Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier

KAPITEL 5 Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier Vi inleder med några förberedande exempel. 5.. Cauchys ekvation Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och Augustin-Louis Cauchy är en linjär homogen ODE som kan skrivas på formen (* x 2 y + axy + by =. Exempel 5.. Lös ekvationen (*. Lösning: Ansätt y(x = x r. Då blir y (x = rx r och y (x = r(r x r 2, och insatt i (* får vi vilket ger oss ekvationen r(r x r + arx r + bx r =, (** r(r + ar + b = den Karakteristiska ekvationen som motsvarar (*. Antag att lösningarna till (** är r och r 2. Vi har tre olika fall:. Om r och r 2 är reella och skilda, r r 2 så blir y(x = Ax r + Bx r 2. 2. Om r och r 2 är reella och lika, r = r 2 = r så blir y(x = Ax r + Bx r lnx. 3. Om r och r 2 är komplexkonjugerade, r = α + iβ, r 2 = α iβ så blir ANMÄRKNING 6. Observera att y(x = Ax α+iβ + Bx α iβ. x α+iβ = x α e iβlnx = x α (cos(βlnx + isin(βlnx och x α iβ = x α (cos(βlnx isin(βlnx, och vi kan skriva om lösningen i fall 3 i exemplet ovan som y(x = x α ((A + Bcos(βlnx + i(a Bsin(βlnx. Betraktar vi enbart konstanter A och B sådana att C = A + B och D = i(a B är reella tal så kommer y(x = x α (C cos(βlnx + Dsin(βlnx 27

28 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER att vara en reell lösning till (*. Exempel 5.2. Lös differentialekvationen dvs x 2 y + 2xy 6y =. Lösning: Den karakteristiska ekvationen är vilken har lösningarna r(r + 2r 6 =, r 2 + r 6 = r = 2, r 2 = 3. Eftersom vi har två skilda reella lösningar hamnar vi i fall ovan, och lösningarna till ekvationen ges av y(x = Ax 2 + Bx 3. Exempel 5.3. Lös ekvationen x 2 y + 2xy + λy =, λ > 4. Lösning: Den karakteristiska ekvationen är r 2 + r + λ =, vilket har lösningarna r = λ 2 ± 4 λ = 2 ± i 4. Eftersom vi nu har fallet med komplexa lösningar r = α + iβ och r = α iβ befinner vi oss i fall 3 ovan, och lösningarna ges av ( y(x = Ax 2 sin ( λ 4 lnx + Bcos ( λ 4 lnx. 5.2. Exempel på Sturm-Liouville problem I nästa avsnitt kommer vi beskriva mer i detalj vad som menas med ett Sturm-Liouvilleproblem (Charles- Fran cois Sturm och Joseph Liouville, men först ska vi studera några exempel. Exempel 5.4. Lös y + λy =, y( = y(l =.

5.2. EXEMPEL PÅ STURM-LIOUVILLE PROBLEM 29 Lösning: Vi såg tidigare (avsnitt 4.8, sid. 23 att detta problem kan lösas om och endast om ( nπ 2 λ = λ n =, n =,2,3,...(egenvärden l med de motsvarande lösningarna ( nπ y n = a n sin l x (egenfunktioner. Exempel 5.5. Lös Lösning: Vi har tre olika fall: X (x λx(x =, x, X( =, X ( = 3X(. λ = X(x = Ax + B, X( = B =, och X ( = 3X( A = 3A A =. Vi får alltså enbart den triviala lösningen X(x. λ > Med λ = p 2 blir lösningen X(x = Ae px + Be px. Randvillkoren X( = och X ( = 3X( ger X( = A + B = X ( + 3X( = A ( pe p + pe p + 3A ( e p e p =, dvs B = A och A = eller e p (p + 3 + e p (p 3 =, men detta uttryck är aldrig för p (visa detta! och vi måste alltså ha A = B =, och även i detta fall får vi endast den triviala lösningen X. λ < Med λ = p 2 får vi lösningen X(x = Acos px + Bsin px, och randvillkoren ger X( = A =, och X ( = 3X( ger pbcos px = 3Bsin px B(pcospx + 3sin px =, vilket ger att antingen är B =, och vi får den triviala lösningen, eller så är (pcospx + 3sin px =, dvs p måste uppfylla ekvationen tan p = p 3. Vi ser alltså att det endast finns icke-triviala lösningar då λ är ett egenvärde λ = λ n = p 2 n, n =,2,..., där p n är en lösning till tan p = p (se Fig. 6.2.2, och vi har då motsvarande egenfunktioner 3 Exempel 5.6. Lös Lösning: Den karakteristiska ekvationen blir X n (x = a n sin p n x. x 2 X (x + 2xX (x + λx =, X( =, X(e =. r(r + 2r + λ = r 2 + r + λ =

3 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER FIGUR 5.2.. Lösningar till tan p = p 3 y y = tan p p p2 p3 p y = p 3 som har lösningarna r = 2 ± 4 λ = 2 ± i λ 4, och vi ser att de fall vi måste undersöka är λ < 4, λ = 4 och λ > (jfr. Exempel 5.3. 4 λ < 4 λ = 4 λ > 4 Med r,2 = 2 ± 4 λ (skilda reella får vi lösningarna X(x = Axr + Bx r 2 och randvillkoren ger X( =, X(e =, A + B =, Ae r + Be r 2 =, A = B, A(e r e r 2 =, dvs eftersom e r e r 2 måste A = och vi får endast den triviala lösningen X. Nu får vi en dubbelrot r = 2 och lösningarna blir X(x = Ax 2 +Bx 2 lnx. Randvillkoren ger X( = A = och X(e = Be 2 =, dvs A = B = och vi får endast den triviala lösningen X. De två komplexa rötterna r = λ 2 ± i ger lösningarna 4 ( λ ( λ 4 lnx 4 lnx X(x = A x sin + B x cos, ( och vi får X( = B =, och X(e = A sin e λ 4 = vilket ger att λ måste uppfylla λ 4 = nπ, för något positivt heltal n. Vi får alltså egenvärden λ n = 4 + (nπ2, n Z +,

5.2. EXEMPEL PÅ STURM-LIOUVILLE PROBLEM 3 y FIGUR 5.2.2. Besselfunktionen J (x J (x α α2 α3 α4 α5 x med motsvarande egenfunktioner X n (x = A n x sin(nπlnx. Exempel 5.7. (Bessels ekvation En viktig ordinär differentialekvation inom matematisk fysik är Bessels ekvation (Wilhelm Bessel av ordning m: r 2 w + rw + (r 2 m 2 w =. Lösningarna (det finns två linjärt oberoende till denna ekvation kallas Besselfunktioner av ordning m. (För mer information se t.ex. Besselfunktioner hos engineering fundamentals. Vi ska betrakta ett specialfall. Lös följande problem innehållande Bessels ekvation av ordning : d 2 w dr 2 + dw r dr + k2 w =, w(r =, w (r <. Lösning: En allmän lösning är w(r = C J (kr +C 2 Y (kr, där J och Y är Besselfunktionerna av första och andra sorten av ordning. Man vet att Y ej är begränsad och om w (r ska vara begränsad måste C 2 =. Randvillkoret ger sedan att w(r = C J (kr =, och om vi inte bara ska få den triviala lösningen (C = så måste k och R uppfylla J (kr =. Det är välkänt att J har oändligt många nollställen α n (α = 2.447..., α 2 = 5.52..., α 3 = 8.6537... etc, se Fig. 5.2.2, och det finns bara icke-triviala lösningar för egenvärden med motsvarande egenfunktioner k n = α n R, n Z+, w n (r = J ( αn R r, n Z +.

32 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER 5.3. Inre produkt och norm För att kunna tillverka en ortonormerad bas i ett vektorrum måste vi kunna mäta längder och vinklar. Detta innebär att vi måste införa en inre produkt (en skalärprodukt. Med hjälp av en inre produkt kan vi enkelt avgöra vilka element som är ortogonala mot varandra. Det är framför allt två exempel på vektorrum som vi ska betrakta här, först det bekanta exemplet med vektorer i R 2 tillsammans den vanliga skalärprodukten, och sedan det som intresserar oss mest här, ett rum bestående av funktioner på ett intervall. Vektorer i R 2 Om vi har två vektorer x = (x,x 2 och y = (y,y 2 så definierar vi den inre produkten av x och y som x y = x y + x 2 y 2. Normen av x, x, definieras av x 2 = x x = x 2 + x2, 2 och avståndet mellan x och y, x y, ges av x y 2 = (x y 2 + (x 2 y 2 2. Vinkeln θ mellan x och y kan nu beräknas från relationen x y = x y cosθ, och vi säger att två vektorer är ortogonala (vinkelräta mot varandra, x y, om θ = π, dvs om 2 Ett funktionsrum x y =. Vi betraktar nu funktioner f (x och g(x på intervallet [, l], tillsammans med en positiv viktfunktion r(x. Generaliseringarna av begreppen ovan är f,g = f 2 = f g 2 = f (xg(xr(xdx, f (x 2 r(xdx, (norm (inre produkt f (x g(x 2 r(xdx, (avstånd f,g = f g cosθ, (vinkel f g f,g = (ortogonalitet f (xg(xr(xdx =. 5.4. Sturm-Liouvilleproblem Ett allmänt Sturm-Liouvilleproblem kan skrivas som ( P (xy + ( q(x + λr(xy =, < x < l, c y( + c 2 y ( =, c 3 y(l + c 4 y (l =. Här är r(x, q(x och P (x givna funktioner, c,...,c 4 givna konstanter och λ en konstant som kan anta vissa värden vilka ska bestämmas (egenvärden. r(x brukar kallas för en viktfunktion. Oftast gör man antagandet att r(x >.

5.4. STURM-LIOUVILLEPROBLEM 33 Om P (x > och c,...,c 4 säger vi att problemet är reguljärt, och om P eller r är i någon ändpunkt säger vi att det är singulärt (det finns dock även andra fall av både reguljära och singulära SL-problem, t.ex. är nedanstående exempel reguljärt. Exempel 5.8. r(x =, P (x =, q(x =, c = c 3 =, c 4 = c 2 =. y + λy =, y( =, y(l =. (Jämför med Exempel 5.4. I detta fall har vi ( nπ 2 λ n =, n =,2,3,..., (egenvärden l ( nπ y n = sin l x, (egenfunktioner och y n,y m = y n 2 = ( nπ sin sin l x sin ( nπ l x 2 dx = ( mπ x dx =, om n m, l ( ( nπ cos 2 l x dx = l 2. Om f är en funktion på intervallet [,l] kan vi definiera Fourierserien av f, S(x, genom (se avsnitt 6. : S(x = c n = ( nπ c n sin l x, där y n 2 f,y n = 2 ( nπ f (xsin l l x dx. ANMÄRKNING 7. Exempel 5.5-5.7 är också Sturm-Liouvilleproblem. För ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem gäller: (i (ii Egenvärdena är reella och till varje egenvärde hör det en egenfunktion som är unik upp till en konstant multipel. Egenvärdena bildar en oändlig följd λ,λ 2,... och kan ordnas som λ < λ 2 < λ 3 <, (iii med lim λ n =. n Om y och y 2 är två egenfunktioner som svarar mot två skilda egenvärden, λ i λ i2, så är de ortogonala, dvs y,y 2 = y (xy 2 (xr(xdx =.

34 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER 5.5. Generaliserad Fourierserieutveckling Vi ska nu se hur det går att generalisera begreppet Fourierserier från trigonometriska basfunktioner till en ON-bas bestående av egenfunktioner till Sturm-Liouville problem. Antag att vi har en oändlig linjärkombination där y n y m för n m. Då är f,y m = f (x = c n y n (x, c n y n,y m = = c m y m,y m = c m y m 2. c n y n,y m Låt f vara en godtycklig funktion på [,l]. Då definierar vi den generaliserade Fourierserien för f som där S(x = c n y n (x, c n = y m 2 f,y n, är de generaliserade Fourierkoefficienterna. Låt y,y 2,... vara en mängd av ortogonala egenfunktioner för ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem, och låt f vara en styckvis glatt funktion i [,l]. Då gäller för varje x i [,l] att (a S(x = f (x om f är kontinuerlig i x, och (b S(x = ( f (x+ + f (x om f har ett språng i x. 2 5.6. Några tillämpningar Exempel 5.9. Betrakta en stav av längd l, med konstant densitet, specifik värme och termisk ledning, ρ, c v respektive κ. Placera staven mellan x = och x = l. Antag att stavens temperatur i ändpunkterna ges av u(,t = u(l,t =, t >, (* och att temperaturfördelningen i staven vid begynnelsetidpunkten t = ges av u(x, = f (x, x l. Bestäm temperaturen u(x,t i punkten x, x l, och vid tiden t, t. Lösning: Vi har sett (se Kapitel att den matematiska formuleringen av det här problemet är u t(x,t ku xx(x,t =, x l, t, k = κ c V ρ, u(,t = u(l,t =, t >, u(x, = f (x, x l. Först gör vi följande naturliga skalning av problemet (se Kapitel : (5.6. t = k l 2 t, x = x l.

5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 35 (A (B Då får vi följande standardproblem att lösa: ( (2 (3 ũ t (x,t ũ xx (x,t =, x, t, ũ(,t = ũ(,t =, t >, ũ(x, = f (x, x, där f (x = f (xl. Vi kan nu använda Fouriers metod för att lösa detta problem (se avsnitt 4.8. Steg : Försök hitta lösningar av typen Sätter vi in detta i ekvationen ( ovan får vi dvs ũ(x,t = X(xT (t. T (t T (t = X (x X(x = λ, X (x + λx(x =,och T (t + λt (t =. Vi måste också försöka uppfylla randvillkoren (2: X(T (t = X(T (t =, och om vi inte ska få den triviala lösningen T drar vi slutsatsen att X( = X( =. Detta randvillkor tillsammans med (A leder till Sturm-Liouvilleproblemet X (x + λx(x =, (** X( = X( =. Steg 2: Vi får tre fall beroende på λ : λ <, λ =, λ >. λ < Ger endast den triviala lösningen X(x. λ = Ger endast den triviala lösningen X(x. λ > Då får vi ( ( X(x = Asin λx + Bcos λx, ( och X( = B =, och X( = Asin λ n Z +. Alltså har SL-problemet (** följande egenvärden och motsvarande egenfunktioner λ n = (nπ 2, n Z +, X n (x = sin(nπx. Dessutom, för dessa värden på λ = λ n, har (B lösningen T (t = T n (t = e (nπ2t, och vi drar slutsatsen att alla lösningar som uppfyller ( och (2 är på formen ũ n (x,t = sin(nπxe (nπ2t. = A = eller λ = nπ,

36 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER Steg 3: Superpositionsprincipen (se avsnitt 4.5 säger att funktionen ũ(x,t = b n sin(nπxe (nπ2 t också uppfyller ( och (2. Vi ska nu se till att även få begynnelsevillkoret (3 uppfyllt med denna funktion genom att välja lämpliga konstanter b n. Det är klart att ũ(x, = b n sin(nπx, och om vi väljer b n som Fourierkoefficienterna för f, dvs får vi faktiskt Slutsatsen är att funktionen b n = 2 ũ(x, = ũ(x,t = Z f (xsin(nπxdx, b n sin(nπx = f (x. b n sin(nπxe (nπ2t, med b n som ovan uppfyller (, (2 och (3. Slutligt steg: Genom att använda skalningen från (5.6. ser vi att lösningen till det ursprungliga problemet ges av där u(x,t = b n = 2 l ( nπ b n sin l x e ( nπ l 2 kt, ( nπ f (xsin l x dx. Exempel 5.. Betrakta en stav mellan x = och x = e, som i ändpunkterna har den konstanta temperaturen. Antag att vid begynnelsetiden t = har staven en värmefördelning som ges av u(x, = f (x, < x < e, att ingen värme tillförs, att staven har konstant densitet ρ och specifik värme c v, samt att värmeledningsförmågan K varierar som K(x = x 2. Ekvationen som bestämmer temperaturen u(x,t är då ( (2 c v ρu t = x ( x 2 u x, < x < e, t >. Bestäm temperaturfördelningen u(x,t i punkten x, x e, vid tidpunkten t >. Lösning: Vi tillämpar Fouriers metod för att separera variablerna och ansätter u(x, t = X(xT (t. Sätter vi in detta uttryck i ( ovan får vi c v ρ T T = d ( x 2 X = λ, X dx där λ är konstant och X uppfyller randvillkoret X( = X(e =.

5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 37 (3 (4 T uppfyller alltså ekvationen och X uppfyller T = λ c v ρ T, d ( x 2 X + λx =, < x < e dx x 2 X + 2xX + λx =, < x < e. Ekvationen (4 tillsammans med randvillkoret (2 ger ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem på [,e]. Den karakteristiska ekvationen är med rötterna r(r + 2r + λ =, r,2 = 2 ± 4 λ. Som tidigare (Exempel 5.6 får vi tre olika fall för λ: λ = 4 λ < 4 Då får vi en dubbelrot r = 2, och lösningarna ges av X(x = Ax 2 +Bx 2 lnx. Randvillkoret (2 ger X( = A = och X(e = Be 2 =, dvs vi får bara den triviala lösningen X. Rötterna blir nu reella och skilda, r r 2, och lösningarna blir X(x = Ax r + Bx r 2. Randvillkoren ger X( = A + B = X(e = Ae r + Be r 2 = A = B, A(e r e r 2 =, och eftersom r r 2 så måste A =, och vi får den triviala lösningen X. λ > 4 Vi får två komplexa rötter r = λ 2 ± i, och den allmänna lösningen blir 4 X(x = A sin ( λ 4 lnx + B cos ( λ 4 lnx. x x ( Randvillkoren ger X( = B = och X(e = Ae 2 sin λ 4 =, vilket ger att λ 4 = nπ, n Z+. Observera att fallet n = är samma sak som λ =. Egenvärdena till Sturm-Liouvilleproblemet (4 och 4 (2 är alltså och motsvarande egenfunktioner är λ n = 4 + n2 π 2, n Z +, X n (x = x sin(nπlnx, n Z +.

38 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER För varje fixt n blir ekvationen (3 med lösningarna Vi drar slutsatsen att funktionerna T n = λ n c v ρ T n, T n (t = e λn cvρ t, n Z +. u n (x,t = T n (tx n (x = x sin(nπlnxe λn cvρ t, n Z +, är lösningar till den ursprungliga ekvationen, vilka dessutom uppfyller randvillkoren. Superpositionsprincipen ger att funktionen x sin(nπlnxe cvρ λn t u(x,t = a n också löser ekvationen samt uppfyller randvillkoren. Slutligen måste vi även ta hänsyn till begynnelsevillkoret: u(x, = x sin(nπlnx = f (x, vilket blir uppfyllt om vi väljer konstanterna a n som Z e a n = X n 2 f (xx n (xdx a n Z e = 2 f (x sin(nπlnxdx. x Z e (Notera att X n 2 = x sin2 (nπlnxdx =. Den sökta temperaturfördelningen ges alltså av 2 där Exempel 5.. Lös problemet: u(x,t = a n x sin(nπlnxe λn cvρ t, Z e f (x a n = 2 sin(nπlnxdx. x ( u u t = 2 x 2, (2 u(,t =, (3 (4 (5 (6 u x(,t = 3u(,t, u(x, = f (x. Lösning: Vi använder Fouriers metod (variabelseparation. Steg : Gör ansatsen u(x,t = X(xT (t och sätt in i (. På samma sätt som tidigare får vi då ekvationen T (t T (t = X (x X(x = λ, vilket ger de två ekvationerna T (t λt (t =, X (x λx(x =.

5.6. NÅGRA TILLÄMPNINGAR 39 Steg 2: Vi har tre fall för λ att studera. λ = Lösningarna till (5 och (6 blir då T =konstant, och X = Ax + B, dvs lösningen blir u(x,t = Ax + B för några konstanter A och B. Randvärdet (2 ger u(,t = B =, och (3 ger u x(,t = A = 3u(,t = 3A, dvs A = och vi får endast den triviala lösningen u(x, t. λ > Lösningen till (5 blir nu T (t = Ae λt och lösningen till (6 blir X(x = λx Be +Ce λx. Randvärdet (2 ger u(,t = T (tx( = Ae λt (B +C =, dvs antingen är A = (som ger u eller så är B = C. Villkoret (3 är nu ekvivalent med Ae λt ( λb λ e ( + e λ = 3AB λ e e λ, ( ABe 2 λ 3 + λ = AB ( 3 λ, λ < vilket endast är uppfyllt om AB = (visa detta, och i detta fall får vi bara den triviala lösningen, u. Om vi sätter λ = p 2 får vi (på samma sätt som i Exempel 5.5 lösningarna (* u n (x,t = B n e p2 nt sin p n x, n =,2,3,..., där p n är lösningar till ekvationen tan p = p 3. Steg 3: Alla funktioner definierade av (* uppfyller (, (2 och (3. Enligt superpositionsprincipen uppfyller även u(x,t = B n e p2 nt sin p n x (, (2 och (3. Dessutom så är (6 med tillhörande randvillkor ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem och teorin för generaliserade Fourierserier ger att u(x,t kommer uppfylla (4: om vi väljer konstanterna B n som u(x, = B n sin p n x = f (t (** B n = f (x,sin p R nx sin p n x 2 = f (xsin p nxdx R sin2 p n xdx. Svaret till problemet är alltså u(x,t = B n e p2 nt sin p n x, där p n är de positiva lösningarna till tan p = p 3, p < p 2 < (se Fig. 5.2., och B n definieras av (**.

4 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER Exempel 5.2. (Vågekvationen Ett vibrerande cirkulärt membran med radie R beskrivs av följande ekvation, med tillhörande rand och begynnelsevillkor: ( (2 (3 (4 u tt = c 2 ( u xx + u yy,t >, r = x 2 + y 2 R, u(r,t =,t >, (fixerad rand u(r, = f (r,r R, (begynnelseposition u (r, = g(r,r R.(begynnelsehastighet t Observera att begynnelsevillkoren endast beror av r = x 2 + y 2 =avståndet från membranets centrum till punkten (x,y, och om vi inför polära koordinater x = r cosθ, y = r sinθ, ser vi att ( kan skrivas som 2 ( u 2 t 2 = u c2 r 2 + u r r + 2 u r 2 θ 2, eller, om vi dessutom gör antagandet att u(r,θ,t är radiellt symmetrisk (dvs att u(r,θ,t är oberoende av vinkeln θ kan vi skriva om ( som 2 ( u 2 ( t 2 = u c2 r 2 + u. r r För att lösa problemet fortsätter vi som tidigare och använder Fouriers metod för att separera variablerna. Med ansatsen u(r,t = W(rG(t insatt i ( så får vi ekvationerna (5 W + r W + k 2 W =, r R, (6 Dessutom får vi följande randvillkor från (2: G + (ck 2 G =, t >. (7 W(R =, och (5 tillsammans med (7 är ett reguljärt Sturm-Liouvilleproblem vilket ger oss egenfunktionerna ( αn W n (r = J R r, där α n = k n R är lösningarna till J (kr = (se Exempel 5.7. Observera att om vi skriver om (5 på den allmänna formen ser vi att vi får en viktfunktion = r, dvs den inre produkten ges av f,g = Z R f (rg(rrdr. Genom att lösa (6 för dessa värden på k och använda superpositionsprincipen får vi att ( (* u(r,t = A n cos ( cαn R t + B n sin ( cαn R t J ( αn R r är en lösning till ( och (2. Dessutom kan vi välja konstanterna A n så att (3 blir uppfylld, dvs ( αn u(r, = A n J R r = f (r, om Z R ( αn (** A n = R R J ( αn R r f (rj 2 rdr R r rdr.

5.7. ÖVNINGSUPPGIFTER 4 På samma sätt ser vi att (4 blir uppfyllt om vi väljer B n så att cα n (*** B n R = R R J ( αn R r 2 rdr Z R g(rj ( αn R r rdr. Svaret till problemet ges alltså av (* där A n och B n väljs som i (** och (***. 5.7. Övningsuppgifter 5.. [S] Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner: ( (a x 2 u (x + λu(x =, < x < e L, u( = u ( e L =, ( (b x 2 u (x + λu(x =, < x < e L, u( = u (e =. 5.2. * Lös följande S-L problem genom att bestämma egenvärden och egenfunktioner: (a u (x + λu(x =, < x < l, u ( = u (l =, (b u (x + λu(x =, < x < l, u ( = u(l =. 5.3. [S] Använd Fouriers metod för att lösa problemet u t = u xx, x l, t >, u x(,t = u x(l,t =, t >, u(x, = f (x, < x < l. 5.4. * En stav mellan x = och x = e har konstant temperatur i ändpunkterna, och vid tiden t = ges värmefördelningen av x, < x < e. Staven har konstant densitet ρ och konstant specifik värme C, men dess termiska ledningsförmåga varierar som K = x 2, < x < e. Formulera ett initial- och randvärdesproblem för stavens temperatur u(x,t och lös problemet med hjälp av Fouriers metod. 5.5. * (a Lös problemet u t = 4u xx, x, t >, u(,t = t >, u x(,t = cu(,t, t >, u(x, = x, x, x < 2, x 2. (b Ge en fysikalisk tolkning av problemet i (a. 5.6. [S] Betrakta en ideal vätska som strömmar ortogonalt mot en oändligt lång cylinder med radien a. Då problemet är likformigt i den axiala koordinaten kan vi betrakta problemet i polära koordinater i planet.

42 5. INTRODUKTION TILL STURM-LIOUVILLETEORI OCH GENERALISERADE FOURIERSERIER a x Vätskans hastighet v(r,θ ges då av ekvationen där ψ är en lösning till Laplaces ekvation Vid cylinderns yta har vi randvillkoret v(r,θ = gradψ, ψ =. ψ r r=a =, och då r har vi följande asymptotiska randvillkor: ψ lim r x = lim ψ r r cosθ = v, där v är en konstant. a Visa med hjälp av variabelseparation att ansatsen ψ(r, θ = R(rΘ(θ transformerar Laplaces ekvation till följande två ekvationer Θ (θ + m 2 Θ(θ =, R (r + r R (r m2 R(r r2 =, där m är ett heltal. b Använd a för att hitta ψ och v.