Mesopotamisk matematik - del 2 Jöran Friberg Den babyloniska matematiken 1500 år före Euklides var mera omfattande, djup och systematisk än man tidigare trott. Den byggde i sin tur på tankegångar som redan vid den tiden var uppemot 1500 år gamla. Just dessa nyare resultat togs upp i förra numret av Nämnaren och i en fortsättning med ytterligare exempel och en sammanfattning i detta nummer. Artiklarna är dokumentation av en uppmärksammad föreläsning vid Matematikbiennalen i Göteborg 1992. En gammal-sumerisk tabell över kvadratytor Här visas gammal-sumeriska tabeller över sidor och ytor på stora kvadrater, med en tillämpningsövning (att räkna ut ytan av en kvadrat med sidan 10 x 60 dubbelrör 3600 m) Uträkning: (60 stavar) = (6 rep) = (1 längd) = 2 d (bur) Alltså, t ex: (10 x 60 stavar) = 10 x (60 stavar) = 1.40 (100) x 2 bur = 3.20 (200) bur En gammal-sumerisk aritmetisk-geometrisk uppgift Jöran Friberg är professor i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs Universitet. Han är en internationellt känd forskare i matematikhistoria med särskild inriktning mot mesopotamisk matematik och inflytandet från babylonisk matematik på utvecklingen av bl a den grekiska matematiken. Beräkna ytan av en kvadrat med sidan 5 x 60 stavar. Uträkning (rättad): (5 x 60 stavar) = 25 x (60 stavar) = 2 1/2 x 10 x (60 stavar) 12
= 2 1/2 x 10 x 3 20! bur = 2 1/2 x 33 20 (2000) bur = 1 23 20 (5000) bur. I texten räknas felaktigt med 3 10 bur i stället för 3 20 bur. Svaret i texten är därför också felaktigt, nämligen 1.27.30 bur istället för 1.23.20 bur. Observera att tecknet för 1.00.00 (3600) bur är en gaffel plus tecknet för 1.00 (60) bur. Gaffeltecknet är egentligen tecknet för gal = stor på sumeriska men betyder här multiplikation med 60! En gammal-sumerisk geometrisk uppgift Uppgiften behandlar fyra cirklar inskrivna i en kvadrat, kanske en tidig föregångare till en intressant typ av babyloniska geometriska problem. Ingen förklarande text är bevarad, men likheten med en viss gammal-babylonisk text antyder att det handlar om följande Antag att den yttre kvadraten har sidan 1. Bestäm ytan av den inre konkava kvadraten (på sumeriska kallad harp-öra efter formen av ljudhålen på en sumerisk harpa). Lösning (enligt gammal-babylonisk metod): Ytan av den centrala parallella kvadraten: 1/4 Ytan av den centrala cirkeln: 3/4 x 1/4 (om π = 3) Ytan av den centrala sneda kvadraten: 1/2 x 1/4 Ytan av harpörat: (3/4 1/2) x 1/4= 1/4 x 1/4 Ytan av en båt : 1/4 x (3/4 1/4) x 1/4 = 1/8 x 1/4 Förhållandet mellan ytorna är därför båt : harpöra : sned kvadrat : cirkel : kvadrat = 1/2 : 1 : 2 : 3 : 4 (om π = 3) Ett gammal-akkadiskt divisionsproblem (2300 f Kr) Detta är ett exempel på gammal-akkadiska kilskriftstexter (2300 f Kr) med en geometrisk uppgift som leder till division med ett reguljärt sexagesimalt tal (4 x60+ 3 = 3 5 ). Långsidan av en rektangel är 4 03 (243) stavar. Vad är kortsidan om ytan är 1 iku = (10 stavar)? Detta är ett reguljärt divisionsproblem, eftersom 4 03 = 3 x 1 21 (81) = 3 x 9 x 9 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 4(60) 3 us u sag sag 1(iku) asa a a sag - bi bi pa pa - de d] dam- 13
Uträkning: 100 stavar / 243 = 200 säd-alnar / 81 (1 stav = 6 säd-alnar) = 2 säd-alnar + 76 händer / 27 (1 säd-aln = 6 händer) = 2 säd-alnar + 2 händer + 220 fingrar / 27 (1 hand = 10 fingrar) o s v Ett gammal-akkadiskt trapetsdelningsproblem Här visas en geometrisk teckning, förmodligen en illustration till en matematisk uppgift som är en tidig föregångare till ett mycket viktigt och intressant babyloniskt geometriskt-algebraiskt-talteoretiskt problem (trapetsdelningsproblemet). Detta är den matematik-historiskt mest intressanta texten från tredje årtusendet. Texten är gammal-akkadisk (2300 f Kr). Problemtypen var populär i den gammal-babyloniska perioden 500 år senare. (a+d ) / 2 = 30 / 3 = 10 (d+b ) / 2 = 30 / 2 = 15 (a+b ) / 2 = 60 / 5 = 12 Lösning: a+d+b = 10+15+12 = 37 a = 37 (d+b) = 37 30 = 7 d = 37 (a+b) = 37 24 = 13 b = 37 (a+d) = 37 20 = 17 14 b B d A a 17 alnar q 7 alnar p 2 rör [(a + d)/2] x q = A, osv b 30 d 30 a 3 2 Bestäm delningslinjen i parallelltrapetsen i bilden så att den delar ytan av trapetsen i två lika delar. Svar (ej i texten): Delningslinjen har en längd av13 alnar. Den delar långsidorna i förhållandet 2 : 3. Ytan av hela trapetsen är 4 kvadratrör = 1 kvadratstav = 1 gård (den minsta enheten för ytmått). Förklaring till trapetsdelningsproblemet: Antag t ex att man vill dela en trapets med ytan 60 i två lika delar genom en delningslinje som delar långsidan i delar med längderna 2 och 3 (bilden till vänster). Den falska ytformeln (som faktiskt inte är generellt additiv!) ger då upphov till det linjära ekvationssystemet under figuren, (se även Nämnaren, nr 4/92 s 13) : Övning: Visa att kravet att den falska ytformeln är additiv (så att summan av delytorna A och B är lika med ytan av hela trapetsen) är ekvivalent med likformighets-villkoret att sidan av trapetsen delas i förhållandet p : q = (b d) / (d a). Övning: Visa att likadelningsvillkoret, d v s villkoret att A = B, är ekvivalent med villkoret att d a = b d, d v s att a+ b = 2 d.
Exempel: Om a = 7, b = 17, så är d = ( 7+ 17) / 2 = (49+289) / 2 = 169 = 13. Trapetsdelningsproblemet leder tydligen automatiskt till heltalslösningar till ekvationen a+ b = 2 d, som är en obestämd andragradsekvation av exakt samma slag som Pythagoras ekvation. Många gammal-babyloniska matematiska kilskriftstexter handlar för övrigt just om Pythagoras ekvation eller trapetsdelningsproblemet. En sen-sumerisk faktoriseringsuppgift (2000 f Kr) Här presenteras finurligt formulerade divisionsproblem (2000 f Kr) som bygger på den överraskande iakttagelsen att de lustiga sexagesimaltalen 1 01 01 = 60 2 +60+1 och 1 01 01 01 = 6 0 3 +6 0 2 +60+1 innehåller små icke-reguljära faktorer (13 och 7). a) 1 01 01 01 getter vallas av 13 13 herdar. Hur många getter i varje hjord? b) 1 01 01 01 får vallas av 13 herdar. Hur många får i varje hjord? c) 1 01 01 får vallas av 7 herdar. Hur många får i varje hjord? Lustigt nog gäller samma sak för decimaltal, vilket kan visas genom följande enkla uträkning: 1 = 1 + 0 x 13 10 = 10 + 0 x 13 100 = 9 + 7 x 13 1000 = 12 + 76 x 13 1001 = 13 + 76 x 13 = 77 x 13 = 7 x 11 x 13. Alltså är 1 111,111 = 111 x 1001 = 7 x 11 x 13 x 111! Övning: Undersök om decimaltalet 10101 innehåller liknande faktorer. Ett sen-sumeriskt tillväxtsproblem (2000 f Kr) Detta är en teoretisk-ekonomisk text som ger lösningen till ett tämligen komplicerat tillväxtproblem med tidsfördröjning (tillväxten under en tioårsperiod av en hjord nötkreatur som vid periodens början omfattar fyra dräktiga kor). Beräkna tillväxten av en hjord nötkreatur under tio år under följande tillväxtsvillkor: a) vid början av år 1 omfattar hjorden 4 kor b) varje helt par av kor får varje år en kalv, omväxlande av ena eller andra könet c) efter 3 år är en kviga könsmogen; efter ytterligare 1 år blir den en ko och kan få sin första kalv Detta är ett rekursionsproblem som enklast löses genom framräkning av raderna i en tabell. 1 Kanske bygger titeln på den gamla orientaliska samlingen av berättelser Tusen och en natt på en ännu äldre orientalisk matematisk tradition? Det är för övrigt intressant att notera att faktoriseringen av talet 1001 har följande tillämpning: Eftersom 7 x11 x13 = 1001 x 1000, så är 1/7 11 x13/1000 = 0,143, 1/11 7 x13/1000 = 0,091, och 1 / 13 7 x11/1000 = 0,077. 15
Liknande, men avsevärt mycket enklare, är Leonardo Fibonacci s berömda kaninproblem (1200 e Kr): Ett kaninpar får ett par ungar (av båda könen) varje år. Ungarna är fullvuxna efter ett år. Dräktighetstiden är ett år. Beräkna tillväxten (den s k Fibonacciföljden). Övning:Visa att antalet honor resp. honungar ges av följande tabell. Försök att bestämma den enkla tillväxtsregeln. år 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... h. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... hu. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Det sen-sumeriska hjordproblemet och det medeltida kaninproblemet är båda helt teoretiska, strängt schematiserade och orealistiska. Bl a är ju dödlighetstalet lika med noll. Inte ens till skatteunderlag kan lösningen här nedan till hjordproblemet ha dugt. Lösningen till det sen-sumeriska hjordproblemet år kor 3-åriga 2-åriga 1-åriga kalvar tjurar 3-åriga 2-åriga 1-åriga kalvar 1 4 1 1 2 4 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 6 1 1 1 1 2 1 1 1 2 7 7 1 1 1 2 3 1 1 2 1 8 8 1 1 2 2 4 1 2 1 2 9 9 1 2 2 2 5 2 1 2 2 10 10 2 2 2 2 7 1 2 2 3 Sammanfattning Det är nu för första gången möjligt att rekonstruera (i grova drag) matematikens hela utvecklingshistoria. Man ser hur tal och mått och den elementära aritmetiken var fullt utvecklade redan vid tiden för uppfinnandet av skriften, och hur teoretiska matematiska problem övades i de mesopotamiska skolorna under hela det tredje årtusendet. Speciellt intressant är observationen att distinktionen mellan reguljära och icke-reguljära sexagesimaltal (7, 11,...), som var en av hörnstenarna i den babyloniska matematiken, 16
utgör bakgrunden till en hel rad matematiska övningsuppgifter från samtliga utvecklingsperioder under det tredje årtusendet i Mesopotamien, den för-sumeriska, den gammal-sumeriska, den gammal-akkadiska och den sen-sumeriska. Det går därför en rak linje från vår moderna matematik, via grekernas, babyloniernas, sumerernas och för-sumerernas matematik till räknandet med talsymboler av lera (små stavar, koner och klot) i det förhistoriska Mellanöstern (8000 3200 f Kr). Litteratur Friberg, J. Numbers and measures in the earliest written records, Scientific American 250 (1984) 110 118. Friberg, J. "Mesopotamisk matematik del 1", Nämnaren nr 4, 1992, s 9-16. Nissen, H., Damerow, P., Englund, R. Frühe Schrift und Techniken der Wirtschaftsverwaltung im alten Vorderen Orient (Berlin, 1990). (En engelsk översättning skall publiceras inom kort.) 17