MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, del A.. Sats. Formulera och bevisa l Hoitals första regel. Kolla Adams. (6). Gränsvärden. i) Formulera de nitionen för gränsvärde av funktion i en inre unkt av dess de nitionsmängd. ii) Betrakta funktioner f och g både ode nierade i = 0: f() = sin och g() = e( ): Bestäm om någon av dessa funktioner har gränsvärde då 0. (6) Lösning. lim a f() = M om för vilket som helst litet > 0 kan hittas ett " > 0 (beroende av ) sådant att för alla från intervall (a ", a + ") runt a (eller j aj < ") ligger motsvarande värdena f() av funktionen i intervallet (M ; M + ) (eller jf() Mj < ). Betrakta searat vänster och höger-gränsvärden för f() = sin. lim 0+ sin 0+ sin 0+ sin () = 0 lim 0 sin 0 sin 0+ sin ( ) = 0 Höger och vänster gränsvärden är lika med noll. Detta medför att lim 0 sin = 0. Betrakta searat vänster och höger-gränsvärden för g() = e( ). lim 0+ e( ) y e(y) = 0 lim 0 e( ) y+ e(y) = + Höger och vänster gränsvärden är olika. Detta medför att g() = e( ) saknar gränsvärde då 0. 3. Tillämning av derivator. Betrakta funktionen: g() = ( ) ( + ) Bestäm dess naturliga de nitionsmängd, unkter där funktionen är kontinuerlig, singulära unkter, lokala etremunkter, absolut maimum och absolut minimum om de nns. (6) Bestäm de intervall där funktionen är väande, avtagande, och asymtoter till grafen. Rita en skiss av grafen till funktionen. (4) Lösning.
Funktionen är ode nierad då ( ) ( + ) < 0, nämligen å intervallet ( ; ) då uttrycket under roten är negativt. De nitionsmängden består av två interval: ( ; ] och [; ) och funktionen är kontinuerlig i å hela de nitionsmängden. g 0 () = d d ( ) ( + ) = + Singulära unkter, där derivatan är ode nierad är = och = och lim g 0 () = +; lim g 0 () = ; Undersöker derivatans rötter: + = 0 = = + 4 = 4 = omojligt Inga stationära unkter nns. Lokala etremunkter kan vara singulära unkter = och = som är dessutom gränsunkter i de nitionsmängden. Derivatan är ositiv för < i närheten av och är negativ för > i närheten av. Detta medför att funktionen far ett lokalt maimum i varje av unkterna enligt första derivatans test. Derivatan är dessutom ositiv för alla < eftersom den är alldrig noll och då kan inte bli negativ heller eftersom den är kontinuerlig för <. Likadant visas att derivatan är negativ för alla >. g() = ; g( ) =. Detta medför att g har ett absolut maimum i. Funktionen är väande å intervallet ( ; ) och är avtagande å intervallet (; ). Undersöker gränsvärden och asymtoter då. lim (g()) lim ( )(+ ) + ++ + = ( ( )) + + + Funktions graf har en horisontell asymtot y = = då. + += = = = = lim g() =. Detta medför att funktionen saknar absolut minimum. Inget lokalt minimum nns heller. lim (g 0 ()) + + = = = 0 + + = Derivatan har gränsvärde. Det betyder att det nns en asymtot med lutningen då. lim (g() ) + =
lim + =+ = = = Funktionens graf har en asymtot till: y = + då. Skiss för en graf följer. y. 0 0. 7. 0 -. -. -3.7 4. Linjär aroimation. Betrakta funktionen f() = atan() och dess linjär aroimation för = : och a = : Uskatta feltermen för aroimationen och ange intervallet där värdet atan(:) måste ligga enligt dina uskattningar. (6) Lösning. Allmän formel för linjär aroimation L() = f(a) + f 0 (a)( a). Fel E() av linära aroimationen är E() = f() L() = f 00 (z)( a) för någon okänd z som ligger mellan och a: för funktionen ugiften f() = atan() ==4. f 0 () = d d (atan()) = + ; f 0 () = d d (atan()) = d d f 0 ()j = = d d (atan()) = = + =. + = + 4 + L() = =4 + ( ). L(; ) = =4 + 0: = =4 + 0; 0. E() = f 00 (z)(; ) = f 00 (z)0; 0 för en okänd z mellan och ;. f 00 (z) = ( ) z z (z +) f 000 (z) = d z = (z + ) 3 (3z ) > 0 för z >. Det betyder att f 00 (z) är dz (z +) väande (negativ) funktion å intervallet [; ; ]. z +z 4 + = Detta medför att f 00 (z) har maimalt absolut belo i unkten z =. ma [;;] f 00 (z) = ( +) = 4 : eller min [;;] f 00 (z) = 4. Detta medför att =4 f 00 (z) < 0 och 0:00 E(; ) < 0. I sin tur skall =4 + 0; 0 0:00 f(; ) < =4 + 0; 0.. Gränsvärden. Beräkna gränsvärdet: lim 0 e sin() cos() (6) 3
Lösning. Man kan försöka använda l Hoitals regel (två gånger) e lim sin() 0 cos() (e 0 sin() ) 0 ( cos()) 0 (e cos()) 0 sin() (e 0 cos()) 0 (sin()) 0 Alternativt kan man använda Taylors olynom med felterm å O() for m: 0 (e +sin()) cos() = e sin() lim 0 cos() lim 0 + O(3 ) + O(4 ) + + + O(3 ) ( 3 + 6 O( )) 0 + + O(4 ) 0 + O() + O() = = 6. Geometri i rummet. Bestäm om linjer givna med ekvationer 3 och 8 = y = z 6 = y + = z 4 skär varandra (har en gemensam unkt). (6) 3 Lösning. De givna linjerna är inte arallella. Om två linjer skär varandra så ligger tre följande vektorer i samma lan: deras riktningsvektorer och en godtycklig vektorn mellan två unkter å de linjerna. Detta kan kontroleras med att kolla om determinant där dessa vektorer utgör rader eller kolumner är lika med noll. Riktningsvektorer är [; ; 4] 0 och [3; ; ] 0. Vektorn AB mellan givna unkter å linjer A = (3; ; ) och B = (8; ; 6) är AB = [; ; 4]. Vi observerar omedelbart att determinanten det 4 4 3 4 3 =0 eftersom den har två likadana rader. Detta medför att dessa tre vektorer ligger i samma lan och linjerna (som är inte arallella) måste skära varandra. 7. Geometri i rummet. Betrakta triangeln ABC med hörnunkter: A(4; ; ), B(; 0; 0), C( ; 3; ). Bestäm ekvationen å standart form för triangelns höjd genom unkten B, d.v.s. den linjen som ligger i triangelns lan, går genom unkten B; och är vinkelrät mot sidan AC. (6) Vi har en unkt B å linjen given: Det söker en riktningsvektor = [ ; y ; z ] till linjen. Då kommer svaret att ha formen: = y y = z z : ligger i samma lan som vektorer BA och BC och är samtidigt vinkelrät mot vektorn AC: Riktningsvektorn kan väljas som = AC BA BC Vi behöver bara beräkna vektorer BA, BC, AC och de skalärrodukter som ingår i formeln för k och sätta k in i formeln för. BA = A B = [4; ; ] [; 0; 0] = [; ; ]. 4
BC = C AC = C BA BC = B = [ ; 3; ] [; 0; 0] = [ 4; 3; ] A = [ ; 3; ] [4; ; ] = [ 3 3 3 4 6; ; 3] 4 4 3 = 4 8 0 3 6 3 4 4 8 = 4 3 0 = AC BA BC = Ekvationen för linjen är 74 74 7 0 = y 7 = z 0 Annan lösning med kortare beräkning är att framställa i lanet med vektorer BA och BC som = k BA + BC och hitta talen och k så att AC = 0, eller k BA AC + BC AC = 0. Beräkna först 3 3 3 3 6 4 6 BA AC = 4 4 = 4, BC AC = 4 3 4 = 4 3 3 Det är lätt att se att k = 4 och = 4 satis erar llkoret AC = k BA AC+ BC AC = 0. Vi beräknar som 3 3 3 4 74 = 4 BA + 4 BC =4 4 + 4 4 3 = 4 7 0 och får samma svar som innan. Vi kunde i rinci få en annan vektor arallel med den vektorn. 8. Vektorer. Bestäm vinkeln mellan vektorer a och b givna som a = 3 + q och b = + q, där och q är enhetsvektorer (har längder lika med ), och är vinkelräta 3 mot varandra. Lösning. Cosinus av vinkeln mellan två vektorer beräknas som (4) cos() = a b j a j b Beräkna skalär rodukt mellan a och b med hjäl av regler för skalär rodukt: a b = (3 + q ) ( + q ) = 3 + q + q + 0 q q = 3 + 0 = 3, eftersom och q är vinkelräta mot varandra och och q är enhetsvektorer ( q = q = 0; = ; q q = ): j a j = a a = (3 + q ) (3 + q ) = 9 + 4 = 3; b = b b = ( + q ) ( + q ) = + = 6,
Detta medför att sökta cos() = 3 3 6 = 3 = 3 3 Vinkeln är =4 eller 4 grader. Tis: Börja lösa ugifter från den som verkar vara lättats, ta sedan den som känns vara näst lättast o.s.v. Maoäng: 0 ; 3: 0; 4: 30; : 40 6