Soa Svensson. LiTH-MAT-EX2017/06SE

Loala dimensioner och radiella viter i R n Matematisa institutionen, Linöpings universitet Soa Svensson LiTH-MAT-EX2017/06SE Engels titel: Högsolepoäng: Nivå: Handledare: Examinator: Local dimensions and radial weights in R n 16 hp G2 Linöping: Maj 2017 Jana Björn, Matematisa instutionen, Linöpings universitet Anders Björn, Matematisa institutionen, Linöpings universitet

Sammanfattning Det är ofta användbart att beräna eller uppsatta apaciteter för olia parametrar och mängder. Det an vara till exempel vid hantering av sobolevfuntioner eller vid undersöning av partiella dierentialevationer. För ringområden i det vanliga rummet går detta att göra exat, men för att unna uppsatta apacitet i vitade rum behöver man fyra exponentmängder Q, S, Q och S till hjälp. Med dessa an man i princip redogöra för beteendet hos apaciteten av olia ringområden ring en x punt. Det nns många möjliga ombinationer av hur de fyra exponentmängderna an se ut, men det är olart precis vila ombinationer som är möjliga. Genom att ta fram nya exempel på ombinationer av mängderna an vi få större ännedom om vila ombinationer som är möjliga, och på så sätt unna dra större nytta av dem. För att hitta nya sammansättningar utgår vi från önsade exponentmängder och undersöer om det går att ta fram baomliggande viter som genererar dem. Sedan tidigare nns nio exempel på ombinationer av exponentmängder. Dessa siljer sig åt vad gäller längden på intervallen som utgör dem och om ändpunterna tillhör intervallen eller ej. I den här rapporten har tre nya exempel på ombinationer av exponentmängder tagits fram. I alla tre exempel siljer sig Q och S bara i ändpunten, och vi har visat att det är möjligt att onstruera ett exempel där alla fyra mängder delar ändpunt, men där alla mängder utom S är öppna. Nycelord: Dimension, exponentmängd, apacitet, mått, radiell vit. URL för eletronis version: http://urn.b.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-138114 Svensson, 2017. iii

Abstract It is often useful to calculate or estimate capacities for dierent parameters and sets. This is the case for example when woring with Sobolev functions or when studying partial dierential equations. For annuli i R n this can be done exactly, but when estimating capacity in weighted spaces you need four exponent sets Q, S, Q and S. With these sets it is possible to describe how the capacity of dierent annuli around a given point behaves. There are many possible combinations of the four exponent sets, and it is not clear which combinations are possible. By generating new examples of combinations of the exponent sets we obtain a larger understanding of which combinations are possible, and are thus able to use them more eciently. To nd new examples we start from the desired exponent sets and investigate if one can produce an underlying weight that generates them. Earlier, there were nine examples of combinations of exponent sets. These dier in terms of the length of the intervals that constitute them and whether the endpoints belong to the sets or not. In this thesis three new examples of combinations of exponent sets have been constructed. In all three of them, Q and S dier only in the endpoint, and we have shown that it is possible to construct an example where all four sets share the same endpoint, but all sets except S are open. Keywords: Capacity, dimension, exponent set, measure, radial weight. URL for electronic version: http://urn.b.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-138114 Svensson, 2017. v

Förord Först och främst vill jag taca min handledare Jana Björn för det stora engagemang hon har handlett mig med, och för all god feedbac hon har gett mig. Jag vill ocså taca min examinator Anders Björn för slutgiltig orreturläsning och goda råd. Mina två opponenter Miranda Holthov Frenell och Mathilda Widén sa ha stort tac för att de har tagit sig tid att läsa igenom mitt arbete och gett mig tips på hur jag an förbättra det. Slutligen vill jag taca min sambo Daniel Elund som har stöttat mig hela vägen och hjälpt mig att fousera på studierna. Svensson, 2017. vii

Terminologi Nedan listas och förlaras några av de matematisa symboler och funtioner som används i rapporten: R n Mängden av alla n-tiplar (x 1, x 2,..., x n ), där x 1, x 2,..., x n R. B r Öppna lotet med radie r och mittpunt i origo. w(x) En ice-negativ vitfuntion på R n, där n 1. µ(a) Måttet av en mängd A, där µ(a) = A w(x)dx. a b om det nns en onstant C > 0 sådan att a Cb. a b om det nns en onstant C > 0 sådan att a Cb. a b om både a b och a b. Att A B innebär att A är en (ej nödvändigtvis äta) delmängd av B. Att A B innebär att B är en (ej nödvändigtvis äta) delmängd av A. Att a A innebär att a tillhör mängden A. cap p Kapacitet, se denition 1. inf Inmum, se (1.3). sup Supremum, se (1.3). Svensson, 2017. ix

Innehåll 1 Inledning 1 1.1 Bagrund............................... 1 1.2 Teori.................................. 2 1.3 Tidigare resultat........................... 8 1.4 Syfte.................................. 8 1.5 Metod................................. 9 2 Exempel 1: De undre mängderna ihop, varav en öppen och en sluten 11 2.1 Funtioner.............................. 11 2.2 Viten................................. 12 2.3 S-mängderna............................. 13 2.4 Q-mängderna............................. 14 3 Exempel 2: S-mängderna ihop och de övre mängderna isär 17 3.1 Funtioner.............................. 17 3.2 Viten................................. 18 3.3 S-mängderna............................. 19 3.4 Q-mängderna............................. 21 4 Exempel 3: Övre och undre mängderna isär 23 4.1 Funtioner.............................. 23 4.2 Viten................................. 25 4.3 S-mängderna............................. 25 4.4 Q-mängderna............................. 26 5 Avslutning 29 5.1 Resultat................................ 29 5.2 Disussion............................... 33 Svensson, 2017. xi

Kapitel 1 Inledning I det här apitlet ges bagrunden till arbetet och vilet syfte det sa uppfylla. Det nns ocså besrivet vila metoder som används. 1.1. Bagrund Ett vitigt tillämpningsområde till de exponentmängder som detta arbete behandlar är apaciteter. Att unna beräna eller uppsatta apaciteter för olia parametrar och av olia mängder an i många sammanhang vara av stor vit. Exempel på områden där apaciteter används är vid hantering av sobolevfuntioner och då randregularitet av lösningar till randvärdesproblem för partiella dierentialevationer studeras. Speciellt dyer exponentmängder upp vid uppsattning av p-apacitet för ondensatorer, eller variationsapacitet som det ibland allas. Denitionen för denna an till exempel hittas i Svensson [2] enligt: Denition 1. [2, Denition 1.2] Låt mängden K vara ompat i en öppen mängd Ω R n. Vidare låter vi 1 < p < vara en parameter. Kapaciteten cap p (K, Ω) fås då av att minimera p-energin u(x) p dx (1.1) Ω över alla tillräcligt släta funtioner u sådana att oliheten u 1 gäller i K och liheten u = 0 gäller utanför Ω. Att en funtion är slät innebär att den an deriveras tillräcligt många gånger. Här räcer det med en gång deriverbar, det vill säga att u är en C 1 - funtion på R n. Svensson, 2017. 1

2 Kapitel 1. Inledning Låt oss studera en fysis ondensator i R 3, vars plattor utgörs av den slutna mängden K och den öppna mängden Ω:s rand. Genom att låta p = 2 i (1.1) erhåller vi den eletrostatisa apaciteten av ondensatorn. Med tredimensionella mängder K och Ω an man på det sättet räna ut eller uppsatta apaciteten 1 av en ondensator. Ett specialfall av detta är en sfäris ondensator som består av två oncentrisa sfärer med radierna r och R och betecnas genom (B r, B R ), där B r är ett lot med centrum i origo. Dess p-apacitet cap p (B r, B R ) an man i det ovitade fallet i R n beräna exat, se HeinonenKilpeläinenMartio [4, Example 2.12]. Det har visats att det är dimensionen n av rummet i förhållande till p som bestämmer hur apaciteten an uppsattas. För p < n är det radien på den mindre sfären som ger apaciteten, r n p, medan det för p > n är den större sfärens radie, R n p. För p = n blir logaritmer inblandade. Kapacitet an även denieras på vitad R n och på metrisa rum. Vitad R n är R n utrustad med ett mått som ges av en vitfuntion. Mått är ett allmänt sätt att mäta volym, och här beränas alltså volymen med hjälp av en positiv vitfuntion. Dimensionen av rummet spelar roll här ocså, men för denna denition behövs utöver detta fyra exponentmängder Q, S, Q och S, som A. Björn, J. Björn och J. Lehrbäc introducerade i [1]. Dessa besriver hur volym av lot med olia radier förhåller sig till varandra, och med hjälp av dessa an man uppsatta apaciteten av olia ringområden ring en x punt. Dessa an ses som generaliseringar av sfärisa ondensatorer. I Theorem 1.1-1.2, Proposition 1.3 och Lemma 2.4 av BjörnBjörnLehrbäc i [1] förtydligas sambanden mellan exponentmängderna och apacitet då man visar hur man genom att veta måttet av lotet B r eller B R an uppsatta apacitet för olia parametrar. Fler nya exempel på ombinationer av exponentmängderna bidrar till större ännedom om vila ombinationer som är möjliga att ta fram. Med mer unsap om mängderna an man dra större nytta av dem då de sa användas i tillämpningar. I det här arbetet ommer betecningarna, och användas. Vi sriver att a b om det nns en onstant C > 0 sådan att a Cb, där C är oberoende av de inblandade parametrarna. Vidare sriver vi att a b om b a, och a b om a b a. 1.2. Teori I det här delapitlet listas de lemman, denitioner och satser som har använts vid onstruering av exemplen i det här arbetet. 1 I fysi allas detta för apacitans.

1.2. Teori 3 Vi inleder med denitionen av begreppet mått, som är ett allmänt sätt att mäta volymer av mängder i R n. Denition 2. [2, Denition 1.1] Låt w(x) 0 vara en vitfuntion på R n, där n 1, och låt en delmängd A R n vara mätbar. Då denieras måttet µ av A genom µ(a) = w(x) dx. A I arbetet ommer betecningen, µ(b r ), för måttet av ett lot B r med radie r, att användas. Vi ommer endast att studera lot med centrum i origo, och denierar ett sådant lot som B r = {x R n : x < r}. Om w 1, så är µ den vanliga volymen i R n. Med polära oordinater i R 2 fås till exempel att µ(b r ) = 1 dx = B r r 2π 0 0 1 ρ dρ = 2π r 0 [ ρ 2 1 ρ dρ = 2π 2 ] r 0 = πr 2, som ju är volymen i R 2. I R n är µ(b r ) = C n r n, där C n är måttet av enhetslotet. Ett exat värde av C n ges med hjälp av Γ-funtionen, se Corollary 2.55 i Folland [3]. I det här arbetet oncentrerar vi oss speciellt på radiella viter, det vill säga viter som endast beror på x. Då är w : (0, ) (0, ) bara en funtion av en variabel, och µ(a) = w( x ) dx. A Med hjälp av sambandet mellan funtionen µ(b r ) och viten w(ρ) an man få fram den ena från den andra. Med polära oordinater, då n=2, gäller att Sambandet i R n ges istället av µ(b r ) = 2π r 0 w(ρ) ρ dρ. r µ(b r ) = ω n 1 w(ρ) ρ n 1 dρ, där ω n 1 är ytmåttet av den (n 1)-dimensionella enhetssfären {x R n : x = 1}. 0

4 Kapitel 1. Inledning Till exempel är ω 1 = 2π, ω 2 = 4π, och så vidare, se Proposition 2.54 i Folland [3] för övriga n. Genom derivering av funtionen µ(b r ) följt av division med ω n 1 och multipliation med r 1 n an man alltså ta fram den baomliggande viten w(r) = r1 n d ω n 1 dr µ(b r). (1.2) Om w 1, så ger (1.2) tillsammans med µ(b r ) = C n r n att 1 = r1 n ω n 1 d dr µ(b r) = r1 n ω n 1 d dr C nr n = r1 n ω n 1 C n nr n 1 = 1 ω n 1 C n n, vilet resulterar i följande samband mellan C n och ω n 1 : ω n 1 = nc n. Vi fortsätter med denitionen av de fyra exponentmängderna som A. Björn, J. Björn och J. Lehrbäc [1] introducerat. Denition 3. [1] Låt µ vara ett mått på R n denieras exponentmängderna enligt och låt x = 0 vara xt. Då S := {q > 0 : C q så att µ(b r ) C q r q för 0 < r 1}, S := {q > 0 : C q > 0 så att µ(b r ) C q r q för 0 < r 1}, { Q := q > 0 : C q så att µ(b r) r q( µ(b R ) C R { Q := q > 0 : C q > 0 så att µ(b r) r q( µ(b R ) C R ) q för 0 < r < R 1 }, ) q för 0 < r < R 1 }. Denitionen ovan gäller runt origo. Linande mängder an denieras för övriga punter x R n ocså, men vi har valt att inte fousera på detta, och använder därför bara betecningarna S, S, Q och Q. I [1, Lemma 2.3] observeras att vi alltid har Q S och Q S. Det fastställs ocså att om S S, så är S = Q = (0, q] och S = Q = [q, ) för något 0 < q <. Exempel 4. Om µ är den vanliga volymen i R n, så ser vi att för 0 < r R 1 och 0 < q n gäller µ(b r ) = C n r n C n r q och µ(b r ) ( r ) n ( r ) q, µ(b R ) = R R

1.2. Teori 5 medan vi för 0 < r R 1 och q n erhåller µ(b r ) = C n r n C n r q och µ(b r ) ( r ) n ( r ) q. µ(b R ) = R R Exponentmängderna är då S = Q = (0, n] och S = Q = [n, ). Nedan följer en sats som visar hur intervallen de fyra exponentmängderna utgör an omma att se ut. Sats 5. [2, Sats 1.5] Om Q och Q är ice-tomma, är mängderna Q och S intervall av formen (0, q) eller (0, q], medan Q och S är intervall av formen (q, ) eller [q, ). I ett examensarbete på masternivå colorred har Hanna Svensson [2] härlett nedanstående lemman, som visar när ett intervall är en delmängd till en exponentmängd, och ocså när exponentmängder är delmängder till intervall. Då man har beränat måtten av lot i R n an man genom att uppsatta dessa få fram en exponent q (0, ) som tillhör någon av de fyra exponentmängderna. Eftersom r q r q och ( r R )q ( r R )q om q q och 0 < r R 1, får man följande lemma. Lemma 6. [2, Lemma 2.1] Låt 0 < q <. (a) Om q S, så är S (0, q]. (b) Om q Q, så är Q (0, q]. (c) Om q S, så är S [q, ). (d) Om q Q, så är Q [q, ). Ovanstående lemma resulterade i intervall som är delmängder till exponentmängder. Nu följer lemman där exponentmängder istället är delmängder av intervall. Lemma 7. [2, Lemma 2.3] Låt {r } =1 vara en positiv följd sådan att r 0 då. Låt vidare 0 < q <. Då gäller följande. 1. Om 0 < q < och µ(b r ) r q, för alla = 1, 2, 3,..., så gäller att exponentmängden S (0, q] och exponentmängden S [q, ). µ(b r ) 2. Om lim r q =, så är q S och därmed är S (0, q). µ(b r ) 3. Om lim r q = 0, så är q S och därmed är S (q, ).

6 Kapitel 1. Inledning Med hjälp av uppsattningar av voten mellan måtten µ(br) µ(b R ), där 0 < r < R 1, får man ett linande resultat som istället visar vad som gäller för Q- mängderna. Lemma 8. [2, Lemma 2.5 och orollarium 2.6] Låt 0 < q < samt antag att {r } =1 och {R } =1 är två följder sådana att 0 < r < R 1, för = 1, 2, 3,..., och lim r = lim R = 0. Antag vidare att gränsvärdet Då gäller följande: r lim = 0. R 1. Om µ(b r ) µ(b R ) ( r R ) q, så följer att Q (0, q] och Q [q, ). 2. Om lim 3. Om lim µ(b r ) µ(b R ) ( r R ) q µ(b r ) µ(b R ) ( r R ) q =, så är q Q och därmed är Q (0, q). = 0, så är q Q och därmed är Q (q, ). Även följande lemman från [1] ommer att användas. Det första lemmat förser oss med formler för hur man med gränsvärden beränar ändpunterna i S-mängderna. Eftersom gränsvärdet inte alltid existerar, formuleras lemmat med hjälp av lim inf och lim sup. För en funtion h : (0, ) R denieras de så här: lim inf r 0 h(r) := lim lim sup h(r) := lim r 0 r 0 inf h(x), r 0 x (0,r] sup x (0,r] h(x). (1.3) Supremum, sup A, av en uppåt begränsad mängd A R är den minsta övre begränsningen till A, och omvänt är inmum, inf A, av en nedåt begränsad mängd A R den största undre begränsningen till A. Om en mängd A R inte är uppåt begränsad sätter vi sup A =, och om en mängd A R inte är nedåt begränsad sätter vi inf A =.

1.2. Teori 7 Lemma 9. [1, Lemma 2.4] Låt q, R 0 > 0. Då gäller att q S om och endast om det nns en onstant C > 0 så att µ(b r ) Cr q för 0 < r R 0. På samma sätt fås att q S om och endast om det nns en onstant C > 0 så att µ(b r ) Cr q för 0 < r R 0. Vidare, låt q 0 = lim inf r 0 log µ(b r ) log r och q 1 = lim sup r 0 log µ(b r ). log r Då gäller att S = (0, q 0 ) eller S = (0, q 0 ], och S = (q 1, ) eller S = [q 1, ). Det andra lemmat använder istället gränsvärden för att uppsatta ändpunterna i Q-mängderna. För att unna formulera resultatet för tillräcligt allmäna funtioner behöver vi deniera ess lim inf och ess lim sup. Vi gör detta för stycvis ontinuerliga funtioner på (0, 1), det vill säga sådana som är ontinuerliga på (0, 1)\Z, där Z = {r 1, r 2,...} med r 1 > r 2 >..., och r j 0, då j. Om h : (0, 1)\Z R är stycvis ontinuerlig, deniera ess lim inf h(r) = lim inf h(x), r 0 r 0 x (0,r]\Z ess lim sup h(r) = lim r 0 r 0 sup x (0,r]\Z h(x). Lemma 10. [1, Lemma 2.5] Låt q, R 0 > 0. Då gäller att q Q om och endast om det nns en onstant C > 0 så att µ(b r ) ( r ) q µ(b R ) C för 0 < r < R R 0. R Motsvarande påstående för Q är ocså sant. Antag vidare att f(r) := µ(b r ) är ontinuerlig med stycvis ontinuerlig derivata på (0, R 0 ) och låt Då gäller att q = ess lim inf r 0 rf (r) f(r) och q = ess lim sup r 0 (0, q) Q (0, q] och (q, ) Q [q, ). rf (r) f(r). I de exempel som tas fram i det här arbetet är f(r) alltid ontinuerlig och stycvis ontinuerligt deriverbar.

8 Kapitel 1. Inledning 1.3. Tidigare resultat Här sammanfattas tidigare framtagna mängder inom området. De fyra första exemplen på ice-triviala ombinationer av exponentmängder togs fram i en rapport av A. Björn, J. Björn och J. Lehrbäc [1], och senare tog H. Svensson [2] fram ytterligare fem exempel i ett examensarbete på masternivå. I [1] onstruerades fyra exempel på olia ombinationer av exponentmängder, exempel där de olia exponentmängderna dels hade olia ändpunter och dels både var öppna och slutna. De framtagna mängderna var, för p > 0 och 0 < a < b < c < d, [1, Example 3.1] : Q = S = (0, p) och S = Q = [p, ), Q = S = (0, p] och S = Q = (p, ), Q = S = (0, p] och S = Q = [p, ). [1, Example 3.2] : Q = (0, 2], S = (0, 3], S = [ 10 3, ) och Q = [4, ). [1, Example 3.3] : Q = (0, 2], S = (0, 3], S = (3, ) och Q = [4, ). [1, Example 3.4] : Q = (0, a], S = (0, b], S = [c, ) och Q = [d, ). I [2] togs ytterligare fem nya exempel på olia grupper av exponentmängder fram. De två första exemplen onstruerades genom vidareutveclingar av [1, Example 3.4], så att en av S-mängderna nu är öppen. I exempel tre och fyra gjordes linande modieringar, men nu av [1, Example 3.3]. I det tredje exemplet var en av S-mängderna öppen, och i exempel fyra var båda öppna. Det sista exemplet i [2] utformades så att en av Q-mängderna blev öppen. Alla fem exempel, med 0 < a < b < c < d, listas nedan. [2, Exempel 3.2] : Q = (0, a], S = (0, b), S = [c, ) och Q = [d, ). [2, Exempel 3.3] : Q = (0, a], S = (0, b], S = (c, ) och Q = [d, ). [2, Exempel 4.1] : Q = (0, 2], S = (0, 3), S = [3, ) och Q = [4, ). [2, Exempel 4.2] : Q = (0, 2], S = (0, 3), S = (3, ) och Q = [4, ). [2, Exempel 5.1] : Q = (0, 2), S = (0, 3), S = [ 10 3, ) och Q = [4, ). 1.4. Syfte Syftet med rapporten är att hitta andra exempel på ombinationer av exponentmängder än de som listats ovan, och ta fram de radiella viter och måttfuntioner som genererar dessa mängder. Vi vill ocså studera sambandet mellan viterna, måttfuntionerna och utseendet på exponentmängderna.

1.5. Metod 9 1.5. Metod Tidigare metoder som använts i [1] och [2] har visat sig vara tidsrävande. De har inneburit att man testat sig fram med olia parametrar och vitfuntioner, och med hjälp av integraler beränat måtten av olia ringar med varierande radier. Man har sedan använt dessa för att få fram olia volymuppsattningar för måttet µ(b r ). Dessa uppsattningar ledde därefter till att man c fram en exponent q (0, ), som tillhör någon av de fyra exponentmängderna. I det här arbetet används istället en ny, omvänd metod. Genom att utgå från vila exponentmängder man vill hitta tar man fram parametrar och funtioner, eller mått, som ger de önsade mängderna. Därifrån får man sedan fram de baomliggande viterna genom derivering enligt (1.2). Den här metoden visade sig vara mer tidseetiv än tidigare använd metod. Då man inte börjar med att välja parametrar och funtioner, utan låter dessa bestämmas av vila exponentmängder man vill erhålla, an man inte garantera att de blir lia enla som om man istället sulle ha tagit fram parametrar och funtioner först, men detta anses inte särsilt vitigt i sammanhanget. I mina två första exempel utgic jag ifrån tidigare resultat av Björn, Björn och Lehrbäc samt Svensson och undersöte samband mellan dess parametrar, funtioner och exponentmängder. I mitt första exempel unde jag utnyttja de parametrar som Svensson använt i ett av sina exempel, och sedan behövde jag bara modiera dess tillhörande funtion innan jag till slut unde erhålla de exponentmängder jag önsade. I mitt andra exempel unde jag endast delvis utnyttja samma parametrar, och c här modiera både en parameter och funtionen för att omma fram till de resultat jag var ute efter. Efter en tids experimenterande med uppsatsens två första exempel upptäctes ett mönster och ett samband mellan funtionen f(r) = µ(b r ) och de resulterande exponentmängderna. Vi har sapat en fabri med användbara vertyg, och genom att utgå från önsade exponentmängder an vi med hjälp av dessa vertyg få fram de oecienter och exponenter till funtionen f(r) som rävs för att generera de önsade exponentmängderna. Den nya metoden användes för att generera det tredje exemplet. För enelhetens sull ommer i det här arbetet betecningen f(r) för måttet µ(b r ) av lotet B r = {x R n : x < r} användas.

Kapitel 2 Exempel 1: De undre mängderna ihop, varav en öppen och en sluten Målet med exemplet är att hitta exponentmängder sådana att Q och S har samma ändpunt, men att Q är öppen och S är halvöppen. Mängderna som erhålls i exemplet är Q = (0, c), S = (0, c], S = (c, ) och Q = (c, ), där c > 0 är godtycligt. Notera att om alla exponentmängder har samma ändpunt c > 0, och Q = (0, c) och S = (0, c], så måste vi ha Q = S = (c, ). Ty, enligt sats 5 är S ett intervall av formen (q, ) eller [q, ). I det senare fallet är S S, och enligt disussionen precis innan exempel 4 är då Q = (0, q] och Q = [q, ). Vi hade doc redan att Q = (0, q), så vi har fått en motsägelse. Alltså an inte S = [q, ) utan vi måste ha S = (q, ). Eftersom Q S, och de har samma ändpunt, så måste Q = S. 2.1. Funtioner Välj ett godtycligt c > 0 och för 0, där 0 > 1 c, låt α = 2 2 och β = α 3 2. Observera att α = α 2 1 och α < β 1 < α 1 för > 0. Svensson, 2017. 11

12 Kapitel 2. Exempel 1: De undre mängderna ihop, varav en öppen och en sluten Betrata nu funtionen { a r c 1, om α r β 1, f(r) = b r c+ 1, om β 1 r α 1, där a och b väljs senare. Ett rav på funtionen f(r) är att uttrycet f(α ) = α c (2.1) måste uppfyllas för alla > 0. Vi sall nu välja a så att detta gäller, vilet bestämmer hur f(r) beter sig på α r β 1. Eftersom f(α ) = a α c 1 får vi fram att a = α 1. Funtionen i det andra intervallet, β 1 r α 1, fås, på samma sätt som ovan genom att utnyttja att f(α 1 ) = b α c+ 1 1 = αc 1, vilet ger b = α 1 1. Vi får därmed funtionen { α 1 f(r) = r c 1, om α r β 1, α (2.2) 1 1 rc+ 1, om β 1 r α 1. Notera att f(r) måste vara ontinuerlig för r = β 1. Funtionen behöver alltså uppfylla att α 1 β c 1 1 = α 1 1 βc+ 1 1, vilet stämmer för vårt val β 1 = α 3 2 1. 2.2. Viten Med hjälp av metoden som besrevs i (1.2) har viten som genererar funtionen f(r) = µ(b r ) ovan tagits fram, och resultatet blev följande vit: α 1 w(r) = f (r) (c 1 )rc 1 n, om α r < β 1, r 1 n ω = n 1 ω n 1 α 1 1 (c + 1 )rc+ 1 n, om β 1 r < α 1, ω n 1 där ω n 1 är ytmåttet av den (n 1)-dimensionella enhetssfären. Värt att påpea är att fatorerna (c 1 ) och (c + 1 ) inte är vitiga, då de är jämförbara med c. Vi erhåller därför att { α 1 w(r) w(r) := r c 1 n, om α r < β 1, α 1 1 rc+ 1 n, om β 1 r α 1.

2.3. S-mängderna 13 Viten w är enlare och ger då upphov till ett mått µ som blir jämförbart med µ. De jämförande olihetsonstanterna mellan µ och µ an till exempel se ut enligt ( 1 1 ) c ω n 1 µ µ 2c ω n 1 µ, 0 c för c 1 0, och beror endast på dimensionen n. Då gäller ocså att µ(b r ) µ(b r ) för alla r (0, α 0 ), vilet medför att µ och µ har samma exponentmängder. 2.3. S-mängderna För att bestämma S-mängderna S och S undersöer vi vila potenser av r som f(r) an anta på respetive delintervall. Genom att välja a och b enligt (2.2) ser vi att för α r β 1, så är f(r) = α 1 r c 1 och för β 1 r α 1, så är = ( α r ) 1 r c r c, ( f(r) = α 1 1 rc+ 1 r ) 1 = r c r c. α 1 Därmed blir µ(b r ) = f(r) r c för alla r (0, α 0 ). Alltså medför denition 3, med q = c, att c S. Lemma 6 medför då att S (0, c]. Eftersom α 0 då an vi med hjälp av (2.1) och lemma 7 se att S (0, c]. Vi har därmed visat att exponentmängden S = (0, c]. För att bestämma den övre mängden S använder vi oss av lemma 7 med r = β 1. Genom att sätta in detta i funtionen (2.2) erhåller vi att f(β 1 ) = f(α 3 4 ) = α 1 (α 3 4 ) c 1 = α 3c 4 + 1 4. Insättning i lemma 7 ger oss f(β 1 ) lim β 1 c = lim α 3c 4 + 1 4 α 3c 4 = lim α 1 4 = lim 2 2 /4 = 0. (2.3) Vi har därmed visat att exponenten c inte tillhör S, vilet enligt lemma 7 medför att S (c, ).

14 Kapitel 2. Exempel 1: De undre mängderna ihop, varav en öppen och en sluten Nu återstår att bestämma hur stor del av intervallet (c, ) som ligger i S. För att göra detta tar vi först hjälp av exponentmängden Q. Till hjälp har vi lemma 10, som besriver de intervall som tillhör de respetive Q-mängderna, och ocså vila intervall som Q-mängderna själva är delmängder av. Vi onstaterar först att förutsättningarna i lemma 10 är uppfyllda, då f är ontinuerlig på (0, α 0 ) och f är denierad och ontinuerlig på varje intervall (α, β 1 ) och (β 1, α 1 ). För α < r < β 1 har vi rf (r) f(r) = rα 1 (c 1 )rc 1 1 α 1 r c 1 = c 1 c, då, medan vi för β 1 < r < α 1 har rf (r) f(r) = rα 1 1 (c + 1 )rc 1+ 1 α 1 1 rc+ 1 = c + 1 c, då. Detta resulterar i att q = q = c i lemma 10. Från lemma 10 fås ocså diret att (0, c) Q (0, c] och (c, ) Q [c, ). (2.4) Enligt denition 3 gäller att Q S, och vi har tidigare visat att S (c, ). Detta, tillsammans med (2.4), medför att (c, ) Q (c, ), med slutsatsen att Q = (c, ). Eftersom Q S får vi att S (c, ), vilet tillsammans med tidigare onstaterade S (c, ) låter oss dra slutsatsen att exponentmängden S = (c, ). 2.4. Q-mängderna Q-mängden Q fås genom att studera hur funtionen f(r) beter sig på sina respetive delintervall. Först undersöer vi vilet intervall som Q utgör en delmängd av. Till hjälp har vi lemma 8. Låt r = α och R = β 1 och observera att r 0 och R 0, då. Notera ocså att eftersom α 0, då, erhåller vi att gränsvärdet r lim = R α = α 1 4 β = 0. 1

2.4. Q-mängderna 15 Eftersom lim f(α ) f(β 1 ) ( α β 1 ) c = lim = lim α c α 3c 4 + 1 4 1 α 4 α 3c 2 1 α c = lim 22 /4 =, (2.5) medför lemma 8 att c / Q. Därmed vet vi att Q (0, c). I (2.4) om vi fram till att Q (0, c) och an nu dra slutsatsen att Q = (0, c). Exponentmängden Q bestämdes redan i apitel 2.3 till Q = (c, ).

Kapitel 3 Exempel 2: S-mängderna ihop och de övre mängderna isär Målet med exemplet är att hitta en vit sådan att de övre exponentmängderna Q och S är isär, det vill säga att de inte har samma ändpunt. Vi vill fortfarande att de undre mängderna sall vara ihop och att S-mängderna har en gemensam ändpunt men är disjunta. Mängderna som erhålls i exemplet är Q = (0, 1), S = (0, 1], S = (1, ) och Q = (2, ). I lihet med exempel 1 sulle 1 och 2 i det här exemplet antagligen unna bytas ut mot godtycliga tal 0 < c < d, men vi avstår från denna generalisering. 3.1. Funtioner Låt = 2, 3, 4,... och låt α = 2 2, som fortfarande medför att α = α 2 1. Deniera därefter parametern β 1 = α 3+ 3+ 2+ 1 = α 2(2+), för = 3, 4, 5,.... Eftersom α 1 0, då, och det för exponenterna hos α respetive β 1, när de srivs med hjälp av α 1, gäller att 2 > 3+ 2+ > 1, ser vi att α < β 1 < α 1 fortfarande gäller. Vi modierar funtionen från föregående apitel genom att ersätta exponenten c i denitionen med 1 respetive 2, enligt följande: { a r 1 1, om α r β 1, f(r) = b r 2+ 1, om β 1 r α 1, Svensson, 2017. 17

18 Kapitel 3. Exempel 2: S-mängderna ihop och de övre mängderna isär där a och b är lämpliga oecienter som väljs senare. Ett rav på funtionen f(r) är att uttrycet f(α ) = α (3.1) måste uppfyllas för alla = 2, 3, 4,.... Vi väljer a och b så att detta uppfylls. På α r β 1 låter vi f(α ) = a α 1 1 = α, vilet ger oss att a = α 1. I det andra intervallet, β 1 r α 1, fås, med f(α 1 ) = b α 2+ 1 1 = α 1, att b = α 1 1 1. Vi erhåller följande funtion, { α 1 r 1 1, om α r β 1, f(r) = α 1 1 1 r 2+ 1, om β 1 r α 1. (3.2) Med valen av oecienter enligt ovan uppfylls ocså ontinuitetsravet vi har på funtionen f(r), nämligen α 1 β 1 1 1 = 1 α 1 1 β 2+ 1 1, vilet stämmer för vårt val β 1 = α 3+ 3+ 2+ 1 = α 3.2. Viten 2(2+). Med hjälp av metoden som besrevs i (1.2) har viten som genererar funtionen ovan tagits fram, och resultatet blev följande vit: α 1 w(r) = f (r) (1 1 )r1 1 n, om α r < β 1, r 1 n ω = n 1 ω n 1 α 1 1 1 (2 + 1 )r2+ 1 n, om β 1 r < α 1, ω n 1 där ω n 1 är ytmåttet av den (n 1)-dimensionella enhetssfären. Även här ser vi att fatorer (1 1 ) och (2 + 1 ) inte är vitiga, då de är jämförbara med 1. Vi erhåller därför att { α 1 w(r) w(r) := r 1 1 n, om α r < β 1, α 1 1 1 r 2+ 1 n, om β 1 r α 1. På samma sätt som i exempel 1 ger viten w upphov till ett mått µ som blir jämförbart med µ, vilet medför att µ och µ har samma exponentmängder.

3.3. S-mängderna 19 3.3. S-mängderna För att unna bestämma mängderna S och S undersöer vi vila potenser av r funtionen f(r) an anta. Med a och b enligt ovan ser vi att för α r β 1, så är och för β 1 r α 1, så är f(r) = α 1 r 1 1 = ( α r ) 1 r r, ( f(r) = α 1 1 1 r 2+ 1 r ) 1+ 1 = r r. α 1 Resultatet av detta blir att µ(b r ) = f(r) r för alla r (0, α 2 ), och denition 3 medför därför att 1 S. Från lemma 6 erhålls nu att S (0, 1]. Det omvända, att S (0, 1], fås med hjälp av (3.1) och lemma 7 med r = α. Då vi vet att f(α ) = α och α 0 då,, ger lemmat oss att S (0, 1]. Vi har därmed fått fram att exponentmängden S = (0, 1]. Nu sa vi se att den övre S-mängden S är en delmängd av (1, ). Vi låter r = β 1 och utnyttjar lemma 7. Från (3.2) erhåller vi att f(β 1 ) = α 1 β 1 1 1 Betrata nu följande gränsvärde: f(β 1 ) ( α ) 1 lim = lim β 1 β 1 1+ 2 = 2 2(2+) = 0. ( = α ) 1 β 1. β 1 = lim ( α α 3+ 2(2+) ) 1 = lim 1+ α 2(2+) Med q = 1 ger därmed lemma 7 att punten 1 S, och vi erhåller att S (1, ). Det sista vi måste göra är att undersöa om S (1, ). För att göra detta an vi till exempel använda oss av lemma 9. Med q 1 = lim sup r 0 log 2 f(r) log 2 r ger lemmat bland annat att S = (q 1, ) eller S = [q 1, ). Vi undersöer f(r) på ett delintervall i taget, så med { α 1 f(r) = r 1 1, om α r β 1, α 1 1 1 r 2+ 1, om β 1 r α 1,

20 Kapitel 3. Exempel 2: S-mängderna ihop och de övre mängderna isär där α = 2 2 och β 1 = α 3+ +3 2+ 1 = 2 +2 2 1, fås följande två fall. För α r β 1 fås: log 2 f(r) log 2 r = = 1 ( 2 ) + (1 1 ) log 2 r = log 2 r 1 2 log 2 1 r 1 ( 2 ) log 2 r + 1 1 + 1 1. (3.3) För de sista två termerna har vi lim (1 1 ) = 1. För den första termen har vi, då 1 r 1, att β 1 0 lim sup = lim sup 1 2 log 2 1 r lim sup 2 ( + 2) = 0. + 3 1 2 log 2 1 β 1 Tillsammans med (3.3) ger detta nu följande: q 1 För β 1 r α 1 fås istället: log 2 f(r) log 2 r = lim sup 1 2 +3 +2 2 1 log lim sup 2 f(r) = 1. (3.4) α r β 1 log 2 r = ( 1 1 )( 2 1 ) + (2 + 1 ) log 2 r log 2 r = ( 1 1 )( 2 1 ) log 2 r + 2 + 1 = ( 1 1 ) 2 1 log 2 1 r + 2 + 1. (3.5) För de två sista termerna har vi lim (2 + 1 ) = 2. För den första termen har vi, då 1 r 1, att β 1 lim sup ( 1 1 ) 2 1 log 2 1 r lim sup = lim sup ( 1 1 ) 2 1 log 2 1 β 1 = lim sup ( 1 1 )(1 + 2 ) 1 + 3 = 1. ( 1 1 ) 2 1 +3 +2 2 1

3.4. Q-mängderna 21 Detta, tillsammans med (3.5) ger följande: log lim sup 2 f(r) 1. β 1 r α 1 log 2 r I ombination med (3.4) medför detta att q 1 = lim sup r 0 log 2 f(r) log 2 r = 1. Från lemma 9 erhålls därmed att S = (1, ) eller S = [1, ). Då det tidigare onstaterats att S (1, ) an vi nu dra slutsatsen att S = (1, ). 3.4. Q-mängderna För att få fram exponentmängderna Q och Q behöver vi använda oss av två lemman, nämligen lemma 8 och lemma 10. Vi börjar med att se vad vi an få ut för information från lemma 10. Vi onstaterar först att förutsättningarna i lemma 10 är uppfyllda, då f är ontinuerlig på (0, α 2 ) och f är denierad och ontinuerlig på varje intervall (α, β 1 ) och (β 1, α 1 ). Gränsvärdena och rf (r) f(r) rf (r) f(r) = rα 1 (1 1 )r 1 α 1 r 1 1 = 1 1 1, då, d.v.s. då r 0, och α < r < β 1, = rα 1 1 1 (2 + 1 )r1+ 1 = 2 + 1 2, α 1 1 1 r 2+ 1 då, d.v.s. då r 0, och β 1 < r < α 1, (3.6) resulterar i att q = 1 och q = 2 i lemma 10. Vi an därmed onstatera att (0, 1) Q (0, 2] och (2, ) Q [1, ). Vi börjar med att undersöa den undre Q-mängden och är därför intresserade av att undersöa hur funtionen f(r) beter sig på intervallet α r β 1. Det här intervallet ommer att bestämma Q, men vi måste undersöa alla r innan vi an säga säert vad Q sa vara. Vi låter nu q = 1, r = α och R = β 1 = α 3+ 2(2+)

22 Kapitel 3. Exempel 2: S-mängderna ihop och de övre mängderna isär i lemma 8. Vi noterar att gränsvärdet r lim = lim R eftersom α 0, då. Med får vi då att lim f(α ) f(β 1 ) α β 1 α β 1 = lim 1+ α 2(2+) f(β 1 ) = α 1 β 1 1 1, = lim = lim α α α 1 β 1 1 1 +1 2(+2) β 1 α = 0, ( β 1 ) 1 = lim α +1 = lim 22 2(+2) =, vilet enligt lemma 8 medför att 1 Q. Vår slutsats blir att Q (0, 1). Eftersom lemma 10 gav oss att Q (0, 1) har vi nu visat att Q = (0, 1). Då vi vill bestämma den övre Q-mängden undersöer vi istället hur funtionen f(r) uppför sig på intervallet β 1 r α 1. Vi låter nu r = β 1, R = α 1 och q = 2 och använder lemma 8 på samma sätt som för den undre Q-mängden. Även här noterar vi att gränsvärdet r β 1 lim = lim = lim R α 1 då. Med fås att lim f(β 1 ) f(α 1 ) ( β 1 α 1 ) 2 = lim = lim α 1 2+ 1 = lim α 1 2(2+) f(β 1 ) = b β 2+ 1 1 b β 2+ 1 1 b α 2+ 1 1 ( β 1 α 1 ) 2 = lim α 1 (2+) 1 = lim ( β 1 ) 1 α 1 α 1 2(2+) 1 = lim 2 2 2(2+) = 0, 1 = lim 2 2 2(2+) = 0. Därmed fås att 2 Q, och vi erhåller att Q (2, ). Från (3.6) och lemma 10 c vi att (2, ) Q [1, ). Detta, tillsammans med nyss visade Q (2, ), gör att vi an onstatera att exponentmängden Q = (2, ).

Kapitel 4 Exempel 3: Övre och undre mängderna isär I det sista exemplet utgår vi från samma funtion f(r) som i föregående exempel, men denierar exponenterna och oecienterna annorlunda för att erhålla ett exempel där S-mängderna, till sillnad från exemplet innan, nu yttas isär, men har samma ändpunter som de motsvarande Q-mängderna. Mängderna som erhålls i exemplet är Q = (0, 1), S = (0, 1], S = [2, ) och Q = (2, ). I lihet med föregående exempel sulle sirorna 1 och 2 antagligen även här unna ersättas med godtycliga tal 0 < c < d, men vi avstår från denna generalisering för enelhets sull. 4.1. Funtioner För = 2, 3, 4,..., studerar vi återigen funtionen { a r 1 1, om α r β 1, f(r) = b r 2+ 1, om β 1 r α 1, men nu inte bara med villoret att f(r) r, för r (0, α 2 ), utan även med tilläggsravet att f(r) r 2, för r (0, α 2 ). Koecienterna a och b, samt parametern β 1, = 2, 3, 4,..., väljs senare. Vi låter nu för = 2, 3, 4,..., α = 2 ((+1)!)2, ur vilet följer att α = α (+1)2 1. Svensson, 2017. 23

24 Kapitel 4. Exempel 3: Övre och undre mängderna isär Ett ytterligare rav på funtionen f(r) är att följande liheter måste uppfyllas: { f(α ) = α, f(β 1 ) = β 2 1. (4.1) Vi vill nu bestämma onstanterna a och b samt β 1 så att α < β 1 < α 1 och (4.1) uppfylls. Genom att betrata f(α ) = α på intervallet α r β 1 fås att f(α ) = a α 1 1 = α. För r = β 1 och f(β 1 ) = β 1 2 fås istället f(β 1 ) = a β 1 1 1 = β2 1. Tillsammans leder dessa uttryc till att onstanten a = α 1 att på samma sätt räva att = β 1+ 1 1. Genom f(α 1 ) = b α 2+ 1 1 = α 1 och f(β 1 ) = b β 2+ 1 1 erhålls att onstanten b = α 1 1 1 = β2 1 = β 1 1. Detta ger sambandet β 1 = α +1 1. Det återstår att visa att sambandet α = α (+1)2 1 stämmer med vårt framtagna β 1. Vi har precis visat att β 1 = α +1 1. Förenlar vi liheten från a, α 1 = β 1+ 1 1, erhåller vi att β 1 = α 1 1+. Sambandet α 1 1+ = β 1 = α 1+ 1 ger oss nu att α = α (+1)2 1 uppfylls. Genom att titta på omsrivningarna av β 1 med α respetive α 1 ovan noterar vi att de ocså uppfyller villoret α < β 1 < α 1. Vår fullständiga funtion blir därmed f(r) = { β 1+ 1 1 r1 1, om α r β 1, β 1 1 r2+ 1, om β 1 r α 1.

4.2. Viten 25 4.2. Viten Med hjälp av metoden som besrevs i (1.2) har viten som genererar funtionen ovan tagits fram, och resultatet blev följande vit: β 1+ 1 1 (1 1 )r1 1 n, om α r < β 1, ω n 1 w(r) = f (r) ω n 1 r 1 n = β 1 1 (2 + 1 )r2+ 1 n ω n 1, om β 1 r < α 1, där ω n 1 är ytmåttet av den (n 1)-dimensionella enhetssfären. Åter igen noterar vi att fatorerna (1 1 ) och (2 + 1 ) är jämförbara med 1, och därmed inte vitiga. Vi erhåller därför att { β 1+ 1 1 w(r) w(r) := r1 1 n, om α r < β 1, β 1 1 r2+ 1 n, om β 1 r α 1, där α = 2 ((+1)!)2 och β 1 = α +1 1, för = 2, 3, 4,.... Viten w är enlare och ger även i detta exempel upphov till ett mått µ som blir jämförbart med µ, och som har samma exponentmängder som µ. 4.3. S-mängderna S-mängderna S och S erhålls fortfarande genom att studera vila potenser av r som f(r) an anta. Vi sa nu visa att med a och b enligt ovan uppfyller funtionen f att f(r) r för r (0, α 2 ). För α r β 1, är och för β 1 r α 1, är f(r) = β 1+ 1 1 r1 1 1 = α r1 1 = ( α r ) 1 r r, f(r) = β 1 1 r2+ 1 ( 1 = α 1 1 r 2+ 1 r ) 1+ 1 = r r. α 1 Resultatet av detta blir att µ(b r ) = f(r) r för alla r (0, α 2 ), och därmed medför denition 3 att 1 S. Från lemma 6 får man sedan att S (0, 1]. Med hjälp av (4.1) fås vidare ur lemma 7, med r = α, eftersom f(α ) α och α 0 då, att S (0, 1]. Vi drar därför slutsatsen att exponentmängden S = (0, 1].

26 Kapitel 4. Exempel 3: Övre och undre mängderna isär För att bestämma den övre S-mängden, S, utnyttjar vi även här lemma 7. Vi låter nu r = β 1 och ser att β 1 0 då. Tac vare (4.1) medför lemma 7 att S [2, ). När vi bestämmer den övre S-mängden är vi intresserade av vilen potens av r som f(r) ligger över för alla värden på r. Med valen av a och b enligt ovan an vi visa att f(r) r 2 för alla r (0, α 2 ). För α r β 1, är och för β 1 r α 1, är f(r) = β 1+ 1 1 r1 1 = ( β 1 r ) 1+ 1 r 2 r 2, ( f(r) = β 1 1 r2+ 1 r ) 1 = r 2 r 2. β 1 På samma sätt som för S fås, med hjälp av denition 3, att 2 S. Även här utnyttjar vi lemma 6, och erhåller att S [2, ). Vi har nu visat att exponentmängden S = [2, ). 4.4. Q-mängderna Vi undersöer hur funtionen f(r) beter sig på de olia delintervallen för att bestämma de två Q-mängderna. För att avgöra vad den undre Q-mängden är lia med tar vi hjälp av lemma 10. Vi an onstatera att och rf (r) f(r) rf (r) f(r) = rβ 1+ 1 1 (1 1 )r 1 = 1 1 β 1+ 1 1 r1 1 1, då, d.v.s. då r 0, och α < r < β 1, = rβ 1 1 (2 + 1 )r1+ 1 = 2 + 1 β 1 1 r2+ 1 2, då, d.v.s. då r 0, och β 1 < r < α 1. Ur lemmat erhålls då att q = 1 och q = 2, och därmed (0, 1) Q (0, 2] och (2, ) Q [1, ).

4.4. Q-mängderna 27 Vi börjar med att ta reda på mängden Q, och använder till detta två radier från intervallet α r β 1. Låt r = α och R = β 1, och notera att eftersom α 0, då, får vi att gränsvärdet r lim = lim R α β 1 = lim α 1+ = 0. Notera att även α 1 0, då, vilet medför att 1 = 1 β 1 α 1+, då, 1 eftersom α 1 > 0. Utnyttjar vi nu lemma 8 tillsammans med (4.1) erhåller vi från f(α ) f(β lim 1 ) α β 1 1 α = lim β 1 2 = lim =, α β 1 β 1 att 1 Q. Att Q (0, 1) är därmed ett fatum. Den tidigare slutsatsen att Q (0, 1) medför att vi nu an onstatera att Q = (0, 1). Hur funtionen f(r) beter sig på intervallet β 1 r α 1 avgör den övre Q-mängden. Lisom då vi betratade den undre Q-mängden vill vi även här utnyttja lemma 8 tillsammans med (4.1), men då funtionen här är nära en andragradsfuntion låter vi nu q = 2. Tag nu r = β 1, R = α 1 och q = 2. Eftersom α 1 0, då, blir gränsvärdet r β 1 α +1 1 lim = lim = lim = lim R α 1 α 1 α 1 = 0. Notera att då f(β 1 ) = β 2 1 och f(α 1) = α 1 fås att lim f(β 1 ) f(α 1 ) ( β 1 α 1 ) 2 = lim β 2 1 α 1 β 2 1 α 2 1 = lim α 1 = 0. Vi använder detta i lemma 8 och får som resultat att 2 Q. Alltså gäller att Q (2, ). Detta, med det tidigare onstateradet att (2, ) Q, gör att vi nu har visat att exponentmängden Q = (2, ).

Kapitel 5 Avslutning I det här apitlet ges en sammanfattning av de exempel som har framställts i arbetet. Den nya metoden för framtagning av funtioner som ger önsade exponentmängder sammanfattas ocså. Slutligen följer en disussion med bland annat förslag på fortsatt arbete inom området. 5.1. Resultat Den här rapporten har resulterat i tre nya exempel på hur S- och Q-exponentmängderna för radiella viter an variera. Exponentmängder spelar en vitig roll när man vill uppsatta apacitet i vitad R n, det vill säga i R n utrustad med ett mått som ges av en vitfuntion. I det första exemplet erhölls exponentmänder sådana att alla mängder delade ändpunt, men där S var halvöppen och övriga mängder öppna. Vi erhöll mängderna Q = (0, c), S = (0, c], S = (c, ) och Q = (c, ). I det andra exemplet lycades vi onstruera en måttfuntion som resulterade i ett mellanrum mellan de övre mängderna, samtidigt som de undre mängderna fortfarande hade samma ändpunt som den övre S-mängden. Detta gav följande resultat Q = (0, 1), S = (0, 1], S = (1, ) och Q = (2, ). I det sista exemplet c vi fram exponentmängder sådana att vi nu hade ett mellanrum mellan S-mängerna, samtidigt som de undre mängderna delade ändpunt och de övre mängderna delade ändpunt. Följande mängder erhölls Q = (0, 1), S = (0, 1], S = [2, ) och Q = (2, ). Svensson, 2017. 29

30 Kapitel 5. Avslutning Under arbetets gång med de tre exemplen ovan upptäctes ett samband mellan funtionen för måttet, f(r) = µ(b r ), dess beteende på olia intervall samt de resulterande exponentmängderna. Genom att utgå ifrån vila exponentmängder man vill få fram an man onstruera måttfuntionen f(r) och dess begränsningar därefter, och till sist få fram den baomliggande vitfuntionen genom derivering som i (1.2). Antag att funtionen f(r) = µ(b r ) är given enligt { a r λ, om α r β 1, f(r) = b r η = 1, 2, 3,...,, om β 1 r α 1, där α 0 > β 0 > α 1 > β 1 >... och α 0, då. Vi förutsätter ocså att { f(α ) = α δ, f(β 1 ) = β γ 1, (5.1) och antar att 0 < λ < δ < γ < η. Formeln för f ovan tillsammans med (5.1) ger onstanter a och b, samt ett samband mellan α, β 1 och α 1, sådana att övre och nedre begränsningar på intervallet α r α 1 erhålls, nämligen r γ f(r) r δ. Vi exemplierar valet av exponenter genom att jämföra med exemplen i uppsatsen. I apitel 2 har vi: och ränar ut att λ = c 1, η = c + 1 och δ = c, f(β 1 ) = α 1 β c 1 1 = β 4 3 +c 1 1 = β c+ 1 3 1, vilet medför att γ = c + 1 3. Här gäller då: c 1 < c < c + 1 3 < c + 1, och därmed uppfylls villoret. I apitel 3 har vi istället: λ = 1 1, η = 2 + 1, δ = 1, samt f(β 1 ) = α 1 β 1 1 1 2(2+) = (β 3+ 1 ) 1 1 β 1 1 = β 2 +4+1 (3+) 1.

5.1. Resultat 31 Vi erhåller därför att Vi noterar att: γ = 2 + 4 + 1. (3 + ) 1 1 < 1 < 2 + 4 + 1 (3 + ) < 2 + 1, och därmed uppfylls villoret även här. I apitel 4 och det sista exemplet har vi: λ = 1 1, η = 2 + 1, δ = 1 och γ = 2. Vi ser att villoret uppfylls här ocså, eftersom 1 1 < 1 < 2 < 2 + 1. Antag vidare att vi har en önsan om hur de fyra exponentmängderna sa se ut, både gällande vila ändpunter de respetive mängderna sa ha samt om de sa vara öppna eller slutna. Låt oss börja med att titta på S-mängderna. Den undre S-mängden S beror av den övre begränsningen hos f(r). Till exempel, om f(r) r δ, och δ = δ är onstant, ommer δ S. Om vi ocså har att f(α ) = α δ för α 0, an vi onstatera att δ ocså är ändpunt i intervallet som utgör S. Om δ inte är onstant, så låt δ = lim inf δ. (5.2) Detta δ ommer nu att utgöra ändpunten i intervallet S. Mängden S blir sluten om δ δ, och öppen om δ > δ, för dessa δ i (5.2). Vi exemplierar detta genom att jämföra med de tre exemplen i uppsatsen. I det första exemplet har vi: δ = c, och δ är därmed onstant. Eftersom det i exemplet gäller att f(α ) = α c för α 0, bör vi få att c S och att δ = c ocså är ändpunt i intervallet som utgör S. Vi ser i exempel 1 att detta uppfylls. I exempel 2 är istället δ = 1. Även här är δ onstant, och det gäller att f(α ) = α för α 0. Som väntat fås att S utgörs av ett slutet intervall med 1 som ändpunt. På samma sätt fås i exempel 3, med δ = 1,

32 Kapitel 5. Avslutning en undre S-mängd som är ett slutet intervall med 1 som ändpunt. För att erhålla den önsade övre S-mängden S tittar vi istället på den undre begränsningen hos funtionen. Om vi i funtionen har givet en potens sådan att r γ f(r), gäller på samma sätt som ovan att om γ = γ är onstant så ommer γ S. Här gäller att om vi vet att f(β 1 ) = β γ 1, vet vi ocså att γ är ändpunten i intervallet S. Om γ inte är onstant, så låt γ = lim sup γ. (5.3) Detta γ utgör nu ändpunten i intervallet S, som blir en sluten mängd om γ γ, och öppen om γ < γ för dessa γ i (5.3). Observera, till exempel, att i exempel 1 är γ = c + 1 > c och lim 3 γ = c, vilet leder till att S = (c, ) är öppen. Med linande metoder sa vi nu försöa se till att vi får de Q-mängder vi önsar. Den undre mängden, Q, an opplas ihop med utseendet hos f(r) på intervallet α r β 1, och den övre mängden, Q, med f(r) på β 1 r α 1. Precis som för S-mängderna är exponenterna i potenserna hos funtionerna vi undersöer avgörande för ändpunterna i intervallen. Alltså, om exponenten λ i f(r), då α r β 1, är onstant, λ = λ, ingår den i Q, och är ocså ändpunten i intervallet som utgör Q. Om λ inte är onstant, så låt λ = lim inf λ. (5.4) Detta λ ommer nu att utgöra ändpunten i intervallet Q, som blir en sluten mängd om λ λ, och öppen om λ > λ, för dessa λ i (5.4). Återigen exemplierar vi med en jämförelse med uppsatsens tre exempel. I det första exemplet har vi att λ = c 1. Här är inte λ onstant, så vi väljer λ enligt (5.4), och erhåller att λ = c. Vi beräftar i exemplet att detta c är ändpunt i intervallet Q. Eftersom c > c 1, och därmed ocså λ > λ,

5.2. Disussion 33 då, förväntas Q vara öppet, vilet ocså beräftas i apitel 2. På samma sätt an vi, eftersom 1 > 1 1, då, beräfta att det förväntade intervallet som Q utgör i det andra och tredje exemplet, Q = (0, 1), ocså erhålls i apitel 3 och 4. Motsvarande gäller för den övre Q-mängden. Om exponenten i f(r), då β 1 r α 1 är onstant, η = η, så ommer η Q ocså utgöra ändpunten i intervallet Q. Om η inte är onstant låter vi η = lim sup η. (5.5) Nu utgör detta η ändpunten i intervallet Q, som på samma sätt som för S, blir en sluten mängd om η η, och öppen om η < η för dessa η i (5.5). 5.2. Disussion Utgå ifrån funtionen { a r λ, om α r β 1, f(r) = b r η, om β 1 r α 1, = 1, 2, 3,..., och raven { f(α ) = α δ, f(β 1 ) = β γ 1, = 1, 2, 3,..., där α 0 > β 0 > α 1 > β 1 >... och α 0, då. Med hjälp av dessa förutsättningar an man räna ut a och b uttrycta i α, α 1 och de övriga parametrarna. Vidare får man, genom metoden besriven i delapitel 5.1, β 1 uttryct dels i α och dels i α 1. Låter man dessa två uttryc vara lia erhålls ett samband mellan α och α 1 med hjälp av de övriga parametrarna. Detta räcer för att bestämma f(r). Sedan an man härleda begränsningar av typen r γ f(r) r δ. När man sedan har ett explicit uttryc för f(r) med hjälp av λ, η, γ, δ och α, α 1, β 1, borde det gå att använda lemman från apitel 1 för att visa att ändpunterna i S-mängderna blir δ = lim inf δ och γ = lim sup γ,

34 Kapitel 5. Avslutning och för Q-mängderna λ = lim inf λ och η = lim sup η, i alla fall under lämpliga förutsättningar. Man sulle unna genomföra dessa uträningar och fatist formulera resultaten som en allmän sats, i vilen man sedan bara sulle stoppa lämpliga λ, η, γ och δ för att få fram olia S- och Q-mängder. Detta sulle unna vara en god idé för fortsatt arbete inom området. I arbetets inledande exempel användes en funtion med ett godtycligt c > 0 som exponent, och därmed erhölls exponentmängder vars ändpunter bestod av exponenten c istället för xa siror. Det går antagligen att ersätta de xa sirorna i funtionerna i exempel 2 och 3 så att exponentmängderna i dessa exempel ocså utgörs av intervall med mer exibla gränser, säg c > 0 och d > c till exempel. Under arbetets gång uppom era idéer om exempel på exponentmängder som ansågs vara intressanta att försöa få fram då man inte tidigare lycats onstruera sådana exempel. Under det inledande arbetet med rapporten gic metoden ut på att utifrån en funtion med olia undre och övre begränsningar beräna de resulterande exponentmängderna. Då ville man bland annat unna onstruera funtioner som sulle resultera i följande exempel på exponentmängder för godtycliga reella tal 0 < a < b < c: Q = (0, a), S = (0, a], S = (b, ) och Q = (b, ), Q = (0, a), S = (0, a], S = (b, ) och Q = [c, ), Q = (0, a), S = (0, a], S = [b, ) och Q = (c, ), Q = (0, a), S = (0, a], S = (b, ) och Q = (c, ), Q = (0, a), S = (0, a], S = [b, ) och Q = [c, ). Av de exempel som tagits fram i det här arbetet är inget identist med något av exemplen ovan, men vissa egensaper hos mängderna ovan åternns i de nyframtagna exemplen. Med hjälp av de vertyg vi upptäcte under arbetets gång har vi nu vad som rävs för att försöa onstruera exemplen ovan. Genom att välja funtionen f(r) så att exponenterna hos potenserna i funtionen och dess begränsningar matchar de önsade exponentmängderna, an man sedan försöa hitta a, b, α, β 1 och α 1 så att alla rav uppfylls och så att α < β 1 < α 1. Detta sulle unna vara ytterligare ett förslag på vidare arbete. Metoden gör det ocså möjligt att på ett enlare sätt generera i alla fall några av exemplen från [1] och [2].

Litteraturförtecning 1. A. Björn, J. Björn och J. Lehrbäc, Sharp capacitary estimates for annuli, ommer publiceras i Mathematische Zeitschrift. 2. H. Svensson, Radiella viter i R n och loala dimensioner, Master uppsats, LiTH-MAT-EX-2014/03-SE, http://urn.b.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-107173. 3. G. B. Folland, Real Analysis, 2:a uppl., Wiley, New Yor, 1999. 4. J. Heinonen, T. Kilpeläinen och O. Martio, Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations, 2:a uppl., Dover, Mineola, NY, 2006. Svensson, 2017. 35

Linöping University Electronic Press Upphovsrätt Detta doument hålls tillgängligt på Internet eller dess framtida ersättare från publiceringsdatum under förutsättning att inga extraordinära omständigheter uppstår. Tillgång till doumentet innebär tillstånd för var och en att läsa, ladda ner, sriva ut enstaa opior för ensilt bru och att använda det oförändrat för iceommersiell forsning och för undervisning. Överföring av upphovsrätten vid en senare tidpunt an inte upphäva detta tillstånd. All annan användning av doumentet räver upphovsmannens medgivande. För att garantera ätheten, säerheten och tillgängligheten nns lösningar av tenis och administrativ art. Upphovsmannens ideella rätt innefattar rätt att bli nämnd som upphovsman i den omfattning som god sed räver vid användning av doumentet på ovan besrivna sätt samt sydd mot att doumentet ändras eller presenteras i sådan form eller i sådant sammanhang som är ränande för upphovsmannens litterära eller onstnärliga anseende eller egenart. För ytterligare information om Linöping University Electronic Press se förlagets hemsida http://www.ep.liu.se/. Copyright The publishers will eep this document online on the Internet or its possible replacement from the date of publication barring exceptional circumstances. The online availability of the document implies permanent permission for anyone to read, to download, or to print out single copies for his/her own use and to use it unchanged for non-commercial research and educational purpose. Subsequent transfers of copyright cannot revoe this permission. All other uses of the document are conditional upon the consent of the copyright owner. The publisher has taen technical and administrative measures to assure authenticity, security and accessibility. According to intellectual property law the author has the right to be mentioned when his/her wor is accessed as described above and to be protected against infringement. For additional information about the Linöping University Electronic Press and its procedures for publication and for assurance of document integrity, please refer to its www home page: http://www.ep.liu.se/. c 2017, Soa Svensson