Module 1: Functions, Limits, Continuity

Relevanta dokument
Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Module 4 Applications of differentiation

Module 6: Integrals and applications

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik

Adding active and blended learning to an introductory mechanics course

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

12.6 Heat equation, Wave equation

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

This exam consists of four problems. The maximum sum of points is 20. The marks 3, 4 and 5 require a minimum


Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

Preschool Kindergarten

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell

Workplan Food. Spring term 2016 Year 7. Name:

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Isometries of the plane

a) Ange alla eventuella punkter där f är diskontinuerlig. b) Ange alla eventuella punkter där f är kontinuerlig men inte deriverbar.

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

f(x) =, x 1 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. cos(x) sin 3 (x) e sin2 (x) dx,

Find an equation for the tangent line τ to the curve γ : y = f(4 sin(xπ/6)) at the point P whose x-coordinate is equal to 1.

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik

Consumer attitudes regarding durability and labelling

Kurskod: TAMS28 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TEN1 05 June 2017, 14:00-18:00. English Version

Make a speech. How to make the perfect speech. söndag 6 oktober 13

sin(x 2 ) 4. Find the area of the bounded region precisely enclosed by the curves y = e x and y = e.

and u = och x + y z 2w = 3 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet

Writing with context. Att skriva med sammanhang

Lösningsförslag, version 1.0, 13 september 2016

F ξ (x) = f(y, x)dydx = 1. We say that a random variable ξ has a distribution F (x), if. F (x) =

Hjälpmedel: Inga, inte ens miniräknare Göteborgs Universitet Datum: 2018 kl Telefonvakt: Jonatan Kallus Telefon: ankn 5325

Modul 4 Tillämpningar av derivata

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

Tentamen i matematik. Högskolan i Skövde

and Mathematical Statistics Gerold Jäger 9:00-15:00 T Compute the following matrix

f(x) = x2 + 4x + 6 x 2 4 by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points.

Viktig information för transmittrar med option /A1 Gold-Plated Diaphragm

FÖRBERED UNDERLAG FÖR BEDÖMNING SÅ HÄR

Provlektion Just Stuff B Textbook Just Stuff B Workbook

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

1. Varje bevissteg ska motiveras formellt (informella bevis ger 0 poang)

1. Find an equation for the line λ which is orthogonal to the plane

(D1.1) 1. (3p) Bestäm ekvationer i ett xyz-koordinatsystem för planet som innehåller punkterna

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 28 August 2014, 08:00-12:00. English Version

Mönster. Ulf Cederling Växjö University Slide 1

1. Find the volume of the solid generated by rotating the circular disc. x 2 + (y 1) 2 1

STORSEMINARIET 3. Amplitud. frekvens. frekvens uppgift 9.4 (cylindriskt rör)

Chapter 1 : Who do you think you are?

Klyvklingor / Ripping Blades.

Flervariabel Analys för Civilingenjörsutbildning i datateknik

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Fredag 17 mars 2017

Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1

1. Find the 4-tuples (a, b, c, d) that solves the system of linear equations

Questionnaire for visa applicants Appendix A

Lösningsförslag: Preliminär version 8 juni 2016, reservation för fel! Högskolan i Skövde. Tentamen i matematik

Materialplanering och styrning på grundnivå. 7,5 högskolepoäng

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Exempel på uppgifter från 2010, 2011 och 2012 års ämnesprov i matematik för årskurs 3. Engelsk version

PORTSECURITY IN SÖLVESBORG

Webbregistrering pa kurs och termin

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 15 August 2016, 8:00-12:00. English Version

EXTERNAL ASSESSMENT SAMPLE TASKS SWEDISH BREAKTHROUGH LSPSWEB/0Y09

Schenker Privpak AB Telefon VAT Nr. SE Schenker ABs ansvarsbestämmelser, identiska med Box 905 Faxnr Säte: Borås

Information technology Open Document Format for Office Applications (OpenDocument) v1.0 (ISO/IEC 26300:2006, IDT) SWEDISH STANDARDS INSTITUTE

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 07 April 2015, 14:00-18:00. English Version

Kvalitetsarbete I Landstinget i Kalmar län. 24 oktober 2007 Eva Arvidsson

Second handbook of research on mathematics teaching and learning (NCTM)

S 1 11, S 2 9 and S 1 + 2S 2 32 E S 1 11, S 2 9 and 33 S 1 + 2S 2 41 D S 1 11, S 2 9 and 42 S 1 + 2S 2 51 C 52 S 1 + 2S 2 60 B 61 S 1 + 2S 2 A

E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p

Studieteknik för universitetet 2. Books in English and annat på svenska

Kurskod: TAMS11 Provkod: TENB 12 January 2015, 08:00-12:00. English Version

Tentamen i Matematik 3: M0031M.

Kurskod: TAIU06 MATEMATISK STATISTIK Provkod: TENA 17 August 2015, 8:00-12:00. English Version

Tentamen del 2 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

. Bestäm Rez och Imz. i. 1. a) Låt z = 1+i ( b) Bestäm inversen av matrisen A = (3p) x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3, 2x y + z = 4.

Hållbar utveckling i kurser lå 16-17

(4x 12) n n. is convergent. Are there any of those x for which the series is not absolutely convergent, i.e. is (only) conditionally convergent?

Chapter 2: Random Variables

Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 6. NP-problem

IKSU-kort Ordinarie avtal

Dokumentnamn Order and safety regulations for Hässleholms Kretsloppscenter. Godkänd/ansvarig Gunilla Holmberg. Kretsloppscenter

1. The sum of two non-negative numbers x and y equals 4. Which is the smallest interval that surely contains the number x 3 + 3y 2?

samhälle Susanna Öhman

UTLYSNING AV UTBYTESPLATSER VT12 inom universitetsövergripande avtal

6 th Grade English October 6-10, 2014

FYTA11-ma2, ht14. Respondents: 12 Answer Count: 8 Answer Frequency: 66,67 %

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Resultat av den utökade första planeringsövningen inför RRC september 2005

ALGEBRA II SEMESTER 1 EXAM ITEM SPECIFICATION SHEET & KEY

Hemuppgifter till fredagen den 16 september Exercises to Friday, September 16

Att stödja starka elever genom kreativ matte.

Ökat personligt engagemang En studie om coachande förhållningssätt

Bridging the gap - state-of-the-art testing research, Explanea, and why you should care

Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?

En bild säger mer än tusen ord?

och v = 1 och vektorn Svar 11x 7y + z 2 = 0 Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna 3x + 2y + 2z = 1 y z = 1 6x + 6y + 2z = 4

Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers Misi.se

Transkript:

Department of mathematics SF1625 Calculus 1 Year 2015/2016 Module 1: Functions, Limits, Continuity This module includes Chapter P and 1 from Calculus by Adams and Essex and is taught in three lectures, two tutorials and one seminar. Important concepts. The three most important concepts are function, limit and continuity. Note how they are defined. Along with the concept of a function are several other concepts that are important: domain of definition, range, graph, tangent, normal, bounded function, odd function, even function, piecewise defined function, composition of functions, the absolute value function. You should learn how they are defined and learn how to use them in problem solving. The definition of limit is done in order to state clearly what the concept of a limit means. You seldom use this definition to compute limits for this you hav other methods (that build on the definition). There is a large class of functions, sometimes called elementary functions, that are contiuous in all of their domains of definition. To compute the limit of such a fuction you only need to compute the value of the function. It is only at points where these functions are not defined that you have to investigate the limit in som other more advanced way. These functions are polynomials, rational functions, root functions, exponential functions, logarithmic functions, trigonometric functions, inverse trigonometric functions and all combinations of these using + - x / and composition. For continuous functions defined on closed and bounded intervals there are a couple of important theorems, saying that such functions always assumes maximum and minimum values and also that they assume all intermediate values.

This is how you work. Prepare for lectures by reading and watching videos.after each lecture you read in the book and solve exercises. At tutorials you solve exercises from the book. Before the seminar you solve the problems in the problem set. Observe that for each hour in class you should spend one or two hours of work at home, reading and solving exercises, continuously through the course. A minimum of two hours each day is probably required. Those who put in the hours usually pass the course, while most of those who don t, fail. You have to master pre-calculus before you take this course. Exponents, logarithms, roots, trigonometry polynomials, straight lines, etcetera. Do not underestimate the difficulties. Even though you recognize some of the material you might find that the demands are much higher now than in high school. Recommended exercises from Calculus are Ch P1: 7, 11, 19, 29, 39. Ch P2: 13, 15, 17, 23. Ch P3: 3, 7, 43, 49. Ch P4: 1, 3, 7, 11, 31, 33, 53. Ch P5: 9, 25. Ch P6: 1, 7, 17. Ch P7: 1, 3, 7, 19, 25, 26, 51. Ch 1.2: 9, 13, 21, 25, 30, 49, 50, 78, 79. Ch 1.3: 3, 6, 11, 13, 53. Ch 1.4: 7, 8, 12, 15, 17, 20, 21, 29. Ch 1.5: 13, 29. CAN YOU SOLVE THESE EXERCISES? Exercise 1. Equations for straight lines. A. Find an equation for the straight line through (5, 1) with slope 2. B. Find an equation for the straight line through (1, 3) and ( 2, 5). C. Are the lines 8x + 16y + 5 = 0 and x = 2y + 33 parallell? D. Are the lines 8x + 9y + 5 = 0 and 9x 8y + 15 = 0 orthogonal? E. What is the point-slope equation? Exercise 2. Solve the equations: A. sin 2x = 1 2 B. 2x + 1 = 2 Exercise 3. Compute the limits: A. lim x 1 C. lim x 2 2 B. lim x 2 D. lim x

Exercise 4. Compute the limits: A. lim x 0 x sin x x B. lim x x sin x x Exercise 5. Let f(x) = 5x 1 cos 2x. A. Find the domain of definition of f. B. At what points is f continuous? C. Is f odd or even? D. Is f bounded? Exercise 6. Let g(t) = 1 1 t + 1. A. Find the domain of definition of g. B. At what points is g continuous? C. Is g odd or even? D. Is g bounded? Exercise 7. Låt h(x) = x x + 1. A. Find the domain of definition of h. At what points is h continuous? B. Write h as a piecewise defined function without the use of the absolute value sign. C. Sketch the graph y = h(x). What is the range of h. D. Is h bounded? Exercise 8. We study the function x 2 + 1, x < 0 s(x) = x + 2, 0 x < 2 x 2, x 2 A. Find the domain of definition of s. B. At what points is s continuous? C. Make a simple sketch of y = s(x). Exercise 9. The unit circle is given by x 2 + y 2 = 1. A. Is it the graph y = f(x)of some function f? If yes, which one? If no, why not? B. Is the upper half (where y 0) the graph y = f(x) of some function f? If yes, which one? If no, why not? 3

Exercise 10. Show that x 4 x 2 2x 1 = 0 has at least two solutions in 1 < x < 2. Exercise 11. At what points is sin 2t, t 0 f(t) = t 2, t = 0 continuous? Exercise 12. Explain how you can be sure that f(x) = sin 47x cos3 x x 23 + 2x + 1 attains a maximum and a minimum value for 0 x 3. FACIT OCH LÖSNINGSTIPS 1. A. y + 1 = 2(x 5). Kan också skrivas y = 2x + 9 1. B. y = 8 3 x 1 3 1. C. Ja (ty de har samma riktningskoefficient) 1. D. Ja (ty k 2 = 1/k 1, där k 1 och k 2 är riktningskoefficienterna) 1. E. Läs i boken eller i er gymnasiebok (och kika gärna också på svaret till 4A) 2. A. x = π/8 + nπ, där n är ett godtyckligt heltal, eller x = 5π/8 + nπ, där n är ett godtyckligt heltal. 2. B. Lösningarna är x = 1/2 och x = 3/2 3. A. 1 3. B. 1/4 3. C. Gränsvärde saknas (det är INTE heller ) 3. D. 0 4. A. 0 4. B. 1 5. A. Alla x π + n π, n godtyckligt heltal. Tips: problemet är när nämnaren är noll. 4 2 5. B. Alla x π + n π, n godtyckligt heltal. 4 2 5. C. f är varken udda eller jämn. 5. D. Nej 6. A. Alla tal som är större än eller lika med 0 och alla tal mindre än 1. Tips: undvik negativt under rottecknet och undvik division med noll. 6. B. Samma svar som i 2A. 6. C. Varken udda eller jämn. 4

6. D. Nej 7. A. Definitionsmängden är alla reella tal x. Funktionen är kontinuerlig överallt. 7. B. För x 0 är h(x) = 1. För x mellan 1 och 0 är h(x) = 2x 1. För x 1 är h(x) = 1. 7. C. Det är lätt att rita grafen med hjälp av informationen i B. Värdemängden består av alla tal y sådana att 1 y 1 7. D. Ja, h(x) 1 för alla x 8. A. Alla x 8. B. x 0 8. C. Se sidorna 36 och 37 i boken för exempel på denna typ av funktion. 9. A. Nej. För varje x mellan 1 och 1 finns två olika möjliga värden på y. 9. B. Ja. f(x) = 1 x 2 10. Funktionen f(x) = x 4 x 2 2x 1 är kontinuerlig överallt och f( 1) = 1, f(0) = 1, f(2) = 7, så det följer av satsen om mellanliggande värden att funktionen har ett nollställe mellan 1 och 0 och ytterligare ett mellan 0 och 2. 11. Funktionen är kontinuerlig i alla punkter på reella axeln. 12. Funktionen är kontinuerlig i varje punkt av det slutna och begränsade intervallet [0, 3]. Det följer att största och minsta värde finns, enligt the max-min theorem (sid 83). 5