Kapitel 5 Innehåll Grundbok Minutare 6 7 Introsidor K 1 2 Mina kunskaper 5 och 5 Samband och förändring Tolka och rita koordinatsystem. Tolka och rita punktdiagram. Jämföra punktdiagram och dra slutsatser. Tolka grafer som visar händelser. Rita grafer efter värdetabeller. Proportionalitet. Grafer vid icke linjära samband. 8 9 Utforska 10 11 Punktdiagram K 29 Mattelappar, 5 12 Grafer 13 14 Proportionalitet och linjära samband K 29 Mattelappar, 5 K 3 Räkna mera, proportionalitet och grafer 15 16 lå 17 19 Röd K 25 Läxa 1 Rita ett enkelt punktdiagram med,, och. Ställ frågor och eleverna visar svar med bokstäver. Välj en graf för en händelse i boken. Ställ frågor, eleverna visar svar med bokstäver. Välj ett diagram i boken. Ställ frågor och eleverna visar svar. Geometri irkelns area. reaenheterna m², dm² och cm². Enhetsbyten vid areaenheter. Med hjälp av passare och linjal konstruera liksidig triangel, mittpunktsnormal, rätvinklig triangel, likbent triangel och trianglar med tre sidor givna. K 1 2 Mina kunskaper 5 och 5 20 21 Utforska K 4 Undersök rektangelns area K 5 Talsortsrutor, enhetsrutor 22 24 rea K 29 Mattelappar, 5 K 6 Räkna mera, area K 9 Mätning och enheter och 25 26 Konstruktion med passare och linjal K 7 Konstruktion med passare och linjal 27 28 lå 29 30 Röd Hur stor är cirkelns area om radien är? 3 cm? 5 cm? Räkna med π 3. Eleverna visar sina svar. Hur stor är cirkelns area om diametern är 8 cm? 20 cm? Räkna med π 3. Eleverna visar sina svar. Fråga på motsvarande sätt med rektanglar och trianglar. 22 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Innehåll Grundbok Minutare Volym egreppet volym hos geometriska kroppar. eräkna volym av rätblock. Enheterna m³, dm³ och cm³, samt växlingar mellan dem. 1 l = 1 dm³ och 1 ml = ³. Växla mellan liter, dl, cl, ml och volymenheter med kubik. K 2 Mina kunskaper 5 31 Utforska K 5 Talsortsrutor, enhetsrutor 32 35 Volym K 29 Mattelappar, 5 K 8 Räkna mera, volym K 9 Mätning och enheter 36 37 lå 38 40 Röd K 26 Läxa 2 Eleverna får skriva som dm²: 75 cm², 120 cm², 2 m² Eleverna får skriva som liter: 25 dl, 5 dl, 2 dm³ Eleverna får skriva som dm³: 0,5 m³, 30 cm³, 1,5 l nge mått för längd, bredd och höjd hos ett rätblock. Eleverna svarar med volymen. Utvärdering 41 Utvärdering K 10 Utvärdering 5 K 31 Förklara felen, kapitel 5 Repetition Stora tal. Tal i decimalform. Geometriska kroppar. rea och omkrets. 42 Fördiagnos, kapitel 6 K 11 Repetition, fördiagnos inför kapitel 6 43 Kommer du ihåg? K 12 Kommer du ihåg? 5 Kul med matte Geometriska kroppar. råk. Medelvärde. rea och omkrets. 44 Problemuppgifter 45 Kvadrattal K 13 Undersök kvadrattal Förslag till tidsplan rbetet med kapitel 5 bör ta ca 5 veckor. KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 23
Samband och förändring entralt innehåll enligt Lgr 11 i årskurs 4 6: Grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar. Koordinatsystem och strategier för gradering av koordinataxlar. Kommentarmaterialets förtydligande för åk 4 6: Genom kunskapsområdet Sannolikhet och statistik, utvecklar eleverna i årskurserna 1 3 grundläggande kunskaper om hur de kan använda enkla tabeller och diagram för att sortera data och beskriva resultat från undersökningar. essa kunskaper tillämpas och utvecklas vidare i årskurserna 4 6, men då i kunskapsområdet Samband och förändring genom innehållet grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar. Med hjälp av grafer och koordinatsystem kan eleverna visualisera samband och förändringar. et kan till exempel vara att med en graf illustrera hur långt en bil med en viss hastighet hinner på en viss tid. I årskurserna 4 6 ska undervisningen även behandla koordinatsystem och strategier för gradering av koordinataxlar. et innebär att eleverna ska göra graderingar av koordinataxlar, för att sedan placera ut punkter utifrån information av olika slag. Här ingår också att lokalisera punkter i ett koordinatsystem eller en graf utifrån givna frågeställningar eller situationer. Mål för området Samband och förändring i detta kapitel Eleverna ska kunna rita och tolka koordinatsystem med fyra kvadranter. rita och tolka punktdiagram och kunna dra slutsatser vid jämförelser. tolka grafer som visar händelser. räkna med proportionalitet vid t ex kilopriser, saftblandningar och fördelning i förhållande till insats. rita och tolka grafer som visar proportionalitet, linjära samband. skilja mellan grafer som visar linjära och icke linjära samband. Förkunskaper Eleverna ska kunna avläsa och markera koordinater för skärningspunkter i alla fyra kvadranterna och veta att x-koordinaten skrivs före y-koordinaten. e ska även kunna rita koordinatsystem och då välja en lämplig gradering av koordinataxlarna. Eleverna ska kunna hantera statistik med tabeller och kunna rita och tolka olika typer av diagram, framför allt linjediagram. Repetition/fördiagnos inför kapitel 5 På s 140 i Grundbok 6, liksom på K 48 i Lärarbok 6 finns uppgifter att göra som fördiagnos inför detta område. Eftersom uppgifterna ändrats från den första tryckningen, så finns den senaste versionen av kopieringsunderlaget K 48 i Lärarbok 6 att hämta på läromedelswebben för utskrift. Här följer kommentarer till uppgifterna. Uppgift 145: Skriver eleverna koordinaten för x-axeln först? Läser de av korrekt med positiva respektive negativa tal på axlarna i de olika kvadranterna? Uppgift 146: Vid kilopris gäller ett proportionellt samband mellan vikt och pris. Talen är valda så att eleverna kan använda huvudräkning. Tilda har alltså köpt 1 ½ kg äpplen. 24 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Om innehållet i området Samband och förändring Rubriken Samband och förändring är ny i kursplanens centrala innehåll. en finns med redan i åk 1 3 och tar då upp proportionella samband som hälften och dubbelt. Här i åk 4 6 har den utökats och innefattar: Proportionalitet och procent, samt deras samband. Grafer för att uttrycka olika typer av proportionella samband vid enkla undersökningar. Koordinater och strategier för gradering av koordinataxlar. en första punkten med proportionalitet och procent togs senast upp i Grundbok 6, kapitel 4. är var fokus på det smarta med att kunna uttrycka t ex reapriser som 50 % eller ½ av det ordinarie priset, i stället för att behöva skriva nya prislappar till alla reavaror. I detta kapitel visas nu samband med hjälp av grafer. Vi lyfter fram t ex möjligheten att avläsa kostnaden för olika viktsatser eller hur mycket vatten som går åt till olika volymer koncentrerad saft. För att kunna hantera sådana grafer krävs kunskaper om koordinatsystem, vilket finns med i den sista punkten ovan. I ett koordinatsystem måste man ta hänsyn till både x-axeln och y-axeln när man ska bestämma en punkts läge (koordinater). etsamma gäller diagram med grafer, då axlarna kan representera t ex tid och sträcka, vikt och pris eller längd och ålder. I arbetet med koordinatsystem har eleverna redan tränat detta, liksom när de tolkat linjediagram som visar en utveckling över tid. Men det är svårt för många elever att samtidigt läsa av vad en punkt innebär för både sträcka och tid, samt dessutom dra slutsatser vid jämförelser med andra punkter. Var därför beredd på att arbeta tillsammans med de elever som behöver och kanske låta de övriga arbeta i par. e inledande sidorna med punktdiagram ger god träning på att tolka vad olika punkter kan visa, samt att jämföra olika punkter och dra slutsatser, t ex: Vem är lika lång som? Vem är lika gammal som? Vem är lika lång som? För att underlätta för eleverna rekommenderar vi att man här håller över axeln med åldern. Eleverna kan då koncentrera sig på att avgöra punkternas läge mot längd-axeln och avläsa att är lika lång som. Vem är lika gammal som? Här kan man hålla över längd-axeln och jämföra punkternas läge mot axeln för åldern och se att har samma ålder. ärefter presenteras grafer som visar en händelse, t ex: Sträcka Grafen visar Emils promenad till biblioteket. Promenaden avbryts för att springa hem och hämta lånekortet, men sedan forsätter han att gå. Här måste man ta hänsyn både till tid och sträcka och inte tänka på kurvan som en visuell bild av att vägen går uppför och utför, vilket inte alltid är så lätt. Området avslutas med grafer som visar proportionalitet vid t ex kilopriser, som: Kostnad (kr) 70 60 50 40 30 20 10 Körsbär 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vikt (hg) Här kan eleverna avläsa kostnaden för olika viktsatser, samt avgöra hur många hektogram körsbär man får för olika mycket pengar. Ålder Längd KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 25
Kostnad (kr) 50 40 30 20 10 Volym 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (liter) Koncentrerad saft 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Vatten 3 m 6 m 2,5 m Kapitel 5 Geometri reaenheterna m², dm², cm² och mm². Enhetsbyten med areaenheter. Hur många cm 2 är 1 dm 2? m² dm² cm² mm² 1 0 0 1 0 0 1 0 0 irkelns area. eräkna area. Samband och förändring Vad måste du tänka på när du graderar axlarna i ett koordinatsystem? nvända samma enheter i en beräkning. Konstruera med passare och linjal: - trianglar - mittpunktsnormal Vad måste du göra här innan du beräknar den här arean? 5 cm 1 dm Koordinater. Punktdiagram. Ålder Längd Äppeljuice Volym Volymenheterna l, dl, cl och ml, samt m³, dm³ och cm³. Enhetsbyten med volymenheter. m³ dm³ cm³ l ml dl cl 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Grafer läsa av, rita egna och gradera axlarna. Proportionella samband, tabeller och grafer. Saft 1 dl 1,5 dl 2 dl Vatten 3 dl 4,5 dl 6 dl Sambanden l dm³ och ml cm³. eräkna volymen av rätblock. Icke proportionella samband. nvända samma enheter i en beräkning. Vilket samband finns mellan Är 1 liter lika mycket cm, cm 2 och cm 3? som 1 dm 3? 6 7 Eldorado6.indb 6 2013-10-29 09:07 s 6 7 Introsidor Till respektive områdesruta finns motsvarande innehåll på kopieringsunderlagen K 1 och K 2, där eleverna under arbetets gång kan göra anteckningar om sina kunskaper. Samband och förändring Samtala om denna ruta i samband med Utforska, s 8 9. Här följer kommentarer till tankebubblan: Vad måste du tänka på när du graderar axlarna i ett koordinatsystem? I ett vanligt koordinatsystem ska båda axlarna graderas på samma sätt, dvs ha samma längdenheter. et kallas ett ortonormerat koordinatsystem. Nu får eleverna möta punktdiagram, där en punkt kan visa t ex både längd och ålder som här. Håll över y-axeln med ålder och titta bara på x-axeln med längd. Vem eller vilka är längst? Vem är kortast? Eldorado6.indb 7 2013-10-29 09:07 e möter även diagram där grafen blir en rät linje, här t ex kostnaden i kr för olika volymer. Eftersom kostnaden är proportionell mot volymen vid literpris (kr/l), så är grafen alltså linjär. I grafen som visar saftblandningen är mängden koncentrerad saft proportionell mot vattenmängden, alltså är även den grafen linjär. Geometri Samtala om denna ruta i samband med Utforska, s 20 21. Här följer kommentarer till tankebubblorna: Hur många cm² är 1 dm²? I tabellen kan man se att svaret är 100 cm². åde i detta område med area och i nästa område med volym kommer eleverna att få träna på enheter och enhetsbyten och jämföra med längdenheter och talsortsrutorna i decimalsystemet. Vad måste du göra här innan du beräknar arean av rektangeln med sidorna 5 cm och 1 dm? För att beräkna arean måste sidorna anges i samma enhet, antingen cm och areaenheten blir då cm² eller i dm och areaenheten blir dm². eräkning av cirkelns area är nytt här, liksom att använda passare och linjal för olika konstruktioner. 26 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Volym Samtala om denna ruta i samband med Utforska, s 31. Här följer kommentarer till tankebubblorna: Är 1 liter lika mycket som 1dm³? Ja. igare har eleverna arbetat med volymenheterna som utgår från grundenheten liter. Nu möter de även enheter med kubik, vilka används vid volymberäkningar av geometriska kroppar, som här vid rätblock och kuber. Vilket samband finns mellan cm, cm² och cm³? Rita de tre enheterna. ² ³ Längdenheten cm finns som längdmått både i kvadratcentimetern och i kubikcentimetern, se i bilderna ovan. Kopieringsunderlag K 1 2 Mina kunskaper 5 och 5 KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 27
Samband och förändring Utforska Koordinatsystem a) Rita av koordinatsystemet och gradera axlarna. b) nge koordinaterna för origo, samt för punkterna och. c) Sätt ut punkterna (0, 3), (3, 0) och E ( 2, 4). Punktdiagram Pris Ålder och pris på Pålle och lacken Punkterna i diagrammet visar personerna,, och. a) Vem är lika lång som? b) Vem är lika många år som? c) Vem är hälften så gammal som? åda diagrammen visar eleverna och. Är följande påståenden sanna eller falska? a) en som är längst har flest syskon. b) en som har flest syskon är yngst. c) en som är äldst har flest sällskapsdjur. 8 KPITEL 5 Samband och förändring P Ålder 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 P och i punktdiagrammet motsvarar de två hästarna Pålle och lacken. a) På vilken axel kan du läsa av åldern? b) På vilken axel kan du läsa av priset? c) Vilken av hästarna är äldst? Hur vet du det? d) Jämför priserna på hästarna. Ålder. I punktdiagrammen i detta kapitel är alla värdena positiva, så eleverna behöver endast rita den första kvadraten. ntal sällskapsdjur Ålder Längd ntal syskon x Längd Grafer Tilda åker buss till skolan. en blå grafen visar Sträcka (km) hur långt hon åker och hur lång tid det tar. 9 8 a) Vad visar den lodräta axeln? 7 b) Vad visar den vågräta axeln? 6 c) Skolbussen stannar en gång. 5 Vid vilken bokstav är det? 4 d) Hur långt är det till skolan () från 3 busshållplatsen där Tilda stiger på ()? 2 e) Hur lång tid tar hela resan? 1 f) Hur länge står bussen och väntar? 3 6 9 12 15 18 g) Kör bussen lika fort efter som före stoppet? Hur vet du det? Proportionalitet och linjära samband Kostnad (kr) Äppeljuice 50 Grafen visar kostnaden för äppeljuice. 40 a) Vad kostar 4 liter äppeljuice? 30 b) Vad kostar 6 liter äppeljuice? 20 c) Ungefär hur mycket äppeljuice får du för 25 kr? 10 d) Vad kostar äppeljuicen per liter? e) Hur ändras grafen om priset per liter höjs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 respektive sänks? Eleverna säljer kaffe med bulle på idrottsplatsen. Värdetabell För att förenkla när de ska ta betalt har de gjort Portioner 1 2 3 4 en tabell med pris för olika antal portioner. Pris 12 kr 24 kr 36 kr a) Hur ska tabellen fortsätta? b) Är priset proportionellt mot antalet portioner? Jämför bråken: 12 24 36 1 2 3 Gör ett koordinatsystem och lägg in priset på y-axeln och antalet portioner på x-axeln. Gradera axlarna på lämpligt sätt. et behöver inte vara samma gradering på x-axeln som på y-axeln. ra sedan en linje från origo genom alla punkter som du lagt in. (min) Volym (liter) KPITEL 5 Samband och förändring 9 Eldorado6.indb 8 2013-10-29 09:07 s 8 9 Utforska Eleverna arbetar i par eller i grupp och börjar med uppgifterna och på s 8. Sedan följer ni gemensamt upp elevernas lösningar innan de fortsätter med uppgifter om punktdiagram på s 10 11. Tipsa eleverna om att hålla över en axel och bara titta på en axel i taget vid uppgifterna i. Låt sedan eleverna arbeta parvis med uppgift. Efter gemensam uppföljning fortsätter de att arbeta med liknande grafer på s 12. Till sist får eleverna besvara frågorna i uppgift, men följ upp svaren innan de fortsätter arbetet med proportionalitet och linjära samband på s 13 14.. Låt eleverna beskriva koordinatsystem och koordinater. en vågräta axeln är x-axeln och den lodräta y-axeln och de är då vinkelräta mot varandra. Skärningspunkten kallas origo. xlarna graderas lika och utgör två tallinjer med punkten 0 i origo. Eldorado6.indb 9 2013-10-29 09:07 Ett koordinatsystem har fyra kvadranter. Punkter i den första kvadranten har alltid positiva värden. Gå runt motsols till den andra, tredje och fjärde kvadranten. Läget av en punkt i rutsystemet anges med två tal, koordinater, där läget mot x-axeln alltid anges först. Runt varje talpar skrivs en parentes. Talen skiljs åt med ett kommatecken, t ex (3, 5) eller vid t ex decimaler med ett semikolon, som (1,5; 4,5). T ex koordinaterna ( 4, 8) utläses minus fyra, åtta. Samtala om att koordinatsystemet visar en punkt på planet, tvådimensionellt. Hur tror eleverna att man gör för att visa en punkt i rymden, tredimensionellt. lltså en punkt ovanför koordinatsystemet. å behövs en axel till som går vinkelrätt upp från origo. Håll en axel i origo. Visa nu hur man kan läsa av alla tre axlarna, t ex (5, 3, 8), där det sista talet anger läget mot den tredje axeln (vilken brukar kallas z-axeln). Gå tillsammans igenom inforutan om koordinatsystem på s 10, innan eleverna arbetar vidare med det uppslaget. 28 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
et är viktigt att eleverna vänjer sig vid att alltid börja med att läsa av vad respektive axel visar och vilka enheter som är aktuella. Uppgiften med Pålle och lacken: I början kan det vara bra att hålla över den lodräta axeln, här den med pris när man ska jämföra hästarnas ålder. et är lättare att koncentrera sig på en axel i taget, eftersom de visar olika saker och inte bara tal som i koordinatsystemet. Eftersom är längre till höger än P, så är lacken alltså äldre än Pålle. Håll sedan över axeln med ålder och koncentrera er på axeln med priset. Eftersom priset ökar uppåt på axeln, så måste P vara dyrare än. Även om det inte står några tal på axlarna så vet man att Pålle är dubbelt så dyr som lacken, eftersom punkterna ligger två respektive fyra rutor från origo. Uppgiften med personerna,, och : Många har nytta av att hålla handen över och dölja axeln med åldern när de ska jämföra längderna. Eftersom och har samma läge mot x-axeln (för längd) så måste de alltså vara lika långa. Personerna och har samma läge mot y-axeln (med åldern) och är därför lika gamla. Eftersom :s ålder motsvarar fyra rutor och :s ålder motsvarar två rutor, så måste vara hälften så gammal som. Låt eleverna avgöra vem som är dubbelt så lång som. et måste vara. Uppgiften med eleverna och : Här får eleverna jämföra fakta från två punktdiagram. a) I det övre diagrammet kan man se att elev är längst, men i det undre ser man att inte har flest syskon. Påståendet är alltså falskt. b) Elev har flest syskon och är även yngst. Påståendet är därför sant. c) Elev är äldst och har också flest sällskapsdjur. Påståendet är därför sant.. Låt eleverna studera grafen och besvara frågorna. Följ sedan upp deras svar. Resonera först om hur grafen ska tolkas. örja med att titta på tiden på x-axeln. Efter de första 9 minuterna bryter den blå grafen av vid punkt och blir parallell med x-axeln. Hur lång sträcka har bussen då färdats? Gå från till y-axeln som visar sträckan i km och läs av 6 km. Mellan punkterna och är tiden 3 minuter. Vad händer då? Punkten ligger fortfarande mittför 6 km, så bussen har inte förflyttat sig utan måste stå stilla. Från till kör bussen 2 km och det tar 6 min. Har bussen samma hastighet mellan och som mellan och? Mellan och lutar grafen lite mindre eftersom den nu kör 2 km på 6 min. Mellan och körde den 6 km på 9 min, alltså 2 km på bara 3 min. Rita ett exempel med två axlar för tid respektive sträcka och rita tre grafer som alla är rätlinjiga men med olika lutning. Graferna visar tre olika bilar. Vilken av bilarna kör fortast? et gör den bil som har den brantaste lutningen, eftersom den hinner längst sträcka på en viss tid. Uppmärksamma eleverna på att de två axlarna här kan graderas på olika sätt i motsats till det vanliga koordinatsystemet. Efter denna genomgång av grafen får eleverna kontrollera sina tidigare svar, innan ni följer upp dem gemensamt. Fråga om det var något svar som de ändrade nu och varför. et är bra att veta vad det var som de till en början missuppfattade. Titta gemensamt på grafen i inforutan på s 10. Vad visar axlarna här? Låt eleverna föreslå vad denna graf skulle kunna visa. enna graf finns med på s 12 och visar när nton tappar upp vatten i ett badkar. Vad kan sträckan mellan och E innebära? Jo, att vattenmängden minskar, vilket kan orsakas av att nton drar ur proppen. Eleverna får sedan arbeta med s 12 och det finns fler liknande uppgifter på avsnitt lå och Röd.. Eleverna har tidigare mött proportionalitet när de t ex räknat med priser som kr/kg, kr/liter och kr/m. Grafen visar kostnad per liter för äppeljuice. Tittar man på markeringen med1 liter på x-axeln och läser av kostnaden på y-axeln, så är literpriset 5 kr. Kvoten mellan kostnaden och volymen kommer hela tiden att vara densamma, t ex 5 10 15 20 25 osv. Man säger då 1 2 3 4 5 att förhållandet är proportionellt. Ritar man en graf över detta så blir det en rät linje som startar i origo. Om literpriset höjs så kommer grafen att bli brantare eftersom 1 liter kostar mer. Sänks literpriset så minskar graf ens lutning. Eleverna får sedan göra en värdetabell över kaffeförsäljningen och därefter rita en graf till den. eras linje ska också bli en rät linje, eftersom proportionalitet gäller vid förhållandet mellan kostnaden och antalet portioner. Samtala gemensamt om inforutan på s 13 innan eleverna arbetar vidare på egen hand. KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 29
Pris 4 3 2 1 x-axel 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 3:e kvadranten 4:e kvadranten Vattenmängd E Ålder KOORdINTSYSTEM, PUNKTdIGRM OcH GRFER Koordinatsystem: Här anges en punkts läge med två tal. et talparet kallas punktens koordinater. et första talet anger läget i relation till x-axeln och det andra läget i relation till y-axeln, t ex (2, 3). Koordinatsystemet är indelat i fyra kvadranter. X-axeln och y-axeln korsar varandra i nollpunkten, origo. Tal till vänster om origo på x-axeln är negativa liksom talen nedanför origo, på y-axeln. Punktdiagram: Varje punkt i ett punktdiagram beskriver punktens relation till de egenskaper som finns på x- respektive y-axeln. Man kan enkelt jämföra två punkters egenskaper och visa samband eller skillnader. Grafer: En graf är oftast en kurva eller en linje. Grafen kan visa händelser eller samband. y-axel 2:a kvadranten 1:a kvadranten ( 3, 1) ( 3, 2) origo (2, 3) (4, 1) Ålder och pris på Pålle och lacken P 1 Rita ett koordinatsystem där både x-axeln och y-axeln går från 3 till 7. Sätt ut punkterna (3, 1), (5, 2), (4, 0), (1, 3), E ( 1, 4) och F (2, 1). ra streck från till, från till och från till. 2 Punkterna i diagrammet visar personerna,, och. a) Vilka två personer väger lika mycket? b) Vilka två personer är lika långa? c) Vem är hälften så lång som? d) Vem är kortast och väger dessutom minst? 3 och är två cyklister som jämför hur de cyklar olika dagar. Vilken dag gäller vart och ett av påståendena? a) har cyklat längre ag 1 ag 2 ag 3 Sträcka Sträcka Sträcka sträcka än. b) har cyklat längre sträcka än. c) har cyklat längre tid än. d) och har cyklat lika lång sträcka. e) och har cyklat lika lång tid, men olika lång sträcka. Vikt Längd 4 Samira, Emil, Tilda och nton packar ned ntal böcker böcker som de lånat i sina ryggsäckar. a) Vem har lånat flest böcker, nton eller Emil? b) Vad kan du säga om vikten på ntons och Tildas ryggsäckar? c) Jämför Emils och Samiras ryggsäckar. Vad kan du säga om antalet böcker och om tyngden på deras ryggsäckar? Ålder 5 Några elever jämför sina cyklar. e har olika storlek på hjulen. Rita punktdiagram som visar att a) elev är lika gammal som elev, men har större cykelhjul. b) elev är yngre än elev och de har lika stora cykelhjul. 6 åtaffären säljer ut restbitar av olika rep. Rita av punktdiagrammet och markera de olika repen,,, och E. a) är dyrare än, men repet är lika långt. b) är kortare än och billigare. c) är längre än, men kostar lika mycket som. d) estäm själv hur E förhåller sig till. Skriv det och rita in E. nton Kostnad Tilda Samira Repbitar Emil Vikt Hjuldiameter Längd 10 KPITEL 5 Samband och förändring KPITEL 5 Samband och förändring 11 Eldorado6.indb 10 2013-10-29 09:07 s 10 11 Punktdiagram Tolka och rita koordinatsystem. Tolka och rita punktdiagram. Jämföra punktdiagram och dra slutsatser. Samtala gemensamt om inforutan i samband med Utforska på s 8. När eleverna ritat koordinatsystemet, satt ut punkterna och sammanbundit punkterna, och, så har de bildat en likbent triangel med ena hörnet på x-axeln. Eldorado6.indb 11 2013-10-29 09:07 Förenkla Gör uppgifterna 1 6 tillsammans. Observera Kan eleverna utnyttja rutorna och avgöra att är hälften så lång som i uppgift 2 c? Stämmer elevernas egna påståenden till jämförelsen av E och i uppgift 6 d? Låt eleverna vid lämpligt tillfälle besvara Mattelapp 5 om punktdiagram. Kopieringsunderlag K 29 Mattelappar, 5 Uppgift 3: Här finns beskrivningarna av diagrammen angivna och eleverna ska avgöra vilket diagram som passar till vart och ett av påståendena. Här är det viktigt att eleverna läser noggrant och inte missar något ord. Uppgift 5: Här finns många olika lösningar. Låt eleverna motivera placeringarna av sina kryss. 30 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
s 12 7 nton och Samira går från skolan till biblioteket. Para ihop händelserna med rätt bokstav. a) Efter ungefär halva vägen stannar Samira och pratar med en kamrat. b) e är framme. c) nton kommer ifatt Samira och de gör sällskap resten av vägen. d) Samira startar före nton. e) nton startar från skolan. Sträcka E Grafer Tolka grafer som visar händelser. För många elever är det svårt att förhålla sig till båda axlarna samtidigt (t ex både tid och sträcka) och tänka ut konsekvenserna av vad båda visar. örja gärna med att resonera om de olika graferna. Vad visar axlarna? Vad innebär ett vågrätt streck här? Vad innebär det när grafen viker av nedåt i uppgift 8, respektive uppgift 9? Efter denna tolkning av graferna kan eleverna lösa uppgifterna i par och resonera med varandra om olika lösningar. els får de då träna sig i att resonera matematik, dels ger det en bättre lärandesituation här. En ensam elev skriver oftast ned sitt första svar och reflekterar inte över olika möjligheter. När två arbetar tillsammans blir det ofta många reflektioner och man lyfter fram olika saker till diskussion. Uppmana eleverna att motivera sina förslag till lösningar för varandra. 8 nton tappar upp vatten i badkaret. Vattenmängd Medan vattnet rinner i händer det olika saker som gör att han måste ändra på vattenflödet. Para ihop händelserna med rätt bokstav. a) et ringer på dörren. nton stänger av och går och öppnar. b) nton minskar vattenflödet. c) nton drar ur proppen och tappar ur en del av vattnet. d) nton kommer tillbaka och fortsätter att tappa upp vattnet. 9 Emil och Tilda gör sällskap till biblioteket. Efter en kort stund vänder Emil för att hämta sitt lånekort. Tilda väntar på honom. Sedan fortsätter de tillsammans. Rita av grafen för Emils promenad och rita in grafen för Tildas promenad i samma diagram. Sträcka E Uppgift 7: Vilken av graferna representerar ntons respektive Samiras promenad till biblioteket? Låt eleverna berätta om vad de kan utläsa från de två graferna. Vad innebär det att den blå och den röda är parallella i början? Eleverna går alltså med samma hastighet, vilket de fortsätter att göra även senare, efter punkt. Uppgift 8: Låt eleverna berätta om vad de kan utläsa. a) b) c) d) Vad föreslår eleverna att det ska hända vid E och hur kommer grafen då att fortsätta? 12 KPITEL 5 Samband och förändring Eldorado6.indb 12 2013-10-29 09:07 Observera Kan eleverna beskriva en graf som visar en händelse och ta hänsyn till båda axlarna i händelsen? Kan eleverna förklara skillnad i hastighet utifrån olika grafers lutning? Uppgift 9: När Emil vänder tillbaka så förstår man att han springer, eftersom han nu hinner samma sträcka som tidigare på en ruta och tidigare tog det två rutor. Han springer sedan tillbaka till Tilda på samma tid och efter det så går de med samma hastighet som i början. Tildas graf blir lika som Emils i början och slutet. Men när Emil springer hem och hämtar sitt lånekort, två rutor i tid, då står Tilda och väntar dvs hon rör sig ingen sträcka, varken framåt eller bakåt. Eftersom hon står still blir alltså linjen i hennes graf vågrät för dessa två rutor. Förenkla Gör uppgifterna tillsammans med eleverna, så att du har möjlighet att resonera om olika förslag till tolkningar. KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 31
s 13 Proportionalitet och linjära samband Proportionalitet, exempel från vardagen, t ex priser och saftblandning. Proportionalitet med grafer, linjära samband. PROPORTIONLITET OcH LINJäR SMNd Proportionalitet betyder att förhållandet mellan t ex pris och vikt är konstant. Kvoten mellan priset och vikten är samma, t ex 1 hg kostar 6 kr, 2 hg kostar 12 kr 6 = 12 = 18 = 24 1 2 3 4 Proportionalitet kan visas på olika sätt. När man t ex ska blanda koncentrerad saft och vatten kan proportionaliteten visas som förhållande: 1 dl saft och 3 dl vatten ger 4 dl saft, förhållandet är 1:3. 4 dl saft och 12 dl vatten ger 16 dl saft, förhållandet är 1:3. Koncentrerad saft som en graf: 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Vatten Ett linjärt samband är en graf som visar proportionalitet, dvs en rät linje. Samtala gemensamt om inforutan. Första exemplet gäller kostnad och vikt, liknande det som eleverna nyss arbetat med på Utforska. Nästa exempel är också vanligt i vardagen, nämligen proportionalitet vid blandning av saft och juice. Om det står 1:3 på en saftflaska, så ska förhållandet mellan koncentrerad saft och vatten vara 1 till 3. Tar man 1 dl koncentrerad saft så ska man ta 3 dl vatten, till 2 dl koncentrerad saft tar man 6 dl vatten, till 3 dl koncentrerad saft tar man 9 dl osv. Hur mycket vatten ska man ta till 7 dl koncentrerad saft eller till 9 dl koncentrerad saft? et blir alltså 3 gånger så mycket vatten som koncentrerad saft. Rita gärna förhållandet med hjälp av rutor för andelen koncentrerad saft respektive vatten, precis som i inforutan. Markera rutorna för den koncentrerade saften. et blir alltså tre gånger så många vattenrutor. Hur mycket färdig saft blir det? et är inte givet för alla att det blir fyra gånger mängden koncentrerad saft. Skriv i stället upp mängden koncentrerad saft och mängden vatten, så blir det enkelt att ange den färdigblandade mängden saft. (Vi tar inte upp följande fråga nu: Hur stor del av den färdigblandade saften utgörs av koncentrerad saft? et blir 1 eller 25 %, eftersom det är en av fyra rutor. 4 et är lätt att inse att detta skulle verka förvirrande för många av eleverna, så det sparar vi.) Ett icke linjärt samband är en kurva eller en linje som är delad. 10 Emil och hans kompisar ska blanda olika sorters saft. a) Flädersaften ska blandas 1:5. e häller 3 dl koncentrerad saft i kannan. Hur mycket vatten behövs? b) Hallonsaften ska blandas 2:3, dvs 2 delar saft och 3 delar vatten. Hur mycket färdigblandad saft får de om de tar 6 dl koncentrerad saft? c) e ska ha 16 dl färdigblandad apelsinsaft. Hur mycket koncentrerad saft behövs om apelsinsaften ska blandas 1:7? 11 Rita av tabellen och fyll i kostnaderna för de olika viktsatserna. Vikt 1 hg 2 hg 3 hg 4 hg 6 hg 8 hg 1 kg Kostnad 48 kr 12 nton och Emil får 240 kr för att de har rensat ogräs. e fördelar pengarna efter hur mycket de har arbetat. Hur mycket får var och en om Emil har arbetat dubbelt så mycket som nton? Förenkla Stryk uppgift 10 c. Observera Låt eleverna muntligt motivera sina lösningar till saftblandningarna. Kan eleverna förklara varför grafen i uppgift 11 blir en rät linje? Kopieringsunderlag K 29 Mattelappar, 5 KPITEL 5 Samband och förändring 13 Eldorado6.indb 13 2013-10-29 09:07 Jämför nu de två graferna i inforutan. Uppgift 12: Pengarna ska fördelas proportionellt och summan delas med tre. nton får en del och Emil två delar. Låt eleverna besvara Mattelapp 5 med saftblandning. 32 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
s 14 Proportionalitet och linjära samband Rita grafer efter värdetabeller. Grafer vid icke linjära samband. Tolka grafer. Uppgift 13: enna uppgiftstyp arbetade eleverna med i Grundbok 6, kapitel 2. Här vet de kostnaden för 7 hg. e kan då beräkna kostnaden för 1 hg och sedan för vilken viktsats som helst. För att man i livsmedelsaffärer lättare ska kunna jämföra t ex kostnaden för en viss vara som finns i olika stora förpackningar och från olika producenter, finns därför kilopris, hektopris och literpris angivna på hyllan. Uppgift 14: Vinsten ska fördelas i proportion till hur mycket var och en betalat, här 25 75, dvs 1 när man förkortar med 25. å kan man alltså dela vinsten i fyra 3 delar och ge 1 del till och 3 delar till. Uppgift 16: Graferna och visar proportionalitet, vilket innebär ett linjärt samband. 13 Hur mycket kostar 4 hg ost om 7 hg kostar 62,30 kr? 14 Två personer, och, köper en lott tillsammans och vinner 10 000 kr. Vinsten ska fördelas i proportion till hur mycket var och en har betalat. Hur mycket får var och en om har betalat 25 kr och 75 kr? 15 a) Rita in värdena från varje tabell i var sitt koordinatsystem. x y x y x y x y 0 2 1 1 0 0 3 0 3 6 2 2 1 3 5 2 4 8 3 3 2 6 7 4 5 10 4 4 3 9 9 5 b) Vilken eller vilka av dina grafer visar proportionalitet? 16 Vilken eller vilka av graferna visar proportionalitet, dvs linjära samband? 17 a) Vad kostar 5 hg körsbär? b) Hur många hekto körsbär får du för 14 kr? c) Vad kostar 1 kg körsbär? d) Hur många hekto skulle du köpa och vad skulle det kosta? Kostnad (kr) 70 60 50 40 30 20 10 Körsbär 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 KPITEL 5 Samband och förändring Vikt (hg) Eldorado6.indb 14 2013-10-29 09:07 Uppgift 17: Här får eleverna tolka diagrammet och utläsa kostnader och vikt utifrån grafen. e ska också välja en egen viktsats och utläsa kostnaden för den. Förenkla Gör de två första uppgifterna tillsammans. Observera Klarar eleverna att beräkna hektopriset i uppgift 13? Hur ritar eleverna sina grafer i uppgift 15? Väljer eleverna ett antal hektogram som är lätt att läsa av i diagrammet? Kopieringsunderlag K 3 Räkna mera, proportionalitet och grafer KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 33
lå 18 nge koordinaterna för punkterna,,, och E. 19 Rita ett koordinatsystem där x-axeln går från 3 till 8 och y-axeln från 3 till 6. Sätt ut punkterna (6, 3), (0, 1), (4, 5), (5, 0) och E ( 2, 4). 3 2 1 1 2 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 E 20 Punkterna i de två diagrammen beskriver tre matkassar, och. a) Vilken av matkassarna är dyrast? Kostnad Vikt b) Vilken av matkassarna väger mest? c) Vilken av matkassarna väger minst? ntal varor d) Vilken matkasse är hälften så tung som? e) Vilka matkassar innehåller lika många varor? f) Vilka matkassar kostar lika mycket? 8 7 6 5 4 3 2 1 y ntal varor 22 Vilken eller vilka av graferna,, och visar linjära samband. Motivera. 23 Två personer, och, cyklar olika vägar från en plats till en annan. cyklar först långsamt på en krokig väg. Sedan blir vägen rak och han cyklar fortare. Sista biten är en lång uppförsbacke som går sakta. cyklar på en väg som är rak och fin till att börja med. å går det fort och han hinner långt. Sedan kommer en brant uppförsbacke som går långsamt att ta sig upp för. När backen slutar är det en kort nedförsbacke innan han är framme. Vilken graf visar cykelfärden för person respektive för person? Sträcka Sträcka Sträcka Sträcka Graf 1Graf 1 Graf 2Graf 2 24 Grafen visar priset för faktahäften. Kostnad (kr) a) Vad kostar 10 häften? 700 21 Punkterna i diagrammet visar fruktpåsarna,,, och E. a) Vilken påse är dyrast? b) Vilken påse väger minst? c) Vilken påse väger mest? d) Vilka påsar kostar lika mycket? e) Vilka påsar väger lika mycket? Kostnad Fruktpåsar E Vikt b) Vad kostar 25 häften? c) Vad kostar 15 häften? d) Hur många häften får man för 600 kr? e) Hur många häften får man för 400 kr? 600 500 400 300 200 100 5 10 15 20 25 30 ntal KPITEL 5 Samband och förändring 15 16 KPITEL 5 Samband och förändring Eldorado6.indb 15 2013-10-29 09:07 s 15 16 Eldorado6.indb 16 2013-10-29 09:07 lå Låt gärna eleverna arbeta i par med uppgifterna, så att de reflekterar och resonerar om olika möjligheter och tolkningar. Uppmana dem att hålla över en axel i taget när de ska tolka punktdiagram. Observera Klarar eleverna att läsa av på rätt axel? Kan de läsa av diagrammet korrekt i uppgift 24? 34 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Röd 25 a) Vilket paket är dyrast? b) Vilket paket väger minst? c) Vilket paket väger mest? d) Vilka paket kostar lika mycket? e) Vilket paket väger hälften så mycket som? f) Vilket paket väger tre gånger så mycket som E? 26 Två personer, och, cyklar olika vägar mellan Vikt två orter. cyklar först sakta på en grusväg. Efter ett tag blir det fin rak asfaltväg och han cyklar fortare. Sedan stannar han en kort stund. Sista biten är en lång uppförsbacke som går sakta. cyklar på en väg som är rak och fin till att börja med. Sedan blir vägen krokig och det går långsammare. Efter det kommer en brant uppförsbacke som går ännu långsammare att ta sig upp för. När backen slutar kommer en kort nedförsbacke, sedan är hon framme. a) Vilken av graferna visar cykelturen för respektive? b) eskriv hur den tredje cyklistens väg kan ha sett ut. Sträcka Graf 1 Sträcka Graf 2 Sträcka Graf 3 Pris E 27 Kalle åker bil till farmor. e kör först på motorväg. Sedan stannar de till och tankar och fortsätter efter det på en mindre grusväg. Rita en graf som visar resan. 28 Två båtar startar från hamnen samtidigt och kör mot samma mål. åt kör med jämn fart hela tiden. åt kör långsamt i början, men ökar sedan farten efter halva vägen och kommer fram samtidigt som båt. Rita hur graferna för de två båtarna kan se ut. 29 nton har en flaska med röd saft. På flaskan står att den ska spädas 1:7. Flaskan innehåller 6 dl koncentrerad saft. Hur mycket färdig saft blir det om han använder hela flaskan? 30 Tilda har en flaska gul saft. et behövs 3 delar saft till 5 delar vatten. Flaskan innehåller 6 dl koncentrerad saft. a) Hur mycket färdigblandad saft blir det om hon använder hela flaskan? b) Hur mycket saft respektive vatten är det i den färdigblandade saften? c) Rita en graf som visar saftblandningen. Sätt ut saft på x-axeln och vatten på y-axeln. 31 Emil ska köpa vindruvor. Kostnad (kr) et finns gröna och blå druvor. 40 Han väljer blå och köper 1 kg. a) Hur mycket gröna druvor skulle 30 han ha fått för samma pris? b) Vad kostar 6 hg gröna druvor? 20 c) Vad får Emil betala om han köper ½ kg av varje sort? 10 blå druvor Vindruvor gröna druvor 0,5 1 1,5 2 Vikt (kg) KPITEL 5 Samband och förändring 17 18 KPITEL 5 Samband och förändring Eldorado6.indb 17 2013-10-29 09:07 s 17 19 Röd Uppgift 27: Låt eleverna redovisa och berätta händelserna till sina grafer. Uppgift 28: Här kan elevernas grafer se mycket olika ut, men ändå vara korrekta. Uppgift 33: Här får eleverna titta extra noga på vad axlarna representerar och vad grafen visar, nämligen hur mycket bränsle som finns i tanken under resan. När grafens linje är lodrät står bilen stilla, men bränslemängden ökar, vilket innebär att familjen tankar bilen. e tankar alltså bilen vid två tillfällen. Först 25 liter efter 20 mil och sedan 20 liter efter ytterligare 30 mil. Hela resan är 60 mil. Eleverna kan arbeta vidare med extrauppgifterna 1, 6, 7 och 11 på sidorna 154 155 i Grundboken. Eldorado6.indb 18 2013-10-29 09:07 32 a) Vad kostar 2 kg potatis? b) Vad kostar 5 kg potatis? c) Hur mycket potatis får man för 45 kr? d) Vilket är kilopriset? 33 Samiras familj åker bil till fjällen. e kör med genomsnittshastigheten 80 km/h. I grafen ser du deras resa med pauser för att tanka och fika. a) Hur många gånger stannade de? ränsle Fjällresa 60 b) Hur mycket bränsle tankade de 50 den andra gången? 40 30 c) Hur långt hade de kommit då? 20 10 d) Hur mycket bränsle hade de i tanken km från början? 100 200 300 400 500 600 e) Hur mycket bränsle hade de i tanken när de kom fram? f) Hur mycket tankade de sammanlagt? g) Hur lång var resan? 34 I närbutiken kostar bananer 20 kr/kg ena veckan och 15 kr/kg andra veckan. Rita ett koordinatsystem. Rita in båda prisernas grafer med vikt från 0 till 4 kg. 35 Ett och ett halvt kilogram köttfärs kostar 120 kr. a) Hur mycket kostar 6 hg köttfärs? b) Hur mycket köttfärs får man för 72 kr? Kostnad (kr) 60 50 40 30 20 10 Potatis 1 2 3 4 5 6 Vikt (kg) 36 Tilda och Samira tjänar 450 kr en helg. e fördelar pengarna i proportion till hur mycket de har arbetat. Hur mycket får var och en om Tilda har arbetat fyra gånger så mycket som Samira? 37 Tre personer,, och får en säck med 45 kg hundmat. e ska fördela hundmaten i proportion till hur många hundar de har. Hur mycket hundmat får var och en om har tre hundar, har en hund och har två hundar? KPITEL 5 Samband och förändring 19 Eldorado6.indb 19 2013-10-29 09:07 KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 35
Geometri entralt innehåll enligt Lgr 11 i åk 4 6: Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskattas. [...] Konstruktion av geometriska objekt Kommentarmaterialets förtydligande för åk 4 6: Repetition/fördiagnos inför kapitel 5 På s 140 i Grundbok 6, liksom på K 48 i Lärarbok 6, finns uppgifter som fördiagnos till detta område. Här följer några kommentarer till uppgifterna: Uppgift 147: Kan eleverna beräkna cirkelns omkrets korrekt? Hur använder de radie, diameter och pi? Uppgift 148: a) nvänder eleverna samma enhet på sidorna när de beräknar arean? Skriver de enheten korrekt? b) Hur beräknar eleverna omkretsen? dderar de sidorna och dubblar eller adderar de alla fyra? Gör de enhetsbyte? Skriver de korrekt enhet till omkretsen? Med metoder avser kursplanen för de här årskurserna olika formella eller informella tillvägagångssätt för att bestämma omkrets och area. Progressionen består i att de två- och tredimensionella objekten blir allt mer komplext uppbyggda och att undervisningen i de högre årskurserna även omfattar skalenliga avbildningar. Mål för området Geometri i detta kapitel Eleverna ska kunna eräkna arean av rektanglar, parallellogram, trianglar och cirklar med hjälp av formler. nvända areaenheterna cm², dm² och m² och kunna växla mellan dem. Förstå skillnaden mellan areaenheten ² som en kvadrat med sidan och en figur med arean ², t ex 0,5 x ². Konstruera liksidiga trianglar, mittpunktsnormaler, likbenta trianglar och trianglar med givna längder på sidorna med hjälp av passare och linjal på blanka papper. Förkunskaper Eleverna ska kunna förstå och använda areaenheten cm², samt kunna beräkna arean av rektanglar, parallellogram och trianglar. e ska veta att rektanglar med samma area kan se olika ut och ha olika omkrets och att rektanglar med samma omkrets kan se olika ut och ha olika stor area. e ska kunna rita och beskriva enheterna1 cm och ². Om innehållet i området Geometri Eleverna har tidigare arbetat mycket med de två begreppen omkrets och area, först var för sig och sedan tillsammans. Vi hoppas därför att de nu ska kunna redogöra för begreppen och inte förväxla dem. Omkrets är alltså en längdmätning med enheter som m, dm, cm och mm och frågorna har därför formulerats så att de signalerar längd, som t ex Hur lång är omkretsen? rea är däremot en utbredning, tvådimensionell, och här blir frågan t ex Hur stor är bordets area? tt kunna rita längdenheten respektive areaenheten ² förtydligar också skillnaden. Nytt här i 6 är att även använda areaenheterna dm² och m² och att eleverna ska kunna växla mellan dessa och cm² på ett korrekt sätt. På arbetsblad K 5 finns talsortsrutor och enhetsrutor, liksom tidigare, men här tillkommer nu area. rea fungerar på ett annat sätt än längdenheterna med deci, centi och milli. Växlingarna vid längdenheter visas så här: 10 10 10 m dm cm mm 10 10 10 För areaenheterna blir motsvarande växlingar: 100 100 100 m² dm² cm² mm² 100 100 100 Eleverna ska ha erfarenhet av att använda passare för att rita cirklar. 36 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Nytt här är också cirkelns area. Vi har valt att låta eleverna klippa sönder en cirkel i smala sektorer och placera dem intill varandra för att bilda en rektangel, vars area de redan kan beräkna. etta ska förhoppningsvis underlätta för eleverna att förstå formeln för cirkelns area. h b Eleverna får även utgå från en rektangel med omkretsen 24 cm. Genom att rita en graf bestämmer de hur rektangeln ser ut när arean är maximal, vilket inträffar när sidorna är lika och figuren bildar en kvadrat. Kursplanen tar upp konstruktioner av geometriska objekt, men kommentarmaterialet tydliggör inte vad som bör ingå här. Vi har valt att i progressionen av konstruktioner ta upp lite nytt, nämligen att med passare och linjal konstruera liksidiga trianglar, mittpunktsnormaler, likbenta och rätvinkliga trianglar, samt trianglar med sidornas längder angivna. Vid dessa konstruktioner är det viktigt att eleverna använder blanka (olinjerade) papper, så att de måste hantera passare och linjal och inte kan utnyttja färdiga rutor. KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 37
Geometri Utforska nvänd cm-rutat papper. Klipp ut en kvadrat som har sidan 1 dm. a) Hur många kvadratcentimeter (cm²) stor är kvadraten? b) Hur många kvadratcentimeter (cm²) är en kvadratdecimeter (dm²)? Varje kvadrat på lapptäcket är en dm². a) Hur många kvadratdecimetrar är hela lapptäcket? b) Hur långa är sidorna på lapptäcket i dm respektive i m? c) Hur många kvadratmeter (m²) är hela lapptäcket? d) Hur många dm² är 1 m²? e) Hur många kvadrater är det på hela lapptäcket? f) Hur många cm² är varje kvadrat? g) Hur många cm² är hela lapptäcket? En rektangel har omkretsen 24 cm. a) Gör en värdetabell som visar hur långa sidorna kan vara och hur stor arean då är. b) Rita en graf där du rea (cm2) för in alla värdepar 40 för sidorna och 30, samt rektangelns area. 20 c) eskriv grafen. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Sida (cm) E Rita en cirkel med radien 3 cm på ett rutat papper. Markera diametern vågrätt och lodrätt, samt dela upp varje fjärdedel av cirkeln i fyra sektorer som är ungefär jämnstora. Klipp ut sektorerna noggrant och klistra upp dem på ett rutat papper. Vänd varannan med spetsen uppåt och varannan med spetsen nedåt. en första sektorn ska ligga kant i kant med rutorna på papperet. a) Vilken geometrisk figur blir det när alla h sektorer är uppklistrade? b) Hur lång är kortsidan (h) på figuren? x cm ( 12 x ) cm Sidan Sidan rean 1 1 2 b nvänd enhetsrutorna som stöd. Hur många dm² är a) 5 m²? b) 12 m²? c) 0,5 m²? Hur många cm² är a) 7 dm²? b) 26 dm²? c) 0,8 dm²? m² dm² cm² 1 0 0 1 0 0 100 100 m 2 dm 2 100 100 Långsidorna (b) är tillsammans lika långa som cirkelns omkrets, dvs ena långsidan är halva cirkelns omkrets: b = 2 2 π r = π r. I det här fallet är långsidan π 3 cm 9,4 cm. Nu kan du räkna ut figurens area, dvs längden bredden eller basen höjden, b h. b = π r och h = r, vilket ger arean = π r r eller π r² b h Figurens area är alltså 9,4 3 28,². När sidornas längder mäts i cm, så blir areans enhet cm². 20 KPITEL 5 Geometri KPITEL 5 Geometri 21 Eldorado6.indb 20 2013-10-29 09:07 s 20 21 Utforska Gör gärna uppgifterna med areaenheter och enhetsbyten vid ett tillfälle. Vid nästkommande tillfälle gör ni uppgift E, med cirkelns area, tillsammans med övriga areaberäkningar i inforutan på s 22, innan eleverna arbetar vidare med s 22 24. Eleverna har tidigare (i Grundbok 5 kapitel 3) arbetat med begreppet area, samt med areaenheten cm² vid beräkningar av area av kvadrater, rektanglar, parallellogram och trianglar., och. Eleverna arbetar med uppgifterna parvis. Följ sedan upp deras lösningar gemensamt. Låt eleverna rita enheterna och ², respektive 1 dm och 1 dm² på fri hand och skriva ut enheterna. Hur förklarar eleverna namnen på areaenheterna kvadrat-centimeter och kvadrat-decimeter? Genom att lyssna på enheternas namn hör man att enheten cm² är en kvadrat med sidan i centimeter och motsvarande för dm² och decimeter. Eleverna ska kunna rita och skriva dessa enheter. Eldorado6.indb 21 2013-10-29 09:07 Hur kan en figur med arean 1 dm² se ut på olika sätt? et är viktigt att eleverna uppfattar skillnaden mellan areaenheten dm², som alltid är en kvadrat med sidan 1 dm, och en figur med arean 1 dm² som kan se ut på oändligt många sätt. Visa några av elevernas förslag. Låt eleverna förklara areaenheten 1 m² och hur den kan byggas upp av de mindre enheterna dm² och cm². Hur förklarar eleverna enhetsrutorna på s 20, samt bild en under med 100 och 100? Titta tillsammans på K 5 Talsortsrutor, enhetsrutor. Låt eleverna använda arbetsbladet eller visa en bild av arbetsbladet. Repetera hur längdenheterna är konstruerade utifrån talsortsrutorna i decimalsystemet längst upp och att meter är grundenheten. et förklarar namnen dm, cm och mm med prefixen deci = tiondel, centi = hundradel och milli = tusendel. Repetera också att 0,1 m är 1 dm och att 0,01 m är. Jämför med pilarna och 10 i kanten. Raden med area längst ned visar att 0,1 m² är 10 dm² och att 0,01 m² är 1 dm². Jämför med pilarna med 100 och 100. Hur förklarar eleverna dessa två sätt att visa enhetsbyten? Gör några minutare om areaenheter och enhetsbyten för att se vilka elever som du sedan behöver samla för att gå igenom dessa enheter med. 38 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Eleverna kan göra arbetsbladet K 9 Mätning och enheter och nu eller senare. Låt gärna eleverna måla sina kvadratdecimetrar riktigt vackra. Tillverka fler så att klassen tillsammans har 100 kvadratdecimetrar. å kan ni sätta upp dem på en lätt platta som är 1 m x 1 m och pryda en vägg i skolan med Skolans finaste kvadratmeter. Ta gärna hjälp av fler klasser för att tillverka de kvadratdecimetrar som behövs.. Låt eleverna använda K 4 Undersök rektangelns area, som utgör underlag för såväl värdetabellen som grafen. Uppmana eleverna att i värdetabellen starta med sidan som och då blir sidan 1 = 1, eftersom hela omkretsen är 24 cm. rean beräknas 1 1² = 1². Visa på bilden av rektangeln där sidan betecknas som x cm och sidan blir då (12 x) cm. rbeta sedan strukturerat och välj, 3 cm osv ända till 10 cm för sidan. Eleverna kommer då att få en kurva mellan 0 och 12 med maxpunkten ovanför 6, vilket på y-axeln ger arean 36 cm². en maximala arean för en rektangel får man alltså med en kvadrat. värde som möjligt. Rekommendera gärna eleverna att göra så. Repetera beräkningen av olika figurers area i inforutan på s 22 innan eleverna arbetar vidare självständigt. Gör gärna K 29 Mattelappar för att ta reda på hur mycket repetition som behövs innan eleverna ska lösa uppgifterna med areaberäkning. Material och kopieringsunderlag Rutat papper, saxar, passare och färg. K 4 Undersök rektangelns area K 5 Talsortsrutor, enhetsrutor K 9 Mätning och enheter och Visa eller låt eleverna använda ett snöre där ändarna är sammanbundna så att längden är 24 cm. Håll snöret mot bordet med fyra fingrar och visa olika rektanglar. Omkretsen är alltså densamma men rektanglarnas area kan variera mycket och nu vet eleverna att kvadraten ger den största arean. E. Låt eleverna göra denna uppgift och följ sedan upp deras arbete. Hur klarar eleverna att följa instruktionerna? Uppfattar alla elever att cirkelns area motsvarar den nya rektangeln. Kortsidan på rektangeln är alltså cirkelns radie. Långsidan utgörs av cirkelns omkrets, varför den inte är helt rak. Ju fler bitar man delar upp cirkeln i desto rakare blir långsidan i rektangeln. Låt eleverna förklara själva beräkningen av arean. Förtydliga det som eleverna verkar osäkra på. Skriv sedan irkelns area som π r r eller π r². På sidan beräknas cirkelns area 9,4 3 28,². Observera att beräkningen av sidan till 9,4 cm var 3,14 3 9,42, vilket då avrundades till 9,4. Om man beräknar π r r så blir produkten 3,14 3 3 = 28,26 cm² 28,3 cm². et blir alltså en liten skillnad om man avrundar en gång och sedan räknar vidare med det avrundade värdet än om man sparar allt räknande till slutet och avrundar efter den enda räkneoperationen. Högre upp i klasserna brukar man därför försöka räkna ut allt i det sista uttrycket för att få ett så exakt KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 39
NÅGR GEOMETRISK FIGURERS RE höjd Rektangelns area är längden bredden eller basen höjden, = b h. bas Parallellogrammens area är basen höjden, = b h. Triangelns area är (basen höjden) = (b h) 2 2 rea mäts i m², dm², cm² och mm². bas bas höjd höjd höjd bas m² dm² cm² mm² 100 100 100 1 0 0 m² dm² cm² mm² 100 100 100 1 0 0 Större areor 1 0 0 mäts t ex i km 2 och hektar. När man räknar ut arean måste bas och höjd eller längd och bredd mätas i samma enhet. Om t ex bas och höjd mäts i cm blir areans enhet cm². Om bas och höjd har olika längdenheter, så måste man först byta till samma enhet. irkelns area är: = π r r = π r² 38 Ett bord är 1,2 m långt och 8 dm brett. Hur stor är bordets area? 39 Ett rum är 3,45 m brett och 4,25 m långt. Hur stor är rummets area? vrunda till två decimaler. 40 En skärbräda har arean 1 230 cm². Längden är 4. Hur bred är skärbrädan? 41 asen på en triangel är 1. Höjden är 6 cm. a) Hur stor är triangelns area? b) Rita två olika trianglar med dessa mått. 42 En triangel har arean 24 cm². Hur lång kan basen respektive höjden på triangeln vara? 43 En studsmatta har diametern 3,6 m. Hur stor är arean? Räkna med π 3, 14. vrunda till 2 decimaler. 44 En cirkel har radien 4 cm. Hur stor är cirkelns area? Räkna med π 3,14 45 En cirkel har arean 1². Hur stor är cirkelns radie? Räkna med π 3. 46 En rund duk har diametern 24 dm. Hur stor är dukens area? Räkna med π 3, 14. vrunda till hela dm². 47 En parallellogram har basen 5 och höjden 25 cm. Hur stor är parallellogrammens area? Svara i cm² och i dm². 48 En gräsmatta har formen av en rektangel med bredden 24 m. Längden är 1,5 gånger så lång som bredden. Hur stor är gräsmattans area? 49 Rita två olika figurer med arean: a) ² b) 1 dm² 22 KPITEL 5 Geometri KPITEL 5 Geometri 23 Eldorado6.indb 22 2013-10-29 09:07 s 22 24 rea irkelns area. reaenheterna m², dm² och cm². Enhetsbyten vid areaenheter. Eldorado6.indb 23 2013-10-29 09:08 50 Skriv som cm²: a) 6 dm² b) 7 m² c) 346 mm² d) 3,2 dm² e) 1,23 m² f) 8 mm² 51 Skriv som dm²: a) 4 m² b) 340 cm² c) 23,5 m² d) 9 cm² e) 0,81 m² f) 14 cm² 52 Skriv som m²: a) 460 dm² b) 93 dm² c) 8,7 dm² d) 6500 dm² e) 120000 cm² f) 1000 cm² 53 En ridbana är 20,5 m bred och 46 m lång. Hur stor är ridbanans area? 54 En handduk är 35 cm bred och 5 dm lång. Hur stor area har handduken? Samtala gemensamt om inforutan på sidan. Resultatet från mattelapparna (K 29, ) avgör hur mycket du behöver repetera. Gå bl a igenom formler för areaberäkning av rektangel, triangel och parallellogram, att rita höjder i trianglar och att sidorna måste ha samma enhet vid areaberäkningen. Samtala om hur en redovisning kan se ut för att visa goda kunskaper, se s 165 i Grundboken, på Viktigt att kunna. Observera elevernas arbete och ställ frågor individuellt för att ta reda på deras kunskaper. Träna mer på enhetsbyten på K 9 Mätning och enheter. 55 Ena sidan på en rektangel är 3,2 dm. en andra sidan är 1. Hur stor är rektangelns area? 56 En cirkel är inskriven i en kvadrat. irkeln har diametern 4 cm. Hur mycket större är kvadratens area än cirkelns area? Räkna med π 3. 57 Räkna ut sidans längd på en kvadrat som har arean: a) 64 cm² b) 0,25 m² 58 Tildas farmor målar sitt hus. Hon har bara en gavel kvar att måla när färgen tar slut. Gavelns mått ser du på bilden. a) Hur stor area ska målas? b) En liter färg räcker till 8 m². Hur mycket färg måste hon köpa? 3 m 6 m 2,5 m Förenkla Stryk uppgifterna 45, 49, 56 och 57. Observera nvänder eleverna samma sorts längdenhet i uppgifterna 38, 54 och 55? Ritar de korrekta trianglar i uppgift 41 b? 24 KPITEL 5 Geometri Eldorado6.indb 24 2013-10-29 09:08 Kopieringsunderlag K 6 Räkna mera, area K 9 Mätning och enheter K 29 Mattelappar, 5 40 Eldorado 6 Lärarbok KPITEL 5
Konstruktion med passare och linjal MITTPUNKTSNORML MITTPUNKTEN PÅ EN STRäcK 1. Rita en sträcka. 1. 2. 2. Rita en cirkelbåge med en radie som är längre än halva sträckan. Sätt passarspetsen först i och sedan i med samma radie. irkelbågarna skär varandra i punkterna och. 3. 3. ra en linje genom och. Linjen delar sträckan på mitten. Mittpunktsnormalen är vinkelrät mot sträckan, som den delar i två lika delar. KONSTRUKTION V LIKSIdIG TRINGEL 1. estäm hur långa sidorna ska vara i triangeln, t ex 3 cm. Rita sidan. 2. Sätt passarspetsen i och rita en cirkelbåge som har radien, från och uppåt. 3. Sätt passarspetsen i och rita en ny cirkelbåge som har radien, från och uppåt. 4. e två cirkelbågarna skär varandra i punkten. 5. ra sidan och sidan. Kontrollera med passaren att alla tre sidorna i triangeln är lika långa. 1. 2. 3. 4. 5. 63 nvänd ett blankt papper och rita en sträcka som är ungefär 10 cm (uppskatta längden). Konstruera mittpunkten på sträckan. Rita olika sträckor och konstruera mittpunkten på varje sträcka. När du ritar i räknehäftet är det praktiskt att utnyttja rutorna vid konstruktioner. är är alla vinklar räta. et är ett sätt att få mittlinjen vinkelrät mot sträckan som ska delas. 59 Konstruera fler liksidiga trianglar som är olika stora. 60 Konstruera en liksidig triangel som har sidorna: a) 5 cm b) 7 cm c) 6,5 cm 61 Rita en triangel som har sidorna 8 cm, 4 cm och 7 cm. örja med att rita basen och ställ in passaren på 8 cm. Markera hörnen och med 8 cm mellan. Konstruera sedan punkten på samma sätt som den liksidiga triangeln ovan, men med passaren på först 4 cm och sedan på 7 cm. 62 Konstruera trianglar med sidorna: a) 5 cm, 3 cm, 9 cm b), 7 cm, 6 cm LIKENT TRINGEL 1. 1. Rita en sträcka som är t ex 3 cm. Rita in mittpunktsnormalen genom att använda passare. Mittpunktsnormalen är vinkelrät mot sträckan. 2. estäm triangelns höjd och markera den på mittpunktsnormalen med en punkt. ra sidorna och. Jämför längden av och. Varför kallas triangeln likbent? 2. När man vet måttet på höjden använder man det när man sätter ut punkten på mittpunktsnormalen. När man vet längden på de lika sidorna i triangeln sätter man ut punkten med hjälp av passaren. 64 asen i en likbent triangel är 6 cm. Sidorna och är 4 cm. Mät ut sidorna och med hjälp av passaren och konstruera triangeln. 65 Konstruera en likbent triangel som har sidorna 8 cm och basen 5 cm. KPITEL 5 Geometri 25 26 KPITEL 5 Geometri Eldorado6.indb 25 2013-10-29 09:08 s 25 26 Konstruktion med passare och linjal Med hjälp av passare och linjal konstruera liksidig triangel, mittpunktsnormal, rätvinklig triangel, likbent triangel och trianglar med tre sidor givna. Eleverna behöver var sin passare och linjal och blanka papper. et är viktigt att använda blankt (olinjerat) papper, eftersom eleverna annars kan använda sig av rutorna i stället för passare. Låt eleverna följa instruktionen i boken och själva konstruera liksidiga trianglar. Uppmärksamma dem på att till varje punkt 1 5 finns en illustration med motsvarande nummer. e kan gärna arbeta tillsammans i par. Observera deras arbete och du får samtidigt en god diagnos på deras läsförståelse av faktatexter. Om det inte fungerar, så läs i stället instruktionerna tillsammans och låt eleverna sätta egna ord på vad de ska göra. Visa att de inte behöver dra hela cirkelbågen, utan att det räcker med att dra en liten bit där cirkelbågarna kommer att skära varandra. Liknande gäller i uppgift 61 när de sedan ska rita en triangel där sidornas längder är givna. Eldorado6.indb 26 2013-10-29 09:08 Välj eventuellt att arbeta hela klassen tillsammans eller parvis med uppgifterna på s 26 där eleverna ska konstruera mittpunktsnormaler och likbenta trianglar. Eleverna behöver inte rita ut längre cirkelbågar än vad som krävs för att få skärningspunkterna. Påpeka att man måste vara försiktig och inte trycka snett på passaren så att radien ändras medan man drar bågen. Uppmärksamma eleverna på att var man än markerar höjden längs mittpunktsnormalen så blir triangeln alltid likbent. På arbetsbladet K 7 Konstruktion med passare och linjal finns fler uppgifter att träna på. Förenkla Gör konstruktionerna tillsammans med eleverna. Observera Hur säkert hanterar eleverna passaren? Klarar eleverna att endast rita cirkelbågarna vid skärningspunkterna? Material och kopieringsunderlag Passare, linjaler och blanka papper. K 7 Konstruktion med passare och linjal KPITEL 5 Eldorado 6 Lärarbok 41