REKURSION & INDUKTIONSBEVIS

Transkript

1 REKURSION & INDUKTIONSBEVIS Rekursiva definitioner Sluten formel (direkt formel) För t.ex. följden a 0 =1,a 1 =,a =4,a 3 =8,a 4 =16,a 5 =3,... är det lätt att skriva upp en formel som direkt visar hur talen fås ur sitt ordningsnummer: a n = n, n =0, 1,, 3,... Rekursiv definition För talen i följden (Fibonaccis följd; efter en italienare från 100-talet) 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89,... är det inte alls lika lätt. Men det finns ett enkelt samband mellan ett tal och närmast föregående: 89 = = = , etc. Vi skulle kunna definiera (beskriva) talföljden på följande sätt: F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 + F n, n =, 3, 4,... (alt. F n+1 = F n + F n 1, n =1,, 3,...) Det första eller några av talen i början får vi ange explicit, sedan ger vi en regel som tillåter oss att successivt räkna fram efterföljande tal ur närmast föregående. En sådan definition kallas rekursiv. Rekursionsformel kallas en formel av typen F n = F n 1 + F n somangerhuretttalienföljd kan beräknas ur föregående tal. Obs. att en rekursionsformel ensam inte räcker för att beskriva en följd vi måste också ha något/några "startvärden". Iteration sägs föreligga när man upprepade gånger tillämpar samma beräkningsprocedur, t.ex. att beräkna tal i Fibonaccis talföljd genom upprepad insättning i F n+1 = F n + F n 1. Beteckningssätt för följder : I stället för "talföljden a n,n=0, 1,, 3,..." skriver man ofta talföljden (a n ) n=0 1. Beskriv med ord vad p n är, om p 0 = 1 och p n = np n 1 för n =1,, 3, 4,... (Bortse från p 0, som är litet speciellt.) Talen p n brukar normalt betecknas : n! uttalas : n-fakultet. Skriv ner en rekursiv definition av följden a n = n, n =0, 1,, Givet en talföljd a 1,a,a 3,... bildar vi följden av delsummor (partialsummor) s n = a k, n =1,, 3,... Skriv ner en rekursiv definition av talföljden s n. 4. Catalantalen 1 (C n ) n=0 kan definieras så här C n = (n)! n!(n +1)! Skriv ut de 6-7 första samt ge en ekvivalent rekursiv definition. Vilken definition är lämpligast att använda, om man vill ha fler tal? 5. Följande algoritm kan ge en följd av tal (x k ) k=0 som konvergerar mot (närmar sig) en rot till ekv. f(x) =0 Välj startvärden x 0 och x 1 så nära roten som möjligt. När x n och x n 1 är uträknade, låt x n vara skärningen av x-axeln med den räta linje som går genom punkterna (x n,f(x n )) och (x n 1,f(x n 1 )). Ställ upp rekursionsformeln för x n. 1 Uppkallade efter en belgisk matematiker Catalan ( ). 1

2 Rekursiva definitioner för annat än talföljder Man skulle kunna beskriva utslagsturneringar (av den typ tennisturneringar brukar vara) 1/8- finaler på följande sätt : kvartsfinaler semi finaler final Hur uppträder parenteser i aritmetiska uttryck? ((5 x)+y) / (x y) Inte hur som helst, utan i par (), och alltid med ( till vänster om ). Låt oss kalla teckensträngar, där parenteser uppträder på detta sätt, balanserade. Ge en formell definition av balanserade strängar! Alt.1. w är balanserad omm w har lika många ( som ), och varje prefix avw har minst lika många ( som ). Alt.. w är balanserad omm endera w innehåller varken ( eller ) w = xy där såväl x som y är balanserade w =(z) där z är balanserad Den andra definitionen är rekursiv. En utslagsturnering består av antingen en match mellan två spelare, eller två utslagsturneringar åtföljda av en match mellan segrarna i dessa Ett palindrom är en sträng av bokstäver (inte nödvändigtvis meningsfull) som lyder likadant om man läser den baklänges : radar varggrav saippuakivikauppias (finska för "tvålstensförsäljare") Följande är en rekursiv definition : Ett palindrom är en teckensträng som uppfyller endera av följande har längd 0 eller 1, har formen ap a, där a är någon bokstav och P ett palindrom

3 Sluten formel / slutet uttryck Ofta ställer man upp uttryck, där antalet operationer beror på någon variabel n och kan vara obegränsat stort, som t.ex n eller n (Antalet additioner beror på värdet på n.) En sluten formel (slutet uttryck) är uppbyggt av ett fixt, oberoende av n, antal "standardoperationer": n (n +1) (En addition, en multiplikation ochendivision.) n+1 1 (En addition, en exponentiering och en subtraktion.) Obs! Exponentieringar som n+1 kan egentligen kräva obegränsat många multiplikationer, men vi bortser nu från de praktiska beräkningsdetaljerna och räknar som en enda operation allt som på papper går att skriva som en enda operation! Sluten formel används som motsats till rekursionsformel, t.ex. ½ a n = n a0 =1 vs. a n =a n 1, n > 0 Detta kan betraktas som ett specialfall av distinktionen mellan begränsat / obegränsat antal operationer: Om vi går efter rekursionsformeln, måste vi: för att beräkna a 100, beräkna a 99 ; för att beräkna a 99, måste vi beräkna först a 99 ; o.s.v. ner till a 0 antalet operationer beror på n. Obs! Vilka formler som betraktas som "slutna" är delvis relativt: För den som är väl förtrogen med Fibonaccitalen F n,är a n = F n+1 en "sluten formel" för a n. Ibland är rekursiva definitioner att föredra, ibland inte: Kanske behöver man bara F 1000 och det vore trevligt att kunna räkna ut detta tal direkt, utan att behöva räkna även alla föregående. Ofta önskar man sig t.ex. en uppfattning om talens storleksordning för stora n är t.ex. Fibonaccitalen F n n för stora n? eller F n n? eller F n n? eller F n...? Sådant kan vara svårt att se ur en rekursionsformel. Från rekursiv definition till sluten formel med iteration av rekursionsformeln I vissa enkla fall kan det gå att skaffa sig en sluten formel genom att bara iterera rekursionsformeln : 6. Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 0 a n+1 = a n +1, n =0, 1,,... En sluten formel för a n kan fås genom upprepad användning av rekursionsformeln : a n = 1+a n 1 = = 1+(1+a n )= = 1++ (1 + a n 3 )= = (1 + a n 4 )=... = n 1 (1 + a 0 )= = n 1 = [geometrisk summa] = n 1 7. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 1 a n = a n 1 +3n +5, n =1,, 3, Låt a n = antalet heltal bland 0, 1,,..., 10 n 1, som innehåller siffran 1 (när de skrivs i 10-systemet). Skriv upp en rekursionsformel för a n och utnyttja den till att få en sluten formel för a n. Kontrollera ditt svar genom en direkt uträkning av a n. (Multiplikationsprincipen) (Är talen som innehåller siffran 1 fler eller färre än de övriga?) 9. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 5 a n = n a n n!, n =1,, 3,... genom att först införa en ny följd b n så att rekursionsekvationen blir, med c n = a n b n, ekvivalent med c n = c n 1 + f (n), för någon funktion f 10. Tag fram en sluten formel för a n om a 0 = 1 a n = a n 1 + n, n =1,, 3,... 3

4 Annuitetslån Låtsas att vi gör en avbetalning per år! Nuförtiden gör man ju avbetalningar månadsvis, men man kan räkna på precis samma sätt, om man först gör om räntesatsen till en ekvivalent månadsräntesats : t.ex. 1% per år motsvarar ³ = 0.95% per månad eftersom det är den procentuella ökning per månad som ger 1% ökning per år: =1.1 Ett s.k. annuitetslån har följande konstruktion: Ett visst belopp s lånas på ett visst antal år N. Varje år avbetalas en del av lånet (amortering). Samtidigt skall ränta betalas för det gångna året. Amorteringen avpassas dock så att annuiteten den summa man betalar varje år totalt (amortering + ränta) är densamma under alla år. Säg att räntesatsen är p% och sätt f =1+ p 100 (f som i tillväxtf aktor ). Räkna ut vad annuiteten måste vara! Visa att annuiteten skall vara s (f 1) 1 f N och att amorteringen år n är s (f 1) f n 1 f N 1 (Ledning: Amorteringengsdelen ökar från ett år till det närmast följande lika mycket som räntedelen minskar.) Betrakta hur skulden ändrar sig. Skulden strax efter lånets upptagande? = s, naturligtvis Skulden strax före 1:a avbetalningen? p = s + s 100 = sf (Ett års ränta har lagts till.) Skulden strax efter 1:a avbetalningen? = sf a Skulden strax före :a avbetalningen? = sf a +(sf a) = (sf a) f = = sf af p 100 Skulden strax efter :a avbetalningen? = sf af a Skulden efter 3:e avbetalningen? sf af a f a = sf 3 af af a = = sf 3 a f + f +1 Fortsätt så här! Uttrycken följer ett visst mönster, eller hur? Skulden strax efter N:te avbetalningen? = sf N a f N 1 + f N f + f +1 Känn igen en geometrisk summa! = sf N a f N 1 f 1 Att lånet skall vara avbetalat efter N år betyder att skulden efter N:te avbetalningen skall vara =0. Därifrån kan vi lösa ut a : 0 = sf N a f N 1 f 1 Med t.ex. a = s f N (f 1) f N 1 med f = 1+ p 100 s = kr. N =0 p =10% = s (f 1) 1 f N skall vi alltså betala = kr. per gång 4

5 "Repertoarmetoden" ("the repertoire method" benämning som används av GKP, men nog inte av någon annan...) För följden (f n ) 0 definierad genom f 0 = 1 f n = f n 1 + n, n =1,, 3,... kan man hitta en sluten formel genom iteration (uppgift 10), men det är inte alldeles enkelt, så det finns anledning att pröva andra vägar. Vi betraktar ett generellare (!) problem : Bestäm en formel för f n, om f 0 = α f n = f n 1 + βn + γ, n =1,, 3,... där α, β, γ är godtyckliga konstanter! (Vill alltså ha en formel som fungerar för varje val av α,β,γ.) Iteration av rekursionsformeln ger f 1 = α + β + γ f = 4α +4β +3γ f 3 = 8α +11β +7γ f 4 = 16α +6β +15γ f 5 = 3α +57β +31γ... Om man nu tänker efter, så inser man att ("lösningen beror linjärt på parametrarna.") f n = A n α+b n β+c n γ för några följder A n,b n,c n, som är oberoende av α,β,γ. Vi kan försöka skaffa oss ett ekvationssystem för A n,b n,c n genom att söka α, β, γ, för vilka vi kan (lättare än för vår ursprungliga rekursion) hitta formler för f n, och sedan stoppa in dessa i ekv. ovan. T.ex. valet α =1,β =0,γ =0ger direkt f n = n n = A n 1+B n 0+C n 0 A n = n (vilket i och för sig kunde avläsas ovan, men ändå...) Obs. dock att vi kan vända på förfarandet : I stället för att testa om diverse val av α, β, γ ger "tillräckligt enkla" följder f n, såkanvistartamedenkelföljdf n och testa om det finns α, β, γ som ger just denna följd. Graham, Knuth & Patashnik, Concrete Mathematics, 1994 Finns val av α, β, γ, som ger f n =1? Det skulle innebära 1 = α 1 = 1+βn + γ, n =1,, 3,... Ja, f n =1, om α =1,β =0,γ = 1, vilket ger 1 = A n C n 1 = n C n C n = n 1 Finns val av α, β, γ som ger f n = n? Det skulle innebära 0 = α n = (n 1) + βn + γ, n =1,, 3,... Ja, f n = n om α =0,β = 1,γ =. Det ger Vi är klara : n = B n +C n B n = C n n = n+1 n f n = n α + n+1 n β +( n 1) γ och i vårt specialfall hade vi α =1,β =1,γ =0och f n = n + n+1 n =3 n n Betr. filosofin bakom den här metoden, kan du jämföra med "Handpåläggningsmetoden" för partialbråksuppdelning i Klassisk geometri utdelad artikel av G.Polya Generalisering, specialisering och analogi Svårigheter som jag förbigår med tystnad : Hur vet man hur mycket man skall generalisera? I exemplet ovan lade vi t.ex. till en γ, men behöll :an i f n 1. Hur man hittar tillräckligt många val av parametrarna α, β, γ,... för vilka man enkelt kan ställa upp formler för följden? 11. Härled en formel för (f n ) 1 om f 1 = α f n = f n + β f n+1 = f n + γ Tips: Skriv n = m + k, där 0 k< m och använd m isvaret. 5

6 Induktionsbevis Induktionsaxiomet Låt M vara en mängd av heltal. Om 1) n 0 M ) n M = n +1 M så innehåller M alla heltal som är n 0. Induktionsprincipen Låt P n beteckna en öppen utsaga med heltalsvariabeln n. Om 1) P n0 är sann ) P n är sann = P n+1 är sann så är P n sann för alla n n 0. Fås ur induktionsaxiomet genom att låta M = {n : P n är sann} Induktionsprincipen, starkare form : Som föregående, men med ) utbytt mot ) P m är sann då n 0 m n = P n+1 är sann Kan visas vara ekvivalent med den första varianten. Induktionsbevis för att en öppen utsaga P n är sann för alla heltal n n 0 består av två delar: 1) "basfallet": bevis för att P n0 är sann ) "induktionssteget" : bevis för att (P n = P n+1 ) är sann för alla n n 0, eller motsvarande för den starkare formen. Induktionsantagande kallas antagandet att P n skulle vara sant, som man gör när man bevisar implikationen (P n = P n+1 ) Öppen utsaga / predikat är en bildning som a<b n är ett primtal n (n +1) n = som blir ett påstående först när vissa symboler, s.k. fria variabler, tilldelas värden. Den kan vara sann för vissa värden på variablerna, men falsk för andra. Välordningsprincipen Varje icke-tom nedåt begränsad mängd av heltal har ett minsta element. Kan visas vara ekvivalent med induktionsaxiomet. 1. För summorna s 1 = 1 s = 1+3 s 3 = s n = (n 1) = (n 1) kan vi ställa upp en formel direkt (hur då?), men vi låtsas nu att vi inte kan och räknar ut summorna för små värden på n i hopp om att se något mönster som kan tänkas gälla för alla n : s 1 = 1 s = 1+3 = 4 s 3 = 1+3+5=9 s 4 = =16 s 5 = =5 Ett mönster är väl uppenbart? För n =1,, 3, 4, 5 gäller s n = n Men är detta riktigt även för alla heltal > 5? Vi försöker göra ett induktionsbevis. Basfallet är redan klart: s 1 =1=1. Induktionssteget: Vi skall visa att om s n = n (induktionsantagandet), så är s n+1 =(n +1) : s n+1 = (n 1) + (n +1)= = s n +(n +1)= [induktionsantagandet tillämpas nu!] = n +n +1= = (n +1) Klart. Första gången man kommer i kontakt med induktionsbevis brukar man tänka Va? Ens nästa reaktion brukar bli: Fårmangörasåhär? Slutreaktionen är: "Ja, så klart att man får. Vad fiffigt! Hur lång tid som förflyter mellan dessa reaktioner är idividuellt, och varierar mellan 10 sekunder och ett par år. Kimmo Eriksson & Hillevi Gavel ibokendiskret matematik och diskreta modeller 6

7 13. Beräkna summorna s n = n 3 för några små värden på n. Sök efter mönster i resultaten, gissa en formel för summan ochförsökattmedinduktionbevisa att den gäller för alla positiva heltal n. (Kom ihåg formeln från nästa övning!) 14. För formeln k = 1 n (n +1) för alla positiva heltal n har vi redan ett fullgott åskådligt bevis, men skriv nu som övning ett induktionsbevis. 15. Bevisa med induktion att k (k +1) = 1 n (n +1)(n +) 3 för alla positiva heltal n 16. Med tanke på hur föregående två formler ser ut, så är det väl inte helt otänkbart att k (k +1)(k +) = 1 n (n +1)(n +)(n +3) 4 för alla positiva heltal n Skriv ner ett induktionsbevis! 17. Titta på de tre formlerna närmast ovan, gissa och bevisa med induktion en formel för k (k +1)(k +)(k +3) 19. Förenkla P n ( 1)k k P n k 0. ( 1) k 1 k (k +1)=? 1. Vad är det för fel på nedanstående "induktionsbevis" för att n = 1 8 (n +1) för alla n? Om (n 1) = 1 8 (n 1), så (n 1) + n = 1 8 ( (n 1) 1) + n = = 1 4n 4n n = = 1 4n +4n +1 = 8 = 1 (n +1) 8. Vad är felet med följande induktionsbevis för att alla människor är av samma kön? Induktion över antalet människor n. Om n =1är påståendet trivialt sant. Antag att det är sant för grupper om n 1 personer ochbetraktaengruppg med n personer. Numrera personerna 1,, 3,..., n. Skriv G = G 1 G där G 1 består av personer 1,,..., n 1 och G består av personer, 3,... n. Enligt induktionsantagandet är alla i G 1 av samma kön som och alla i G också av samma kön som, varav alla i G måste vara av samma kön. 18. Räknar man ut 1 k (k +1) för n =1,, 3,..., 10 fås talen 1, 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 7 8, 8 9, 9 10, Gissa en sluten formel för summan och bevisa dess riktighet med induktion. 7

8 Hur hittar man formlerna? Ett induktionsbevis för en formel förutsätter att man, på något sätt, anat sig till den riktiga formeln. Uppgifterna här är valda med ambitionen att denna "upptäcktsfas" inte kommer bort. Läroböcker, som tar upp induktion, brukar annars överflöda på övningar, i vilka en formel "slängs från ovan", t.ex n n (n +1)(n +1) = 6 Kan man gissa sig till sådana formler? Naturligtvis, ju mer erfarenhet man har, desto mer kvalificerade gissningar skulle man kunna göra. Om man nu redan vet att n = n (n +1) n 3 = n (n +1) så skulle man kunna lägga märke till att högerleden är polynom i n av grad resp. 4, utan konstant term, och då är det inte så långsökt att förmoda att n = polynom i n av grad 3, utan konstant term = an 3 + bn + cn Vad konstanterna a, b, c måste vara (ifall vår gissning är riktig) är lätt att se : Insättning av några specifika värden på n ger ett ekv.system, ur vilket a, b, c bör kunna lösas ut : a + b + c =1 (n =1) 8a +4b +c =5 (n =) 7a +9b +3c =14 (n =3) a =1/3 b =1/ c =1/6 4 Stirrar man tillräckligt länge på summans värden för små n och motsvarande för n n P k P k kan man kanske upptäcka regelbundenheten i följden av kvoter : (T.ex = 9 3, = 11 3, 91 1 = 13 3 ) P k P :1, 5 k 3, 7 3, 9 3, 11 3, 13 3, 15 3, 17 3, 19 3 Man leds till hypotesen att P n P k n +1 n k = 3 k = = n +1 3 n +1 3 Upprepad differensbildning : k = n (n +1) Man kan visa att man får en konstant följd efter differensbildning n gånger då och endast då följden ges av ett polynom av grad n. Många av de formler läroböcker ger som övningar på induktion kan emellertid härledas på andra sätt som gör induktionsbevis överflödiga. Nu kan vi sätta igång med induktionsbeviset! 8

9 Produkter med induktion 3. a) Följande produkt kan faktiskt minst lika enkelt framställas som en summa. Skriv med summatecken! (Utveckla parenteserna för n =0, 1,, 3, så ser du ett mönster!) ny ³1+x k k=0 b) Har du gjort rätt i (a), har du fått en summa som det finns en formel för, så uttrycket går att förenkla ytterligare. Hurblirdet? 4. Betrakta polynom av typ Y (x ± a1 ± a ±...± a n ) där a 1,a,a 3,...,a n är positiva heltal och vi bildar produkten över alla möjliga n teckenkombinationer. Visa att sådana polynom har heltalskoefficienter. Dold induktion Inte sällan ligger matematisk induktion dold. Man låter bli att skriva ut detaljerna formellt, utan nöjer sig med o.s.v., "...", eller något i den stilen. 5. Alla läroböcker skriver upp distributiva lagen (a 1 + a ) b = a 1 b + a b men i praktisk räkning använder vi ofta en skenbart starkare lag : (a 1 + a a n ) b = a 1 b + a b a n b 6. För två godtyckliga komplexa tal har vi triangelolikheten: z + w z + w Kan den generaliseras till fler än två tal? Är för alla komplexa tal z 1,z,..., z n z 1 + z z n z 1 + z z n? 7. Formulera och bevisa med induktion generaliseringen av regeln för derivation av produkt till produkter av fler än två faktorer : (fgh) 0 = f 0 gh + fg 0 h + fgh 0 och analogt för fler än tre faktorer (PB, avsn.3.3, expedierar den med "naturligtvis...".) Iterationen av rekursionsformlerna på föregående sidor i detta häfte! 9

10 Successiv elimination för linjära ekv.system 8. Du har i skolan löst linjära ekvationssystem med ekvationer och obekanta ( -system), möjligen också system med 3 ekv. och 3 obekanta. Hur gör man med ännu större system, som t.ex. x y z + w = 1 3x + 4y + 7z 1w = x 4y 3z w = 1 5x y 3z 31w = 0 Finns någon metod att klara av godtyckligt stora ekvationssystem? Ja, om alla ekvationerna är linjära som ovan. Proceduren kallas successiv elimination (eller Gausselimination) och tas upp i kursen Linjär algebra. men vi kan här påpeka att huvudidén är just induktion/rekursion: Om vi kan klara av ett system med n ekvationer, så kan vi också klara av ett system med n+1 ekvationer. I och med att vi kan klara av ett system med 1 ekvation enbart, så följer det av induktionsprincipen att vi kan klara av ett godtyckligt stort system. Vi kan reducera oss till system med färre antal ekvationer med hjälp av följande observation: Låt A, B, C och D stå för vilka uttryck som helst, t.ex. kan A stå för x y z +w och B för 1 och då kan vi skriva första ekvationen i systemet ovan som A = B. (Fast A, B, C och D behöver inte vara linjära!) Låt vidare k ståförettgodtyckligttal.då gäller ½ A = B C = D ½ A = B C + ka = D + kb (Med ord: Om de två likheterna till vänster är sanna, så är också de två likheterna till höger sanna, och omvänt: om likheterna till höger är sanna, så måste även likheterna till vänster vara sanna subtrahera ka = kb från andra ekvationen till höger, så fås ju andra ekvationen till vänster.) Detta betyder att vi i ett ekvationssystem kan addera en multipel av en ekvation till någon annan ekvation utan att därvid förändra lösningsmängden.? Nu låter vi A = B symbolisera just första ekvationen i systemet ovan, medan C = D symboliserar först den andra, sedan den tredje och slutligen den fjärde ekvationen i systemet. Samtidigt låter vi k stå för 3 resp. resp. 5 och ersätter C = D med C +ka = D + kb. T.ex. får vi den sista ekvationen nedan ur (5x y 3z 31w) 5(x y z +w) = 0 5( 1). Vi får följande ekvivalenta system x y z + w = 1 y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 Nu räcker det att kunna lösa ett system med 3 ekvationer, nämligen y + z 6w = 1 y + z 6w = 10 4y + 7z 41w = 15 För varje lösning (y,z, w) till detta delsystem, får vi en lösning till vårt ursprungliga genom att ta x = y +z w 1, så att även den första ekvationen blir uppfylld. Omvänt, måste varje lösning till det ursprungliga systemet ge även en lösning till delsystemet, så vi kan inte missa några lösningar! Obs. att om man ställer som uppgift: "Formulera ett induktionsbevis för att varje linjärt ekvationssystem går att lösa exakt.", så gäller det att tänka : Här finns två parametrar som beskriver problemets storlek : antalet ekvationer = m, och antalet obekanta = n. Teoretiskt sett finns olika alternativ : Induktion "efter n", med resonemang som fungerar för godtyckligt m; Ytterst induktion efter n, och innerst, för varje givet n, induktion efter m; Omvänt: som alt., men med m och n utbytta mot varandra; Någon slags "kombination" där m och n ökar kopplade till varandra, t.ex. att induktionssteget är: Om det går att lösa varje system med m p och n p, så går det att lösa även varje system med m p +1och n p +1 10

11 Induktionsbevis som alternativ 9. Visa att ur de två deriveringsreglerna (D står för derivatan av ) följer att Dx = 1 D (fg) = (Df) g + f (Dg) Dx n = nx n 1 för alla positiva heltal n. (PB, avsn. 3. använder binomialsatsen.) 30. Formulera ett induktionsbevis för binomialsatsen. 31. Ge ett induktionsbevis (det finns alternativ!) för att en mängd med n element har n olika delmängder (den tomma delmängden inräknad). 3. Visa med induktion (finns enklare sätt!) att x +1är en faktor i x n+1 +1för varje heltal n>0 x 3 +1 = (x +1) x x +1 x 5 +1 = (x +1) x 4 x 3 + x x Induktionsbevis & rekursiva definitioner 33. Det bör inte komma som någon stor överraskning att induktionsbevis brukar vara särskilt lämpade för rekursivt definierade talföljder och andra strukturer varför? 34. Utnyttja den rekursiva def. av utslagsturneringar till att bevisa att totala antalet matcher i en sådan turnering med n spelare är... (Du får själv lista ut antalet.) 35. Talföljden (a n ) n=0 definieras genom a 0 = 1 a n+1 = a n + n Finn en sluten formel för a n. 36. Den oändliga talföljden a 1,a,a 3,...definieras genom Beräkna a 005. a 1 = 1 a = 1 a 3 = 1 a n = a n 1 a n 3, för n Bestäm en icke-rekursiv formel för a n om a 0 = 1, a =, a n = 3a n 1 a n, n 38. Låt (a n ) n=1 definieras av a 0 = 1 a 1 = 1 a n = 5a n 1 6a n, n Visa att a n = n 3 n Låt a 1 och a vara två godtyckliga tal. Låt sedan a n+1 = 1 n (a 1 + a a n ), n Vad får man för följd då? 40. Talföljden a 0 = a, a 1,a,... uppfyller rekursionsekvationen a n a n+1 = 1+a n (a) Uttryck a 1,a,a 3 och a 4 i a. (b) Uttryck a n i a. 11

12 41. För talföljden a 1 = a, a,a 3,... gäller (k +1)a k+1 ka k =1 Uttryck a,a 3,a 4 i a. Ange en sluten formel för a n. 4. Givet ett x 0 6= 1, 0, 1, bildar vi successivt x n+1 = x n 1 x n +1 Vad måste x 0 ha varit, om x 001 =3? Tips: Visa att x n+1 = x n Låt a 1 = 1 a n+1 = 6a n +5 a n + Visa att 0 <a n < 5 för alla n. 44. Antag att ett träds grenverk växer på följande sätt. Under en grens två första år växer det inte ut några nya grenar. Fr.o.m. det tredje levnadsåret växer det emellertid varje år ut två nya grenar. Hur många grenar har trädet efter n år om vi antar att trädet från början bestod av tre grenar? 45. Talföljden (a n ) n=1 uppfyller 48. Med utgångspunkt i och 7 bygger man upp en oändlig följd av siffror genom att successivt multiplicera på varandra följande ensiffriga tal och lägga till produktens siffror på slutet:, 7, 1, 4, 7, 4,, 8,, 8, 8, 1, 6, 1, 6, 1, 6, 6, 4,... (Här har man alltså startat med, 7, beräknat 7=14och utökat följden till, 7, 1, 4, beräknat 7 1 och utökat till, 7, 1, 4, 7, beräknat 1 4 och utökat till, 7, 1, 4, 7, 4, beräknat 4 7 och utökat till, 7, 1, 4, 7, 4,, 8, etc.) Visa att den här följden kommer att innehålla oändligt många sexor. Tips: Skriv ut några tiotal siffror till. Lägg märke till att långtifrån alla ett- och tvåsiffriga tal förekommer som produkter. Försök att bevisa att endast ett visst begränsat antal produkter kan dyka upp. Vilka avdessakanfortsättaattförekommaifalldetinte längre finns några sexor? a n = 1 (a n 1 + a n ) för alla n 3 Visa att lim a n existerar n oavsett vad a 1 och a är och beräkna det. 46. Betrakta talföljden a 0 = 9 a n+1 = 3a 4 n +4a 3 n Visa att a 10 innehåller fler än 1000 st. nior, när det skrivs på decimalform! (Tips: Med dator fås a 1 = 599, a = a 3 = tal som slutar på 8 st. nior a 4 = tal som slutar på 16 st. nior så det kanske räcker att titta på niorna i slutet och visa att enbart de är fler än 1000 st. för a 10? Binomialsatsen kan komma till användning.) 47. Talföljden (a k ) n, där n är ett stort tal, uppfyller a 1 = n a 1 + a a k = k a k för alla k>1 Vad är a n? (Förenkla så mycket som möjligt.) 1

13 Fibonacci- och Lucastalen Betrakta talföljden 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 610,... Vi betecknar talen F 0,F 1,F, Mellan varje trippel av på varandra följande tal råder ett enkelt samband upptäck och formulera det i form av en s.k. rekursionsekvation! 50. Rekursionsekvationen, tillsammans med värdena på de första två talen, bestämmer entydigt en oändlig talföljd (F n ) n=0 och utgör en s.k. rekursiv definition av följden formulera den definitionen! Vi antar att det är den följden vi ovan ser de första talen utav! 51. Bilda en ny talföljd s n = F 0 + F F n Skriv ner de första s n och jämför dem med F n. Det verkar finnas ett enkelt samband, eller hur? Formulera och bevisa det sambandet! 5. Som föregående, men med s n = F 1 + F 3 + F F n Som föregående, men med s n = F + F 4 + F F n 54. Som föregående, men med s n = F 1 + F... + F n Ledning: Jämför s n med F n och F n Som föregående, men med s n = n 1 X 56. Som föregående, men med s n = k=0 F k F k+1 F k F k Återigen samma fråga, men med µ n s n = F k k Tips: Betrakta även t n = k=0 µ n F k+1 k och gör ett induktionsbevis för s n och t n samtidigt. De s.k. Lucastalen L n definieras genom L 1 = 1 L n = F n+1 + F n 1 för n =, 3, Även Lucastalen satisfierar en enkel rekursionsekvation vilken? 59. Ge en definition av Lucastalen som inte hänvisar till Fibonaccitalen. 60. Vad är det för fel på följande induktions bevis för att L n = F n för alla n? Induktionsbörjan: L 1 =1=F 1 Induktionssteget: Antag att L k = F k för k =1,,..., n. Då är L n+1 = [enl. föregående uppgift] = = L n + L n 1 = [enl. induktionsantagandet] = F n + F n 1 = [enl. Fibonaccitalens rekursionssamband] = F n Jämför produkterna F n L n,n=1,, 3,... med Fibonaccitalen. Formulera och bevisa ett generellt samband! Tips: Det kan vara lämpligt att parallellt bevisa en formel för 6. Visa att 63. Visa att F n+1 L n + F n L n+1 k 1 L k = n F n+1 1 L n < µ n 7 för alla n Försök att bestämma ett så litet a som möjligt, sådant att det finns någon konstant C så att L n Ca n, för alla n 13

14 65. Visa att Fibonaccitalen F n uppfyller F m+n = F m 1 F n + F m F n+1 för alla m, n 66. Visa att F mn är delbart med F m. 67. (Zeckendorfs sats) Observera att 4=1+3 6=1+5 7=+5 9=1+8 10=+8 5= = = = = =+13 88= = = = = = = Det verkar som om varje positivt heltal kan skrivas som en summa av en eller flera olika Fibonaccital, som inte är grannar i följden. Gäller detta för alla positiva heltal? Är framställningen entydig, d.v.s. finns det högst en summa av ovanstående typ, som ger ett visst heltal, eller kan det finnas fler? (Varje gång man ställs inför ett problem, så frågar man sig om man stött på något närbesläktat, så att man skulle kunna kopiera dess lösning. Den mest närbesläktade frågan i detta sammanhang är väl: Hur övertygar man sig att varje heltal har en och endast en framställning i basen 10, i basen, etc.) 68. Använd rekursionsformeln för F n till att beräkna vad den oändliga summan (gränsvärdet) X k=0 F k k def. = lim måste vara, om det existerar. NX N k=0 F k k 69. Vi vill få en övre begränsning på hur stora talen F n kan bli. Försök att med hjälp av rekursionsformeln samt induktion hitta tal M med följande egenskap: Det finns någon konstant C, sådan att F n C M n för alla n Konstanten C får variera med M ju mindre M, desto större C kan vi tvingas tillgripa. Om man vill ha så bra begränsning som möjligt för alla tillräckligt stora n, så är emellertid viktigast att hålla M liten, t.ex À 5 men n n för stora n Vilket är det minsta M du kan hitta på detta sätt? 70. Har du fått en tillräckligt bra uppskattning i föregående uppgift, kan du nu bevisa att summorna NX k=0 F k k är begränsade och följaktligen konvergerar mot ett gränsvärde det som räknades ut i fråga

15 71. Låt a 1 = 1, a = 1, a 3 = 13,... a 9 = (a) Ange en allmän formel för talen av typ a n = något Xmed n något med n (b) Ange en (alternativ) rekursiv definition av talföljden: a 1 =... a n = uttryck i a n 1 (c) Lägg märke till följande lustiga likheter: 9 1+ = = = = = Frestande att tänka sig en fortsättning 9 (...???...) + 11 = (...???...) + 1 = men vilka tal skall i så fall stå efter 9:an? Kanduangeenenkelmetodatttaframdem (med papper och penna enbart, helst)? Om du menar att mönstret kan fortsättas i all oändlighet, kan du också bevisa att din metod fungerar i all oändlighet? 7. Det här problemet handlar om en oändlig följd av positiva heltal som är Låt f (1),f(),f(3),... i) växande, d.v.s. f (k) f (k +1) ii) "självbeskrivande" i den meningen att f (k) = antalet gånger talet k förekommer i följden g (k) = det största heltalet j sådant att f (j) =k (a) Förklara varför följden måste innehålla alla positiva heltal och ha följande principiella utseende: 1,..., 1,,...,, 3,..., 3,... {z } {z } {z } några 1:or några :or några 3:or (b) Vad måste de 15 första talen i följden vara? (c) Visa att det finns exakt en följd av denna typ. (d) Visa att följden kan definieras så här f (1) = 1 f (n) = 1+f (n f (f (n 1))), n > 1 (e) Förklara varför (f) Uttryck m.h.a. g g (k) = kx f (j) j=1 kf (k) (g) Visa att g (g (g (n))) = 1 ng (n)(g (n)+1) 1 n 1 X g (k)(g (k)+1) 15

16 Ackermanns funktion N N N definieras av A (0,n) = n +1 A (m, 0) = A (m 1, 1) A (m, n) = A (m 1,A(m, n 1)) 73. Härled en formel för A (1,n) 74. Härled en formel för A (,n) 75. Härled en formel för A (3,n) 76. Härled en formel för A (4,n) 77. Visa att A (m, n) m + n +1 Induktionsbevis & rekursiva definitioner II Man får vara beredd att själv formulera rekursiva definitioner. 78. Låt F m,n = antalet surjektiva funktioner som man kan definiera från en mängd med m element till en mängd med n element. (a) Hitta ett samband mellan F m+1,n,f m,n och F m,n 1 (b) Visa att upprepad användning av rekursionssambandet leder till en formel av typ F m,n = a n,k k m k=0 (c) Verifiera formeln med induktion. 16

17 Josephusproblemet Under det judiska upproret mot romarna blir 41 st. rebeller innestängda i en grotta. För att undvika slaveri, bestämmer de sig för kollektivt självmord efter följande procedur: De ställer sig i en ring och räknar runt. Den tredje personen dödas, varefter ringen sluts och man räknar vidare till 3 bland dem som är kvar, dödar den personen, o.s.v. Så håller man på tills endast en man återstår, som får ta sitt eget liv själv. Detärintesvårtatträknapåkonkretafall för k n 10 får man S (n, k) till nâk men kan man hitta en allmängiltig formel? 79. Betrakta specialfallet k =. Låt, för korthets skull, J n = S (n, ). Förklara varför (a) (b) J n =J n 1 J n+1 =J n (Forts.) Med rekursionsformlerna ovan och det uppenbara J 1 =1 Att vi känner till den här historien beror emellertid på att den siste mannen inte hade modet att begå självmord, utan levde vidare och blev en världsberömd historiker Flavius Josephus. Nåja, den historien är nog inte riktigt sann en version påstår rentav att Josephus räknade ut var han skulle ställa sig för att överleva men faktum är att Flavius Josephus (37 ca 100) deltog i det judiska upproret mot romarna år e.kr. och på ett mirakulöst sätt undkom en massaker i vilken alla hans medkämpar stupade. Hur det nu vara månde, Josephusproblemet har blivit en klassiker i underhållningsmatematiken : n personer står i en ring, numrerade från 1 till n. Man räknar runt och var k:te person tas bort. Bestäm S (n, k) = numret på den som lämnar ringen sist kan vi snabbt räkna ut J n för vilket n som helst. Försök dock få fram en sluten (icke-rekursiv) formel för J n. 81. En variant av Josephushistorien hävdar att Josephus var i maskopi med en kamrat och de räknade ut hur de skulle placera sig i ringen för att överleva längst. Låt I n vara numret på den som lämnar ringen näst sist i fallet k =. Ställ upp rekursionsformler för I n liknande de för J n. 8. (Forts.) Tag fram en sluten formel för I n. 83. Vi har n personer i en ring, varav de n första är "goda", medan de sista n är "onda". Visa att det alltid går att hitta k (inte nödvändigtvis n och, naturligtvis, beroende på n) sådant att, om man skjuter var k:te man, så är det de onda som försvinner först! 17

18 Olikheter med induktion 84. Utan räkning kanduinseatt för alla x>0 och alla heltal n>1 (1 + x) n > 1+nx (Hur så?) Visa nu, förslagsvis med induktion, att olikhetenärsannävendå 1 <x< Visa att om 0 <a k < 1 för k =1,, 3,..., n, så ny (1 a k ) 1 (Det s.k. produkttecknet Y fungerar precis som summatecken men genererar en produkt i stället: ny (1 a k )=(1 a 1 )(1 a )... (1 a n ) 86. Visa med induktion att 87. Visa med induktion att för alla positiva heltal n a k n >n för alla heltal n>4 n n (n +1) n 1 Tips: Såväl n n (n +1) n 1 som (n +1) n+1 (n +) n kan omformas till µ n??? n +1??? 88. µ n q n n n Låt (H som i harmonisk serie) H 1 = 1 H = 1+ 1 för alla n 1 H 3 = H n = n Visa att för alla heltal n 1: (a) H n 1+n (b) (c) (d) H k =(n +1)H n n kh k = 1 n (n +1)H n+1 1 n (n +1) 4 H n+1 1 H n = k=0 1 k Visa att µ n n +1 n! < för alla heltal n 91. Visa, förslagsvis med induktion, att ³ n n ³ n n <n! < för alla n 6 3 Du får utnyttja att µ 1+ n 1 n % e d.v.s. att talföljden µ 1+ 1 n n d.v.s växer mot talet e = , alltså ligger alla tal av den typen i intervallet [,e). 9. Skärp den vänstra olikheten i föregående uppgift till ³ n n <n! e 93. Visa att (n!) >n n för alla n> och dessutom (n!) n n %, när n % 94. Låt a 1,a,..., a n vara givna heltal. Hur många n-tupler (x 1,x,..., x n ) med x i =0eller 1 finns det sådana att a 1 x 1 + a x + a 3 x a n x n = udda heltal? 18

19 95. Skriv upp en rekursiv definition av följden a 1 = = a = = a 3 = = a n = ett "potenstorn" med n st. 96. (Forts.) Visa att "tornföljden" är växande. 97. (Forts.) Visa att tornföljden är uppåt begränsad. 98. (Forts.) Allmänt gäller att En följd av reella tal som är i) växande, och ii) uppåt begränsad har ett gränsvärde. Vad är gränsvärdet av potenstornföljden? 99. Avgör utan maskin, vilket av följande tal som är störst eller (ett "potenstorn" med 100 st. åttor) (ett "potenstorn" med 99 st. nior) 100. Ställ upp en rekursionsekvation för talföljden a n = x n + 1, n =0, 1,,... xn där x är något fixt reellt tal Visa att x + 1 x = heltal x n + 1 x n = heltal för alla heltal n 10. Under en matematiklektion skrev läraren upp ett tal på tavlan, låt oss kalla det x. Sedan fick eleverna beräkna x +1/x. Alla fick det korrekta svaret som var ett heltal. Den elev som satt längst fram fick då beräkna x +1/x, nästa elev fick räkna ut x 3 +1/x 3, nästa x 4 +1/x 4, o.s.v. En av eleverna fick svaret 13. Vad fick nästa elev för svar? 103. Betrakta talföljder som uppfyller a 0 = a 1 R a n+1 = a 1 a n a n 1 Studera m.h.a. dator (t.ex. Mathematica) hur de uppför sig för olika val av a 1, formulera några förmodanden och bevisa dem sedan. För dig som inte har tillgång till dator just nu, avslöjar jag några hypoteser som framkommit den vägen: (a) Om a 1 =, så a n =för alla n. (b) Om a 1 >, så är a n växande. (c) Om a 1, så a n för alla n : (d) Om a 0 = a 1 > 0 a n+1 = a 1 a n a n 1 och b 0 = b 1 = a 1 b n+1 = b 1 b n b n 1 så b n =( 1) n a n (e) Om a 0 = a 1 >b 1 a n+1 = a 1 a n a n 1 och b 0 = b 1 > b n+1 = b 1 b n b n 1 så a n >b n 19

20 "Bakåtinduktion" 104. För alla ickenegativa tal a och b gäller olikheten mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde a + b ab =(ab) 1/ Man kan fråga sig om den går att generalisera till fler än två tal, så här: a 1 + a a n n n a 1 a...a n =(a 1 a...a n ) 1/n (a) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n =p. (Tips: Utnyttja resultatet i fallet n =.) För vilka heltal n är då olikheten bevisad? (b) Visa att om generaliseringen är sann för n = p, så är den också sann för n = p 1. Tips: Utöka mängden av de givna p 1 talen med A = a 1 + a a p 1 p 1 och observera att A = a 1 + a a p 1 + A p För vilka heltal n är nu olikheten bevisad? 105. Visa att för alla heltal n>1 gäller v s u r q t (n 1) n<3 Tips: Det kan vara lättare att fösöka bevisa en generellare olikhet : v s u r q t k (k +1) (k +)... (n 1) n<något "lämpligt" för alla heltal 1 <k n 0