F(t)=F 0 cosω 0 t Förflyttning x M k Vi betraktar det vanliga fjäder-massa systemet men nu påverkas systemet med en kraft som varierar periodiskt i tiden: F(t)=F 0 cosω 0 t Den periodiskt varierande kraften som driver svängningen kallas för excitering En excitering som varierar periodiskt kallas harmonisk excitering ω 0 är exciteringsfrekvensen F 0 är amplituden på exciteringskraften Vi antar först att systemet är odämpat, dvs. dämpkonstanten c=0 Påtvingad sv., s 1
Rörelseekvation: m + kx(t) = F(t) eller Påtvingad sv., s 2
Lösningen till rörelseekvationen består av summan av en a) partikulärlösning steady-state lösning och en b) homogen lösning För partikulärlösningen antar man en lösning på samma form som i högerledet på rörelseekvationen (dvs. på samma form som kraften som driver svängningen): Påtvingad sv., s 3
Derivera lösningsansatsen och sätt in i rörelseekvationen, detta ger partikulärlösningen: Övning: genomför detta! Påtvingad sv., s 4
Påtvingad sv., s 5
Totala lösningen blir (summan av homogena lösningen och partikulärlösningen): x(t) = A 1 sin ω n t + A 2 cos ω n t + Konstanterna A 1 och A 2 bestäms mha begynnelsevillkor. Med x 0 =0 och v 0 =0 blir totala lösningen: f 0 ω n2 ω 0 2 cos(ω 0t) Påtvingad sv., s 6
Jämförelse mellan fri och påtvingad respons: Summa av två harmoniska termer med olika frekvens Lösningen ej definierad för ω 0 =ω n, (division med 0). Om exciteringsfrekvensen ω 0 är nära egenfrekvensen blir amplituden mycket hög, detta kallas resonans. Påtvingad sv., s 7
Respons med m=100 kg, k=1000 N/m, F=100 N, ω 0 = ω n +5 v 0 =0.1m/s och x 0 = -0.02 m. Notera att responsen utgörs av två överlagrade signaler. 0.05 Förflyttning (x) 0-0.05 0 2 4 6 8 10 Tid (sec) Påtvingad sv., s 8
Vad händer då ω 0 ligger nära ω n? Förflyttning (x) 1 0.5 0-0.5 När exciteringsfrekvensen ligger nära egenfrekvensen uppträder svävningsfenomen! -1 0 5 10 15 20 25 30 Tid (sek) Påtvingad sv., s 9
Vad händer då ω 0 är lika med ω n? 5 Detta tillstånd kallas resonans! Förflyttning (x) 0-5 0 5 10 15 20 25 30 Tid (sek) Påtvingad sv., s 10
Övningsuppgift: Konstruera ett rektangulärt fäste för kamera Beräkna längden på fästpinnen, l, så att inte kamerans max vibrationsamplitud överstiger 1 cm vid en vindlast på 15 N vid 10 Hz. Kamerans vikt är 3 kg. Fästpinnens tvärsnitt är 2x2cm. Material: Aluminium Påtvingad sv., s 11
Lösning: Påtvingad sv., s 12
Lösning forts. Påtvingad sv., s 13
System med dämpning F=F 0 cosω 0 t Rörelseekvation: Förflyttning x M k c Påtvingad sv., s 14
System med dämpning Geometrisk lösning av rörelseekvationen Förflyttning, hastighet, och acceleration är fasskiftade sinsemellan med 90 (π/2) I de flesta fall är partikulärlösningen (steady-state lösningen) den mest intressanta. Den homogena lösningen som, beskriver responsen främst vid starten, (transienten) därmpas ut efter en kort tid. Ansätt en partikulärlösning på formen: tidsderivera Påtvingad sv., s 15
System med dämpning Rita ut varje term i rörelseekvationen som en vektor Beräkna amplituden X med hjälp av vektoraddition Im D C C E A B A B Re Påtvingad sv., s 16
System med dämpning C A B På dimensionslös form: Påtvingad sv., s 17
System med dämpning Dynamisk förstärkningsfaktor Påtvingad sv., s 18
System med dämpning Amplitud resonans 40 30 20 ζ =0.01 ζ =0.1 ζ =0.3 ζ =0.5 ζ =1 max amplitud då X 10 0-10 -20 0 0.5 1 1.5 2 ω 0 /ω n Påtvingad sv., s 19
System med dämpning Fas resonans 3.5 Phase (rad) 3 2.5 2 1.5 1 ζ =0.01 ζ =0.1 ζ =0.3 ζ =0.5 ζ =1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 ω 0 /ω n Påtvingad sv., s 20
System med dämpning Nyquist-diagram Sambandet mellan amplitud,x, fasvinkel,φ, och frekvensförhållande, ω 0 /ω n, brukar ibland visas i ett polärdiagram, ett s.k. Nyquist-diagram. Används ofta vid analys av experimentellt uppmätta vibrationsdata. ω 0 /ω n =1.1 ω 0 /ω n =1.05 X Φ ω 0 /ω n =0.9 ω 0 /ω n =0.95 ω 0 /ω n =1.01 resonans ω 0 /ω n =0.9 Nyquist-diagram. Dämpkvot ζ=0.1; 0.2 och 1 Påtvingad sv., s 21
System med dämpning Från Inman: 2.24, 2.31, 2.37, 2.41 (sid. 5 i uppgiftshäftet) Blandade uppgifter: uppgift 12 (sid. 7 i uppgiftshäftet) Påtvingad sv., s 22