Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter.

Relevanta dokument
Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

Existensen av största och minsta värde är inte garanterad i det här fallet.

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

och kallas ytintegral AREAN AV EN BUKTIG YTA

Kap Dubbelintegraler.

SF1626 Flervariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Dubbelintegraler och volymberäkning

Lösningar till Matematisk analys

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

x 1 1/ maximum

Kap Generaliserade multipelintegraler.

a) Bestäm samtliga asymptoter (lodräta/vågräta/sneda). b) Bestäm samtliga stationära punkter och deras karaktär (min/max/terrass). c) Rita grafen.

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Modul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i Envariabelanalys 2

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Läsanvisningar till Analys B, HT 15 Del 1

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

SF1626 Flervariabelanalys

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

2. Vid konsumtionen av varorna X och Y har en person nyttofunktionen

10 Beräkning av dubbelintegraler

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

TENTAMEN Kurs: HF1903 Matematik 1, moment TEN2 (analys) Datum: 29 okt 2016 Skrivtid 9:00-13:00

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Matematiska uppgifter

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

Laboration 4: Integration på olika sätt

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Matematiska uppgifter

Konsten att bestämma arean

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

TENTAMEN HF1006 och HF1008

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

Mer om integraler. Kapitel I. I.1 Integraler

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.

Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

6.2 Implicit derivering

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

Kontrollskrivning 1A

11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution

2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Transkript:

GNSKAPR HOS UBBLINTGRALR. Vi antar att f och g ar begränsade och integrerbara funktioner på givna mätbara ( kvadrerbara) områden och att a, b ar konstanter. å gäller:., 0 om arean() =0 ( dvs. om är en nollmängd) i. ii. 3. Om, 0 då är, 0 4i. Om, 0 då är, 0 I detta fall (alltså endast om, är en icke negativ funktion) gäller, där,, :,, 0, d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden och ytan, ) ( se bilden ovan). 4ii. Om kroppen K består av punkter som ligger ovanpå mellan två ytor, och, där,, dvs,, :,,,, då gäller,, 5. (monotonicitet) Om,, för alla, då är,, 6.,, av 7

7. (additivitet),,, ä. 8. (linearitet),,,, Uppgift. Bestäm värdet av integralen a) 3 där är sträckan mellan punkterna A(0.0) och B(,). b) där är cirkellinjen {(,y), }. (Lägg märke till att består av de punkter som ligger på cirkellinjen och inte på hela cirkelskivan. ärmed är arean()=0 ) Lösning: a) ftersom arean()=0 har vi, enligt egenskapen att 3 0. b) 0 eftersom arean() =0 Uppgift. Bestäm och rita en integrationsmängd så att integralen 4 blir störst. ( u behöver inte beräkna integralen.) Tips. Använd egenskaper 3, 4 och 7. Lösning: Vi väljer det största område där integranden 4 0. 4 0 4 Alltså väljer vi = cirkeln som definieras av 4. av 7

Förklaring: Låt vara ett godtyckligt integrationsområde och, 4. Vi ska visa att,, i) Först antar vi att är en delmängd av. å gäller = F ( där F = \ se nedanstående figur) och, enligt 7,,,, F ftersom, 0 på är alla ovanstående integraler icke-negativa (egenskap 4) och därför är,, ii) Allmänt fall. Låt vara ett godtyckligt integrationsområde. och, \ å är ( se figuren) och,,, 3 av 7

där, 0 om, ligger i och, 0,. ärför, 0 och, 0 som medför att,,, Vi har därmed visat att,, för ett godtyckligt integrationsområde. Alltså, är störst om vi väljer så att består av de punkter som satisfierar olikheten, Anmärkning. Ovanstående lösning är inte entydig. Om K är en mängd som har arean =0 ( så kallade nollmängd) och \ ( eller ) så har dubbelintegral över samma värde som dubbelintegral över. Uppgift 3. Bestäm och rita en integrationsmängd så att integralen. blir störst. ( u behöver inte beräkna integralen.) Svar: 0 dvs är det elliptiskt område som definieras av. (Samma förklaring som i Uppgift.) Uppgift 3. a) Bestäm och rita en integrationsmängd som ligger inuti kvadraten K, så att integralen blir störst. b) Beräkna integralen för detta. 4 av 7

Svar a) består av de punkter som ligger i kvadraten K och som satisfierar 0 eller (Samma förklaring som i Uppgift.) b) d ( y ) dy = y y d = + 4 = d 8 5 Uppgift 4. Om vi vet att, 38 där är ( sluten) kvadrat 0, 0 bestäm, då definieras av a) 0, 0 ( öppen mängd), b) 0, 0 ( varken öppen eller sluten mängd), Lösning a) Skillnaden mellan mängderna och består av randpunkter som vi betecknar med R dvs R = \. å är arean(r)=0 och därför, 0. R = R, arean R =0. Vi har 5 av 7

,,,, 0, Alltså, =, = 38 ( enligt antagande) Svar a) 38 b) = R, arean R =0.,,,, 0, Alltså, =, = 38 ( enligt antagande) Svar b) 38 Uppgift 5. Beräkna volymen av den kropp som definieras av a) K = {(, y, z) : 0, 0 y, 0 3 + y+ z e } b) K = {(, y, z) : 0, 0 y, e + + 3y + z e + + 3y + 5} Svar: a) Funktionen, 3 + y + e är icke negativ på. ärför, e 3 + y+ b) Vi betecknar, 3,, 3 5 Kroppen K ligger mellan två ytor, och, där,, på. 6 av 7

,, 4 4 4 8 Ovanstående egenskaper kan enkelt bevisas med hjälp av dubbelintegralens definition (Riemannsummor). Som ett eempel bevisar vi i nedanstående uppgift. Uppgift 6. Bevisa ovanstående egenskap :. Bevis: nligt antagande är, för,. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) i ändligt antal mätbara, ej överlappande, delmängder i i väljer en godtycklig punkt ( i, y i ). och i varje För tillhörande Riemannsumma gäller, Alltså har varje Riemannsumma konstant värde = Arean(). ärför dubbelintegral har också samma värde Arean()., lim, lim lim Arean arean, vad skulle bevisas. 7 av 7