Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys
Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla funktioner Enkla beräkningar, periodiska, integration och derivation ger oftast en annan sinus eller cosinus 2
Olika typer av signaler Deterministisk Stokastisk Periodisk Icke-periodisk Analog Digital Kontinuerlig Diskret 3
Deterministisk/Stokastisk Periodisk/Icke-periodisk Hela signalen kan förutsägas, utifrån en del av signalen En deterministisk signal är oftast periodisk 4
Analog/Digital Kontinuerlig/Diskret Analog Amplitudkontinuerlig Tidskontinuerlig Amplituddiskret Tidskontinuerlig Digital Amplitudkontinuerlig Tidsdiskret Amplituddiskret Tidsdiskret 5
Enkel signalanalys Medelvärde Kontinuerlig signal - integration mean T T 0 x( t) dt Diskret signal - summering Varians mean m x i i 0 Beskriver hur mycket funktionen förändras runt medelvärdet m 2 var σ T T 0 ( x i x mean ) var 2 dt σ 2 m i 0 m ( x i x mean ) 2 6
Amplitudegenskaper för sinussignal En sinusformad signal med periodtiden T och frekvensen f kan beskrivas genom sin amplitud A u ( t) A sin(2π f t) Man kan enkelt beräkna DC-nivå och effektivvärde (RMS) för varje periodisk funktion u DC T T 0 u( t) dt u RMS T T 0 u( t) 2 dt 7
Effekt i sinussignal Effekt i sinussignal: Effekt i Brus-signal: Vid signalberäkningar sätter man ofta R och får 2 alltså P Brus σ Signal-Brus förhållande: P U SINUS RMS 2 U R RMS σ P brus 2 σ R SNR U R 2 RMS /σ 2 8
Signalanalys Amplitudanalys Vilka amplituder finns i signalen? Frekvensanalys Vilka frekvenser finns i signalen? 9
Täthetsfunktion Probability Density Function (PDF) Amplitudtäthetsfunktion y+dy y Sannolikheten att signalen har en viss amplitud i ett intervall (y till y+dy) dq dt+ dt2 + lim T T... dt dt 2 0
Sannolikheten beror av dy, varför vi inför: Amplitudtäthetsfunktionen: dq p ( y) Vidare sannolikheten att signalens amplitud ligger i intervallet a till b: P ( a < y < b) p( y) dy b a dy
Några viktiga samband En signals medelvärde (mean, expected value) och dess effektivvärde eller standardavvikelse σ y medel p( y) y dy y eff σ y E{} y ( effektivvärde) y eff 2 p {[ y E[ ]] 2 } 2 2 ( y) ( y ymedel ) dy σ y E y 2
3 3... ) arcsin( ) ( 0.5) ( 0.5 0.5 2 0.5 < y dy y dy y p y P π π 2 ) ( y y p π
Cumulative Density Function (CDF) Integration av PDF Går från 0 till cdf ( y) pdf d( cdf ) pdf dy y ( t) dt 4
Gaussfördelning Kallas också normalfördelning Standard normalfördelning µ0 σ 2 5
6 Korrelation Används för att hitta en signal i en annan Ett mått på hur lika två signaler är Autokorrelation en signal jämförd med sig själv + 0 ] [ ] [ ) ( N k xy j k y k x j R + 0 ] [ ] [ ) ( N k xx j k x k x j R
Frekvensanalys Exempel 7
Frekvenser i ljudklippet 8
Relation mellan tid och frekvens 5 0.2 9
>99% av signaleffekten i frekvens- Intervallet 0-0.05 20 0.05 Relation mellan tidsplanet och frekvensplanet Smalt i tid brett i frekvens, vice versa 20
Fourierserier Alla periodiska signaler Likspänning ett antal sinus eller cosinus spänningar u( t) a 0 + ( an cos 2πnf0t + bn sin 2πnf0t) n Man kan visa att varje periodisk tidskontinuerlig signal med periodtiden T kan byggas upp av deltoner. Dessa toner har frekvens k*ω 0 där k är ett heltal och ω 0 2π / T 2
Jämna eller udda Jämna funktioner innehåller bara likspänning och cosinus Symmetri runt y-axeln Udda funktioner innehåller bara likspänning och sinus Symmetri runt både y-axeln och x-axeln 22
Korta pulser Viktiga vid telekommunikation Digitala signaler är ofta korta pulser, och 0 Frekvensspektrat (fouriertransformen) blir en sinc-funktion sinc( x) sin( πx) ( πx) 23
Fourierserie för fyrkantsvåg Ex: Fourier-Serie för fyrkant-våg med frekvens 2 och amplitud 24
25 Uppdelning i grundton och övertoner + + +... ) sin(0 5 ) sin(6 3 ) sin(2 4 ) sin(2 4 ) (,3,5,... t t t t k k t x N k π π π π π π
delton Grundtonen * ω 0 6 deltoner: (,3,5,7,9,)*ω 0 Tid Tid För att återge snabba förändringar krävs många deltoner För att återge snabba förändringar krävs stor bandbredd 26
ω 0 ω 0 ω 0 27
28 Tidskontinuerlig Fourierserie x(t) och X[k] bildar ett Fourier-par t k j e k X t x 0 ] [ ) ( ω t k j T e t x T k X 0 ) ( ] [ ω > < ] [ ) ( k X t x
Icke-periodiska signaler Periodiska signaler kan användes för att testa funktionen hos ett system, men är inte särskilt intressanta i sig. Teorin för kontinuerliga och tidsdiskreta Fourier-serier kan emellertid utvecklas till gälla även icke-periodiska signaler. 29
Tidskontinuerlig Fouriertransform x( t ) X ( jω ) 2π e j ω t dω X ( jω ) x( t ) e j ω t dt x( t ) X ( jω ) 30
Insignalen är kontinuerlig och icke-periodisk Beskrivningen i frekvensplanet är inte periodisk Beskrivningen i frekvensplanet är ibland svår att beräkna eftersom den bygger på integrering 3
Fast Fourier Transform (FFT) Frekvensanalys av en okänd signal görs i praktiken alltid med datorstöd. Med datorer är det naturligare att summera istället för att integrera och man bör därför använda en metod som enbart kräver summering och multiplikation. Fast Fourier Transform (FFT) 32
Analoga signaler? Om signalen är analog måste den först samplas i N st. punkter med tidsintervall T Man kan sedan beräkna frekvensinnehållet i signalen för intervallet 0 till f s [Hz], där f s är samplingsfrekvensen /T 33
Val av samplingstiden T T ( samplingstiden ) måste väljas så att att man får minst 2 sampel på varje period av högsta frekvenskomponenten f max i signalen. /T f s >2 f max Om f max inte är känd måste den analoga signalen filtreras så att inga frekvenskomponenter > f s /2 finns kvar vid samplingen. 34
Val av antalet sampel N Om man gör frekvensanalys på N sampel kommer man att kunna beräkna frekvensinnehållet i N st. frekvenser på intervallet 0 till f s. Frekvensupplösningen blir f s /N [Hz]. Vid givet f s styrs alltså valet av antal sampel av den frekvensupplösning man önskar. 35
Laboration A407 MATLAB Intro imorgon MATLAB-stödpåhemsidan Exempel på hemsidan 36