Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium
Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser sam genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådan sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken Eleven ger eempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur (1)
Lokal tolkning av betygskriterierna, Värmdö Gymnasium GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter Du skall, med visst stöd, kunna redovisa lösningar så att andra kan följa din tankegång Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar MYCKET VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs Du skall även kunna lösa uppgifter som kräver att du generaliserar tidigare kunskaper på nya problem Du skall kunna göra självständiga iakttagelser, tolka och värdera dina erhållna resultat och dessutom dra egna, relevanta slutsatser från dina resultat Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer Du skall även konsekvent kunna använda de korrekta matematiska begreppen och det matematiska språket i sitt rätta sammanhang Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar 3 (1)
Trigonometri Efter avslutad kurs skall eleven kunna använda enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp, visa trigonometriska samband och ge fullständiga lösningar till enkla trigonometriska ekvationer samt kunna utnyttja dessa vid problemlösning kunna rita grafer till trigonometriska funktioner samt använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp kunna härleda och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer kunna beräkna sidor och vinklar i en godtycklig triangel A ENHETSCIRKELN Du ska förstå hur de trigonometriska funktionerna definieras med hjälp av enhetscirkeln Du ska förstå begreppet radianer Du ska kunna ge fullständiga lösningar till ekvationerna sin( a v + b) = k och cos( a v + b) = k, med hjälp av enhetscirkeln Detta gäller både grader och radianer Du ska kunna bevisa och använda de formler som behövs för att omforma enkla trigonometriska uttryck och lösa trigonometriska ekvationer De formler du ska behärska: sin( v), sin(180 v), cos( v), cos(180 v) Trigonometriska ettan B TRIGONOMETRISKA KURVOR (PERIODISKA FÖRLOPP) Du ska kunna rita grafer till de trigonometriska funktionerna f( ) = A sin( a v) och f( ) = A cos( a v) samt förstå begreppen amplitud och period Du ska kunna använda dessa funktioner som modeller för verkliga periodiska förlopp C TRIANGELSATSERNA Du ska kunna beräkna sidor och vinklar i godtyckliga trianglar med hjälp av area-, sinus- och cosinussatsen Med hjälp av enhetscirkeln ska du kunna avgöra om det finns flera lösningar D BEVIS OCH HÄRLEDNINGAR I detta moment ingår att kunna utföra härledningar och enkla bevis Dessa kan indelas i följande nivåer G: Areasatsen för spetsig vinkel Trigonometriska ettan Omformningar av typen sin( 180 + v) = sinv och uttryck cos sin i cos Sinussatsen VG: Areasatsen för spetsig och trubbig vinkel Visa formeln för cos( u + v) med hjälp av formeln för cos( u v) och liknande 1 sin cos Visa att -uppgifter av typen = cos 1 + sin 4 (1)
MVG: Cosinussatsen Formeln för cos( u v) från grunden Visa att -uppgifter av typen tan sin 3 sin = 1 cos + cos Eempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa A 1 Rita enhetscirkeln och visa med hjälp av den att sinv = sin(180 v) Motivera! Visa att ( sin )( + sin ) = 3 + cos 3 Visa genom att förenkla vänsterledet att cos( v 70 ) = sin( v) 4 Beräkna medelpunktsvinkeln v i en cirkelsektor som har radien 30 m och båglängden 75 m Svaret ska anges i radianer 5 Ange samtliga lösningar till ekvationen sin = 0, 400 Svara i grader med en decimal 6 Lös fullständigt ekvationen cos( + 180 ) = 1 Svara eakt 7 Lös fullständigt ekvationen sin + 1 = 1 Svara i radianer B 8 I figuren nedan är grafen till en funktion av typen y = A cos(k) ritad Bestäm kurvans ekvation C 9 Beräkna längden av sidan i figuren 5 (1)
10 Beräkna vinkeln v i figuren Svara i hela grader D Se listan ovanför VÄL GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 1 En triangel har sidorna 10 cm, 80 cm och 90 cm Beräkna arean i alla möjliga fall Svara i hela cm Visa formeln för cos( u v) med hjälp av formeln för cos( u + v) Motivera noggrant 3 Ange samtliga lösningar till ekvationen 5 sin 4 = 3 sin 4 Visa att 1 + sin cos 1 cos + 1 sin = 1 1 sin 5 Lös fullständigt ekvationen 4sin = 3 Svara i grader MYCKET VÄL GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 1 Visa att tan sin 3 sin = 1 1 + cos sin I en triangel ABC är BC = 4,0 cm och AC = 5,0 cm Vinkeln B är dubbelt så stor som vinkeln A Beräkna triangelns vinklar 6 (1)
Derivator Efter avslutad kurs skall eleven kunna förklara deriveringsreglerna och själv i några fall kunna härleda dem för trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner, produkt och kvot av två funktioner samt kunna tillämpa dessa regler vid problemlösning kunna använda andraderivatan i olika tillämpade sammanhang kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara kunna förklara innebörden av begreppet differentialekvation och kunna ge eempel på några enkla differentialekvationer och redovisa problemsituationer där de kan uppstå A DERIVATA Derivera sin, cos och ln Inse att derivatan av te sin är cos med hjälp av graf Bevis med hjälp av derivatans definition är på MVG-nivå Derivera sammansatta funktioner (kedjeregeln) för potensfunktioner, eponentialfunktioner, sin, cos och ln Derivera en funktion som är en produkt av två funktioner av ovanstående typer B NUMERISK EKVATIONSLÖSNING Du ska kunna lösa ekvationer numeriskt, te med iteration eller Newton-Raphsons metod Du ska kunna lösa ekvationer och derivera numeriskt med hjälp av din grafräknares inbyggda funktioner C DIFFERENTIALEKVATIONER Du ska kunna verifiera en given lösning till en differentialekvation genom prövning Eempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa A 1 Bestäm f ( ) då f ( ) = ln() Bestäm y då y = sin( + 5) 10 3 Bestäm y () om y ( ) = (3 + 1) sin 4 Bestäm y (π ) om y( ) = 5 En partikels läge beskrivs av formeln s( t) =,0 + 5,0 cos t, där s mäts i meter och t i sekunder Bestäm partikelns hastighet vid tiden t = 10,0s B 6 Lös ekvationen e + = 0 7 (1)
3 7 Beräkna med hjälp av din grafräknare y (5) om y( ) = 4cos Beskriv kort vad du gör på räknaren för att lösa uppgiften C 8 Visa att y = Acos + B sin är en lösning till differentialekvationen + 4 y = 0 y VÄL GODKÄND Observera att detta eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 1 Bestäm (1) f = 1 f då ( ) ( ) 50 MYCKET VÄL GODKÄND Observera att detta eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 1 Visa med hjälp av derivatans definition att om y = cos() så är y = sin() sin( h) h Ledning: Om h 0 så gäller att 1 cos( h) 1 h och 0 8 (1)
Integralkalkyl Efter avslutad kurs skall eleven kunna bestämma primitiva funktioner och använda dessa vid tillämpad problemlösning kunna förklara innebörden av begreppet integral och klargöra sambandet mellan integral och derivata samt kunna ställa upp, tolka och använda integraler i olika typer av grundläggande tillämpningar kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler INTEGRALER Du ska kunna: Ta fram primitiva funktioner till potensfunktioner, eponentialfunktioner, 1 / och använda dessa vid tillämpad problemlösning Bestämma konstanten för en primitiv funktion med hjälp av begynnelsevillkor sin, cos samt Förstå den geometriska innebörden av integraler, dvs vad som menas geometriskt med f ( ) lim( 0) Kunna tolka innebörden av en tillämpad integral, te vad F ( ) d står för om F () är kraften för att flytta ett föremål som befinner sig vid läget Ställa upp och beräkna integraler: Eakt med hjälp av primitiva funktioner för potensfunktioner, eponentialfunktioner, sin, cos och ln Numeriskt med trapetsformeln (i enklare fall) Numeriskt med räknarens integralfunktioner Kunna beräkna areor mellan kurvor ovanför och under -aeln Kunna skilja på begreppet integral och area och kunna tillämpa detta i praktiska situationer som te befolkningstillvät b a 9 (1)
Eempel på uppgifter på olika betygsnivåer GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 0,5 1 Bestäm den primitiva funktion F () till f ( ) = e + 1 som uppfyller villkoret F ( 0) =,5 Bestäm samtliga primitiva funktioner F () om a) f( ) = cos3 b) f( ) = c) f( ) = 7 3 Funktionen n(t) beskriver befolkningsökningstakten mätt i personer/år, vid tidpunkten år t 1999 Vad betyder n ( t) dt? Förklara kort hur du resonerar 1990 4 Sambandet mellan energin W och effekten P kan skrivas W = P t, där t är tiden Man kokar mat i ett kök under 1 timme Under uppvärmningen, 10 min, drar plattan 100 W och när man vrider ner värmen för att hålla konstant temperatur drar plattan 500 W under 50 minuter Teckna energiförbrukningen med hjälp av beteckningen för integraler Tiden mäts i timmar 5 En sten, som kastas rakt uppåt med hastigheten 0 m/s, får på grund av tyngdaccelerationen approimativt hastigheten v( t) = 0 10t m/s a) Beräkna med hjälp av en integral den sträcka som stenen färdats i höjdled när t = 3, 0 s b) Förklara svaret i a-uppgiften genom en geometrisk tolkning av integralen i ett koordinatsystem c) Teckna med integralbeteckningen ett uttryck som ger hela den sträcka S m som stenen färdats i luften 6 I figuren är kurvan y = 1000e 0,5 ritad Beräkna arean av det streckade området Redovisa uppställningen 7 Beräkna med hjälp av trapetsformeln ett närmevärde på integralen + 1 d Räkna med tre delintervall och svara med tre gällande siffror 3 0 10 (1)
8 I figuren är kurvan y = f() ritad Teckna ett uttryck för summan av de två streckade områdenas areor f () behöver ej bestämmas 9 Beräkna med din grafräknares integralfunktion ett numeriskt värde på integralen e d Redovisa hur du gör, och svara med tre decimaler VÄL GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 10 Bestäm integralen mv dv v v 1 11 Linjen genom punkterna A och B (se figur) är tangent till kurvan y = 4 Punkten A har -koordinaten 4 Beräkna arean av det skuggade området 1 I figuren till höger är en primitiv funktion y = F() till y = f() ritad Beräkna med hjälp av figuren F (b) om b 0 f ( ) d = 100 11 (1)
MYCKET VÄL GODKÄND Observera att dessa eempel endast visar svårighetsnivån på uppgifter du ska kunna lösa 1 Funktionen f ( ) definieras av f ( ) = ( t 3) 0 3 dt 0 Vilket är det minsta värde som f ( ) kan anta? I en stad anser man att befolkningstätheten f ( ) invånare/kvadratkilometer varierar enligt 10000 f ( ) = > 1 3 Hur många personer bor det i cirkelringen från = 1 till = 5? Eget arbete Efter avslutad kurs skall eleven kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser under eget ansvar analysera, genomföra och redovisa, muntligt och skriftligt, en något mer omfattande uppgift där kunskaper från olika områden av matematiken används 1 (1)