Division i åk 7. En jämförelse mellan två klasser Detta är en artikel av Evastina Blomgren, Göteborg, som är baserad på en uppsats inom ramen för den första 10 -poängskursen i påbyggnadsutbildningen i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet. Inledning Knappast något moment inom skolmatematiken har diskuterats så flititgt som division ända från Wigforss och Ferners debatt om delningsdivision och innehållsdivision fram till modernare tiders ideliga byten av algoritmer. Det kan tyckas vara ett uttjatat ämne, men man kan också känna nyfikenhet inför problemet. När jag fick reda på att de båda sexor som vt-89 fanns på min skola, Önneredsskolan i V Frölunda, lärt sig att dividera på olika sätt, väcktes därför mitt intresse att undersöka resultaten av den undervisningen lite närmare. Bakgrund De båda klasserna hade samma lärobok i matematik. Klasserna kom från likartade bostadsområden och eleverna bedömdes av sina klasslärare som relativt jämförbara, den ena dock något svagare. I den ena klassen (klass S) hade man följt bokens uppläggning och räknat division med stolen, i den andra (klass K) hade endast kort division lärts ut. Ingen av klasserna hade i nämnvärd mån räknat division med tvåsiffrig nämnare. Avsikt Jag ville undersöka om det fanns några skillnader hos de båda klasserna, när det gällde 1. Säkerhet i beräkningarna (uppgift 1, 3, 5, 6 och 7) 2. Förståelsen av sambandet multiplikation - division (uppgift 2 och 8, samt i någon mån 5) 3. Förmågan att inse i vilket samman - hang division skall användas (uppgift 4, 9 och 10) 4. Förmågan att bedöma svarets storleksordning (uppgift 11). Jag konstruerade vt -89 ett test som jag skulle ge de båda klasserna. Testet finns på s 56. Komplikationer Tyvärr blev jag sjuk under sista delen av vårterminen och testerna genomfördes inte förrän i början av ht -89 då eleverna börjat åk 7. Eleverna hade redan från början av höstterminen genomfört tester för sin nya lärare, bland annat på tabellkunskaper samt Göteborgsdiagnosen. Detta medförde att intresset för att genomföra detta test inte var det största. Framför allt de uppgifter som gick ut på att testa punkt 2 och 4 i mina frågeställningar, och som innebar ovana situationer för eleverna, ställde till besvär. Dessa var de obenägen att försöka lösa, vilket framgår av antalet överhoppade uppgifter. Se översikt av resultaten, uppgift 8 och 11, på s 57-59. Jag fann dessutom att den lilla skillnaden i prestationsförmåga mellan de båda klasserna, som antytts tidigare, var betydligt större än väntat. Klass K, som enbart lärt kort division, presterande sämre än klass S. Som jämförelse ges här de båda klassernas resultat på Göteborgsdiagnosen. Även om denna diagnos har sina up- 52
penbara brister anser jag att den kan ge en uppfattning om den allmänna nivån i klasserna. Klass K hade ett medelvärde på 18,1 poäng att jämföras med medelvärdet för klass S, som var 20,3. Totala antal poäng på Göteborgsdiagnosen i matematik är 23 poäng och gränsen för elever som anses i behov av särskilt stöd i matematik är 17 poäng. Även Göteborgsdiagnosen i svenska visade på ett liknande resultat när det gäller de båda klasserna. Medelvärde för klass K var 55,7 och för klass S var det 57,4 poäng. Det visade sig också att klass S även hade lärt sig kort division och att där dessutom fanns en del trappräknare. Konsekvenser På grund av alla dessa komplikationer blev resultatet av testen något svårtytt och jag fick koncentrera mig på frågeställningarna 1 och 3, dvs säkerhet i beräkningarna samt förmåga att inse när division är ett lämpligt räknesätt. Vidare kunde jag i mindre utsträckning än planerat göra jämförelser mellan klasserna. Testet och resultatet På de närmaste sidorna följer testet i dess helhet samt min sammanställning av resultaten. 23 elever i varje klass deltog. Lösningsrekvenserna har angetts i absoluta tal. De båda klassernas resultat redovisas var för sig. Jag har också tagit med de felaktiga lösningarna för att se, om man kan dra några slutsatser ur dem. Analys 1. Säkerhet i beräkningarna Uppgifterna 1, 3 och 7 leder till divisioner med olika svårighetsgrad, där uppgift 7 representerar den svåraste typen med ensiffrig nämnare. (Jfr divisionsmatriserna Kilborns rapport om PUMP-projektet!). Uppgift 3 ger den lättaste divisionen. Skillnaderna i lösningsfrekvens mellan de olika uppgifterna är liten liksom skillnaderna mellan klassernas resultat. Anmärkningsvärt är att klass K, som uteslutande räknar kort division, har klarat den svåraste divisionen bäst. Tydligen gör det inte något att deldivisionerna inte går jämnt ut. Eleverna antecknar minnessiffrorna snett ovanför täljarens siffror, vilket gör att de kan hålla reda på deloperationerna. Se nedan: Om det går att se någon tendens när det gäller dessa tre uppgifter så är det att klass K skulle vara något säkrare på beräkningarna, vilket är anmärkningsvärt eftersom detta är den allmänt svagare klassen. Uppgift 5 leder till divisionen 600/20, som på det här stadiet brukar bereda svårigheter. De flesta eleverna som gett sig på divisionen har dock klarat av den. Fyra elever har fått resultatet 300 och två 40, vilket tyder på räknefel. Många elever har redovisat uppgiften som en multiplikation (20. 30=600) i stället för division. Detta beror sannolikt på uppgiftens formulering, som inbjuder till multiplikationstänkande, se nedan. Den i särklass svåraste uppgiften på testet är uppgift 6, vilket också syns på lösningsfrekvenserna, som är låga. Eleverna har uppenbarligen haft svårt att tyda situationen i uppgiften. Om inte annat så framgick detta av alla frågor som ställdes under genomförandet av testet. Ytterligare en svårighet ligger i att det rätta svaret är mindre än 1, och att man alltså skall placera det större talet i nämnaren. Tre elever har ställt upp divisionen rätt men inte klarat att sätta ut decimaltecknet på rätt plats. Även de elever som utfört divisionen 50/40 har haft problem med decimaltecknets placering. Här kan man nog våga dra slutsatsen, att denna typ av uppgifter är svår att begripa för elever på det här stadiet. Innehållet i texten är för dem ganska verklighetsfräm- 53
mande, och dessutom grundar problemet sig på ett abstrakt proportionalitetstänkande. Vidare är begreppet decimaltal fortfarande mycket dåligt underbyggt vid övergången mellanstadium högstadium, vilket inte förefaller märkligt, om man studerar det aktuella läromedlets framställning av momentet. Någon skillnad mellan de båda klasserna kan man knappast utläsa ur resultaten på den senaste behandlade uppgiften, men totalt sett tycks det vara så att klass K är något säkrare på ren beräkning. 2. Sambandet multiplikation - division Lösningsfrekvenserna på dessa uppgifter tycks tyda på att klass S här skulle ha något bättre förståelse. Både uppgift 2 och 5 har i stor utsträckning lösts med multiplikation eller utan redovisning av lösningen, vilket förmodligen innebär att eleverna har använt multiplikationsresonemang. I uppgift 2 är divisionen svår, medan motsvarande multiplikation är mycket lätt. I uppgift 5 ligger multiplikationsidén i själva texten, som för tanken till rutor i en rektangel. Dessutom är multiplikationen sannolikt lättare att utföra än divisionen. Om dessa redovisningar i form av multiplikation i stället för division kan tas som intäkt för att dessa elever har en djup förståelse i abstrakt bemärkelse för sambandet multiplikation - division är väl osäkert, särskilt om man jämför resultatet på följande uppgift. Uppgift 8 hade eleverna svårt att förstå. Under testen fick de en förklaring, som gick ut på att man ur additionen 1934 + 608 = 2542 kan läsa ut subtraktionen 2542-608 =1934, och fick reda på att uppgiften gick ut på att på motsvarande sätt läsa ut en division ur multiplikationen 54. 37 = 1998. Trots detta var det många elever, framför allt i klass K, som hoppade över uppgiften. Allmänt förefaller det vara så att klass S klarat dessa uppgifter bättre än klass K. 3. Avgöra när division är räknesättet Uppgift 4 visar att eleverna i allmänhet inte slentrianmässigt har dividerat oberoende av texten. Endast 3 elever har försökt lösa denna uppgift med division. Alla andra har multiplicerat, några har gjort räknefel. Uppgift 9 och 10 fordrade en förklaring under testets gång. Tydligen var eleverna främmande för frågeställningen, vilket förklarar att många hoppade över uppgifterna. Av de elever som försökte sig på uppgifterna har de flesta formulerat riktiga problem, som leder till rätt beräkning. De flesta har dessutom ansträngt sig att hitta på situtationer som svarar väl mot de angivna talens storlek. Några exempel ges här nedan: 875 elever från en skola ska gå på teater. De delas in i 5 olika grupper. Hur många elever är det i varje grupp? 5 sängar kostar 875kr. Hur mycket kostar en säng? Ivar, Erik, Karl, Bo o Jan skulle dela på 875 kr som dom fått när de arbetade på Äppelbolaget AB. Hur mycket fick var och en? 400 barn på ett barnhem fick 800 tuggummi attt dela på. Hur många får de var? 400 skolbarn i USA donerade 800$ till rädda regnskogen. Hur mycket skänkte varje barn? Intressant är att konstatera hur konventionella de flesta texterna är. Endast en av de sammanlagt 51 korrekta texterna ledde till en innehållsdivision. Den uppgiften är mycket teoretisk: Sune och Olle åkte Stena. Sune köpte godis för 800:- och Olle köpte godis för 400:-. Hur många gånger mer la Sune ner på godis än Olle? 4. Storleksuppfattning I uppgift 11 har eleverna haft problem. Här finns, för första gången, en påfallande skillnad mellan klasserna. En skillnad som visar sig både i fler överhoppade uppgifter och fler felsvar i klass K. Man får då lätt 54
tanken att de elever i klass K, som besvarat frågan, har gissat i större utsträckning än eleverna från klass S. Det är uppenbart att klass S har lättare att bedöma svarets storlek. Om detta beror på den inlärda divisionsalgoritmen eller på andra orsaker är inte lika lätt att inse. Klass K har sysslat mindre med räkning med tal i decimalform än klass S. Detta framkom vid eftersnack med respektive klasslärare. Uppgiften kanske verkade oöverkomlig för klass K-eleverna, som därför gissade vilt medan klass S-eleverna i större utsträckning använt sunt förnuft. Å andra sidan kan man tänka sig att decimaltecknets tydligare placering i stolen spelat roll för klass S. Denna frågeställning kunde vara intressant att studera närmare, när eleverna efter en tid på högstadiet arbetat mer med räkning med decimaltal. Kommentar Några generella slutsatser går naturligtvis inte att dra av en så här liten undersökning, där slumpen spelar stor roll i form av elevsammansättning, lärarpersonligheter, allmän inställning till skolarbetet, attityder till nya situationer osv. Dock bör man sammanfattningsvis kunna säga att så här långt har klass K inte missgynnats av att bara ha räknat kort division. Eleverna i den klassen verkar ju faktiskt säkrare i divisionsberäkningarna så länge man håller sig till heltal, även om klass S har bättre resultat på de uppgifter som inte följer gängse mönster. Detta sätt att lättare tänka i nya banor har förmodligen ett samband med deras bättre resultat i stort. Hur det kommer att gå för klass K att dividera med tvåsiffriga nämnare samt med decimaltal vore intressant att följa upp. Frågan är om inte en stor del av klassen så småningom kommer att bli hänvisade till miniräknaren. Med tanke på att endast division med ensiffrig nämnare är en nödvändig kunskap enligt Lgr 80, kanske detta inte är någon nackdel för flertalet elever i denna tydligen svaga klass. Efterord Det känns alltså för närvande så att det skulle vara spännande att åter testa dessa klasser, dels i slutet av åk 7 och dels vid grundskoletidens slut, för att se om man på lång sikt kan märka några skillnader i räknefärdighet och förmågan att lösa mer komplicerade problem. Hur kommer t ex eleverna att reagera när de allt oftare ställs inför problemet att det större av de båda talen skall stå i nämnaren eller att divisionerna allt mer sällan går jämnt ut? Detta senare är ju svårt att mäta i åk 6 när eleverna fortfarande är ovana vid decimaltal och betraktar det som onormalt, att kvoten blir mindre än 1. Litteraturförteckning Kilborn, W. Pump-projektet, Bakgrund och erfarenheter, Utbildningsförlaget Stockholm, 1979. Kilborn, W. Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1. Grundläggande aritmetik, Utbildningsförlaget, Stockholm, 1988. Ferner, E. Innehållsdivision och delberäkning. En kritisk analys, 1955 Wigforss, F. Den grundläggande matematikundervisningen, 1954. 55
Test i matematik i åk 7 1. Till en skolfest köpte Eva 8 stora paket glass. De kostade tillsammans 184 kr. Hur mycket kostade ett paket glass? 2. Olle skulle köpa tulpaner, som kostade 3,50 kr stycket. Hur många kunde Olle köpa för 35 kr? 3. Hur många par jeans kan en fabrik tillverka av 396 m tyg, om det går åt 3 m tyg till ett par jeans? 4. En burk färg kostar 125 kr. Hur mycket får man betala för 5 sådana burkar? 5. En biograf skall rymma 600 personer. Varje rad innehåller 20 sittplatser. Hur många rader behövs? 6. När Lena kört sin nya bil 50 mil hade det gått åt 40 liter bensin. Hur många liter drog bilen i genomsnitt per mil? 7. 6 elever i klass 5 B arbetade tillsammans ihop 834 kr till en skolresa. Hur mycket tjänade var och en av dem om alla arbetat lika mycket? 8. Multiplikationen här nedan är rätt räknad. 54. 37 = 1998 Skriv en divisionsutsaga som innehåller de tre talen. Kontrollera genom division. 9. Skriv text till en räkneuppgift, som kan lösas med följande beräkning: Räkna också ut svaret på din uppgift. 10. Gör likadant med följande beräkning: 11. Det har blivit fel på en miniräknare, så att den inte sätter ut något decimaltecken. Den sätter också ut onödiga nollor i början och slutet. Kan du sätta decimaltecknen på rätt plats? 56
57
58
59