Föreläsning 4: Aritmetik, forts. Tal i bråkform Tal i decimalform Sambandet mellan tal i bråkform och decimalform Procentbegreppet och Procenträkning Algebra Läroplanen om algebra och algebraiskt tänkande Pre-algebra och övergången aritmetik-algebra Proportionalitet och diagram
BEGREPPSBILDNING transformationer mellan representationsformer Bilder Laborativa modeller Skrivna symboler Omvärldssituationer Talade symboler
Representationsformer för bråk (rationella tal): 1. Som del av en helhet 2. Som del av ett antal 3. Som andel 4. Som förhållande 5. Som ett tal
1. Som del av en helhet 1 5 1 2 + = av kakan 5 5 Delens storlek beroende av det helas storlek
2. Som del av ett antal 2 av 10 knappar 5 Antalet enheter i delen är beroende av antalet enheter i det hela
3. Som relativ andel av något 2 5 = 40 % = 4 10 =... Två femtedelar av barnen i klassen 40% av alla barn i landet Fyra av tio barn i Finland har haft vattkoppor
4. Som förhållande Ett kilo äpplen kostar 2 euro och 50 cent. Kilopriset är 2,50. Summan vi betalar för äpplena är proportionell mot antalet kilogram vi köper. För 5 euro får vi 2 kg äpplen För 1 euro får vi 2/5 kg äpplen Förhållandet mellan vikt och pris 2:5 2 5 Förhållandet mellan pris och vikt 5:2 5 2
5. Som ett tal 2 5 = 4 10 = 6 15 = 14 35 =... = 0,4 Ett bråktal kan uttryckas på olika sätt Bråket har en plats på tallinjen Räknereglerna gäller
Tal i decimalform = tal skrivna i decimalsystemet (tio-systemet) 340 340,97 3,666... heltalsdel decimaler 2 3, 4 5 6 7 Tiotusendel Tusendel Hundradel Tiondel Decimaltecken eller decimalkomma Utläses: tjugotre komma fyra fem sex sju eller tjugotre hela fyratusenfemhundrasextiosju tiotusendelar Inte: Tjugotre hela (komma) fyratusenfemhundrasextiosju
Vad är ett decimaltal? Alla bråk (rationella tal) har en sk periodisk decimalutveckling, dvs. en viss grupp siffror upprepar sig då bråket skrivs i decimalform: 1/5 = 0,20(0) 5/8 = 0,6250(0) 3 =3/1= 3,0(0) 2/3 = 0,6(6)... 5/11 = 0,45(45)... 3/7 = 0,428571 (428571)... 5/11 = 0,4545... 45/100 = 45% Ett decimaltal är ett bråk som har en periodisk decimalutveckling bestående av enbart nollor. Således är sådana bråk som inte kan skrivas med ett ändligt antal siffror i decimalform, inte decimaltal.
Viktigt inom procenträkning Vad är procent %? 1% = en hundradel Sambandet mellan bråkform, decimalform och procentform ½ = 0,5 = 5/10= 50/100 = 50% ¼ = 0,25 = 25/100 = 25% Uttrycka jämförelser, minskningar, ökningar i % Begreppen brutto, netto, ränta Avläsa procentuella andelar ur bilder Beräkna procentuella andelar Uttrycka procentuella andelar i form av cirkeldiagram
Läroplanen om algebra Åk 1-2 Lära sig hitta likheter och olikheter, lagbundenheter och beroendeförhållanden Bilder tolkas Enkla talföljder tolkas och bildas Presentera information i diagram, stapeldiagram
Läroplanen om algebra, forts.: Åk 3-5: Begreppet uttryck Att tolka och skriva talföljder, regelbundenheter, förhållanden och beroenden Söka lösningar till ekvationer och olikheter genom slutledning Texter, bilder och händelser tolkas. Göra upp planer för lösningar Tolka färdiga talföljder, göra upp egna talföljder Tolka och presentera beroendeförhållanden
Läroplanen om algebra, forts.: Åk 6: (ingår i läroplanen för åk 6-9) I läroboksserien Tänk och räkna behandlas: Talföljder och talmönster Uttryck, variabler och formler Obekanta tal, ekvationer Beroendeförhållanden med funktionsmaskin, värdetabeller Beroendeförhållanden som värdetabeller och linjediagram
Fortsätt 20 25 30 35 Skriv tal som fattas 68 66 60 Fortsätt mönstret... Minska med... Vädret under en månad registreras i stapeldiagram Öka med, minska med.. Bygg talen 1, 3, 6, 10, 15. Vad kan du se? Vilket är följande tal? Fyra barn står i kö. På vilka olika platser kan barnen stå i kö? Morfar delar 1500 euro mellan Oliver, Hanna och Linda. Linda får 300 euro. Oliver får lika mycket som Hanna. Hur mycket får Oliver? Du har ett tal. När du multiplicerar talet med 3 och lägger till 2 får du 20. Vilket är talet? Gör upp en tabell som visar hur vikten på olika djur varierar.
Algebra Algebra och algoritm från den arabiske matematikern al-khwarizmi Har utvecklats ur generella lösningsmetoder till svåra problem i aritmetik (symbolisk algebra) och geometri (geometrisk algebra) I skolan föregås algebra och introduktion av det algebraiska symbolspråket av sk. pre-algebra, dvs. att man: *arbetar med likhetstecknet på ett strukturellt sätt (t.ex.5 + 7 = 8 + ); *resonerar fram lösningar; *arbetar med mönster och generaliseringar i form av bilder, talföljder; *tolkar och gör tabeller och kurvor som visar beroendeförhållanden, t. ex. hur temperaturen varierar med tiden Steget från pre-algebra till algebra innebär bl.a.: introduktion av bokstavssymboler för okända eller godtyckliga tal, formulering av uttryck, formulering och lösning av likheter (ekvationer) och olikheter
Bokstavssymboler används: För bestämda, men okända tal T ex. i ekvationen 2x + 3 = 7 För okända tal som kan variera (variabel, parameter) T. ex. i funktionen y = 2x + 1 ; i funktionen y = 5 t 2 (anger relationen fallsträcka i m på t s.) i uttrycket för ett triangeltal: n(n+1)/2 i uttrycket för ett udda tal: 2n+1 För godtyckliga, men konstanta tal T. ex. i uttrycket ax + b
Aritmetiska tillvägagångssätt: -Talen, räknesätten och svaret i fokus. 2 + 3 =? 1 + 4 =? 9 7 + 9 =? 9 7 blir 63 och 63+9 blir 72 Algebraiska tillvägagångssätt -Även operationerna på talen och strukturen i fokus a + b = b + a a + b = (a - 1) + (b + 1) ab + a = a(b+1) En god taluppfattning (number sense) är grund för det algebraiska tänkandet och känslan för symbolers betydelse (symbol sense).
Klassen samlar saker till en försäljning. Om vi i medeltal samlar 10 saker per skoldag, hur många veckor kommer det att ta för oss att få ihop 500 saker? Möjliga aritmetiska tillvägagångssätt: upprepad addition, upprepad subtraktion, pröva sig fram med multiplikation eller division Algebraiskt tillvägagångssätt: division T = totala antalet saker; D = antalet insamlade saker per dag 5D = antalet insamlade saker per vecka T 5D
Den algebraiska cykeln Översättning Algebraiskt uttryck Händelse, situation Omskrivningar, förenkling, Tolkning Algebraiskt uttryck
Diagram: ett sätt att ordna upp och kommunicera insamlade data - Diagram från grekiskans ord för rita - att kunna tolka, samla in och kommunicera uppgifter och numeriska data i form av bilder och grafiska representationer (tabeller, diagram, kartor, ritningar..) är en viktig medborgarfärdighet - djup förståelse av diagram och tabeller eftersträvas: tolkning mer än att kunna avläsa eller presentera (se Åberg-Bengtssons artikel i B-kompendiet!)
Diagramtyper: -Stapeldiagram, stolpdiagram -Linjediagram -Cirkeldiagram Avstånd - vanlig feltolkning: uppförsbacke (ikonisk tolkning) Tid - svårt att skilja mellan absoluta och relativa värden
Stapeldiagram - rektanglar med samma bas och med höjder som visar variabelns värde. Höjden är proportionell mot frekvensen för de olika observationerna. Mellanrum mellan rektanglarna. Exempel: 20 personer har grundskola som högsta utbildning, 50 har gymnasium och 10 högskola.
Stolpdiagram Då det statistiska materialet består av tal. Höjden på stolparna visar variabelns värde Cirkeldiagram Cirkelsektorerna visar relativa andelar av en helhet
Linjediagram (eller kurvdiagram) -består av en sammanhängande följd av sträckor som visar en (tidsmässig) utveckling av något, växtkurva. Exempel: Prisutvecklingen på en vara.
Exempel: Att arbeta med cirkeldiagram 29 barn i klassen har sagt vilken mat de tycker bäst om: Maträtt Antal Köttbullar 7 Köttsoppa 10 Gröt 5 Hamburgare 7 7/29 = 21/87= 28/116 24/100 24% Eller med hjälp av 100 cm måttband som läggs ut i en cirkel runt kulorna.
Exempel: Tolkning av linjediagram Herman, Inger, Kalle och Maria cyklar vanligen till skolan. Här kan du se fyra bilder och de historier som Herman, Inger och Kalle en dag berättade åt sin lärare. Kombinera varje berättelse med en bild. Vad kan Maria ha berättat? Herman: Jag hade just farit hemifrån då jag insåg att jag har jumpa idag. Jag måste cykla hem igen för att hämta jumpa-väskan och sedan skyndade jag till skolan. Inger: Jag tar det alltid lugnt i början, men sedan måste jag cykla snabbt så jag inte kommer för sent. Kalle: Jag fick ta mopeden idag, gasade på. Men bensinen tog slut, jag måste gå sista biten och hann knappt i tid! A B C D Avstånd Avstånd Avstånd Avstånd Tid Tid Tid Tid