REKURSION & INDUKTIONSBEVIS

REKURSION & INDUKTIONSBEVIS Rekursiva definitioner Sluten formel (direkt formel) För t.ex. följden a 0 1,a 1,a,a 8,a 16,a 5,... är det lätt att skriva upp en formel som direkt visar hur talen fås ur sitt ordningsnummer: a n n, n 0, 1,,,... Rekursiv definition För talen i följden (Fibonaccis följd; efter en italienare från 100-talet) 0, 1, 1,,, 5, 8, 1, 1,, 55, 89,... är det inte alls lika lätt. Men det finns ett enkelt samband mellan ett tal och närmast föregående: 89 55 + 55 + 1 1 + 1, etc. Vi skulle kunna definiera (beskriva) talföljden på följande sätt: F 0 0 F 1 1 F n F n 1 + F n, n,,,... (alt. F n+1 F n + F n 1, n 1,,,...) Det första eller några av talen i början får vi ange explicit, sedan ger vi en regel som tillåter oss att successivt räkna fram efterföljande tal ur närmast föregående. En sådan definition kallas rekursiv. Rekursionsformel kallas en formel av typen F n F n 1 + F n somangerhuretttalienföljd kan beräknas ur föregående tal. Obs. att en rekursionsformel ensam inte räcker för att beskriva en följd vi måste också ha något/några "startvärden". Iteration sägs föreligga när man upprepade gånger tillämpar samma beräkningsprocedur, t.ex. att beräkna tal i Fibonaccis talföljd genom upprepad insättning i F n+1 F n + F n 1. Beteckningssätt för följder : I stället för "talföljden a n,n0, 1,,,..." skriver man ofta talföljden (a n ) n0 1. Beskriv med ord vad p n är, om p 0 1 och p n np n 1 för n 1,,,,... (Bortse från p 0, som är litet speciellt.) Talen p n brukar normalt betecknas : n! uttalas : n-fakultet (eng. factorial). Skriv ner en rekursiv definition av följden a n n, n 0, 1,,.... Givet en talföljd a 1,a,a,... bildar vi följden av delsummor (partialsummor) s n a k, n 1,,,... Skriv ner en rekursiv definition av talföljden s n.. Catalantalen 1 (C n ) n0 kan definieras så här C n (n)! n!(n +1)! Skriv ut de 6-7 första samt ge en ekvivalent rekursiv definition. Vilken definition är lämpligast att använda, om man vill ha fler tal? 5. Följande algoritm kan ge en följd av tal (x k ) k0 som konvergerar mot (närmar sig) en rot till ekv. f(x) 0 Välj startvärden x 0 och x 1 så nära roten som möjligt. När x n och x n 1 är uträknade, låt x n vara koord. för skärningen mellan x-axeln och den räta linje som går genom punkterna (x n,f(x n )) och (x n 1,f(x n 1 )). Ställ upp en rekursionsformel för x n. 1 Uppkallade efter en belgisk matematiker Catalan (181-189). 1

Rekursiva definitioner för annat än talföljder Man skulle kunna beskriva utslagsturneringar (av den typ tennisturneringar brukar vara) 1/8- finaler på följande sätt : kvartsfinaler semi finaler final En utslagsturnering består av antingen en match mellan två spelare, eller två utslagsturneringar åtföljda av en match mellan segrarna i dessa Ett palindrom är en sträng av bokstäver (inte nödvändigtvis meningsfull) som lyder likadant om man läser den baklänges : radar varggrav saippuakivikauppias (finska för "tvålstensförsäljare") Hur uppträder parenteser i aritmetiska uttryck? ((5 x)+y) / (x y) Inte hur som helst, utan i par (), och alltid med ( till vänster om ). Låt oss kalla teckensträngar, där parenteser uppträder på detta sätt, balanserade. Ge en formell definition av balanserade strängar! Alt.1. w är balanserad omm w har lika många ( som ), och varje prefix avw har minst lika många ( som ). Alt.. w är balanserad omm endera w innehåller varken ( eller ) w xy där såväl x som y är balanserade w (z) där z är balanserad Den andra definitionen är rekursiv. Varje uttryck i satslogiken är en följd av symboler: satsparametrar p, q, r, s,..., konnektiv,,,, ochparenteser.menhurskiljermanut de meningsfulla uttrycken (välbildade formler vbf; well-formed formulas wff "wiffs"), som t.ex. p (q r), från meningslösa symbolföljder som ) pq (p q)? Kan definiera, vad en välbildad formel är, rekursivt: i) Ensatsparameterärenvälbildadformel ii) Om p är en vbf, så även p och ( p). iii) Om p och q är vbf, så även p q, (p q),p q, (p q), p q, (p q),p q, (p q) Följande är en rekursiv definition : Ett palindrom är en teckensträng som uppfyller endera av följande har längd 0 eller 1, har formen ap a, där a är någon bokstav och P ett palindrom 6. Vid en kassa står 1 personer i kö. P.g.a. ett tekniskt fel måste kassan stängas och de köande flyttarövertillennyöppnadkassa. På hur många olika sätt kan dessa 1 personer bildaennyköpåettsådantsättatt varje person har samma position eller har tagit ett steg fram eller ett steg tillbaka jämfört med ursprungskön? Låt s n vara antalet möjligheter för n personer. Ställ upp en rekursionsformel för s n och utnyttja den till att (relativt) snabbt räkna ut s 1

Sluten formel / slutet uttryck Ofta ställer man upp uttryck, där antalet operationer beror på någon variabel n och kan vara obegränsat stort, som t.ex. 1+++... + n eller 1++ +... + n (Antalet additioner beror på värdet på n.) En sluten formel (slutet uttryck) är uppbyggt av ett fixt, oberoende av n, antal "standardoperationer": n (n +1) (En addition, en multiplikation ochendivision.) n+1 1 (En addition, en exponentiering och en subtraktion.) Obs! Exponentieringar som n+1 kan egentligen kräva obegränsat många multiplikationer, men vi bortser nu från de praktiska beräkningsdetaljerna och räknar som en enda operation allt som på papper går att skriva som en enda operation! Sluten formel används som motsats till rekursionsformel, t.ex. ½ a n n a0 1 vs. a n a n 1, n > 0 Detta kan betraktas som ett specialfall av distinktionen mellan begränsat / obegränsat antal operationer: Om vi går efter rekursionsformeln, måste vi: för att beräkna a 100, beräkna a 99 ; för att beräkna a 99, måste vi beräkna först a 99 ; o.s.v. ner till a 0 antalet operationer beror på n. Obs! Vilka formler som betraktas som "slutna" är delvis relativt: För den, som är väl förtrogen med Fibonaccitalen F n resp. H n P n 1 k, är a n F n+1 "slutna formler" för a a n nh n n n. Ibland är rekursiva definitioner att föredra, ibland inte: Kanske behöver man bara F 1000 och det vore trevligt att kunna räkna ut detta tal direkt, utan att behöva räkna även alla föregående. Ofta önskar man sig t.ex. en uppfattning om talens storleksordning för stora n är t.ex. Fibonaccitalen F n n för stora n? eller F n n? eller F n n? eller F n...? Sådant kan vara svårt att se ur en rekursionsformel. Från rekursiv definition till sluten formel med iteration av rekursionsformeln I vissa enkla fall kan det gå att skaffa sig en sluten formel genom att bara iterera rekursionsformeln : Talföljden (a n ) n0 definieras genom a 0 0 a n+1 a n +1, n 0, 1,,... En sluten formel för a n kan fås genom upprepad användning av rekursionsformeln : a n 1+a n 1 1+(1+a n ) 1++ (1 + a n ) 1++ + (1 + a n )... 1++ + +... + n 1 (1 + a 0 ) 1++ + +... + n 1 [geometrisk summa] n 1 7. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 1 a n a n 1 +n +5, n 1,,,... 8. Låt a n antalet heltal bland 0, 1,,..., 10 n 1, som innehåller siffran 1 (när de skrivs i 10-systemet). Skriv upp en rekursionsformel för a n och utnyttja den till att få en sluten formel för a n. Kontrollera ditt svar genom en direkt uträkning av a n. (Multiplikationsprincipen) (Är talen som innehåller siffran 1 fler eller färre än de övriga?) 9. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 5 a n n a n 1 + n!, n 1,,,... genom att först införa en ny följd b n så att rekursionsekvationen blir, med c n a n b n, ekvivalent med c n c n 1 + f (n), för någon funktion f 10. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 1 a n a n 1 + n, n 1,,,...

Annuitetslån Låtsas att vi gör en avbetalning per år. Nuförtiden gör man ju avbetalningar månadsvis, men man kan räkna på precis samma sätt, om man först gör om räntesatsen till en ekvivalent månadsräntesats : t.ex. 1% per år motsvarar ³ 1 1.1 1 100 0.95% per månad eftersom det är den procentuella ökning per månad som ger 1% ökning per år: 1.095 1 1.1 Ett s.k. annuitetslån har följande konstruktion: Ett visst belopp s lånas på ett visst antal år N. Varje år avbetalas en del av lånet (amortering). Samtidigt skall ränta betalas för det gångna året. Amorteringen avpassas dock så att annuiteten den summa man betalar varje år totalt (amortering + ränta) är densamma under alla år. Säg att räntesatsen är p% och sätt f 1+ p 100 (f som i tillväxtf aktor ). Räkna ut vad annuiteten måste vara! Visa att annuiteten skall vara s (f 1) 1 f N och att amorteringen år n är s (f 1) f n 1 f N 1 (Ledning: Amorteringengsdelen ökar från ett år till det närmast följande lika mycket som räntedelen minskar.) Betrakta hur skulden ändrar sig. Skulden strax efter lånets upptagande? s, naturligtvis Skulden strax före 1:a avbetalningen? p s + s 100 sf (Ett års ränta har lagts till.) Skulden strax efter 1:a avbetalningen? sf a Skulden strax före :a avbetalningen? sf a +(sf a) (sf a) f sf af p 100 Skulden strax efter :a avbetalningen? sf af a Skulden efter :e avbetalningen? sf af a f a sf af af a sf a f + f +1 Fortsätt så här! Uttrycken följer ett visst mönster, eller hur? Skulden strax efter N:te avbetalningen? sf N a f N 1 + f N +... + f + f +1 Känn igen en geometrisk summa! sf N a f N 1 f 1 Att lånet skall vara avbetalat efter N år betyder att skulden efter N:te avbetalningen skall vara 0. Därifrån kan vi lösa ut a : 0 sf N a f N 1 f 1 Med t.ex. a s f N (f 1) f N 1 med f 1+ p 100 s 100 000 kr. N 0 p 10% s (f 1) 1 f N skall vi alltså betala 100000 1.10 0.1 1.1 0 1 11 76 kr. per gång

"Repertoarmetoden" ("the repertoire method" benämning som används av GKP, men nog inte av någon annan...) För följden (f n ) 0 definierad genom f 0 1 f n f n 1 + n, n 1,,,... kan man hitta en sluten formel genom iteration (uppgift 10), men det är inte alldeles enkelt, så det finns anledning att pröva andra vägar. Vi betraktar ett generellare (!) problem : Bestäm en formel för f n, om f 0 α f n f n 1 + βn + γ, n 1,,,... där α, β, γ är godtyckliga konstanter! (Vill alltså ha en formel som fungerar för varje val av α,β,γ.) Iteration av rekursionsformeln ger f 1 α + β + γ f α +β +γ f 8α +11β +7γ f 16α +6β +15γ f 5 α +57β +1γ... Ommannutänkerefter,såinsermanatt ("lösningen beror linjärt på parametrarna.") f n A n α+b n β+c n γ för några följder A n,b n,c n, som är oberoende av α,β,γ. Vi kan försöka skaffa oss ett ekvationssystem för A n,b n,c n genom att söka α, β, γ, för vilka vi kan (lättare än för vår ursprungliga rekursion) hitta formler för f n, och sedan stoppa in dessa i ekv. ovan. T.ex. valet α 1,β 0,γ 0ger direkt f n n n A n 1+B n 0+C n 0 A n n (vilket i och för sig kunde avläsas ovan, men ändå...) Obs. dock att vi kan vända på förfarandet : I stället för att testa om diverse val av α, β, γ ger "tillräckligt enkla" följder f n, såkanvistartamedenkelföljdf n och testa om det finns α, β, γ som ger just denna följd. Graham, Knuth & Patashnik, Concrete Mathematics, 199 Finns val av α, β, γ, som ger f n 1för alla n? Det skulle innebära 1 α 1 1+βn + γ, n 1,,,... Ja, f n 1, om α 1,β 0,γ 1, vilket ger 1 A n C n 1 n C n C n n 1 Finns val av α, β, γ som ger f n n för alla n? Det skulle innebära 0 α n (n 1) + βn + γ, n 1,,,... Ja, f n n om α 0,β 1,γ. Det ger Vi är klara : n B n +C n B n C n n n+1 n f n n α + n+1 n β +( n 1) γ och i vårt specialfall hade vi α 1,β 1,γ 0och f n n + n+1 n n n Betr. filosofin bakom den här metoden, kandujämföramed "Handpåläggningsmetoden" för partialbråksuppdelning i Klassisk geometri utdelad artikel av G.Polya Generalisering, specialisering och analogi Svårigheter som jag förbigår med tystnad : Hur vet man hur mycket man skall generalisera? I exemplet ovan lade vi t.ex. till en γ, men behöll :an i f n 1. Hur man hittar tillräckligt många val av parametrarna α, β, γ,... för vilka man enkelt kan ställa upp formler för följden? 11. Härled en formel för (f n ) 1 om f 1 α f n f n + β f n+1 f n + γ Tips: Skriv n m + k, där 0 k< m och använd m isvaret. 5

Induktionsbevis Induktionsaxiomet Låt M vara en mängd av heltal. Om 1) n 0 M ) n M n +1 M så innehåller M alla heltal som är n 0. Induktionsprincipen Låt P n beteckna en öppen utsaga med heltalsvariabeln n. Om 1) P n0 är sann ) P n är sann P n+1 är sann så är P n sann för alla n n 0. Fås ur induktionsaxiomet genom att låta M {n : P n är sann} Induktionsprincipen, starkare form : Som föregående, men med ) utbytt mot ) P m är sann då n 0 m n P n+1 är sann Kan visas vara ekvivalent med den första varianten. Induktionsbevis för att en öppen utsaga P n är sann för alla heltal n n 0 består av två delar: 1) "basfallet" / "induktionsbörjan" : bevis för att P n0 är sann ) "induktionssteget" : bevis för att (P n P n+1 ) är sann för alla n n 0, eller motsvarande för den starkare formen. Induktionsantagande kallas antagandet att P n skulle vara sant, som man gör när man bevisar implikationen (P n P n+1 ) Öppen utsaga / predikat är en bildning som a<b n är ett primtal n (n +1) 1++... + n som blir ett påstående först när vissa symboler, s.k. fria variabler, tilldelas värden. Den kan vara sann för vissa värden på variablerna, men falsk för andra. Välordningsprincipen Varje icke-tom nedåt begränsad mängd av heltal innehåller ett minsta heltal. Kan visas vara ekvivalent med induktionsaxiomet. 1. För summorna s 1 1 s 1+ s 1++5... s n 1++... +(n 1) (n 1) kan vi ställa upp en formel direkt hur då? Låtsas nu emellertid att vi inte kan och räknar ut summorna för små värden på n i hopp om att se något mönster som kan tänkas gälla för alla n : s 1 1 s 1+ s 1++59 s 1++5+716 s 5 1++5+7+95 Ett mönster är väl uppenbart? För n 1,,,, 5 gäller s n n Men är detta riktigt även för alla heltal > 5? Vi försöker göra ett induktionsbevis. Basfallet är redan klart: s 1 11. Induktionssteget: Vi skall visa att om s n n (induktionsantagandet), så är s n+1 (n +1) : s n+1 1++... +(n 1) + (n +1) s n +(n +1) [induktionsantagandet tillämpas nu!] n +n +1 (n +1) Klart. Första gången man kommer i kontakt med induktionsbevis brukar man tänka Va? Ens nästa reaktion brukar bli: Fårmangörasåhär? Slutreaktionen är: "Ja, så klart att man får. Vad fiffigt! Hur lång tid som förflyter mellan dessa reaktioner är idividuellt, och varierar mellan 10 sekunder och ett par år. Kimmo Eriksson & Hillevi Gavel ibokendiskret matematik och diskreta modeller 6

1. Beräkna summorna s n 1 + +... + n för några små värden på n. Sök efter mönster i resultaten, gissa en formel för summan ochförsökattmedinduktionbevisa att den gäller för alla positiva heltal n. (Kom ihåg formeln från nästa övning!) 1. För formeln k 1 n (n +1) för alla positiva heltal n finns ett enkelt och vackert åskådligt bevis: N N N N N N N N N N N N N N N + N N N N N N N N N N N N N N N (1++++5) 5 6 N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N men skriv nu som övning ett induktionsbevis. 15. Bevisa med induktion att k (k +1) 1 n (n +1)(n +) för alla positiva heltal n 16. Med tanke på hur föregående två formler ser ut, så är det väl inte helt otänkbart att k (k +1)(k +) 1 n (n +1)(n +)(n +) för alla positiva heltal n Skriv ner ett induktionsbevis! 17. Titta på de tre formlerna närmast ovan, gissa och bevisa med induktion en formel för k (k +1)(k +)(k +) 18. Räknar man ut 1 k (k +1) för n 1,,,..., 10 fås talen 1,,, 5, 5 6, 6 7, 7 8, 8 9, 9 10, 10 11 Gissa en sluten formel för summan och bevisa dess riktighet med induktion. 19. Förenkla P n ( 1)k k P n k 0. ( 1) k 1 k (k +1)? 1. Vad är det för fel på nedanstående "induktionsbevis" för att 1++... + n 1 8 (n +1) för alla n? Om 1++... +(n 1) 1 8 (n 1), så 1+++... +(n 1) + n 1 8 ( (n 1) 1) + n 1 n n +1 + 1 8 8 8n 1 n +n +1 8 1 (n +1) 8. Vad är felet med följande induktionsbevis för att alla människor är av samma kön? Induktion över antalet människor n. Om n 1är påståendet trivialt sant. Antag att det är sant för grupper om n 1 personer ochbetraktaengruppg med n personer. Numrera personerna 1,,,..., n. Skriv G G 1 G där G 1 består av personer 1,,..., n 1 och G består av personer,,... n. Enligt induktionsantagandet är alla i G 1 av samma kön som och alla i G också av samma kön som, varav alla i G måste vara av samma kön. 7

Hur hittar man formlerna? Ett induktionsbevis för en formel förutsätter att man, på något sätt, anat sig till den riktiga formeln. Uppgifterna här är valda med ambitionen att denna "upptäcktsfas" inte kommer bort. Läroböcker, som tar upp induktion, brukar annars överflöda på övningar, i vilka en formel "slängs från ovan", t.ex. 1 + + +... + n n (n +1)(n +1) 6 Kan man gissa sig till sådana formler? Naturligtvis, ju mer erfarenhet man har, desto mer kvalificerade gissningar skulle man kunna göra. Ommannuredanvetatt 1+++... + n n (n +1) 1 + + +... + n n (n +1) så skulle man kunna lägga märke till att högerleden är polynom i n av grad resp., utan konstant term, och då är det inte så långsökt att förmoda att 1 + + +... + n polynom i n av grad, utan konstant term an + bn + cn Vad konstanterna a, b, c måste vara, ifall vår gissning är riktig, är lätt att se : Insättning av några specifika värden på n ger ett ekv.system, ur vilket a, b, c bör kunna lösas ut : a + b + c 1 (n 1) 8a +b +c 5 (n ) 7a +9b +c 1 (n ) a 1/ b 1/ c 1/6 Stirrar man tillräckligt länge på summans värden för små n och motsvarande för 1++... + n n 1 5 6 7 8 9 P k 1 5 1 0 55 91 10 0 85 P k 1 6 10 15 1 8 6 5 kan man kanske upptäcka regelbundenheten i följden av kvoter : (T.ex. 0 10 9, 55 15 11, 91 1 1 ) P k P :1, 5 k, 7, 9, 11, 1, 15, 17, 19 Man leds till hypotesen att P n P k n +1 n k k n +1 n +1 Upprepad differensbildning : k n (n +1) 1 5 1 0 55 91 10 9 16 5 6 9 5 7 9 11 1 Man kan visa att man får en konstant följd efter differensbildning n gånger då och endast då följden ges av ett polynom av grad n. Många av de formler läroböcker ger som övningar på induktion kan emellertid härledas på andra sätt som gör induktionsbevis överflödiga. Nu kan vi sätta igång med induktionsbeviset! 8

Produkter med induktion. a) Följande produkt kan faktiskt minst lika enkelt framställas som en summa. Skriv med summatecken! (Utveckla parenteserna för n 0, 1,,, så ser du ett mönster!) ny ³1+x k k0 b) Har du gjort rätt i (a), har du fått en summa som det finns en formel för, så uttrycket går att förenkla ytterligare. Hurblirdet?. Betrakta polynom av typ Y (x ± a1 ± a ±...± a n ) där a 1,a,a,...,a n är positiva heltal och vi bildar produkten över alla möjliga n teckenkombinationer. Visa att sådana polynom har heltalskoefficienter. "Dold" induktion Inte sällan är induktion den egentliga bevismetoden, men man säger det inte, skriver inte ut detaljerna, utan nöjer sig med o.s.v., "...", eller något i den stilen, då det är lätt att få läsaren att tro att man kan göra på samma sätt för alla n (och relativt lätt för den någorlunda skolade att själv sätta upp ett induktionsbevis). 5. Alla läroböcker skriver upp distributiva lagen (a 1 + a ) b a 1 b + a b men i praktisk räkning använder vi ofta en skenbart starkare lag : (a 1 + a +... + a n ) b a 1 b + a b +... + a n b Varför är det OK? 6. För två godtyckliga komplexa tal har vi triangelolikheten: z + w z + w Kan den generaliseras till fler än två tal? Är för alla komplexa tal z 1,z,..., z n z 1 + z +... + z n z 1 + z +... + z n? 7. Formulera och bevisa med induktion generaliseringen av regeln för derivation av produkt till produkter av fler än två faktorer : (fgh) 0 f 0 gh + fg 0 h + fgh 0 och analogt för fler än tre faktorer (PB expedierar den med "naturligtvis...".) Iterationen av rekursionsformlerna på föregående sidor i detta häfte! Persson & Böiers, Analys i en variabel, 001 9

Successiv elimination för linjära ekv.system Du har i skolan löst linjära ekvationssystem med ekvationer och obekanta ( -system), möjligen också system med ekv. och obekanta. Hur gör man med ännu större system, som t.ex. x y z + w 1 x + y + 7z 1w x y z w 1 5x y z 1w 0 Finns någon metod att klara av godtyckligt stora ekvationssystem? Ja, om alla ekvationerna är linjära som ovan. Proceduren kallas successiv elimination (eller Gausselimination) och tas upp i kursen Linjär algebra. Huvudidén kan rubriceras som induktion/rekursion: Om vi kan klara av ett system med n ekvationer, så kan vi också klara av ett system med n+1 ekvationer. I och med att vi kan klara av ett system med 1 ekvation enbart, så följer det av induktionsprincipen att vi kan klara av ett godtyckligt stort system. Vi kan reducera oss till system med färre ekvationer med hjälp av följande observation: Låt A, B, C och D stå för vilka uttryck som helst, t.ex. kan A stå för x y z +w och B för 1; då kan första ekvationen ovan skrivas A B. (Fast A, B, C och D behöver inte vara linjära!) Låt vidare k stå för ett godtyckligt tal. Då gäller ½ A B C D ½ A B C + ka D + kb (Med ord: Om de två likheterna till vänster är sanna, så är också de två likheterna till höger sanna, och omvänt: om likheterna till höger är sanna, så måste även likheterna till vänster vara sanna subtrahera ka kb från andra ekvationen till höger, så fås ju andra ekvationen till vänster.) Detta betyder att vi i ett ekvationssystem kan addera en multipel av en ekvation till någon annan ekvation, utan att därvid förändra lösningsmängden.? Låt nu A B symbolisera första ekv. i systemet, medan C D symboliserar först den andra, sedan den tredje och slutligen den fjärde ekv. Samtidigt låter vi k stå för resp. resp. 5 och ersätter C D med C + ka D + kb. T.ex. får vi den sista ekvationen nedan ur (5x y z 1w) 5(x y z +w) 0 5( 1) Vi får följande ekvivalenta system x y z + w 1 y + z 6w 1 y + z 6w 10 y + 7z 1w 15 Nu räcker det att kunna lösa ett system med ekvationer, nämligen y + z 6w 1 y + z 6w 10 y + 7z 1w 15 För varje lösning (y,z, w) till detta delsystem, får vi en lösning till vårt ursprungliga genom att ta x y +z w 1, så att även den första ekvationen blir uppfylld. Omvänt, måste varje lösning till det ursprungliga systemet ge även en lösning till delsystemet, så vi kan inte missa några lösningar! Obs. att om man ställer som uppgift: "Formulera ett induktionsbevis för att varje linjärt ekvationssystem går att lösa exakt.", så gäller det att tänka : Här finns två parametrar som beskriver problemets storlek : antalet ekvationer m, och antalet obekanta n. Teoretiskt sett finns olika alternativ : Induktion "efter n", med resonemang som fungerar för godtyckligt m; Ytterst induktion efter n, och innerst, för varje givet n, induktion efter m; Omvänt: som alt., men med m och n utbytta mot varandra; Någon slags "kombination" där m och n ökar kopplade till varandra, t.ex. att induktionssteget är: Om det går att lösa varje system med m p och n p, så går det att lösa även varje system med m p +1och n p +1 10

Induktionsbevis som alternativ För nedanstående resultat finns andra, kanske minst lika enkla och naturliga, motiveringar, men om man nu ska öva sig på induktionsbevis... 8. Visa att ur de två deriveringsreglerna (D står för derivatan av ) följer att Dx 1 D (fg) (Df) g + f (Dg) Dx n nx n 1 för alla positiva heltal n. (Persson & Böiers använder binomialsatsen.) 9. Formulera ett induktionsbevis för binomialsatsen. (Binomialkoefficienternas "Pascaltriangelegenskap" µ µ µ n n n +1 + k k 1 k får förutsättas bekant och utnyttjas.) 0. Ge ett induktionsbevis (det finns alternativ!) för att en mängd med n element har n olika delmängder (den tomma delmängden inräknad). 1. Visa med induktion (finns enklare sätt!) att x +1är en faktor i x n+1 +1för varje heltal n>0 x +1 (x +1) x x +1 x 5 +1 (x +1) x x + x x +1... Induktionsbevis & rekursiva definitioner. Det bör inte komma som en överraskning att induktionsbevis brukar komma väl till pass, när man har att göra med rekursivt definierade talföljder (och rekursivt definierade strukturer i allmänhet) varför?. Utnyttja den rekursiva def. av utslagsturneringar (sid. ) till att bevisa att totala antalet matcher i en sådan turnering med n spelare är... (Du får själv lista ut antalet.). Talföljden (a n ) n0 definieras genom a 0 1 a n+1 a n + n Finn en sluten formel för a n. 5. Den oändliga talföljden a 1,a,a,...definieras genom Beräkna a 005. a 1 1 a 1 a 1 a n a n 1 a n, för n 6. Bestäm en icke-rekursiv formel för a n om a 0 1, a, a n a n 1 a n, n 7. Låt (a n ) n1 definieras av a 0 1 a 1 1 a n 5a n 1 6a n, n Visa att a n n n 1 8. Låt a 1 och a vara två godtyckliga tal. Låt sedan a n+1 1 n (a 1 + a +... + a n ), n Vad får man för följd då? 9. Talföljden a 0,a 1,a,... uppfyller rekursionsekvationen a n a n+1 1+a n (a) Uttryck a 1,a,a och a i a a 0. (b) Uttryck a n i a. 11

0. För talföljden a 1,a,a,... gäller (k +1)a k+1 ka k 1 Uttryck a n i a a 1. 1. Givet ett x 0 6 1, 0, 1, bildar vi successivt x n+1 x n 1 x n +1 Vad måste x 0 ha varit, om x 001? Tips: Visa att x n+1 x n.. Låt a 1 1 a n+1 6a n +5 a n + Visa att 0 <a n < 5 för alla n.. Antag att ett träds grenverk växer på följande sätt. Under en grens två första år växer det inte ut några nya grenar. Fr.o.m. det tredje levnadsåret växer det emellertid varje år ut två nya grenar. Hur många grenar har trädet efter n år, om det hade "färska" (0 år gamla) grenar i början?. Talföljden (a n ) n1 uppfyller 7. Med utgångspunkt i och 7 bygger man upp en oändlig följd av siffror genom att successivt multiplicera på varandra följande ensiffriga tal och lägga till produktens siffror på slutet:, 7, 1,, 7,,, 8,, 8, 8, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 6,,... (Här har man alltså startat med, 7, beräknat 71och utökat följden till, 7, 1,, beräknat 7 1 och utökat till, 7, 1,, 7, beräknat 1 och utökat till, 7, 1,, 7,, beräknat 7 och utökat till, 7, 1,, 7,,, 8, etc.) Visa att den här följden kommer att innehålla oändligt många sexor. Tips: Skriv ut något tiotal siffror till. Lägg märke till att långtifrån alla ett- och tvåsiffriga tal förekommer som produkter. Försök att bevisa att endast ett visst begränsat antal produkter kan dyka upp. Vilka av dessa kan fortsätta att förekomma ifalldetintelängrefinns några sexor? a n 1 (a n 1 + a n ) för alla n Visa att lim a n existerar n oavsett vad a 1 och a är och beräkna det. Tips: Skaffa en rekursionsformel för följden b n a n a n 1 5. Betrakta talföljden a 0 9 a n+1 a n +a n Visa att a 10 innehåller fler än 1000 st. nior, när det skrivs på decimalform! (Tips: Med dator fås a 1 599, a 78599056559999 a tal som slutar på 8 st. nior a tal som slutar på 16 st. nior så det kanske räcker att titta på niorna i slutet och visa att enbart de är fler än 1000 st. för a 10? Binomialsatsen kan komma till användning.) 6. Talföljden (a k ) n, där n är ett stort tal, uppfyller a 1 n a 1 + a +... + a k k a k för alla k>1 Vad är a n? (Förenkla så mycket som möjligt.) 1

Fibonacci- och Lucastalen Betrakta talföljden 0, 1, 1,,, 5, 8, 1, 1,, 55, 89, 1,, 77, 610,... Vi betecknar talen F 0,F 1,F,... 8. Mellan varje trippel av på varandra följande tal råder ett enkelt samband upptäck och formulera det i form av en s.k. rekursionsekvation! 9. Rekursionsekvationen, tillsammans med värdena på de första två talen, bestämmer entydigt en oändlig talföljd (F n ) n0 och utgör en s.k. rekursiv definition av följden formulera den definitionen! Vi antar att det är den följden vi ovan ser de första talen utav! 50. Bilda en ny talföljd s n F 0 + F 1 +... + F n Skriv ner de första s n och jämför dem med F n. Det verkar finnas ett enkelt samband, eller hur? Formulera och bevisa det sambandet! 51. Som föregående, men med s n F 1 + F + F 5 +... + F n 1 5. Som föregående, men med s n F + F + F 6 +... + F n 5. Som föregående, men med s n F 1 + F... + F n Ledning: Jämför s n med F n och F n+1 5. Som föregående, men med s n n 1 55. Som föregående, men med s n k0 F k F k+1 F k F k+1 56. Återigen samma fråga, men med µ n s n F k k Tips: Betrakta även t n k0 µ n F k+1 k och gör ett induktionsbevis för s n och t n samtidigt. De s.k. Lucastalen L n kan definieras så här : L 1 1 L n F n+1 + F n 1 för n,,... 57. Även Lucastalen satisfierar en enkel rekursionsekvation vilken? 58. Ge en definition av Lucastalen som inte hänvisar till Fibonaccitalen. 59. Vad är det för fel på följande induktions bevis för att L n F n för alla n? Induktionsbörjan: L 1 1F 1 Induktionssteget: Antag att L k F k för k 1,,..., n. Då är L n+1 [enl. föregående uppgift] L n + L n 1 [enl. induktionsantagandet] F n + F n 1 [enl. Fibonaccitalens rekursionssamband] F n+1 60. Jämför produkterna F n L n,n1,,,... med Fibonaccitalen. Formulera och bevisa ett generellt samband! Tips: Det kan vara lämpligt att parallellt bevisa en formel för 61. Visa att 6. Visa att F n+1 L n + F n L n+1 k 1 L k n F n+1 1 L n < µ n 7 för alla n 6. Försök att bestämma ett så litet a som möjligt, sådant att det finns någon konstant C så att L n Ca n, för alla n 1

6. Jämför följden s n F n + F n+1 med F n. Samband? Bevis? Se om du lyckas hitta ett enkelt sätt att genomföra induktionssteget. Det har inte jag gjort jag klarar det inte med mindre än generaliseringen i nästa uppgift: 65. Visa att Fibonaccitalen F n uppfyller F m+n F m 1 F n + F m F n+1 för alla m, n (Obs. att detta innehåller resultatet i föreg. uppgift som ett specialfall.) 66. Visa att F mn är delbart med F m. 67. Observera att 1+ 61+5 7+5 91+8 10+8 51++1 11 + 8 11++8 50+1+ 1 1 + 1 15+1 881++8+1+55 16 + 1 171++1 001+55+1 18 5 + 1 191+5+1 001++8+55+ Det verkar som om varje positivt heltal kan skrivas som en summa av en eller flera olika Fibonaccital, som inte är grannar i följden. Gäller detta för alla positiva heltal? Är framställningen entydig, d.v.s. finns det högst en summa av ovanstående typ, som ger ett visst heltal, eller kan det finnas fler? (Varje gång man ställs inför ett problem, så frågar man sig om man stött på något närbesläktat, så att man skulle kunna kopiera dess lösning. Den mest närbesläktade frågan i detta sammanhang är väl: Hur övertygar man sig att varje heltal har en och endast en framställning i basen 10, i basen, etc.) 68. Använd rekursionsformeln för F n till att beräkna vad den oändliga summan (gränsvärdet) k0 F k k def. lim måste vara, om det existerar. N N k0 F k k 69. Vi vill få en övre begränsning på hur stora talen F n kan bli. Försök att med hjälp av rekursionsformeln samt induktion hitta tal M med följande egenskap: Det finns någon konstant C, sådan att F n C M n för alla n Konstanten C får variera med M ju mindre M, desto större C kan vi tvingas tillgripa. Om man vill ha så bra begränsning som möjligt för alla tillräckligt stora n, så är emellertid viktigast att hålla M liten, t.ex. 10 100 À 5 men 10 100 n 5.001 n för stora n Vilket är det minsta M du kan hitta på detta sätt? 70. Har du fått en tillräckligt bra uppskattning i föregående uppgift, kan du nu bevisa att summorna N k0 F k k är begränsade och följaktligen konvergerar mot ett gränsvärde det som räknades ut i fråga 68. 1

71. Låt a 1 1, a 1, a 1,... a 9 156789 (a) Ange en allmän formel för talen av typ a n något med n något med n (b) Ange en (alternativ) rekursiv definition av talföljden: a 1... a n uttryck i a n 1 (c) Lägg märke till följande lustiga likheter: 9 1+ 11 9 1 + 111 9 1 + 1111 9 1 + 5 11111... 9 156789 + 10 1 111 111 111 Frestande att tänka sig en fortsättning 9 (...???...) + 11 11 111 111 111 9 (...???...) + 1 111 111 111 111 men vilka tal skall i så fall stå efter 9:an? Kanduangeenenkelmetodatttaframdem (med papper och penna enbart, helst)? Om du menar att mönstret kan fortsättas i all oändlighet, kan du också bevisa att din metod fungerar i all oändlighet? 7. Det här problemet handlar om en oändlig följd av positiva heltal som är Låt f (1),f(),f(),... i) växande, d.v.s. f (k) f (k +1) ii) "självbeskrivande" i den meningen att f (k) antalet gånger talet k förekommer i följden g (k) det största heltalet j sådant att f (j) k (a) Förklara varför följden måste innehålla alla positiva heltal och ha följande principiella utseende: 1,..., 1,,...,,,...,,... {z } {z } {z } några 1:or några :or några :or (b) Vad måste de 15 första talen i följden vara? (c) Visa att det finns exakt en följd av denna typ. (d) Visa att följden kan definieras så här f (1) 1 f (n) 1+f (n f (f (n 1))), n > 1 (e) Förklara varför (f) Uttryck m.h.a. g g (k) k f (j) j1 kf (k) (g) Visa att g (g (g (n))) 1 ng (n)(g (n)+1) 1 n 1 g (k)(g (k)+1) 15

Ackermanns funktion A : N N N definieras av A (0,n) n +1 A (m, 0) A (m 1, 1) A (m, n) A (m 1,A(m, n 1)) 7. Härled en formel för A (1,n) 7. Härled en formel för A (,n) 75. Härled en formel för A (,n) 76. Härled en formel för A (,n) 77. Visa att A (m, n) m + n +1 Induktionsbevis & rekursiva definitioner II Man får vara beredd att själv formulera rekursiva definitioner. 78. Ställ upp en rekursionsekvation för talföljden a n x n + 1, n 0, 1,,... xn där x är något fixt reellt tal. 79. Visa att x + 1 x heltal x n + 1 x n heltal för alla heltal n 80. Under en matematiklektion skrev läraren upp ett tal på tavlan, låt oss kalla det x. Sedan fick eleverna beräkna x +1/x. Alla fick det korrekta svaret som var ett heltal. Den elev som satt längst fram fick då beräkna x +1/x, nästa elev fick räkna ut x +1/x, nästa x +1/x, o.s.v. En av eleverna fick svaret 1. Vad fick nästa elev för svar? 81. Låt F m,n antalet surjektiva funktioner som man kan definiera från en mängd med m element till en mängd med n element. (a) Hitta ett samband mellan F m+1,n,f m,n och F m,n 1 (b) Visa att upprepad användning av rekursionssambandet leder till en formel av typ F m,n a n,k k m k0 (c) Verifiera formeln med induktion. 16

Josephusproblemet Under det judiska upproret mot romarna blir 1 st. rebeller innestängda i en grotta. För att undvika slaveri, bestämmer de sig för kollektivt självmord efter följande procedur: De ställer sig i en ring och räknar runt. Den tredje personen dödas, varefter ringen sluts och man räknar vidare till bland dem som är kvar, dödar den personen, o.s.v. Så håller man på tills endast en man återstår, som får ta sitt eget liv själv. Detärintesvårtatträknapåkonkretafall för k n 10 får man S (n, k) till nâk 1 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 5 5 1 6 6 5 1 5 1 7 7 7 6 5 8 8 1 7 6 1 9 9 1 1 8 7 8 10 10 5 5 9 1 7 8 men kan man hitta en allmängiltig formel? 8. Betrakta specialfallet k. Låt, för korthets skull, J n S (n, ). Förklara varför (a) (b) J n J n 1 J n+1 J n +1 8. (Forts.) Med rekursionsformlerna ovan och det uppenbara J 1 1 Att vi känner till den här historien beror emellertid på att den siste mannen inte hade modet att begå självmord, utan levde vidare och blev en världsberömd historiker Flavius Josephus. Nåja, den historien är nog inte riktigt sann en version påstår rentav att Josephus räknade ut var han skulle ställa sig för att överleva men faktum är att Flavius Josephus (7 ca 100) deltog i det judiska upproret mot romarna år 66-67 e.kr. och på ett mirakulöst sätt undkom en massaker i vilken alla hans medkämpar stupade. Hur det nu vara månde, Josephusproblemet har blivit en klassiker i underhållningsmatematiken : n personer står i en ring, numrerade från 1 till n. Man räknar runt och var k:te person tas bort. Bestäm S (n, k) numret på den som lämnar ringen sist kan vi snabbt räkna ut J n för vilket n som helst. Försök dock få fram en sluten (icke-rekursiv) formel för J n. 8. En variant av Josephushistorien hävdar att Josephus var i maskopi med en kamrat och de räknade ut hur de skulle placera sig i ringen för att överleva längst. Låt I n vara numret på den som lämnar ringen näst sist i fallet k. Ställ upp rekursionsformler för I n liknande de för J n. 85. (Forts.) Tag fram en sluten formel för I n. 86. Vi har n personer i en ring, varav de n första är "goda", medan de sista n är "onda". Visa att det alltid går att hitta k (inte nödvändigtvis n och, naturligtvis, beroende på n) sådant att, om man skjuter var k:te man, så är det de onda som försvinner först! 17

Olikheter med induktion 87. Utan räkning kanduinseatt för alla x>0 och alla heltal n>1 (1 + x) n > 1+nx (Hur så?) Visa nu, förslagsvis med induktion, att olikhetenärsannävendå 1 <x<0. 88. Visa att om 0 <a k < 1 för k 1,,,..., n, så ny (1 a k ) 1 (Det s.k. produkttecknet Y fungerar precis som summatecken men genererar en produkt i stället: ny (1 a k )(1 a 1 )(1 a )... (1 a n ) a k 9. (En ren teknikövning. Man kan ju undra : hur kommer man på alla sambanden nedan? Det finns härledningar som gör induktionsbevisen onödiga se stencil om Summationsmetoder.) Låt (H som i harmonisk serie) H n 1+ 1 + 1 +... + 1 n Visa med induktion att för alla heltal n 1: (a) (b) (c) H n 1+n H k (n +1)H n n kh k 1 n (n +1)H n+1 1 n (n +1) 89. Visa med induktion att 90. Visa med induktion att för alla positiva heltal n n >n för alla heltal n> n n (n +1) n 1 Tips: Såväl n n (n +1) n 1 som (n +1) n+1 (n +) n kan omformas till µ n??? n +1??? (d) H n+1 1 H n k0 1 k +1 91. µ n q n n n + 1 för alla n 1 18

I nedanstående problem får du utnyttja att µ 1+ 1 n n % e d.v.s. att talföljden µ 1+ 1 n n d.v.s..5.7.......88....5...... växer mot talet e. 718 8..., alltså ligger alla tal av den typen i intervallet [,e). 9. Visa att µ n n +1 n! < för alla heltal n 9. Visa, förslagsvis med induktion, att ³ n n ³ n n <n! < för alla n 6 97. Skriv upp en rekursiv definition av följden a 1 1.1... a 1.65... a 1.7608...... a n ett "potenstorn" med n st. 98. (Forts.) Visa att "tornföljden" är växande. 99. (Forts.) Visa att tornföljden är uppåt begränsad. 100. (Forts.) För talföljder (a n ) gäller allmänt: ¾ a n växande lim a n uppåt begränsad a n existerar n (är ett vanligt tal, ej ) Vad är gränsvärdet av potenstornföljden? 101. Avgör utan maskin, vilket av följande tal som är störst 8 88 8 (ett "potenstorn" med 100 st. åttor) 95. Skärp den vänstra olikheten i föregående uppgift till ³ n n <n! e eller 9 9 9 (ett "potenstorn" med 99 st. nior) 96. Visa att (n!) >n n för alla n> och dessutom (n!) n n %, när n % 19

10. Betrakta talföljder som uppfyller a 0 a 1 R a n+1 a 1 a n a n 1 Studera m.h.a. dator (t.ex. Mathematica) hur de uppför sig för olika val av a 1, formulera några förmodanden och bevisa dem. För dig som inte har tillgång till dator just nu, avslöjar jag några hypoteser som framkommit den vägen: (a) Om a 1, så a n för alla n. (b) Om a 1 >, så är a n växande. (c) Om a 1, så a n för alla n : (d) Om så a 0 a 1 > 0 a n+1 a 1 a n a n 1 och b n ( 1) n a n (e) Om a 0 a 1 >b 1 a n+1 a 1 a n a n 1 så a n >b n och b 0 b 1 a 1 b n+1 b 1 b n b n 1 b 0 b 1 > b n+1 b 1 b n b n 1 "Bakåtinduktion" 10. För alla icke-negativa tal a och b gäller olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde (förk. AM GM eller A G) a + b ab (ab) 1/ med likhet dåå a b Man kan fråga sig om den går att generalisera till fler än två tal, så här: a 1 + a +... + a n n n a 1 a...a n (a 1 a...a n ) 1/n med likhet dåå a 1 a... a n (a) Visa att om generaliseringen är sann för n p, så är den också sann för n p. (Tips: Utnyttja resultatet i fallet n.) För vilka heltal n är då olikheten bevisad? (b) Visa att om generaliseringen är sann för n p, så är den också sann för n p 1. Tips: Utöka mängden av de givna p 1 talen med A a 1 + a +... + a p 1 p 1 och observera att A a 1 + a +... + a p 1 + A p För vilka heltal n är nu olikheten bevisad? (För tillämpningar av A G-olikheten, se nästa sida.) 10. Visa att för alla heltal n>1 gäller v s u r q t... (n 1) n< Tips: Det kan vara lättare att fösöka bevisa en generellare olikhet : v s u r q t k (k +1) (k +)... (n 1) något n< "lämpligt" för alla heltal 1 <k n 0

Optimering m.h.a. AM GM-olikheten (Exempel på tillämpning av olikheten för n ) Kvadraten har störst area av alla rektanglar med fix omkrets. Man har ett begränsat antal plankor till staket och vill inhägna ett rektangulärt område med så stor area som möjligt. Hur skall rektangelns proportioner vara? Kalla rektangelns sidor för a resp. b. Vi söker maximum av ab, när a + b + a + b (a + b) given konstant p. ab µ ³ a + b ab p säger oss att arean inte kan bli större än p och likhet får vi när a b, d.v.s. när rektangeln är en kvadrat. (Exempel på tillämpning av olikheten med n ) Av alla rätvinkliga lådor med fix volym, vilken har minst total begränsningsarea? (Totala begränsningsarean är det enklaste måttet på materialåtgången för att tillverka lådan, så vi, kan sägas, försöker minimera materialkostnaden.) Beteckna kanterna med a, b, c. Vi söker minimum av A ab +ac +bc, då abc konstant V. AM GM-olikheten för tre tal säger ab +ac +bc (ab ac bc) 1/ A 6 (abc) / 6V / Den A vi vill minimera kan inte bli mindre än 6V /. Kan vi få likhet? Ja, om ab ac bc m a b c Minsta begränsningarea fås alltså för en kub. Av alla rätvinkliga lådor med fix total begränsningsarea A, vilken har störst volym? Som i föregående exempel fås µ A V 6 / med likhet dåå a b c (en kub) Den liksidiga triangeln har störst area av alla trianglar med fix omkrets. Om man kombinerar areasatsen och cosinussatsen för trianglar, kommer man fram till Herons formel: Areanaventriangelmedsidornaa, b, c är p p (p a)(p b)(p c) där p halva omkretsen a + b + c Vi har p(p a)(p b)(p c) ³((p a)(p b)(p c)) 1/ / µ / (p a)+(p b)+(p c) ³ p / så arean kan inte bli större än p 1/ (p/) / och likhet får vi när p a p b p c m a b c 1

Problemlösning m.h.a. rekursion Hanois torn Se den första figuren nedan. Givna är tre vertikalt uppsatta pinnar. På den första pinnen är ett antal ringformiga plattor av olika diametrar trädda. Uppgiften är att flytta dessa till den tredje pinnen under iakttagande av följande regler: Endast en platta i taget får flyttas. Man får aldrig ha någon platta ovanpå en med mindre diameter. Den andra pinnen får användas som mellanstation. (Ett sällskapsspel som torgfördes 188 av "Professor N. CLAUS (DE SIAM)", ett anagrampseudonym for Édouard LUCAS (D AMEINS) han med Lucastalen, och som påstods ha verklighetsbakgrund: När Gud skapade Jorden, gav han ovannämnda uppgift till prästerna i Brahmas tempel (var det nu ligger någonstans) - med diamantnålar till pinnar och 6 guldplattor att flytta. De skulle flytta en platta om dagen och lär hålla på fortfarande... I fallet n, t.ex., klarar man sig så här: Men hur gör man när antalet plattor är stort? Vilket är det minsta antalet flyttningar som behövs för en hög med n st. plattor?

Lösning: Fallet n 1är klart: flytta direkt! Antag att vi känner till en procedur som fungerar för n plattor. Då skulle vi kunna utnyttja den till att flytta n +1plattor i tre steg: i) Flytta de n översta plattorna, fast till pinne och med som mellanstation. ii) Flytta den största plattan från 1 till. iii) Flytta de n plattorna från till med 1 som mellanstation. Klart! Hur många flyttningar blev det? Med a n antalet flyttn. för n plattor har vi Modifieringar av "Hanois torn"-problemet 105. Hur flyttar man snabbast n plattor, om endast flyttningar till och från mellanpinnen är tillåtna, d.v.s. ingen platta får flyttas direkt mellan start- och slutpinne? 106. (Forts.) Bestäm en sluten formel för det minsta antalet flyttningar i föregående problem. 107. (Forts.) Förklara varför alla sätt att fördela n plattor på pinnar, som är sådana att ingen större platta ligger ovanpå en mindre, kommer att uppträda under förflyttningsprocessen i förrföregående uppgift. 108. Antag att de tre pinnarna ligger längs en cirkel a 1 1 A B a n+1 a n +1+a n och räknar snabbt ut att de första a k :na är 1,, 7, 15, 1,... Det verkar som om a n n 1 för alla n. Att kontrollera detta är lätt: i) Det stämmer för n 1 ii) Om det stämmer för ett visst n, så stämmer det också för n +1. Det ser vi av följande uträkning: a n+1 a n +1( n 1) + 1 n+1 1 Att a n också är det minimala antalet, kan inses även det med induktion: Klart att a 1 1är det optimala för 1 platta. Anta att a n är det optimala för n plattor. Vi visar att det då inte går att klara sig med färre än a n +1flyttningar i fallet med n +1plattor: Innan vi kan flytta den största plattan till pinne, måste vi ha flyttat alla de andra till pinne. För det behövs inte mindre än a n flyttningar enligt induktionsantagandet. Efter att vi flyttat den största, så återstår det återigen att flytta n st. och det kunde inte göras snabbare än med a n flyttningar, så totalt krävs minst a n +1+a n. Klart. C och varje plattförflyttning måste ske medurs, d.v.s endast flyttningar från A till B, från B till C och från C till A är tillåtna. Låt Q n och R n vara det minsta antalet drag som krävs för förflyttning av ett torn med n plattor från A till B resp. från B till A, under dessa villkor. Visa att Q n R n 1 +1 R n Q n + Q n 1 +1 109. Vi har n st. plattor av n olika storlekar ( st. plattor av varje storlek). Plattor av samma storlek kan vi inte skilja åt, så de kan läggas i vilken ordning som helst (men som förrut får man inte lägga en större platta ovanpå en mindre). Hur många flyttningar behövs nu? 110. Som i föreg. uppgift, men antag nu attt vi kan skilja på plattor av samma storlek och vi kräver att de kommer i samma ordning i slutändan, d.v.s. under alla mellanställningar får de ligga i omvänd ordning, men i slutställningen skall tornet se ut precis som i utgångsställningen. Hur många flyttningar behövs nu? 111. Generalisering av förrföregående problem: Vi har plattor av n olika storlekar, m i oskiljaktiga plattor av varje storlek, i 1,,..., n. Hur många flyttningar behövs?

11. Låt W n vara det minsta antalet flyttningar som behövs för att flytta ett torn med n plattor, om man har tillgång till två st. "hjälppinnar" i stället för endast en, som i den traditionella problemställningen. Visa att W n(n+1)/ W n(n 1)/ + T n där T n ( n 1) är det minsta antalet i fallet med en hjälppinne. 11. (Forts.) Utnyttja olikheten till att få fram ett relativt enkelt slutet uttryck f (n) sådant att W n(n+1)/ f (n) för alla n 11. Givet en ändlig mängd, konstruera en lista över alla dess delmängder, som är sådan att den börjar med den tomma mängden och varje delmängd därefter fås ur föregående antingen genom att lägga till eller ta bort ett (och endast ett!) element. T.ex. om vi skall ha delmängderna av {a, b, c}, skulle en acceptabel lista vara { }, {a}, {a, b}, {b}, {b, c}, {a, b, c}, {a, c}, {c} 115. (Forts.) Det sätt att representera (koda) talen 0, 1,,..., n 1 med strängar bestående av n st. bitar, d.v.s. ettor eller nollor, som man kommer att tänka på i första hand, är väl att skriva talen i ett positionssystem med basen. För n får man följden 0 000 1 001 010 011 100 5 101 6 110 7 111 I vissa tillämpningar vill man att kodningen för två konsekutiva heltal inte skall skilja sig mer än i en position (som för 0 och 1, och, och 5 samt 6 och 7 ovan) en s.k. Graykod. Kodningen ovan uppfyller inte kravet: t.ex. kodsekvenserna för och skiljer sig i alla tre positioner. För n är en lösning 0 00 1 01 11 10 På vilket sätt är detta problem ekvivalent med vårt om delmängder? Ange en metod att konstruera Graykoder för alla n. Gray codes are particularly useful in mechanical encoders since a slight change in position only affects one bit. Using a typical binary code, up to n bits could change, and slight misalignments between reading elements could cause wildly incorrect readings. A GraycodewasusedinatelegraphdemonstratedbyFrenchengineer Émile Baudot in 1878. The codes were first patented by Frank Gray, a Bell Labs researcher, in 195.

116. Vilka belopp skulle man kunna betala jämnt, om man hade obegränsad tillgång till 5- och -kr. mynt, men inga andra mynt/sedlar? Visa att alla belopp > 7 kr. går att betala! 117. Nedan har vi delat en kvadrat i resp. 7 st. delkvadrater 11. I hur många områden delas ett plan av n linjer i allmänt läge, d.v.s. då inga par av linjer är parallella och inga tre linjer går genom samma punkt? För n, exempelvis, får vi 7 områden: 1 5 6 7 Går det att, på liknande sätt, dela i, säg, 005 delkvadrater? Med undantag för n, och 5, så går det för alla positiva heltal n att dela i n delkvadrater! 118. Ett -rutbräde med en hörnruta borttagen, se nedan till vänster, kan täckas exakt, utan överlappning, med triomino -brickor (ordet släkt med domino ) av den typ som visas nedan till höger t.ex. på följande sätt: Visa att även 8 8-, 16 16- och allmänt varje n n -rutbräde med en hörnruta borttagen, kan täckas med ovanstående triominobrickor! 119. (Forts.) Ovan inskränkte vi oss till n n-rutbräden med en hörnruta borttagen, där n,, 8, 16,... Men hur är det för andra värden på n? 1. I högst hur många områden kan n styckenplandelarymden? Anm. 1. Om man endast hade frågat efter antal områden för, säg 5 plan, så kan det vara frestande att försöka rita och föreställa sig alla tänkbara sätt på vilka just 5 plan kan skära varandra, men det kanske blir ändå enklare att satsa på att söka efter en metod som kan ge oss resultatet för ett godtyckligt antal plan, och därmed inte ställer så höga krav på vår visualiseringsförmåga? Anm.. Ovan har det tredimensionella problemet (indelning av rymden med plan) avsiktligt placerats strax efter sin tvådimensionella motsvarighet (indelning av ett plan med räta linjer) för att läsaren skall komma att tänka på och få hjälp av analogin. En erfaren problemlösare kan ta det här steget själv : Om man inte kan klara ett problem direkt, så frågar man sig : Kan jag formulera och lösa något liknande, men enklare problem? I så fall skulle jag kanske sedan kunna bygga på den lösningen? Har man speciellt ett tredimensionellt problem, så är det naturligt att söka efter någon tvådimensionell motsvarighet. Man kan gå ännu längre "ner" och starta med den endimensionella motsvarigheten hur lyder den? 1. Givet en cirkel, placera n olika punkter på periferin och dra alla möjliga kordor mellan par av dessa. Antag att inga tre kordor skär varandra i en och samma punkt. I hur många områden delas cirkeln? 10. På hur många olika sätt kan man täcka (exakt) en n-rektangel med 1-brickor? 5

Kommentar till de tre föregående problemen Problem 1 kan sägas vara den tredimensionella motsvarigheten till 11. Kan vi se någon endimensionell motsvarighet? Ja, den har vi t.o.m. figur på i vänsterspalten : I hur många områden (intervall) delas en linje av n olika punkter? Ett klart mönster framträder, om man uttrycker svaren på de tre problemen m.h.a. binomialkoeffcienter 1. I högst hur många områden kan man indela ett plan m.h.a. n st. (oändliga) "vinkelhakar"? 1 Z 1 1+ 1+n n (n +1) svar på 1 µ µ n n + 0 1 µ µ µ n n n + + 0 1 µ µ µ µ n n n n + + + 0 1 7 Även svaret på 1 kan uttryckas med binomialkoefficenter på ett "snyggt" sätt : µ µ µ n n n + + 0 1 5 6 Ovanstående bör föranleda en att undra, om det inte finns något annat sätt att komma fram till svaren, som bygger på binomialkoefficienternas tolkning som antal delmängder? Det gör det! Fundera hur! Z 7 Z n? 15. I maximalt hur många områden kan ett plan delas in i med n st. zick-zack-linjer (två parallella oändliga strålar, sammanbundna med en rak sträcka)? För n 1fås områden: För n fås 1 områden: 6