1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera kretsar med långsamt varierande ström. En ström är långsamt varierande om den inte ger upphov till signifikanta energiförluster p.g.a. strålning. Detta villkor är ekvivalent med att kräva att kretsens linjära dimension L är mycket mindre än våglängden λ i vakuum för den drivande spänningens vinkelfrekvens ω (i enheter av 1/s): L λ = 2π ω c c ν (1.1) där ν är frekvensen i enheter av hertz (Hz). Om vi använder L = λ/1 som villkor, får vi följande lämpliga linjära dimensioner: Frekvens (Hz) λ/1 (m) 5 6 1 5 1 6 (AM) 3 1 1 6 3, 1 1 6 (FM, TV), 3 1 9, 3 1 1 (mikrovågor), 3 Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.2
För en normalstor krets kan vi med andra ord använda drivande spänningar med frekvenser upp till 1 7 Hz, förutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer att behandla. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.3 1.2. Transient och stationärt beteende Då en krets kopplas till en periodisk eller konstant spänning uppkommer en varierande transient ström, som så småningom stabiliseras i form av en periodisk eller konstant ström. Detta stabila tillstånd kalls också stationärt (eng. steady state). Vi kommer i det följande att behandla transient beteende i kretsar med konstant drivande spänning och stationärt beteende för harmoniska drivande spänningar. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.4
1.3. Transient beteende för konstanta drivspänningar Vi granskar nu det transienta beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en konstant spänning. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.5 1.3.1. RL-krets Kirchhoffs II lag ger E + V = RI (1.2) Lösningen är V = RI + L di dt = RI + LI (t) (1.3) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.6
I(t) = V R I 1e t/(l/r) V R I 1e t/t c (1.4) där I 1 är en konstant. Vid starten t = t sluts kretsen, så I(t = t ) = : = V R I 1e t /t c (1.5) Detta ger I 1 = V R et /t c (1.6) så att vi får I(t) = V R h i 1 e (t t )/t c (1.7) Tidskonstanten för denna krets är alltså t c = L R (1.8) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.7 1.3.2. RLC-krets Kirchhoffs II lag: V = RI + LI (t) + Q C = RI + LI (t) + 1 C Derivera en gång med avseende på tiden: Z t dti(t) (1.9) dv dt = RI (t) + LI (t) + I C = (1.1) eftersom spänningen är konstant. Vi får Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.8
Lösningen är I (t) + R L I (t) + 1 LC I = (1.11) I(t) = Ae iωt + Be iωt e t/(2l/r) (1.12) där s 1 ω = LC R2 (1.13) 4L 2 Vi bör nu ta reda på värdet på (de komplexvärda) konstanterna A, B. Vid t = gäller I(t = ) = : så att = A + B (1.14) I(t) = A e iωt e iωt e t/(2l/r) = A2i sin(ωt)e t/(2l/r) (1.15) Strömmen är reell, så A måste vara imaginär. Definiera D = 2Ai så att vi får Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.9 I(t) = D sin(ωt)e t/(2l/r) (1.16) D är fortfarande okänd. Se vilka villkor uttrycket för V ger. Då t = gäller I = : så att V = RI(t) + LI (t) + 1 C V = LI (t) = LD(ω cos(ωt) sin(ωt) 1 Z t 2L/R )e t/(2l/r) dti(t) (1.17) = LDω (1.18) t= D = V ωl = V p L/C R2 /4 (1.19) Vi har nu fått en oskillerande krets, trots att den drivande spänningen är konstant. Dock avtar amplituden med tiden, så denna oskillation dör bort efter några tidskonstanter t c. Denna är t c = 2L R (1.2) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1
1.4. Stationärt beteende för harmoniska drivspänningar Vi granskar nu det stationära beteendet hos några elementära kretsar, som drivs av en harmonisk (sinusoidal) spänning. I dylika räkningar är det mycket enklare att räkna med komplexvärda spänningar och strömmar, eftersom de trigonometriska funktionerna då ersätts med exponentialfunktioner, som är lättare att manipulera. Om vi använder den drivande spänningen får vi ut en komplexvärd ström V (t) = V e iωt (1.21) I(t) = I e iωt (1.22) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.11 För att få den fysikaliska strömmen måste vi först besluta om vår fysikaliska spänning är real- eller imaginärdelen av V e iωt. Om vi väljer imaginärdelen har vi V P (t) = Im[V (t)] = V sin(ωt) (1.23) Vi måste nu göra samma val för att få den fysikaliska strömmen: I P (t) = Im[I(t)] (1.24) Oftast väljer vi att V är reell, men detta betyder inte att I är det. I själva verket inkorporerar man en eventuell fasförskjutning mellan spänning och ström i den komplexa konstanten I. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.12
1.4.1. RLC-krets Kirchhoffs II lag: Derivera med avseende på t: V = RI + LI (t) + 1 C Z t dti(t) (1.25) dv dt = RI (t) + LI (t) + I C (1.26) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.13 Detta ger nu iωv e iωt = iωri e iωt ω 2 LI e iωt + I C eiωt (1.27) där vi har skrivit strömmen som I(t) = I e iωt. Dividera nu med iωe iωt : V = (R + iωl + 1 iωc )I ZI (1.28) där Z kallas impedans. För denna seriekopplade krets har vi att Z = R + iωl i 1 ωc R + i(x L + X C ) (1.29) där X L är den induktiva reaktansen och X C den kapacitiva reaktansen. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.14
Impedansen kan alltid skrivas Z Z e iφ (1.3) där Z är impedansens storlek och φ en fasförskjutning. Det gäller i detta fall att Z = s R 2 + tan φ = ωl 1 ωc R ωl 1 «2 (1.31) ωc (1.32) Strömmen är nu I(t) = V (t) Z = V (t) Z e iφ = V Z eiωt iφ (1.33) Den verkliga strömmen är Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.15 I P (t) = Im[I(t)] = Im[ V (t) Z ] = V Z Im[ei(ωt φ) ] = V sin(ωt φ) (1.34) Z I denna krets kommer strömmen att variera harmoniskt, så att den är före eller efter spänningen, beroende på tecknet för fasvinkeln φ. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.16
Låt oss se hur resistansen, induktansen och kapacitansen kan påverka strömmens styrka var för sig. Vi har ju X L X C = ωl 1/(ωC) = Från detta får vi två huvudsakliga asymptotiska fall: ω2 1/(LC) (1.35) (1) Om X L X C så gäller ω 1/ LC och Z p R 2 + ω 2 L 2 (1.36) tan φ ωl R (1.37) (1 a) Om nu R ωl så gäller ω R/L och Z ωl (1.38) tan φ φ π/2 (1.39) I det här fallet ges strömmens amplitud alltså av V /(ωl). Om vinkelfrekvensen är tillräckligt stor Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.17 (men så att den uppfyller villkoret för långsamt varierande ström) så blir strömmen liten. (1 b) Om istället R ωl så gäller ω R/L och Z R (1.4) tan φ φ (1.41) (2) Om X L X C så gäller ω 1/ LC och Z tan φ 1 ωrc q R 2 + 1/(ω 2 C 2 ) (1.42) (1.43) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.18
(2 a) Om nu R 1/(ωC) så gäller ω 1/(RC) och Z 1/(ωC) (1.44) tan φ φ π/2 (1.45) Strömmens amplitud blir nu ωcv, d.v.s. ju större kapacitans och vinkelfrekvens vi använder, desto starkare blir strömmen. (2 b) Om istället R 1/(ωC) så gäller ω 1/(RC) och Z R (1.46) tan φ φ (1.47) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.19 Resonans Om den drivande spänningen har en sådan vinkelfrekvens ω R att φ = så kommer ström och spänning att vara i fas. Detta betyder att Z = R så att Detta ger ω R = 1 LC (1.48) I P (t) = V R sin(ω Rt) (1.49) Strömmen ser alltså ut som strömmen i en ren R-krets, och spänning och ström sägs vara i resonans. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.2
1.5. Serie- och parallellkoppling av impedanser I föegående sektion fick vi att för en krets där R, L, C är kopplade i serie kan den drivande spänningen skrivas V = V e iωt = ZI e iωt = ZI = (R + iωl + 1 iωc )I (Z R + Z L + Z C )I (1.5) eftersom R, L, C är i serie. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.21 Vi har ni visat att impedanserna för en resistor, induktor och kondensator är Z R = R (1.51) Z L = iωl (1.52) Z C = 1 iωc = i ωc (1.53) Impedansen för en seriekoppling av N impedanser är alltså Z = NX Z i (1.54) i=1 Om impedanserna är kopplade parallellt så har vi att spänningen över dem är densamma, V i = V j, så att V = V i = V j Z i I i = Z j I j (1.55) Men totalströmmen är Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.22
I = V 1 Z = I i + I j = V + 1 «Z i Z j (1.56) så att 1 1 Z = + 1 «Z i Z j (1.57) Impedansen för en parallellkoppling av N impedanser ges alltså av uttrycket 1 Z = NX i=1 1 Z i (1.58) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.23 Exempel : R och C parallellkopplade. Bestäm strömmarna. Kirchhoffs II lag: V (t) = V e iωt = RI 1 (t) = 1 C där Z t dti 2 (t) (1.59) Vi får I(t) = I 1 (t) + I 2 (t) (1.6) I 1 (t) = V R eiωt (1.61) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.24
och Derivera med avseende på tiden: V e iωt = 1 C Z t dti 2 (t) (1.62) iωv e iωt = 1 C I 2(t) (1.63) Vi får I 2 (t) = iωcv e iωt = ωcv e i(ωt+π/2) (1.64) Totala strömmen är I(t) = V 1 R + ωceiπ/2) «e iωt (1.65) Om den fysikaliska drivspänningen är V (t) P = V sin(ωt) fås nu strömmarna I 1,P (t) = (V /R) sin(ωt) (1.66) I 2,P (t) = ωcv sin(ωt + π/2) (1.67) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.25 Med ν = 1 Hz, R = 1 Ω, C = 1 6 F och V = 1 V fås följande graf:.15.1 I 1 I 2 I total Strom (A).5. -.5 -.1 -.15 1 2 3 4 5 6 Fas, t Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.26
Om kapacitansen höjs med en faktor 1 till C = 1 5 F:.15.1 I 1 I 2 I total Strom (A).5. -.5 -.1 -.15 1 2 3 4 5 6 Fas, t Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.27 1.6. Effektfaktor Den momentana effekt som konsumeras av en belastning (eng. load) eller belastande komponent/krets i en växelströmskrets är P (t) = I P (t)v P (t) (1.68) För en harmonisk drivande spänning gäller P (t) = V I sin(ωt) sin(ωt φ) (1.69) Observera att denna effekt kan vara både positiv och negativ. Negativ effekt betyder att kretsen ger effekt tillbaka till spänningskällan. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.28
Momentan effekt, P(t)/(V I ) 1..8.6.4.2. -.2 -.4 = - 9 = - 6 = - 3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 Fas, t Momentan effekt, P(t)/(V I ) 1..8.6.4.2. -.2 -.4 = = 3 = 6 = 9 1 2 3 4 5 6 7 8 Fas, t Tidsmedelvärdet över en period T = 1/ν = 2π/ω är P (t) = V I 1 T = V I 1 T Z T Z T = V I 1 T cos φ Z T dt sin(ωt) sin(ωt φ) dt sin(ωt)(sin(ωt) cos φ cos(ωt) sin φ) Z! T dt sin 2 (ωt) sin φ dt sin(ωt) cos(ωt) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.29 = V I 1 Z T T cos φ dt sin 2 (ωt) sin φ 1 2ω sin2 (ωt) = V I 1 Z T T cos φ dt sin 2 (ωt) = 1 2 V I cos φ (1.7) t=t t=! eftersom sin(ωt ) = sin(2πνt ) = sin(2π) =. Den trigonometriska integralen kan lättast utföras genom att skriva om sin(ωt) med exponentialfunktioner. I ekvationen ovan kallas cos φ för effekt-faktorn. Observera att formeln ovan gäller endast för sinusoidala drivspänningar och strömmar. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.3
Exempel : För en RLC-krets där resistansen dominerar över reaktansen gäller P (t) = 1 2 V 2 Om den induktiva reaktansen dominerar: 1 R cos = 1 2 V 2 1 R (1.71) P (t) = 1 2 V 2 Om den kapacitiva reaktansen dominerar fås igen p.g.a. fasvinkeln. 1 ωl cos π 2 = (1.72) Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.31 Man definierar också effektiv- eller rms-värden för spänning V eff och ström I eff så att rms är förkortning för root-mean-square. Ekvationen ovan ger P (t) = 1 2 V I cos φ = V rms I rms cos φ (1.73) V rms = V 2 (1.74) I rms = I 2 (1.75) Den konsumerade effekten är maximal om impedansen är en ren resistans, eller om spänningen och strömmen är i resonans p.g.a. lämplig kombination av induktiv och kapacitiv reaktans. I båda fallen fås φ =. Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.32