UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRALER. Från en variabelanalys vet vi att integral över ett symetrisk intervall, av en udda funktion är lika med 0. 0 om är udda. T ex 0 Här upprepar vi def. av udda ( och jämna ) funktioner Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo. DEFINITION : Vi säger att funktionen är jämn om ö DEFINITION 2: Vi säger att funktionen är udda om ö av 0
Exempel. Följande funktioner är jämna: a) b) c) d) e) 4 f) 3 3 g) 5 Exempel 2. Några udda funktioner: a) b) c) d) e) Exempel 3. Följande funktioner är varken jämna eller udda: a) b) 5 c) d) e) Anmärkning: Följande regler kommer direkt från definitionen UDDA + UDDA= UDDA ( funktion) ( Ex: är en udda funktion) TAL*UDDA=UDDA ( Ex: 23 är en udda funktion) UDDA*JÄMN= UDDA ( Ex: är en udda funktion) UDDA* UDDA = JÄMN ( Ex: är en jämnfunktion) JÄMN * JÄMN = JÄMN ( Ex: är en jämnfunktion) När vi beräknar integral över ett symetriskt intervall, förenklar vi beräkning om det finns udda termer i integranden, som i nedanstående exempel: Uppgift. Beräkna integralen / a) 3 85 5 / b) 3 8 5 c) 3 5 d) 3 235 Lösning a) 2 av 0
Vi har ett symmetriskt intervall [ /2, /2 ] och därför blir integralen av varje udda term lika med 0 ( vi har kvar endast integralen av icke udda termen 5: / / 3 8 5 5 / =0+0+0+0+0+0+ 5 / =5 b) 3 8 5 c) 0 d) 0 = 3 2000 UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRAL Ovanstående förenkling vid beräkning av en enkelintegral av udda funktioner över ett symmetrisk interval, kan vi också använda vid beräkning av en dubbelintegral om integrationsområde är symmetriskt i en av axlarna. FALL. Om i) integrationsområde D i xy planet definieras av, ( alltså området är symetrisk i x axeln ) och ii), är en udda funktion med avseende på y ( dvs,, för alla, ) då gäller,. Bevis: Enligt regler för enkelintegraler med udda integranden över symmetriskt intervall gäller Därför, för varje ( fixt ) x., =, 0 0 3 av 0
Exempel. Beräkna där,, 2 5, }. Lösning 0 eftersom D är symmetrisk i x axeln och är en udda funktion på D med avseende på y ( uppenbart,, ) Uppgift 2. Låt,, 3, }. Beräkna a) 8 8 b) 5 c) Lösning b) Första tre termer i integranden, och är är udda med avseende på y ( för, tillfälligt, fixt x). T ex för tredje term gäller,, Kontrollera själv för första två termer. Om vi integrerar termviss får vi 5 0005 4 av 0
5 0 0 2 5 Svar: a) 0, b) 5 c) 0 ============================================================== FALL 2. Om i) integrationsområde D i xy planet definieras av, ( alltså området är symetrisk i y axeln ) och ii), är en udda funktion med avseende på x d y ( dvs,, för alla, ) då gäller,. ( Detta bevisas på samma sätt som i FALL ) -v(y) 0 c v(y) x Exempel. Beräkna 5 där,, 2 4, }. Lösning 5 0 eftersom D är symmetrisk i y axeln och 5 är en udda funktion på D med avseende på x. 5 av 0
Uppgift 3. Låt,, 3, 2}. Beräkna a) 4 b) 0 c) Svar: { Området,, 3, 2 2} är symmetriskt i y axeln. } a) 0 b) 0 =0+0+ 0 =0 arean(d)=80 c) =0+ = ========================================================= I nedanstående uppgift är integrationsområdet symmetriskt i både x och y axeln som vi utnyttjar för att förenkla beräkningen. Uppgift 4. Beräkna 5 4 där,, 9}. D 3 ( D är cirkeln som har radien=3 och centrum i origo) Lösning 5 4 = 5 + + 4 (*) =0+0 + 4 arean(d) = 4 9 =36 Anmärkning :. Den första integralen i (*) är 0 eftersom integranden 5 är en udda funktion på y och D är symmetrisk i x axeln. 2. Den andra integralen i (*) är 0 eftersom integranden är en udda funktion på x och D är symmetrisk även i y axeln. 6 av 0
JÄMNA INTEGRANDER Vi kan ( lite) förenkla beräkning av dubbelintegralen för funktioner som är jämna i en variabel ( t ex y) om området är symmetrisk kring en axel ( t ex x-axeln): FALL 3. Om i) integrationsområde D i xy-planet definieras av, ( alltså området är symetrisk i x-axeln ) och ii), är en jämn funktion med avseende på y ( dvs,, för alla, ) y u(x) då gäller,, a D D2 b x och därför -u(x),,, 2,. FALL 4. Om i) integrationsområde D i xy planet definieras av, ( alltså området är symetrisk i y axeln ) och ii), är en jämn funktion med avseende på x d y ( dvs,, för alla, ) då gäller -v(y) D2 D v(y), 2,. c 0 x 7 av 0
FALL 5. Alla fall F F4 kan generaliseras och användes på allmänna symmetriska område: Låt D vara ett integrationsområde i xy planet symmetriskt kring linjen L som är delad i två symmetriska områden. Låt, beteckna den punkt i D2 som är symmetrisk till,. A) Om y,, ( för alla, ) (x,y ) då är,, och därför D2 D (x,y),,. o x B) Om,, ( för alla, ) då är,, och därför,. Anmärkning: A, B kan enkel bevisas med hjälp av dubbelintegralens definition ( Riemannsummor ). Uppgift 5. Låt,. Beräkna, om a) D är triangeln med hörn i (0,0), (,0) och (0,). b) D är triangeln med hörn i (,0), (0,) och (,0) Tipps: Använd a). c) D är rektangeln med hörn i (,0), (0,), (,0) och (0, ) Tipps: Använd a) eller b). d) D definieras av Lösning a), = x+y= 8 av 0 0
... 2 b) Punkten,, ä,. Eftersom,,, (för alla, ) har vi,, och därför, 2, enligt a 2 6 c) På grund av symmetri, eftersom,,,, gäller att, 2 4 4 d) Lägg märke till att randlinjen består av fyra delar, ö,,, ä Därför är definitionsområde,, samma som i frågan c. Integranden i d är också samma som i c frågan, och därmed har integralen i d samma värde som den i frågan c dvs. Svar: a) /6, b) /3, c) 2/3, d 2/3 9 av 0
Uppgift6. Låt, 2. a) Beräkna, om D är triangeln med hörn i (0,0), (,0) och (,). b) Använd resultat i a) för att beräkna, om D är rektangeln med hörn i (0.0), (,0), (,) och (0,). Lösning:, 2 Först beräknar vi integralen 2 y=x (,) med hjälp av substitutionen ; 2 ( Vi tillfälligt betraktar x som en konstant ) 2 / / Från (*) har vi 2 / / 0 = / / / 5 0 b) Området är symmetrisk kring linjen. Om, är symmetrisk punkt till (x,y) kring linjen då är,, [alltså y och x byter plats]. Därför (x,y ) (x,y) (,),, 2 2,. Därför,, 2,, och därmed enligt a 82 5 8 5 Svar: a) b) 0 av 0