KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b) ( + i) 6 c) e) ( ( i) 9 d) i ) 67 3 f) e iϕ + ( + i) 4 ( + i 3) 3. Beräkna principalvärdet av arg + geometriskt. om är en punkt på enhetscirkeln =. Tolka 4. Bestäm rötterna till a) + ( + i) 7i = b) 5 = i c) 4 + 3 + + + = d) 6 6 3 + 64 = e) 4 + i 3 + + i + = 5. Visa att n sin(k )x = sin nx sin x
6. Bevisa olikheten ( Re + Im ). När gäller likhet? 7. Beskriv geometriskt följande punktmängder i det komplexa talplanet (a, k R) a) Re =, b) a + a + k =, c) + a + a + k =, k < a, d) + i = 5 3i, e) i +. KOMPLEXA FUNKTIONER. 8. I vilka punkter är f(x + iy) = 3x y 4i(x y) 3 deriverbar? punkt? Är f() analytisk i någon 9. Vilken eller vilka av följande funktioner är analytiska i någon del av planet?, Re,,, e, 3 Arg. Bestäm de analytiska funktioner vars realdel är a) Im b) x xy c) x 3 3xy +xy d) e x (x cos y y sin y). Bestäm de analytiska funktioner f() = u + iv för vilka u endast beror på x.. För vilka reella funktioner u och v är både u + iv och u iv analytiska? Bestäm därefter alla analytiska funktioner f() = u + iv med f = konstant. 3. En stationär tvådimensionell strömning kan ges genom en analytisk funktion F () = φ + iψ där φ är hastighetspotentialen. Man kallar nivåkurvorna till φ för ekvipotentialkurvor och strömningen som sker ortogonalt mot dem ges här som nivåkurvor till y ψ. Bestäm ekvipotentialkurvor och strömlinjer då φ = x + y. 4. Visa att auchy-riemanns ekvationer för f() = u + iv i polära koordinater blir u r = v r ϕ, r u ϕ = v r. 5. Hur många nollställen har P () = 4 + 4 3 4 4 5 i högra halvplanet? 6. Bestäm antalet nollställen till P () = 4 + 4 3 + 9 + 9 i vänstra halvplanet. 7. Hur många nollställen har funktionen f() inom området D då, a) f() = 4 + 5 3 3 3, D : <,
b) 5 +, D : < <, c) f() = 4 + + 3, D : Re <, d) f() = 4 + i + 3 +, D : <, e) f() = 4 3 + 3 + 36, D : Re >, Im >. ELEMENTÄRA FUNKTIONER. 8. Beräkna de möjliga värdena av log och ange speciellt principalvärdet då a) = i b) = + i c) = 3 i 9. Lös ekvationen e = ( + i)4 ( + i 3) 7. Låt log vara principalvärdet av logaritmen och sätt a = i, b = i och c = +i. Vilka av följande likheter är sanna? a) log a + log b = log ab b) log a + log c = log ac c) log a log b = log a b d) log c = log c e) log e 4a = 4a. Skriv följande funktionsvärden på formen a + ib, sin i + i cos i, e ei, cos(π/4 i), tan( + i). Beräkna f ( 6i) för principalgrenen av f() = /3. 3. Visa att sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y och sin = sin x + sinh y. Härled analoga formler för cosinus. 4. Visa att sin och cos endast har reella nollställen. Undersök även för vilka som sin resp cos antar reella värden. 5. Lös ekvationerna a) e = i b) cos = i c) tan = log i (för de möjliga värdena på log i) 6. Lös ekvationen sin + i sin + sin 3 =. 7. Visa att max cos = cosh. Vad är minimum av cos för? 3
8. Förenkla där log är principalgrenen. i log i x i + x, x R 9. Bestäm bilden av halvbandet < y < π, x > vid avbildningen w = e. 3. Bestäm bilden av området < x < π, y > vid avbildningen w = cos. Visa att en sträcka y =konstant i halvbandet avbildas på en ellipsbåge i undre halvplanet och undersök därefter vad en sträcka x =konstant i halvbandet avbildas på. 3. Visa att man kan definiera en gren av log mellan och. i planet uppskuret längs reella axeln 3. Undersök om man kan skära upp planet så att man kan definiera en entydig analytisk + gren av 3 i det uppskurna planet. + KOMPLEX INTEGRATION. 33. Beräkna för alla heltal n integralen n d då integrationsvägen är är den räta linjen från = till = i. 34. Beräkna d från = till = längs halvcirkeln =, Im. 35. Beräkna de båda integralerna d ( ) och d då är a) cirkeln =, b) = /, c) =. irklarna tas ett varv i positiv led. d 36. Beräkna där är en kurva som går från = till = + i utan att skära halvaxeln x =, y. 37. Beräkna log( + ) d där är halvcirkelbågen + =, Im > tagen från = till =. Med log avses här principalgrenen. 38. Undersök lim f(r) då f(r) = d. Ange också vilka värden f(r) antar för r + 3 r >, r. 39. Beräkna integralerna 4. Beräkna =r cos d och cos d där är cirkeln = 4. ( ) e d där är cirkeln i = 4 tagen ett varv i positiv led. + 4
4. Beräkna 3 till 3. { + + } d där är halvcirkeln = 3, Im, tagen från + 4. Bestäm största värdet av f() för då a) f() = b) f() = ( ) ( + ). + 3 43. Beräkna medelvärdet av f() = hjälp härav integralen π π n + a över enhetscirkeln = och beräkna med a + cos nθ a dθ, a >, n N. + + a cos nθ 44. Beräkna e x cos bx dx genom att integrera e ±a + ib och sedan låta a. över en rektangel med hörn i ±a, 45. Beräkna sin x x ei dx genom att integrera funktionen över över den positivt orienterade randen till området < ε < < R, Im >, och sedan låta ε + och R. KOMPLEXA SERIER. 46. Undersök konvergens hos a) n + i, b) i n n, c) n + i. 47. Termvis derivation och integration av potensserier är tillåten i det inre av konvergenscirkeln. Använd det för att beräkna k k och k + k+ för <. 48. Visa att e n är konvergent för Re < och beräkna summan. Beräkna sedan e n sin n 49. För vilka konvergerar ( ) n? + ( ) n 5. Bestäm konvergensradierna till följande potensserier a) k k ln k b) k!( ) k c) k! k! d) ( + ) k k k 5
5. Ange Maclaurinserierna till funktionerna cosh, sinh, cos och sin genom att utgå från utvecklingen av e. För vilka konvergerar utvecklingarna? 5. Utveckla i Taylorserie kring = i. Ange seriens konvergensradie. 53. Beräkna f (n) () då f() = e. 54. Bestäm de tre första icke-försvinnande termerna i Taylorutvecklingarna kring origo av följande funktioner och ange konvergensradierna a) + b) tan c) e cos d) cos 5/4 55. En funktion f() definieras genom f() = e för och f() =. Visa att f() är analytisk i en omgivning av =. Bestäm därefter koefficienterna c, c, c i Maclaurinserien f() = c n n och visa att c n = för n = 3, 5, 7,.... För vilka konvergerar utvecklingen? 56. Summera serierna n och n+ n + för <. 57. Antag att f() är en hel funktion som satisfierar olikheten f() e för alla. Visa att f (4) () 5. (, 7 < e <, 8)) 58. Bestäm Laurentutvecklingarna av följande funktioner i de angivna områdena a) ( + ) sin, < < b), < < resp < < ( + ) c) sin, < < d) e) ( + )(9 ), < < 3 +, < + < 3 f) e, > 59. Finns det någon analytisk f() i cirkeln < med f(/) = /3 men f(/n) = /(n) för n = 3, 4, 5,...? Z-TRANSFORMEN. Vi ska här betrakta den enkelsidiga -transformen och utgår då från en komplexvärd funktion f definierad på de naturliga talen, f : N. Den enkelsidiga -transformen Z[f] = F av f definieras genom F () = f(k) k. Serien konvergerar i ett område av formen > R och vi ska förutsätta att R = R f <. 6
6. Beräkna -transformen av f då (a, α R) a) f(k) = a k e ikα b) f(k) = a k cos kα c) f(k) = a k sin kα 6. Visa att G() = F () om g(k) = kf(k), k =,,,.... Beräkna -transformen av f(k) = k m a k, k =,,,..., för m =,,, 3. 6. Bestäm inverstransformen f(k) till a) F () = b) F () = ( + ) c) F () = ( + ) d) F () = 3 + + + e) F () = Log f) F () = e/ 63. Antag att f har -transformen F (), > R f. Visa att f(k) = F () k d, πi k =,,,..., om är en cirkel = R med R > R f tagen ett varv i positiv led. Beräkna därefter inverstransformen av F () = ( )( ) 3. 64. Antag att f har -transformen F () och sätt g(k) = k f(m), k =,,,.... Visa F () att G() = för > max (R f, ). Beräkna därefter summan g(n) = n =,, 3,... m= 65. Beräkna faltningen (f g)(k) då f(k) = k och g(k) = k, k =,,,.... n k, 66. Lös differensekvationen y(k) 3y(k ) + y(k ) =, k =,,,..., då y(k) = för k <. 67. Lös differensekvationen y(k + ) y(k + ) y(k) =, k N, då y() =, y() =. 68. Är differensekvationen 4y(k) + y(k ) y(k 3) = f(k), k =,,,..., stabil? RESIDUER OH INTEGRALBERÄKNINGAR. 69. Beräkna följande residuer k= a) Res e / b) Res π cot π c) Res cos + d) Res sin + 7. Beräkna alla residuer till funktionerna a) e b) sin 3 c) sin d) (e e) 3 7
7. Beräkna följande integraler där integrationsvägarna ska tas i positiv led d sin d a) b) + i + sinh d c) (e ) d) = = sin π + + d e) + 3 7. Beräkna följande integraler =3 =3/ = 3 + e/ d f) = d sin a) + x + x x 4 + dx b) dx (x + ) 3 c) dx x 4 + x + d) dx x 3 + 73. Beräkna följande integraler (m R) a) cos mx x dx b) + x sin x x dx c) + x + cos x dx d) (x + i) sin x x( + x ) dx 74. Beräkna e iωx cos x x + 75. Beräkna integralerna dx, ω R. a) x α dx x +, < α < b) x dx c) ( + x) 4 ln x dx (x + ) 76. Betrakta Laurentutvecklingen c och c. sin = c n n i området π < < π. Beräkna c 3, 77. Beräkna integralen π dθ 5 + 3 cos θ genom att skriva den som en konturintegral över enhetscirkeln. 78. Beräkna f(t) = πi +i i i s-planet då a) F (s) = 79. Beräkna f(t) = πi +i i e st F (s) ds, t > där integrationen sker längs linjen Re s = (s + ), b) F (s) = (s + ). e st F (s) ds, t > då F (s) = 8 e s (s ).
LAPLAETRANSFORMER. Den enkelsida Laplacetransformen L(f) = F av en funktion f :], [ definieras genom F (s) = f(t)e ts dt(när integralen konvergerar).vi ska här förutsätta att f är styckvis kontinuerlig och att det finns konstanter T, A, a sådana att f(t) Ae at för t > T. Integralen är då absolutkonvergent i halvplanet Re s > a och F (s) blir analytisk detta halvplan. halvplan av formen Re s c > a. Vidare gäller att F (s) går mot noll då s går mot i 8. Visa under lämpliga förutsättningar hos f följande egenskaper hos Laplacetransformen a) L[af + bg] = af (s) + bg(s) b) L[e at f(t)] = F (s a) c) L[f(t a)h(t a)] = e as F (s) där a och H(t) är heavisidefunktionen. n d) L[f (t)] = sf (s) f() och mer allmänt L[f (n) ] = s n F (s) s k f (n k ) () [ t e) L ] f(u) du = s F (s) f) L[tf(t)] = d ds F (s) och mer allmänt L[tn f(t)] = ( ) n dn ds n F (s) [ f(t) ] g) L = F (w) dw t s 8. Beräkna Laplacetransformen av f(t) = [t], t. ([t] är heltalsdelen av t.) 8. Faltningen h = f g av två funktioner på [, [ definieras genom h(t) = (f g)(t) = t f(t u)g(u) du, t. Visa med lämpliga förutsättningar att H(s) = F (s)g(s). 83. Beräkna Laplacetransformen av följande funktioner ( a R) a) t n b) e at c) cos at d) sin at e) te t sin t 84. BeräknaLaplacetransformen av f(t) = et t 85. Bestäm f(t), t > då Laplacetransformen är, t >. a) s(s + ) b) s (s 3) 5 c) (s + )(s + 4) Använd t ex inversionsformeln. 9
86. Beräkna πi c+i c i e st log ( + ) ds, t >, där c > och integrationen sker längs s linjen s = c + iω, ω:. Med log avses här principalgrenen. 87. Använd Laplacetransformer för att lösa differentialekvationen y + y + y = f(t), t, med begynnelsevärdena y() =, y () = då f(t) = te t. 88. Bestäm en lösning till integralekvationen t f(t u) e u sin u du = t 3, t. 89. Lös systemet x (t) = (t) y (t) = x(t) + (t) (t) = y(t) (t) för t då x() = 3, y() = och () =. ARGUMENTPRINIPEN. 9. Undersök för alla A R hur många nollställen P () = 3 +A + har innanför = genom att studera argumentvariationen hos f() = + A + när genomlöper enhetscirkeln ett varv i positiv led. 9. Undersök antalet nollställen till f() i området D då a) f() = sin, D : < 3, b) f() = Log + +, D : Re >, c) P () = 4 + + 3 +, D : <. 9. Hur många nollställen har f() = e ( 3+) i halvbandet Re >, Im <? 93. Är differentialekvationen y (6) + y (3) + y + y = f(t), t, stabil? 94. Visa att alla homogena lösningar till y (5) +3y (4) +9y (3) +y +8y +7y = f(t), t, är begränsade men att det finns begränsade högerled som ger obegränsade lösningar. KONFORMA AVBILDNINGAR. 95. I vilka punkter är f() = 4 4i konform? Beskriv f():s beteende i undantagspunkterna.
96. Betrakta Möbiusavbildningen f() = +. Vad är bilden under f av följande mängder a) reella axeln, b) imaginära axeln, c) cirkeln =, d) cirkeln =, e) cirkeln i =? 97. Bestäm den Möbiustransformation som avbildar a) =, = och 3 = på w =, w = och w 3 = 3, b) = i, = och 3 = på w = i, w = och w 3 =. c) Ange bilden av området <, Im > under avbildningen i b). 98. Bestäm en konform avbildning w = w() av området 5 på området w med w() =. 99. Bestäm en harmonisk funktion i området D : >, 3 < 3 som har randvärdena noll på den inre cirkeln och ett på den yttre genom att avbilda D konformt på bandet < Re w <.. Bestäm en Möbiusavbildning w = w() som avbildar det inre av enhetscirkeln på övre halvplanet så att w() = + i. Området mellan cirklarna = 3 och = avbildas med en Möbiusavbildning på en cirkelring med den yttre radien. Hur stor blir radien i den inre cirkeln?. Hur avbildar w = enhetscirkeln om vi väljer principalgrenen av rotfunktionen? 3. Hur stor area har bildområdet till Re, Re + Im vid avbildningen w = e? 4. Avbilda halvcirkeln <, Im > konformt på enhetscirkeln så att + i på origo. avbildas 5. Bestäm bilden av området Re π/, π/ vid avbildningen w = tan. 6. Visa att man kan definiera en entydig gren av f() = i log i i + i det längs imaginära axeln mellan i och +i uppskurna planet. Beräkna skillnaden mellan gränsvärdena av f() då går mot en punkt iy, < y <, från högra resp vänstra halvplanet.
EXTRA BLANDADE ÖVNINGAR. 7. Visa olikheten e ix e iy x y, x, y R. 8. Lös ekvationen 3 = + i. 9. Hur många nollställen har f() = 6 5 4 + 3 för <?. Lös ekvationen ( + i) n = ( i) n för godtyckliga positiva heltal n.. Bestäm de analytiska funktioner f() = u + iv för vilka u endast beror på r.. Bestäm en analytisk funktion f() sådan att f() = (x + y )e xy. 3. Visa att om f() är analytisk innanför enhetscirkeln så är g() = f(/ ) analytisk utanför. 4. Skär upp -planet längs reella axeln mellan = och =. Undersök om man kan definiera en gren av a) 3 + + resp b) 3 ( + )( + ) i det uppskurna planet. 5. Visa att två komplexa tal och svarar mot diametralt motstående punkter på Riemannsfären om och endast om =.Vi förutsätter här att Riemannsfären har sitt vanliga läge med medelpunkten i (,, /) och radien /. 6..För vilka konvergerar ( i ) n? + i 7. Man vill bestämma strömlinjerna vid en plan strömning kring en cylinder som representeras av enhetscirkeln i -planet. Genomför detta genom att avbilda området utanför enhetscirkeln konformt på det yttre av en slits w och sök bilderna i -planet av Im = k (konstant).hur mycket rör sig en vätskepartikel i y -led? 8. Låt u och v vara differentierbara funktioner av x och y och antag att (du) + (dv) = { λ(x, y) (dx) + (dy) }, λ >. Visa att antingen är u + iv eller u iv en analytisk funktion av = x + iy. 9. Betrakta differentialekvationen y + y = f(t), y() = y () =, där f är styckvis kontinuerlig och f(t) för alla t. möjligt.. Antag att f :], [ har period T. Visa att F (s) = Välj f så att y(7) blir så stor som e st T f(t)e ts dt för Re s >. Bestäm därefter Laplacetranssformen av f(t) = sin t, t (en likriktad sinusvåg).
. Beräkna c+i c i d sin π d där < c < och där ntegralen tas längs linjen Re = c.. Beräkna bilden av området Im > vid avbildningen w = log. Med log avses log + principalgrenen. 3. Finns det någon analytisk funktion f() i cirkeln < sådan att f( 3 ) = och f( n + ) = för n =, 3, 4,...? n + 4. Antag att f() är analytisk för <. Visa att om f är reell för, 8 < x <, 9, y =, så är f() reell på hela sträckan < x <, y =. 5. Visa att det inte finns någon analytisk fortsättning av f() = någon punkt på cirkeln =. n!, <, till 3
SVAR TILL VISSA UPPGIFTER. a), π 3 + nπ. b) 8, 3π + nπ. c) 3, π 4 + nπ. d), π 3 + nπ. e), 7π 6 + nπ, f) cos ϕ/, ϕ/ + nπ om π + 4mπ < ϕ < π + 4mπ och cos ϕ/, ϕ/ + π + nπ om π + 4mπ < ϕ < 3π + 4mπ samt beloppet är noll och argumentet odefinierat om ϕ = π + nπ. 3. Principalargumentet är π för Im > och π för Im <. 4. a) ( / ± )( + i). b) n = 5 e iπ(+4n)/ där n =, ±, ±. c) n = e niπ/5 där n = ±, ±. d) Dubbelrötter, = e kπi/3 där k =,,, e), = ±i och 3,4 = ( ± 5)i. n 5. VL=Im e (k ) = Im e ix enix e ix = cos nx sin x = sin nx sin x =HL. 6. auchys olikhet ger att x + y = ( x, y ) (, ) x + y + = med likhet omm x = y. 7. a) irkeln x + y = x/ utom origo. b) linjen αx + βy + k = där a = α + iβ. c) cirkeln +a = a k. d) linjen y = x+4. e) området (x+4/3) +(y+/3) 8 9. 8. Deriverbar i punkter på linjen y = x/. Ej analytisk i någon punkt. 9. Endast = (i området ) och e.. a) i + i, b) + i + i, c) 3 i + i, d) e + i. ( R). + D där R.. f konstant. 4. Derivation i f(re iϕ ) = u + iv m.a.p. r ger e iϕ f (re iϕ ) = u r + iv r och m.a.p. ϕ 5. 6. 3 rie iϕ f (re iϕ ) = u ϕ + iv ϕ vilket ger f (re iϕ ) = e iϕ (u r + iv r) = e iϕ ir (u ϕ + iv ϕ) = e iϕ ( r v ϕ i r u ϕ). Jämför därefter de båda uttrycken för derivatan. 7. a) 3, b) 4, c), d), e). 9. 5 ln i(4π/3 + kπ), k Z. ie, e cos cos(sin ) + ie cos sin(sin ), sinh cosh i cos + sinh ( 3 ). 3 3 + i. (cosh + i sinh ) samt sin cos cos + sinh + 5. a) = ± + i π/ + nπ om n, = ± i π/ + nπ om n <. b) = ±(π/ + nπ i ln( 5 + )), n Z. 4
c) = π mπ + i ln + π/ + nπ π/ nπ, n, m Z. 5 + 6. = ±(π/ + nπ + i ln ), n Z, och = nπ/, n Z. 8. arctan x ( 33. i n+ ) om n, iπ/ om n =. n + 34. + iπ. 36. ln i 5π 4 37. iπ 39. πi cos resp πi sin. 4. πi sin. 4. π/3 4 3 4. a) b) 6 9 3. 43. Medelvärdet är a och den sökta integralen är π a. 44. πe b. π 45.. 47. Summorna är resp log( ) där log är principalgrenen. ( ) 48. Geometrisk serie med kvoten e. Konvergent då e = e x < dvs för x <.Summan blir. Sätter vi = + i och tar imaginärdelen erhåller vi den senare serien. e sin Dess summa är således e e cos + 5. a) R =. b) R =, c) R =, d) R = e. 5. n ( i)n ( ), konvergensradien R =. (i) n+ (n)! 53.. n! 54. a) + = 9 8 + ( om vi väljer principalgrenen av rotfunktionen), R =, b) tan = + 3 3 + 5 5 +, R = π, c) ecos = e e + e 6 4 +. R =, d) cos 5/4 = 4 + 8 5 4 /3 +. R = ln. 56. resp Log +. 58. a) + 3! + 3! 3 + 5! 4 + 5! 5. b) + + 3 resp sin +. c) (sin ) cos 5 3 + 4 sin 6! 5 + cos 7! 6. d) 8 ( ) n n+ + 7 5! + cos 3! + sin 4! 3 cos 5! 4 ( ) n ( ( ) n ). 3
6. a) e) ( + ) /3 /9 ( + )/3 3 ( + ) n /3 n+. f) ( e n m= ) m!. b) aeiα för n och c n = e för n <, a cos α a cos α + a. c) 6. Termvis derivation ger F () = Z[ka k ] = a sin α a cos α + a. c n n där c n = k f(k) k+ = G(), > R f, Z[a k ] = a ( a), Z[k a k ] = a + a ( a) 3, Z[k3 a k ] = a3 + 4a + a 3 ( a) 4. a, 6. a) H(k ). b) (k{ + )( ) k. c) δ(k ) { δ(k) + ( ) k = H(k )( ) k. d) F () /k för k > /(k )! för k > ej -transform. e) för k =. f) för k =. 63. f(n) = n+ ( ) n + 3n + 4, n =,,, 3,... n(n + )(n + ) 64. g(n) =. 6 k 4 k 65.. 66. y(k) = 4 k k 3. 67. y() =, y(k) = k + ( )k+ för k 3 68. JA. 69. a). b). c). d) cos. 7. a) Res nπi Res nπ e = nπi, n. b) Res nπ sin = ( )n n π då n. d) Res +nπi sin 3 = ( )n (e e) 3 = e 3., nπ. c) Res 7. a) π ( + i). b) πi. c) πi. d) πi sinh π. e) iπ/3. f) πi/3. 7. a) π. b) 3π 8. c) π 3. d) π 3 3. 73. a) πe m. b) π(cos + sin )/e. c) π/e. d) π( e ). πe w cosh då ω, 74. Integralen är πe cosh ω då < ω <, πe ω cosh då ω. π 75. a). b) π/6. c) π/4. cos(απ/) 76. c 3 = π, c = och c = π 77.. 78. a) f(t) = sin t, t > och b) f(t) = (sin t t cos t), t > 79. f((t) = (t )(e t för t >, f(t) = för < t. e s 8. F (s) = s e s, Re s >. 6 sin = 6 och
n! 83. a) s n+. Re s >. b) s a 4(s ) e) ((s ), Re s >. + 4) ( 84. F (s) = log s ( t 4 85. a) e t. b) 87. a) (t + t 3 /6)e t 88. t 3 + 6t + 6t. Re s > a. c) s a s, Re s >. d) + a ), Re s >. Med log avses här principalgrenen. 8 + t3 6 ) e 3t. c) 5 e t 5 cos t + sin t.. s. Re s >, + a 89. x(t) = e t e t + e t, y(t) = 3e t e t och (t) = e t + e t e t, t. 9. om < A <, om A > eller A, om A =. 9. a). b). c). 9.. 93. Nej!. 95. Man har att f () = 4 3 4i utom = i och = i ± 3. Funktionen är konform utom i de tre senare punkterna. Taylorutveckling visar att vinklarna fördubblas i dess punkter. 96. a) Reella axeln, b) w =, c) imaginära axeln, d) w 5/3 = 4/3, e) w + i =. 97. a) w = + w, b) w = ( + i) 3 +, c) 4 + 3 ( + i) >, Re w > Im w. 3 e iθ 98. 4 99. u = 3 x + y x x + y (realdelen av w = 3 ).. w = ( i) i. 3 5... På området u v > /, u >. 3. (e e ). 4. T ex w = ( + ) + (3 4i)( ) ( + ) + (3 + 4i)( ). 5. Re w, w ±i. 8. / 3 e πi(+8n)/4 3, n Z. 9. 4st. cot kπ/n, k =,,..., n.. log + D där R.. e i( /+) där R. 6. i <. 7
7. I övre halplanet får man x = ± y( + ky y ) y k där < k < y k + k +. Vid likhet är x = och lim x = ±. Rörelsen i y -led blir alltså k + k. Då k = y k får man reella axeln som bild då x > och x + y =, y > då x <. då < t < 7 π 9. f(t) = då 7 π < t < 7 π då 7 π < t < 7. F (s) = + e πs e πs + s, Re s >. i. Im w >, w i π > π 8