Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö

ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek n R[x] Vektorrummet av alla polynom i variabeln x R[x] n Vektorrummet av alla polynom i variabeln x av grad n R m n Vektorrummet av alla m n-matriser CR Vektorrummet av alla kontinuerliga funktioner R R A t Transponatet av matrisen A [v,, v l ] Det linjära höljet av vektorerna v,,v l [M] Det linjära höljet av mängden M e Standardbasen i R n [v] b Koordinatvektorn för vektorn v i basen b [F] v u Matrisen för avbildningen F i baserna u och v [F] v [F] v v NF Nollrummet av den linjära avbildningen F VF Värderummet av den linjära avbildningen F, Skalärprodukt Standardskalärprodukten i R n E n Vektorrummet R n utrustat med standardskalärprodukten M Ortogonala komplementet till M P U Ortogonala projektionen på underrummet U T v u Matrisen för koordinatbytet från u till v d v s den matris T som uppfyller [x] v = T[x] u E λ F Egenrummet till F med egenvärde λ signq Signaturen av den kvadratiska formen q c 9 Erik Darpö, Matematiska Institutionen, Uppsala Universitet

Innehåll Förord iv Förberedelser Vektorrum, underrum Linjärt hölje, linjärt beroende och oberoende 4 Bas, dimension 7 4 Linjära avbildningar 5 Nollrum och värderum, dimensionssatsen 4 6 Radrum, kolonnrum, rang 7 7 Skalärprodukt 8 8 Gram-Schmidts algoritm, ortogonal projektion 9 Basbyte, ON-baser och isometrier Egenvärden och egenvektorer, diagonalisering 7 Spektralsatsen Kvadratiska former, andragradsytor System av differentialekvationer 4 4 Blandade problem 6 A Facit 4 iii

Förord Detta häfte innehåller övningsuppgifter till kursen Linjär Algebra II vid Uppsala Universitet Målsättningen har varit att göra ett material som innehåller såväl enkla instuderingsuppgifter och standarduppgifter som mer teoretiskt avancerade problem, i tillräcklig mängd för att kunna användas självständigt som övningsmaterial på kursen Ett antal lösta exempel av typtalskaraktär ingår också Ett förberedande kapitel tar upp linjära ekvationssystem och grundläggande matris- och determinantkalkyl, som är nödvändiga förkunskaper för Linjär Algebra II Denna första version av materialet är något preliminär bland annat saknas facit till några av uppgifterna Synpunkter, rättelser och kritik mottages tacksamt av författaren, på e-post erikdarpo@mathuuse Uppsala september 9 Erik Darpö iv

Förberedelser Lös nedanstående ekvationssystem: a b c d { x + y + z = x y + z = { w + x + y + z = w x + y + z = y z = x + y z = w + 4x + 5y + z = w + x y + z = w + x + y z = 4w + x 4y + z = Beräkna + Beräkna determinanterna av följande matriser: x a A =, x R, x b B = 5, c C = x a a a x a a d D = R n n, n a x n a a e E = R n n, a R, n a

FÖRBEREDELSER 4 Bestäm inversen av matrisen A = 5 Lös matrisekvationen X = 5 6 Låt S = a Visa att S är inverterbar, och ange dess invers b Bestäm alla - matriser X som uppfyller ekvationen SXS = 4I 7 För vilka värden på x R är matrisen A = x x inverterbar? Bestäm x A för alla sådana x 8 Visa att ett ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer aldrig kan ha entydig lösning

Vektorrum, underrum 9 Vilka av följande mängder är vektorrum? Verifiera! a R b C c Mängden {f : X R fx för högst ändligt många x X} med addition f + gx = fx + gx och skalärmultiplikation λfx = λfx där X är någon fix mängd d Mängden {f : X R x X : fx } med vektorrumsoperationer som i förra exemplet e {x R x + x + 7x } f {x R n Ax = Bx} där A, B R m n är två fixa matriser g {x R x } Visa att: a Mängden R[x] av reella polynom i variabeln x är ett vektorrum b För varje matris A R m n är mängden NA = {x R n Ax = } ett underrum av R n c Mängden Rant n n = {A R n n A t = A} är ett vektorrum Tips: Visa att den är ett underrum av ett känt vektorrum Visa att om M och N är underrum av ett vektorrum V, så är även M N ett underrum av V

Linjärt hölje, linjärt beroende och oberoende Exempel : Låt fx = x, gx = x och hx = + x Bestäm underrummet av R[x] som spänns upp av f, g och h Avgör om f, g, h är linjärt beroende eller oberoende Lösning: En godtycklig linjärkombination av f, g och h har formen λ fx + λ gx + λ hx = λ + λ + λ λ + λ x och har alltså grad högst ett För ett allmänt förstagradspolynom px = a + bx gäller px = λ fx + λ gx + λ hx om och endast om { λ + λ = a λ λ + λ = b vilket är ekvivalent med λ = a + b t, λ = a t, λ = t, t R Eftersom systemet alltid är lösbart gäller alltså p [f, g, h] för varje förstagradspolynom p, och [f, g, h] = R[x] Ekvationen λ fx + λ gx + λ hx = har de icke-triviala lösningarna λ λ λ så f, g, h är linjärt beroende = t, t R {} Exempel : Avgör för vilka värden på konstanten a R som följden a i R är linjärt oberoende a,, a Lösning: Följden är linjärt oberoende om och endast om ekvationen λ + a a λ λ = enbart har den triviala lösningen λ = λ = λ = Totalmatrisen för ekvationen är A =, och dess determinant a = + a a = a 5 Nu är följden linjärt oberoende deta a ± 5 4 a + 5

5 Vilka av följande mängder spänner upp R? { } a,,, b { } c,,,, d { { },,,, } Vilka av mängderna a d i uppgift är linjärt oberoende? 4 För vilka värden på den reella konstanten b är vektorerna +b v =, v =, v = b i R 4 linjärt oberoende? 5 Delrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna, u =, u = u =, u 4 = Avgör för vilka värden på konstanten a R som vektorn v = delrummet M, u 5 = 4 4 a+ 5 a 4 tillhör 6 Underrummen U W R definieras som [ ] U =, och W = [ ], Avgör om inklusionen U W är äkta, eller en likhet Är inklusionen W R äkta? 7 Låt M och N vara underrum av R 4 definierade genom [ 7 ] [ M =,,, N =, 6 Bestäm en nollskild vektor u R 4 sådan att u M N 8 Låt u =, u = a Avgör om vektorerna v =, u = och N = [u, u, u ] och w = tillhör N 5 ], b Avgör för vilka värden på konstanten a R som vektorn u = tillhör N a a c Beskriv N som lösningsmängden till ett homogent linjärt ekvationssystem i fyra obekanta

6 LINJÄRT HÖLJE, LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE 9 Låt u, u, v, v vara vektorer i ett vektorrum V, sådana att u = v + v, u = v + v Visa att u, u är linjärt oberoende om och endast om v, v är linjärt oberoende Avgör om följden x, x x, x x i R[x] är linjärt beroende eller oberoende Visa att för varje följd av vektorer v,,v l V i ett vektorrum är följande två påståenden ekvivalenta: i Vektorn v j är en linjärkombination av de övriga: v,,v j, v j+, v l, ii [v,, v j, v j+, v l ] = [v v l ]

Bas, dimension Exempel : Bestäm en bas i lösningsrummet L R 4 till ekvationssystemet { x + x = x, x + x = x 4 Lösning: Vi har x L Ax =, där A = s t A ger lösningen x = s+t s = s + t t Då och är linjärt oberoende, bildar dessa en bas i L Exempel 4: Underrrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u =, u 4 = a Finn en bas i M bland dessa vektorer b För vilka värden på konstanten a R tillhör vektorn v =, u 5 =, s, t R +a +a +a underrummet M? Ange, för dessa värden på a, koordinaterna för vektorn v i den bas som du valde i del a av uppgiften Lösning: Vi löser båda delarna av uppgiften samtidigt Vektorn v R 4 tillhör M om och endast om det finns reella tal λ,, λ 5 R sådana att λ u + λ u + λ u + λ 4 u 4 + λ 5 u 5 = v Detta är ekvivalent med att det linjära ekvationssystemet λ + λ + λ + λ 4 + λ 5 = är lösbart Systemet löses med Gaußelimination: + a + a + a +a +a +a a a + Detta system är lösbart om och endast om a + =, d v s om och endast om a = Det följer att v M a = Dessutom är dimm lika med rangen av koefficientmatrisen, d v s 7

8 BAS, DIMENSION I den sista matrisen har vi pivotelement i kolonn, och 4 vilket medför att u = u, u, u 4 utgör en bas i M Antag nu att a = Den sista matrisen reduceras då till 5 med lösningarna λ λ λ λ 4 λ 5 = s t +s t s, s, t R Detta ger alla möjliga lösningar +t t till ekvationssystemet i fallet då a = Speciellt, om vi väljer s = t = får vi lösningen λ =, λ =, λ =, λ 4 =, λ 5 = Insatt i ekvationen ger detta u + u + u 4 = v om a = Hur syns detta direkt i den sista matrisen? Svar: a u = u, u, u 4 utgör en bas i M b v M a = I detta fall är [v] u = Vilka av mängderna i uppgift utgör baser i R? Låt U = {x R 4 x x + x 4 = och x x + x x 4 = } R 4 Finn en bas i U 7 4 Givet u = och v =, finn w R så att u, v, w bildar en bas i R 5 Delrummen M och N av R 4 ges av [ 6 ] M =,, N = { x R 4 7x + 4x x 4 = x x 5x 4 = } Bestäm en bas i M N 6 Låt U R 4 vara det linjära höljet av vektorerna v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Bestäm en bas i U, och ange koordinaterna för v,,v 6 i denna bas 4 7 Låt λ, λ, λ, µ, µ, µ R Visa att vektorerna λ+µ λ+µ λ+µ,, λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ R är linjärt beroende

9 8 Delrummet M R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u = 7 5 5 a Bestäm en bas b för M bland de givna vektorerna b Bestäm a R så att vektorn v = tillhör M a 5 a+ a a, u 4 = c Med konstanten a R som i b, bestäm koordinaterna för v M i b d Utvidga b till en bas i R 4 9 Bestäm en bas i underrummet U R[x] som spänns upp av f x = x +, f x = x +, f x = x x, f 4 x = x Utvidga till en bas i R[x] Låt u = R, medan v R har koordinatvektorn [v] b = med avseende på basen b = b, b, b, där b =, b =, b = Bestäm koordinaterna för vektorn u v i standardbasen R Låt E =, E =, E =, E = Visa att E, E, E, E är en bas i R Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer i ett vektorrum V, och a en reell konstant Låt U = [y, y, y ], där y = u + a + v + w, y = u + av + aw, y = au + v + aw Bestäm dimu för varje värde på a R Låt R X beteckna vektorrummet av alla funktioner från mängden X ={,,, 4} in i R Bestäm en bas i R X, och beräkna koordinaterna i denna bas för funktionen g : X R, som ges av g =, g = /, g = 7, g4 = 5 4 Bestäm dimensionen av rummet R ant = {A R A t = A} av antisymmetriska -matriser

BAS, DIMENSION 5 Låt U vara mängden av alla polynom i R[x] 4 som är delbara med x + Visa att U R[x] 4 är ett underrum, och bestäm en bas i U 6 Låt V vara ett ändligt genererat vektorrum, och M, N V underrum sådana att V = [M N] Visa att dimv = dimm + dimn dimm N 7 Låt V vara ett vektorrum och b = b,, b n en bas i V Visa att funktionen ϕ : V R n, v [v] b är bijektiv och uppfyller { ϕu + v = ϕu + ϕv, ϕλu = λϕu, för alla u, v V, λ R

4 Linjära avbildningar Exempel 5: Bestäm matrisen för den linjära avbildningen i basen b =, x, x, x Lösning: Direkt beräkning ger varvid F : R[x] R[x], fx xf x + fx F =, Fx = x, Fx = x + x, Fx = 6x + x [F] b =, [Fx] b = Matrisen för F blir därför [F] b = [Fx ] b = [F] b [Fx] b [Fx ] b [Fx ] b [Fx ] b = = 6 6 8 Avbildningen F : R R ges av Fx = a Verifiera att F är linjär x +x x +x x x +x b Bestäm den matris A som uppfyller Fx = Ax för alla vektorer x R c Visa hur bilderna av standardbasvektorerna kan avläsas i matrisen A 9 Avbildningen F : R R är linjär och uppfyller F =, F Bestäm a F, b F, och c F = 4 Avgör vilka av följande avbildningar R n R n som är linjära: Fx = Gx = x x x x x n x n x nx x +x x +x x n +x n x n+x, Hx =, Ix = x x x x n 4, Lx = x x nx n, Mx = x,, Nx =

4 LINJÄRA AVBILDNINGAR 4 Avbildningen F : R R är linjär och uppfyller Fu = u och Fv = v, där u = och v = Bestäm matrisen för F i standardbasen 4 Avbildningen F : R R är bestämd av F =, F =, F = Ange F:s matris i standardbaserna 4 Den linjära avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A = Avgör för vilka högerled y R som ekvationen Fx = y är lösbar 4 44 Låt F : R R vara den linjära avbildning som geometriskt beskrivs [ som projektion på planet π = {x R ] x x x = } längs linjen l = a Bestäm matrisen för F i standardbasen b Bestäm matrisen i standardbasen för den linjära avbildning G : R R som geometriskt beskrivs som projektion på linjen l parallellt med planet π 45 Visa att avbildningen F : R[x] R[x], fx x + fx är linjär 46 Två baser u = u, u, u och v = v, v, v i ett vektorrum V är relaterade genom sambandet u = v + v + v, u = v v + v, u = v + v Den linjära avbildningen F : R R definieras genom Fu i = v i för i =,, Bestäm matriserna [F] u och [F] vu 47 Den linjära avbildningen R α : R R ges som rotation i positiv riktning med vinkeln α [, π], och P : R R som projektion längs den andra standardbasvektorn på den första så att Pe = e, Pe = Bestäm matriserna för PR α och R α P i standardbasen 48 Låt u R vara en vektor av längd ett d v s u = u u = u t u =, och låt F : R R vara den linjära avbildningen Fx = u x a Bestäm F:s matris i någon bas i R b Visa att F = F 49 Låt V vara ett vektorrum, och F : V V en linjär avbildning Visa att de vektorer v V som uppfyller Fv = v bildar ett underrum av V 5 De komplexa talen C utgör ett reellt vektorrum av dimension två Visa att för varje komplext tal z C är avbildningen m z : C C, w zw linjär Bestäm matrisen för m z i basen, i

5 Låt D : R[x] n R[x] n, f f vara deriveringsavbildningen a Visa att D : R[x] n R[x] n är linjär b Ange matrisen för D med avseende på någon valfri bas i R[x] n 5 Låt J : R[x] R[x] vara avbildningen som ges av a Visa att J är linjär Jfx = x ftdt b Bestäm J:s matris med avseende på baserna b =, x, x och b =, x, x, x i R[x] respektive R[x] 5 Låt V och W vara vektorrum av dimension n respektive m, och v och w baser i V respektive W Mängden LV, W av linjära avbildningar V W är i sig själv ett vektorrum Visa att avbildningen ψ : LV, W R m n, F [F] w v är linjär och bijektiv 54 Visa att två ändligt genererade vektorrum har samma dimension om och endast om det existerar en bijektiv linjär avbildning dem emellan

5 Nollrum och värderum, dimensionssatsen Exempel 6: Bestäm nollrum och värderum till avbildningen F : R 4 R, x Ax där A = 6 4 8 Lösning: En vektor x R 4 ligger i NF om och endast om Fx = Ax = Gaußelimination ger A = 6 r- r r+r r+r 5 5 5 r 4 8 5 5 r- r Ekvationen Fx = har alltså lösningen sätt s = x, t = x 4 x = s +t, s, t R }{{}}{{} u u och därmed är u, u en bas i NF Värderummet VF spänns upp av kolonnerna i A, som vi betecknar med A, A, A, A 4 Vi försöker finna en bas i VF bland dessa, genom att bestämma vilka av kolonnerna som kan skrivas som linjärkombinationer av de övriga Ekvationssystemet λ A + λ A + λ A + λ 4 A 4 = 5 har totalmatris A, och samma beräkning som i fallet med nollrummet ovan ger λ = s + t, s, t R λ λ λ 4 Insättning av s, t =, ger relationen A A +A =, så i synnerhet gäller A [A, A ] På samma sätt fås A A + A 4 = och A 4 [A, A ] genom insättning av s, t =, Detta innebär att VF = [A, A ] För att inse att A, A är linjärt oberoende kan man betrakta lösningar till ekvationen λ A + λ A = eller, ekvivalent, lösningar till 5 som uppfyller λ = λ 4 = Men λ = s och λ 4 = t, så enbart den triviala lösningen λ = λ = återstår Detta visar att A, A är linjärt oberoende 4

5 Anmärkning: Naturligtvis kan man se direkt att kolonnerna A, A är linjärt oberoende Poängen med beviset för linjärt oberoende ovan är att demonstrera en metod som fungerar för godtyckligt antal kolonner I allmänhet gäller att om I N är numren på de kolonner i den reducerade trappstegsmatrisen till A som innehåller pivotelement, så är A i i I en bas i kolonnrummet till A 55 Låt F : R 4 R vara den linjära avbildning som ges av Fx = 4x + x x x 4 x + x + x 4x 4 6x 9x + 9x 4 a Avgör vilka av följande vektorer som ligger i värderummet VF: u =, u =, u = b Avgör vilka av följande vektorer som ligger i nollrummet NF: 4 v =, v =, v = 8 56 Bestäm en bas i nollrummet till avbildningen F : R R, som i standardbaserna ges av matrisen A = 57 Avgör om följande avbildningar är linjära I de fall de är det, bestäm baser i nollrum och värderum a F : R R x + x, Fx = x, x + 4x b G : E R, x x, x, c H : R[x] R, fx f f f 58 Bestäm baser i nollrum och värderum för följande linjära avbildningar: a F : R 4 R, x Ax, där A = ; 8 b G : R[x] R[x] 4, fx x ftdt xfx 59 [ Konstruera, om möjligt, en linjär avbildning F : R R sådan att NF = ] och [ ] [ ] a VF =, b VF =, 6 Låt F : R 4 R 4, x Ax, där A = bas i NF VF Bestäm en bas i NF och en

6 5 NOLLRUM OCH VÄRDERUM, DIMENSIONSSATSEN 6 Ge, genom att ange dess matris i standardbasen, exempel på en linjär avbildning F : R R för vilken NF = VF = [ ] 6 Den linjära avbildningen F : R 4 R 5 definieras genom Fx = Ax för alla x R 4, där A R 5 4 har egenskapen att Ax = endast om x = Bestäm dimensionen hos NF och VF 6 Låt F : V W vara en linjär avbildning mellan ändligt genererade vektorrum Visa att a om F är injektiv, så är dimv dimw, b om F är surjektiv, så är dim V dimw 64 Visa att nollrum och värderum till en linjär avbildning F : V W är underrum av V respektive W 65 Låt R sym = {A R A t = A} vara mängden av symmetriska -matriser, och F : R 4 R sym den linjära avbildning som ges av x x Fx = x + x 4 x + x 4 x x Bestäm en bas i NF och en bas i VF 66 a Låt F : V W vara en linjär avbildning mellan ändligt genererade vektorrum, och U W ett underrum Visa att U = {v V Fv U} är ett underrum av V b Bestäm en bas i U om F : R R är avbildningen som i standardbasen ges av matrisen A = 4 [ ], och U = R

6 Radrum, kolonnrum, rang 67 Låt L R vara en linje genom origo, och P R ett plan genom origo, sådana att L P Om A är matrisen i standardbasen för projektionen längs L på P, hur många linjärt oberoende rader har då A? 68 Låt A R 4 5 och ranga = a Bestäm dimensionen hos lösningsrummet till ekvationen Ax = b Avgör om ekvationen Ax = b är lösbar för alla b R 4 c Om ekvationen Ax = b är lösbar, hur många linjärt oberoende lösningar finns det? 69 Låt V vara ett vektorrum, och u = u, u, u en bas i V Den linjära avbildningen F : V V har matrisen A = i basen u a Bestäm rangen av matrisen A b För V = R[x] och u =, x, x, ange Fx 7

7 Skalärprodukt 7 Givet en ON-bas e, e, e i ett euklidiskt rum V, bestäm e + 4e 5e 7 Två vektorer u och v i ett euklidiskt rum V uppfyller u =, v = 4, u+v = 6 Bestäm u, v 7 Låt V vara ett euklidiskt rum a Visa, utan att använda Pythagoras sats t ex genom att imitera beviset av denna, att u v = u + v om u och v är ortogonala b Visa parallellogramlagen: u + v + u v = u + v 7 Tre vektorer u, v och w i ett euklidiskt rum uppfyller Visa att u w 4 u v, v w 74 Givet en vektor v i ett euklidiskt rum V, låt v = {u V u, v = } V a Visa att v är ett underrum av V b Vektorrummet R[x] är utrustatr med skalärprodukten 75 Låt A = f, g = Bestäm en bas i R[x] R fxgxdx a Visa att x, y = x t Ay är en skalärprodukt i R Tips: Problemet är att visa att den är positivt definit Ledning: Kvadratkomplettera b Bestäm det ortogonala komplementet till vektorn v = med avseende på denna skalärprodukt 8

9 76 a Visa att f, g = definierar en skalärprodukt på R[x] fxgxdx b Bestäm projektionen av fx = x på underrummet R[x] R[x] med avseende på denna skalärprodukt 77 En skalärprodukt, är definerad på R på så sätt att b =, b =, b = bildar en ON-bas Bestäm e i, e j för i, j =,,, där e, e, e är standardbasen i R Ange en matris A sådan att x, y = x t Ay 78 Visa att varje ortonormerad mängd i ett euklidiskt rum är linjärt oberoende

8 Gram-Schmidts algoritm, ortogonal projektion Exempel 7: Låt U = [ a Bestäm en ON-bas b i U, b Utvidga b till en bas i E 4, ], E 4 Lösning: a Vi tillämpar Gram-Schmidts algoritm Beteckna de vektorer som spänner upp U med v,, v 4 Den första vektorn i b fås genom att normalisera v : b = v v = v = 4 v Därefter konstrueras från v en vektor ṽ som är ortogonal mot b : ṽ = v v, b b = v v, v v v = = 4 4 Andra ON-basvektorn fås genom att normalisera ṽ : b = ṽ ṽ = 9 7 5 7 5 7 Analogt konstrueras ṽ = v v, b b v, b b = 5 = Detta betyder att v [b, b ] = [v, v ] Denna vektor kan alltså ignoreras I nästa steg behandlas v 4 : ṽ 4 = v 4 v 4, b b v 4, b b = b = 874 4 8 5 Vår ON-bas i U blir alltså b = b, b, b = 5 4 76, 9 7 5 = 9 7 5, 874 4 8 5 4 8 5 ; b Vi vet att U = [b] = [v, v, v, v 4 ] = [v, v, v 4 ] Vi söker en vektor x E 4 som är ortogonal mot U, eller ekvivalent v i, x =, i {,, 4} Villkoret v, x = är ekvivalent med x + x + x + x 4 = När vi på samma sätt ställer upp ekvationer för v, x = och v 4, x = får vi ett homogent linjärt ekvationssystem med totalmatris Således är x = t r+r 5 4 r-r r- r r r 4 4, t R, och b 4 = 5 46 4 r-r 5 4 är en enhetsvektor ortogonal mot varje vektor i U, i synnerhet mot b, b, b Därmed är b = b, b, b, b 4 en ON-bas i E 4, som utvidgar b

Exempel 8: Låt U = [, ] E 4 och v = E 4 Finn den vektor u U som ligger närmast v Ange avståndet mellan v och U Lösning: Den vektor i U som ligger närmast v är den ortogonala projektionen u = P U v av v på U Vi beskriver två möjliga sätt att finna P U v: Variant : Om u, u är en ON-bas i U, så är P U v = v, u u + v, u u Vi bestämmer en ON-bas med Gram-Schmidt: I första steget är u = Sedan tar vi projektionen av på det ortogonala komplementet till u : ũ =, Vi får u = 5 Nu är u = P U v = 4, + 4 = 4, = = 5 5 + = 5 5 5 44 Variant : Här utnyttjar vi att P U v är den unika vektor i U som uppfyller v P U v U Låt v, v U beteckna de två givna vektorer som spänner upp U För en godtycklig vektor u = x v + x v U gäller v u U { u, v = v, v u, v = v, v { x v, v + x v, v = v, v x v, v + x v, v = v, v v, v där A = v, v v, v = och w = = v, v v, v 7 v, v detta ekvationssystem får man x x = 7, d v s P U v = u = 7 v + v = 5 5 44 Avståndet mellan v och U blir v u = v P U v = 5 5 8 4 Ax = w Löser man 4 = 79 Avgör huruvida nedanstående följder är ON-baser i respektive rum: a, i U = {x E x + x x = } E b 5 5, 5 i R,, där x, y = x t 5 y c, x, 56x 6x i R[x] utrustat med skalärprodukten f, g = fxgxdx 8 Bestäm koordinaterna för vektorn v = med avseende på ON-basen u =,, i E 6

8 GRAM-SCHMIDTS ALGORITM, ORTOGONAL PROJEKTION 8 Använd Gram-Schmidts metod för ortonormalisera vektorerna,, E 8 Finn en nollskild vektor i underrummet U = {x E 4 x + x + x + x 4 = } E 4 som är ortogonal mot u = 8 Bestäm en ON-bas i [ a U =, [ b W =,,,, ] E 4 84 Bestäm avståndet mellan punkten ] E 4 och linjen [ ] i E [ ] 85 Låt U =,, E a Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = på U b Finn avståndet mellan v och U 86 Låt M = {x E 4 x + x + x + x 4 =, x + x + x + 4x 4 = } E 4 a Bestäm en ON-bas i det ortogonala komplementet, M, till M b Skriv vektorn w = som en summa w = u + v, där u M och v M 87 Rummet R[x] förses med skalärprodukten f, g = fxgxdx Bestäm med Gram-Schmidts metod, utgående från basen, x, x, en ON-bas i R[x] Visa att a + a x + a x, b + b x + b x = a + a b + b 9 + a b Låt U = span{ + x x } R[x] Bestäm ON-baser i U och U + 4a b 45

9 Basbyte, ON-baser och isometrier Exempel 9: Låt S : E E vara speglingen i planet med normalvektor u = Bestäm matrisen för S i standardbasen Lösning: Avbildningen är definierad genom Su = u och Sx = x för x u Om v och w är två linjärt oberoende vektorer i u så bildar b = u, v, w en bas i E, med avseende på vilken [S] b = Genom att multiplicera med basbytesmatrisen T b e från höger och T e b från vänster får vi matrisen i standardbasen e för S, enligt formeln [S] e = T e b [S] b T b e w = Första steget blir att finna v och w Två möjliga alternativ är v = och, men för att underlätta beräkningarna längre fram väljer vi istället två ortonormerade vektorer i u : v = och w = 6 På samma sätt normerar vi vektorn u och får en ON-bas b =,, 6 i vilken matrisen för S har den angivan formen Basbytesmatrisen T e b har basvektorerna i b som kolonner, d v s / / / 6 T e b = / / / 6 / / 6 Den andra basbytenmatrisen fås som T b e = T e b Eftersom vi valde b till att vara en ON-bas så är T e b en ortogonal matris, och därmed gäller Nu är T b e = T e b = T t e b = / / / / / / 6 / 6 / 6 [S] e = T e b [S] b T b e / / / 6 = / / / 6 / / 6 = / / / / / / 6 / 6 / 6 Alternativ lösning: Formeln för den ortogonala projektionen av x E på vektorn u är P u x = x,u u,u u = uut u t u x Speglingen S fås som Sx = x P ux =

4 9 BASBYTE, ON-BASER OCH ISOMETRIER I uut u t u x kontrollera själv att u u och v v för v u Matrisen för S är alltså [S] e = I uut u t u = 88 Visa att f =, f =, f = bildar en bas f i R Bestäm koordinaterna för x = i f 89 Låt u = 4 5 E Bestäm en ON-bas b i E sådan att [u] b = 9 Två baser u och v för ett vektorrum V är relaterade genom bassambandet v = u + u + u, v = u + u, v = u Bestäm det omvända bassambandet, och ange matriserna T u v och T v u 9 Vektorrummet V har en bas u = u, u, u En ny bas b = b, b, b definieras genom b = u + u + u, b = u + u u, b = u + u u a Bestäm basbytesmatriserna T b u och T u b b Bestäm koordinaterna för vektorn v = e e + e i basen b samt koordinaterna för vektorn w = b b + b i basen u c Bestäm koordinaterna för vektorn w v i vardera av baserna b och u 9 Två baser u och v i R uppfyller T v u = Linjen l R har ekvationen x + x = i basen u Vilken är dess ekvation i v? 9 Låt u = E a Bestäm en ON-bas f för E sådan att [u] f = b Bestäm en bas b för E sådan att [u] b = c Bestäm basbytesmatrisen T b f 94 Låt P U : E 4 E 4 vara den ortogonala projektionen av E 4 på underrummet U = {x E 4 x + x + x 4 =, x + x + x + x 4 = } a Finn en ON-bas i U b Finn en ON-bas i U

5 c Finn matrisen för P U i standardbasen i E 4 95 Låt F : E E vara rotationen kring axeln L = Bestäm F:s matris i standardbasen [ ] med vinkeln π 96 Låt S : E E vara speglingen i normalplanet till Bestäm matrisen för S i standardbasen Verifiera att matrisen är ortogonal 97 Givet ortogonala matriser A, B R n n, visa att AB, A t B, AB t och A t B t också är ortogonala 98 Givet en vektor u V av längd ett, låt Fv = v v, u u Visa att a F är en linjär, isometrisk avbildning på V, b Fv, w = v, Fw för alla v, w V, samt c F v = v för alla v V Tolka F geometriskt 99 Avbildningen F : R[x] R[x] ges i basen b =, x, x av matrisen Bestäm dess matris i a basen, x, x +, b basen x, xx, x + Låt M = {x E 4 x + x + x 4 = x x + x 4 = }, och u = a Bestäm matriserna för P M respektive P M i standardbasen 4 b Beräkna P M u och P M u, samt avstånden från u till M respektive M c Låt F [: E 4 E 4 vara projektionen på M parallellt med underrummet ] N =, och låt G vara projektionen på N parallellt med M Bestäm matriserna i standardbasen för F respektive G d Beräkna Fu och Gu Vilka av följande avbildningar E E är isometrier? a F x = x b F x = Ax, där A = 6 4 4 5, c F x = x + u x, där u E är någon fix vektor d F 4 x = Bx, där B = 5, e F 5 x = RSx, där R är en rotation med vinkeln α [, π] runt en axel L = [u], u E {}, och S är speglingen i normalplanet till en vektor v L

6 9 BASBYTE, ON-BASER OCH ISOMETRIER Låt F : V V vara en isometri på ett tvådimensionellt euklidiskt rum V, sådan att Fv = v för någon nollskild vektor v E Visa att det finns en ON-bas i V sådan att F:s matris med avseende på denna bas är ± Visa att för varje isometri F på ett euklidiskt rum V gäller att detf = ± 4 Låt F : V V vara en linjär avbildning på ett ändligt genererat euklidiskt rum V Visa att om F har en symmetrisk matris med avseende på någon ON-bas i V så är F:s matris med avseende på varje annan ON-bas också symmetrisk 5 Låt F : E E vara en isometri Visa att F:s matris i standardbasen antingen är lika med cosα sinα cosα sin α eller för något α [, π] sin α cosα sin α cosα 6 Visa att varje isometrisk avbildning F : V V på ett ändligt genererat euklidiskt rum är bijektiv 7 Låt T R vara en ortogonal matris Visa att för alla x, y E gäller att Tx y = ±Tx Ty För vilka T är Tx y = Tx Ty?

Egenvärden och egenvektorer, diagonalisering Exempel : Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildning F : R R som i standardbasen ges av matrisen A = Lösning: Ett tal λ R är enligt definition ett egenvärde till F om Fx = λx för någon nollskild vektor x R Vi har Fx = Ax, och Fx = λx Ax = λx Ax λx = A λi x = Det finns x R {} så att sista villkoret är uppfyllt om och endast om deta λi = Vi undersöker för vilka λ R som deta λi = : λ deta λi = λ λ = λ λ + + λ λ = λ λ λ + = λλ + Vi ser att λ = är det enda nollstället till ovanstående uttryck, är alltså det enda egenvärdet Eftersom den algebraiska multipliciteten är ett, så har egenrummet till dimension ett, och F är alltså inte diagonaliserbar Vi räknar ut egenvektorerna d v s egenrummet till λ = genom att lösa ekvationssystemet A I x = : A I x = A + I x = vilket ger lösningen x = t, t R Den enda vektorn v = utgör alltså en bas i egenrummet E F, och varje annan egenvektor är en multipel av denna 8 Verifiera att nedanstående vektorer är egenvektorer till de givna avbildningarna Ange motsvarande egenvärden a Vektorn v = till avbildningen F : R R, x 8 x b v = till G : R R, Gx = Ax, där A = 7

8 EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER, DIAGONALISERING c w = b a b a till H : R R, x Bx, där B =, a b a + b = d u E n {} till ϕ : E n E n, ϕx = x x, u u e e ax där a R till D : CR CR, f f 9 Verifiera att följande tal är egenvärden till de givna avbildningarna Finn motsvarande egenvektorer a + till F : R R, Fx = x b till G : R R, x Ax, där A = c till avbildningen H från föregående uppgift d b till avbildningen J : R R, x Bx, där B = a b c e n till S : R[x] n R[x] n, fx xf x f till en godtycklig icke-inverterbar linjär avbildning T : V V Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till avbildningen F : R n R n n =,, som i standardbasen ges av matrisen 8 a A =, b B =, 4 a c C =, d D = a, a a Låt u och v vara linjärt oberoende egenvektorer, med egenvärden λ respektive µ, till en linjär avbildning F För vilka värden på λ och µ är även u + v en egenvektor, och vad är i så fall dess egenvärde? Finn egenvärden och egenvektorer till A 5, då A = a Finn egenvärdena till matrisen A = a a, a R För vilka värden a på a är A diagonaliserbar? 4 Den linjära avbildningen F : R R har i standardbasen matrisen A = a a, där a R För vilka värden på konstanten a är avbildningen F diagonaliserbar? För varje sådant a, bestäm en bas i R bestående av egenvektorer till F, och ange F:s matris med avseende på denna bas

9 5 Den linjära avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A = a Bestäm en bas b för R bestående av egenvektorer till F, och egenvärdena till dessa b Bestäm basbytesmatriserna mellan b och standardbasen, samt F matris med avseende på b c Bestäm A n för alla n Z 6 Låt V vara ett vektorrum av dimension två Visa att varje linjär avbildning F : V V med negativ determinant har ett egenvärde 7 Låt F : V V vara en linjär avbildning, och A och B matriserna för F med avseende på två olika baser Visa att A och B har samma sekularpolynom 8 Rummet R har en bas E = E, E, E, E, där E =, E =, E =, E = En linjär avbildning F : R R definieras genom FX = BX XB, där B = a Bestäm matrisen för F med avseende på basen E b Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till F 9 Den linjära avbildningen F : E 4 E 4 ges i standardbasen av matrisen A = a Finn ett underrum U E 4 sådant att F = P U b Bestäm avståndet mellan vektorn v = och U 5

Spektralsatsen Exempel : Låt A = 4 4 Avgör om det finns en ortogonal matris T sådan att D = TAT är diagonal Bestäm i så fall T och D Lösning: Att matrisen A är symmetrisk betyder avbildningen F : E E som ges av A i standardbasen är symmetrisk Enligt spektralsatsen finns nu en ON-bas b i R bestående av egenvektorer till F Med avseende på denna bas kommer F:s matris att vara diagonal, och basbytesmatrisen T e b ortogonal Eftersom [F] b = T b e AT e b så ger D = [F] b och T = T e b de sökta matriserna Först bestämmer vi egenvärdena till F En skalär λ R är ett egenvärde till F om och endast om deta λi = Vi har λ 4 r-r λ + λ deta λi = λ r-r = λ 4 λ + λ λ r/ + λ r/ + λ = + λ λ = + λ 8 λ Egenvärdena är alltså λ = och λ = 8 Egenvektorer med egenvärde λ är de x R som uppfyller A λi x = För det första egenvärdet, λ =, gäller A λ I = 4 4 /, så 4 4 / A λ I x = om och endast om x = s + t för s, t R Vektorerna u = och u = utgör alltså en bas i egenrummet E F Eftersom A och därmed F är symmetrisk, så vet vi att egenvektorer med egenvärde λ [ = 8 måste vara ortogonala mot E F Därav följer att E 8 F = E F ] = man kan naturligtvis även bestämma egenvektorerna till λ med standardmetoden Vektorn u = utgör en bas i E 8 F Nu är u = u, u, u en bas i R, bestående av egenvektorer till F Med Gram-Schmidts algoritm ortonormaliseras u, u, och vi får b = 5, b = 5 4, som alltså bildar en ON-bas i E F Eftersom u redan är ortogonal mot de andra basvektorerna räcker det att normalisera den: b = Nu är 5 b = b, b, b en ON-bas i E, bestående av egenvektorer till F Matrisen för F i b

är nu diagonal, med egenvärdena på diagonalen: D = [F] b = 8 Basbytesmatrisen T e b fås genom att sätta ON-basvektorerna b, b, b som kolonner: T e b = 5 4 5 6 5 5 5 Låt A = a Avgör om A är diagonaliserbar eller ej b Bestäm egenvärden och egenvektorer till A Låt A = a a För vilka värden på konstanten a R är avbildningen F : R R, x Ax diagonaliserbar? ON-diagonaliserbar? Ange i förekommande fall en bas i R bestående av egenvektorer till F Den linjära operatorn F på E har i standardbasen e matrisen A = a a a a För vilka a R finns en ON-bas i E bestående av egenvektorer till F? Ange i förekommande fall en sådan bas b För vilka a R är F diagonaliserbar? Ange i förekommande fall en bas f i E bestående av egenvektorer till F, och basbytesmatrisen T e f Låt F : V V vara en linjär avbildning på ett euklidiskt rum V, b en ON-bas i V, och A = [F] b a Visa att F är en symmetrisk avbildning d v s Fu, v = u, Fv för alla u, v V om och endast om matrisen A är symmetrisk b Visa att A t = A om och endast om Fu, u = för alla u V 4 Låt V vara ett euklidiskt rum av dimension minst två, och x V en nollskild vektor Den linjära operatorn s x : V V definieras genom s x v = v v,x x,x x Är s x symmetrisk? Diagonaliserbar? Bestäm alla egenvärden till s x

Kvadratiska former, andragradsytor Exempel : Funktionen q : E R, qx = x + 5x x + x är en kvadratisk form på E Bestäm en ON-bas f i E och λ, λ R sådana att qx = λ y +λ y för y = y y = [x] f 5/ Lösning: I standardbasen ges q av den symmetriska matrisen A = 5/, d v s qx = x t Ax för alla x E Enligt spektralsatsen finns en ON-bas f = f, f bestående av egenvektorer till A Med avseende på denna bas kommer qx = x t Ax = y t Dy = λ y + λ y y, om y = y = [x] f, D = λ λ och λ, λ R är egenvärdena tillhörande f respektive f Egenvärden till A är nollställena till sekularpolynomet deta λi = λ 5/ 5/ λ = λ λ, alltså λ = / och λ = / Egenvektorer till λ fås genom att lösa ekvationen A λ I x = : A λ I = A 5/ 5/ I = ; x = t för t R 5/ 5/ Eftersom A är symmetrisk är egenvektorer med egenvärde λ = / ortogonala mot sådana med egenvärde λ = /, alltså är E λ A = [ ] = [ ] Sätt f = och f = Nu är f = f, f ON-bas sådan att qx = y + y för y = y y = [x] f 5 Vilka av följande uttryck för q : R R definierar kvadratiska former? a qx = x + x x x, b qx = x t x, c qx = x x, d qx = x + x x e qx = x t Ax, där A = 9, 9 f qx = x t Bx, där B = 5, 5 g qx = x, x, där, är någon skalärprodukt på R h qx = x, y, där, är en skalärprodukt och y R en fix vektor

6 Bestäm den symmetriska matris som i standardbasen svarar mot den kvadratiska formen q : R R, om a qx = x + x + x, b qx = x x + 5x x x x, c qx = x t Ax, där A = 7 Den kvadratiska formen q på E ges av qx = 4x + x x Bestäm en ON-bas f = f, f i E och λ, λ R så att qx = λ y + λ y, för x = y f + y f 8 Avgör om den kurva i E som ges av ekvationen x + 6x x + x = är en cirkel, ellips eller en hyperbel Bestäm dess avstånd till origo, samt vilka punkter på kurvan som ligger närmast origo 9 Bestäm signaturen hos den kvadratiska formen qx = x + x +x +x x + x x +x x på R Avgör typen av den yta i E som definieras genom qx = Bestäm typ, avstånd till origo och de punkter som ligger närmast origo på följande ytor i E : a Y = {x E x x 5x + x x 4x x 6x x = } b Y = {x E x + x x + 4x x x x 8x x = } c Y = {x E x + x x + 4x x + x + x x + 9x = 7} Om en ellipsoid har ekvationen y a + y b + y c = i ett ON-system d v s y, y, y är koordinater map en ON-bas, så kallas y -, y - och y -axlarna för dess huvudaxlar Bestäm huvudaxlarna för ellipsoiden E = {x E 5x + 5x + 8x + 4x x + x x + x x = } Visa att determinantavbildningen det : R R, A deta är en kvadratisk form på R, och bestäm dess signatur Är det : R R, A deta en kvadratisk form på R? Bestäm de delmängder av R som uppträder som värdemängder till kvadratiska former Visa hur värdemängden till en kvadratisk form kan avläsas ur signaturen 4 Låt n vara ett positivt heltal Mängden K av alla kvadratiska former q : R n R utgör ett ändligt genererat underrum till vektorrummet av alla funktioner f : R n R Betrakta avbildningen F : R n n K, A Q A, där Q A x = x t Ax här är alltså x R n en kolonnvektor a Visa att F är linjär och surjektiv b Bestäm dimensionerna av K och NF

System av differentialekvationer Exempel : Lös begynnelsevärdesproblemet { y = y + y y, y =, y = y = Lösning: Ekvationen kan skrivas som ett system av differentialekvationer, på matrisform y y = y y y y }{{}}{{} A Y mer kompakt Y = AY Taktiken för att lösa detta system är att försöka diagonalisera matrisen A, för att därigenom dela upp systemet i tre enskilda första ordningens differentialekvationer, vilka kan lösas separat Sekularpolynomet till A är λ λ r-r k+k+k deta λi = λ = λ λ r-r = λ λ λ λ λ = λ λ λ, λ så A har egenvärdena λ =, λ = och λ =, och är alltså diagonaliserbar Egenvektorer till egenvärdet λ i i =,, är de nollskilda lösningarna till ekvationen A λ i I x = Uträkning ger E λi A = [v i ], där v =, v =, v = 4 Dessa tre vektorer bildar en bas v = v, v, v i R, och Te v AT e v = u Om nu u = u = [Y ] u v = T v e Y = T e v Y så är u = u u u = Te v Y = Te v AY = Te v AT e vu = Du = D vilket betyder att u = u, u = u, u = u 4

5 Dessa ekvationer har lösningarna u t = c e t, u t = c e t och u t = c e t med godtyckliga parametrar c, c, c R Insatt i formeln Y = T e v u ger detta yt = c e t + c e t + c e t, y t = c e t + c e t + c e t, y t = c e t + c e t + 4c e t Initialvillkoren y =, y = y = ger nu upphov till följande ekvation: = y y y u = T e v u u Med Gaußelimination får man fram c c = c c = T e v c = c / / Vårt begynnelsevärdesproblem har alltså lösningen yt = 5 Lös systemet av differentialekvationer: y = 4y + y + y, y = y + 4y + y, y = y + y + 4y c c 4 c e t e t 6 Lös nedanstående differentialekvationer/system av differentialekvationer Prova att lägga till några olika begynnelsevärden, och se hur det påverkar lösningen { y i = y + y, y = y + y y = y y, ii y = y + y y, y = y + y iii y 4y + y = 7 Låt A R n n vara diagonaliserbar med egenvärden λ,,λ n, och y = y y n, där y,, y n är kontinuerligt deriverbara funktioner på R Visa att om y = Ay så är varje y i en linjärkombination av funktionerna e λt,,e λnt 8 Talföljden {a n } n N definieras rekursivt genom a =, a = och Bestäm en sluten formel för a n a n = 5a n 4a n för n 9 Lös nedanstående begynnelsevärdesproblem: { x t = xt + yt + e t y t = xt + yt + e t, x =, y =

4 Blandade problem 4 Låt A = 5 Bestäm baser i värderum och nollrum till avbildningen F : R R, x Ax 4 a Ange en linjärt oberoende delmängd av {, 4,, } R 4 b Utvidga den linjärt oberoende mängden från a till en bas i R 4 4 a Ge definitionen av en bas i ett linjärt rum b Avgör för vilka värden på konstanten a R som a v =, v =, v = bildar en bas i R c Om a = så är v = v, v, v från b en bas i R Bestäm matrisen för koordinatbytet från standardbasen e till v d v s den matris T som uppfyller [x] v = T[x] e för alla x R a 4 Låt U = a Bestäm en ON-bas b i U [ b Utvidga b till en ON-bas i E 4 ], E 4 c Visa att de vektorer du lade till i b bildar en ON-bas i det ortogonala komplementet U E 4 till U 44 Delrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u =, u 4 =, u 5 = a Ange en bas i M bland dessa vektorer Bestäm M:s dimension b Bestäm en ON-bas i M 6

7 c Bestäm projektionen av vektorn v = på M 45 Låt E =, E =, E =, E = a Visa att E = E, E, E, E, är en bas i rummet R av - matriser b Låt F : R R vara den linjära avbildning som ges av FA = A At Finn matrisen för F i basen E c Bestäm en bas i NF och en bas i VF basvektorerna skall anges som - matriser, ej som koordinatvektorer 46 a Bestäm egenvärden och egenvektorer till den avbildning som i standardbasen ges av matrisen A = y = y + y + y, b Lös systemet y = y + y, y = y + y 47 Låt F : E E vara speglingen i normalplanet till vektorn u = Bestäm F:s matris i standardbasen 48 Låt A =, B = a Visa att avbildningen F : E 4 E 4, x Ax är en isometri b Finn en ON-bas i R med avseende på skalärprodukten x, y = x t By c Med skalärprodukten från b, bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = på R [ ] 49 Låt R n n sym = {A Rn n A t = A} vara rummet av symmetriska n nmatriser a Ge exempel på en linjär avbildning från R[x] till R sym b Avgör om din avbildning är injektiv/surjektiv/bijektiv c Ge ett exempel på en bijektiv linjär avbildning från R[x] till R sym 5 En yta i E ges av ekvationen 4x + 4x + 7x 8x x + 4x x + 4x x = Bestäm ytans typ, minsta avstånd till origo, samt i vilka punkter detta avstånd antas

8 4 BLANDADE PROBLEM 5 a Givet en symmetrisk n n -matris A, definiera en kvadratisk form Q A : R n R genom Q A x = x t Ax Visa att för alla x, y R n x t Ay = Q Ax + y Q A x Q A y b Låt q : R n R vara en kvadratisk form Visa att funktionen : R n R n R, x y = qx + y qx qy uppfyller följande villkor för alla x, y, z R n, λ R: i x y = y x, ii x + y z = x z + y z, iii λx y = λx y c Visa att är en skalärprodukt på R n om och endast om signq = n,, 5 Låt A = a Avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A Bestäm egenvärdena till F, samt baser i motsvarande egenrum b Bestäm signaturen av den kvadratiska formen qx = x t Ax c Lös följande system av differentialekvationer: x t = xt + zt y t = yt z t =, x =, y = z = xt 5 En linjär avbildning F : V V kallas nilpotent om F m = för något m N Bevisa följande påståenden: a Om F är en nilpotent avbildning så är NF b En nilpotent avbildning har inga nollskilda egenvärden c Om F:s matris i någon bas är övre triangulär, så är F nilpotent en matris kallas övre triangulär om samtliga element på och under diagonalen är lika med noll d Om F λi är nilpotent så är λ ett egenvärde till F här betecknar I identitetsavbildningen på V, d v s Iv = v för alla v V e Om F λi är nilpotent så är λ det enda egenvärdet till F f Om F λi är nilpotent, men inte noll, så är F inte diagonaliserbar 54 Visa att det finns en unik inre produkt i R på formen x, y = c x y + c x y + c x y + c x y, sådan att b = och b = 4 utgör en ON-bas i R med avseende på denna inre produkt Bestäm även alla -matriser A sådana att x, y = Ax Ay

9 55 En linjär operator F : V V på ett ändligt genererat vektorrum V har matrisen A i en bas u i V, och A = A Visa att F är diagonaliserbar d v s att det finns en bas f i V bestående av egenvektorer till F, och bestäm egenvärdena Du kan först visa följande delsteg: a Fv = v för alla v VF b VF NF = {} c Om v = v,,v l är en bas i VF och w = w,, w m en bas i NF så är b = v,, v l, w,, w m en bas i V d Basvektorerna i b är egenvektorer till F

A Facit a x, y, z = 5t, t, t, där t R b w, x, y, z = 5s t, s, s, t, s, t, R, c w, x, y, z = 9t, + t, + t, 4t, t R, d w, x, y, z = + s + t, s, t, 4 5s, s, t, R 4 4 6 7 5 deta = x +, detb = 6, detc =, detd = x x x n, dete = a n 4 A = 8 5 X = 4 6 6 8 6 a Matrisen S är inverterbar, eftersom det S S = b X = 4I 7 A är inverterbar om och endast om x {, } I detta fall är x + A = x + x + x x + a och c spänner upp R, b och d gör det inte a och b är linjärt oberoende, c och d är linjärt beroende 4 b 5 a = 6 Inklusionen U W är äkta, ty 7 Exempelvis u = 5 8 a v N, w N, Vi har M N = U Däremot är W = R 4 [ 5 ]

4 b a =, c N = {x R 4 x x x = } Endast mängden a är en bas i R Exempelvis v =, v = 4 Varje w R som uppfyller 9w + w 7w fungerar 6 Exempelvis v = v, v är en bas i U, och [v ] v =, [v ] v =, [v ] v =, [v 4 ] v =, [v 5] v =, [v6 ] v = 7 De ligger i den linjära höljet av vektorerna och, och måste därför vara linjärt beroende 8 a Varje par av de genererande vektorerna u i utgör en bas i M b a = c [v] u = i basen u = u, u 9 En bas i U är exempelvis f, f, f 4 För att få en bas i hela R[x] kan man till exempel lägga till gx = om a { 6, }, dimu = om a = 6, om a = En bas i R X är exempelvis f = f i 4 i=, där f i : X R ges av f i x = Koordinatvektorn för g blir då [g] f = 8 A = 9 F { om x = i, om x i 7 / 5 Kolonnerna i A är standardbasvektorernas bilder = 44 4, F 4 =, F = 4 4 Avbildningarna G, I, L, M och N är linjära, F och H är det inte 5 4 [F] e = 6 4 y 4 Ekvationen är lösbar närhelst y = y uppfyller y y + y y en massa 44 a [F] e = tal har b [G] = I [F] =

4 A FACIT 46 [F] u = 47 [PR α ] e =, [F] vu = cosα sinα, [R α P] e = cosα sinα 48 Om v, w R har längd ett och är vinkelräta mot varandra och mot u d v s u v = etc så är [F] u,v,z = Eftersom [F] u,v,z = [F] u,v,z så är F = F cosα sinα 5 Om z = λe iα så är [m z ],i = λ sin α cosα 54 Låt V och W vara ändligt genererade vektorrum, och v = v,, v n en bas i V Om ϕ : V W är en bijektiv linjär avbildning så är ϕv,, ϕv n en bas i W, och därför är dimw = n = dimv Om man istället antar att dimw = dimv = n, så finns en bas i W med n element, säg w = w,,w n Då definierar ϕλ v + + λ n v n = λ w + + λ n w n en bijektiv linjär avbildning ϕ : V W 55 a Samtliga b v, ej v och v [ ] 56 NF = 57 a Ja NF = [ 4 ], VF = R b Nej Homogenitetsvillkoret Gλx = λgx är exempelvis inte uppfyllt c Ja NH = [ x, x ] [ ], VH =, 59 a Det går inte b Exempelvis Fx = Ax, där A = 6 I NF är e, e en bas, och e är en bas i NF VF 6 Exempelvis 6 dim NF =, dim VF = 4 66 a Om u, v U, λ R så får vi Fλu + v = λfu + Fv U ty Fu, Fv U och U är ett delrum b Då x U Fx = s för något s R följer att U utgörs av lösningarna till det på matrisform skrivna ekvationssystemet 4 s s s s s Av den sista matrisen [ framgår att U = {x R x = s, x = x + s} vilket betyder att U ] =, 68 a Lösningsrummet har dimension två b Ekvationen är inte lösbar för alla b c Två linjärt oberoende lösningar

4 7 e + 4e 5e = 5 7 u, v = 8 8 v = u + + 6 u 8,, 6 8 Exempelvis, eller dessa två vektorer 8 Exempelvis b = c =, 85 a P U v = 5, 4 b avståndet är 8, 6 Varje icke-trivial linjärkombination av,, 5 6 87 ON-basen i R[x] som Gram-Schmidt frambringar är 5 En ON-bas i U är + x x En ON-bas i U är 7 x, 5 x 88 Koordinatvektorn är [x] f = 5 9 u = v v, u = v v, u = v, 9 a T b u = b [v] b = 7/4 4 5/4 c [w v] b = 9 y = 4 i U, i W, x, 5 x T u v =, T v u = 5 4 4 4, [w] u = 4 9/4 /4, T u b = 4 76, [w v] u = 9 a Till exempel f = b Till exempel b =, b =, f = u, f = 6, b =

44 A FACIT c T b f = i ovanstående fall 6 94 a Till exempel b Till exempel,, c [P U ] e = 5 95 [F] e = 96 [F] e = 98 Om v,, v n är en ON-bas i u, så är b = v,,v n, u en ON-bas i V, Fv i = v i och Fu = u Eftersom b avbildas på ON-basen v,,v n, u så är F isometrisk man verifierar direkt att den är linjär Ekvationen b kan man visa genom att sätta in v = αu + ṽ, w = βu + w, med α, β R och ṽ, w u, i höger- och vänsterled Geometrisk är F speglingen i det ortogonala komplementet normalplanet, i det tredimensionella fallet till u 99 a 4 4 b a [P M ] e =, [P M ] e = I 4 [P] e = b P M u = c 5 5 4 och P M u = 8 5 Avstånden är 9 respektive 4 4 [F] e = 4 6, [G] e = I 4 [F] e = 4 6 5 4 d Fu = 6 7 6 5, Gu = u Fu = 88 7 Avbildningarna F, F och F 5, är isometrier

45 7 Tx y = Tx Ty för alla x, y E om och endast om T är en ortogonal matris med det T = 8 Egenvärden: a, b, c, d u, e a 9 Egenvektorer: a + b, c b +a d b a e x n f NT {} a λ = och v = ; λ = 5 och v = b λ = och v = ; λ = 5 och v = c λ = och v = d λ, = a och v =, v = ; λ = a och v = λ = µ Egenvärden λ =, λ =, λ = = 5, motsvarande egenvektorer v =, v =, v = ± Egenvärdena är a ± 5 Matrisen är diagonaliserbar för alla a R 4 Avbildningen F är diagonaliserbar om och endast om a = I detta fall utgör u =, u =, u = en bas av egenvektorer till F, och [F] u = 5 a Exempelvis b = b, b =,, med egenvärden λ = respektive λ = b T e b =, T b e = + c A n = n n n + n 8 a [F] E =, [F] b = b Egenvärden λ =, λ = och λ = Baser i respektive egenrum är E i E F;, i E F, samt i E F [ ] 9 a U =, E 4 b Avståndet är / Ja, A är diagonaliserbar Egenvärdena är λ = 5, λ = och λ = + 5, 5 motsvarande egenvektorer v =, v = och v = 5 4 s x u, v = u, v u,x x,v x,x = u, s x v, så s x är symmetrisk och därmed enligt spektralsatsen diagonaliserbar Dess egenvärden är och

46 A FACIT 5 a, b, e, f och g är kvadratiska former 6 a, b 5, c 5 7 f = 5, 5, λ =, λ = 4 9 Signaturen är,,, ytan är en ellipsoid Signaturen är,, Determinantavbildningen är inte en kvadratisk form på R ty detλa = λ deta om A är en -matris Om en kvadratisk form q : V R har signaturen signq = r, s, t så är värdemängden R om r >, s =, R om r =, s >, qv = R om r, s >, {} om r = s = 4 Eftersom varje kvadratisk form q på R n kan skrivas som q = Q A = FA för någon matris A R n n så är VF = K, d v s F är surjektiv Nollrummet NF består av alla antisymmetriska matriser d v s matriser A sådana att A t = A, och således är dim NF = nn Dimensionssatsen ger nu 6 i dimk = dim VF = dim R n n dim NF = n { y t = λe t + µe +t, y t = λe t + µe +t 8 a n = 4n för alla n N 9 xt = yt = ii iii nn e t + e +t e t, e t + e +t e t = nn + 4 a En bas i ett vektorrum V är en följd vektorer v, v n som är linjärt oberoende och spänner upp V b v = v, v, v utgör en bas i R om och endast om a ± c T = 4 a Exempelvis b =, b Lägg till exempelvis 45 b [F] E = och c E, E, E +E är en bas i NF, den enda vektorn E E utgör en bas i VF

47 46 a 48 a Avbildningen F är en isometri om och endast om matrisen A är ortogonal, d v s T t T = I b Exempelvis, 5, c P e v = 49 a Det finns många Nollavbildningen : R[x] R sym, x till exempel Eller avbildningen Ffx = f f f f b Nollavbildningen är intetdera, F är surjektiv Ingen linjär avbildning ϕ : R[x] R sym kan vara injektiv, eftersom dim R[x] = 4 > = dim R sym implicerar Nϕ {} 5 a Egenvärdena är λ = och λ = Egenrummen [ E F = b signq =,, xt = e t e t c yt = e t zt = e t + e t ],, E F = [ ]