbf ω ) n 46
Styrsignalbegränsning och antiwindup De följande delavsnitten är tillämpbara både för tidskontinuerliga och tidsdiskreta system. Antag en begränsad styrsignal u max u>u max u s = u u min u u max u min u<u min Antag dessutom att regulatorns täljar- och nämnarpolynom har samma gradtal (lika många poler och nollställen). Detta innebär att F = F ( ) 0, där F för tidskontinuerliga system motsvarar den tidigare introducerade högfrekvensförstärkningen K. Integratoruppvridning (windup) undviks genom att introducera överföringsfunktionen i följande blockschema F s (s) = F F (s) r e u F u s G(s) y F s(s) Här antas att regulatorn F (s) har stabila nollställen, vilket innbär att F s (s) är stabil. Antiwindup-funktion för regulatorer med lågpassfiltrering För en regulator med lågpassfiltrering introduceras ett stabilt polynom A m (s) =(s /T s ) m så att F (s) = lim s (F (s)s m ) A m (s) F s (s) = F (s) F (s) där multipeln m väljs så att F (s)a m (s) får samma nämnar- och täljargradtal. Tidskonstanten T s väljs kort i förhållande till dynamiken för det återkopplade systemet. Antiwindup-funktion för regulatorer på tillståndsform För regulatorer på tillståndsform, som bygger på tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd ˆx(t), erhålls naturligt antiwindup genom att i observatören introducera den begränsade styrsignalen u s (t). Regulatorn blir då på tillståndsform ˆx(t) =(A K y C)ˆx(t)Bu s (t)k y y m (t)k rˆx r(t) u(t) = L uˆx(t)k r r(t) 47
Ryckfri övergång mellan automatisk och manuell mod Regulatorstruktur med ryckfri övergång mellan manuell och automatisk mod, samt antiwindupfunktion för hantering av styrsignalbegränsningar: u m r M A e F u M A u s G(s) y F s(s) 48