Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVEXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER EXTREMPUNKTER OCH EXTREMVÄRDEN Definition (Globalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden D till en funktion f Vi säger att f ) är funktionens största värde (globalt maimum) om ( f ( ) f ( ) för alla D Om f ( ) f ( ) för alla i en (oavsett hur liten) omgivning till säger vi att f ( ) är ett lokalt maimum Vi preciserar detta i följande definition Definition (Lokalt maimum) Låt vara en punkt definitionsmängden D till en funktion f Vi säger att f ) är funktionens lokala maimum om det finns ett tal ε > 0 sådant att ( ( ε, D + ε ) f ( ) f ( ) (*) Vi kallar då en lokal mapunkt ( eller lokal maimipunkt) Funktionens lokala maimum f ) kallas även funktionens lokala maimivärde ( Om i (*) gäller f ( ) > f ( ) när säger vi att f ) är ett strängt lokalt maimum På motsvarande sätt definierar vi (globalt och lokalt) minimum, minpunkt och minimivärde Definition 3 En etrempunkt är en punkt som antingen är en ma- eller en minpunkt Vi säger också att funktionen har ett etremvärde (maimum eller minimum) i en sådan punkt ( av 9
Stationära och infleionspunkter Eempel Funktionen y 3 3 har lokalt maimum i punkten och lokalt minimum i punkten Vi säger att är en mapunkt och att är en minpunkt Funktionen y 3 3 saknar globala etremvärden Eempel Funktionen är en mapunkt ( ) y e har globalt maimum i punkten Vi säger att ( Funktioner saknar minimipunkter Notera att e ) > 0 för alla, dvs funktionen aldrig når värdet 0 Eempel 3 Funktionen y 3+ har globalt minimum -3 i punkten 0 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f () är deriverbar i intervallet (a, b) och f ( ) > 0 i detta intervall så är funktionen väande i (a, b) av 9
Stationära och infleionspunkter Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f väande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] ii) Om funktionen y f () är deriverbar i intervallet (a, b) och f ( ) < 0 så är funktionen avtagande i (a, b) Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f avtagande i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] iii) Om f ( ) 0 för alla i (a, b) så är f () en konstant funktion i (a,b) Anmärkning: Om dessutom funktionen är kontinuerlig i a (eller i b eller i både a och b) så är f konstant i [a, b) ( eller i (a, b] eller i [a, b] 3 STATIONÄRA PUNKTER Lösningar till ekvationen f ( ) 0 kallas funktionens stationära punkter En stationär punkt kan vara : A ) lokal mapunkt (eller maimipunkt) B) lokal minpunkt (eller minimipunkt) C) terraspunkt Med hjälp av förstaderivatans teckenschema, i en omgivning till en stationär punkt, kan vi bestämma punktens typ: A) Om teckentabell för förstaderivatan har följande form f () + 0 f () väer avtar så har funktionen ( i närheten av ) grafen av följande typ och är en lokal mapunkt Funktionens värde y f ( ) i en lokal mapunkt kallas för lokalt maimum (maimivärde) B) Om teckentabell för förstaderivatan har följande form f () 0 + f () avtar väer 3 av 9
Stationära och infleionspunkter så har funktionen grafen av följande typ och är en lokal minpunkt Funktionens lokala minimum (eller minimivärde) är y f ) C) En teckentabell för förstaderivatan av följande typ: ( f () + 0 + f () väer väer ger följande graf eller f () 0 avtar avtar ger I båda fall är en lokal terrasspunkt 4 KONVEXA och KONKAVA funktioner i) Om f ( ) > 0 i ett intervall (a, b) så är funktionen konve ( konkav uppåt i Adams) i detta intervall ii) Om f ( ) < 0 i ett intervall (a, b) så är funktionen konkav ( konkav nedåt i Adams) i detta intervall 5 INFLEXIONSPUNKTER Infleionspunkt är en punkt på en kurva där kurvan övergår från att vara konkav till att vara konve eller vise versa Anmärkning: I kursboken Adams Calculus krävs dessutom att kurvan har tangenten i punkten Infleionspunkter bestämmer vi med hjälp av andra derivatan Vi löser ekvationen f ( ) 0 och analyserar teckentabell för av andra derivatan Om f ( 0 ) 0 och dessutom derivatan ändrar tecken i 0 ( dvs + tecken på en sida av 0 och tecken på andra sidan) då är punkten 0 en infleionspunktför till y f () -------------- 4 av 9
Stationära och infleionspunkter ÖVNINGAR Uppgift Bestäm a) det största öppna intervall b) det största intervall ( oavsett öppet, slutet eller halvöppet) där funktionen f ( ) arctan( ) är väande Lösning: a) f ( ) + ( ) f ( ) > 0 > 0 ( eftersom nämnaren är >0) + ( ) > 0 > Alltså är funktionen väande på det öppna intervallet (, ) Svar: a) (, ) är det största öppna intervall där funktionen är väande b) Eftersom funktionen är kontinuerlig på intervallet [, ) och f ( ) > 0 i på (, ) så är funktionen väande på intervallet [, ) Svar: b) [, ) är det största öppna intervall där funktionen är väande 3 Uppgift Låt f ( ) 3 + 3 + Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ Rita grafen i grova drag Lösning: f 3 6 + 3 3( + ) 3( ( ) ) f ) 0 3( ) 0 (dubbelrot till ekvationen f ( ) 0 ) (, Teckentabell för förstaderivatan f () + 0 + f () väer terrasspunkt väer 5 av 9
Stationära och infleionspunkter 3 Grafen till f ( ) 3 + 3 + Uppgift 3 Låt f ( ) 5 3 5 Bestäm på vilka öppna intervall funktionen är a) väande b) konve Lösning: Förstaderivatan: f ( ) 5 5, andraderivatan: f ( ) 30 Funktionen är väande om f ( ) > 0 f ( ) 5 5 5( ) 5( )( + ) f ( ) > 0 5( )( + ) > 0 För att lösa olikheten kan vi antingen använda en teckentabell eller, alternativt, skissa parabeln 5( ) Från grafen ( eller tabellen) har vi att 5( ) > 0 om < eller > Funktionen är väande om (, ) (, ) Funktionen är konve om f ( ) > 0 30 > 0 > 0 Svar a) (, ) (, ) b) ( 0, ) Uppgift 4 Låt f ( ) e a) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ b) Bestäm eventuella infleionspunkter 6 av 9
Stationära och infleionspunkter Lösning: a) f ( ) e, f ( ) 0 e 0 0 En stationär punkt 0 Teckentabell för förstaderivatan f () + 0 f () väer avtar visar att 0 är en mapunkt y ma Motsvarande punkt på kurvan är S(0,) b) f ( ) e + 4 e e ( + 4 ) f ( ) 0 ger + 0 ± f () + 0 0 + f () konve infleionspunkt konkav infleionspunkt konve Alltså är och två infleionspunkter Vi beräknar / f ( ) e och får motsvarande punkter på grafen / f ( ) e och / I (, e ) och I (, / e ) Anmärkning: vi kan beräkna lim ( ) lim e 0 f, lim f ( ) lim e 0 och rita grafen till f ( ) e : 7 av 9
Stationära och infleionspunkter Uppgift 5 Låt f ( ) ln( ) / a) Bestäm (det största) öppna intervall där funktionen väer/ avtar b) Bestäm eventuella stationära punkter och deras typ c) Bestäm (det största) öppna intervall där funktionen är konve/ konkav b) Bestäm eventuella infleionspunkter Lösning: Funktionen är definierad för > 0 ln( ) ln Från f ( ) har vi f ( ) och f ( ) ( ln ) 4 3 + ln 3 Förstaderivatan: ln f ( ) 0 0 e Teckentabell för första derivatan: (Lägg märke till att ln < 0 ln < ln > > e ) 0 e ln + 0 + + + ln + 0 f ( ) f () väer mapunkt avtar Svar: a) Funktionen väer i intervallet (0, e) och avtar i (e, ) Svar: b) Stationär punkt e är en mapunkt { y ma f(e) /e } Andraderivatan: f ( ) 0 3 + ln 0 e Teckentabell för andra derivatan: 0 3/ e 3 + ln 0 + 3 + + + 8 av 9 3/
Stationära och infleionspunkter 3 + ln 0 + f ( ) 3 f () konkav (konkavnedåt) Infleionspunkt konve (konkavuppåt) Svar: c) Funktionen är konkav i intervallet (0, e ) och konve i intervallet ( e 3/, ) Svar: d) Funktionen har en infleionspunkt 3/ e, där f ( e 3/ 3 ) e 3/ Anmärkning: Vi kan beräkna lim 0 ln( ) f ( ) lim 0, (täljaren går mot och nämnaren gåt mot 0+) ln( ) och lim f ( ) lim [ ] lim 0 { vi använder L' Hospitals regel: } och därefter rita grafen till ln( ) f ( ) : 9 av 9