Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer

Kapitel System av ordinära dierentialekvationer Vi skall här studera första ordningens homogena system av linjära dierentialekvationer med konstanta koecienter. Huvudvikten läggs vid fallet att systemets matris är diagonaliserbar. Det generella fallet berörs endast översiktligt i sektion 4... Inledande eempel I detta kapitel skall vi studera ett allmänt system av ordinära dierentialekvationer av formen 8 >< > (t) =a (t) +a (t)++ a n n (t); (t) =a (t) +a (t)++ a n n (t); n (t) =a n (t) +a n (t)++ a nn n (t); (.) där a ij är konstanter och < t <. Vi kommer ofta att anta att funktionerna (t);; n (t) är givna vid (tiden) t =, så att () = c ; () = c ;; n () = c n (.) För att göra det lättare att beskriva den allmäna teorin inför vi några naturliga beteckningar. Vi avstår till en början från att skriva utvariabeln t. Skriver vi avser vi alltså (t). Vidare inför vi matrisbeteckningar

KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER = 6 4. n 7 ; = 6 4. n 7 ; c = 6 4 c c. c n 7 ; 6 4 a a a n a a a n a n a n a nn 7 Systemet (.) kan då skrivas = A; medan begynnelsevillkoren (.) får formen () = c. Eempel (En tidskontinuerlig populationsmodell med två djurarter) Låt = (t) beskriva storleken vid tiden t av en djurart som är bytesdjur för en viss rovdjursart. Rovdjurspopulationens storlek beskrivs av funktionen y = y(t). Vi skall nu ställa upp en enkel matematisk modell för samspelet mellan dessa två djurarter. Vi antar att om rovdjursarten inte fanns så skulle bytesdjurens tillväthastighet vara proportionell mot storleken av populationen bytesdjur, d.v.s. = a. Närvaron av rovdjursarten minskar emellertid tillväten. Vi antar att tillvätminskningen är proportionell mot rovdjurspopulationens storlek så att = a, by. Utan bytesdjuren skulle rovdjursarten dö ut. Vi antar att y =,d y om =. Men eistensen av bytesdjur gör att rovdjursstamen kan väa till sig med en hastighet som är proportionell mot storleken av populationen bytesdjur. Vi antar således att y = c, dy. Samspelet mellan de två djurarterna beskrivs således i denna modell av systemet = a, by; y = c, dy; Eempel Betrakta tre tankar som innehåller saltlösningar i olika koncentrationer. Vattnet kan öda mellan tankarna. I följande diagram anger talen a jk andelen salt som

.. INLEDANDE EXEMPEL ödar från tank nr j till tank nr k (per tidsenhet). a a TANK a TANK TANK a a a Låt nu j (t) vara saltmängden i tank j vid tiden t. Vi antar att saltmängden vid tiden t =är känd i de tre tankarna, så att j () = c j. Tillväthastigheten för saltmängden i tank är då =,(a + a ) + a + a På samma sätt är =,(a +a ) +a +a och =,(a +a ) +a +a. Vi får alltså systemet 8 < =,(a + a ) +a +a ; a,(a + a ) +a ; a +a,(a + a ) ; där () = c ; () = c ; () = c Eempel Betrakta ett linjärt system av ordningen, d.v.s. = a + a ; = a + a Om man erar värdena vid tiden t =, så att () = c ; () = c ; så kommer ( (t); (t)) att beskriva en kurva i planet med början i (c ;c ). Denna kurva har tangentriktningen ( ; )=(a + a ;a + a ) i punkten ( ; ). Genom att rita ut dessa tangentriktningar kan man få en uppfattning om hur lösningskurvorna ser ut. I guren nedan har vi riktat ut riktningsfält och en lösningskurva för systemet

4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER =, + ; =,, 4 - - - -4 - -4-4 Eempel 4 En andra ordningens linjär dierentialekvation y + ay + by =kan skrivas som ett första ordningens system. Sätt nämligen = y; = y Då är = y = och = y =,ay, by d.v.s. =,a, a. Alltså är y + ay + by =() = ; =,b, a Övningar (avsnitt.). Följande gur beskriver utbytet av ett giftämne mellan tre sjöar. Vid tiden t = nns kg av giftämnet i den första sjön. Skriv upp ett system av ordinära dierentialekvationer som beskriver har utbytet av giftämnet går till. % % Sjö % % Sjö % Sjö %. Systemet = =, + är ekvivalent med en andra ordningens linjär homogen dierentialekvation. Utnyttja detta för att nna alla lösningar till systemet.

.. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR. Antag att n n-matrisen A har egenvärdet. Visa att systemet = A har minst en icke-trivial lösning som är konstant. 4. Skriv ekvationen y +y +y + ry =som ett system genom at införa de nya funktionerna = y; = y ; = y. Systemet = A, A diagonaliserbar Vi påminner läsaren om denitionen av egenvärden och egenvektorer till en matris A. Ett tal (reellt eller komplet) är ett egenvärde till A om det nns en vektor v sådan att Av = v; v 6= (.) Varje sådan vektor v kallas en egenvektor till egen värdet. Systemet (.) är ekvivalent med det homogena systemet (A, I)v =. Därför är ett egenvärde då och endast då detta homogena system har en icke-trivial lösning. Det innebär att är ett egenvärde då och endast då är en rot till ekvationen det(a, I) = (.4) (Läsaren har möjligen sett (.4) skriven på formen det(i, A) =, men det är bara en ekvivalent beskrivning ty det(i, A) =(,) n det(a, I). Eftersom det(a, I) är ett polynom av graden n så nns n rötter, d.v.s. n egenvärden, varav då vissa kan vara lika. Antag nu at ;; n är egenvärdena till A. Till varje egenvärde ordnar vi då en egenvektor. Om f j är en egenvektor till egenvärdet j så gäller alltså Af j = j f j ; f j 6= Vi säger att A är diagonaliserbar om vi kan välja egenvektorerna f ;;f n bildar en bas i R n kan då på ett entydigt sätt skrivas = d f + + d n f n. så att de Sats Antag att A är diagonaliserbar med egenvärdena ;; n och att f ;;f n är en bas av motsvarande egenvektorer till A. Då kan varje lösning till systemet = A skrivas = d e t f + d e t f + + d n e nt f n ;

6 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER där d ;d ;;d n är godtyckliga tal. Bevis Om = (t) är en godtycklig vektor i R så kan vi på ett entydigt sätt skriva = (t)f + (t)f + + n (t)f n Om nu Af j = j f j så är (t)af + (t)af + + n (t)af n = = (t)f + (t)f + + n n (t)f n Vidare är = (t)f + (t)f + + n (t)f n Därför är systemet = A ekvivalent med likheterna j (t) = j j (t); j =; ;;n Enligt Sats. har dessa ekvationer lösningarna j (t) =d j e jt ; j =; ;;n Detta ger satsen. Eempel Vi skall lösa systemet = A; () = c, om, 9 4, ; c = Den karakteristiska ekvationen är,,,9 4,, =( +), 6=

.. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR 7 Egenvärden är alltså =,7; =. För at nna motsvarande egenvektorer f och f löser vi systemen ( j I, A)f j =. Omj =är detta systems totalmatris 6 9 4 6 Alltså kan vi välja t.e. f = (;,). Analogt får vi f = (; ). Enligt sats. är lösningarna till = A alltså = d e,7t f + d e t d e,7t +d e t f =,d e,7t +d e t Här kan d och d väljas fritt. Begynnelsevillkoret () = c ger emellertid att () = d +d =,d +d Detta ger d =,=;d ==. Den sökta lösningen är alltså (t) =, 4 e,7t + 4 et, 6 e,7t + 6 et d.v.s. (t) =, 4 e,7t + 4 et ; (t) =, 6 e,7t + 6 et Eempel Vi försöker lösa systemet = A, där 9 4 4, 4,,, Detta är en symmetrisk matris. Eftersom alla sådana matriser är diagonaliserbara kommer vi att lyckas när vi försöker använda Sats.. Vi beräknar först egenvärdena till 9A. Egenvärdena till A får vi sedan genom att dividera med 9., 4, 4,,,,, = 9, (9, ) 9, (9, ),,, =(9, ) (8, )

8 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Matrisen A har alltså egenvärdena,,. Vi söker nu egenvektorerna. = = Egenvektorerna ligger alla i planet +, =. Som egenvektorer kan vi t.e. välja f =(;,; ); f =(; ; ) = Eftersom matrisen är symmetrisk måste varje egenvektor till egenvärdet vara orgogonal f och f d.v.s. mot planet +, =. Därför är f normal till detta plan. Vi kan alltså ta f =(; ;,). Vi har nu att lösningarna till systemet = A är = d e t f + d e t f + d e t f = 4 d e t +d e t (,d + d )e t +d e t d e t,d e at där d ;d ;d kan väljas godtyckligt. Eempel Även komplea egenvärden och egenvektorer kan förekomma. Här ett eempel på det. Vi sätter,,9 4, Vi har då att,, 9 4,, =( +) +6 Egenvärdena är därför =,,6i; =,+6i. För att beräkna motsvarande komplea egenvektorer skall vi lösa systemen ( j I, A)f j =. För j =får vi ett system med totalmatrisen 6i,9 4 6i En egenvektor är f = (; i). Som egenvektor till egenvärdet, +6i kan vi välja f =(,; i). Systemet = A har alltså lösningarna (t) =e,t (d e,6it f + d e 6it f )=e,t d e,6it, d e 6it id e,6it +id e 6it

.. SYSTEMET X = AX, A DIAGONALISERBAR 9 Om vi enbart är intresserade av reella lösning måste vi skriva om denna lösning. Observerar vi att får vi e 6it = cos(6t) +i sin(6t) e,6it = cos(6t), i sin(6t) ed e,6it, ed e bi = e((d, d ) cos(6t), i(d + d ) sin(6t)) id e,6it +id e 6it = (i(d + d ) cos(6t) +(d, d ) sin(6t)) Här kan vi välja d ;d godtyckligt, även med komplea värden. Sätt då d, d ; B = i(d + d ) dvs Det betyder att d = (A, ib); d =, (A + ib) varav d e,6it, d e 6it = (A cos(6t), B sin(6t)) id e,6it +id e,6it = (B cos(6t) +A sin(6t)) (t) =e,t (A cos(6t), B sin(6t)) (B cos(6t) +A sin(6t)) Även här kan vi välja A och B fritt. Tar vi då A och B reella blir lösningen (t) också reell. Övningar (avsnitt.). Lös följande två system a) b) =6 +y; () = ; y =, + y; y() = ; =, y; ()=; y =, y; y() =. Matrisen till följande system har egenvärden ; ;,. Finn alla lösningar!. Sätt 8 < = + =, =, + 4,,, ; C = 4 Visa att A har egenvärdena, och, p.använd detta för att lösa begynnelsevärdesproblemet = A; () = c

KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 4 Betrakta systemet = A + b. Antag att A är diagonaliserbar med egenvärdena ;; n och motsvarande egenvektorer f ;f n. Visa att alla lösningar kan skrivas där (t) =d e t f + + d n e nt f n + p (t) p (t) = (t)f + + n (t)f n Bestäm sedan (t);; n (t) uttryckta med hjälp av b och egenvärdena ;; n. Antag att A är en diagonaliserbar n n-matris och att f ;;f n är en bas av egenvektorer med negativa egenvärden,! ;;,! n. Betrakta systemet = A. Visa att varje lösning kan skrivas (t) = nx j= (c j cos(! j t)+d j sin(! j t))f j ; där c j ;d j är godtyckliga konstanter.. Diskussion i det allmänna fallet I resten av detta kapitel skall vi diskutera systemet = A utan att göra några speciella antaganden om matrisen A. I denna sektion tänker vi beskriva i stora drag har teorin är uppbyggd. En huvudroll spelar här Cayley-Hamiltons sats. Betrakta begynnelsevärdesproblemet = A; () = c (.) Antag att är en lösning till (.). Då är funktionerna ;; n deriverbara på [; ). Därför ger (.4) dels att () = A() = Ac, dels att = A = A A Det följer att () = A c. Upprepad derivation ger sedan att (k) () = A k c; k =; ; ; Man kan här komma att tänka påtaylors formel. uppfyller vissa förutsättningar) så gäller Om y är en skalär funktion (som y(t) =y() + ty () + t! y () + t! y() () +

.. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Nu tillåter vi oss at utan vidare kommentar tillämpa denna formel på den vektorvärden funktionen. Vi får då (t) = () + t () + t! () + t! () () + = = c + tac + t! A c + t A c +! Sätter vi A = I = enhetsmatrisen av typ n n, kan vi skriva (t) =(I + ta + t! A + t! A + )c Med tanke på eponentialfunktionens Taylorserie e ta =+ta + t! a + t! a + = X k= t k k! ak ; är det naturligt att nu sätta e t+ta + t! A + t! A + = X k= t k k! Ak (.6) Lösningen till (.) skulle då helt enkelt skrivas (t) =e ta c. Man kan bevisa följande allmänna sats. Sats Låt A vara en n n-matris. Då har systemet (t) =A(t); t> () = c en entydigt bestämd lösning för varje c R n. Denna lösning kan skrivas (t) =e ta c = X k= t k k! Ak c Vi avstår från att genomföra beviset. Låt oss i stället diskutera hur satsen kan användas för att i praktiken beräkna (t). I princip måste man tydligen beräkna A k för varje naturligt tal k, för att därefter beräkna e ta. Detta verkar vara en övermänsklig uppgift.

KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Om A är diagonaliserbar kan vi emellertid enkelt beräkna (t) (och därmed indirekt även e ta ) med hjälp av sats.. Detta förhållande antyder att uppgiften att beräkna e ta trots allt inte behöver vara omöjlig. Om A är en godtycklig n n-matris denierar vi det karakteristiska polynomet P A (z) för A genom P A (z) = det(zi, A) Som bekant är nollställena till P A följande viktiga sats. lika med egenvärdena till matrisen A. Man kan visa Sats (Cayley-Hamiltons sats) Låt A vara engodtyacklig n n-matris och låt P A (z) =z n + a n, z n, + + a z + a vara dess karakteristiska polynom. Då är P A (A) =A n + a n, A n, + + a A + a I = Poängen med Cayley-Hamiltons sats är att man kan uttrycka alla potenser A k med hjälp av enbart I;A;;A n,. Satsen ger ju att A n =,a n, A n,,, a A, a I Det betyder att A n = q n (A) där q n är ett polynom av grad <n. Genom att multiplicera båda leden med A; A ;A ; osv. kan man visa at A n+ ;A n+ ; på liknande sätt kan skrivas som polynom i A av grad <n. Det följer att även e ta är ett polynom i A av grad <n. Vi nöjer oss här med att behandla -matriser. Proposition Låt A vara en godtycklig -matris med egenvärdena gäller och. Då 6= ) e t (e t (A, I), e t (A, I));, = ) e t e t (I + t(a, I)) Bevis av den andra formeln

.. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Sätt = = och (t) =e t (I + t(a, I))c Uppenbarligen gäller () =. Det räcker därför att visa att = A, ty då ger sats. att (t) =e ta c vilket ger resultatet. Först deriverar vi och får = e t ( + t(a, I))c + e t (A, I)c = = e t (A + t(a, I))c Vi jämför nu detta med e t (A + t(a, A))c Det karakteristiska polynomet för A är P A (z) = (z, ) = z, z +. Cayley- Hamiltons sats ger att A, A + I =dvs A, (A, I). Därför är e t (A + t(a, I))c dvs = A. Detta visar den andra formeln. Eempel Beräkna e ta och lös begynnelsevärdesproblemet = A; = c om 4 ; c = Lösning Det karakteristiska polynomet är z,,, z, 4 = z, z, 6=(z + )(z, 6) Vi har alltså två olika egenvärden =, och =6. Således är e t, 7 e,t (A, 6I) + 7 e6t (A + I) = = e,t +e 6t,e,t +e 6t 7,e,t +e 6t e,t + te 6t

4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Därför är den sökta lösningen = e t e,t +e 6t,e,t +e 6t 7,e,t +e 6t e,t +e 6t = e,t +4e 6t 7,e,t +e 6t = Lösningen till begynnelsevärdesproblemet = + ; ()=; = +4 ; ()= är alltså (t) = 7 e,t + 4 7 e6t (t) =, 7 e,t + 7 e6t Eempel Beräkna e ta om, Lösning Det karakteristiska polynomet är z, z, = z, z +=(z, ) Här nns bara ett egenvärde = =. Därför blir (, t)e t te e t e t (I + t(a, t I)) =,te t ( + t)e t Eempel Metoden att beräkna e ta fungerar även om egenvärdena är icke-reella. Här ett eempel på det. Sätt, då är z, z, =(z, ) +

.. DISKUSSION I DET ALLMÄNNA FALLET Egenvärdena är alltså =, i p ; =+i p. Därför är e t i p et [,e pt,i (A, ( + i p p )I) +e i t (A, (, i p )I] = p = p e t [sin( t) (A, I) + p p cos( t) I] Övningar (avsnitt.). Bestäm e ta för följande två matriser,,6 a) 6,8,6 b) 9 6. Sätt visa att Lös i vart och ett av fallen begynnelsevärdesproblemet = A; ()=; () =,. e t, cos(t) sin(t), sin(t) cos(t) Sätt sedan B =, och beräkna e tb på en eller två rader.. Sätt Visa at A =och beräkna sedan e ta. 4. Sätt Beräkna e ta. 4 4 4 p q r

6 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER.4 Asymptotiskt uppträdande Låt ((t);y(t)) vara en lösning till systemet = a + by; y = c + dy (.7) När t varierar kommer ((t);y(t)) att genomlöpa en viss kurva iy-planet. En sådan kurva kallas en bana till systemet (.7). Eftersom lösningarna eisterar för alla t så låter vi t variera över hela reella aeln, men vi är primärt intresserade av vad som händer då t! +. Till varje lösning till (.6) hör alltså en bana. Olika lösningar kan emellertid ge uphov till samma bana. Låt nämligen ((t);y(t)) beskriva en viss bana, och sätt = ();y = y(). Vi denierar nu ~ och ~y genom att sätta ~(t) =(t, t ); ~y(t) =y(t, t ) Då är (~; ~y) en lösning till (.6) sådan att (~; ~y(t)) också beskriver banan,. Skillnaden ligger i vid vilken tidpunkt som punkten ( ;y ) passeras. I den första beskrivningen av, passeras ( ;y ) vid tiden t =. I den andra passeras ( ;y ) vid tiden t = t, eftersom ~(t )=() = ; ~y(t )=y() = y. För varje val av punkt ( ;y ) nns det precis en bana, som passerar genom ( ;y ). Det nns nämligen precis en lösning ((t);y(t)) till (.7) sådan att (();y()) = ( ;y ). Vi skall nu studera hur banorna till systemet (.7) uppträder då t!för olika värden på koecienterna. Vi avstår från att presentera en heltäckande teori och nöjer oss med att ge några representativa eempel. I dessa eempel spelar naturligtvis egenvärdena till systemet en entral roll. Egenvärdena ges av ekvationen, + = där = a + d ; = ad, bc (.8) Egenvärden till (.7) är därför =, p, ; = + p, Eempel (Egenvärdena icke-reella) Vi betraktar systemet

.4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 7 = a + y y =, + ay Då är = a; = a +. Egenvärden blir alltså = a, i; = a + i. Eftersom egenvärdena är olika måste systemmatrisen A vara diagonaliserbar. Eftersom,i,i A, I = A, I =,,i i, i i kan vi som egenvektorer välja f = i ; f =,i Lösningarna till systemet kan alltså skrivas = d y e (a+i)t i + d e (a,i)t = e at d e it + d e,it id e it, id e,it =,i = e at (d + d ) cos(t) +i(d, d ) sin(t) i(d, d ) cos(t), (d, d ) sin(t) Sätter vi d + d och B = i(d, d ) får vi = e at (A cos(t) +B sin(t)) y = e at (B cos(t), A sin(t)) Tar vi här A och B reella blir lösningarn reella. För att studera lösningarna närmare sätter vi p R = A + B Eftersom nns det en vinkel ' så att ( A R ) +( B R ) = = Då blir cos(') = A R ; sin(') =B R A cos(t) +B sin(t) =R(cos ' cos A) + sin(') sin(t)) = R cos(', t) och B cos(t), A sin(t) =R(sin(') cos(t), cos(') sin(t)) = R sin(', t)

8 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Det betyder att lösningarna är (t) =Re at cos(', t) y(t) =Re at sin(', t) I fallet a =blir (t) =R cos(', t); y(t) =R sin(', t) Det innebär att banorna för systemet är cirklar som genomlöps medurs. Phase plane of system lineard 4 y - - - -4 - - -4 - - - 4 a<, stabil spiral (en bana) y Om a 6= blir banorna istället spiraler, innåtriktade om a < och utåtriktade om a >. (Se gurer!) Lösningarna kan alltså skrivas (t) =Re at cos(', t); y(t) =Re at sin(', t) Om a< är banorna spriraler som går in mot origo i negativ orientering. Om a> är banorna spiraler som går ut mot oändligheten. Phase plane of system lineard 4 y - - - -4 - - -4 - - - 4 a =, centrum, (flera banor) y

.4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 9 Phase plane of system lineard 4 y - - - -4 - - -4 - - - 4 a>, instabil spiral (en bana) y I följande gurer har vi dels ritat ut banor, dels också riktningsfältet för systemet. Vi har alltså valt ett rutnät av punkter och ivarje punkt i detta rutnät har vi ritat en pil som anger tangentriktningen ( ;y )=(a + y;, + ay). Eempel (Reella egenvärden) Betrakta systemet = a + y y = + ay Här är egenvärdena = a, ; = a +. Läsaren övertygar sig lätt om att lösnigarna har formen (t) =Ae (a,)t + Be (a+)t y(t) =,Ae (a,)t + Be (a+)t Om vi vill studera vad som händer då t!är det naturligt att skilja på tre huvudfall, nämligen a<,;, <a< och a>. Dessutom har vi gränsfallen a =, och a =. Om a<, har vi att (t)! och y(t)! då t!, oberoende av valet av A och B. Om a> kommer j(t)j!och jy(t)j!då t!(utom i fallet B =). Om, <a< blir uppträdandet beroende av A och B. I fallet B =komer (t)! och y(t)!. Annars kommer j(t)j!och jy(t)j!. Eempel Betrakta eemplet i övning till avsnitt., alltså systemet = A; () = c 4,,,4 ; c = 4 Genom att utnyttja att varje kolonn har summan noll kan man ganska lätt få fram matrisens egenvärder.,,,,,4, =,,,,,,4, =

KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER =,, 4, =,,,,,6, =,(( +)( +6) + ) =, ( +4)( +) Egenvärdena är alltså ;,4 och,. Därför kan varje lösning skrivas (t) =d f + d e,4t f + d e,t f ; där f ; f ; f är egenvektorer till respektive egenvärden. Det följer att Läsaren övertyger sig lätt om att (t)! d f då t! f = 4 är en egenvektor till egenvärdet. Eftersom kolonnsumman i A är noll måste vi ha att (t) + (t) + (t) = för alla t = Därför är (t) + (t) + (t) =c + c + c = för alla t. Det följer att Eftersom (t)! d f följer det till slut att lim (t) + lim (t) + lim (t) = t! t! t! Således har vi att d (++)=4d = ; dvs d = (t)! 4 ; då t!

.4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE. Betrakta systemet = + by; () = Övningar (avsnitt.4). Betrakta systemet =, +y; () = a Bestäm y =, y; y() = b lim (t) och lim y(t) t! t! där b>. Bestäm gränsvärdena y = b +y; y() = y lim t! e,(+b)t (t); lim t! e,(+b)t y(t). Betrakta systemet =, + y y =,, y Rita den bana som passerar genom (; ). 4. Matriser 4,,, har egenvärdena ;,;,. Finn lim (t) om t!, A; () = 4. I ett sjösystem med tre sjöar, Äckeln, Päckeln och Sliskeln sker ett kontinuerligt utbyte av giftämnet viskofrenol. Ämnet överförs enligt följande gur, där sirorna anger andelar av ämnet som överförs per tidsenhet. Äckeln. Sliskeln... Päckeln

KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Vid en viss tidpunkt har man upp följande mängder viskofrenol Äckeln, Päckeln, Sliskeln 8 Hur blir den långsiktiga fördelningen av viskofrenol mellan de tre sjöarna (dvs vad händer då t!). 6. Betrakt systemet 8 < =,, y + z; () = y =,, y + z; y() = z = + y, z; z() = Systemets matris har egenvärden ; ;,. Bestäm lim (t); lim y(t) och lim z(t) t! t! t! 7. Låt A vara en diagonaliserbar matris vars alla egenvärden är <. Visa att det för varje lösning till = A gäller lim (t) =. t! Svar. = A; () = c där 4,,,4 ; c = 4. (t) =(c t + c )e t (t) =(c t + c + c )e t. Om f är en egenvektor till egenvärdet så är (t) =f en konstant lösning. 4. 8 < = =, =,4,, Svar (avsnitt.). (a) (t) =e t, e t ;y(t) =,e t +e t (b) (t) = cos(t) + sin(t); y(t) = sin(t).. 8 < =,d e,t +d e t= +d e t =d e,t +d e t=, d e t =d e,t, d e t= +d e t. (t) = e,t 6 4 et p + e,t p p p e t, p p e,t e t p + e,t p 7

.4. ASYMPTOTISKT UPPTRÄDANDE 4. Om b = f + + n f n är ( j t om j = j (t) = j e j t, j om j 6= Svar (avsnitt.) (t) =,e t +e 7t. (a) (t) =e t, e 7t (t) =e 4t (+4t) (b) (t) =e 4t (,, t) cos(t) sin(t). e tb = e t, sin(t) cos(t). e t 4. e t 4 t 4t + t = t 4 etp e tq e tr Svar (avsnitt.4). lim (t) = (a + b); lim t! y(t) = (a + b) t!. lim t! e,(+b)t (t) = lim t! e,(+b)t y(t) = ( + y ). Phase plane of system lineard 4 (,) y - - - -4 - - -4 - - - 4 y

4 KAPITEL. SYSTEM AV ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 4. lim (t) = 4 t!. 8 < Äckeln (=7) 4 Päckeln (=7) 4 Sliskeln (=7) 4 6. lim (t) = t! 4 7. Använd sats..