Mesopotamisk matematik del 1

Transkript

1 Mesopotamisk matematik del 1 Jöran Friberg är professor i matematik vid Chalmers tekniska högskola och Göteborgs Universitet. Han är en internationellt känd forskare i matematikhistoria med särskild inriktning mot mesopotamisk matematik och inflytandet från babylonisk matematik på utvecklingen av bl a den grekiska matematiken. Artikeln är första delen i en dokumentation av en uppmärksammad föreläsning vid Matematikbiennalen i Göteborg Del 2 kommer i nästa nummer av Nämnaren. Inledning I enlighet med talesättet Redan de gamla grekerna... antas det i de flesta läroböcker i matematik eller matematikhistoria att den vetenskapliga matematiken hade sitt ursprung i den antika grekiska kulturen. Möjligen slänger man in en liten brasklapp genom att medge att vissa enkla och tämligen triviala typer av matematiska uträkningar eller problemlösningar kan förekomma i babyloniska kilskriftstexter från början av andra årtusendet f Kr. Men då tillfogar man gärna förbehållet att den euklidiska typen av axiomatisk-deduktiv matematik med axiom, satser och bevis inte hade någon motsvarighet i den långt primitivare babyloniska matematiken. I själva verket är det numera väl dokumenterat att förgrekisk matematik kunde vara både omfattande och (efter omständigheterna) förbluffande djup och systematisk. Den stora omfattningen av den babyloniska matematiken demonstrerades redan av Otto Neugebauer (verksam i tur och ordning i Göttingen Köpenhamn Providence Princeton) i en rad monumentala publikationer av (babyloniska) matematiska kilskriftstexter. Tyvärr är dessa publikationer mycket svårlästa, eftersom de förutsätter en kombination av matematisk och linguistisk kompetens hos den presumtive läsaren av orealistiskt stora mått. En mera lättläst sammanfattning av sina resultat fick Neugebauer aldrig tid att skriva när det gällde den babyloniska matematiken, eftersom han istället tillbringade mer än fyrtio år efter Nämnaren nr 4, åt att skriva en lång rad värdefulla arbeten om babylonisk, antik och medeltida astronomi. Hur djup den babyloniska matematiken faktiskt var har blivit klart genom en förnyad intensiv analys av vissa av de mest svårtolkade exemplen i Neugebauers publikationer, och genom studium av särskilt intressanta nya matematiska kilskriftstexter utgrävda efter andra världskriget. Ju fler nya texter som publiceras, desto tydligare blir det hur systematiskt uppbyggd den babyloniska matematiken var. Det finns mycket som tyder på att det en gång existerade långa serier av lertavlor med matematiska kilskriftstexter, ordnade efter innehåll och svårighetsgrad, som tillsammans gav en uttömmande exemplifiering av alla tänkbara varianter av matematiska problem och problemlösningsmetoder bekanta för de babyloniska matematikerna. Det betyder att det faktiskt kan ha existerat en sorts babylonisk Elementa, som innehöll både geometri, algebra (speciellt andragradsekvationer) och talteori (t ex en formel för heltalslösningar till den obestämda kvadratiska ekvationen x + y = z), redan 1500 år före Euklides. Det är visserligen fortfarande sant att den babyloniska matematiken inte var i strikt mening axiomatiskt-deduktivt uppbyggd som Euklides Elementa. Istället för axiom hade den babyloniska matematiken (uttalade eller underförstådda) självklara förutsättningar. Istället för satser hade den intrikata problemkonstruktioner och geniala lösningsmetoder, och istället för bevis 9

2 När är en tidig text matematisk? Kännetecken: den innehåller intressanta tal t ex mycket stora tal runda tal tal med speciella faktorer den innehåller intressanta räkneoperationer t ex ytberäkningar divisioner sortomvandlingar den innehåller inga eller få administrativa data som personnamn,ortnamn, dateringar Vilket folk uppfann matematiken? de gamla grekerna? (trodde man länge) de gamla egyptierna? ( efter 1923) de gamla babylonierna? ( efter 1933) de gamla sumererna? ( efter 1976) de gamla för-sumererna? ( efter 1992) eller kanske rentav något folk i Mellanöstern i förhistorisk tid, d v s före uppfinnandet av skriften Kronologin i grova drag de gamla grekerna 500 de gamla egyptierna 1700 de gamla babylonierna 1900 de gamla sumererna 2500 de gamla för-sumererna 3200 Mellanöstern, förhistorisk tid 8000 hade den omsorgsfulla verifikationer av de uträknade lösningarna. Den vanligaste metoden för verifikation av en lösningsalgoritm var omkastning av problemet vilket innebar att i problemformuleringen givna data framräknades med utgångspunkt från lösningen till problemet. Denna typ av verifikation är f ö nära släkt med den ytterst effektiva analys-och-syntes-metoden som spelade en viktig roll i den klassiska grekiska matematiken. Inte nog med att den babyloniska matematiken 1500 år före Euklides var mera omfattande, djup och systematisk än vad som än så länge framgår av den alltför kortfattade diskussionen av ämnesområdet i populära läroböcker i matematikhistoria. Jag har själv nyligen påbörjat författandet av några artiklar där jag försöker visar att den grekiska matematiken i begränsad men avgörande utsträckning var klart påverkad av babylonisk matematik. Detta gäller speciellt den föreuklidiska grekiska matematiken, men också tex vissa delar av Euklides Elementa (speciellt den geometriska algebran i Elementa, bok 2), liksom de grundläggande exemplen i den sengrekiska matematikern Diophantos talteoretiska arbete Arithmetica, som i sin tur spelade en avgörande roll för tillblivelsen av den moderna västerländska matematiken (arbeten av Fermat, Euler, etc). Utläggningen här ovanför innehåller egentligen inte mycket som skulle ha kommit som en direkt överraskning för Neugebauer för 50 år sedan. Vad som däremot knappast föresvävade Neugebauer är väl nyare resultat från det senaste decenniets forskning om matematikens ursprung. Mycket tyder på att den babyloniska matematiken 1500 år före Euklides i sin tur byggde på tankegångar och metoder som redan vid den tiden var uppemot 1500 år gamla. Just dessa nyare resultat tas upp i detta och ett kommande nummer av Nämnaren. 10 Nämnaren nr 4, 1992

3 För-sumeriska siffersystem (3200 f Kr) Här följer några exempel på de för-sumeriska systemen av för-kilskriftliga beteckningar för tal och mått (på lertavlor från slutet av fjärde årtusendet f Kr, jämgamla med uppfinningen av skriften), med olika siffror för räknetal, spannmålstal, yttal och tidtal 10x 60x60 60x60 10x Den äldsta (s k för-sumeriska) skriften var en blandning av dels ordtecken (både konkreta avbildningar och abstrakta symboler) ritade i lera med en spetsig skrivpinne dels taltecken som var tryckta in i leran med två skrivpinnar, en tjock och en smal. De olika enheterna hade säkert egna namn, men eftersom dessa är okända kan man använda surrogatnamn som anspelar på formen av taltecknen, t ex Cd stor lång (cup) och liten rund (disk). De för-sumeriska taltecknen var f ö modellerade efter förskriftliga talsymboler i form av lerfigurer formade som små stavar, koner och klot. Sådana talsymboler användes kontinuerligt i hela Mellanöstern från ca 8000 f Kr till uppfinnandet av skriften (ca 3200 f Kr). 2 Den minsta spannmålsenheten var p6 en rosett med 6 blad (petals), ungefär en liter. Den motsvarade en liten skål med krossad råg, dagsransonen för en livegen arbetare. (Utöver spannmålsransoner delades det också ut ölransoner.) Huvudenheten i spannmålssystemet var enheten c, en månadsranson. 3 Längdenheten var ninda, en lång stav eller dubbelt vassrör, ungefär 6 meter. Huvudenheten för ytmått var c, lika med ytan av en kvadrat med sidan 10 ninda = ett mätrep (60 meter). 4 Ett fiktivt administrativt år med 12 månader om 30 dagar användes vid uträkningen av ransoner, arbetskvoter, osv, men ett reellt månår omfattade omväxlande 12 eller 13 månvarv. Nämnaren nr 4,

4 Det moderna metersystemet (påhittat under franska revolutionen för 200 år sedan) införde revolutionerande enkla samband mellan längder, ytor, volymer och vikter år tidigare använde för-sumererna enligt samma principer koordinerade mått för längder, ytor och spannmål! Vikter inlemmades i systemet ca 500 år efteråt. Enkla samband mellan enheter ur längd- och ytsystemen 1 stav 6 meter 1 rep = 10 stavar 1 längd = 6 rep = 60 stavar 1.00 n. 1 rep x1 stav = 1 m 1 rep x1 rep = 1 c 1 rep x1 längd = 1 cd 3 rep x1 längd = 1 d 10 n. 10 n. 1 nindan Utsädesnorm: 5 1c säd på 1 c yta = 1d sädpå 1 cd yta = 3d sädpå 1d yta = 1C säd på 1 Dd yta. En för-sumerisk övning i ytberäkning och/eller icke-reguljär division Här följer för-sumeriska matematiska övningsuppgifter med exempel på användningen av den falska ytformeln för beräkning av ytan av fyrhörningar och division med avsiktligt valda icke-reguljära (sexagesimal)tal Text: (100) stavar längs, 2 00 (120) stavar längs 1 15 (75) stavar tvärs, 1 00 (60) stavar tvärs 5 Det är kännetecknande för mesopotamisk metrologi att nästan alla viktiga samband mellan olika slags mått är mycket enkla, helst unitära (dvs 1 enhet av X motsvarar 1 enhet av Y). För-sumeriska exempel: utsäde: 1 c säd på 1 c yta, etc.; ransoner: 1 c säd för 1 månad; etc. Sumeriska exempel: pris: 1 shekel silver för en gur säd; rymdmått: 1 sila (liter) = en kub med sidan 1 ninda(x 1/60), volym: 1 sar = en platt kub med sidorna 1 ninda x 1 ninda x 1 aln 6 meter x 6 meter x 1/2 meter (det var praktiskt med ett platt volymmått vid beräkningen av volymen av t ex en husvägg eller en vattendamm!); vikt: en volym-sar obränt tegel vägde precis 1 talent; o s v. 6 Horisontella och vertikala streck i texten betecknar lång- och kortsidorna på rektangulära fält. 12 Nämnaren nr 4, 1992

5 Falska ytformeln : 7 A = ( )/2 x ( )/2 kvadratstavar = 110 x 67 1/2 = 100 x 74 1/4 kvadratstavar 75 kvadratrep = 1 15 c (ytmått) Division med 11 (icke-reguljärt tal): 8 Givna: ytan A = 75 c (ett runt yttal) och genomsnittliga långsidan L = ( )/2 = 110 stavar = 11 rep. Finn genomsnittliga kortsidan K = A/L = 75 kvadratrep / 11 rep. Svaret är: 75 kvadratrep / 11 rep 67 1/2 rep (avrundat ) = (75 rep + 60 rep)/2. En bit av en för-sumerisk tvåårsredovisning Här följer exempel på för-sumeriska och för-elamitiska räkenskapstexter med omvandling av arbetsdagar (t ex 37 månader) till ett motsvarande antal spannmålsenheter Uträkning (upprepad två gånger): Ranson: 1 c råg per man och månad 9 24 månader x 1 c / månad = 24 c = 4 d Tillägg: 1 / 10 av 24 c = 2 c 2 M (arbetsgivaravgift?) Man känner här bl a lätt igen tecknen för: råg, månad, matskål (för ransoner). För-elamitiska siffersystem (3000 f Kr) Skrift (på lera) uppfanns av för-sumererna cirka 3200 f Kr (en föregångare till kilskriften). Tvåhundra år senare fanns det också en egyptisk skrift på papyrus (hieroglyferna) och en för-elamitisk (forn-iransk) skrift på lera (snart utdöd). För-elamiternas språk är okänt och deras skrift är nästan helt odechiffrerad, men siffersystemen i den för-elamitiska skriften är nära nog desamma som i den för-sumeriska 7 För ytan A av ett (någorlunda) rektangulärt fält med fyra sidor a, b, c, d användes den falska ytformeln A = (a+c)/2 x (b+d)/2. Formeln ger dåliga värden för utpräglat icke-rektangulära fyrhörningar. 8 Divisionen är inte utförd i den bevarade texten, men detta och många andra liknande exempel visar helt tydligt att sidorna i fyrhörningar brukade räknas ut på det angivna sättet. Anledningen var förmodligen att långsidan av ett (nästan rektangulärt) fält bestämdes av hur lång sträcka längs en bevattningskanal fältet kunde göra anspråk på, medan ytan bestämdes av hur mycket vatten och utsäde som kunde tilldelas just det fältet. Kortsidan fick följaktligen beräknas. Både vatten och spannmål var gemensam (eller tempelägd) egendom som måste ransoneras ut. Anledningen till att divisionen i nästan alla kända fall utförs med en icke-reguljär divisor som 7 eller (i det anförda exemplet) 11 är inte känd, men kanske är förklaringen att alla kända texter av det här slaget är övningsuppgifter från skolundervisningen i matematik och därför avsiktligt komplicerade för att bli mer intressanta. 9 Det är inte självklart att texten innehåller beräkningen av de sammanlagda ransonerna för en person under 24 månader. Det kan lika gärna handla om t ex ransonerna för 24 personer under 1 månad. Nämnaren nr 4,

6 skriften. Ett undantag är att för-elamiterna inte bara som för-sumererna använde ett sexagesimalt talsystem, utan dessutom också ett decimalt talsystem. Sexagesimal räkning användes för t ex lerkrukor, decimal räkning för t ex hästar! Skrivtecknen för lerkrukor och hästar är avbildande och därför lätta att tyda. Nästan alla andra förelamitiska skrivtecken är (troligen) abstrakta och icke-avbildande. För fullständighetens skull skall man kanske tillägga att både för-sumerer och förelamiter använde ett speciellt talsystem för att räkna bröd, fisk och andra uppräkneliga livsmedel, nämligen det s k bisexagesimalsystemet. Detta talsystem hade speciella siffror för enheterna 1, 10, 60, 120, 10 x 120 = 1200, etc., men inga för 10 x60 = 600 eller för 60 x 60 = 3600, etc. B: Bisexagesimala tal (antal, livsmedel) x D: Decimala tal (antal, djur?) En för-elamitisk treårsredovisning (år 3000 f Kr) Slutsumman av många småposter på en stor för-elamitisk lertavla redovisas som T = 3 år?, C = (6 x x x x 1/5) c råg? c/60 = 6,039 x 1/5 c = 11 x 61 x 18 x 6 c/60 (halva dagsransoner av krossad råg). Tolkning: C = (1 + 1/60) x (1 + 1/10) x 60 pers. x 36 mån. x 1/2 c råg / pers. o. mån. Slutsumman följs av en tilläggspost: C = (1 x x x 6 + 2) c malt för öl? = (1 1/90) x 60 pers. x 36 mån. x 1/6 c malt?/pers. o. mån. 14 Nämnaren nr 4, 1992

7 En mystifierande omständighet är att de båda slutsummorna innehåller faktorer av typen (1 + 1/60) och (1 1/90). (Faktorn (1 + 1/10) har vi mött förut och den är troligen någon sorts arbetsgivaravgift, dvs skatt eller pålaga.) Sådana till synes omotiverade faktorer, som man kan kalla (positiva eller negativa) enhetsbråkstillägg, förekommer i nästan alla metrologiskt intressanta för-sumeriska och för-elamitiska ekonomiska texter. Runda tal multiplicerade med enhetsbråkstillägg kan man kalla nästan runda tal. Det är svårt att bilda sig någon uppfattning om vilken roll enhetsbråkstillägg och nästan runda tal kan ha spelat i dessa extremt tidiga texter som är mycket kortfattade och, bl a därför, svårtolkade. En för-sumerisk treårsredovisning (3000 f Kr) Här följer gammal-sumeriska och eblaitiska (fornsyriska) kilskriftstexter (2500 f Kr) med problem som handlar om spannmålstal och division med icke-reguljära sexagesimaltal. Text: C = (31 x x /5) c råg, 37 månader, sammansatt redovisning, omräkning utförd av Kushim (förvaltare) Tolkning: C = (31 x 6 x 151 /5) c (37 x 5 x 151 /5) c (litet räknefel) = 37 månader x 1 c / månad x 151 Gissning: C = (1 + 1/150) x (1 + 1/36) x 150 pers. x 3 år x 1 c /pers. o. mån. = ( ) pers. x (3 x12 + 1) mån. x 1 c /pers. o. mån. Nämnaren nr 4,

8 En gammal-sumerisk divisionsuppgift (2500 f Kr), sexagesimal räkning Problem: Ett spannmålsmagasin rymmer (vilket antas bekant) (1+ 1/5) x 4 x 60 x 60 x 60 liter råg. Tilldelningen per person är 7 liter. Hur många personer? (Icke-reguljär division!) Svar: 45 x 60 x x personer. Rest: 3 liter. En eblaitisk divisionsuppgift (2500 f Kr), decimal räkning 10 Problem: Summan av ransonerna till personer skall beräknas. En tunna råg räcker till 33 personer. Hur många tunnor råg? (Icke-reguljär division!) Konstruktiv divisionsalgoritm: 3 1/30 tunnor till 100 (+ 1/10) personer 30 1/3 tunnor " (+ 1) " 303 1/30 tunnor " (+ 1/10) " /3 tunnor " (+ 1) " /3 tunnor " (+ 2) " /5 tunnor " (+ 6/10) " tunnor " " Exakt svar (i modern framställning): 1/33 = 0, (periodiskt decimalbråk), /33 = 26 x 303,03... = 7.878, Ebla är en nyligen utgrävd stad i Syrien. Man har där hittat ett helt intakt bibliotek med lertavlor från mitten av tredje årtusendet. Skriften på de eblaitiska lertavlorna är sumerisk, men språket är semitiskt, släkt med feniciska och hebreiska. 16 Nämnaren nr 4, 1992