Institutionen för systemteknik Department of Electrical Engineering Examensarbete Reglering av klinkerugn för framställning av zinkklinker Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av Anders Bergmark LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE Linköping 2005 Department of Electrical Engineering Linköpings universitet SE-581 83 Linköping, Sweden Linköpings tekniska högskola Linköpings universitet 581 83 Linköping
Reglering av klinkerugn för framställning av zinkklinker Examensarbete utfört i Reglerteknik vid Tekniska högskolan i Linköping av Anders Bergmark LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE Handledare: Examinator: Magnus Ek Boliden AB Henrik Tidefelt isy, Linköpings universitet Anders Hansson isy, Linköpings universitet Linköping, 21 december, 2005
Avdelning, Institution Division, Department Division of Automatic Control Department of Electrical Engineering Linköpings universitet S-581 83 Linköping, Sweden Datum Date 2005-12-21 Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ISBN ISRN LITH-ISY-EX- -05/3759- -SE Serietitel och serienummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version http://www.control.isy.liu.se http://www.ep.liu.se/2005/3759 Titel Title Reglering av klinkerugn för framställning av zinkklinker Kiln control for processing of zinc clinker Författare Author Anders Bergmark Sammanfattning Abstract In the fuming plant at Rönnskärsverken smelter, zinc clinker is extracted from slags and steel mill dust. In the fuming furnace, zinc and lead are vapourised by coal injection. The reoxidised metal dust is further refined at the clinker plant to obtain a product that is low in halogenes. Zinc clinker, which contains approximately 70-75 % zinc, is exported to the Norzink zinc smelter in Norway. The refinement takes place in an industrial kiln. The kiln is a very slow system and therefore difficult to control which results in disturbances and dead time. This causes low production rate and poor quality in the clinker. In order to cope with this, automatic control is tested in this thesis. Two process models have been built for simulation and control design and three controllers have been evaluated in simulation. Two of the developed controllers are tested on the actual process. A framework for fast controller prototyping has also been developed. A C++-class för communication using the DDE interface between controller and the operator user interface has also been implemented. Nyckelord Keywords Reglering, klinkerugn, zinkklinker, DDE
Abstract In the fuming plant at Rönnskärsverken smelter, zinc clinker is extracted from slags and steel mill dust. In the fuming furnace, zinc and lead are vapourised by coal injection. The reoxidised metal dust is further refined at the clinker plant to obtain a product that is low in halogenes. Zinc clinker, which contains approximately 70-75 % zinc, is exported to the Norzink zinc smelter in Norway. The refinement takes place in an industrial kiln. The kiln is a very slow system and therefore difficult to control which results in disturbances and dead time. This causes low production rate and poor quality in the clinker. In order to cope with this, automatic control is tested in this thesis. Two process models have been built for simulation and control design and three controllers have been evaluated in simulation. Two of the developed controllers are tested on the actual process. A framework for fast controller prototyping has also been developed. A C++-class för communication using the DDE interface between controller and the operator user interface has also been implemented. Sammanfattning I fumingverket på Rönnskärsverken utvinns zinkklinker ur slaggen från elugnen. En annan råvara är stålverksstoft. I fumingugnen omvandlas smältans zink- och blyinnehåll till metallånga som oxideras till ett stoft. Stoftet renas i en klinkerugn. Slutprodukten, zinkklinker, som består av 70-75 % zink, exporteras till zinksmältverket Norzink i Norge. Klinkerugnen är ett väldigt långsamt system med stegsvarstider i storleksordningen en timme vilket gör den svårstyrd och det resulterar i störningar och stilleståndstid med låg produktion och låg kvalitet på klinkern. För att lösa detta problem testas automatisk reglering i detta arbete. Två processmodeller tas fram för simulering och reglerdesign och tre regulatorer har utvecklats i simulering. Två av dessa testas på den faktiska processen. Vidare har ett ramverk för snabb utveckling och testning av regulatorer utvecklats. En C++-klass för kommunikation via DDE-gränssnittet mellan regulator och operatörsgränssnittet har också konstruerats. v
Tack Jag skulle vilja tacka min handledare på Boliden AB, Magnus Ek på RCP, samt Fredrik Lindström, driftsingenjör på R1F och Per Abrahamsson på Outokumpu. Jag vill även tacka personalen på klinkerverket (R1F) för all hjälp med identifieringsexperimentet och för alla bra svar på dumma frågor jag haft. Vidare skulle jag vilja tacka personalen på R1M som finansierat mina studier. Jag vill även tacka min handledare på ISY, Henrik Tidefelt, framförallt för all hjälp med L A TEX och det är en hel del. I Linköping vill jag nämna herrarna och damerna i LRK, svinen i MB, [HG], grabbarna och tjejerna i fredagsgrillen och i Skellefteå, spelarna och publiken på ÖTP-touren, ni vet alla vilka ni är... Sist men inte minst min familj för stöd, hjälp, uppfostran och allt annat sådant som man har en familj till. Stort TACK från Anders Bergmark, Nedre Bäck, 21 december 2005 vii
Innehåll 1 Inledning 1 1.1 Bakgrund................................ 1 1.2 Syfte................................... 2 1.3 Metod.................................. 2 1.4 Disposition............................... 3 1.5 Resultat................................. 3 2 Klinkerverket 5 2.1 Överblick................................ 5 2.2 Klinkerugnen.............................. 6 2.3 Metallurgi................................ 7 2.4 In- och utsignaler............................ 8 3 Modellbygge och identifiering 9 3.1 Identifiering............................... 9 3.2 Aggregerade modeller......................... 10 3.3 Linjära tillståndsmodeller....................... 10 3.4 ARX- och ARMAX-modeller..................... 11 3.4.1 Modellstruktur......................... 11 3.4.2 Parameterskattning...................... 11 3.4.3 Validering............................ 13 4 Modellering och identifiering 15 4.1 Identifieringsexperiment........................ 15 4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell................. 16 4.2.1 Massflöde............................ 18 4.2.2 Temperatur........................... 18 4.2.3 Parameterskattning...................... 20 4.2.4 Validering............................ 21 4.3 Linjära parametriska modeller..................... 23 4.3.1 Linjär aggregerad tillståndsmodell.............. 23 4.3.2 ARX- och ARMAX-modeller................. 24 4.4 Utvärdering av modeller........................ 32 ix
5 Regulatorstrukturer 33 5.1 Kalmanfiltret.............................. 33 5.2 Linjär tillståndsåterkoppling...................... 34 5.3 Modellprediktiv reglering....................... 35 5.4 Fuzzy-reglering............................. 36 5.4.1 Medlemsskapsfunktioner.................... 36 5.4.2 Mängdoperationer....................... 37 5.4.3 Defuzzyfication......................... 37 6 Regulatorkonstruktion 39 6.1 Linjär tillståndsåterkoppling...................... 39 6.2 Modellprediktiv reglering....................... 40 6.3 Fuzzy-reglering............................. 41 6.4 Utvärdering av regulatorer....................... 42 7 Implementering 43 7.1 Nuvarande system........................... 43 7.2 Kommunikation............................. 44 7.3 Simulering................................ 44 7.4 Regulatorimplementation....................... 45 8 Resultat 47 8.1 Modellbygge............................... 47 8.2 Regulatorstrukturer.......................... 47 8.3 Implementering............................. 48 9 Slutsatser 49 Litteraturförteckning 51 A Kod 53 A.1 Klassen DDEClient........................... 53 A.1.1 DDEClient.h.......................... 53 A.1.2 DDEClient.cpp......................... 54 B Simulinkblock 58 C Beteckningar 65 C.1 Modellvariabler............................. 65 C.2 Modellkonstanter............................ 66
Kapitel 1 Inledning 1.1 Bakgrund På Rönnskärsverkens zinkfumingverk i Skelleftehamn utvinns zinkoxid i form av zinkklinker. Zinkoxiden utvinns ur slagg från elektriska smältugnen, som innehåller ca 10 % zink och några procent bly. Förutom zink från kopparproduktionen utvinns zink även från stoft från elektrostålverk. I fumingugnen förångas smältans zink- och blyinnehåll till metallånga med hjälp av kol. Zinkångan återoxideras därefter till zinkoxid som bildar ett zinkstoft. Stoftet renas från bly i en klinkerugn och så kallat klinker bildas. Klinkern kyls sedan i en kyltrumma med efterföljande hammarkvarn. Efter dessa steg består zinkklinkern till största del av en finkornig klinkersand. Produktens slutgiltiga partikelstorleksfördelning åstadkoms i en kulkvarn över vilken en vindsiktning äger rum. Slutprodukten som består av 70-75 % zink exporteras till zinkverket Boliden Norzink i Odda i Norge. På Boliden Norzink utgör zinkklinkern råmaterial för framställning av zinkmetall. Där lakas Zinkoxiden i varm svavelsyra och zink framställs ur lösningen genom elektrovinning. Till klinkerugnen matas blandoxid och kol. Blandoxid består av ett finkornigt material innehållande zink, bly, halogener etc. Detta matas in i ugnens ena ände. I ugnens andra ände tillförs värme med en oljebrännare. Roterugnen arbetar enligt motströmsprincip då det kalla materialet möts av den varma blästern (förbränningsgaser). Där det kalla materialet matas in är temperaturen ca 400 500 C. Omkring två timmar senare matas materialet ut ur ugnen vid en temperatur omkring 1000 C. Mycket forskning har gjorts på att reglera roterande ugnar inom cementindustrin, exempelvis [2], [6], [24] och [11]. När det gäller zinkklinkerugnar finns det väldigt lite publicerat. Detta arbete består i att undersöka möjligheten att reglera ugnstemperaturen i en zinkklinkerugn automatiskt. [6] och [24] visar att det åtminstone för vissa typer av roterande ugnar är möjligt med automatiserad reglering. 1
2 Inledning 1.2 Syfte Vid reglering av klinkerugnen är det långa svarstider på en förändring vilket gör att reglering är svårt att åstadkomma utan stora svängningar. Målsättningen är att hitta en regulator som kan appliceras för reglering av ugnens olika driftparametrar på ett optimalt sätt så att en jämn produktkvalitet uppnås, vidare ska en hög genomströmning uppnås och en minimering av stilleståndstid p.g.a. störningar i klinkringsprocessen. Regulatorn skall även konstrueras så att den är enkel att modifiera och bygga ut. I första hand kommer regulatorn att vara ett stöd för processoperatörerna. Den processvariabel som kommer att vara prioriterad i detta arbete är temperaturen eftersom den har den största inverkan på processen samt den bästa möjligheten till återkoppling. Mätningar av olika föroreningar görs vanligen på dygnsbasis och är därmed inte lämpliga att återkoppla ifrån. 1.3 Metod Första steget för en lyckad reglerdesign är modellbygge. Därför kommer två olika modeller att tas fram. En baserad på fysikaliskt modellbygge samt en skattad från mätdata. För ett lyckat modellbygge måste man i sin tur ha bra mätddata att arbeta med. De främsta variablerna som finns att arbeta med är materialflöde och energitillförsel. Energitillförsel sker genom att kol matas in i ugnen med blandoxiden samt genom en oljebrännare i utmatningsänden. Därför kommer stegsvarsförsök att göras med dessa variabler. De begränsningar som finns vid experimenterandet är att det inte får äventyra produktkvaliteten villket är en ganska stor begränsning eftersom man då kanske inte kan fånga hela beteendet hos systemet. Vidare är det en tidsfråga eftersom systemet är väldigt långsamt med svarstider i storleksordningen timmar. Det gör att man inte kan göra mer än ett fåtal steg då det även påverkar produktkvaliteten. Baserat på de modeller som tagits fram kommer några olika regulatorstrukturer att provas och utvärderas. Det kommer i första hand att ske med Matlab /Simulink. Därefter kommer den struktur som ger bäst prestanda att implementeras i processen. Vid valet av regulator kommer även hänsyn tas till vad som är implementeringsmässigt bäst ur programmeringshänseende. Därefter kommer regleralgoritmen implementeras och testas på processen i två steg. Först kommer den att köras med indata från processen men ej kopplad till styrsystemet för att utvärdera ifall de beräknade styrsignalerna är rimliga samt kunna studera stabiliteten hos datasystemet. Därefter kommer reglersystemets utsignaler att kopplas till processen under noggrann övervakning av opertörerna.
1.4 Disposition 3 1.4 Disposition Efter det inledande kapitlet kommer kapitel 2 som beskriver klinkerverket och det som sker i ugnen och dess omgivning. Därefter följer kapitel 3 som beskriver den teori som ligger till grund för skattning av linjära modeller åtföljt av kapitel 4 som beskriver de modeller som tagits fram, både linjära och en ickelinjär. På samma sätt följer kapitel 5 som beskriver den bakomliggande teorin för de regulatorer som används och sedan kapitel 6 där de regulatorer som tagits fram diskuteras. Därefter presenteras den implementationsteknik som använts i kapitel 7. Till sist kommer kapitel 8 och 9 där resultat, slutsatser och utvecklingsmöjligheter presenteras. 1.5 Resultat Arbetet har resulterat i två processmodeller, en linjär svartlådemodell och en ickelinjär grålådemodell. Dessa presenteras i kapitel 4. Vidare har tre regulatorer provats i simulering varav två bedömdes tillräckligt bra för vidare test i realistisk miljö. Regulatorerna och deras prestanda diskuteras i kapitel 6. Ett ramverk för testning i simulering och automatgenerering av regulatorer i Matlab /Simulink har utvecklats. Simuleringen sker med regulatorn kopplad till den ickelinjära modellen. En kommunikationsklass har konstruerats för att skicka data mellan regulatorn och operatörssystemet. Hur implementeringen är gjord presenteras ingående i kapitel 7. Hela systemet är gjort för att på ett enkelt sätt modifiera och bygga ut regulatorstrukturen.
4 Inledning
Kapitel 2 Klinkerverket I detta kapitel följer en beskrivning av klinkerverket i allmänhet och klinkerugnen i synnerhet. Därefter beskrivs den process som renar blandoxiden från bly samt vilka in- och utsignaler som finns till ugnen. Ytterligare information om klinkerverket finns i [5]. 2.1 Överblick Blandoxid är råvaran i processen. Den kommer från fumingverket som smälter den slagg som bildas vid kopparproduktion. I fumingugnen omvandlas smältans zinkoch blyinnehåll till metallånga som oxideras till ett stoft, blandoxid. Blandoxiden lagras i fem bunkrar. Inflödet till klinkerugnen sker via en så kallad dygnsficka som matas från de fem bunkrarna. Det styrs av operatörerna i klinkerverket. Detta görs för att utjämna ojämnheter som uppstår av olika sammansättningar i blandoxiden beroende på innehållet i den slagg som smälts i fumingugnen osv. Blandoxiden blandas med kol innan den matas in i ugnen. Kolinblandningen görs med kvotreglering. När blandoxiden kommer in i ugnen håller den ungefär rumstemperatur. Hela anläggningen är inomhus så temperaturvariationen är inte så stor över året. Blandoxiden matas in via ett transportband vilket gör att det finns en tidsfördröjning mellan vägningen vid dygnsfickan och inmatningen. Blandoxiden matas in i den kalla änden och möter där heta blästergaser på väg ut ur ugnen. Gaserna renas därefter, först med säckfilter och sedan med lut. I andra änden matas den färdiga klinkern ut. Klinkern går först genom en hammarkross som slår sönder klumpar. Klumpar bildas av klinker som sintrat ihop i ugnen samt bitar av beläggning som lossnat från ugnens väggar. Därefter går klinkern genom en kyltrumma som roterar och kyls med vatten. Efter kyltrumman går klinkern via transportband till två fickor för mellanlagring. Innan klinkern når fickorna passerar den även en våg. Från fickorna går klinkern vidare till en kulkvarn som maler klinkern till ett fint pulver som sedan är färdigt att exporteras. 5
6 Klinkerverket 2.2 Klinkerugnen Klinkerugnen är ett 40 m långt rör av stål. Ugnen hålls på plats av fyra stora kullager. Ugnen drivs runt av en hydraulmotor och roterar med en hastighet av mellan ett och två varv per minut. Insidan av röret är fodrat med tegel. På insidan finns även beläggning av avdrivet material som kondenserat fast på teglet. Detta är nödvändigt eftersom det gör att materialet i ugnen rörs om så att allt material värms upp och kan reagera. Om belägningen inte fanns skulle materialet bara glida fram längs ugnens botten. Vidare skulle teglet slitas mycket fortare eftersom beläggningen skyddar mot värmen. Problemet som finns är att beläggningen inte får bli för tjock för då hindrar det både genomströmningen av klinker och gas. Det finns två sätt att lösa problemet med för tjock beläggning. Båda har sina nackdelar. Ett sätt är att köra ugnen vid en låg temperatur. Nackdelen med detta är att kvaliteten på klinkern sjunker eftersom föroreningarna inte drivs av. Det andra sättet är att skjuta lös beläggningen. Det måste göras ett par gånger i månaden i vilket fall som helst eftersom kallkörning inte alltid fungerar. Skjutningen består av att man att man skjuter med industrihagel mot beläggningen, ett par hundra skott per gång. Till det används en specialkonstruerad kanon bestående en hagelgevärspipa, fodrad på utsidan för att stå emot hettan i ugnen, och en avfyrningsmekanism. Kanonen avfyras med ett snöre för att personalen inte ska riskera att träffas av rikoschetter från skjutningen. Nackdelen med skjutning är att det tar tid eftersom man måste minska matningen till ugnen samt dra ner varvtalet och det kan ta flera timmar att få tillbaka en jämn temperatur efter avslutad skjutning. Värmen i ugnen kommer dels från reaktionen mellan kol och blysulfat och dels från en oljebrännare som sitter i utmatningsänden av ugnen. Brännaren förses med luft från två pumpar samt med en mindre mängd falskluft som läcker in vid utmatningsidan. Luft/bränsleförhållandet är inte stökiometrisk, blandningen är litet åt det magra hållet eftersom det har visat sig ge det bästa resultatet trots att miljön i ugnen helst ska vara reducerande. Figur 2.1: Översikt över klinkerugnen
2.3 Metallurgi 7 2.3 Metallurgi Den huvudsakliga föroreningen är bly. Blyet i blandoxiden förekommer huvudsakligen som blysulfat (P bso 4 ). Blyet avdrivs emellertid lättast som blysulfid (P bs). För att detta ska vara möjligt på ett gynnsamt vis måste följande uppfyllas: 1. Tillräckligt med svavel (S) måste finnas i blandoxiden för att kunna binda upp blyet som sulfat. 2. Blysulfatet måste först reduceras med kol till blysulfid enligt P bso 4 + 2C P bs + 2CO 2 3. Temperaturen måste vara tillräckligt hög för att P bs ska ryka av, dock ej för hög vilket medför att Zn drivs av och teglet förbrukas snabbare. 4. Ugnsatmosfären får ej vara för oxiderande. I ugnen pågår även andra reaktioner men detta är den huvudsakliga och något annat kommer inte att tas upp.
8 Klinkerverket 2.4 In- och utsignaler I klinkerverket finns en mängd mätapparatur. Alla signaler som finns kommer inte att tas upp utan endast de som kan ha en direkt inverkan på själva ugnen. Tyvärr fungerar den värmekamera som mäter temperaturen på utgående klinker bara sporadiskt sen en lång tid tillbaka vilket endast lämnar en indirekt möjlighet att mäta temperaturen på godset i ugnen. I tabell 2.1 listas de intressanta in- och utsignalerna i systemet. Signal Beskrivning Enhet Typ T001 Temperatur på utgående klinker (defekt) [ C] ut T111 Temperatur på utgående gas [ C] ut T121 Temperatur på kyltrumman [ C] ut P001 Tryck bakom oljebrännare [ Pa] ut P014 Tryck hydraulik [ Pa] ut P012 Tryck i fallkammare(utgående gas) [ Pa] ut W001 Våg dygnsficka [ t] ut W002 Våg innan malning [ t/h] ut 1090 Blandoxidmatning [ t/h] in 1017 Kolmatning [ kg/h] in F001 Flöde till oljebrännare [ kg/h] in F002 Flöde sekundärluft [ m 3 /h] in F003 Flöde primärluft [ m 3 /h] in F005 Flöde efter filter [ m 3 /h] ut S001 Varvtal klinkerugn [ r/min] in S002 Varvtal kyltrumma [ r/min] in Tabell 2.1: Tabell över in- och utsignaler till systemet
Kapitel 3 Modellbygge och identifiering I detta kapitel presenteras den teori som ligger till grund för modellbygge och identifiering i allmänhet och modellbygget i kapitel 4 i synnerhet. De modeller som används i kapitel 4, 5 och 6 presenteras tillsammans med metoder för att skatta och validera dem. Tonvikt ligger på ARX- och ARMAX-modeller. Materialet är hämtat ur [14]. 3.1 Identifiering När man ska identifiera ett system är det viktigt att man har så mycket information som möjligt i de mätdata man använder. För att få ut mycket information behöver man skicka in mycket information. Det enklaste sättet är att göra ett steg i insignal. För att skatta en enkel första ordningens modell är detta tillräckligt om man inte har så höga krav på modellen. Vill man ha mer information kan man göra flera steg upp och ner mellan olika nivåer för att på så sätt få mer information om systemets uppträdande. Man bör låta stegen ske med ett mellanrum i storleksordningen systemets stegsvarstid. Har systemet flera insignaler bör steg göras i alla kombinationer. En annan variant är att utsätta systemet för vitt brus. Har man någon form av kännedom om systemets beteende bör man se till att insignalen främst ligger i det frekvensområde där man vill använda modellen. Man bör även använda mätdata där ingen del av systemet regleras med återkoppling eftersom regulatorn också är ett samband mellan in- och utsignaler. Vidare måste mätdata vara insamlat under samma förutsättningar som modellen är tänkt att användas. Skulle systemet ha väldigt olika uppträdande vid olika insignaler får man tänka igenom när och hur modellen ska användas och anpassa identifieringsexperimentet efter det. 9
10 Modellbygge och identifiering Om några parametrar endast förekommer i modellen i produkter av typen c = a b (3.1) kommer a och b inte att kunna identifieras var för sig utan bara som produkten c. a och b är då icke identifierbara. Det gör att man kan reducera modellen med en parameter. 3.2 Aggregerade modeller Ibland kan en modell av ett kontinuerligt system bli väldigt komplicerat att modellera. Ett sätt att förenkla är då att samla ihop ett oändligt antal tillstånd till ett ändligt antal. Till exempel skulle djupet i en sjö som är olika på alla punkter i sjön kunna approximeras så att djupet i varje kvadrat i ett rutnät antas ha samma värde inom hela kvadraten. Modeller med ihopklumpade tillstånd på detta vis kallas aggregerade modeller. 3.3 Linjära tillståndsmodeller En allmän tillståndsmodell kan skrivas ẋ(t) = f(x(t), u(t)) (3.2) y(t) = h(x(t), u(t)) (3.3) där x(t) är systemets tillstånd vid tiden t, u(t) är insignalen och y(t) är utsignalen. Vanligen arbetar man med linjära eller linjäriserade tillståndmodeller. En tidskontinuerlig linjär tillståndsmodell är ett system av linjära differentialekvationer och skrivs vanligen ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (3.4) y(t) = Cx(t) + Du(t) (3.5) I den tidsdiskreta varianten byts ẋ(t) i ekvation (3.4) mot x(t + 1). Hädanefter kommer endast tidsdiskreta modeller att betraktas. A, B, C och D är i normalfallet matriser med dimensioner sådana att de är kompatibla med antalet tillstånd, insignaler och utsignaler. Skattning av tillståndsmodeller kan ske på flera sätt. Antingen skattar man en av modellerna i avsnitt 3.4 och skriver om den till linjär tillståndsform eller så skattar man matriserna direkt från data med samma metoder som i avsnitt 3.4.2. Man kan då ansätta en struktur för hur man tror matriserna ser ut. Nackdelen när man skattar direkt från data som i avsnitt 3.4 är att de tillstånd som fås inte nödvändigtvis har en direkt fysikalisk tolkning. Om man däremot skattar parametrar till en modell med specificerad struktur har man kvar den tolkningen och det visar sig vara användbart exempelvis om modellen ska användas för reglering när man vill kunna återkoppla från givna, men icke mätbara, tillstånd.
3.4 ARX- och ARMAX-modeller 11 3.4 ARX- och ARMAX-modeller Dessa modeller tillhör en klass som brukar kallas parametriska svartlådemodeller. Att de kallas svartlåde- eller blackboxmodeller beror på att de beskriver ett förhållande mellan in- och utsignaler där modellens inre egenskaper inte är intressanta. Det finns en mängd svartlådemodeller med olika struktur. Här tas två av dem upp, ARX och ARMAX. En större genomgång av olika modellstrukturer finns i [14]. ARX står för AutoRegressive, external input och ARMAX står för AutoRegressive, Moving Average (glidande medelvärde), external input. 3.4.1 Modellstruktur I (3.6) definieras ARMAX-modellen, i ekvation (3.7) definieras ARX. y(t) är utsignalen vid tiden t, u(t) är insignalen, e(t) är en störterm, vanligen vitt brus. Operatorn q i ekvation (3.11) är en tidsfördröjning med 1 tidsenhet. A(q)y(t) = B(q)u(t) + C(q)e(t) (3.6) A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (3.7) A(q) = 1 + a 1 q 1 +... + a na q na (3.8) B(q) = b 1 q n k + b 2 q nk 1 +... + b nb q n k n b +1 (3.9) C(q) = 1 + c 1 q 1 +... + c nc q nc (3.10) q k x(t) = x(t kt ) (3.11) Skillnaden mellan ARX och ARMAX är att i ARX-modellen är C(q) = 1. AR- MAX är således en mer generell modell än ARX. Det finns en än mer generell modell som kallas Box-Jenkins efter statistikerna Box och Jenkins men den kommer inte att användas i detta arbete då skattningen av denna typ av modell är mer beräkningskrävande. Vidare visar det sig i kapitel 4 att en mer generell modell i det här fallet inte ger en bättre beskrivning av systemet. Termen A(q)y(t) beskriver autoregressionen, B(q)u(t) den externa signalen och termen C(q)e(t) ett glidande medelvärde av störningen. I ARX-modellen kan e(t) ses som en störning på insignalen eftersom den går genom samma dynamik, A(q), som u(t). Här är A(q), B(q), C(q) och D(q) polynom i q. Ordningstalen n a, n b, n c och n k beskriver hur stora modellerna är. Ordningstalet n k beskriver en ren tidsfördröjning av insignalen. Hädanefter kommer samplingstiden T att antas vara 1. 3.4.2 Parameterskattning Den metod som är helt dominerande när det gäller parameterskattning är minimering av prediktionsfelet. Prediktionen är vad modellen förutsäger att en framtida utsignal ska vara baserat på tidigare in- och utsignaler. I en modell som innehåller någon form av vitbrusstörning är den bästa prediktionen att anta att bruset är 0 eftersom bruset definitionsmässigt inte kan predikteras. Prediktionen brukar betecknas ŷ(t). ARX-modellen har prediktorn ŷ(t) = a 1 y(t 1)... a na y(t n a )+b 1 u(t n k )+...+b nb u(t n k n b +1) (3.12)
12 Modellbygge och identifiering I ekvation (3.12) beskrivs enstegsprediktionen för en ARX-modell, d.v.s. vad kommer utsignalen bli vid tiden t baserat på mätningar fram till och med tiden t T. ARMAX-modellen har den mer komplicerade prediktorn Prediktionsfelet ges av ŷ(t) = (1 A(q) A(q) )y(t) + C(q) C(q) B(q) u(t) (3.13) A(q) ɛ(t, θ) = y(t) ŷ(t, θ) (3.14) θ är en vektor innehållande de parametrar som skall skattas, (a i, b i, c i ), och ŷ(t, θ) är prediktionen för givet θ enligt (3.12) eller (3.13). Det vanligaste är att man använder förlustfunktionen V N (θ) = 1 N N ɛ 2 (t, θ) (3.15) t=1 som mått på hur bra prediktionen är. I de fall utsignalen är en vektor kan man välja någon kvadratisk norm av vektorn ɛ(t, θ). Den naturliga parameterskattningen blir då ˆθ N = argmin V N (θ) (3.16) θ Argmin betecknar det minimerande argumentet, d.v.s. det θ för vilken förlustfunktionen enligt (3.15) blir minimal. I fallet ARX är modellen en linjär regression med parametrarna θ = a 1 a 2. a na b 1. (3.17) b nb och regressionsvektorn ϕ(t) = y(t 1) y(t 2). y(t n a ) u(t n k ). u(t n k n b + 1) (3.18)
3.4 ARX- och ARMAX-modeller 13 med prediktionen ŷ(t θ) = θ T ϕ(t) (3.19) Om man använder godhetsmåttet i ekvation (3.15) fås parameterskattningen av θ = ˆθ N = R 1 N f N (3.20) R N = 1 N ϕ(t)ϕ T (t) (3.21) N f N = 1 N Detta förutsätter att R N är inverterbar. t=1 N ϕ(t)y(t) (3.22) t=1 (3.23) I ARMAX-fallet är minimeringen av prediktionsfelet enligt (3.15) mer komplicerad och kräver numerisk lösning med exempelvis Newton-Raphsons metod. Mer detaljer om minimering av (3.15) för olika typer av modeller finns i [14, kap. 12]. 3.4.3 Validering Modellvalidering beskrivs i [14, kap. 14.5]. För att en modell ska vara användbar måste man veta om den är någorlunda giltig inom det område där den är tänkt att användas. Ska den användas under särskilda betingelser eller i ett brett spektrum sammanhang, ska den användas till reglering eller simulering osv. Det viktigaste för att avgöra om en modell är acceptabel är att se om den klarar av att prediktera utsignaler från insignaler som inte använts vid skattningen. Då kan man upptäcka övermodellering, over-fit, genom att modellen återskapar samma utsignal för valideringsdatat som för skattningsdatat. Man kan även undersöka residualerna, ɛ(t) definierade enligt ekvation (3.14). Dessa skall idealt vara oberoende av insignalen. Är inte det uppfyllt finns någon form av dynamik i systemet som inte finns med i modellen. Vanligen bildar man då ˆR ɛu (τ) = 1 N ɛ(t + τ)u(t) (3.24) N t=1 ˆR ɛu är skattningen av korskovariansfunktionen för prediktionsfelet och insignalen. Korskovariansfunktionen beskriver graden av samvariation mellan två signaler. Är residualerna och insignalerna oberoende är ˆR ɛu approximativt normalfördelad med variansen P r = 1 N R ɛ (k)r u (k) (3.25) N k=1
14 Modellbygge och identifiering R ɛ och R u i (3.25) är kovariansfunktionerna för residualerna respektive insignalerna och kan skattas enligt ˆR ɛ (τ) = 1 N ˆR u (τ) = 1 N N ɛ(t + τ)ɛ(t) (3.26) t=1 N u(t + τ)u(t) (3.27) t=1 Man kan då rita upp ˆR ɛu i ett diagram och se om den håller sig inom ±3 P r. Gör de inte det för något τ är det en indikation på ett beroende mellan ɛ(t + τ) och u(t) för detta τ. Skulle detta τ vara negativt är det en indikation på att datat är insamlat under återkoppling och inte att modellen är ofullständig. En annan metod är att se på hur osäker skattningen av parametrarna är genom att betrakta variansen i varje parameterskattning. Vanligen får man ett lägre minimum med en något större modell men det resulterar i att man har överflödiga parametrar, så kallad over-fit. Detta kan man upptäcka genom att parametern och dess varians är av samma storleksordning eller att variansen rentav är större. Då kan man inte utesluta att den är 0 och då bör man överväga att inte ta med den. Det kan ju helt enkelt vara så att större modell beskriver egenskaper som inte finns i systemet. Detta kan man även se i ett pol-nollställediagram genom att poler och nollställen för den skattade modellen sammanfaller. Det finns främst två typer av modellfel, variansfel och biasfel. Variansfel kommer sig av att modellen skattas från data som är insamlat under brusiga förhållanden. Denna inverkan går vanligen att minimera genom att använda långa mätserier. Den andra typen av fel är biasfel. Den typen av fel beror på brister i själva modellstrukturen. Det kan vara sådant som att en linjär modell anpassas till ett ickelinjärt system eller att systemet har olika egenskaper vid olika arbetspunkter. Det kan man inte komma undan genom att använda stora mängder mätdata. Man bör därför se till att det mätdata som används vid skattning är hämtat från mätningar genomförda under samma förutsättningar som modellen är tänkt att användas för.
Kapitel 4 Modellering och identifiering I detta kapitel beskrivs hur ett antal olika modeller tas fram som stöd till och för utvärdering av regulatordesignen. Först beskrivs det experiment som ligger till grund för modellbygget följt av en presentation av de olika modellerna som tagits fram samt validering av dessa. Störst vikt har lagts vid modellering av temperatur eftersom det är den variabel som ska regleras. Ytterligare detaljer om hur och vilka verktyg som använts finns i [4]. Allt arbete är gjort i Matlab /Simulink, se [13], [12] och [19]. 4.1 Identifieringsexperiment För att få bästa möjliga mätdata att skatta modeller från bör stegsvarsexperiment genomföras med flera steg upp och ner med olika amplitud och med olika styrsignaler i blandad ordning. Eftersom detta är svårt att genomföra beroende på processens känslighet och kostnader på grund av ojämn produktkvalitet under experimentet kommer det endast att genomföras i liten skala. Det aktuella systemet är enkelt att övervaka eftersom det är datoriserat och kopplat till en databas för lagring av processdata. Det ger tillgång till stora mängder mätdata från normal drift för verifiering av modeller. Systemets uppbyggnad beskrivs mer ingående i kapitel 2 och 7. Identifieringsexperimentet pågick under ca. 30 timmar. De mätdata som använts för modellskattning och validering är hämtat från en period på tre dygn med början några timmar innan experimentet. I figur 4.1 visas de steg som gjorts. Genomgående har första hälften av mätdatat använts för modellskattning och andra hälften för modellvalidering. 15
16 Modellering och identifiering 10 Chargering av blandoxid, [ton/h] W [Ton/h] 5 W [kg/h] 0 0 500 1000 1500 2000 2500 Tid [min] Chargering av kol, [kg/h] 250 200 150 100 50 0 500 1000 1500 2000 2500 Tid [min] Flöde till oljebrännare, [kg/h] 150 F [kg/h] 100 50 0 0 500 1000 1500 2000 2500 Tid [min] Figur 4.1: Identifieringsexperiment Den översta delen av figur 4.1 är antalet ton blandoxid per timme som matas in i ugnen. Chargering är den term operatörerna använder för ugnsinmatning. Den mittersta grafen i figur 4.1 visar antalet kg kol per timme som matas in i ugnen. Underst visas mängden olja i kg per timme som bränns i oljebrännaren. Flest steg görs i matning av kol och olja för att kunna modellera hur lång tid det tar för en ändring att göra verkan. En ändring i massflöde har större påverkan på temperaturen men massflödet kommer inte att användas som styrsignal i regulatorn och därför görs inte lika många steg i denna. Vidare är det inte en driftparameter som ändras särskilt ofta och ändringar styrs normalt av tillgången på blandoxid vilken är känd flera dygn i förväg. 4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell Modellen är uppbyggd av block. Blocken beskriver de ingående delsystemen i och kring ugnen, se figur 4.2. Ugnsmodellen består av 10 stycken sektioner där temperatur, massfördelning, gasflöde osv. antas vara konstanta i hela sektionen, därav namnet aggregerad tillståndsmodell. De ingående modellblocken finns i bilaga B. De parametrar och variabler som används nedan finns beskrivna i bilaga C, tabell C.1 och C.2. K och C anger modellkonstanter, m betecknar en massa, klinker om inget index finns, c kolmassa, T temperatur, F ett flöde och N ett varvtal. Index h anger heat, värmeenergi, index m anger massa, k anger klinker och index g anger gas. En skiss över hur massor, flöden och energiöverföring i en ugnssektion sker finns i figur 4.3. Här görs ett halvfysikaliskt modellbygge baserat på en rad antaganden som exempelvis relationen mellan temperaturderivatan och tillförd
4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 17 energi, mσ T = q(t) (4.1) Ekvation (4.1) ges i [22, sid. 193]. Vidare antas linjära samband gälla för de andra lite osäkrare processerna såsom massflöde, gasavdrivning osv. Inga anspråk görs på att bygga en helt korrekt fysikalisk modell eftersom reglering och inte modellering är syftet med arbetet. Modellen är endast ett hjälpmedel i arbetet. Figur 4.2: Skiss av de ingående blocken Figur 4.3: Flöden av gas, massa, energi osv. in och ut ur en sektion av ugnen
18 Modellering och identifiering 4.2.1 Massflöde Ändringen i massa i varje sektion av ugnen är skillnaden i inflöde och utflöde samt en term som beskriver hur mycket som driver av enligt ṁ = ṁ in ṁ ut ṁ avdrivning (4.2) Här skulle även en term som beskriver beläggning kunna ingå. Beläggningen formeras av det avdrivna materialet och lossnar i stycken då och då samt vid skjutning. Massflödet ut ur en sektion modelleras som ṁ ut = K mf m f(n) (4.3) Ekvation (4.3) bygger på antagandet att mängden material som glider vidare från en sektion är proportionellt mot mängden i sektionen. Det är rimligt om materialmatningen inte är alltför ryckig och sektionerna inte är alltför långa. Det visar sig att materialflödet inte är linjärt i N, där N är vartalet på ugnen, men någorlunda väl kan beskrivas med en styckvis linjär funktion, f(n). Massan klinker som driver av i en sektion ges av ṁ avdrivning = C m,cc m T k (4.4) I ekvation (4.4) görs antagandet att massan blandoxid som drivs av är proportionell mot massan gånger klinkertemperaturen. Antagandet är synnerligen osäkert eftersom det inte är mätbart men en högre temperatur ger mer avdrivning och mer massa ger mer blandoxid som kan driva av. Massan kol i en sektion ges av ċ k = c k,in K mf f(n) c k (4.5) c k,ut = K mf f(n) c k (1 C cc ) T k (4.6) Här beskrivs samma typ av massupplagring som i ekvation (4.2)-(4.4) samt innehåller en term för hur mycket kol som reagerar med blandoxiden och därmed inte flödar vidare. 4.2.2 Temperatur Temperaturen antas vara konstant i hela sektionen. Vidare bygger modellen på ekvation (4.1) där q(t) kan delas in i fem termer, värmeflöde mellan massor, q mf,k, värmeledning mellan klinker och gas, q vl,k, värmeflöde av massa mellan klinker och gas, q avdr, värmeutveckling vid reduktion, q red, samt värmeförlust till omgivningen, q loss,k. Ekvation (4.1) får då formen T k = q mf,k + q vl,k q avdr + q red q loss,k σ k m (4.7)
4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 19 Energiflödet genom massflöde sker enligt q mf = K h,c2c (ṁ in T k,in ṁ ut T k ) (4.8) Värmeledningen mellan klinker och gas ges av q vl,k = K h,c2g (T g T k ) (4.9) I ekvation (4.9) modelleras värmeledningen mellan blandoxid och gas som proportionell mot temperaturskillnaden enligt Newtons lag för extern värmeöverföring given i [22, sid. 193]. Energin som krävs för förgasning av klinker ges av q avdr = K hm,c2c m avdrivning (4.10) Den energi som frigörs vid reduktionen av blysulfat ges av ekvation (4.11). Reaktionen antas gå fortare vid högre temperatur men det är inte mätbart eftersom den reaktionen sker inne i ugnen. Det sker enligt q red = K hrc C cc c k T k (4.11) En viss mängd energi förloras även genom manteln på ugnen. Den modelleras som konstant eftersom manteltemperaturen varierar relativt lite, ±40 C, mellan de olika sektionerna i ugnen. Det ska jämföras med en temperaturskillnad på närmare 1000 C mellan ugnens båda ändar. Manteltemperaturen mäts dagligen. Värmeförlusten ges av q loss,k = C h,c2a (4.12) I gasen blir modellen lite mer komplicerad. Det som tillkommer är en term som beskriver värmeändringen som sker när trycket i ugnen ändras. Värmeförlust vid förgasning i ekvation (4.10) ersätts av en term som beskriver energiåtgången för att hetta upp förgasad klinker till samma temperatur som resten av gasen i sektionen. Trycket kommer inte att modelleras utan används som en mätbar insignal. Modellen kan då skrivas som T g = q mf,g + q vl,g q avdr,g + q red + q tryck q loss,g σ g m g (4.13) I ekvation (4.13) gäller samma antagande som i övriga ugnsmodellen att temperaturen är densamma i hela sektionen samt att gasflödet genom ugnen är proportionellt mot gasflödet in i ugnen. Gasflödet antas vara konstant genom hela ugnen. Energiöverföring genom gasflöde ges av q mf,g = K h,g2g F (T g,in T g ) (4.14) Värmeledning mellan klinker och gas beskrivs på samma sätt som i ekvation (4.9) som q vl,g = K h,c2g (T k T g ) (4.15)
20 Modellering och identifiering Den energi som åtgår för att värma upp den avdrivna klinkern till samma temperatur som resten av gasen ges av q avdr,g = K h,c2c m avdrivning (T k T g ) (4.16) Det visar sig att modellen blir bättre om man antar att en del av reduktionsenergin går direkt ut i gasen. Anledningen till detta tros vara att reduktionen sker på ytan. Det ges av q red = K hrg C cc c k T k (4.17) Tryckökning betraktas också som en form av energitillförsel enligt q tryck = K P P (4.18) På samma sätt som i ekvation (4.12) antas värmeförlusten till omgivningen vara konstant och ges av q loss,g = C h,g2a (4.19) Osäkerheten i antagandet i ekvation (4.20) kommer av att brännlågan finns inne i ugnen medan modellen bygger på att hetluft blåses in. Dessutom är brännlågans utbredning i ugnen beroende av gasflödet till brännaren vilket också påverkar var energin tillförs. Vidare antas massan gas att värma upp vara proportionell mot gasflödet genom brännaren. Gastemperaturen i den gas som flödar ut från brännaren ges därmed av T g,in,0 = T g,0 + K ob F ob σ g ρ g F (4.20) T g,0 betecknar temperaturen på den gas som går till brännaren vilket är ungefär rumstemperatur, F ob är oljeflöde till brännaren, ρ g är gasens densitet, F är gasflödet, σ g är gasens specifika värmekapacitet och K ob är energiinnehållet i oljan. 4.2.3 Parameterskattning För att skatta de olika parametrarna i modellen har minimering av kvadratiska fel använts. Modellen har simulerats med några olika kombinationer av parametrar varefter den kombination som gett bäst resultat har använts. De modellfel som betraktats är fel i massflöde ut ur ugnen, fel i gastemperatur samt fel i hydraultryck. De olika modellfelen har använts för olika delar av modellen beroende på vad varje parameter främst påverkar. Ett stort problem med den här metoden har varit att man lätt hamnar i ett minimum som ger en konstant temperatur eller motsvarande som utsignal. För att vidare förenkla skattningsprocessen har vissa parametrar fixerats eftersom de ändå kommer att multipliceras med andra i modellen. Dessa är alltså inte identifierbara, se 3.1. Vidare har de parametrar som låsts hämtats ur [22]. Olinjäriteten gör även att skattningsmetoder baserat på derivering blir väldigt svårimplementerade och i vissa fall omöjliga exempelvis när det rör sig om styckvis linjära funktioner. Det har även varit tvunget att begränsa antalet parametrar att skatta samtidigt eftersom antalet simuleringar, N, växer med antalet parametrar och värden enligt N = n nparametrar värden (4.21)
4.2 Ickelinjär aggregerad tillståndsmodell 21 där n värden anger antalet värden för varje parameter och n parametrar anger antalet parametrar att skatta samtidigt. Metoden är relativt tidskrävande men har använts då en effektivare metod bedömdes vara mer svårimplementerad. 4.2.4 Validering I figur 4.4, 4.5 och 4.6 visas resultatet av en simulering av modellen med indata från identifieringsexperimentet samt motsvarande mätdata från den faktiska processen. Figur 4.4 visar temperaturen i ugnen. Modellen följer det allmänna beteendet hos 700 650 T111 Greybox Uppmätt 600 550 T [C] 500 450 400 350 300 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 Tid [min] Figur 4.4: Temperatur, ickelinjär modell systemet men klarar ej av att förutse de spikar som finns på grund av att ugnen stannats för inspektion. En stillastående ugn blir alltid varmare eftersom den inte kyls ner av att kall klinker tillförs och att het klinker matas ut.
22 Modellering och identifiering 7 6 W002 Greybox Uppmätt 5 W [Ton/h] 4 3 2 1 0 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Tid [min] Figur 4.5: Massflödesmodell, ickelinjär Figur 4.5 visar massflödet från ugnen. Det stora modellfelet i början av figur 4.5 härrör sig från det faktum att man sköt i ugnen strax innan mätningen av valideringsdatat började följt av en hastig avkylning som gjorde att väldigt mycket beläggning lossnade.
4.3 Linjära parametriska modeller 23 70 60 P012 Greybox Uppmätt 50 40 P [Pa] 30 20 10 0 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Tid [min] Figur 4.6: Tryckmodell, ickelinjär Figur 4.6 visar trycket i hydraulsystemet som driver ugnen runt. På samma sätt som i massflödesmodellen beror felet till stor del på att en stor mängd klinker har skjutits lös samt att avkylningen ledde till att ytterligare beläggning lossnat. Ugnen går helt enkelt tyngre att driva runt under de förutsättningarna. 4.3 Linjära parametriska modeller Här följer en beskrivning av de linjära svartlådemodeller som skattats. Teorin om linjära modeller samt hur de skattas finns beskriven i kapitel 3. 4.3.1 Linjär aggregerad tillståndsmodell Här har Matlabs System Identification Toolbox använts för att skatta matriser som approximerar systemet på linjär tillståndsform. System Identification Toolbox beskrivs i [13] och [12]. Meningen med att göra en egen modell för detta är att kunna behålla den fysikaliska tolkningen av tillstånden för att på ett intuitivt sätt kunna använda den för tillståndsåterkoppling. Modellen är en linjäriserad förenkling av (4.2), (4.7) och (4.13) skriven som m T k T g T g (t + T ) = A m T k (t) + B m blandoxid m kol F olja (t) (4.22) y(t) = m T k T g (t) (4.23)
24 Modellering och identifiering A = B = C = a 0 0...... a a 0...... 0 a a............ b 0 0 d 0 0... c b 0 0 d 0... 0 c b 0 0 d......... e 0 0 f g 0... 0 e 0 0 f g... 0 0 e 0 0 f (4.24)... 1 0 0 0 0 0... h 0.9 i 0 0 0.8 i 0... 0 0 0... (4.25) 0 0 j...... 0 1 0... k... k 0...... (4.26) 0... a 0...... Tyvärr visar det sig att den modellen ger ett undermåligt resultat med de strukturer på A-, B- och C-matriser som beskrivs i (4.24)-(4.26). Den predikterar en temperatur i gasen med ett RMS-fel på cirka 400 C (jfr. avsnitt 4.4) vilket gör att fortsatt förfining av denna modell inte är meningsfull. RMS-felet definieras i (4.27). 4.3.2 ARX- och ARMAX-modeller Modellstrukturen i ARX- och ARMAX-modeller beskrivs i kapitel 3. Här har Matlabs IDENT, som är det grafiska användargränssnittet till System Identification Toolbox, använts för att skatta parametrar till modeller av ARX- och ARMAX-typ. IDENT beskrivs i [13]. ARMAX-modellen tillåter endast en utsignal varför ARX-modellen har använts i de efterföljande kapitlen. Detta eftersom en ARX-modell kan skrivas om till en linjär tillståndsmodell på formen beskriven i ekvation (3.4) och (3.5) medan det inte är enkelt lösbart att skriva om tre olika ARMAX-modeller till en tillståndsmodell. Vidare har de skattade ARMAXmodellerna temperatur som utsignal eftersom det är den storhet som ska regleras. Inga skattningar av ARMAX-modeller med tryck eller massflöde som utsignal
4.3 Linjära parametriska modeller 25 kommer att redovisas då det visar sig att ARX-modellerna ger ett bättre resultat för temperaturmodellering, se tabell 4.1, figur 4.11 och 4.12. Resultaten för tryck och massflöde är jämförbara med de för temperatur. Modellordningsvalet är baserat på förklaringsgraden i den skattade modellen. Förklaringgraden beskriver en modells förmåga att efterhärma verkligheten. Den stora nackdelen med dessa modeller är att de tillstånd som finns inte har någon direkt koppling till fysikaliska storheter annat än att utsignalerna ska vara lika. Nedan jämförs några olika modeller i kategorierna RMS-fel i temperatur och parametrar icke signifikant skilda från noll. RMS-felet definieras som e RMS = N t=1 ˆT 2 (t) T 2 (t) N (4.27) Nämnaren i ekvation (4.27) är den totala tiden, N tidsintervall med sampeltiden 1. Som icke signifikant skilda från noll räknas de parametrar som är till beloppet mindre än sin variansskattning. Meningen med att jämföra dessa egenskaper hos modellen är att ta fram en tillräckligt stor modell för att förklara systemets beteende men utan att ta med onödiga parametrar. Anmärkningen OS betecknar en modell skattat med bortdraget medelvärde. Eftersom ARX-modellen är multivariabel medan ARMAX inte är det kommer det att finnas fler ickesignifikanta parametrar i ARX-modellerna. Det beror på att vissa insignaler inte är direkt kopplade till vissa utsignaler, t.ex. oljeflöde-hydraultryck. Modell RMS-fel Ickesignifikanta parametrar arx(2,2,1) 106 27 arx(2,2,1) (OS) 39 15 arx(3,1,1) 110 13 arx(3,1,1) (OS) 36 6 arx(3,1,3) 67 15 arx(3,1,3) (OS) 32 9 arx(3,3,3) 66 20 arx(3,3,3) (OS) 38 24 armax(2,2,2,1) 63 3 armax(2,2,2,1) (OS) 49 3 armax(3,1,1,1) 64 3 armax(3,1,1,1) (OS) 39 3 armax(3,1,1,3) 54 2 armax(3,1,1,3) (OS) 36 1 armax(3,3,3,3) 64 4 armax(3,3,3,3) (OS) 64 4 Tabell 4.1: Tabell över simuleringsfel och ickesignifikanta parametrar för ARX(n a, n b, n k ) och ARMAX(n a, n b, n c, n k )
26 Modellering och identifiering Nästa steg är att genomföra residualanalys för två av de testade modellerna. Residualanalys beskrives utförligare i kapitel 3. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Detta är genomfört med Matlabs IDENT där viss förbehandling av data skett jämförbart med offset-metoden som använts i skattningarna ovan. Metoden kallas detrend och tar bort långsiktiga trender ur data. Dessa två jämförs eftersom de har bäst egenskaper om man väger samman prediktionskraft och den residualanalys som följer nedan. Autokorrelationen är liten, inom ett 99%-igt konfidensintervall, förutom vid intilliggande tidpunkter, se figur 4.7. Autokorrelation för temperaturfel 0.25 0.2 0.15 konfidensintervall, ARX(3,1,3) konfidensintervall, ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) konfidensintervall, ARX(3,3,3) konfidensintervall, ARX(3,3,3) ARX(3,3,3) ARX(3,3,3) 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 Figur 4.7: Autokorrelation mellan residualerna i temperaturmodellen. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valideringsdata.
4.3 Linjära parametriska modeller 27 0.1 0.08 0.06 Korskorrelation mellan materialinflöde och temperaturfel +99% ARX(3,1,3) 99% ARX(3,1,3) ARX(3,1,3) +99% ARX(3,3,3) 99% ARX(3,3,3) ARX(3,1,3) 0.04 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Samples Figur 4.8: Korrelation mellan inflöde av blandoxid och prediktionsfel i temperatur. Modellerna är ARX(3,1,3) och ARX(3,3,3). Korrelationen är beräknad från valideringsdata. Man ser i figur 4.8 att det finns en viss korrelation mellan residualerna och insignalen, i det här fallet inmatad blandoxid i ugnen. Korrelationen är ganska stor då den går utanför ett 99%-igt konfidensintervall. Korrelationen är även större för andra modellordningar som provats. Korrelationen är mindre för de större modellen. Detta tolkas som att massflödets inverkan på temperaturen inte kan beskrivas särskilt väl av en linjär modell. Svårigheten att beskriva massflödets inverkan finns även i den ickelinjära modellen, se avsnitt 4.4 och figur 4.15.